ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ Κωνσταντίνος Ν. Μακρής Διπωματική Εργασία που υποβήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Πειραιάς, Οκτώβρης 009

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ Κωνσταντίνος Ν. Μακρής Διπωματική Εργασία που υποβήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Πειραιάς, Οκτώβρης 009 3

Η παρούσα Διπωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμεή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ... συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Τα μέη της Επιτροπής ήταν: -.. (Επιβέπων) -.. -.. Η έγκριση της Διπωματική Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα. 4

UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPLIED STATISTICS MONOTONICITY PROPERTIES IN RENEWAL PROCESSES By Konstantinos N. Makris MSc Dissertation submitted to the Department of Statistics and Insurance Science of the University of Piraeus in partial fulfilment of the requirements for the degree o f Master of Science in Applied Statistics Piraeus, Greece October 009 5

6

Στους γονείς μου 7

8

Περίηψη Μία ανανεωτική ανέιξη αποτεεί μια γενίκευση της ανέιξης Poisson στην περίπτωση όπου οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών γεγονότων που παρατηρούμε είναι ανεξάρτητες και ισόνομες μεταβητές, αά δεν ακοουθούν απαραίτητα την εκθετική κατανομή. Τέτοιες ανείξεις έχουν ποές εφαρμογές σε διάφορους κάδους της εφαρμοσμένης έρευνας, όπως η θεωρία αξιοπιστίας, η θεωρία κινδύνων και η αναογιστική επιστήμη γενικότερα, η δημογραφία κπ. Σε μια ανανεωτική ανέιξη, η ποσότητα με το μεγαύτερο ενδιαφέρον είναι η ανανεωτική συνάρτηση m (t), η οποία απαριθμεί τον αναμενόμενο αριθμό των γεγονότων στο χρονικό διάστημα [0,t ], όταν οι ενδιάμεσοι χρόνοι είναι ανεξάρτητοι με μια κατανομή F. Επίσης, στην περίπτωση που η F έχει πυκνότητα, παρουσιάζει ενδιαφέρον η μεέτη της συνάρτησης m (t), η οποία ονομάζεται ανανεωτική πυκνότητα. Στην παρούσα εργασία μεετάται η μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας. Αρχικά κάνουμε μια επισκόπηση των κυριοτέρων αποτεεσμάτων. Στη συνέχεια η μονοτονία αυτή μεετάται περαιτέρω, τόσο με βάση κάποια θεωρήματα, όσο και μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων, ιδιαίτερα δε στην περίπτωση που η κατανομή F των ενδιαμέσων χρόνων ανήκει σε κάποια κάση αξιοπιστίας. 9

0

Abstract A renewal process is a generalization of a Poisson process in the case where the times between successive events are independent, identically distributed random variables, but not necessarily exponentially distributed. Such processes have many applications in diverse areas of applied research, such as reliability theory, risk theory and actuarial science in general, demography etc. In a renewal process, the quantity with the main interest is the renewal function, m(t), which counts the expected number of events in the interval [0, t ], when the interarrival times between events are independent with distribution F. Also, when F has a density, it is interesting to study the function m (t), known as the renewal density. In this dissertation, we study the monotonicity of the renewal density. First we review the main results in this area. Next, we examine further this monotonicity, using some theorems as well as via numerical results, in particular when the distribution F of interarrival times belongs to a reliability class of distributions.

3

Περιεχόμενα Κατάογος Πινάκων Κατάογος Σχημάτων Εισαγωγή Κεφάαιο, Η ανανεωτική συνάρτηση και η ανανεωτική πυκνότητα 5. Εισαγωγή 5. Ιδιότητες συνείξεων 6.. Θεωρήματα.. Ιδιότητες των συνείξεων 6 7.3 Η ανανεωτική συνάρτηση 8.4 Πρακτικά παραδείγματα 0.4. Παράδειγμα ο 0.4. Παράδειγμα ο.5 Ασυμπτωτικές ιδιότητες μιας ανανεωτικής ανέιξης.6 Διαφορετικές μέθοδοι υποογισμού της ανανεωτικής συνάρτησης 4.6. Η βαθμίδα αποτυχίας 4.6. Μέθοδος μετασχηματισμών Laplace 5 Κεφάαιο, Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση 7 που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων είναι Γάμμα. Εισαγωγή 7. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 7 κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,).. Η k-οστή συνέιξη της F 8.. Η ανανεωτική πυκνότητα 9..3 Η ανανεωτική συνάρτηση..4 Μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας.3 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 3 κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ανήκει στην Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,3).3. Η ανανεωτική πυκνότητα 3.3. Η ανανεωτική συνάρτηση 5.3.3 Μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας 5.4 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 7 κατανομή F είναι Γάμμα με παραμέτρους και 4..4. Η ανανεωτική πυκνότητα 8.4. Η ανανεωτική συνάρτηση 8.4.3 Μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας 9.5 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 3 κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ανήκει στην εκθετική Ε().5. Η εκθετική κατανομή. 3.5. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας από τον τύπο των 3 xvii xix 4

συνείξεων.5.α Η ανανεωτική πυκνότητα 3.5..β Η ανανεωτική συνάρτηση 33.5.3 Εύρεση ανανεωτικής πυκνότητας με τη μέθοδο Laplace 33.5.3.α Η ανανεωτική πυκνότητα 34.5.3.β Δεύτερος τρόπος εύρεσης της ανανεωτικής πυκνότητας 35 Κ Ε Φ Α Λ Α ΙΟ 3 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην 37 περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη μίξη εκθετικών και τη μίξη Weibull 3.Εισαγωγή 37 3. Η μίξη εκθετικών. 37 3.3 IFR και DFR κάσεις κατανομών. 38 3.3. Η βαθμίδα αποτυχίας για την περίπτωση της εκθετικής κατανομής. 39 3.4 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 39 κατανομή των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη μίξη εκθετικών. 3.4. Παράδειγμα για τον έεγχο της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην 40 περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη μίξη εκθετικών. 3.5 Μεέτη των ιδιοτήτων IFR και DFR για την Γάμμα κατανομή 43 3.6 Η κατανομή Weibull 43 3.6. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 44 κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων είναι Weibull. 3.7 Η μίξη Weibull κατανομών. 45 3.8 Η ανανεωτική πυκνότητα στην περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων 46 χρόνων είναι μια μίξη Weibull κατανομών. 3.8. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η 47 κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη μίξη δύο DFR Weibull κατανομών. 3.8. Μεέτη μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας για την περίπτωση που η 49 κατανομή F είναι μίξη δύο IFR Weibull κατανομών. 3.9 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας με μετασχηματισμό Laplace για 5 την περίπτωση που οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν τη μίξη εκθετικών 3.9. Η ανανεωτική πυκνότητα με μετασχηματισμό Laplace 5 3.9. Η ανανεωτική πυκνότητα 5 3.9.3 Η παράγωγος της ανανεωτικής πυκνότητας 53 Κ Ε Φ Α Λ Α ΙΟ 4 Η ανανεωτική πυκνότητα στην περίπτωση που η κατανομή F 55 των ενδιάμεσων χρόνων είναι IFR Weibull 4.Εισαγωγή 55 4. Η ανανεωτική συνάρτηση για IFR Weibull κατανομές. 55 4.. Η ανανεωτική συνάρτηση για Weibull κατανομή με α=. 56 4.. Η ανανεωτική συνάρτηση για Weibull κατανομή με α=5. 59 4.3 Η ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας για IFR Weibull κατανομές. 6 4.3. Η ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας για Wei(,). 63 4.3. Η ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας για Wei(,5). 64 4.4 Η ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας για μίξη δύο Weibull IFR κατανομών. 66 Κ Ε Φ Α Λ Α ΙΟ 5 Η προσέγγιση της ανανεωτικής συνάρτησης από την 7 κανονική κατανομή για την περίπτωση που η F είναι IFR Weibull 5.Εισαγωγή 7 5. Η προσέγγιση της ανανεωτικής συνάρτησης για IFR Weibull κατανομές από την 7 5

