Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Mathematics and Statistics in Biology WINTER SEMESTER (1 st ) School of Biology Aristotle University of Thessaloniki 8. Ελεγχος Υποθεσεων
Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης από Παρατηρησεις Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης Παραμετρικος Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης Μη Παραμετρικος Δοκιμασιες X 2
Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης από Παρατηρησεις Μηδενικη Υποθεση (Null Hypothesis) Η0 Εναλλακτικη Υποθεση (Alternative Hypothesis) Η1 Null Hypothesis Fisher 1935 Alternative Hypothesis Neyman Pearson, Fisher πολύ αντιθετος Η Παρατηρηση είναι (Στατιστικα) Σημαντικη (Statistically) Significant H Δοκιμη Απορριπτει την Μηδενικη Υποθεση There are 4 possible Outcomes for the Null Hypothesis H0:
ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ με την ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΣ Η1 Αληθης Είναι Ενοχος Pregnancy Η1 Ψευδης Είναι Αθωος Νο Pregnancy ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ελεγχος Η0) Η0 is rejected by the Test The test is Positive for H1 Τhere is Εvidence for H1 Διαπιστωθηκε Ενοχη Pregnancy Indicated True Positive Outcome Convicting the Guilty Pregnancy Indicated and The Lady is Pregnant False Positive Outcome Error of 1st kind Convicting the Innocent Pregnancy Indicated but The Lady is not Pregnant Η0 is not rejected by the Test The test is Negative for H1 Τhere is Νο Εvidence for H1 Δεν διαπιστωθηκε Ενοχη Pregnancy not Indicated False Negative Outcome Error of 2nd kind Releasing the Guilty Pregnancy not Indicated but The Lady is Pregnant True Negative Outcome Releasing the Innocent Pregnancy not Indicated and The Lady is not Pregnant
Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης Παραμετρικος 0. Oριζω το Προβλημα και την Υποθεση Ερευνας προς Ελεγχο το Φαρμακο Α θεραπευει σε χρονο τ = τ 0 ημερες κατά μεσο ορο Είναι το Φαρμακο Β καλυτερο από το Φαρμακο Α? 1. Oριζω την Μηδενικη Υποθεση (Null Hypothesis) Η 0 Η 0 = [τ=τ 0 ] 2. Oριζω την Εναλλακτικη Υποθεση (Alternative Hypothesis) Η 1 Η 1 = [τ< τ 0 ] 3. Oριζω τις Παραδοχες Οι εκτιμησεις του χρονου θεραπειας τ από το δειγμα ακολουθουν Κανονικη Κατανομη με μεση τιμη μ και διασπορα σ 2 4. Oριζω τον Στατιστικο (Στατιστικη Παραμετρο Ελεγχου) z από το δειγμα (ξ 1, ξ 2,, ξ Μ ) z=
5. Oριζω την Περιοχη Απορριψης Ξ της Υποθεσης Η 0 για σημαντικοτητα α (α=0.1, α=0,05, α=0,01) Ξ =, P =α Μονοπλευρη Υποθεση 6. Υπολογιζω την τιμη από το δειγμα 7. Συμπεραινω Ξ Η Υποθεση Η 1 απορριπτεται από τη Δοκιμη Ξ Η Υποθεση Η 1 δεν απορριπτεται από τη Δοκιμη
Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης 0. Oριζω το Προβλημα και την Υποθεση Ερευνας προς Ελεγχο το Φαρμακο Α θεραπευει σε χρονο τ = τ 0 ημερες κατά μεσο ορο Είναι το Φαρμακο Β χειροτερο από το Φαρμακο Α? 1. Oριζω την Μηδενικη Υποθεση (Null Hypothesis) Η 0 Η 0 = [τ=τ 0 ] 2. Oριζω την Εναλλακτικη Υποθεση (Alternative Hypothesis) Η 1 Η 1 = [τ > τ 0 ] 3. Oριζω τις Παραδοχες Οι εκτιμησεις του χρονου θεραπειας τ από το δειγμα ακολουθουν Κανονικη κατανομη με μεση τιμη μ και διασπορα σ 2 4. Oριζω τον Στατιστικο (Στατιστικη Παραμετρο Ελεγχου) z από το δειγμα (ξ 1, ξ 2,, ξ Μ ) z=
5. Oριζω την Περιοχη Απορριψης της Υποθεσης για σημαντικοτητα a Ξ =, P =α Μονοπλευρη Υποθεση 6. Υπολογιζω την τιμη από το δειγμα 7. Συμπεραινω Ξ Η Υποθεση Η1 απορριπτεται από τη Δοκιμη Ξ Η Υποθεση Η1 δεν απορριπτεται από τη Δοκιμη
Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης 0. Oριζω το Προβλημα και την Υποθεση Ερευνας προς Ελεγχο το Φαρμακο Α θεραπευει σε χρονο τ = τ 0 ημερες κατά μεσο ορο Είναι το Φαρμακο Β διαφορετικο από το Φαρμακο Α? 1. Oριζω την Μηδενικη Υποθεση (Null Hypothesis) Η 0 Η 0 = [τ=τ 0 ] 2. Oριζω την Εναλλακτικη Υποθεση (Alternative Hypothesis) Η 1 Η 1 = [τ τ 0 ] 3. Oριζω τις Παραδοχες Οι εκτιμησεις του χρονου θεραπειας τ από το δειγμα ακολουθουν Κανονικη κατανομη με μεση τιμη μ και διασπορα σ 2 4. Oριζω τον Στατιστικο (Στατιστικη Παραμετρο Ελεγχου) z από το δειγμα (ξ 1, ξ 2,, ξ Μ ) z=
5. Oριζω την Περιοχη Απορριψης της Υποθεσης για σημαντικοτητα α Ξ = /, P / = α Διπλευρη Υποθεση 6. Υπολογιζω την τιμη από το δειγμα 7. Συμπεραινω Ξ Η Υποθεση Η1 απορριπτεται από τη Δοκιμη Ξ Η Υποθεση Η1 δεν απορριπτεται από τη Δοκιμη
Διαφορες Περιπτωσεις όπως στις Εκτιμησεις Δοκιμασια (Ελεγχος) Υποθεσης Μη Παραμετρικος Έλεγχος κατανομής και εύρεση παράτυπων σημείων Ιστόγραμμα Θηκόγραμμα Q-Q Plot Stem and Leaf plot
Έλεγχος Kolmogorov-Smirnov Προϋποθέσεις Ελέγχου Kolmogorov Smirnov 1 Το δείγμα είναι τυχαίο και προέρχεται απο Παρατηρησεις Ισοπιθανες 2. Οι παρατηρήσεις είναι Αμοιβαία Ανεξάρτητες (independence between the two samples) Oρισμος Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής Kolmogorov είναι: P(K x) K η Τυχαια μεταβλητη Kolmogorov FΝ(x) = δείγματος η εμπειρική αθροιστικη συνάρτηση κατανομής του H0 : η FΝ(x) = F(x), οπου F δεδομενη αθροιστική συνάρτηση κατανομής
Θεωρημα Kolmogorov Αν F(x) συνεχής, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση H0 με σημαντικοτητα a αν supx Fn(x) F(x) > Κα Κα το ποσοστημοριο της Κατανομης Kolmogorov Για την περίπτωση δυο δειγμάτων με μεγέθη Μ για την F(x) και Ν για την G(x): Η μηδενική υπόθεση ισότητας των δυο εμπειρικών συναρτήσεων κατανομής (H0: F=G) Απορριπτεται αν: αν supx FΜ(x)-GΝ(x) > Κα
Γενικευση σε Συνθετες Υποθεσεις Διαμαχη Επιστημολογικη
