ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι Ορισµοί όλων των εννοιών που θα µελετήσουµε καθώς και η σχετική ορολογία Ας υποθέσουµε ότι ( ) N κατασκευάζουµε µια νέα ακολουθία ως εξής: είναι µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών Με βάση αυτήν Η ( s ) N s =, s = +, s = + +, s = + + + = k k = ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων Το όριό της, καθώς το τείνει στο άπειρο, ονοµάζεται σειρά µε όρους α και συµβολίζεται: = lim s = Όπως είναι φανερό, το προηγούµενο άθροισµα, ακριβώς επειδή έχει άπειρους προσθετέους, δεν είναι πάντοτε ένας πεπερασµένος πραγµατικός αριθµός Έτσι, θα λέµε ότι η παραπάνω σειρά: o Συγκλίνει στο S R αν το όριο lim s = S υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός o Απειρίζεται θετικά (αντ αρνητικά) αν lim s = (αντ ) o Κυµαίνεται αν το όριο lim s δεν υπάρχει στο R= R {, } o Συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η σειρά των αντίστοιχων απόλυτων τιµών Σηµειώστε εδώ ότι η απόλυτη σύγκλιση είναι ισχυρότερη της απλής αφού = = = = Έτσι, αν µια σειρά συγκλίνει απολύτως τότε θα συγκλίνει και απλά
Παραδείγµατα o Η σειρά = + + + + + + κατασκευάζεται από την ακολουθία + = ονοµάζεται αρµονική σειρά και απειρίζεται θετικά o Η σειρά ( ) = + + + + + κατασκευάζεται από την ακολουθία 4 8 6 = ονοµάζεται γεωµετρική σειρά και συγκλίνει στον αριθµό =, N, = ( ), N, o Η ( ) = + + + κατασκευάζεται από την ακολουθία 4 5 = ονοµάζεται εναλλάσσουσα σειρά και συγκλίνει ( ) =, N, Το βασικό ερώτηµα που µας απασχολεί στις σειρές είναι αν αυτές συγκλίνουν ή όχι Αντίθετα, η εύρεση του ορίου τους είναι ένα πρόβληµα εξετάζεται δευτερευόντως και σε κάθε περίπτωση αφού πρώτα εξασφαλιστεί η σύγκλιση τους Για τον έλεγχο της σύγκλισης ή µη σειρών πραγµατικών αριθµών παρουσιάζουµε στις επόµενες Ενότητες τα βασικότερα κριτήρια που χρησιµοποιούνται ΕΙ ΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΕΙΡΩΝ Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε ορισµένες ιδιαίτερες κατηγορίες σειρών των οποίων η συµπεριφορά τόσο ως προς τη σύγκλιση όσο και ως προς το τελικό άθροισµα είναι γνωστή Γεωµετρικές Σειρές Γεωµετρική ονοµάζεται κάθε σειρά της µορφής: r, = όπου r είναι πραγµατικός αριθµός Πρόκειται δηλαδή για το άθροισµα άπειρων όρων της γεωµετρικής προόδου µε λόγο r Μπορούµε, εποµένως, να προσδιορίσουµε ακριβώς τόσο τους όρους της ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων:
s = r = s = r + r = + r,, s = r + r + r = + r+ r, + r = + + + =, r s r r r όσο και την τελική συµπεριφορά της σειράς: r + r = lim s = lim = r Λαµβάνοντας υπόψη µας τις ιδιότητες των ορίων ακολουθιών συµπεραίνουµε ότι: Η γεωµετρική σειρά r συγκλίνει όταν = r < (αφού τότε lim r + = ) και το τελικό άθροισµά της είναι ίσο µε r Απειρίζεται θετικά όταν r, αφού τότε Κυµαίνενται όταν r, αφού τότε το όριο lim r + lim r + = και + r lim = = r r δεν υπάρχει Παραδείγµατα Η σειρά Η σειρά = συγκλίνει, αφού < και το άθροισµά της είναι ίσο µε = = απειρίζεται θετικά, αφού > Η σειρά ( ) κυµαίνεται, αφού < Πράγµατι, αν υπολογίσουµε τους πρώτους όρους της = ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων βλέπουµε ότι: s s s s s 4 = = + ( ), = + = = ( ) ( ), = + + = + = + ( ) ( ) ( ) 4, = + + + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 5, = + + + + = + + = + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 6
ηλαδή οι όροι της δεν συγκλίνουν προς κάποια συγκεκριµένη κατεύθυνση αλλά κυµαίνονται εναλλασσόµενοι µεταξύ αρνητικών και θετικών τιµών 4 Προσοχή πρέπει να δείξει κανείς στις περιπτώσεις εκείνες που η υπό µελέτη σειρά έχει όρους που ξεκινάνε από τον δείκτη =, και όχι από = Αν, για παράδειγµα, θεωρήσουµε την =, τότε ως προς την σύγκλιση ή µη δεν υπάρχει καµία διαφοροποίηση (η σειρά συγκλίνει αφού < ) αλλά υπάρχει αλλαγή στο τελικό άθροισµά αφού έχουµε έναν όρο λιγότερο, αυτόν που προκύπτει για = Έτσι: = = = = Γενικότερα ισχύει ότι: r r =, όταν r = r < p-σειρές Ιδιαίτερα χρήσιµη στην σύγκριση µε άλλες σειρές, και µέσω αυτής στον έλεγχο της σύγκλισής τους ή µη, είναι η κατηγορία των p-σειρών Πρόκειται, συγκεκριµένα, για τις σειρές που έχουν την µορφή: (p) = p ζ =, οι οποίες συγκλίνουν όταν p> ενώ αποκλίνουν για p Παραδείγµατα Η σειρά (γνωστή και ως αρµονική σειρά) δεν συγκλίνει αφού είναι p-σειρά µε p= = Η σειρά συγκλίνει αφού είναι p-σειρά µε p=> = Τηλεσκοπικές Σειρές Μια σειρά = της οποίας οι όροι µπορούν να γραφούν στην µορφή: 4