κανονική κατανομή. 5.3 Η ανανεωτική συνάρτηση για Wei(,4). 73 5.4 Η συνάρτηση της ανανεωτικής πυκνότητας για Wei(,4). 75 5.5 Η ανανεωτική συνάρτηση για Wei(.5,5). 77 5.6 Η συνάρτηση της ανανεωτικής πυκνότητας για Wei(.5, 5). 80 5.7 Η ανανεωτική συνάρτηση για μεγάες τιμές της παραμέτρου α και για μεγάες 8 τιμές του χρόνου t. 5.7. Η ανανεωτική συνάρτηση για μεγάες τιμές της παραμέτρου α. 8 5.7. Η ανανεωτική πυκνότητα για μεγάες τιμές t. 8 Κ Ε Φ Α Λ Α ΙΟ 6 Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u(t). 83 6. Εισαγωγή 83 6. Έεγχος μονοτονίας της u(t) για την περίπτωση που η κατανομή F των 84 ενδιαμέσων χρόνων είναι Γ(,3). 6.. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας για την περίπτωση που η F 84 είναι Γ(,3) 6.. Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι 85 Γ(,3). 6.3 Έεγχος μονοτονίας της u(t) για την περίπτωση που η κατανομή F των 87 ενδιαμέσων χρόνων είναι Γ(,4). 6.3. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας για την περίπτωση που η 87 F είναι Γ(,4) 6.3. Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι 88 Γ(,4). 6.4 Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι Γ(,). 89 6.5 Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι 90 Wei(,α). 6.5. Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι 9 Wei(,) 6.5. Έεγχος μονοτονίας της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι 9 Wei(,5). 6.6 Έεγχος μονοτονίας της u(t) για την περίπτωση που η κατανομή F των 93 ενδιαμέσων χρόνων ακοουθεί την μίξη Γάμμα κατανομών. 6.6. Περίπτωση που η κατανομή F των ενδιαμέσων χρόνων ακοουθεί την μίξη 95 Γ(,4) με την Γ(n,3). 6.6. Περίπτωση που η κατανομή F των ενδιαμέσων χρόνων ακοουθεί την μίξη 97 Γ(,) με την Γ(n,4). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας μέσω της 99 οοκηρώσιμης συνάρτησης Q(t). 7.Εισαγωγή 99 7. Εφαρμογή της συνάρτησης Q(t) για την περίπτωση της ανανεωτικής πυκνότητας. 00 7.3 Εφαρμογή του Θεωρήματος 7. για την περίπτωση που η κατανομή F των 0 ενδιάμεσων χρόνων είναι Exp(). 7.4 Εφαρμογή των Θεωρημάτων 7. και 7. για την περίπτωση που η κατανομή F 0 των ενδιάμεσων χρόνων είναι Γ(,ν). 7.5 Εφαρμογή των Θεωρημάτων 7. και 7. για την περίπτωση που η κατανομή F 04 των ενδιάμεσων χρόνων είναι μια μίξη δύο Γάμμα κατανομών. 7.5.. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 04 6

7.5.. Η συνάρτηση g(x). 05 7.5.3 Η μίξη της Γ(0.9,) με την Γ(,) 06 7.6 Εφαρμογή των Θεωρημάτων 7. και 7. για την περίπτωση που η κατανομή F 07 των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί την μίξη δύο εκθετικών κατανομών. 7.6.. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 07 7.6.. Η συνάρτηση g(x). 08 7.6.3. Η μίξη της Εxp() με την Εxp(3). 08 Παραρτήματα Π Εντοές στο Mathematica Βιβιογραφία 7 7

Κατάογος Πινάκων Πίνακας 4. 6 Πίνακας 5. 74 Πίνακας 5. 78 8

9

Κατάογος Σχημάτων.: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(0.9,).: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,3) για t (0,.5) 6.3: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,3) για t (.5, 4) 7.4: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,3) για t (4, 5) 7.5: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,4) για t (0, ) 30.6: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,4) για t (, 3) 30 3. Η βαθμίδα αποτυχίας για την κατανομή (3.) 4 3. Η παράγωγος της βαθμίδας αποτυχίας για την συνάρτηση (3.3) 4 3.3 Η βαθμίδα αποτυχίας για την τη μίξη της Wei( 0.8, ) με την 48 Wei( 0.7, 3) 3.4 Η παράγωγος της βαθμίδας αποτυχίας για την τη μίξη της 49 Wei( 0.8, ) με την Wei( 0.7, 3) 3.5 Η βαθμίδα αποτυχίας για την τη μίξη της Wei(, ) με την 50 Wei( 3, 3) 3.6 Η παράγωγος της βαθμίδας αποτυχίας για την τη μίξη της 50 Wei(, ) με την Wei(3, 3) 3.7 Η ανανεωτική πυκνότητα συναρτήσει του χρόνου 5 3.8 Η παράγωγος της ανανεωτικής πυκνότητας συναρτήσει του χρόνου 53 4. Η συνάρτηση κατανομής της Wei(,) 57 4. Η συνάρτηση H (t) 58 4.3 το κοινό γράφημα της H (t) και της F(t) για την Wei(,) 58 4.4 Το γράφημα της m (t) για την Wei(,) 59 4.5 Η συνάρτηση H (t) για το διάστημα όπου t (0, 0,004) 60 4.6 το κοινό γράφημα της H (t) και της F(t) για t (0, 0,004) 60 4.7 το κοινό γράφημα της H (t) και της F(t) για t (0, 5) 6 4.8 το γράφημα της m (t) για την Wei(,5) 6 4.9 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Wei(,) 63 4.0 Η συνάρτηση h(t) για το διάστημα όπου t (, 4) 63 4. Η συνάρτηση h(t) για το διάστημα όπου t (.778, 4) 64 4. Η συνάρτηση h(t) για το διάστημα όπου t (0, 4) 64 4.3 Η συνάρτηση h(t) για το διάστημα όπου t (,5535, 4) 65 4.4 Το γράφημα της m (t) για την Wei(,) 65 9 4.5 Το κοινό γράφημα της F(t) και της H (t) για t (0, 9,3677 0 ) 67 4.6 το κοινό γράφημα της F(t) και της H (t) για t (0,) 67 4.7 Η συνάρτηση m(t) για το διάστημα όπου t (0, ) 68 4.8 Η συνάρτηση m (t) για το διάστημα t (0, ) 68 4.9 Η παράγωγος m (t) της ανανεωτικής πυκνότητας για το διάστημα t (0, 3) 69 5. Η γραφική παράσταση της ανανεωτικής συνάρτησης από τις τιμές του πίνακα 5. 75 5. Η γραφική παράσταση της ανανεωτικής πυκνότητας από τις τιμές του πίνακα 5. 77 5.3 Η γραφική παράσταση της ανανεωτικής συνάρτησης από τις τιμές του πίνακα 5. 79 5.4 Η γραφική παράσταση της ανανεωτικής πυκνότητας από τις τιμές του πίνακα 5. 80 6. Η ανανεωτική συνάρτηση για την περίπτωση που η F είναι Γ(,3) 85 0

6. Η συνάρτηση u (t) για την περίπτωση που η F είναι Γ(,3) 86 6.3 Η παράγωγος της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι Γ(,3) 86 6.4 Η ανανεωτική πυκνότητα για την περίπτωση που η F είναι Γ(,4) 87 6.5 Η συνάρτηση u (t) για την περίπτωση που η F είναι Γ(,4) 88 6.6 Η παράγωγος της συνάρτησης u (t) για την περίπτωση που η F είναι Γ(,4) 89 6.7 Η συνάρτηση u (t) για την περίπτωση που η F είναι Γ(0.9, ) 90 6.8 Η ανανεωτική πυκνότητα για την περίπτωση που η κατανομή F είναι Wei(,) 9 6.9 Η συνάρτηση u(t) για την περίπτωση που η κατανομή F είναι Wei(,) 9 6.0 Η ανανεωτική πυκνότητα για την περίπτωση που η κατανομή F είναι Wei(,5) 9 6. Η συνάρτηση u(t) για την περίπτωση που η κατανομή F είναι Wei(,5) 93 6. Η ανανεωτική πυκνότητα για την περίπτωση που η κατανομή Fτων ενδιάμεσων 96 χρόνων είναι μίξη της Γ(,4) με την Γ(,3) 6.3 Η συνάρτηση u (t) για την περίπτωση που η κατανομή Fτων ενδιάμεσων χρόνων 97 είναι μίξη της Γ(,4) με την Γ(,3) 6.4 Η ανανεωτική πυκνότητα για την περίπτωση που η κατανομή Fτων ενδιάμεσων 98 χρόνων είναι μίξη της Γ(0.9,) με την Γ(,4) 6.5 Η συνάρτηση u (t) για την περίπτωση που η κατανομή Fτων ενδιάμεσων χρόνων 98 είναι μίξη της Γ(0.9,) με την Γ(,4) 7. Η συνάρτηση g(x) για την περίπτωση που η κατανομή F των ενδιαμέσων χρόνων 04 είναι Γ(0.9,) 7. Η συνάρτηση g(x) για την περίπτωση της μίξης Γ(0.9,) με την Γ(,) για α=0.5 06 7.3 Η συνάρτηση g(x) για την περίπτωση της μίξης Γ(0.9,) με την Γ(,) για α=0.999 07 7.4 Η συνάρτηση g(x) για την περίπτωση της μίξης Exp() με την Exp(3) για Α =0.3 09

