. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός θ λέγετι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουµε τον γι ν βρούµε τον θ, δηλδή : θ θ Περιορισµοί : > 0 κι, θ > 0. Ιδιότητες πό τον ορισµό. Ιδιότητες θ θ 0 ( θθ ) θ + θ θ θ θ θ κ θ κ θ, κ R ν θ ν θ θ, ν N µε ν ν 4. εκδικοί κι Φυσικοί λογάριθµοι εκδικοί λογάριθµοι λογάριθµοι µε βάση το 0 Φυσικοί λογάριθµοι λογάριθµοι µε βάση το e Συµφωνί : 0θ θ κι eθ lnθ. Ιδιότητες θ 0 θ κι lnθ e θ 6. Τύπος λλγής βάσης βθ θ β, όπου θ > 0 κι 0 <, β
ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Μάθετε πολύ κλά i) τον ορισµό ii) τους περιορισµούς iii) τις ιδιότητες Γρήγορ θ διπιστώσετε ότι οι σκήσεις είνι εύκολες ΑΣΚΗΣΕΙΣ. είξτε ότι 8 8 64 4 7 64+ + 4 Είνι 8 4 4 4 8 64 8 8 8 8 Έστω ότι 64 64 (4 ) ( ) 8 8 64 4 Άρ 64+ + 4 6 + 6 6 4 7. Αν, y, z 4, > 0 κι, δείξτε ότι y z + y + z + ( ) y y y 4 4 z 4 z z ( ) z Άρ y z 8 κι + y + z + + + + 8. Oπότε y z + ψ + z +
. Ν ποδείξετε ότι + 6 () + + + + + () + + () + + [ + ] + + + ( + ) + 6 4. Ν ποδείξετε ότι 6 7 0 6 ( ) 6 [ ( 6 ) + ( 6 { } + (6 ) + (6 ) 4 + [ 6+ ] 4 + 6+ 4 4 + 6+ 4 0 4 + + 4 0 4 7 + + + + 4 0 0 0
4. Αν 0,0 κι 4,46, ν βρείτε τους λογάριθµους 4 8,, 6,,. 7 8 ( 4) + 4 0,0 +,46,447 0 0 0,0 0, 699 6 (7 8) 7 + 8 4 + 8 4 + 8,46 0,0 + 0,90,748 4 4 7 7 4 4 + 4 0,4 ( 7) + 7 0 4 + 0 + 4,44 6. Γι κάθε, y > 0 κι δείξτε ότι y y Αρκεί ν ποδείξουµε ότι ( y ) (y ) y y που είνι προφνής.
7. Ν βρείτε τον > έτσι ώστε ν ισχύει ( 8) + 64 + 8 9 ( 8) + 64 + 8 9 ( 8) + 8 + 8 9 ( 8) + 8 + 8 9 ( 8) + 8 9 0 () Θέτουµε 8 y, οπότε η () y + y 9 0 y ή y 8 ή 8 8 ή 8 ή 8 8 (πορρίπτετι) ή 64 4 8. Ν βρείτε τον έτσι ώστε ν ισχύει 6 + 0 6 6 + 0 6 + 0 6 6 4 + 0 6 4 + 0 6 4 + 0 6 + 0 6 6
6 9. Αν µί ριθµητική πρόοδος έχει πρώτο όρο κι δεύτερο β, ν ν( ν ) β ποδείξετε ότι το άθροισµ S ν των ν πρώτων όρων της είνι Sν ν( ν ) [ + ( ν ) ων ] Είνι S ν () Όµως ω β β () S ν ν + ( ν )β ν β + ν ν β ν ν β ν ν ν β ν ν β ν ν ν β ν( ν ) ν( ν ) 0. Ν λυθεί η εξίσωση ( + ) + Περιορισµός : + > 0 κι > 0 > κι > 0 > 0 (+ ) + (+ ) + ( ) (+ ) + [( +)] ( + ) + 0 + 0 0 ή 4. Η πορρίπτετι γιτί δεν ικνοποιεί τον περιορισµό
7. Ν λυθεί η εξίσωση + + + Περιορισµός : > 0 κι + 0 κι 0 Θέτοντς y η εξίσωση γίνετι y y+ + y+ y 7y + y 4 0 y ή 7 y 7 ή 7 7 0 ή 0 7 7. Ν λυθεί η εξίσωση [( + )] 0 Περιορισµοί : + > 0 κι ( + ) > 0. [( + )] 0 [( + )] ( + ) ( + ) 0 + 0 7 + 0 ή πορρίπτετι
8. Ν λυθεί η εξίσωση + Περιορισµός : > 0 + + Θέτουµε y, oπότε η εξίσωση γίνετι y+ y y y+ 0 y 8 ή y 4 8 ή ή 4 ή 0 ή 0
9 4. Ν λυθεί η εξίσωση + (4) 00 Περιορισµός : > 0 + (4) 00 (4) ( + )[(4)] 00 + 00 ( + )( 4+ ) 00 ( + )( + ) 00 (+)(+) 00 ( + ) 0 ( + ) 4 + ± + ± (4) ή (4) 4 0 ή 4 0 ή 400
0. Ν λυθεί η εξίσωση ( + ) + 8 + 78 Πρέπει ν είνι + > 0, που ισχύει. ( + ) + 8 + 78 ( + ) + 8 + 78 [8( + )] (78 ) 8 + 6 78 8 6 6 8 4 4 6. Ν λυθεί η εξίσωση 0 Πρέπει ν είνι > 0 [0 ] ( ) 0+ + + + + ( ) ( ) + 0 Θέτουµε y y y + 0 y ή y ή 0 ή 0 00 ή 0
7. Ν λυθεί η εξίσωση ( + 7) + ( + ) ( + 7) + ( + ) ( + 7) + ( + ) ( + 7) + ( + ) ( + 7) [4( + )] + 7 4 + 4 (-) 4 - + 0 Θέτουµε y y 4y + 0 y ή y - ή - 0 ή 0 ή 8. Ν λυθεί η εξίσωση + (+ ) + 6 + ( + ) + 6 0 + (+ ) + 6 [0 ( + )] (6 ) 0 (+ ) 6 (+ ) 6 ( + ) 6 Θέτουµε y y + y 6 0 y ή y οπότε (δύντη) ή
9. Ν βρείτε το ώστε οι ριθµοί, ( ), ( + ) µε την σειρά που δίνοντι ν είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Γι ν ορίζοντι οι ριθµοί πρέπει ν ισχύει > 0 κι + > 0 Γι ν ποτελούν διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου πρέπει ( ) + ( +) ( ) [( + )] ( ) + 6 + 6 0 4 0 Θέτουµε y y 4y 0 y ή y ή δύντη 0. y Ν λυθεί το σύστηµ + y Πρέπει ν ισχύουν > 0 κι y > 0 y 0 y ( y ) 00 + y 0 y y 00 0y 4 00y 00 0 y
. i) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, y > 0 ισχύει y y + ii) Ν λυθεί το σύστηµ y i) y y y y ii) Πρέπει ν είνι > 0 κι y > 0 y y 0 y..y η οποί είνι προφνής + y y y 0 (i) y 0 (y) y 0 (y) Θέτουµε κι y β y 0 (y) y + y β +β κι β κι y 0 κι y 0