Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης Γραμμικό και Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα σε καθοριστική και τυχαία πρόκληση (8.1.3) ημοσθένης Αγγελίδης Καθηγητής Θαλασσίων Έργων, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ. dangelid@civil.auth.gr
Σχηματική αντιπροσώπευση τυχαίας διεργασίας (random process) x(t) Kάθε x (j) (t) είναι μία δειγματοληπτική συνάρτηση της ομάδας (ensemble)
Στάσιμη ιεργασία (Stationary Process) Μιατυχαίαδιεργασίαείναιστάσιμη(stationary) αν οι πιθανολογικές κατανομές της είναι αμετάβλητες με τον χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι οι πιθανότητες p[x(t 1 )], p[x(t 2 )], κλπ είναι ίδιες και εκπροσωπούνται με p(x). Προς απλούστευση συμβολισμών εισάγουμε x 1 για x(t 1 ), x 2 για x(t 2 ), κλπ. Θέτουμε t 2 -t 1 = τ Η πιθανολογική κατανομή p(x 1,x 2 ) είναι αμετάβλητη με τον χρόνο και εξαρτάται μόνο από την διαφορά χρόνου τ, δηλαδή p(t, t+τ) είναι ανεξάρτητη από t.
Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης, Φασματική Πυκνότητα Τότε η αυτοσυσχέτιση Ε[x 1 x 2 ] είναι συνάρτηση μόνο του τ, δηλαδή Ε [x 1 x 2 ] = E[ x(t) x(t+τ) ]=R(τ) Το R(τ) συμβολίζει την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας στάσιμης τυχαίας διεργασίας. Ο Fourier transform του R(τ) είναι η Φασματική Πυκνότητα Έχουμε: 1 iωτ S ω Rτ e dτ 2π iωτ 2 και 0 R τ S ω e dω R EX S ω dω
Σχέση Πρόκλησης (excitation) Απόκρισης (response) Σε ένα μηχανικό σύστημα: Πρόκληση (excitation) είναι το εισερχόμενο αίτιο. Απόκριση (response) είναι το εξερχόμενο αποτέλεσμα. Πρόκληση μπορεί να είναι δύναμη ή κίνηση (δηλαδή μετακίνηση, ταχύτητα ή επιτάχυνση). Απόκριση μπορεί να είναι κίνηση ή τάση. Όταν η πρόκληση είναι τυχαία διεργασία, η απόκριση είναι επίσης τυχαία διεργασία.
Γραμμικό Χρονικά-Αμετάβλητο Σύστημα Ένα ταλαντούμενο σύστημα είναι γραμμικό και χρονικά - αμετάβλητο όταν οι εξισώσεις κίνησής του είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Ένα σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας μπορεί να περιγραφεί με μια δευτέρας τάξεως κανονική (ordinary) διαφορική εξίσωση. Ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας μπορεί να περιγραφεί με ένα ζεύγος συζευγμένων (coupled) δευτέρας τάξεως κανονικές (ordinary) διαφορικές εξισώσεις, κλπ.