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συστήματα που, με την εμφάνιση κάποιου γεγονότος που παρατηρούμε, επανέρχονται από πιθανοθεωρητική άποψη στην αρχική τους κατάσταση, δηαδή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ανανεώνονται στο χρόνο, αποτεούν το αντικείμενο μεέτης της ανανεωτικής θεωρίας. Από μαθηματική άποψη, ένα τέτοιο σύστημα παριστάνεται με μια στοχαστική ανέιξη (οικογένεια τυχαίων μεταβητών) η οποία ονομάζεται ανανεωτική ανέιξη, δηαδή μια ανέιξη που απαριθμεί την εμφάνιση κάποιου γεγονότος (ενδεχομένου) και στην οποία οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ των διαδοχικών γεγονότων είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβητές. Σε ποά προβήματα εφαρμοσμένων πιθανοτήτων έχει ενδιαφέρον η μεέτη του αριθμού των ανανεώσεων και του χρόνου που χρειάζεται η κάθε ανανέωση σε ένα ανανεωτικό σύστημα. Στο Κεφάαιο δίνονται αναυτικά οι έννοιες της ανανεωτικής ανέιξης, ανανεωτικής συνέιξης και της ανανεωτικής συνάρτησης. Η ανανεωτική συνάρτηση είναι ο αναμενόμενος αριθμός των ανανεώσεων σε μια ανανεωτική διαδικασία και η παράγωγος αυτής (δηαδή ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάεται) καείται ανανεωτική πυκνότητα. Η συμπεριφορά της ως προς την μονοτονία είναι το κύριο αντικείμενο μεέτης αυτής της διπωματικής. Στη συνέχεια αφού δοθούν δυο παραδείγματα για την καύτερη κατανόηση των παραπάνω εννοιών αναφέρονται έξι σημαντικά ασυμπτωτικά θεωρήματα των ανείξεων με πιο σημαντικό το Θεώρημα.8 για την ανανεωτική πυκνότητα. Τέος αναφέρονται δυο εναακτικοί τρόποι υποογισμού της ανανεωτικής συνάρτησης (βαθμίδα αποτυχίας και μετασχηματισμός Laplace). Σημαντικές αναφορές για την ανανεωτική θεωρία μπορούν να βρεθούν στο βιβίο του Cox(96) ή στο βιβίο των Grimmet και Stirzaker (00). Το βασικό θέμα με το οποίο θα ασχοηθούμε στα επόμενα κεφάαια είναι η μεέτη της ύπαρξης ή μη μονοτονίας για την ανανεωτική πυκνότητα, εξετάζοντας διάφορες περιπτώσεις για την κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων, σε μια ανανεωτική διαδικασία. Πιο συγκεκριμένα στο Κεφάαιο βρίσκουμε την ανανεωτική πυκνότητα από τον ορισμό της, (χρησιμοποιώντας το αποτέεσμα της ενότητας.. δηαδή ότι η k- οστή συνέιξη της F με τον εαυτό της είναι επίσης μια Γάμμα κατανομή με παραμέτρους και νk όπου η F είναι μια Γάμμα κατανομή με παραμέτρους και ν) για την περίπτωση που η F είναι Γάμμα κατανομή και για τις περιπτώσεις που η παράμετρος ν πάρει τιμές,,3,4. Το αποτέεσμα για α= (περίπτωση εκθετικής) είναι ότι η ανανεωτική πυκνότητα είναι μια σταθερή συνάρτηση στο χρόνο (και πιο συγκεκριμένα ίση με την παράμετρο ), για α= παρατηρούμε ότι η ανανεωτική πυκνότητα είναι μια αύξουσα (μονότονη) συνάρτηση του χρόνου, κάτι που δεν ισχύει για τις περιπτώσεις όπου α=3 και α=4 όπου δεν υπάρχει μονοτονία για την ανανεωτική πυκνότητα.

Στο Κεφάαιο 3 θα χρησιμοποιήσουμε κάποια θεωρήματα για να δείξουμε ότι για την περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη μίξη εκθετικών η αντίστοιχη ανανεωτική πυκνότητα είναι πάντα φθίνουσα (μονότονη) συνάρτηση του χρόνου. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι δεν ισχύει πάντα ανάογο αποτέεσμα για την περίπτωση που η κατανομή F είναι μια μίξη Weibull κατανομών, αφού βρίσκοντας την βαθμίδα αποτυχίας σε ένα παράδειγμα θα διαπιστώσουμε ότι η συγκεκριμένη μίξη δυο IFR Weibull κατανομών δεν καταήγει σε IFR κατανομή, αφού η αντίστοιχη βαθμίδα αποτυχίας δεν είναι παντού μια μονότονη συνάρτηση. Δηαδή για την μίξη δυο DFR Weibull κατανομών γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η αντίστοιχη ανανεωτική πυκνότητα είναι πάντα φθίνουσα, ενώ η μίξη δυο IFR Weibull δεν γνωρίζουμε (δεν υπάρχει ανάογο θεώρημα με πριν) για την μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας. Τέος στην τεευταία ενότητα χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό Laplace σε ένα παράδειγμα για την μίξη εκθετικών για να εέγξουμε την μονοτονία της αντίστοιχης ανανεωτικής πυκνότητας. Στα Κεφάαια 4 και 5 θα μεετήσουμε την περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων είναι Weibull για α>. Για την περίπτωση αυτή η ανανεωτική πυκνότητα δεν μπορεί να υποογιστεί αναυτικά, για τον όγω αυτό θα χρησιμοποιήσουμε διάφορες προσεγγίσεις. Πιο συγκεκριμένα στο Κεφάαιο 4 (αφού αναφέρουμε χρονικά τους επιστήμονες που ασχοήθηκαν προγενέστερα με αυτή την περίπτωση) θα χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση των Constantine και Robinson (003) για την ανανεωτική συνάρτηση για να καταήξουμε σε συμπεράσματα για την μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας. Εξετάζοντας δύο περιπτώσεις Weibull κατανομής (α= και α=5) θα παρατηρήσουμε μη ύπαρξη μονοτονίας για την ανανεωτική πυκνότητα, σε αντίθεση με το παράδειγμα της μίξης Weibull όπου η ανανεωτική πυκνότητα είναι αύξουσα συνάρτηση ντου χρόνου. Στο Κεφάαιο 5 θα προσεγγίσουμε (μέσω παραδειγμάτων) την ανανεωτική συνάρτηση για την περίπτωση που οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν την Weibull κατανομή (για α>) μέσω της κανονικής κατανομής. Αφού παρουσιάσουμε στην αρχή κάποιες αναφορές για την περίπτωση αυτή (με την προσέγγιση της κανονικής κατανομής) θα αναφέρουμε και θα εφαρμόσουμε την προσέγγιση των Cui και Xie (003) για δύο περιπτώσεις IFR Weibull κατανομών μέσω δυο παραδειγμάτων. Επειδή με την παραπάνω προσέγγιση θα καταήξουμε σε δεδομένα και όχι σε κάποια μαθηματική σχέση για την ανανεωτική συνάρτηση, η ανανεωτική πυκνότητα αφού μετρά το ρυθμό με τον οποίο μεταβάεται η ανανεωτική συνάρτηση θα βρεθεί (για κάθε τιμή t) από την γενική σχέση, από όπου θα παρατηρήσουμε ότι οι αντίστοιχες ανανεωτικές πυκνότητες για τα δυο παραδείγματα δεν είναι μονότονες συναρτήσεις (δηαδή παντού αύξουσες ή παντού φθίνουσες). Από τη μεέτη των παραπάνω παραδειγμάτων των προηγούμενων κεφααίων (και κυρίως από τα σχήματα των ανανεωτικών πυκνοτήτων) γεννιέται το ερώτημα, μήπως για τα παραδείγματα που δεν παρατηρήθηκε μονοτονία για τις αντίστοιχες ανανεωτικές πυκνότητες ευθύνεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής. 3