( ) = b b + N ονοµάζεται τηλεσκοπική σειρά Ο έλεγχος της σύγκλισης καθώς και ο προσδιορισµός του τελικού αθροίσµατος των σειρών αυτών είναι σχετικά απλός αφού για την ακολουθία των µερικών αθροισµάτων ισχύει ότι: s = + + + + + = = ( b b) + ( b b) + ( b b4) + + ( b b) + ( b b+ ) = =b b + Εποµένως η σειρά θα συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim b + και το τελικό άθροισµά της θα είναι ίσο µε = b lim b+ = Παραδείγµατα Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί = ( + )( + ) ( )( ) = + + + + Εποµένως, = lim = = + + + = ( )( ) Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί = ( )(+ ) = ( )(+ ) + και = = = ( )( ) = + + ισχύει ότι lim ( ) Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί 4 = / / = 4 + και ισχύει ότι / = lim = = + 4 = 4Εναλλάσσουσες Σειρές Οι σειρές των οποίων οι όροι εναλλάσσουν το πρόσηµό τους συνεχώς ονοµάζονται εναλλάσσουσες Πρόκειται, δηλαδή, για σειρές της µορφής: ( ) = 5
Αν σε µια τέτοια σειρά η ακολουθία ( ) N που την παράγει είναι θετική και φθίνουσα (ισχύει δηλαδή ότι: + για κάθε δεικτη =,, ), τότε η σειρά συγκλίνει και για το τελικό άθροισµά της S ισχύει ότι k ( ) k = S + ηλαδή, όταν προσεγγίσουµε το άθροισµα της σειράς µε το µερικό άθροισµα των όρων µέχρι και τάξης k, το σφάλµα που προκύπτει δεν υπερβαίνει, κατ απόλυτη τιµή, τον όρο της επόµενης τάξης Παραδείγµατα Η σειρά = ( ) = + + L πληρεί τις υποθέσεις που αναφέραµε προηγουµένως + 4 αφού είναι εναλλάσσουσα και η ακολουθία είναι θετική και φθίνουσα Εποµένως + συγκλίνει Αν τώρα προσεγγίσουµε το άθροισµά της µε το µερικό άθροισµα τάξης 8 (αν κρατήσουµε δηλαδή τους όρους για =,,,,8): 8 ( ) = + + L +, + 4 9 = τότε το σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο του όρου τάξης 9: 9+ = (προφανώς όχι και τόσο καλή εκτίµηση Πρέπει να φτάσουµε µέχρι τον όρο µε =98 για να είµαστε βέβαιοι, ότι το σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο του ) Η σειρά ( ) συγκλίνει για κάθε p> (σε αντίθεση µε τις p-σειρές που παρουσιάσαµε p = προηγουµένως) Πράγµατι, πρόκειται, προφανώς, για µία εναλλάσσουσα σειρά ενώ η ακολουθία p είναι φθίνουσα (αφού p>): N p p p p p ( + ) Η εναλλάσσουσα σειρά ( ) συγκλίνει γιατί η ακολουθία! = = είναι προφανώς! θετική και φθίνουσα: 6
+ + ( + )! = = + ( + )! 4 Η εναλλάσσουσα σειρά φθίνουσα: ( ) συγκλίνει γιατί η ακολουθία + = = +, = ( ) + + + = N = είναι θετική και + Επιπλέον, αν θέλουµε να πετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, δηλαδή το σφάλµα της προσέγγισης να είναι µικρότερο του, θα πρέπει: + < < > 49 + Εποµένως, θα πρέπει να υπολογίσουµε το άθροισµα τουλάχιστον των πρώτων 5 όρων της σειράς Ασκήσεις Βρείτε τα αθροίσµατα των επόµενων σειρών στις περιπτώσεις εκείνες που αυτές συγκλίνουν: i (Απάντηση: 4 ) 5 = ii iii iv + + (Απάντηση: 4 4 6 64 5 ) 5 5 75 + + + + (Απάντηση: αποκλίνει) 9 7 ( ) (Απάντηση: κυµαίνεται) = + (Απάντηση: ) v = ( + ) vi (Απάντηση: = ( + 4)( + 5) 5 ) Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές: 7
i ii iii iv v ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) e = (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: αποκλίνει) = 5 vi (Απάντηση: συγκλίνει) 5 = vii viii l ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = + ( ) (Απάντηση: αποκλίνει) = ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Τα βασικότερα κριτήρια σύγκλισης σειρών, δηλαδή κανόνες που µας βοηθούν να αποφασίζουµε αν µια σειρά συγκλίνει ή όχι, παρουσιάζονται στην Ενότητα αυτή Ένα πρώτο βασικό συµπέρασµα Αρχικά µπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι για να υπάρχει πιθανότητα σύγκλισης µιας σειράς =, δεδοµένου ότι αυτή είναι µια άθροιση άπειρων αριθµών, θα πρέπει οι προσθετέοι να µικραίνουν συνεχώς τείνοντας στο µηδέν: Αν η σειρά συγκλίνει, τότε lim α = Αυτό που πρέπει να προσέξει ο αναγνώστης εδώ είναι ότι το αντίστροφο συµπέρασµα δεν ισχύει: = 8
εν αρκεί η διαπίστωση ότι το όριο της ακολουθίας α, που παράγει τη σειρά, είναι µηδέν για να εξασφαλίσουµε ότι η σειρά συγκλίνει Υπάρχουν, όπως θα δούµε στης συνέχεια, παραδείγµατα σειρών που δεν συγκλίνουν παρά το γεγονός ότι παράγονται από µηδενικές ακολουθίες Σε κάθε περίπτωση όµως, το προηγούµενο συµπέρασµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την διαπίστωση της µη σύγκλισης της σειράς αν η ακολουθία που την παράγει δεν τείνει στο µηδέν: Αν lim α, τότε η σειρά = δεν συγκλίνει Παραδείγµατα Η σειρά ( ) έχει πιθανότητες να συγκλίνει αφού = lim ( ) = εν µπορούµε όµως πέρα από αυτό να πούµε τίποτε άλλο θετικότερα Άλλωστε, όπως είδαµε στην προηγούµενη Ενότητα, η υπό µελέτη σειρά εντάσσεται στη κατηγορία των γεωµετρικών σειρών και συγκλίνει στον αριθµό = Η σειρά έχει επίσης πιθανότητες σύγκλισης αφού = lim = Όµως, όπως επίσης είδαµε στην προηγούµενη Ενότητα, η εν λόγω σειρά απειρίζεται αφού είναι µία p-σειρά µε p= (πρόκειται, συγκεκριµένα, για την αρµονική σειρά) Έχουµε έτσι και ένα συγκεκριµένο (αντί)παράδειγµα που βεβαιώνει ότι δεν αρκεί η σύγκλιση της ακολουθίας, από την οποία προέρχεται η σειρά, στο µηδέν για να εξασφαλισθεί η σύγκλισή της Η + δεν συγκλίνει αφού = + lim = 4 Αν α είναι ακολουθία µη µηδενικών αριθµών ώστε α + α - α + = α α +, αποδείξτε ότι η σειρά α δεν συγκλίνει = α+ Πράγµατι, η υπόθεση δίνει ότι + = + = + = () + + + + Έτσι αν υποθέσουµε ότι η σειρά α α α lim = lim = συγκλίνει, θα πρέπει = α + α + α κάτι που έρχεται σε αντίθεση µε την σχέση (): Θα είχαµε τότε ότι += 9
