ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό εισόδηµ του κτνλωτή πρµένει στθερό. Στην περίπτωση που το χρηµτικό εισόδηµ του κτνλωτή πρµένει στθερό, κθώς η τιµή ενός γθού µετβάλλετι υπάρχουν δύο ξεχωριστά ποτελέσµτ πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του, το ποτέλεσµ υποκτάστσης, το οποίο είνι πάντοτε ρνητικό κι το ποτέλεσµ εισοδήµτος, που µπορεί ν είνι θετικό, ρνητικό ή κι ίσο µε το µηδέν. πό τη µι µεριά, η µετβολή της τιµής κάποιου γθού έχει ως ποτέλεσµ το γθό υτό ν γίνει φθηνότερο ή κριβότερο σε σχέση µε κάποιο άλλο γθό, η τιµή του οποίου πρέµεινε στθερή. Το γεγονός υτό οδηγεί τον κτνλωτή σε υποκτάστση του κριβότερου γθού µε το φθηνότερο (ποτέλεσµ υποκτάστσης). πό την άλλη µεριά, κάθε µετβολή της τιµής ενός γθού έχει ως επκόλουθο τη µετβολή του πργµτικού εισοδήµτος του κτνλωτή, γεγονός που επηρεάζει τις γορές του (ποτέλεσµ εισοδήµτος). Συνεπώς, το ολικό ποτέλεσµ της µετβολής της τιµής ενός γθού στη ζητούµενη ποσότητά του είνι ίσο µε το άθροισµ των ποτελεσµάτων υποκτάστσης κι εισοδήµτος. Το ολικό υτό ποτέλεσµ µπορεί ν είνι, όπως θ δούµε στη συνέχει, ρνητικό, θετικό ή κι ίσο µε το µηδέν. Το τι κριβώς πρόσηµο θ έχει υτό εξρτάτι πό το είδος του γθού κι τ µεγέθη των δύο επιµέρους ποτελεσµάτων. Σύµφων µε την προσέγγιση του arshall, το πρόβληµ που ντιµετωπίζει ο κτνλωτής διτυπώνετι ως εξής: µεγιστοποίηση: = (, ) µε περιορισµό: Μ = + όπου είνι το επίπεδο χρησιµότητς του κτνλωτή, κι οι ποσότητες των γθών Χ κι Χ ντίστοιχ, Μ είνι το χρηµτικό εισόδηµ του κτνλωτή, το οποίο υτός ξοδεύει εξ ολοκλήρου γι την γορά των δύο γθών, η τιµή του γθού Χ κι είνι η τιµή του γθού Χ.
ι τη λύση του πρπάνω προβλήµτος σχηµτίζουµε τη συνάρτηση του Lagrange: L = (, ) + λ[μ ] όπου λ είνι ο πολλπλσιστής του Lagrange. Οι νγκίες συνθήκες πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση είνι: L L = = λ λ = = () () L = = λ (3) πό τις σχέσεις () κι () προκύπτει η συνθήκη ισορροπίς του κτνλωτή: = (συνθήκη ισορροπίς) (4) Σύµφων µε την πρπάνω σχέση, ο κτνλωτής µεγιστοποιεί τη χρησιµότητά του, µε δεδοµένο το χρηµτικό του εισόδηµ, ότν ο λόγος των ορικών χρησιµοτήτων των δύο γθών ισούτι µε τον λόγο των τιµών τους. πό τις ίδιες σχέσεις, δηλδή την () κι (), κόµη προκύπτει: λ = = (5) Επιπλέον, πολλπλσιάζοντς τη σχέση () µε κι τη () µε κι προσθέτοντς τις σχέσεις που έχουν προκύψει πίρνουµε: + = λ( + ) = λμ + Οπότε: λ= = = (6) Με βάση την πρπάνω σχέση, συµπερίνουµε ότι ο πολλπλσιστής του Lagrange (λ) δείχνει την επιπλέον χρησιµότητ που επιτυγχάνει ο κτνλωτής µε έν επιπλέον ευρώ. Με άλλ λόγι, ο πολλπλσιστής του Lagrange (λ)