Στο πρώτο μέρος του Κεφααίου 6 καούμε u (t) την συνάρτηση που προκύπτει αν αφαιρέσουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας από τον τύπο της ανανεωτικής πυκνότητας και στη συνέχεια εξετάζουμε τα παραδείγματα του κεφααίου (περίπτωση που η κατανομή F ακοουθεί την Γάμμα κατανομή) καταήγουμε στο συμπέρασμα ότι συνάρτηση u (t) είναι τώρα μια μονότονη συνάρτηση αποτέεσμα που δεν ίσχυε για την ανανεωτική πυκνότητα. Στο δεύτερο μέρος του κεφααίου 6 μεετούμε τα δύο παραδείγματα του κεφααίου 4 για IFR Weibull κατανομή από όπου φαίνεται ότι η συνάρτηση u (t) μπορεί να είναι μονότονη, με την προϋπόθεση ότι οι μικρές διακυμάνσεις στη μονοτονία οφείονται στο γεγονός ότι η ανανεωτική συνάρτηση υποογίζεται προσεγγιστικά για τις περιπτώσεις αυτές. Στο τρίτο μέρος του κεφααίου 6 παρατηρούμε την μη ύπαρξη μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας εξετάζοντας δύο παραδείγματα που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη μίξη δύο Γάμμα κατανομών (για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων). Τέος στο Κεφάαιο 7 παραθέτουμε το άρθρο του Weiner (965), ο οποίος αναφέρει τις προδιαγραφές και περιορισμούς που πρέπει να ικανοποιεί μια οοκηρώσιμη συνάρτηση για να είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα (μονότονη). Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το παραπάνω θεώρημα για μια ειδική περίπτωση του παραπάνω θεωρήματος για την ύπαρξη ή μη μονοτονίας για την ανανεωτική πυκνότητα. Αφού προσδιορίσουμε τις προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να είναι μονότονη η ανανεωτική πυκνότητα, συνεχίζουμε εξετάζοντας διάφορα παραδείγματα για την κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων, από όπου παρατηρούμε (για συγκεκριμένα παραδείγματα) ότι για την περίπτωση που η F είναι μια Γάμμα κατανομή και για την περίπτωση της μίξης δύο Γάμμα κατανομών, οι αντίστοιχες ανανεωτικές πυκνότητες δεν είναι μονότονες. 4

5

. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ανανεωτική συνάρτηση και η ανανεωτική πυκνότητα. Στο κεφάαιο αυτό δίνουμε τους ορισμούς και κάποια πρακτικά παραδείγματα των κυριοτέρων εννοιών που εμφανίζονται στην ανανεωτική θεωρία (renewal theory). Η πιο σημαντική συνάρτηση που απαντάται σε αυτή τη θεωρία είναι η ανανεωτική συνάρτηση (renewal function) η παράγωγος της οποίας ονομάζεται ανανεωτική πυκνότητα και είναι το βασικό αντικείμενο μεέτης στην παρούσα διπωματική. Αφού δώσουμε τον ορισμό μιας ανανεωτικής ανέιξης θα συνεχίσουμε με κάποια βασικά θεωρήματα και ιδιότητες για τις ανανεωτικές ανείξεις για να εισάγουμε στη συνέχεια την έννοια της ανανεωτικής συνάρτησης και της ανανεωτικής πυκνότητας. Στην ενότητα.4 θα παραθέσουμε κάποια πρακτικά και χρήσιμα παραδείγματα που έχουν εφαρμογή η ανανεωτική συνάρτηση και πυκνότητα και θα βοηθήσουν στην καύτερη κατανόηση των παραπάνω εννοιών. Στη συνέχεια στην ενότητα.5 θα αναφέρουμε κάποια βασικά θεωρήματα που στηρίζονται στις ασυμπτωτικές ιδιότητες και έχουν εφαρμογή, μεταξύ άων, στη στατιστική συμπερασματοογία για την ανανεωτική συνάρτηση. Μία ανανεωτική ανέιξη {N(t), t 0} είναι μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία, όπου στο χρονικό διάστημα [0, t] έχουμε τη πραγματοποίηση n φορές των ζητούμενων γεγονότων, όπου οι ενδιάμεσοι χρόνοι (πραγματοποίησης των γεγονότων) είναι ανεξάρτητες και ισόνομες μεταβητές. Ασυμπτωτικά οι ανανεωτικές ανείξεις ερμηνεύονται από την ανανεωτική εξίσωση, από το από ανανεωτικό θεώρημα και από το βασικό ανανεωτικό θεώρημα. Ορισμός.: Μία ανανεωτική ανέιξη Ν={N(t), t 0 } είναι μια στοχαστική ανέιξη, δηαδή μια οικογένεια τυχαίων μεταβητών, όπου N(t)=max{n : T n t}, T 0 = 0, T n = X + X +... + X n για n και { X i } είναι μία ακοουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβητές. 6

. Ιδιότητες συνείξεων Σε μια ανανεωτική ανέιξη όπως είδαμε εξετάζουμε αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβητών. Για το όγο αυτό μια πού βασική έννοια στην ανανεωτική θεωρία είναι η έννοια της συνέιξης, την οποία εξετάζουμε στην παρούσα ενότητα. Στην παρούσα παράγραφο θα δοθούν κάποιες βασικές ιδιότητες των συνείξεων καθώς επίσης και δύο σημαντικά και βασικά θεωρήματα που χρησιμοποιούνται για τον υποογισμό της ανανεωτικής συνάρτησης και αποτεούν χρήσιμα εργαεία για την επίυση σημαντικών προβημάτων. Οι παρακάτω ιδιότητες και τα θεωρήματα βρίσκονται στις σημειώσεις του Κ. Ποίτη (009)... Θεωρήματα Θεώρημα.. Η συνέιξη δύο αθροιστικών (συνεχών) κατανομών έστω F και H συμβοίζεται με ( F H )( x) και δίνεται από την παρακάτω σχέση η οποία είναι ισοδύναμη με την x ( F H )( x) = F( x t) dh ( t) 0 x ( F H )( x) = F( x t) h( t) dt με την προϋπόθεση ότι υπάρχει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας h (t). Αντίστοιχα με το Θεώρημα. για τις αθροιστικές συναρτήσεις κατανομών, ισχύει και για τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας αυτών Θεώρημα. Η πυκνότητα πιθανότητας της συνέιξης ( F * H )( x) συμβοίζεται με ( f * h)( x) και δίνεται από την παρακάτω σχέση 0 x ( f h)( x) = f ( x t) h( t) dt όπου f,h είναι οι πυκνότητες των F,H αντίστοιχα. 0 7

Στη συνέχεια παραθέτουμε δύο σημαντικές ιδιότητες των συνείξεων που βοηθούν σημαντικά στην αποποίηση των υποογισμών... Ιδιότητες των συνείξεων Οι ανανεωτικές ανείξεις έχουν κάποιες βασικές ιδιότητες που βοηθούν σημαντικά στη μεέτη των αντίστοιχων προβημάτων. Ιδιότητα. Μία από τις σημαντικές ιδιότητες των συνείξεων είναι ότι, αν X, Y δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβητές με αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής F (x) και H (x) αντίστοιχα τότε η συνάρτηση κατανομής του αθροίσματος X + Y είναι η συνέιξη αυτών δηαδή η ( F H )( x) Ιδιότητα.. Με δεδομένο ότι η κατανομή μιας μεταβητής X+Y είναι ίδια με αυτή της Y+X ισχύει ότι δηαδή ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. ( F H )( x) = ( H * F)( x) Ιδιότητα.3. Η σειρά των συναρτήσεων στη συνέιξη δεν παίζει ρόο, δηαδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα και πιο συγκεκριμένα για την συνέιξη τριών συναρτήσεων ισχύει η παρακάτω σχέση.3 Η ανανεωτική συνάρτηση [( F H ) * D]( x) = [( F * ( H * D)]( x). Στη παρούσα εργασία θα ασχοηθούμε με τη μεέτη των ιδιοτήτων της ανανεωτικής συνάρτησης m(t) και ειδικότερα με την συμπεριφορά ως προς τη μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας. Σε αυτή την ενότητα, αφού δώσουμε τον ορισμό της ανανεωτικής συνάρτησης, θα αναφέρουμε δύο προτάσεις. Ορισμός.. Σε μια ανανεωτική ανέιξη { N ( t) : t 0} η ανανεωτική συνάρτηση είναι η μέση τιμή, για κάθε t, της τυχαίας μεταβητής N(t). Η ανανεωτική συνάρτηση συμβοίζεται με m(t) 8