Επίλυση Γραμμικού και Χρονικά-Αμετάβλητου Συστήματος x(t) Πρόκληση (excitation) Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα y(t) Απόκριση (response) x(t) είναι η καθοριστική (deterministic) χρονοσειρά πρόκλησης. y(t) είναι η καθοριστική (deterministic) χρονοσειρά απόκρισης που λαμβάνεται με την ολοκλήρωση (επίλυση) των εξισώσεων κίνησης που υπόκειται σε αρχικές συνθήκες. Η επίλυση των εξισώσεων κίνησης γίνεται με: χρήση μιγαδικής απόκρισης στον χώρο συχνότητας με ολοκλήρωμα Fourier χρήση απόκρισης ώθησης (impulse) με ολοκλήρωμα επαλληλίας ή συνέλιξης (superposition or convolution integral) οι δύο αυτές μέθοδοι σχετίζονται καθόσον η κάθε μια είναι μετασχηματισμός Fourier της άλλης
Μιγαδική Απόκριση στο πεδίο Συχνότητας (1) Για συστήματα γραμμικά και χρονικά-αμετάβλητα όταν η πρόκληση είναι απλή αρμονική σταθερής κατάστασης κίνηση Α.Α.Σ.Κ.Κ. (steady state simple harmonic motion) δηλαδή χωρίς αρχή και τέλος, τότε: Η απόκριση είναι επίσης Α.Α.Σ.Κ.Κ. με την ίδια συχνότητα. Το πλάτος και η φάση της απόκρισης γενικά εξαρτώνται από την συχνότητα. Η εξάρτηση του πλάτους και φάσης από την συχνότητα αντιπροσωπεύονται από την μιγαδική απόκριση συχνότητας (transfer function) Η (ω). Όταν η πρόκληση είναι το πραγματικό μέρος της e iωt, τότε η απόκριση είναι το πραγματικό μέρος της Η (ω)e iωt
Μιγαδική Απόκριση στο πεδίο Συχνότητας (2) ΗμιγαδικήαπόκρισησυχνότηταςΗ(ω) λαμβάνεται αναλυτικά με την αντικατάσταση των x(t) = e iωt y(t) = Η(ω)e iωt στις εξισώσεις κίνησης, απλοποιώντας τους όρους e iωt και επιλύοντας αλγεβρικά για την Η(ω). Η(ω) είναι το μέγεθος της απόκρισης για μοναδιαία πρόκληση.
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο της συχνότητας (1) Έχοντας την Η(ω) μπορούμε να λάβουμε την απόκριση y(t) σε μια αυθαίρετη γνωστή πρόκληση x(t). Το ανωτέρω βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας που ισχύει στα γραμμικά συστήματα. Για μια μη-περιοδική πρόκληση x(t) έχουμε: δηλαδή μετασχηματισμό Fourier για x(t). Λαμβάνοντας τον μετασχηματισμό Fourier της y(t)=h(ω)e iωt ή y(t)=h(ω)x(t), έχουμε: Υ(ω)=H(ω)Χ(ω) Αλλά έχουμε: iωt X ω xte dt 1 iωt y t Yωe dω 2π
Απόδειξη: Σκοπός, Αποστολή και Χρήσεις Θαλασσίων Κατασκευών Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο της συχνότητας (2) Συνδυάζοντας τις προηγούμενες εξισώσεις έχουμε: 1 iωt iωτ y t Hωe dω xτ e dτ 2π Απόδειξη: 1 iωt 1 iωt 1 iωt iωτ y t Yωe dω H ωx ( ω) e dω H ωe dω xτ e dτ 2π 2π 2π
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (1) Η απόκριση ενός συστήματος γραμμικού και χρονικά-αμετάβλητου μπορεί να ληφθεί και στο πεδίο του χρόνου με την επαλληλία μοναδιαίων λύσεων. Θεωρούμε ως πρόκληση μοναδιαία ώθηση: x(t)=δ(t-τ) όπου δ(t-τ) είναι η συνάρτηση Dirac (δέλτα) ηοποίαείναιμηδέν εκτός από t=τ όπου και είναι άπειρη και περιλαμβάνει μοναδιαίο εμβαδό
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (2) Η απόκριση y(t) στην πρόκληση δ(t-τ) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης-ώθησης (impulse-response function) h(t-τ). Θεωρείται ότι y(t) είναι μηδέν πριν από τον χρόνο t-τ, οπότε η συνάρτηση h(t-τ) λαμβάνεται με την επίλυση της εξίσωσης κίνησης, με δ(t-τ) ως πρόκληση και μηδενικές αρχικές συνθήκες για t<τ.
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (3) h(t-τ) είναι απόκριση που αντιστοιχεί στην μονάδα της πρόκλησης πολλαπλασιαζόμενη με τον χρόνο. π.χ. αν η πρόκληση είναι επιτάχυνση και η απόκριση είναι τάση τότε οι μονάδες των h(t-τ) είναι μονάδες τάσης προς επιτάχυνση x χρόνο.
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (4) Ανάλογα με την πολυπλοκότητα του συστήματος, μπορεί να είναι εύκολο ή δύσκολο να προσδιορισθεί η συνάρτηση h(t-τ). Πολλές φορές με χρήση καταλλήλων μετρήσεων είναι δυνατόν να προσεγγισθεί ικανοποιητικά πειραματικά η συνάρτηση h(t-τ). Κατόπιν μπορεί να ληφθεί η απόκριση y(t) σε αυθαίρετη πρόκληση x(t) με την αρχή επαλληλίας στο πεδίο του χρόνου.