εκφράζει την ορική χρησιµότητ του εισοδήµτος κι εφόσον i > κι i > (i =, ), ισχύει λ >. Λέγοντς πως ο πολλπλσιστής του Lagrange (λ) εκφράζει την ορική χρησιµότητ του εισοδήµτος εννοούµε ότι λ = d/d. υτό µπορούµε ν το δείξουµε ως εξής. Πίρνουµε τ ολικά διφορικά της συνάρτησης χρησιµότητς κι του εισοδηµτικού περιορισµού, που ντίστοιχ είνι: d = d + d (7) d = d + d (8) ντικθιστώντς στη σχέση (7) τις συνθήκες πρώτης τάξης = λ κι = λ κι λµβάνοντς υπόψη τη σχέση (8) βρίσκουµε: d = λ d + λ d = λ( d + d ) = λd => d λ= (ορική χρησιµότητ εισοδήµτος) d (9) πό τη λύση του συστήµτος των εξισώσεων () - (3) προκύπτουν οι συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall: ( ) = m,, ( ) = m,, Σύµφων λοιπόν µε την νάλυση του arshall, η ζητούµενη ποσότητ ενός γθού εξρτάτι πό την τιµή του, τις τιµές των άλλων γθών κι το χρηµτικό εισόδηµ του κτνλωτή. Πίρνοντς τ ολικά διφορικά των σχέσεων () - (3), γι συγκριτική σττική νάλυση, θ έχουµε: d + d dλ = λd d + d dλ = λd d d = d + d + d Το πρπάνω σύστηµ προυσιάζετι υπό µορφή µήτρων ως εξής: d λd = d λd dλ d+ d+ d 3
Η πρώτη µήτρ πό ριστερά, όπως είνι γνωστό, είνι η essian µήτρ, [Η]. Η επόµενη µήτρ περιλµβάνει τους γνώστους κι πιο συγκεκριµέν τις µετβολές των µετβλητών, [dv] κι η τρίτη περιλµβάνει τις µετβολές των πρµέτρων, [dp]. Οπότε: [Η] [dv] = [dp] => [dv] = [] - [dp] όπου [Η] - είνι η ντίστροφη της [Η]. ν υποθέσουµε [Η] - = [ ij ], τότε: d = d dλ 3 3 3 λd 3 λd 33 d+ d+ d Υπολογίζοντς ως προς d θ έχουµε: [ d+ d ] d = + + + () λd λd 3 d Πρτηρήσεις:. ν d = d = κι d, τότε πό τη σχέση () προκύπτει η εξίσωση του Slutsky : = λ+ 3 () Η εξίσωση υτή δείχνει την ολική επίδρση µίς µετβολής της τιµής του γθού Χ πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του. Όπως θ δούµε στη συνέχει, η επίδρση υτή είνι ποτέλεσµ δύο επιµέρους επιδράσεων, της επίδρσης υποκτάστσης κι της εισοδηµτικής επίδρσης.. `Οτν d = d = κι d, πό τη σχέση () πίρνουµε:, = 3 () 3. Στην περίπτωση που ο κτνλωτής πρµένει πάνω στην ίδι κµπύλη διφορίς, δηλδή d =, πό τη συνάρτηση χρησιµότητς έχουµε: d + d = (Π.). Σύµφων µε τις συνθήκες πρώτης τάξης: / = /, οπότε: 4
= ( / ) (Π.). ντικθιστώντς τη σχέση (Π.) στη σχέση (Π.) βρίσκουµε: d + d =, που συνεπάγετι: d d = (Π.3). Εφόσον ισχύει η σχέση (Π.3), πό την τρίτη σχέση των ολικών διφορικών των συνθηκών πρώτης τάξης, που είνι: d d = d + d + d θ έχουµε: d + d + d =. Οπότε, πό τη σχέση () προκύπτει: = λ (3) Η εξίσωση του Slutsky (σχέση ), λόγω των σχέσεων () κι (3) µπορεί ν γρφθεί κι ως εξής: =, (4) Ο όρος / στην πρπάνω εξίσωση του Slutsky δείχνει το ολικό ποτέλεσµ µίς µετβολής της τιµής του γθού Χ πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του, ότν η τιµή του γθού Χ κι το χρηµτικό εισόδηµ του κτνλωτή πρµένουν στθερά. κόµη, ο όρος υτός µς δίνει την κλίση της κµπύλης ζήτησης του γθού Χ. Ο πρώτος όρος στο δεύτερο µέλος της σχέσης (4) εκφράζει το ποτέλεσµ υποκτάστσης κι ο δεύτερος το ποτέλεσµ εισοδήµτος. Το ποτέλεσµ υποκτάστσης, όπως ήδη έχει νφερθεί, είνι πάντοτε ρνητικό (λ >, < κι λ < ). πό την άλλη µεριά, το πρόσηµο του ποτελέσµτος του εισοδήµτος εξρτάτι πό το τι γθό είνι το Χ γι τον κτνλωτή. ν το γθό Χ είνι κνονικό γθό, τότε / > κι το εισοδηµτικό ποτέλεσµ, που εκφράζετι πό τον όρο ( / ),, θ είνι ρνητικό. Στην περίπτωση που το Χ είνι κτώτερο γθό, θ ισχύει / < κι συνεπώς το εισοδηµτικό ποτέλεσµ θ είνι θετικό. Ενώ ότν το γθό Χ είνι ουδέτερο γθό, το ποτέλεσµ υτό θ είνι ίσο µε το µηδέν επειδή / =. πό τ προηγούµεν γίνετι φνερό ότι η κλίση της κτά arshall κµπύλης ζήτησης του γθού Χ, που εκφράζετι πό τον όρο /, µπορεί ν είνι ρνητική, ίση µε το µηδέν (πλήρως νελστική κµπύλη ζήτησης) ή κι θετική (περίπτωση γθού Giffen). Κτά την εξγωγή του ποτελέσµτος υποκτάστσης, ντί ν υποθέσουµε ότι ο κτνλωτής πρµένει πάνω στην ίδι κµπύλη διφορίς (d = ), µπορούµε ν υποθέσουµε ότι υτός, µετά την λλγή των σχετικών τιµών, διθέτει τόσο εισόδηµ όσο είνι πρίτητο γι την γορά του ρχικού συνδυσµού των ποσοτήτων των δύο γθών. Στην περίπτωση υτή ισχύει: d = d + d κι εποµένως: d + d + d =. Οπότε, πό τη σχέση () προκύπτει: d = λd + λd κι γι d = κι d θ έχουµε: 5
, = λ (5) Πρτηρούµε ότι κι στις δύο περιπτώσεις το ποτέλεσµ της υποκτάστσης είνι το ίδιο. `Ετσι, η εξίσωση του Slutsky, λόγω της σχέσης (5), µπορεί ν γρφθεί κι ως εξής: =,, (6) Ένς άλλος τρόπος ν κτλήξουµε στη σχέση (6) είνι ν υποθέσουµε ότι ο κτνλωτής ντί γι εισόδηµ, διθέτει ποσότητ πό το γθό Χ κι ποσότητ πό το γθό Χ. Κάτω πό υτή την υπόθεση, το πρόβληµ που ντιµετωπίζει ο κτνλωτής διτυπώνετι ως εξής: µεγιστοποίηση: = (, ) µε περιορισµό: + = + Στην περίπτωση υτή, η συνάρτηση του Lagrange είνι: L = (, ) + λ[ + - - ] πό τη συνάρτηση του Lagrange προκύπτουν οι πρκάτω νγκίες συνθήκες πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση: L L = = λ λ = = L = + = λ Πίρνοντς τ ολικά διφορικά των πρπάνω σχέσεων θ έχουµε: d + d dλ = λd d + d dλ = λd d d = d d d d + d + d 6
Εργζόµενοι όπως κι προηγούµεν, χρησιµοποιώντς τη µέθοδο των µήτρων θ έχουµε: d 3 λd d = λd 3 dλ 3 3 33 d d d d + d + d Υπολογίζοντς ως προς d, πίρνουµε την πρκάτω σχέση: [ ] d = λd + λd + d d d d + d + d (7) 3 Υποθέτοντς ότι οι ποσότητες κι των γθών Χ κι Χ που διθέτει ο κτνλωτής δεν µετβάλλοντι, δηλδή d = d = κι επιπρόσθετ ότι n γορστική δύνµη του κτνλωτή πρµένει στθερή, που σηµίνει ότι d + d = d, πό τη σχέση (7) προκύπτει: [ ] d = λd + λd + d+ d + d (8) 3 ν υποθέσουµε ότι