Συνεπώς έχουμε ότι: m ( t) = E( N( t)) Πρόταση.. Για κάθε φυσικό ακέραιο n, ισχύει: * n *( n) P { N ( t) = n} = F ( t) F ( t) n όπου F * είναι η n-τάξεως συνέιξη της F με τον εαυτό της. Απόδειξη Γνωρίζουμε ότι { N( t) n} συνεπάγεται ότι { S n t} ενδεχόμενα είναι ισοδύναμα, άρα P{ N( t) = n} = P{ N( t) n} P{ N( t) n } = P{ Sn t} P{ Sn t} = P{ X +... + X n t} P{ X +... + X n t} * n *( n) = F ( t) F ( t). Πρόταση.. Για την ανανεωτική συνάρτηση m ( t) = E( N( t)) ισχύει ότι m ( t ) = n= F * n t ( ) δηαδή τα δύο Απόδειξη Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβητές Wn = Wn (t), n με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει: W n = αν η n-οστή ανανέωση συνέβη στο διάστημα [0,t] και W n =0 αού. Από τον παραπάνω ορισμό το ενδεχόμενο W n = είναι ισοδύναμο με το ενδεχόμενο S n t άρα E{ Wn} = P{ Wn = } + 0 P{ Wn = 0} = P{ Wn = } 9

Επειδή από τον ορισμό N( t) = n= = P{ S n t} = P{ X +... + X n t} * = F n ( t) W n έχουμε ότι m ( t) = E{ N( t)} { = E W n } n= = n= E{ W n } = n= * n ( t F ) (.) Ένα άμεσο αποτέεσμα από την σχέση (.) για την ανανεωτική συνάρτηση είναι το αντίστοιχο αποτέεσμα για την ανανεωτική πυκνότητα όπου με βάση τις ιδιότητες των συνείξεων βρίσκεται από τη συνέιξη της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας και πιο συγκεκριμένα από την παρακάτω σχέση m (t) = f * n ( t ) n= (.) Η ανανεωτική συνάρτηση είναι ο αναμενόμενος αριθμός ανανεώσεων στο χρονικό διάστημα [0,t] και η ανανεωτική πυκνότητα ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάεται ο αναμενόμενος αριθμός των ανανεώσεων. Τέος υπάρχει και ο παρακάτω τύπος υποογισμού για την ανανεωτική συνάρτηση ο οποίος χρησιμοποιείται ως βάση για ποούς τρόπους προσέγγισης της ανανεωτικής συνάρτησης σε περιπτώσεις που δεν μπορεί να υποογιστεί άμεσα από τον τύπο (.). t m( t) = F( t) + m( t x) f ( x) dx (.3) 0 Για περισσότερες επτομέρειες και σχόια ο αναγνώστης παραπέμπεται στο βιβίο του Θ. Αρτίκη (99). Με παραγώγιση της (.3) προκύπτει ότι η αντίστοιχη εξίσωση για την ανανεωτική πυκνότητα είναι: t m ( t) = f ( t) + m ( t x) f ( x) dx (.4) 0 30

.4 Πρακτικά παραδείγματα Οι ανανεωτικές ανείξεις έχουν ποαπές εφαρμογές σε προβήματα πιθανότητας και γενικότερα σε συστήματα που ανανεώνονται. Τέτοια συστήματα έχουν εφαρμογή στη θεωρία αξιοπιστίας και στην οικονομία, ιδιαίτερα δε σε αναογιστικά προβήματα. Στη παρούσα παράγραφο θα αναφέρουμε ένα παράδειγμα για την θεωρία αξιοπιστίας και μία εφαρμογή σε μια ασφαιστική εταιρία..4. Παράδειγμα ο Σε ένα οικιακό ηεκτρικό πίνακα απαραίτητη προϋπόθεση για να έχει το σπίτι ηεκτρικό ρεύμα είναι να ειτουργεί η κεντρική ηεκτρική ασφάεια. Έστω ότι από ένα πήθος ηεκτρικών ασφαειών που διαθέτουμε, τίθεται σε ειτουργία την χρονική στιγμή 0 η πρώτη ασφάεια της οποίας ο χρόνος ειτουργίας είναι συνεχής τυχαία μεταβητή X.Τη στιγμή κατά την οποία η πρώτη ασφάεια πάψει να ειτουργεί αντικαθίσταται (ανανεώνοντας το σύστημα) από μία άη, της οποίας ο χρόνος ειτουργίας είναι επίσης συνεχής τυχαία μεταβητή X, η οποία έχει την ίδια κατανομή με την X κοκ. Ο χρόνος πραγματοποίησης της n ανανέωσης περιγράφεται από την τυχαία μεταβητή S n = X + X +... + X n, n Υποθέτοντας ότι οι τυχαίες μεταβητές X i, i =,,..., n και n είναι ανεξάρτητες και ακοουθούν την ίδια κατανομή, τότε η τυχαία μεταβητή N (t) η οποία παίρνει τιμές N ( t) = n αν S n t Sn+, n 0 δίνει στο χρονικό διάστημα [0,t] τον αριθμό των ανανεώσεων..4. Παράδειγμα ο Θεωρούμε ότι στη διάρκεια μιας ημέρας καταφθάνουν σε μία ασφαιστική εταιρία n τον αριθμό (τυχαία μεταβητή) απαιτήσεις για αποζημίωση, έστω X i, i =,,..., n τυχαίες συνεχείς μεταβητές που παριστάνουν τους χρόνους μεταξύ δυο διαδοχικών αποζημιώσεων. Υποθέτοντας ότι οι τυχαίες μεταβητές X i, i =,,..., n και n 3

είναι ανεξάρτητες και ακοουθούν την ίδια κατανομή, τότε η τυχαία μεταβητή S n = X + X +... + X n, n δηώνει το χρόνο άφιξης της n-οστής αποζημίωσης στην ασφαιστική εταιρία στη διάρκεια μιας ημέρας και τέος στο χρονικό διάστημα [0,t] ο αριθμός των ανανεώσεων περιγράφεται από την τυχαία μεταβητή N(t) για την οποία ισχύει και πάι N ( t) = n αν S n t Sn+, n 0 Υπάρχουν και τεχνικές που εφαρμόζονται σε διάφορα συστήματα, όπου η ανανέωση γίνεται σε ένα προκαθορισμένο χρόνο. Πιο συγκεκριμένα αν η φθορά συμβεί πέραν του καθορισμένου χρόνου τότε η συσκευή αντικαθίσταται πριν χαάσει. Ενώ αν η φθορά επέθει πριν από τον προκαθορισμένο χρόνο τότε αντικαθίσταται κανονικά στο χρόνο φθοράς..5 Ασυμπτωτικές ιδιότητες μιας ανανεωτικής ανέιξης Στην παράγραφο αυτή θα ασχοηθούμε με σε ασυμπτωτικά θεωρήματα ανανεωτικών ανείξεων υποθέτοντας ότι οι ενδιάμεσοι χρόνοι είναι μη διακριτές τυχαίες μεταβητές που θα μας βοηθήσουν στην επίυση ποών προβημάτων που σχετίζονται με ανανεωτικές διαδικασίες. Περισσότερες επτομέρειες μπορούν να βρεθούν στο βιβίο των Grimmet and Stirzaker (00). Θεώρημα.3 Θεωρώντας ότι υπάρχει η μέση τιμή της F και η κατανομή είναι μη διακριτή (nonlattice), δηαδή µ = E( X) και µ < ισχύει N ( t) a. s t µ καθώς το t Θεώρημα.4 Αν θεωρήσουμε ότι υπάρχει εκτός της μέσης τιμής της F και η διακύμανσή της δηαδή σ = Var( X) και ικανοποιεί την συνθήκη 0 < σ < τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε στατιστική συμπερασματοογία για τον έεγχο υποθέσεων χρησιμοποιώντας την σύγκιση της παρακάτω στατιστικής συνάρτησης N( t) t / µ D N(0,) 3 καθώς το t, tσ / µ 3

όπου το σύμβοο D δηώνει σύγκιση κατά κατανομή. Θεώρημα.5 (Από ανανεωτικό θεώρημα) Σε αντιστοιχία με το Θεώρημα.3 ισχύει το ανάογο για την ανανεωτική συνάρτηση m (t), δηαδή m( t) t µ καθώς το Θεώρημα.6 Αν οι ενδιάμεσοι χρόνοι είναι μη αριθμήσιμοι ισχύει ότι h m( t + h) m( t) µ t καθώς το t και για κάθε h. Τέος αναφέρουμε ένα βασικό θεώρημα με ποές εφαρμογές σε προβήματα θεωρίας κινδύνου. Θεώρημα.7 Βασικό Ανανεωτικό Θεώρημα (Key Renewal Theorem) Έστω μια συνάρτηση g :[0, ) [0, ) Αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: (α) g ( t) 0 για κάθε t (β) η συνάρτηση g είναι οοκηρώσιμη και φραγμένη, δηαδή g( t) dt < (γ) η g είναι μία φθίνουσα συνάρτηση, τότε ισχύει t g( t x) dm( x) g( x) dx µ 0 0 0 καθώς το t Τέος ένα άο θεώρημα για την ανανεωτική πυκνότητα αναφέρει ότι : Θεώρημα.8 : Αν η συνάρτηση F έχει μέση τιμή μ και πυκνότητα f τότε ισχύει : lim t m ( t) = µ 33

