ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1
Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών, αβαρών, ευθύγραμμων στερεών ράβδων που συνδέονται μεταξύ τους με ελεύθερα στρεπτές αρθρώσεις και σχηματίζουν ένα στερεό σχηματισμό. Οι αρθρώσεις του δικτυώματος ονομάζονται κόμβοι και οι στερεοι φορείς ράβδοι. Διακρίνονται σε απλά και σύνθετα ανάλογα με τον τρόπο συναρμολόγησης όπως και σε χωρικά και επίπεδα ανάλογα με το αναπτύσσονται στις δύο ή στις τρείς διαστάσεις. Ένα δικτύωμα μπορεί να είναι είτε ισοστατικό είτε υπερστατικό ή υποστατικό. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 2
Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισοστατικότητα και την στερεότητα ενός δικτυώματος. Να μπορεί να επιλύσει ένα δικτύωμα. Να μπορεί να χαρακτηρίσει τις τάσεις που φέρει η κάθε ράβδος μια δικτυωτής κατασκευής. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 3
Περιεχόμενα ενότητας Βασικές αρχές δικτυώματος Δικτυώματα στην καθημερινή ζωή Στοιχεία δικτυώματος Παραδοχές Κριτήρια στερεότητας-ισοστατικότητας Επίλυση δικτυωμάτων με μέθοδο κόμβων Επίλυση δικτυωμάτων με μέθοδο Ritter Δοκός Gerber A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 4
Στοιχεία δικτυωμάτων Οι άξονες των ράβδων και οι εξωτερικές δυνάμεις στο ίδιο επίπεδο (π.χ. δικτύωμα γέφυρας) Οι ράβδοι δεν φορτίζονται εγκάρσια. Το φορτίο μεταφέρεται στους κόμβους. Τα βάρη των ράβδων εφαρμόζονται και αυτά στους κόμβους με ισοκατανομή. Οι κόμβοι είναι ισοδύναμοι με ελεύθερα στρεπτές αρθρώσεις. Δηλαδή δεν μεταφέρουν ροπή, αλλά μόνο δύναμη. Με την εφαρμογή δύναμης F σε κάποιο κόμβο, εμφανίζονται αντιδράσεις στα σημεία στήριξης και εσωτερικές δυνάμεις, αξονικές, στις ράβδους, που ονομάζονται τάσεις. Ο καθορισμός των τάσεων αποτελεί την «ανάλυση» του δικτυώματος. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 5
Δικτυώματα στην καθημερινή ζωή A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 6
Επίλυση δικτυώματος 1) Απόδειξη ισοστατικότητας φορέα. 2) Απόδειξη στερεότητας σχηματισμού φορέα. 3) Σχεδιασμός διαγράμματος ελευθέρου σώματος (Δ.Ε.Σ.). 4) Υπολογισμός αντιδράσεων. 5) Υπολογισμός δυνάμεων (τάσεων) στις ράβδους. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 7
Κριτήρια ισοστατικότητας (1/2) Σε ένα γεωμετρικό ορισμένο δικτύωμα ο αριθμός των κόμβων, K, συνδέεται με τον αριθμό των ράβδων, ρ, με μία μαθηματική σχέση. Ας ξεκινήσουμε με ένα τρίγωνο (το πιο απλό δικτύωμα, βλ. Σχήμα). Σε αυτή την περίπτωση 3 ράβδοι συνδέονται με 3 κόμβους. Αν προσθέσουμε δύο ακόμη ράβδους τότε χρειαζόμαστε ένα επιπλέον κόμβο. Με άλλα λόγια πέρα από το απλό τρίγωνο, κάθε ένας από τους υπολοίπους Κ-3 κόμβους συνδέεται με 2 ράβδους. Άρα είναι προφανές ότι η ζητούμενη μαθηματική σχέση για ισοστατικό δικτύωμα είναι: 3 2( K 3) 2K 3 (1) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 8