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (5) Το ανωτέρω σχήμα παρουσιάζει μια αυθαίρετη πρόκληση x(t) ως άθροισμα απειροελάχιστων ωθήσεων μεγέθους x(τ)dτ που εφαρμόζονται σε χρόνους τ. Τότε η απόκριση στο χρόνο t=τ σε μια ώθηση x(τ)dτ είναι: [x(τ)dτ] h(t-τ) ( ιότι: δ(τ) dτ=1 προκαλεί h άρα x(τ) dτ προκαλεί x(τ)dτ h )
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (5) Λόγω γραμμικότητας, η απόκριση y(t) σε όλες τις απειροελάχιστες ωθήσεις μέχρι τον χρόνο t είναι: t y t x τ ht τ dτ
Επίλυση για y(t) για δεδομένη x(t) στο πεδίο του χρόνου (6) Επειδή h(t-τ) έχει μηδενικές τιμές για t<τ ή τ>t, το άνω όριο στο τελευταίο ολοκλήρωμα μπορεί να αντικατασταθεί με, οπότε: y t x τ ht τ dτ Αν θέσουμε θ=t-τ, τότε λαμβάνουμε: Επειδή h(θ)=0 για αρνητικές τιμές του θ: y t x t θ h θ dθ y t x t θ h θ dθ 0
Σχέση h(t) και Η(ω) Αν θέσουμε στην εξίσωση δ(t) για x(t), τότε η απόκριση είναι εξ ορισμού h(t) Το ολοκλήρωμα: λόγω του ορισμού του δ(t) όπου δ(t)=0 για όλες τις τιμές του t, εκτός δ(0)=, όπου όμως περιλαμβάνει μοναδιαίο εμβαδό (ολοκλήρωμα) Οπότε, ΟμετασχηματισμόςFourier του h(t) είναι: 1 iωt ht Hωe dω 2π 1 iωt iωτ y t Hωe dω xτ e dτ 2π iωt iωt 1 xte dt δ t e dt iωt H ω hte dt
Σύστημα ενός-βαθμού-ελευθερίας x 0 x 1 c k m x o Πρόκληση Ο νόμος του Newton για την σχετική μετακίνηση δίνει: Εισάγουμε: k m Τότε η εξίσωση κίνησης γίνεται Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα y=x 1 -x 0 Απόκριση my cy ky mx o 2 c 1 ωn, 2ζ km Q 2 y ζω y ω y x t 2 n n o
Επίλυση στο πεδίο Συχνότητας Η μιγαδική απόκριση συχνότητας Η(ω) λαμβάνεται με αντικατάσταση στην τελευταία εξίσωση των: iωt iωt xo e, y Hωe και απλοποιώντας τον όρο e iωt έχουμε Τότε: 1 ω ω 2iζω ω 2 2 H ω y t n x τ e dωdτ π ω ω iζω ω iω tτ 1 o 2 2 2 n 2 n n
Πρόκληση-Απόκριση για Στάσιμη (Stationary) Τυχαία ιεργασία Για ένα γραμμικό και χρονικά - αμετάβλητο σύστημα, ηπρόκληση τώρα αντί για καθοριστική (deterministic) χρονοσειρά θεωρείται τυχαία διεργασία (random process). Όταν η πρόκληση είναι στάσιμη (stationary) τυχαία διεργασία, τότε η απόκριση είναι επίσης στάσιμη τυχαία διεργασία. Αν S x (ω) και S y (ω) είναι οι Φασματικές πυκνότητες των προκλήσεων και αποκρίσεων ενός συστήματος αντίστοιχα, τότε: 2 S ω H ω S ω y x όπου H ω είναι το μέτρο της μιγαδικής απόκρισης συχνότητας.
Σύστημα Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Εξίσωση κίνησης t t t t MY CY KY F Θέτοντας: iωt iωt Y t H ω e και Ft Ie Έχουμε για την μιγαδική απόκριση συχνότητας: H 2 ω ω M iω C K 1 Επίσης για την Φασματική Πυκνότητα: ω ω ω ω S H S H Y F *T