Τα παραπάνω θεωρήματα μπορούν να αναζητηθούν στο βιβίο των Grimmet and Stirzaker (00)..6 Διαφορετικές μέθοδοι υποογισμού της ανανεωτικής συνάρτησης Στις προηγούμενες ενότητες αναφέραμε ότι η ανανεωτική συνάρτηση ικανοποιεί την σχέση m(t) = F * n ( t ) n= Αυτή είναι μία μέθοδος υποογισμού της ανανεωτικής συνάρτησης και βρίσκει εφαρμογές για την περίπτωση που οι ενδιάμεσοι χρόνοι μιας ανανεωτικής διαδικασίας ακοουθούν την κατανομή, Εκθετική, Γάμμα, Μείξη εκθετικών και άες κατανομές. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν κατανομή (όπως Weibull, Pareto κάποιες περιπτώσεις μίξης κατανομών κα) που το παραπάνω άθροισμα δεν υποογίζεται και έτσι δεν μπορούμε να καταήξουμε σε συμπεράσματα για την συμπεριφορά της ανανεωτικής συνάρτησης. Για αυτές τις περιπτώσεις υπάρχουν έμμεσοι τρόποι για να εέγξουμε με ασφάεια τη συμπεριφορά της ανανεωτικής συνάρτησης. Στην παρούσα ενότητα θα ασχοηθούμε με δύο τρόπους. Πρώτα θα αναφέρουμε την βαθμίδα αποτυχίας και στη συνέχεια τη μέθοδο Laplace..6. Η βαθμίδα αποτυχίας Στην περίπτωση που μια κατανομή είναι συνεχής, η βαθμίδα αποτυχίας ή ένταση αποτυχίας είναι εξ ορισμού ίση με τη παρακάτω σχέση ( x ) = f ( x ) F ( x ) (.5) όπου F ( x) = F ( x) είναι η ουρά της κατανομής και f (x) η πυκνότητα πιθανότητας αυτής. Με αυτή την μέθοδο δεν καταήγουμε σε κάποια σχέση για την ανανεωτική συνάρτηση, αά μέσω της μονοτονίας της βαθμίδας αποτυχίας μπορούμε να βγάουμε ασφαή συμπεράσματα για την μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας βασιζόμενοι σε κάποια θεωρήματα, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Στο κεφάαιο 3 παραθέτουμε κάποια διευκρινιστικά παραδείγματα και χρήσιμα θεωρήματα για διάφορες περιπτώσεις κατανομών. 34

.6. Μέθοδος μετασχηματισμών Laplace Η διαφορά αυτής της μεθόδου με την προηγούμενη, είναι ότι με τον μετασχηματισμό Laplace μπορούμε να καταήξουμε σε μια σχέση για την ανανεωτική συνάρτηση. Ο μετασχηματισμός Laplace μιας κατανομής με πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι: Ο συμβοισμός για το μετασχηματισμό Laplace μιας συνάρτησης f είναι το σύμβοο ^ πάνω από την συνάρτηση ή το σύμβοο L ( f ( x)). Δύο βασικές ιδιότητες για μετασχηματισμούς Laplace είναι τα εξής: (.6) Ιδιότητα Αν f, f δύο συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας τότε ο μετασχηματισμός Laplace της συνέιξής τους ισούται με το γινόμενο των επιμέρους Laplace, πιο συγκεκριμένα ισχύει η παρακάτω ισότητα και στην γενική περίπτωση ισχύει ^ ( f * f )( s) = ( f ^ )( s ) ( f ^ )( s) ^ * k ^ f ( s) = [ f ( s)] k. (.7) Ιδιότητα είδαμε στις προηγούμενες ενότητες ότι για την ανανεωτική συνάρτηση ισχύει m(t) = F * n ( t ) n= Οπότε χρησιμοποιώντας τον τύπο για την ανανεωτική πυκνότητα m (t) = n= * n ( s f ). Παίρνουμε την πυκνότητα με μετασχηματισμό Laplace L fˆ sx ( s) = e f ( x) dx 0 * m (s) = L [ f n ( s )] = n= ^ * f n ( s ) n= 35

= n= [ fˆ( s)] Στους παραπάνω υποογισμούς χρησιμοποιήσαμε την σχέση (.7) και στη συνέχεια αμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Laplace n. είναι γραμμική συνάρτηση το παραπάνω άθροισμα είναι άθροισμα γεωμετρικής πρόοδο άπειρων όρων, οπότε ισούται με L m fˆ( s) (s) = fˆ( s) (.8) Έχοντας την ανανεωτική πυκνότητα Laplace μπορούμε με αναστροφή να πάρουμε την ανανεωτική πυκνότητα και στη συνέχεια οοκηρώνοντάς τη να βρούμε την ανανεωτική συνάρτηση, στην περίπτωση που τα παραπάνω είναι δυνατά με αναυτικό τρόπο. 36

37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων είναι Γάμμα. Εισαγωγή Το βασικό πρόβημα με το οποίο θα ασχοηθούμε στη συνέχεια είναι η μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας για διάφορες περιπτώσεις της κατανομής F των ενδιάμεσων χρόνων. Στο παρόν κεφάαιο θα ασχοηθούμε με την συμπεριφορά της ανανεωτικής πυκνότητας, δηαδή με το ρυθμό μεταβοής του αναμενόμενου αριθμού των ανανεώσεων στο χρόνο, για την περίπτωση που η κατανομή F των ενδιαμέσων χρόνων είναι μια Γάμμα κατανομή. Πιο συγκεκριμένα στις επόμενες ενότητες θα παρατηρήσουμε την μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας όταν η F ακοουθεί την Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,) και θα διαπιστώσουμε ότι αυτή είναι αύξουσα συνάρτηση του χρόνου, κάτι που δεν ισχύει στην περίπτωση που η F ακοουθεί την Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,3) αφού η ανανεωτική πυκνότητα είναι συνάρτηση του ημίτονου, έχοντας σαν συνέπεια την μη ύπαρξη μονοτονίας στο διάστημα (0, ). Λόγω της διαφορετικότητας της ανανεωτικής πυκνότητας ως προς την μονοτονία για τις δύο παραπάνω κατανομές θα μεετήσουμε για μια επιπέον περίπτωση την Γ(,4), από όπου θα διαπιστώσουμε την μη ύπαρξη μονοτονίας. Τέος στην τεευταία ενότητα θα εέγξουμε την ύπαρξη ή όχι μονοτονίας για την ανανεωτική πυκνότητα για την απή περίπτωση της Γάμμα κατανομής δηαδή της εκθετικής με δυο τρόπους.. Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ακοουθεί τη Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,) Σε αυτή την ενότητα θα υποογίσουμε την ανανεωτική συνάρτηση m(t) όταν οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν τη Γάμμα κατανομή Γ(,) δηαδή με πυκνότητα 38

.. Η k-οστή συνέιξη της F x f ( x) = e x ( )! Αρχικά θα υποογίσουμε την κατανομή της κ-συνέιξης της F με τον εαυτό της, * δηαδή της F k ( x) όταν η συνάρτηση κατανομής της F(x) είναι Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,ν). * Συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε ότι η F k ( x) είναι και αυτή μια Γάμμα κατανομή με παραμέτρους και νk, δηαδή το άθροισμα (συνέιξη) k τυχαίων μεταβητών όπου η κάθε μια ακοουθεί την κατανομή Γ(,ν) (ισόνομες) και ταυτόχρονα είναι και ανεξάρτητες, ακοουθεί επίσης την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους και νk.. Από τον ορισμό της συνέιξης έχουμε ότι x * k *( k ) f ( x) = f ( x t) f ( t) dt Χρησιμοποιώντας την επαγωγική μέθοδο έχουμε ότι ον Ισχύει για k= (προφανές) αφού * f ( x) = 0 f ( x) ον Έστω ότι ισχύει για k=μ δηαδή νµ * µ νµ x f ( x) = x e ( νµ )! 3 ον Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για k=μ+ δηαδή νµ + ν * µ + νµ + ν x f ( x) = x e (.) ( νµ + ν )! χρησιμοποιώντας ότι * µ + * µ f ( x) = ( f * f )( x) Παίρνουμε ότι. 39