Κριτήρια ισοστατικότητας (2/2) Το δικτύωμα που δεν συνδέεται με το έδαφος ονομάζεται ελεύθερο δικτύωμα. Όταν προσθέσουμε και τις στηρίξεις του εδάφους τότε έχουμε το δικτυωτό φορέα τον οποίο μελετάμε. Επειδή η ισοστατική στήριξη ενός ελεύθερου σώματος απαιτεί 3 τουλάχιστον εξωτερικά στηρίγματα, R, τότε σε αυτή την περίπτωση το κριτήριο ισοστατικότητας θα είναι: (1) Ισοστατικός φορέας R 2 K (2) Άρα κατά αναλογία έχουμε τις εξής καταστάσεις: Υπερστατικός φορέας Υποστατικός φορέας R 2 K ( 3) R 2 K (4) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 9
Παραδοχές A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 10
Συμβάσεις μεθόδου κόμβων Οι ράβδοι δέχονται μόνο αξονικά φορτία. Θεωρούμε ότι όταν : Μια αξονική δύναμη πλησιάζει τον κόμβο είναι θλιπτική ενώ όταν μία αξονική δύναμη απομακρύνεται από τον κόμβο είναι εφελκυστική Αρχικά: θεωρούμε όλες τις άγνωστες εσωτερικές δυνάμεις θετικές. Στον κόμβο που αναλύουμε οι άγνωστες δυνάμεις όχι πάνω από δύο. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 11
Βασικές μέθοδοι ανάλυσης δικτυώματος α) Μέθοδος κόμβων β) Μέθοδος τομών Ritter A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 12
Βήματα μεθόδου κόμβων (1/2) Βήμα 1ο Θέλουμε να βρούμε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δοκούς του δικτυώματος. Θεωρούμε ότι κάθε δοκός φέρει μια άγνωστη δύναμη κατά τη διεύθυνσή της. Ο υπολογισμός των δυνάμεων των δοκών θα γίνει μέσω του υπολογισμού των δυνάμεων στους κόμβους. Βήμα 2ο Υπολογίζουμε τις εξωτερικές αντιδράσεις του δικτυώματος γράφοντας τις εξισώσεις ισορροπίας για ολόκληρο το δικτύωμα. Εφόσον το δικτύωμα είναι στερεό σώμα μπορούμε να γράψουμε εξισώσεις ισορροπίας για τον υπολογισμό αγνώστων αντιδράσεων. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 13
Βήματα μεθόδου κόμβων (2/2) Βήμα 3ο Απομονώνουμε από το δικτύωμα τις δοκούς και τους κόμβους. Γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για κάθε κόμβο. Ξεκινάμε τη μέθοδο υπολογισμού από τον κόμβο στον οποίο συντρέχουν το πολύ δύο άγνωστες δυνάμεις, δηλαδή το πολύ δύο δοκοί. Τυπικά σχεδιάζουμε τις άγνωστες δυνάμεις στον κόμβο ώστε η φορά τους να είναι από τον κόμβο προς τη δοκό. Βήμα 4ο Τελειώνοντας με έναν κόμβο προχωρούμε στο γειτονικό στον οποίο και πάλι πρέπει να συντρέχουν το πολύ δύο άγνωστες δυνάμεις. Βήμα 5ο Έχοντας βρει τις δυνάμεις στους κόμβους μεταφέρουμε τις δυνάμεις των κόμβων στις δοκούς και καταγράφουμε τις τιμές κάθε καταπόνησης σε ένα πίνακα. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 14
Επίπεδα Δικτυώματα Στο επίπεδο δικτύωμα (πχ το δικτύωμα γέφυρας) οι άξονες των ράβδων και οι εξωτερικές δυνάμεις που το φορτίζουν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Συμβολισμοί Αρθρώσεις, κυλίσεις, πακτώσεις κλπ με: A, B, Γ Κόμβοι με λατινικούς: I, II, III, IV Ράβδοι με αραβικούς: 1, 2, 3,.. Τάσεις με: S n Αντιδράσεις με: V, H A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 15
Παράδειγμα με μέθοδο κόμβων (1/2) Να υπολογιστούν οι εσωτερικές αξονικές δυνάμεις των ράβδων του παρακάτω δικτυώματος. Δίνονται: P 1 =600N, P 2 =200N, φ=60 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΣP x = 0 : P 2 - H B = 0 => H B =200N ΣΜ Α = 0: -P 1 5 - P 2 (2,5 tan60 ) + V B 10 = 0 => V B = 386,6N ΣΜ Β = 0: -V Α 10 + P 1 5 - P 2 (2,5 tan60 ) = 0 => V Α = 213,4N Επαλήθευση: ΣP y = 0 : V Α - P 1 + V B = 0 => 213,4N 600N + 386,6N = 0 => 0 = 0! A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 16