µετβάλλετι η τιµή του γθού Χ, δηλδή d κι η τιµή του γθού Χ, κθώς κι το εισόδηµ του κτνλωτή πρµένουν στθερά, δηλδή d = d =, τότε πό τη σχέση (8) πράγετι ξνά η εξίσωση του Slutsky: = λ+ 3 (9) Στο πρκάτω σχήµ προυσιάζοντι οι επιδράσεις του εισοδήµτος κι της υποκτάστσης τόσο στην περίπτωση που η εξουδετέρωση της µετβολής του πργµτικού εισοδήµτος, που κολουθεί τη µετβολή της τιµής του γθού Χ, γίνετι µε βάση τη στθερότητ της χρησιµότητς του κτνλωτή, όσο κι στην περίπτωση που γίνετι µε βάση τη στθερότητ της γορστικής του δύνµης. Ο κτνλωτής ρχικά βρίσκετι σε ισορροπί στο σηµείο, όπου ο εισοδη- µτικός περιορισµός Μ εφάπτετι της κµπύλης διφορίς u. Η άριστη A ποσότητ του γθού Χ είνι. Μί µείωση της τιµής υτού του γθού θ έχει ως ποτέλεσµ τη µεττόπιση της γρµµής του εισοδηµτικού περιορισµού πό τη θέση Μ στη θέση Μ, γεγονός που οδηγεί τον κτνλωτή σε έν νέο σηµείο ισορροπίς, το. Στο σηµείο υτό, ο εισοδηµτικός περιορισµός Μ εφάπτετι της κµπύλης διφορίς u κι ντιστοιχεί µί µεγλύτερη ποσότητ 7
του γθού Χ, η. Στην προκειµένη περίπτωση, το ολικό ποτέλεσµ της µείωσης της τιµής του γθού Χ πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του είνι ίσο µε A την ποσότητ ( ). Η ύξηση υτή της ποσότητς του γθού Χ οφείλετι κτά έν µέρος στην υποκτάστση του γθού Χ µε το γθό Χ, το οποίο µετά τη µείωση της τιµής του έγινε φθηνότερο σε σχέση µε το γθό Χ, που η τιµή του πρέµεινε στθερή, κι κτά το υπόλοιπο µέρος στην ύξηση του πργµτικού εισοδήµτος του κτνλωτή (υποτίθετι ότι το γθό Χ είνι κνονικό γθό). Στο σχήµ, το ποτέλεσµ υποκτάστσης ντιστοιχεί στη µετκίνηση του κτνλωτή πάνω στην κµπύλη διφορίς u πό το σηµείο στο σηµείο κι το εισοδηµτικό ποτέλεσµ στη µετκίνηση του κτνλωτή πό το σηµείο στο σηµείο. Εποµένως, το ποτέλεσµ υποκτάστσης είνι ίσο µε την ποσότητ A ( ) κι το εισοδηµτικό ποτέλεσµ ίσο µε την ποσότητ ( ). `Ετσι, A A γίνετι φνερό ότι ( ) + ( ) = ( ). χ Μ Μ 4 Μ 3 B u u u.υ..e. B B = Μ Μ 3 Μ 4 Μ χ Στην περίπτωση που η γορστική δύνµη του κτνλωτή πρµένει στθερή, το ποτέλεσµ υποκτάστσης περιγράφετι µε τη µετκίνηση του κτνλωτή πάνω στον εισοδηµτικό περιορισµό Μ 4 Μ 4 πό το σηµείο στο σηµείο ', που έχει ως ποτέλεσµ την ύξηση της ζητούµενης ποσότητς του B γθού Χ κτά ( A A ) [=( )] µονάδες. Εδώ θ πρέπει ν σηµειώσουµε ότι εάν δεν έχουµε πειροελάχιστες µετβολές, η επίδρση της υποκτάστσης, 8