Το Κριτήριο Λόγου (d Alembert) Έστω σειρά πραγµατικών αριθµών µε = α, για κάθε N µε p, όπου p σταθερός φυσικός αριθµός Υποθέτουµε, µε άλλα λόγια, ότι το µηδέν δεν περιέχεται στους όρους της σειράς από κάποιον δείκτη και µετά Τότε: Αν + r <, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν η σειρά συγκλίνει + lim < ), τότε Αν +, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν + lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R, οπότε είτε θα απειρίζεται είτε θα κυµαίνεται Αν + lim =, τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε θετικά αν η σειρά συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο του Λόγου Παραδείγµατα Η σειρά συγκλίνει γιατί: ( )! = + + + + ( + )! ( + )! = = = = <, ( + )! + 4 ( + )! για κάθε φυσικό Επίσης µπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι + lim = lim = < + Η σειρά + = 5 συγκλίνει γιατί: Την µετατρέπουµε αρχικά σε άθροισµα δύο, απλούστερων, σειρών: + = + 5 5 5 = = = Κάθε µία από τις δύο νέες σειρές συγκλίνει γιατί:
+ + + 5 = = < και 5 5 b + b + + 5 = = < 5 5 Εποµένως, και το άθροισµά τους (ως άθροισµα δύο συγκλινουσών ακολουθιών) θα είναι συγκλίνουσα σειρά Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να παρατηρήσουµε ότι πρόκειται για δύο γεωµετρικές σειρές µε λόγους απολύτως µικρότερους της µονάδας και άρα συγκλίνουσες Η σειρά συγκλίνει γιατί: = + = = = < +, + για κάθε φυσικό N 4 Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί: = + + + ( + ) = = = ( ) ( + ) + Όµως το όριο της προηγούµενης παράστασης είναι µεγαλύτερο του αφού: + + lim ( ) = lim( ) = = > 5 Η σειρά συγκλίνει γιατί:! =! 6 Η σειρά συγκλίνει γιατί: = + + + ( + )!!! = = = = < ( + )!! ( + ) +!
( + )! + + ( + ) ( + )!! ( + )! + ( + )! ( + ) ( + )! ( + ) = = = = = = = = < ( + ) + e + 7 Η σειρά = συγκλίνει γιατί:! ( + ) + ( + )! ( + )! +! + = = = ( ) = ( ) = < ( + )!! ( + ) +! 8 Για την σειρά (c > ) = c παρατηρούµε ότι: ( + ) + + c ( + ) c + = = = ( ) = + c c c c c Εποµένως η υπό µελέτη σειρά συγκλίνει όταν c> (οπότε c <) και αποκλίνει όταν c (οπότε c ) 9 Για την σειρά + + + παρατηρούµε ότι: 4 Ο γενικός όρος της είναι ( + ), αφού Για =: για =: για =: = ( + ) (+ ) = ( + ) (+ ) = ( + ) (+ ) 4,,, κοκ Εφαρµόζοντας έτσι το Κριτήριο του Λόγου έχουµε:
συνεπώς η σειρά αποκλίνει + + + ( + ) ( + ) + + ( + ) + 4+ 4 = = = = >, ( + ) Όπως γίνεται φανερό και από τα προηγούµενα παραδείγµατα, το Κριτήριο του Λόγου είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατικό σε εκείνες τις περιπτώσεις σειρών όπου οι όροι τους είναι µορφής που οδηγεί σε απλοποιήσεις όταν κανείς θεωρήσει το πηλίκο + Κυριότερες περιπτώσεις αυτής της κατηγορίας σειρών είναι εκείνες που εµφανίζουν παραγοντικά ή δυνάµεις του Το Κριτήριο Ρίζας (Cuchy) Έστω = σειρά πραγµατικών αριθµών Τότε: Αν r<, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν lim < ), τότε η σειρά συγκλίνει Αν, για άπειρο πλήθος δεικτών (ή, ειδικότερα, αν lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R Αν lim =, τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε θετικά αν η σειρά συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο της Ρίζας Παραδείγµατα Η σειρά = 4 5 συγκλίνει γιατί: 4 4 = = <, για κάθε φυσικό 5 5 Η σειρά + + + L+ + L συγκλίνει γιατί: 4
Ο γενικός της όρος είναι = και = = < Η σειρά = 5 συγκλίνει γιατί: = = = < 5 5 4 Η δεν συγκλίνει γιατί: = = = = > 5 Η σειρά συγκλίνει γιατί: 7 = = = = < 7 7 7 7 6 Η σειρά + = δεν συγκλίνει γιατί: + + = = > 7 Η σειρά = α + συγκλίνει όταν η παράµετρος α είναι αρνητική γιατί: α α = + = + e α Οπότε για να είναι το όριο µικρότερο της µονάδας θα πρέπει e e e α α < < < 4
4 Κριτήρια Σύγκρισης Σειρών Παρουσιάζουµε εδώ δύο από τους βασικότερους κανόνες σύγκρισης σειρών Πρόκειται για ιδιαίτερα αποτελεσµατικά κριτήρια σύγκλισης τα οποία χρησιµοποιούνται όταν τα (πιο στοιχειώδη) κριτήρια του Λόγου και της Ρίζας δεν οδηγούν σε ασφαλή συµπεράσµατα 4 Ένα απλό Κριτήριο Σύγκρισης Θεωρούµε δύο σειρές θετικών όρων:, = β για τις οποίες ισχύει ότι = M β ( N ), όπου Μ θετικός πραγµατικός αριθµός Τότε: Αν η σειρά των µεγαλύτερων όρων = β συγκλίνει, τότε συγκλίνει και αυτή των µικρότερων = Αν η σειρά των µικρότερων όρων = δεν συγκλίνει, τότε δεν συγκλίνει και αυτή των µεγαλύτερων β = Παραδείγµατα Η σειρά + 4 = 4 δεν συγκλίνει γιατί: και όπως είδαµε η αρµονική σειρά, + 4 > 4 = 4 4 4 δεν συγκλίνει = Η συγκλίνει γιατί: 5 = + και η = 5 και η αρχική συγκλίνουν < = 5 + 5 5, είναι γεωµετρική σειρά µε λόγο µικρότερο της µονάδας Άρα τόσο αυτή όσο 5