x ν νµ * µ + ν ( xt) νµ t f ( x) = ( x t) e t e dt ( ν )! ( νµ )! 0 νµ + ν x x * µ + e ν νµ f ( x) = ( x t) t dt ( νµ )!( ν )! 0 (.) Υποογίζοντας το παρακάτω οοκήρωμα με το πακέτο αγεβρικών υποογισμών Mathematica (βέπε παράρτημα.) και αμβάνοντας υπόψη ότι Γ(k)=(k-)! (όταν το k είναι ακέραιος ) παίρνουμε ότι x ν νµ ( x t) t dt 0 νµ + ν Γ( ν ) Γ( νµ ) = x Γ( νµ + ν ) νµ + ν ( ν )!( νµ )! = x (.3) ( νµ + ν )! Στη συνέχεια αντικαθιστώντας το παραπάνω αποτέεσμα της σχέσης (.3) στην σχέση (.) παίρνουμε την (.) νµ + ν x * µ + e νµ + ν ( ν )!( νµ )! f ( x) = x ( νµ )!( ν )! ( νµ + ν )! * µ + f ( x) νµ + ν νµ + ν x = x e (.4) ( νµ + ν )! Συνοψίζοντας αποδείξαμε ότι αν η f (x) ακοουθεί Γάμμα κατανομή με παραμέτρους * k Γ(,ν) τότε και η πυκνότητα της κ-οστής συνέιξης f ( x) Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,kν)... Η ανανεωτική πυκνότητα ακοουθεί επίσης Συνεχίζοντας στην εφαρμογή όπου οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν τη Γάμμα * k κατανομή Γ(,), η συνέιξη της πυκνότητας f ( x) ακοουθεί επίσης την Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,k). Η ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας για την συνέιξη δύο Γάμμα κατανομών ισούται από τον ορισμό με 40

m * ( t ) = f k ( x ). k = οπότε με αντικατάσταση στην σχέση (.) για ν= προκύπτει ότι Το παραπάνω άθροισμα δηαδή το m (t) = k t ( t) e = ( )! k k k t ( t) m ( t) = e = (k )! k k ( t) k = (k )! είναι η πιθανότητα να πάρει περιττή τιμή το X όταν το X ακοουθεί την κατανομή Poisson και το οποίο ισούται με sinh(t) (υπερβοικό ημίτονο του t) και το οποίο αποποιώντας το ισούται τεικώς με k ( t) = sinh(t) k = (k )! Οπότε η ανανεωτική πυκνότητα ισούται με..3 Η ανανεωτική συνάρτηση t t e = e t m ( t) e t = sinh( t) = e (.6) ( ) (.5) Για τον υποογισμό της ανανεωτικής συνάρτησης m (x) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (.) του κεφααίου δηαδή : x m( x) = m ( t) dt 0 4

4 με αντικατάσταση της παραπάνω σχέσης (.6) για την ανανεωτική πυκνότητα παίρνουμε ( )dt e x m x t = 0 ) ( ( )dt e x t = 0 = dt x e dt t x 0 0 = ( ) x e x ( ) = x e x ( ) x e x x m 4 ) ( = Για x=t έχουμε ( ) t e t m t 4 ) ( =..4 Μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας Ο έεγχος για την μονοτονία της ανανεωτικής πυκνότητας στην παραπάνω περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ανήκει στην Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,) θα γίνει αρχικά με το γράφημα της ) (t m με το t (από παράρτημα.3 για =0.9 και με βάση τη σχέση.6)

Σχήμα.: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(0.9,) m 0.45 0.45 0.4 0.375 0.35 0.35 0.75 3 4 5 6 t t Η ανανεωτική πυκνότητα (t) = e είναι προφανώς αύξουσα συνάρτηση του t, γεγονός το οποίο φαίνεται και από το παραπάνω γράφημα. m ( ) Συμπερασματικά όταν οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν την Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,) τότε η αντίστοιχη ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας δηαδή ο ρυθμός μεταβοής του αναμενόμενου αριθμού των ανανεώσεων στο χρόνο είναι αύξουσα συνάρτηση του t..3 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ανήκει στην Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Γ(,3) Στη προηγούμενη ενότητα παρατηρήσαμε την ύπαρξη μονοτονίας για την ανανεωτική πυκνότητα στην περίπτωση που η κατανομή F είναι Γάμμα με παραμέτρους και και πιο συγκεκριμένα είδαμε ότι αυτή είναι αύξουσα συνάρτηση του χρόνου t. Στη παρούσα παράγραφο θα υποογίσουμε την ανανεωτική συνάρτηση m(t) όταν οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν τη Γάμμα κατανομή Γ(,3) για την περίπτωση * k αυτή, η συνέιξη της πυκνότητας f ( x) θα ακοουθεί την Γ(,3κ) (αποτέεσμα από το προηγούμενη παράγραφο..)..3. Η ανανεωτική πυκνότητα 43

44 Ακοουθώντας τα ίδια βήματα της προηγούμενης περίπτωσης βρίσκουμε αρχικά την ανανεωτική πυκνότητα για την συνέιξη τριών Γάμμα κατανομών με βάση την σχέση. του κεφααίου. Πιο συγκεκριμένα έχουμε ότι : = = * ) ( ) ( k k t f t m. με αντικατάσταση του τύπου της συνέιξης ) ( * x f k προκύπτει ότι ( ) = = 3 )! (3 ) ( k t k k e t t m ( ) = = 3 )! (3 k k t k t e (.7) Το παραπάνω άθροισμα ισούται με ( ) = 3 )! (3 k k k t + + = 3 3 3 3 / 3 / t Sin t Cos e e t t (οι παραπάνω υποογισμοί με Mathematica μπορούν να βρεθούν στο παράρτημα.4) Στη συνέχεια αντικαθιστώντας την τεευταία σχέση στον τύπο για την συνάρτηση (t) m παίρνουμε το παρακάτω αποτέεσμα ( ) + + = 3 3 3 3 ) ( / 3 / ' t Sin t Cos e e e t m t t t = 3 3 3 3 ) ( / 3 / 3 ' t Sin e t Cos e t m t t (.8) Μια πρώτη παρατήρηση που μπορεί να γίνει, είναι ότι σε αντίθεση με την ανανεωτική πυκνότητα της ενότητας.. διαπιστώνουμε ότι στη σχέση για την ανανεωτική πυκνότητα περιέχονται οι συναρτήσεις του ημίτονου και του συνημίτονου οι οποίες προδιαθέτουν για την περιοδικότητα στη μονοτονία της ) (t m.

.3. Η ανανεωτική συνάρτηση Συνεχίζοντας τη μεθοδοογία θα υποογίσουμε τον αναμενόμενο αριθμό των ανανεώσεων για την διαδικασία που οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους και 3 δηαδή την ανανεωτική συνάρτηση m (x) η οποία για αυτή την περίπτωση ισούται από τον ορισμό με : x ' m( x) = m ( t) dt, 0 οπότε αντικαθιστώντας τον τύπο για την παράγωγο m (t) παίρνουμε ότι Και για x = t έχουμε x t t t t e Cos e Sin dt 3 / 3 3 / 3 = (.9) 3 0 = 3 x / 3 3 3 + 3 + x x x e 3Cos + 3Sin 9 3 t / 3t 3t m( t) = 3 + 3t + e 3Cos + 3Sin 9 ( για περισσότερη ανάυση βέπε παράρτημα.5).3.3 Μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας Εέγχοντας την παράγωγο της m (t) για να δούμε τη συμπεριφορά της ως προς τη μονοτονία της, παρατηρούμε όπως αναφέρθηκε και πιο πριν ότι αυτή είναι συνάρτηση του ημίτονου και του συνημίτονου, συνεπώς θα έχει ημιτονοειδή συμπεριφορά δηαδή θα αάζει περιοδικά πρόσημο συνεπώς η ανανεωτική πυκνότητα για κάποια διαστήματα θα είναι αύξουσα και σε κάποια άα θα είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου δηαδή μη ύπαρξη μονοτονίας. Συγκεκριμένα, παίρνοντας και πάι την παράγωγο της ανανεωτικής πυκνότητας που βρέθηκε πιο παραπάνω, βέπουμε ότι d m ( t) = m ( t) dt 45

d 3 t / 3 3t / 3t m ( t) = e Cos e 3Sin (.0) dt 3 9t / 3 3t m ( t) = 3e Sin (οι υποογισμοί για την παράγωγο βρίσκονται στο παράρτημα.6) Το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται και από τα τρία παρακάτω γραφήματα, όπου για t μεταξύ του μηδέν και του δυο η m (t) είναι αύξουσα, για t από δυο έως τέσσερα είναι φθίνουσα και στη συνέχεια γίνεται πάι αύξουσα για t από τέσσερα έως πέντε. Οι εντοές για τα παρακάτω τρία γραφήματα έγιναν για = και βρίσκονται στο παράρτημα.7) Σχήμα.: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,3) για t (0,.5) 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. m Ά 0. 0.4 0.6 0.8..4 Σχήμα.3: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,3) για t (.5, 4) 0.669 0.668 0.667 0.666 m Ά 0.665 0.664 3 4 5 6 t t 46