στην περίπτωση που η γορστική δύνµη του κτνλωτή πρµένει στθερή, µάλλον περιγράφετι µε µί κίνηση πό το σηµείο σε κάποιο σηµείο που βρίσκετι δεξιά του, µε συνέπει η επίδρση της υποκτάστσης ν είνι µεγλύτερη π' ό,τι στην περίπτωση που ο κτνλωτής πρµένει στην ίδι κµπύλη διφορίς. Κάτι τέτοιο είνι λογικό ν συµβίνει, φού ο εισοδηµτικός περιορισµός Μ 4 Μ 4 βρίσκετι δεξιά του εισοδηµτικού περιορισµού Μ 3 Μ 3 κι Μ 4 Μ 4 //Μ 3 Μ 3, που σηµίνει ότι ο εισοδηµτικός περιορισµός Μ 4 Μ 4 ντιπροσωπεύει µεγλύτερο εισόδηµ πό υτό που ντιπροσωπεύει ο εισοδηµτικός περιορισµός Μ 3 Μ 3. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά icks Υπόθεση: Το πργµτικό εισόδηµ του κτνλωτή πρµένει στθερό. Σύµφων µε την προσέγγιση του icks, ο κτνλωτής προσπθεί ν ελχιστοποιήσει τη δπάνη του γι την γορά ενός συνδυσµού ποσοτήτων γθών που θ του ποφέρει έν συγκεκριµένο επίπεδο χρησιµότητς. ν υποθέσουµε ότι ο κτνλωτής κτνλώνει δύο µόνο γθά, το Χ κι το Χ, τότε το πρόβληµ που υτός ντιµετωπίζει διτυπώνετι ως εξής: ελχιστοποίηση: Μ = + µε περιορισµό: ο = (, ) Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η συνάρτηση του Lagrange είνι: Ζ = + + µ[ ο (, )] όπου µ είνι ο πολλπλσιστής του Lagrange κι ο είνι έν συγκεκριµένο επίπεδο χρησιµότητς που επιθυµεί ν επιτύχει ο κτνλωτής. πό την πρπάνω συνάρτηση προκύπτουν γι την ελχιστοποίηση οι πρκάτω νγκίες συνθήκες πρώτης τάξης: Ζ Ζ = µ = = µ = () () Ζ (, ) = = µ () 9
πό τις δύο πρώτες σχέσεις προκύπτει η συνθήκη ισορροπίς του κτνλωτή: = (συνθήκη ισορροπίς) (3) Η συνθήκη ισορροπίς του κτνλωτή, που προέκυψε µε βάση την προσέγγιση του icks, είνι κριβώς ίδι µε υτή στην οποί κτλήξµε κολουθώντς την νάλυση του arshall (σχέση 4). υτό σηµίνει ότι κι οι δύο προσεγγίσεις µς δίνουν κριβώς το ίδιο σηµείο ισορροπίς του κτνλωτή. Στο σχήµ που κολουθεί, η ισορροπί που κτνλωτή προυσιάζετι πό το σηµείο, όπου ο εισοδηµτικός περιορισµός Μ εφάπτετι της κµπύλης διφορίς u. Στο σηµείο υτό ικνοποιείτι η συνθήκη ισορροπίς / = / κι ντιστοιχούν οι ποσότητες κι των γθών Χ κι Χ ντίστοιχ. Συνεπώς, ο συνδυσµός των ποσοτήτων των δύο γθών (, ) ποτελεί τον άριστο συνδυσµό γι τον κτνλωτή, είτε υτός έχει ως στόχο τη µεγιστοποίηση της χρησιµότητάς του, µε δεδοµένο το χρηµτικό του εισόδηµ, που ντιπροσωπεύει στο σχήµ η γρµµή του εισοδηµτικού περιορισµού Μ, είτε την ελχιστοποίηση της δπάνης του γι ν επιτύχει το επίπεδο χρησιµότητ που ντιπροσωπεύει η κµπύλη διφορίς u. χ Μ A A u A Μ χ πό τις σχέσεις () κι () κόµη προκύπτει: µ = = (4)
Με βάση τη σχέση (4), µπορούµε ν πούµε ότι πολλπλσιστής του Lagrange (µ) εκφράζει το ορικό κόστος της χρησιµότητς. Η λύση του συστήµτος των εξισώσεων () - () µς δίνει τις συνρτήσεις ζήτησης κτά icks, που είνι: ( ) = h,, ( ) = h,, Πρτηρούµε ότι σύµφων µε την προσέγγιση του icks, η ζητούµενη ποσότητ ενός γθού εξρτάτι πό την τιµή του, τις τιµές των άλλων γθών κι το επίπεδο χρησιµότητς του κτνλωτή. ι συγκριτική σττική νάλυση, πίρνουµε τ ολικά διφορικά των σχέσεων () - (), που είνι: µ d µ d dµ = d µ d µ d