Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι αν f () στο (α, o) και f () στο ( o,β), τότε το f ( o) είναι τοπικό μέγιστο της f. (8 μονάδες) β Α. Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος f ()d της συνεχούς α συνάρτησης f από το α στο β. ( μονάδες) Α. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. ( μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. z z Im(z). Σ Λ β. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C f διαπερνά την καμπύλη. Σ Λ γ. Η ευθεία y=λ+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της f() στο αν lim[f () (λ β)]. Σ Λ o δ. To σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το διάστημα [m, M], όπου m, M η ελάχιστη τιμή και η μέγιστη αντίστοιχα τιμή της f. Σ Λ β α β ε. f ()g()d f ()g() f ()g ()d α. Σ Λ α β ( μονάδες ανά ερώτημα)

Θέμα B Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών C των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει w i καθώς και w i w τον μιγαδικό w του παραπάνω γεωμετρικού τόπου που έχει το ελάχιστο μέτρο. (7 μονάδες) i Β. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει ότι: w και w i, να βρείτε τον z γεωμετρικό τόπο C των εικόνων των μιγαδικών z. ( μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι z + w lim. z + w (5 μονάδες) Β. Αν u z, u z και u z όπου z, z, z μιγαδικοί που κινούνται στον C, να αποδείξετε ότι uu uu uu α. u u u β. R R u u u u u u ( μονάδες) (6 μονάδες) Θέμα Γ Κατά την πρόκληση ενός θερμού επεισοδίου μεταξύ δύο κρατών Α και Β, οι ειδικές δυνάμεις του κράτους Α έστειλαν ένα φουσκωτό σκάφος (σημείο Σ) στη βραχονησίδα του παρακάτω σχήματος. Η πορεία του σκάφους ακολουθεί την καμπύλη της συνάρτησης: ln( ) f (),. Ο στόχος είναι να αποβιβαστούν στο νοτιότερο σημείο της διαδρομής τους, δηλαδή στο σημείο Κ της βραχονησίδας και να εγκαταστήσουν ένα επίγειο ραντάρ ανίχνευσης σκαφών, με δυτική κατεύθυνση.

Γ. Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης (t) του σημείου Σ δίνεται από τον τύπο: (t). (t) Να βρείτε: α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. ( μονάδες) β. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας φ που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο σημείο Σ με τον άξονα, τη χρονική στιγμή t o που το φουσκωτό σκάφος έχει τετμημένη 9 και να εξηγήσετε γιατί βγαίνει σχεδόν μηδέν. (7 μονάδες) γ. Το ραντάρ θα ανιχνεύει την περιοχή που περικλείεται από την C f, την ευθεία και έχει εμβέλεια 7 μίλια. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που θα καλύπτει το ραντάρ. y (6 μονάδες)

Γ. Το κράτος Β με τη σειρά του στέλνει ένα ανιχνευτικό σκάφος (Τ) το οποίο ακολουθεί την 6( ) 5 καμπύλη της συνάρτησης g(), > και κινείται βορειοανατολικά. ( ) α. Να εξηγήσετε γιατί το σκάφος (Τ) αν ακολουθήσει την πορεία του, κάποια χρονική στιγμή θα παραβιάσει τα χωρικά ύδατα του κράτους Α που προσδιορίζονται από την ευθεία y=6 6. ( μονάδες) β. Την χρονική στιγμή t o που το σκάφος (Τ) έχει ταχύτητα μίλια/min και η τετμημένη του ισούται με, ο στρατιώτης πυροβολεί με κατεύθυνση την κατεύθυνση του σκάφους Τ νομίζοντας ότι είδε ύποπτη κίνηση. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που ακολούθησε η σφαίρα. (5 μονάδες) Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση: y g() f (y t)dt dy, R. Η f() συνεχής στο R,g()= και g() κυρτή για >. Δ. Αν η ευθεία y= + είναι εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο Μ(,g()), να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Δ. Αν f (u)du f () f () πιθανή θέση σημείου καμπής. f (u)du.,να αποδείξετε ότι η g() έχει τουλάχιστον μία Δ. Αν επιπλέον η g () είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,), με α. ξ ξ. f (u)du f (u)du ξ β. f (u)du f ( ) f () Δ. Να δείξετε ότι: g()d. Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις!!! (6 μονάδες) (5 μονάδες) ( μονάδες) ( μονάδες)

Απαντήσεις Διαγωνίσματος Θέμα Α Λύση Α. σχολικό σελίδα 6 Α. σχολικό σελίδα Α. σχολικό σελίδα 7 Α. α Λ ( z z Im(z) i ) β Σ γ Λ ( lim[f () (λ β)] ) δ Σ ε Σ Θέμα Β Λύση Β. w i w i w w i w i w (i) w i w i () w i w i w i w i η οποία παριστάνει τον θετικό κλάδο (μιας υπερβολής με α=α= άρα η κορυφή της είναι το σημείο Κ(,). (Θυμίζω: ΜΕ = w i και ΜΕ= w i, άρα πρέπει ΜΕ >ΜΕ) Ε (-γ,) Μ w Ε(,γ) Κ Ε (,-γ) (ΜΕ ) (ΜΕ) =α και επειδή (ΜΕ ) (ΜΕ)=> (ΜΕ )>(ΜΕ) Προφανώς min w = με w=i