Η δεν συγκλίνει γιατί: = + = = + + Πρόκειται δηλαδή για σειρά µε όρους µεγαλύτερους από ότι η (αποκλίνουσα) αρµονική 4 Η σειρά 5 + 5 + συγκλίνει Πράγµατι, παρατηρούµε αρχικά ότι 5 = (5 + ) 5 + 5 + = + (5 + ) 5 + 5 5 Εποµένως, 5 + 5 + = + (5 + ) 5 + 5 5 = = = Όµως, και οι δύο επιµέρους σειρές που εµφανίσαµε συγκλίνουν γιατί: < = ( ) 5 + 5 5 Η 5 = και η γεωµετρική σειρά είναι p-σειρά µε p=5> ( ) συγκλίνει, αφού = 5 5 <, Έτσι, και η αρχική σειρά θα συγκλίνει ως άθροισµα συγκλινουσών σειρών 5 Για την σειρά + παρατηρούµε ότι: + = / / + > = + + / για κάθε > Όµως, η σειρά ζ (/) = αποκλίνει, εποµένως και η αρχική σειρά αποκλίνει / = 6 Αντίστοιχα, για την έχουµε: < = = + + συγκλίνει, εποµένως το ίδιο ισχύει και για την αρχική σειρά Όµως, η ζ (/ ) = / = συν(π) 7 Η σειρά συγκλίνει για οποιεσδήποτε τιµές των πραγµατικών παραµέτρων, b: b + = 6
Ελέγχουµε την (ισχυρότερη) απόλυτη σύγκλιση συγκρίνοντας µε την συγκλίνουσα ζ () = Πράγµατι: = συν ( π ) < b + b +, συν(π) εποµένως η συγκλίνει απολύτως, άρα και απλά b + = 4 Το Γενικευµένο Κριτήριο Σύγκρισης Σειρών Θεωρούµε δύο σειρές θετικών πραγµατικών αριθµών:, β (ιδιαίτερα για την δεύτερη = = υποθέτουµε ότι > β ) για τις οποίες ισχύει ότι lim = c > Τότε οι δύο σειρές έχουν την β ίδια συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση ηλαδή είτε συγκλίνουν και οι δύο είτε αποκλίνουν και οι δύο Παραδείγµατα Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί αν συγκριθεί µέσω του Γενικευµένου Κριτηρίου µε την 4 = αρµονική σειρά έχουµε: = 4 4 = > Έτσι, αφού η αρµονική σειρά δεν συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την υπό µελέτη σειρά Η σειρά συγκλίνει γιατί αν την συγκρίνουµε µε την (συγκλίνουσα) γεωµετρική σειρά = + ( ) έχουµε: = 7
lim + = lim = lim = = > + + + Για την ηµ ( ) παρατηρούµε (χρησιµοποιώντας τον κανόνα de l Hospitl για τον + = υπολογισµό ορίων) ότι: Εποµένως η ηµ ( ) = ( ) ( ( )) lim ηµ ηµ = lim = lim = limσυν = συν = > ηµ ( ) έχει την ίδια συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση µε την αρµονική σειρά, + = δηλαδή αποκλίνει 4 Η σειρά συγκλίνει γιατί : = ( + ) ( + ) + lim = lim = lim = lim = lim = > + + + / Εποµένως αφού ή ζ (/ ) = συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την αρχική σειρά = Ασκήσεις Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο του Λόγου: i ii iii ( + )( + ) (Απάντηση: συγκλίνει)! = (Απάντηση: αποκλίνει) = + (Απάντηση: αποκλίνει) (l ) = 8
iv v vi ( + ) (Απάντηση: συγκλίνει)! = (Απάντηση: αποκλίνει) = ( + ) (Απάντηση: αποκλίνει) = Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο της Ρίζας: i ii (Απάντηση: συγκλίνει) (l ) = (Απάντηση: συγκλίνει) = iii ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = + iv ( + ) ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο της Σύγκρισης: i (Απάντηση: συγκλίνει) = + ii (Απάντηση: αποκλίνει) + = iii l (Απάντηση: συγκλίνει για p>) p = iv (Απάντηση: αποκλίνει) 4 = v + (Απάντηση: αποκλίνει) = 9
4 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = + + + + +, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται εδώ πραγµατικοί αριθµοί Κάποιες από τις βασικότερες ιδιότητες των πολυωνύµων: o Το πολυώνυµο p() λέµε ότι είναι -βαθµού αν είναι η µεγαλύτερη δύναµη της µεταβλητής που εµφανίζεται σε αυτό Με το συµβολισµό που χρησιµοποιήσαµε παραπάνω, αυτό εξασφαλίζεται αν o Κάθε πολυώνυµο είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση µε παραγώγους που υπολογίζονται εύκολα: p = + + + + ( ), p = + + + κλπ ( ) 6 ( ), o Τα πολυώνυµα είναι επίσης απεριόριστες φορές ολοκληρώσιµες συνάρτησεις µε ολοκληρώµατα που υπολογίζονται χωρίς δυσκολίες: + pd ( ) = + + + + + Όπως γίνεται φανερό, πρόκειται για συναρτήσεις µε ευκολίες που δεν συναντά κανείς σε όλες τις συναρτήσεις Γι αυτόν ακριβώς τον λόγο είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στην Μαθηµατική Ανάλυση η δυνατότητα προσέγγισης µιας συνάρτησης µέσω πολυωνύµων 4 Πολυωνυµική προσέγγιση µέσω του αναπτύγµατος Tylor Θα ξεκινήσουµε µελετώντας την πολυωνυµική προσέγγιση συναρτήσεων µέσω του αναπτύγµατος Tylor Θεωρούµε µια πραγµατική συνάρτηση f ( ) ορισµένη στο διάστηµα [,b] (το οποίο µπορεί να είναι και ολόκληρο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών), για την οποία υποθέτουµε ότι έχει παραγώγους µέχρι και + τάξεως Ζητάµε να προσδιορίσουµε το