dµ = d d d = d ο ιιρώντς τις δύο πρώτες σχέσεις µε µ κι πολλπλσιάζοντς την τελευτί µε µ, πίρνουµε: d + d + dµ/µ = d /µ d + d + dµ/µ = d /µ µ d µ d = µd ο Σύµφων µε τις συνθήκες πρώτης τάξης: i = i /µ κι µ i = i (i =, ). ντικθιστώντς στο πρπάνω σύστηµ τ i κι µ i µε τ ίσ τους κι γράφοντς τον λόγο i dµ/µ ως ( i )( dµ/µ ), υπό µορφή µητρών θ έχουµε: d d µ d d µ = dµ µ µd Εδώ πρτηρούµε ότι η essian µήτρ είνι ίδι κριβώς µε υτή της πρώτης περίπτωσης (κµπύλες ζήτησης κτά arshall). Εποµένως, ίδι θ είνι κι η ντίστροφή της, οπότε:
d d µ 3 d 3 d µ = dµ µ 3 3 33 µd Υπολογίζοντς ως προς d θ έχουµε: d = d + d 3µd µ µ (5) ν υποθέσουµε ότι µετβάλλετι η τιµή του γθού Χ, δηλδή d κι η τιµή του γθού Χ, κθώς κι το επίπεδο χρησιµότητς του κτνλωτή πρµένουν στθερά, δηλδή d = d ο =, τότε: = µ (6) Η πρπάνω σχέση δείχνει την ολική επίδρση της µετβολής της τιµής του γθού Χ στη ζητούµενη ποσότητά του, ότν η τιµή του γθού Χ κι το επίπεδο χρησιµότητς του κτνλωτή πρµένουν στθερά. κόµη, ο όρος / µς δίνει την κλίση της κτά ics κµπύλης ζήτησης του γθού Χ κι είνι πάντοτε ρνητικός (µ >, < κι /µ < ). υτό συµβίνει επειδή γίνετι η υπόθεση ότι το πργµτικό εισόδηµ του κτνλωτή πρµένει στθερό κι συνεπώς υτός µετκινείτι πάνω στην ίδι κµπύλη διφορίς, κθώς η τιµή του γθού Χ µετβάλλετι. Σύµφων µε τις δύο πρώτες συνθήκες πρώτης τάξης στην προσέγγιση του ics, ισχύει: µ = i / i, ενώ σύµφων µε τις ντίστοιχες συνθήκες στην κτά arshall προσέγγιση: i / i = /λ. Συνεπώς, ο πολλπλσιστής του Lagrange στην προσέγγιση του arshall είνι ίσος µε το ντίστροφο του πολλπλσιστή του Lagrange στην κτά icks προσέγγιση, δηλδή /µ = λ. Οπότε, η σχέση (6) µπορεί ν γρφθεί κι ως εξής: = λ = (7) Με βάση τ πρπάνω, συµπερίνουµε ότι κτά icks δεν έχουµε επίδρση εισοδήµτος κι η ολική επίδρση της µετβολής της τιµής του γθού Χ πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του συµπίπτει µε την επίδρση υποκτάστσης κτά arshall. Η διφορά υτή νάµεσ στις νλύσεις του icks κι του arshall έχει ως συνέπει, στην περίπτωση που το γθό Χ είνι κνονικό γθό, η κτά
arshall κµπύλη ζήτησής του ν είνι πιο ελστική πό την κτά icks κµπύλη ζήτησής του. Στο πρκάτω σχήµ προυσιάζοντι οι κµπύλες ζήτησης κτά icks [ = h(,, ) ] κι κτά arshall [ = m(,, )] του γθού Χ, το οποίο υποτίθετι ότι είνι κνονικό γθό. = h(,, ) = m(,, ).Υ..