ΜΑΣ : Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. d u du 5v u : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη u(v) dv dv (β) d d : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη () d d d (γ) (4 )(1 ) d : 1ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη () (ε) (ζ) 4 dw 4 z z 8 (1 ) : 4 ης τάξης, γραμμική, άγνωστη w(z) dz d y 1 d d : ης τάξης, γραμμική, άγνωστη y() y( ) : 1 ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη u(v) d (1 y). Να δείξετε ότι η () είναι λύση του ΠΑΤ : ( ) si( ) cos( ), ΠΑΤ: y ( ) y( ), y() 1, y() 1. (β) ( ) e, ΠΑΤ: y ( ) y( ) y( ), y(), y() 6 Τρόπος επίλυσης: Ελέγχουμε πρώτα τις αρχικές συνθήκες αν ισχύουν για τις (). Αν ναι, αντικαθιστούμε τις () στις δοθείσες ΣΔΕ για να δούμε αν τις ικανοποιούν.. Να βρεθεί ο γενικός τύπος της αναδρομικής ακολουθίας Picard για το ΠΑΤ ( ) 1 () Η αναδρομική ακολουθία Picard ορίζεται ως ( ), ( ) f ( s, ( s)) ( ( s) 1) 1 ( ) ( ( s) 1) 1 1 ( ) ( 1( s) 1) (s 1)
( ) ( ( s) 1) (s s 1) 4 1 4 ( ) ( ( s) 1) ( s s s 1) 4 4 4 4 5 ( ) ( ( s) 1) ( s s s s 1) 15 5 4 () 1 k k k1 k!( k1) 4. Έστω ( ) (συνεχή) συνάρτηση Cauchy. (β) Έστω συνάρτηση ( ) () () ακολουθία συνεχών συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα στην. Να δείξετε ότι η ( ) είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή). Να δείξετε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. ( ) Έχουμε ότι η συγκλίνει ομοιόμορφα στη (συνεχή) συνάρτηση (). Δηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει Ν τέτοιο ώστε N ( ) ( ) /. Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m (β) Έχουμε ότι η ( ) είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή) συνάρτηση (). Δηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ( ) ( ) / αλλά και Ν τέτοιο ώστε N ( ) ( ) / και m, N /. Άρα m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m 5. Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: dv 1 4v (β) d v d d cos e 5 6 1 (γ) e y d y() 1 cos d y() / 4 y (ε) y e y (ζ) d dw w 1 d w() 1 (η) d e si d 1 cos
Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες χωριζομένων μεταβλητών 1 8/ v ( ) C 6, C (β) si( ) e C, C 4 (γ) y( ) 1 e e (ε) e y Ce 1, C (ζ) 1 ( ),C e C (η) cos( ) y ( ) arca(1 ) 1 w 4 ( ) l(1 ) l(1 ) 1 6. Να βρεθεί ο ολοκληρωτικός παράγοντας για τις πιο κάτω ΣΔΕ: ( ) ( ) 4 (β) ( 1) w w y y Απάντηση: () (β) () e 7. Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: y e d (β) 1 y y d (γ) e d y(1) e1 d y() y dw 4w e (ε) 1 1 4y (ζ) d d w() 4 / Απαντήσεις: Οι ΣΔΕ είναι όλες γραμμικές 1 ης τάξης (η) cos( ) si cos d y 15 y( / 4) e y( ) Ce, C (β) y( ) Ce, C y( ) e 1 1 y ( ) (ε) 5 4 y( ) 1 C, C 5 (ζ) 4 e w( ) e 1 (η) (γ) y ( ) cos( ) cos( ) 8. Έστω () λύση του ΠΑΤ d p( ) ( ) g( ) d ( ) όπου τα,, γνωστά και οι p(), g() δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις. Να δειχτεί ότι s p( s) ( ) ( ) p s p d ( ) e e e g( s).
(Υπόδειξη: ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι e p( s) Πολλαπλασιάζουμε τη ΣΔΕ με τον ολοκληρωτικό παράγοντα d d 4.) () p( s) e και έχουμε ( ) ( ) ( ) g( ) ( s) ( s) ( s) g( s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s) g( s) s p( s) ( ) ( ) p s p d s 1 p( s) ( ) ( ) p s p d ( ) ( ) ( ) ( s) g( s) e e e g( s) () e e e g( s) 9. Το πεδίο διευθύνσεων (direcio field) μιας ΣΔΕ δίδεται πιο κάτω. Να σχεδιάσετε τη λύση που ικανοποιεί τη δοθείσα αρχική συνθήκη. Απάντηση: (β) y() =. 1. Μία πέτρα περιέχει δύο ραδιενεργά ισότοπα, RA1 και RA, τα οποία ανήκουν στην ίδια ραδιενεργή σειρά αυτό σημαίνει ότι το RA1 διασπάται στο RA, το οποίο μετά διασπάται σε σταθερά άτομα. Έστω ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA1 στο RA είναι 5 1 e kg/sec. Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA είναι ανάλογος της ποσότητας του RA, την οποία συμβολίζουμε με y(). Άρα ( ρυθμός μεταβολής του y() ) = (ρυθμός δημιουργίας) (ρυθμός διάσπασης). Αν η σταθερά αναλογίας (του RA) είναι k = και y() = 4 kg, να βρεθεί μια παράσταση για τη y().