Παράδειγμα με μέθοδο κόμβων (2/2) 1) Κύλιση (Κόμβος) Α A V A φ S 1 S 6 S 5 ΣP x = 0: +S 1 cosφ + S 5 =0 => S 5 = - S 1 cosφ ΣP y = 0: V A + S 1 sinφ =0 => S 1 = - V A /sinφ = -213,4Ν/sin60 => S 1 = -246,4N (θλιπτική) S 5 = 123,2Ν (εφελκυστική) 2) Κόμβος I φ S S 2 1 S 6 ΣP x = 0: -S 1 cosφ + S 2 cosφ =0 => S 2 = S 1 = - 246,4Ν (θλιπτική) ΣP y = 0: -S 1 sinφ S 6 - S 2 sinφ =0 => S 6 = (- 246,4N - 246,4N)sin60 => S 6 = - 492,8 sin60 => S 6 = 426,8N (εφελκυστική) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 17
3) Κόμβος II S 6 S 7 S 5 φ P 1 4) Κόμβος III S2 S 4 ΣP x = 0: -S 5 + S 7 cosφ + S 4 =0 => S 4 = S 5 - S 7 cosφ= 123,2Ν - S 7 cos60 ΣP y = 0: -P 1 + S 6 + S 7 sinφ =0 => S 7 = (600N - (- 426,8N)/sin60 => S 7 = 200N (εφελκυστική), S 4 = 23,2Ν (εφελκυστική) ΣP x = 0: - S 7 cosφ - S 2 cosφ + S 3 cosφ + P 2 =0 => φ P 2 s7 S3 5) Άρθρωση (Κόμβος) B => Επαλήθευση S 4 S 3 S 3 cos60 S 3 sin60 V B H B ΣP y = 0 => V B + S 3 sin60 = 0 => 386,6N -446,4 0,866 = 386,6 386,6 = 0 A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 18
Μέθοδος τομών RITTER A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 19
Έννοιες και βασικές παραδοχές Χρησιμοποιείται είτε για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός σύνθετου δικτυώματος, είτε για την ταχύτερη εύρεση της δύναμης μιας ράβδου. Συνίσταται στην πραγματοποίηση μίας ή και περισσότερων τομών, καθεμιά από τις οποίες τέμνει το μικρότερο δυνατό αριθμό ράβδων (max 3 ράβδοι με άγνωστες εσωτερικές τάσεις). Η τομή χωρίζει το δικτύωμα σε δύο ανεξάρτητα τμήματα τα οποία ισορροπούν. Θεωρώντας τις άγνωστες εσωτερικές τάσεις σαν εξωτερικές και χρησιμοποιώντας συνθήκες ισορροπίας τις υπολογίζουμε. Και σε αυτήν την περίπτωση δεχόμαστε αρχικά εφελκυστικές, δηλ. θετικές όλες τις άγνωστες τάσεις. Η τομή Ritter δεν διέρχεται ποτέ από κόμβο. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 20
Βήματα μεθόδου τομών RITTER Βήμα 1ο Κάνουμε μια τομή σε το πολύ τρεις διαδοχικές δοκούς. Βήμα 2ο Χωρίζουμε το δικτύωμα σε δύο, ένα δεξιά και ένα αριστερά της τομής. Βήμα 3ο Στο σημείο της τομής αντικαθιστούμε κάθε μια από τις δοκούς που τέμνονται με μια άγνωστη δύναμη. Κατά σύμβαση σχεδιάζουμε τις δυνάμεις με φορά από τον κόμβο προς τη δοκό. Βήμα 4ο Μελετάμε το δικτύωμα ώς προς την ισοστατικότητα και την στερεότητα και γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για τον υπολογισμό αγνώστων δυνάμεων. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 21
Mέθοδος Τομών- Ritter Δικτύωμα πρό τομών ΔΕΣ αριστερής και δεξιάς τομής A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 22