Ε. = Μ χ Στην ρχική τιµή του γθού που είνι η, οι συνθήκες πρώτης τάξης τόσο κτά arshall όσο κι κτά icks θ δώσουν την ίδι ζητούµενη ποσότητ πό το γθό Χ ( = ). υτό είνι λογικό ν συµβίνει µί κι στις δύο προσεγγίσεις η συνθήκη ισορροπίς του κτνλωτή είνι η ίδι ( / = / ). Μί µείωση της τιµής του γθού Χ πό σε, θ έχει ως ποτέλεσµ ν υξηθεί η ζητούµενη ποσότητ του γθού. Η ύξηση, όµως, της ζητούµενης ποσότητς του γθού Χ θ είνι κτά icks µικρότερη π' ό,τι θ είνι κτά arshall κι υτό γιτί σύµφων µε την προσέγγιση του icks δεν έχουµε ποτέλεσµ εισοδήµτος. Συγκεκριµέν, η µείωση της τιµής του γθού Χ πό σε, οδηγεί σε ύξηση της ζητούµενης ποσότητάς του κτά icks πό σε µονάδες κι κτά arshall πό (= Μ ) σε µονάδες. Η επιπλέον ύξηση της ζητούµενης ποσότητς του γθού Χ, που πρτηρείτι στην περίπτωση της κτά Μ arshall κµπύλης ζήτησης κι είνι ίση µε ( ) µονάδες του γθού, ντιστοιχεί στο ποτέλεσµ εισοδήµτος. ν υποθέσουµε ότι το γθό Χ είνι ουδέτερο γθό, τότε η κτά arshall κµπύλη ζήτησης του Χ θ συµπίπτει, όπως φίνετι στο σχήµ που κολουθεί, 3
µε την κµπύλη ζήτησής του κτά icks. υτό οφείλετι στο ότι το ποτέλεσµ εισοδήµτος στην προκειµένη περίπτωση είνι ίσο µε το µηδέν..υ. = m(,, ) = h(,, ) = = χ Στην περίπτωση που το γθό Χ είνι κτώτερο γθό, η κµπύλη ζήτησης του Χ κτά icks θ είνι, όπως φίνετι στο πρκάτω σχήµ, πιο ελστική πό την κτά arshall κµπύλη ζήτησής του. = m(,, ).Υ..Ε. = h(,, ) = Μ χ 4
Η µείωση της τιµής του γθού Χ πό σε, οδηγεί σε µί ύξηση της ζητούµενης ποσότητς του γθού, η οποί κτά icks είνι ίση µε ( A ) µονάδες κι κτά arshall ίση µε ( A ) µονάδες. Η ύξηση της ζητούµενης ποσότητς του γθού Χ είνι κτά arshall µικρότερη π' ό,τι είνι κτά icks, επειδή στην προκειµένη περίπτωση το ποτέλεσµ εισοδήµτος κινείτι προς ντίθετη κτεύθυνση πό υτή που κινείτι το ποτέλεσµ υποκτάστσης. Πιο συγκεκριµέν, η επίδρση υποκτάστσης έχει ως ποτέλεσµ την ύξηση της ζητούµενης ποσότητς του γθού Χ κτά ( A ) µονάδες κι η επίδρση εισοδήµτος τη µείωση της ζητούµενης ποσότητς του γθού, επειδή υτό είνι κτώτερο γθό, κτά ( ) µονάδες. Οπότε, το ολικό ποτέλεσµ της µείωσης της τιµής του γθού πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του είνι κτά arshall ίσο µε ( A ) µονάδες [( A ) = ( A ) ( )]. Τέλος, η εξίσωση του Slutsky, στην οποί επικεντρώθηκε το ενδιφέρον µς, µπορεί ν εκφρστεί κι σε όρους ελστικοτήτων. Η σχέση (4), λόγω της σχέσης (7), γράφετι ως εξής: = (8) Πολλπλσιάζοντς τη σχέση (8) µε / κι τον δεύτερο όρο του δεύτερου µέλους υτής της σχέσης µε Μ/Μ πίρνουµε: = = Σύµφων τώρ µε τους ορισµούς των ελστικοτήτων ζήτησης, θ έχουµε: όπου ε κι ε ε = ε kε (9) είνι οι ελστικότητες ζήτησης του γθού Χ ως προς την τιµή του κτά arshall κι icks ντίστοιχ, ε Μ είνι η εισοδηµτική ελστικότητ του γθού Χ κι k = /Μ είνι το ποσοστό του εισοδήµτος που ο κτνλωτής ξοδεύει γι την γορά του γθού Χ. πό την πρπάνω σχέση γίνετι φνερό ότι ότν το γθό Χ είνι κνονικό, που σηµίνει ε Μ >, θ ισχύει ε > ε. Επιπλέον, θ έχουµε ε = ε γθό Χ είνι ουδέτερο γθό. µόνο στην περίπτωση που ε Μ =, δηλδή ότν το Κώστς ελέντζς 5