Δοκιμασιες X 2 Δοκιμασια X 2 Kαλης Προσαρμογης (Goodness of Fit) 0. Oριζω το Προβλημα και την Υποθεση Ερευνας προς Ελεγχο Ταξινομηση Ν Οντων σε n Κλασεις {σ 1, σ 2,... σ n } Αριθμητικες ειτε Κατηγορικες μεταβλητες Παραδειγμα: Ν σφαιριδια σε n δοχεια διαφορετικων χρωματων Ν 1, Ν 2,..., Ν n oι αριθμοι των Οντων στις Κλασεις σ 1, σ 2,..., σ n, Ν 1 + Ν 2 +... + Ν n = Ν Διαφερει η κατανομη που διαπιστωνω από την κατανομη με πιθανοτητες p 1 = p 10,, p n =p n0? 1. Oριζω την Μηδενικη Υποθεση (Null Hypothesis) Η 0 Η 0 = [p 1 = p 10, p 2 = p 20,, p n =p n0, p 10 + p 20 +... + p n0 = 1 ] 2. Oριζω την Εναλλακτικη Υποθεση (Alternative Hypothesis) Η 1 Η 1 = [p κ p κ0, για τουλαχιστον καποιο κ=1,2, n ] = οιαδηποτε διαφοροποιηση από την Η 0
3. Oριζω τις Παραδοχες p 1, p 2,, p n oι (θεωρητικες) πιθανοτητες εκαστης κλασης, p 1 + p 2 +... + p n = 1 Οι δοκιμες ανεξαρτητες Θεωρημα Η κοινη κατανομη πιθανοτητας είναι η Πολυωνυμικη (Γενικευση της Bernoulli) ρ[ν 1, Ν 2,..., Ν n ] =!!!! 4. Oριζω το Στατιστικο (Στατιστικη Παραμετρο Δοκιμασιας) από το δειγμα (ξ 1, ξ 2,, ξ Μ ) Σταθμισμενο Αθροισμα Τετραγωνων Διακυμανσεων Pearson = ο Θεωρητικα αναμενομενος αριθμος των Οντων στην Κλαση σ κ, κ=1,2,..., n
5. Oριζω την Περιοχη Απορριψης Ξ της Υποθεσης για σημαντικοτητα a Θεωρημα Pearson Η Μεταβλητη = ακολουθει κατανομη Xι τετραγωνο βαθμου ν= Ν 1 (λογω του περιορισμου Ν 1 + Ν 2 +... + Ν n = Ν) Ξ =, P =a Pearson: Cochran: και το πολύ 20% των μικροτερα του 5 Αλλως συμπτυξη κλασεων 6. Υπολογιζω την τιμη από το δειγμα 7. Συμπεραινω Ξ Η Υποθεση Η 1 απορριπτεται από τη Δοκιμη Ξ Η Υποθεση Η 1 δεν απορριπτεται από τη Δοκιμη
Δοκιμασια X 2 Αλληλοεξαρτηση (Interdependence) 0. Oριζω το Προβλημα και την Υποθεση Ερευνας προς Ελεγχο Α 1,, Α κ oι διαφορετικες κλασεις-τιμες της Μεταβλητης Α Β 1,, Β λ oι διαφορετικες κλασεις-τιμες της Μεταβλητης Β Ν αβ ο αριθμος των Οντων που εντασσονται στις κλασεις Α α και Β β Ν ο αριθμος των μετρησεων Είναι οι Μεταβλητες Ανεξαρτητες? Παραδειγμα Α=το χρωμα των οφθαλμων των φοιτητων της Βιολογιας του ΑΠΘ Α 1 =καστανο, Α 2 =γαλαζιο, Α 3 =πρασινο, Α 4 =γκρι, Α 5 =μελι Β=το χρωμα των μαλιων των φοιτητων της Βιολογιας του ΑΠΘ Β 1 =καστανο, Β 2 =μαυρο, Β 3 =ξανθο, Β 4 =κοκκινο
1. Oριζω την Μηδενικη Υποθεση (Null Hypothesis) Η 0 Η 0 = [p αβ = p α p β, α=1,,κ, β=1,,λ ] 2. Oριζω την Εναλλακτικη Υποθεση (Alternative Hypothesis) Η 1 Η 1 = [p αβ p α, p β, για τουλαχιστον καποια α,β, α=1,,κ, β=1,,λ, κ=1,2, n ] = οιαδηποτε διαφοροποιηση από την Η 0 3. Oριζω τις Παραδοχες Οι δοκιμες ανεξαρτητες
4. Oριζω το Στατιστικο (Στατιστικη Παραμετρο Δοκιμασιας) από το δειγμα (ξ 1, ξ 2,, ξ Μ ) Σταθμισμενο Αθροισμα Τετραγωνων Διακυμανσεων Pearson = ο Θεωρητικα αναμενομενος αριθμος των Οντων στις Κλασεις κ,λ = =
5. Oριζω την Περιοχη Απορριψης Ξ της Υποθεσης για σημαντικοτητα a Θεωρημα Pearson Η Μεταβλητη = ακολουθει κατανομη Xι τετραγωνο βαθμου ν = (κ 1)(λ1) Ξ =, P =a Pearson: Cochran: και το πολύ 20% των μικροτερα του 5 Αλλως συμπτυξη κλασεων 6. Υπολογιζω την τιμη από το δειγμα 7. Συμπεραινω Ξ Η Υποθεση Η 1 απορριπτεται από τη Δοκιμη Ξ Η Υποθεση Η 1 δεν απορριπτεται από τη Δοκιμη