πολυώνυµο εκείνο p() που αποτελεί την καλύτερη προσέγγιση της f() βάσει του εξής κριτηρίου: Οι τιµές των f() και p() καθώς και των παραγώγων τους µέχρι -τάξης συµπίπτουν στο σηµείο : ( ) ( ) p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p ( ) = f ( ),, p ( ) = f ( ) Αποδεικνύεται τότε ότι το ζητούµενο προσεγγιστικό πολυώνυµο είναι το ( ) f ( ) f ( ) p( ) = f( ) + f ( ) ( ) + ( ) + + ( )!! Το σφάλµα της προσέγγισης αυτής στο σηµείο είναι ίσο µε ( + ) f ( ξ ) R( ) = f( ) p( ) = ( ) ( + )! όπου ξ σηµείο του διαστήµατος (α,) Αξίζει επίσης να τονισθεί ιδιαίτερα ότι στην περίπτωση που η συνάρτηση f() είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη, τότε ο βαθµός του προσεγγιστικού πολυωνύµου µπορεί να θεωρηθεί ότι τείνει στο άπειρο ενώ το αντίστοιχο σφάλµα αποδεικνύεται ότι τείνει στο µηδέν Έτσι επιτυγχάνεται η ισότητα (και όχι προσέγγιση πια): = + ( ) f ( ) f ( ) = ( ) (4)! Το προηγούµενο ανάπτυγµα της συνάρτησης f σε σειρά δυνάµεων ονοµάζεται ανάπτυγµα Tylor (Mcluri αν ως κέντρο της σειράς επιλεγεί το σηµείο α=) και συγκλίνει, σύµφωνα µε το κριτήριο της ρίζας, όταν: f ( ) < < < = r ( ) ( ) f ( ) lim ( ( ) ) lim ( )!! ( ) f ( ), lim ( )! Ο αριθµός r ονοµάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς Tylor Έτσι, η σειρά συγκλίνει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς που ανήκουν στο διάστηµα (-r,+r) το οποίο και ονοµάζεται διάστηµα σύγκλισης 4 Αναπτύγµατα Tylor βασικών (στοιχειωδών) συναρτήσεων Στην παράγραφο αυτή δίνουµε τα αναπτύγµατα σε σειρές Tylor των βασικότερων στοιχειωδών συναρτήσεων Βασιζόµενοι σε αυτά, καθώς και σε τεχνικές που θα αναπτύξουµε στην επόµενη Ενότητα, µπορούµε να επιτύχουµε την ανάπτυξη σε σειρά Tylor µεγάλης κατηγορίας συναρτήσεων
4 Η εκθετική συνάρτηση Για την συνάρτηση f()=e, R, η οποία, όπως είναι γνωστό, είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη, ισχύει ότι: f e f e ( ) = () = = ( ) f e e f e ( ) = = () = = f = f = e = e f = e = ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) f ( ) = e f () = e = Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύπο (4), µε κέντρο το σηµείο α=, παίρνουµε το ανάπτυγµα Mcluri της εκθετικής συνάρτησης: ( ) f () ( ) e = e =!! = = 4 Η λογαριθµική συνάρτηση l Για την συνάρτηση f()=l η οποία είναι, επίσης, απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της (, ), επιλέγουµε ως κέντρο το σηµείο = και έχουµε: f( ) = l f() = l= f ( ) = ( l ) = f () = = f ( ) = ( f ( ) ) = = f () = f ( ) = ( f ( ) ) = f () = = (4) (4) f ( ) ( f ( ) ) = = f () = = 4 ( ) ( )! ( ) f ( ) = ( ) f () = ( ) ( )! Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύπο (4), µε κέντρο το σηµείο α=, έχουµε: ( ) f () ( ) ( )! l = ( ) = ( )!! = = ( ) l = ( ), < = Ισοδύναµα ο προηγούµενος τύπος µπορεί να γραφεί και ως εξής:
( ) l( + ) =, < = 4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι συναρτήσεις του ηµιτόνου f()=si και του συνηµιτόνου g()=cos είναι παραγωγίσιµες σε όλο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και αναπτύσσονται σε σειρές Tylor µε κέντρο µηδέν ως εξής: f ( ) = si f () = si =, g( ) = cos g () = cos =, f ( ) = si = cos f () = cos =, g ( ) = cos = si g () = si = ( ) ( ) f ( ) cos si f () ( ) si =, g ( ) = si = cos g () = cos = = ( ) = = ( ) f ( ) = si = cos f () = cos =, g ( ) = cos = si g () = si = f ( ) ( ), = k () = k ( ), = k + k ( ) ( ), = k g () =, = k + Έτσι, αντικαθιστώντας στον γενικό τύπο (4), έχουµε: si ( ) = R, (k + )! k k+, k= ( ) = R ( k)! k k c os, k= 44 Η συνάρτηση f( ) = + Το ανάπτυγµα Mcluri της συνάρτησης εναλλάσσουσα γεωµετρική σειρά δυνάµεων του : f( ) =, <, + µας δίνει την
f( ) = f() = + f ( ) = = f () = + ( + ) f ( ) = f () ( ) = = + ( + ) f ( ) = f () 4 ( ) = = + ( + ) (4) 4 (4) f ( ) = f () 4 4 5 ( ) = = + ( + ) f ( )! ( ) ( ) = f () ( )! ( + ) = + Συνεπώς, ( ) f () ( )! = ( ) = +!! = = = ( ), < + = 45 Η διωνυµική σειρά Γενίκευση της προηγούµενης περίπτωσης αποτελεί το ανάπτυγµα της συνάρτησης f( ) = ( + ), R : ( ) f( ) = ( + ) f() =, ( ) f f ( ) = ( + ) = ( + ) () =, f = + = + f = ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ), ( ) ( ) f f ( ) = ( ) ( + ) ( + ) () = ( ) ( + ) Εποµένως, 4
( ) ( + ) ( + ) = =, < =! = 4 Ανάπτυγµα σε σειρά Tylor τυχούσας συνάρτησης Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου θα δώσουµε εδώ παραδείγµατα τεχνικών υπολογισµού αναπτυγµάτων Tylor πιο σύνθετων συναρτήσεων 4 Υπολογισµός σειράς Tylor µε συνδυασµό ή σύνθεση των αναπτυγµάτων των στοιχειωδών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις υπερβολικού ηµιτόνου και συνηµιτόνου Με την βοήθεια του αναπτύγµατος της εκθετικής συνάρτησης (44) αναπτύσσουµε άµεσα σε σειρές Tylor και τις υπερβολικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: e e ( ) sih = = e e = ( ) = ( ) =!!!! = = = = [ ( ) ]! (k+ )!! 5! k+ 5 = = = + + + = k= =, αν = k+ [ ( ) ]!! κι αυτό γιατί =! =, αν = k! Ανάλογα υπολογίζεται και το ανάπτυγµα του υπερβολικού συνηµιτόνου: e + e ( ) cosh = = e + e = + ( ) = ( + ) =!!!! = = = = [ + ( ) ]! ( k)! 4! k 4 = = = + + + = k= Τα αναπτύγµατα αυτά ισχύουν για κάθε πραγµατικό αριθµό Η συνάρτηση Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα (44) έχουµε: 5
= = = = < + ( ) ( ) ( ) ( ), = = = 44 Εφαρµογές Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε κάποιες από τις βασικότερες εφαρµογές/δυνατότητες που αποκτάµε µε την χρήση των αναπτυγµάτων Tylor 44 Υπολογισµός απροσδιόριστων µορφών ορίων Οι σειρές Tylor χρησιµοποιούνται συχνά για τον υπολογισµό ορίων απροσδιορίστων µορφών Πιο συγκεκριµένα, εάν P ( ), Q ( ) είναι πραγµατικές συναρτήσεις και P( ) =, µπορούµε να lim Q ( ) αναλύσουµε τον αριθµητή και παρανοµαστή σε σειρές Tylor κέντρου και να υπολογίσουµε τα ζητούµενα όρια µετά από απλοποιήσεις των κοινών παραγόντων που θα εµφανιστούν si Παράδειγµα Να υπολογιστεί το όριο lim Το ανάπτυγµα Tylor (κέντρου ) του αριθµητή είναι: και άρα το όριο γίνεται! 5! 6 si = + 6 4 8 si lim = lim ( + ) = lim( + ) =! 5!! 5! 44 Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Η προσέγγιση συναρτήσεων από πολυώνυµα µέσω των σειρών Tylor µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως βάση για τον προσεγγιστικό υπολογισµό παραστάσεων που προκύπτουν από µη πολυωνυµικές συναρτήσεις Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, ότι θέλουµε να υπολογίσουµε προσεγγιστικά την τιµή του e Είναι προφανές ότι αυτή προκύπτει ως η τιµή της συνάρτησης f()=e στην θέση = Χρησιµοποιώντας έτσι το ανάπτυγµα Tylor της τελευταίας (βλ και 4) e = = + + + + +!!! 4! = έχουµε, αντικαθιστώντας όπου =: 4 6
Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + = Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + =,5! Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + + = 666666!! 4 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 4ης τάξης: + + + + = 78!! 4! 4 5 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 5ης τάξης: + + + + + = 76666!! 4! 5! 4 5 6 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 6ης τάξης: + + + + + + = 7855!! 4! 5! 6! κλπ Αν θέλαµε λοιπόν στον προηγούµενο προσεγγιστικό υπολογισµό µας ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων θα µπορούσαµε να σταµατήσουµε στο πολυώνυµο 5 ης τάξης αφού αυτό και το επόµενο (6 ης τάξης) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα στα πρώτα δεκαδικά ψηφία 44 Υπολογισµός Ολοκληρωµάτων Χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι Αν f ( ) = ( ) είναι δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R, τότε = για κάθε α, β ( -R, +R) ισχύει f ( d ) = ( ( ) d) β α β, = α µπορούµε να υπολογίζουµε ορισµένα ολοκληρώµατα χρησιµοποιώντας τα αντίστοιχα αναπτύγµατα Tylor Παράδειγµα Υπολογίστε το ολοκλήρωµα cos d, χρησιµοποιώντας την κατάλληλη δυναµοσειρά για το cos µε = Μέχρι ποιας τάξης όρους πρέπει να κρατήσετε για να µπορείτε να ισχυρισθείτε ότι βρήκατε το αποτέλεσµα µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων; Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα του συνηµιτόνου ζητούµενο ολοκλήρωµα: 4 6 8 cos = + +, υπολογίζουµε το! 4! 6! 8! 7
4 6 8 5 7 cos I = d = ( ) d ( ) d + =! 4! 6! 8! +! 4! 6! 8! + + + ( ) ( ) = ( ( ) ) d = d = = ( )! ( )! ( )! = = = = + + 4 96 4 56 Το αποτέλεσµα, κρατώντας στο ανάπτυγµα του συνηµιτόνου όρους µέχρι και 8 ης τάξης, είναι: Ι 8 = 9874 Αν σταµατούσαµε όµως σε όρους 6 ης τάξης θα παίρναµε την εκτίµηση Ι 6 = 9848, η οποία είναι ακριβής όσον αφορά στα 5 πρώτα δεκαδικά ψηφία αφού ο όρος 8 ης τάξης αφαιρεί ποσότητα που είναι περίπου Άλλα Παραδείγµατα Λυµένες Ασκήσεις ώστε το ανάπτυγµα σε σειρά Tylor για την συνάρτηση = ( ), = < = = γύρω από το Να υπολογίσετε προσεγγιστικά την ποσότητα µε ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων Η ζητούµενη ποσότητα είναι ίση µε την τιµή της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο = Αναπτύσσουµε, εποµένως, πρώτα την f() σε σειρά Tylor µε κέντρο το σηµείο =: f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = + f ( ) = f ( ) = 4 + 4 f ( ) = f ( ) = 5 8 + 8 ( 4 ) 5 ( 4 f ( ) = ) 5 f ( ) = 7 6 + 6 ( f ( ) ( ) ) f f ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) + + + + + =!!! 4 5 = + + + 4! 8! 6 4! 8
Αντικαθιστώντας = στην προηγούµενη σχέση βρίσκουµε τις εξής προσεγγίσεις για την τετραγωνική ρίζα του :, Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + =,5,, Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + =,49875 8 8, (,) (,) Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + = + + =,498756 8 48 8 48 κλπ Είναι φανερό επίσης ότι ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων επιτυγχάνουµε αν σταµατήσουµε στο πολυώνυµο ης τάξης αφού αυτό και το επόµενο ( ης τάξης) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα στα πρώτα 6 δεκαδικά ψηφία (α) Αναπτύξτε σε σειρά Tylor την συνάρτηση f ( ) = si( ) µε κέντρο το, µέχρι και τον όρο 5 Στη συνέχεια, µετατρέψτε τις π = 459 o 46 σε ακτίνια και υπολογίστε την ποσότητα si(46 ), χρησιµοποιώντας (β) Επαναλάβετε τα ανωτέρω, αναπτύσσοντας την ίδια συνάρτηση σε σειρά µε κέντρο το 4 π, µέχρι π και τον όρο ( ) Ποιός από τους δύο τρόπους υπολογισµού είναι ακριβέστερος και ταχύτερος, αν 4 συγκριθεί µε την «ακριβή» τιµή που σας δίνει ένας απλός υπολογιστής «τσέπης»; (α) Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε στην παράγραφο 4, το ανάπτυγµα Tylor της f()=si µε κέντρο το k ( ) k+ µηδέν είναι si = Έτσι, αν κρατήσουµε όρους µέχρι και τάξεως 5, έχουµε την k= (k + )! προσέγγιση: 5 si = + Αντικαθιστώντας τώρα, όπου την ποσότητα π, που µας δίνει η άσκηση βρίσκουµε: 6 o 46π 46 =,885, και χρησιµοποιώντας την τιµή του 8 o si 46 = 798 9