i i iz z Β. i i z z z z z z z Έστω z=+yi τότε: z z ( ) y yi ( ) y ( y ) y ( ) y άρα ο z κινείται σε κύκλο με κέντρο (,) και ακτίνα ρ= Δηλαδή z. Β. z z z και w. Άρα w z και lim w w z w z + w z + w w w w w lim lim lim w + z w w z + w z z Β. α. u z u u άρα u u u u, u,u u u u uu uu uu uu uu uu uu u u uu u u u uu uu uu u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu uu uu u u u β. u u u u u u R R R u u u u u u u u u Αν p u u u τότε. p u u u yi Έστω p= +yi R(p), άρα R p yi y p y Άρα R R R(p) R( ) u u u u u u p y y

Θέμα Γ Λύση Γ. y=6-6 y=6-6 Σ K α. ln ( ) ln ( ) f (), f () ( ) ( ) f () ln ( ) ln ( ) ( ) f () + f() O.M.= f Για η f() παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f.

Άρα K,. β. ln (t) ln ( ) εφθ f () εφ θ(t) f θ(t) ( ) (t) και την χρονική στιγμή t o. 9 ln ln (t o) ln εφθ(t o) 6 (t o) 9 (t) (t) ln (t) (t) (t) Άρα εφθ(t) (t) ln (t) (t) (t) ln (t) (t) (t) (t) (t) συν θ(t) εφ θ(t) θ (t) εφ (t) θ (t) 9 Την χρονική στιγμή t o (t o) θα ισχύει: ln(t o) (t o) (t o) εφ θ(t o) θ (t o) (t ) o (6 ) θ (t o) θ (t o) 9 ln 6 9 9 9 9 6 9 6 9 9 6 6 ln ( ) lim αφού lim ln( ) ( ) γιατί lim ( ), με ( ) και lim ( ) με Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. 9 δηλαδή η εφαπτομένη σχεδόν ταυτίζεται με την = και η γωνία δεν μεταβάλλεται!

γ. Η ευθεία y εφάπτεται στην C f στο Κ (το ολικό ελάχιστο της C f ). Η εμβέλεια είναι 7 μίλια. Άρα θέλουμε το εμβαδόν από = 7, μέχρι =. Άρα ln( ) ln( ) E f () ( )d ( )d d d I I ( ) ( ) ln ( ) I d θέτω u ln ( ), άρα du d και u, u ln 8 ( ) u (ln 8) I udu ln 8 ln 8 7 I d 6 (ln 8) 7 Τελικά Ε=Ι +Ι =,5 6 Γ. α. g() 6( ) 5 ( ) g() 6( ) 5 ( ) Θα βρούμε την πλάγια ασύμπτωτη της C g στο +. λ lim lim 6 (πηλίκο μεγιστοβάθμιων όρων) 6( ) 5 πράξεις 6 65 β lim g() λ lim 6 lim 6 ( ) H y=6 6 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g. Προφανώς 6 6> 6 6. Άρα κάποια χρονική στιγμή το σκάφος (Τ) θα παραβιάσει τα χωρικά ύδατα του κράτους Α.

((t) ) 6((t) ) 5 ε β. λ g(t) 8 (t) (t) ((t) ) (t) (t) 6((t) ) 5 ((t) ) Επομένως την χρονική στιγμή t o, u(t )= (t o )= και (t o )=. Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας της σφαίρας θα είναι 8(t ο) (t ο) ((t ο) ) (t ο) (t ο) 6((t ο) ) 5 λ ε ((t ) ) 8 ( ) 6( ) 5 8 ( ) ο Θέμα Δ Λύση Δ. θέτω u y t άρα du dt και u y, u y Δ. y y Άρα g() f (u)du dy y g () f (u)du και g () f (u)du και g() Άρα ε: y g()=g ()( )y = Tελικά f (u)du =. f (u)du y= a a g () f (u)du f (u)du f (u)du f (u)du f ( ) f ( ) Τελικά g () f (u)du f ( ) f ( ) g () f (u)du f () f (). Άρα το σημείο Α(,g()) είναι πιθανή θέση σημείου καμπής. f (u)du +

Δ. Για > g() κυρτή. Άρα g () γνησίως αύξουσα. g () f (u)du συνεχής στο [, ] ως γινόμενο των συνεχών και συνεχής ως εκθετική και f (u)du παραγωγίσιμη ως ολοκλήρωμα της συνεχούς f(u), άρα και συνεχής. g () παραγωγίσιμη στο (, ) με g () f (u)du f ( ) f ( ) Από Θ.Μ.Τ. για την g (), υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,) με g () g () g(ξ) f (u)du f (u)du f (u)du f (u)du α. g (). ξ ξ ξ ξ ξ ξ f (u)du. ξ g (ξ) g () f (u)du f (u)du f (u)du f (u)du ξ ξ και f (u)du f (u)du ξ g β. ξ g (ξ) g () f (u)du f (u)du f (u)du f () f ( ) f (u)du f () f ( ) f (u)du f ( ) f () Δ. Για > η g() είναι κυρτή, άρα βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της. g() g() g() d g()d ( )d ( ) g()d