Έστω y() η ποσότητα του RA. Τότε, μια και το RA1 διασπάται στο RA, ο ρυθμός διάσπασης του RA1 ισοδυναμεί με το ρυθμό δημιουργίας του RA. Άρα, έχουμε d 1 1 5e ky 5e y, y() 4, ό. ό ά. d 5 με λύση 185 5 8 y() e e 4 4. 11. Ένα φύλλο μαρουλιού από τα σκουπίδια περιέχει 99.99 % Carbo-14 σε σύγκριση με ένα φρέσκο φύλλο μαρουλιού. Αν ο χρόνος ημιζωής του Carbo-14 είναι 57 χρόνια, πόσο παλιό είναι το φύλλο από τα σκουπίδια; Έστω C() το ποσοστό Carbo-14 στο συγκεκριμένο φύλλο τη χρονική στιγμή (σε χρόνια) k το οποίο δίνεται από C( ) C() e, k. Γνωρίζουμε ο χρόνος ημιζωής του Carbo-14 είναι 57 χρόνια, που μας επιτρέπει να βρούμε το k από τη σχέση C( ) C() e.11. Τώρα, C ( ) 1 C().11 και το φύλλο είναι περίπου 1 μηνών. l k, έτσι έχουμε 57.11.9999.9999 e l.9999.85 1. Ένα μείγμα νερού με αλάτι εισέρχεται με ρυθμό 5L/mi σε ένα δοχείο το οποίο αρχικά περιείχε 15L καθαρού νερού. Το καλά αναδευμένο μείγμα εξέρχεται από το δοχείο με ρυθμό L/mi. Αν το μείγμα εισροής περιείχε. kg/l αλάτι, να βρεθεί η ποσότητα άλατος στο δοχείο οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Έστω () η ποσότητα άλατος τη χρονική στιγμή. Τότε ισχύει () και d R R I O d, όπου RI και RO, οι ρυθμοί εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. Ο ρυθμός εισόδου RI είναι RI =. kg/l 5L/mi = 1.5 Kg/mi. O ρυθμός εξόδου RO υπολογίζεται ως εξής: () RO L / m έ L / m ό.
Ο όγκος είναι 15 + (5L/m L/m) = 15 + L. Άρα, το ΠΑΤ που προκύπτει είναι d 1.5, () με λύση d 15 9 5 ( ) 45 45 1 (5 ) /. 6 1. Μετά θάνατον το σώμα, που αρχικά έχει θερμοκρασία 7 o C, αρχίζει να κρυώνει βάση του νόμου του Νεύτωνα (Newo's Law of Coolig), ο οποίος (σε αυτή την περίπτωση) λέει d k H M όπου H() είναι η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή (σε ώρες), M είναι η (σταθερή) θερμοκρασία του περιβάλλοντος (π.χ. του δωματίου όπου βρίσκεται το σώμα) και k > είναι μια σταθερά. Έστω ότι μετά από ώρες η θερμοκρασία του σώματος είναι 5 o C, και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι o C. Αν το σώμα βρέθηκε στις 4μ.μ. με θερμοκρασία o C, τι ώρα επήλθε ο θάνατος? Έστω H() η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή (σε ώρες) μετά θάνατο και έστω * η ώρα θανάτου (η οποία θα είναι αρνητική). Γνωρίζουμε ότι όπως επίσης και H * * ( ) 7, H ( ) 5. k H, H(), d Λύνοντας το ΠΑΤ, βρίσκουμε H ( ) 1e k. Από τα H * * ( ) 7, H ( ) 5 βρίσκουμε k *.65, 8.5. Άρα ο θάνατος επήλθε περίπου στις 7: π.μ.. 11. Μια πατάτα τοποθετείται σε ένα φούρνο θερμοκρασίας o C και ζεσταίνεται βάση της διαφορικής εξίσωσης k H d όπου H() είναι η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή (σε λεπτά) και k είναι μία σταθερά. Αν η θερμοκρασία της πατάτας είναι αρχικά o C όταν την τοποθετήσουμε στο φούρνο, και αν μετά από λεπτά η θερμοκρασία της πατάτας είναι 1 o C, να βρείτε μια παράσταση για τη θερμοκρασία της πατάτας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Έστω H() η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή (σε λεπτά). Γνωρίζουμε ότι
Η() =, Η() = 1, άρα έχουμε το ΠΑΤ k H, Η() =. Η λύση του d k είναι H ( ) Ce, C. Αφού Η() =, βρίσκουμε C = 18 και από το 7 Η() = 1, βρίσκουμε 1 4 k l.7. Επομένως 9.7 H ( ) 18 e, C.