(β) Ο τύπος της σειράς µε κέντρο το = π /4 είναι επιµέρους ποσότητες: ( ) f ( π /4) π si = ( )! 4 = Υπολογίζουµε τις f( ) = si =, f '( ) = (si ) = (cos ) =, f ''( ) = (cos ) = (si ) = π π π ' π ' 4 4 4 π π 4 π π = = = = 4 4 4 4 Εποµένως, η σειρά γίνεται π π si = + + 4 4 4 o 46π Αντικαθιστώντας τώρα, όπου την ποσότητα 46 = και χρησιµοποιώντας την τιµή του π, που µας 8 o δίνει η άσκηση βρίσκουµε: si 46 = 794 Η ακριβής τιµή, που δίνει ένας υπολογιστής τσέπης είναι: o si 46 = 794 και άρα η δεύτερη µέθοδος είναι ακριβέστερη και γρηγορότερη 4 Χρησιµοποιώντας τα αναπτύγµατα των εµπλεκόµενων συναρτήσεων σε σειρές Mcluri, υπολογίστε το e e όριο lim si Το ανάπτυγµα Mcluri του αριθµητή και του παρονοµαστή είναι: 5 e e = + + +L 6 5 si = + +L 6 και το όριο γίνεται 5 + + + L lim 6 = 5 + + L 6 Το τελευταίο αποτέλεσµα αποκτάται διαιρώντας αριθµητή και παρανοµαστή µε, και αντικαθιστώντας όπου το 5 Αναλύστε την συνάρτηση y ( ) = e σε σειρά Tylor µε κέντρο =, µέχρι και τον υπολογίστε προσεγγιστικά το ορισµένο ολοκλήρωµα αν είχατε κρατήσει και όρους 4 ( ) Το ζητούµενο ανάπτυγµα γράφεται: e ( ) όρο και d Πόσο διαφορετικό θα ήταν το αποτέλεσµα ; Θεωρείτε επιτυχή τη προσέγγιση µέχρι τον όρο ( ) ;
4 e = e e ( ) + e ( ) e ( ) + e ( )!! 4! Αντικαθιστώντας στο ολοκλήρωµα και κάνοντας τις πράξεις έχουµε: 4 e e ( ) ( ) ( ) I = d = ( ( ) ) d + +!! 4! 5 8 4 6 4 = d e + + +, 6 + + 4 4 4 4 4 όπου σε τετράγωνες παρενθέσεις έχουµε συµπεριλάβει τους όρους 4 ης τάξης του αναπτύγµατος Υπολογίζοντας τα επί µέρους ολοκληρώµατα µέχρι όρους ης τάξης βρίσκουµε το αποτέλεσµα: 5 8 7 Ι = e + l + = 4595 e 694 8 Αν συµπεριλαµβάναµε και τους όρους 4 ης τάξης θα βρίσκαµε: 6 65 5 7 5 Ι 4 = e + l + + = 464 e 77 6 4 8 9 96 Από το γεγονός ότι τα αυτά αποτελέσµατα έχουν µικρή διαφορά, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι βρίσκονται κοντά στη σωστή απάντηση 6 Έστω ότι για µία συνάρτηση y = f( ) δίνεται ότι: ( )! f() =, f '() =, f ''() =, f '''() =,, f () = 4 Να γραφεί η σειρά Tylor της συνάρτησης αυτής γύρω από το = Για ποιές τιµές του συγκλίνει αυτή η σειρά; Ποιά είναι η τιµή της f () ; Χρησιµοποιώντας τον γενικό τύπο ( ) f ( ) f ( ) = ( ) στην θέση =, έχουµε:! = ( ) f() f () f () f () f () f( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + =!!!!!! 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + ( ) + =!!!!! = ( ) = ( )! = = Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της ρίζας µπορούµε να προσδιορίσουµε το διάστηµα σύγκλισης της σειράς αυτής Συγκεκριµένα, για να συγκλίνει η σειρά αρκεί να ισχύει ότι: lim ( ( ) ) lim ( ) < < < < < < < <
Τέλος, δεδοµένου ότι το σηµείο = περιλαµβάνεται στο διάστηµα σύγκλισης της σειράς, η ζητούµενη τιµή f() υπολογίζεται ως εξής: ( ) f () = ( ) = ( ) = = = = = = ( ) Ασκήσεις Αναπτύξτε σε σειρά Tylor µε κέντρο µηδέν την συνάρτηση f()=( +)e και αποδείξτε ότι = e! = Υπολογίστε προσεγγιστικά τις τιµές: i /e µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 6788) ii si6 o µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 8895) iii l(97) µε ακρίβεια 7 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: -459) iv t o µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 69) Πόσους όρους από το ανάπτυγµα Tylor (κέντρου ) του l(+) πρέπει να κρατήσουµε ώστε να υπολογίσουµε το l() µε σφάλµα µικρότερο του 5; 4 Χρησιµοποιώντας δυναµοσειρές δείξτε ότι: (i) e lim e si = (ii) 6 cosh cos = si lim sih 5 είξτε ότι: i ii iii cos( d ) 7655 / + 4 d 494 si d 9468
5 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Η προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων, την οποία µελετήσαµε στην προηγούµενη Ενότητα, παρά την αποτελεσµατικότητα και την, σχετική, απλότητά της, αποδεικνύεται ανεπαρκής για την περιγραφή/προσέγγιση περιοδικών συναρτήσεων Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται µε την διαδικασία ανάπτυξης συναρτήσεων σε σειρές Fourier κατά την οποία οι υπό µελέτη συναρτήσεις προσεγγίζονται από απεικονίσεις της µορφής φ ( ) = ( cos( k) + β si( k)), k k k= όπου οι συντελεστές k, β κ είναι πραγµατικοί αριθµοί ενώ η (επίσης πραγµατική) παράµετρος k καθορίζει την περίοδο των προσεγγιστικών συναρτήσεων φ () Οι τελευταίες ονοµάζονται τριγωνοµετρικά πολυώνυµα Στη συνέχεια δίνουµε µια συνοπτική περιγραφή της µεθόδου βάσει της οποίας γίνεται η προσέγγιση αυτή: Αρχικά παρατηρούµε ότι µέσω κατάλληλου µετασχηµατισµού οποιαδήποτε συνάρτηση f(t) ορισµένη στο διάστηµα [α,β] µπορεί να θεωρηθεί ότι έχει ως πεδίο ορισµού το [,π] (συγκεκριµένα π ( t ) ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση = ) Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, β α θα περιορίσουµε την µελέτη µας σε συναρτήσεις που είναι ορισµένες στο διάστηµα [,π] Ισοδύναµα, χρησιµοποιώντας ανάλογο µετασχηµατισµό, µπορούµε να υποθέτουµε ότι η συνάρτηση που µελετάµε έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα [-π,π] Από την άλλη µεριά, χρειαζόµαστε ένα κριτήριο προσέγγισης ολικού χαρακτήρα, ένα κριτήριο δηλαδή το οποίο θα λαµβάνει υπόψη του την συµπεριφορά της συνάρτησης σε όλο το πεδίο ορισµού της και όχι µόνο στην περιοχή ενός σηµείου του, όπως συµβαίνει µε το κριτήριο των παραγώγων στην προσέγγιση Tylor Υιοθετήθηκε λοιπόν η χρήση των ορισµένων ολοκληρωµάτων σε όλο το πεδίο ορισµού [,π] των υπό µελέτη συναρτήσεων Έτσι απαιτούµε: π π π π π π φ ( d ) = f( d ), φ ( ) cos( k) d = f ( ) cos( k) d, k =,,,, φ ( ) si( k) d = f ( ) si( k) d, k =,,,
Οι προηγούµενες σχέσεις, αν θεωρήσουµε ότι ο βαθµός του προσεγγιστικού τριγωνοµετρικού πολυωνύµου τείνει στο άπειρο, οδηγούν στο ανάπτυγµα Fourier της συνάρτησης f(): f ( ) = ( cos( ) + β si( )), όπου = = π π π π f( ) d, = f( ) cos( ) d,, π N β = f ( ) si( ) d, π N Οι τύποι αυτοί απλοποιούνται σηµαντικά στην περίπτωση άρτιων ή περιττών συναρτήσεων Συγκεκριµένα: Αν η συνάρτηση f(), [-π,π], είναι άρτια (ισχύει δηλαδή ότι f(-)=f(), για κάθε [-π,π]) τότε το ανάπτυγµά της σε σειρά Fourier διαµορφώνεται ως εξής: f ( ) = cos( ), όπου α = f ( ) cos( ) d, N = π π π Αν η συνάρτηση f(), [-π,π], είναι περιττή (ισχύει δηλαδή ότι f(-)=-f(), για κάθε [-π,π]) τότε το ανάπτυγµά της σε σειρά Fourier γίνεται: f ( ) = β si( ), όπου = π β = f ( ) si( ) d, N π π Παραδείγµατα Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f ( ) =, < π όπου οι = Η ζητούµενη σειρά Fourier δίνεται από την παράσταση ( cos( ) + β si( ) ) συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: π π ( ) π 8 4 π π π π π π, = f d= d= = = 4
( ) ( ) ( ) = π π f ( ) cos( ) d cos( ) d π = π = si cos si + π ( ) ( ) ( ) 4π si π 4cos π si π 4 + = π π = ( ) ( ) ( ) π π cos si cos β = f ( ) si( ) d si( ) d π = π = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( π) cos π 4π si π cos π cos = + + = 4 Αρα, το ανάπτυγµα Fourier της f()= έχει ως εξής: = + ( cos( ) βsi( )) = = 4π 4 4 + = π π cos( ) si( ) π (α) Να αναπτυχθεί η συνάρτηση, < < π f( ) =, π < < µε f() =, σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-π, π] (β) Να υπολογισθεί το άθροισµα ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων; ( ) Πόσους όρους πρέπει να κρατήσετε για να επιτύχετε + = (α) Η συνάρτηση είναι περιττή άρα θέλουµε µόνο τους συντελεστές β : π π π β = f ( )si( ) d si( ) d [ cos( π) ] [ cos( π) ] π = π = = = π π π π 4, αν = k + = (k + ) π, αν = k+ = ( ( ) ) Άρα 4 f ( ) = si[(k+ ) ] (k + ) π k= (β) Για =π/ ισχύει ότι f()= Άρα: 5
k 4 (k + ) π 4 π 4( ) si[ ] = si[ kπ + ] = = k= (k+ ) π k= (k+ ) π k= (k+ ) π k ( ) π ( ) π = = k= k+ 4 = + 4 Τώρα = Για να πετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων θα πρέπει, σύµφωνα µε τα όσα + αναπτύχθηκαν και στην παράγραφο 4 για τις εναλλάσσουσες σειρές και το σφάλµα προσέγγισής τους, να ισχύει ότι + < Άρα + = < 49 + Αναπτύξτε σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-π, π] την περιοδική συνάρτηση µε γραφική παράσταση: και αποδείξτε ότι π = 8 = ( ) Από το σχήµα γίνεται φανερό ότι η υπό µελέτη συνάρτηση στο διάστηµα [-π,] είναι σταθερά ίση µε µηδέν, ενώ στο [,π] ο τύπος της είναι f()=, ώστε η γραφική της παράσταση να είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο (,) και τέλος το (π,π) Άρα ο γενικός τύπος της θα είναι:, -π < f( ) =, < π Εποµένως, έχουµε το ανάπτυγµα Fourier της f() ως εξής: f ( ) = ( cos( ) + β si( )), όπου: = π = π π π π = f( ) d= ( d+ d) = ( + ) π π π = = π 4 π π = 6
π π π si( ) = f( ) cos( d ) ( cos( d ) cos( d ) ) ( ( ) d) π = π + = + = π π = π π π si( ) si( ) si( π ) = ( d) ( π si( ) d) π = = π = = π cos( ) = ( π ) ( π = cos( π ) cos()) (( ) ) π = π = π Η τελευταία σχέση µπορεί να αναλυθεί περαιτέρω αν λάβουµε υπόψη µας ότι, αν =k ( ) =, ως εξής:, αν =k+ Ανάλογα υπολογίζουµε ότι:, αν =k =, k=,,,, αν =k- π (k ) π π π cos( ) β = f ( ) si( ) d ( si( ) d si( ) d) ( ( ) d) π = π + = + = π π cos( ) cos( ) cos( π ) = ( d) ( π cos( ) d) π = + + = π ( ) si( ) = ( π + π π = π π π = = π = + ( ) ( ) ) = ( π + ) = π Έτσι συµπεραίνουµε ότι το ζητούµενο ανάπτυγµα Fourier της f() είναι: + π ( ) f ( ) = ( cos((k ) ) + ( si( )) 4 π (k ) k= = Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύπο για = έχουµε: + π ( ) π π f () = ( cos()) + ( si()) = = 4 π(k ) 4 π (k ) 8 (k ) k= = k= k= Ασκήσεις Αναπτύξτε σε σειρές Fourier τις επόµενες συναρτήσεις: (i), -π < f( ) =, < π (Απάντηση: 4 si((κ + ) ) f ( ) = ) π (k + ) k= π (ii) f( ) =, (, π ) (Απάντηση: si( ) f ( ) = ) = 7