Σχήμα.4: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,3) για t (4, 5) 0.666666 0.666665 0.666664 0.666663 0.66666 0.66666 0.666659 m Ά 4. 4.4 4.6 4.8 5 t.4 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η κατανομή F είναι Γάμμα με παραμέτρους και 4. Είδαμε στις δυο προηγούμενες ενότητες ότι η συμπεριφορά της ανανεωτικής πυκνότητας, ως προς τη μονοτονία, είναι αρκετά διαφορετική. Ενώ η m (t) είναι αύξουσα όταν η F είναι Γ(,), δεν είναι στην περίπτωση Γ(,3). Για το όγω αυτό θα μεετήσουμε και μια άη περίπτωση για να έχουμε μια πηρέστερη εικόνα. Πιο συγκεκριμένα θα υποογίσουμε την ανανεωτική συνάρτηση m(t) όταν οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακοουθούν τη Γάμμα κατανομή Γ(,4), δηαδή στη περίπτωση που έχουμε τέσσερις ανεξάρτητους και ισόνομους ενδιάμεσους χρόνους, όπου ο κάθε ένας ακοουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο Exp() και θεωρούμε την τυχαία μεταβητή που ισούται με το άθροισμα αυτών των τεσσάρων χρόνων. * k Στην περίπτωση αυτή η συνέιξη της πυκνότητας f ( x) βέπε (..)..4. Η ανανεωτική πυκνότητα ακοουθεί την Γ(,4κ), Όπως και στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις που εξετάσαμε η ανανεωτική συνάρτηση πυκνότητας για την συνέιξη τεσσάρων Γάμμα κατανομών θα βρεθεί από την σχέση (.), δηαδή: 47

m * ( t ) = f k ( t ) k = m ( t) = k = ( t) 4k t e (4k )! ( t) 4k t = e k = (4k )! όπου το παραπάνω άθροισμα βρίσκεται με εντοές στο Mathematica (στο παράρτημα.8) και ισούται με: ( t) 4k = ( Sinh[ t] Sin[ t] (4k )! k = (.) οπότε αντικαθιστώντας το αποτέεσμα στη συνάρτηση της ανανεωτικής πυκνότητας έχουμε t m t = e ( ) ( Sinh[ t] Sin[ t] ) m t ( t) = e ( Sinh[ t] Sin[] t) Όπως και για τη περίπτωση που η F ήταν μια Γ(,3) έτσι και εδώ η ανανεωτική πυκνότητα είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση αποτέεσμα το οποίο προδιαθέτει για την περιοδικότητα στη μονοτονία της m (t)..4. Η ανανεωτική συνάρτηση Για να βρούμε την μαθηματική σχέση που περιγράφει τον αναμενόμενο αριθμό των ανανεώσεων για το συγκεκριμένο παράδειγμα όπου η F είναι μια Γ(,4) θα οοκηρώσουμε την ανανεωτική πυκνότητα m(x) στο διάστημα [0, x ] δηαδή : x m( x) = m ( t) dt 0 ( t e ( Sinh[ t] Sin[ t] ))dt x = (.) 0 48

( ) 8 x x = 3 + e + x + e ( Cos[ x] + Sin[ x] ) (οι υποογισμοί για το παραπάνω οοκήρωμα βρίσκονται στο παράρτημα.9).4.3 Μεέτη της μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία ανάυσης με πριν, βρίσκουμε την παράγωγο ' της m ( t) για να δούμε τη συμπεριφορά της ανανεωτικής πυκνότητας ως προς τη μονοτονία της από όπου παρατηρούμε ότι αυτή είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση, το οποίο σημαίνει ότι θα αάζει περιοδικά πρόσημο και άρα η ανανεωτική πυκνότητα θα είναι για κάποια διαστήματα φθίνουσα και για άα θα είναι αύξουσα. Συγκεκριμένα η παράγωγος της ανανεωτικής πυκνότητας ισούται με : '' d ' m ( t) = m ( t) dt d t = e ( Sinh[ t] Sin[ t] ) dt t = e m t ( t) = e t ( Sinh[ t] Sin[ t] ) + e ( Cosh[ t] Cos[ t] ) ( Sinh[ t] Sin[ t] + Cos[ t] Cosh[ t] ) Το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται και από τα παρακάτω γραφήματα, όπου για t μεταξύ του μηδέν και του δύο η m (t) είναι αύξουσα και για t από δύο έως τρία είναι φθίνουσα. Οι εντοές για τα παρακάτω δύο γραφήματα βρίσκονται στο παράρτημα.0. 49

Σχήμα.5: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,4) για t (0, ) m t 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.5.5 t Σχήμα.6: Η ανανεωτική πυκνότητα για την κατανομή Γ(,4) για t (, 3) m t 0.54 0.5 0.508 0.506 0.504 0.50..4.6.8 3 t.5 Έεγχος μονοτονίας της ανανεωτικής πυκνότητας στην περίπτωση που η κατανομή F των ενδιάμεσων χρόνων ανήκει στην εκθετική Ε() Στη τεευταία παράγραφο του κεφααίου αναφερθήκαμε στη μέθοδο Laplace ως έναν δεύτερο τρόπο υποογισμού της ανανεωτικής πυκνότητας και της ανανεωτικής συνάρτησης (για περιπτώσεις που δεν μπορεί να γίνει απευθείας υποογισμός της ανανεωτικής συνάρτησης). Σε αυτή τη παράγραφο θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο Laplace για την απή περίπτωση της Γάμμα κατανομής Γ(,) δηαδή της εκθετικής Ε(). Αρχικά αφού πρώτα δώσουμε τον ορισμό της εκθετικής κατανομής θα υποογίσουμε την ανανεωτική 50

πυκνότητα από τον τύπο των συνείξεων και θα διαπιστώσουμε ότι το αποτέεσμα και με τους δύο τρόπους είναι ίδιο (αφού οι δύο τρόποι είναι ισοδύναμοι)..5. Η εκθετική κατανομή. Η εκθετική όπως και η Γάμμα κατανομή είναι δύο μεγάες κάσεις συνεχών κατανομών που εξηγούν ή περιγράφουν φαινόμενα στα οποία εμφανίζονται μη αρνητικές τυχαίες μεταβητές. Πιο συγκεκριμένα αν ο αριθμός εμφάνισης ενός ενδεχομένου στο χρονικό διάστημα [0,t) ακοουθεί την διαδικασία Poisson με ρυθμό τότε οι ενδιάμεσοι χρόνοι της διαδικασίας Poisson μεταξύ των διαδοχικών εμφανίσεων του παραπάνω ενδεχομένου ακοουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο. Μία πρακτική εφαρμογή της εκθετικής κατανομής είναι η μοντεοποίηση του χρόνου μεταξύ διαδοχικών κήσεων σε ένα τηεφωνικό κέντρο η οποία αποτέεσε και την δημιουργία της κατανομής Erlang από τον μαθηματικό A.K.Erlang(878-99). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής είναι : t f ( t) = e για t 0 και f ( t) = 0 για t<0 Οοκηρώνοντας τη παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας στο διάστημα [0,t) έχουμε την εκθετική συνάρτηση κατανομής : t F( t) = e για t 0 και F ( t) = 0 για t<0 Ένα σημαντικό αποτέεσμα της εκθετικής κατανομής είναι ότι η μέση τιμή και η διακύμανση αυτής είναι εύχρηστες στη φυσική ερμηνεία αφού η μέση τιμή είναι το αντίστροφο της παραμέτρου : E ( x) = και V ( x) = Η πιο σημαντική ιδιότητα που κάνει ξεχωριστή την εκθετική κατανομή είναι η έειψη μνήμης. Η φυσική ερμηνεία αυτής είναι ότι η πιθανότητα μία καινούργια συσκευή ή ένας νέος οργανισμός να ειτουργεί ή να επιβιώσει αντίστοιχα περισσότερο από χρόνο t είναι ίδια με την αντίστοιχη πιθανότητα μιας συσκευής ή ένας οργανισμού που ειτουργεί ή έχει επιβιώσει ήδη για χρόνο z. Η μαθηματική έκφραση αυτής είναι : 5