Υπολογισμός δυνάμεων- Ritter (1/2) 1) Υπολογισμός της S 5 (κόμβος Ι)- αριστερή πλευρά Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας ΣΜ=0 ώστε να τέμνονται οι άλλες δύο ράβδοι και να μη δίνουν ροπές 0 : V 5 S 0 (1) όπου λ 1 είναι η κάθετη απόσταση της S 5 από τον κόμβο Ι. Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε 2) Υπολογισμός της S 2 (κόμβος ΙΙ)- δεξιά πλευρά II 0 : P2 h S2 2 VB 5 0 (1) όπου λ 2 είναι η απόσταση της S 2 από τον κόμβο ΙΙ. Επίσης είναι Ισχύει: I A 5 1 1 tan 60 5 8.7 m (2) S 5 213.4 5 123.3 N (εφελκ.) 8.7 2 sin 60 5.0 4.3 m (2) h 2 4.3 m (3) Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουμε: S 2 200 4.3 386.6 5 4.3 246.4 N (θλιπτ.) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 23
Υπολογισμός δυνάμεων- Ritter (2/2) 3) Υπολογισμός της S 6 Λαμβάνουμε συνθήκη ισορροπίας ΣP y = 0 για το πιο απλό τμήμα του δικτυώματος. (στην περίπτωσή μας το αριστερό ). P 0 : V S S sin S 213.4 246.4sin 60 S 426.8 N (εφελκ.) y A 6 2 6 6 Με όμοιο τρόπο, αν φέρουμε τις κατάλληλες τομές, μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις τάσεις της ράβδου. Παρατηρούμε πως και με τις δύο μεθόδους, καταλήγουμε στα ίδια αποτελέσματα. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 24
Δοκοί GERBER Σχήμα α. Η δοκός Gerber είναι ένας συνδιασμός από αμφιέρειστες και προέχουσες δοκούς που ενώνονται με αρθρώσεις οι οποίες δεν μεταφέρουν αξονικά φορτία. Από τις υπόλοιπες στηρίξεις η μία είναι άρθρωση και όλες οι άλλες κυλίσεις. Στο Σχήμα β βλέπουμε πώς αναλύονται οι δυνάμεις στο ΔΕΣ. Σχήμα β. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 25
Δοκός Gerber- Εξισώσεις Ισορροπίας Για τον καθορισμό τέλος των αντιδράσεων στήριξης, χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις ισορροπίας της δοκού P 0, P 0, M 0 x y A καθώς και τη συνθήκη της άρθρωσης M 0 είτε για το αριστερό είτε για το δεξιό τμήμα της δοκού Gerber ως προς την άρθρωση Δ. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 26
Εφαρμογή/ Παράδειγμα σε Δοκό Gerber (με διαφορετικές στηρίξεις) Εκφώνηση Να προσδιοριστούν οι αντιδράσεις στήριξης της δοκού Gerber του σχήματος πιο κάτω εάν Ρ 1 =20 ΚΝ και Ρ 2 =15 ΚΝ. Επίσης δίνεται ότι l 1 =6 m και l 2 =2 m. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 27
Δοκός Gerber- Παράδειγμα (1/3) Παρατηρούμε ότι όλες οι αντιδράσεις είναι κατακόρυφες αφού δεν υπάρχουν οριζόντια φορτία. Για τον καθορισμό των αντιδράσεων θα χρησιμοποιήσουμε συνθήκες ισορροπίας για κάθε δοκό ξεχωριστά: α) Αμφιέρειστη δοκός ΑΔ P 0 : V V P 0 (1) y A 1 Pl 20 2 M V l Pl V 12 0 : A 1 1 2 0 A 6.7 kn (2) l1 6 από τις σχέσεις (1), (2) έχουμε επίσης V P1 V 20 6.7 13.3 kν (3) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 28
Δοκός Gerber- Παράδειγμα (2/3) β) Μονοπροέχουσα δοκός ΔΓ P 0 : V V V P 0 V V P V (4) y 2 2 l1 M 0 : V ( l1 l2) V l1 P2 0 2 l1 V l1 V ( l1 l2) P2 V 6 13.3 8 15 3 2 V 25.2 kn (5) Από τις σχέσεις (4), (5) έχουμε V P2 V V 15 13.3 25.2 3.1 kn A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 29
Δοκός Gerber- Παράδειγμα (3/3) Επομένως συνοπτικά, οι αντιδράσεις στήριξης είναι V 6.7 kν, V 25.2 kν, V 3.1 kν Είναι δυνατό να γίνει έλεγχος για τη συνολική δοκό. Θα πρέπει ΣΜ Α = 0. l1 M A P1 ( l1 l2) V ( l1 l2) P2 ( l1 l2 ) V ( l1 l2 l1) 2 20 4 25.2 8 15 11 3.1 14 0 A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 30
Τέλος Ενότητας A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 31