Výučba matematiky s podporou edukačného softvéru II

METODICKO-PEDAGOGICKÉ CENTRUM Výučba matematiky s podporou edukačného softvéru II Graph 4.4 Jana HNATOVÁ Bratislava 2012

Názov: Výučba matematiky s podporou edukačného softvéru II Graph 4.4 Autor: RNDr. Jana Hnatová, PhD. Recenzenti: PaedDr. Anna Imrichová., Mgr. Silvia Školiaková Vydavateľ: Metodicko-pedagogické centrum v Bratislave Jazyková úprava: Radoslav Peciar Grafická úprava: Ing. Monika Chovancová Vydanie: 1. Rok vydania: 2012 Počet strán: 68 ISBN 978-80-8052-439-5

OBSAH Úvod... 5 1 Začíname s kresličmi funkcií... 6 1.1 Stiahnutie a inštalácia programu Graph... 7 1.2 Stručná charakteristika programu Graph... 9 1.2.1 Spolupráca programu Graph a iných aplikácií... 11 1.3 Prehľad príkazov v hlavnej ponuke... 14 1.3.1 Skupina príkazov Soubor... 14 1.3.2 Skupina príkazov Úpravy... 15 1.3.3 Skupina príkazov Funkce... 16 1.3.4 Skupina príkazov Zobrazení... 16 1.3.5 Skupina príkazov Výpočty... 17 1.3.6 Skupina príkazov Nápověda... 18 1.4 Nastavenia... 19 1.4.1 Osi... 19 1.4.2 Možnosti... 22 1.4.3 Vložiť/upraviť funkciu... 23 1.4.4 Vložiť/upraviť dotyčnicu alebo kolmicu... 25 1.4.5 Vložiť/upraviť šrafovanie... 26 1.4.6 Vložiť/upraviť postupnosť bodov... 29 1.4.7 Vložiť regresnú krivku... 30 1.4.8 Vložiť/upraviť opis... 32 1.4.9 Vložiť/upraviť vzťah... 33 1.4.10 Vložiť graf prvej derivácie... 34 1.4.11 Vlastná funkcia/konštanty... 35 1.4.12 Funkčná hodnota... 36 1.4.13 Obsah ohraničenej oblasti... 38 1.4.14 Dĺžka krivky... 39 1.4.15 Tabuľka... 39 1.4.16 Animovať... 42 1.4.17 Uložiť ako obrázok... 44 1.4.18 Úprava zobrazenia pracovnej časti Graf... 45

2 Ukážky riešených úloh... 44 2.1 Úloha č. 1... 45 2.2 Úloha č. 2... 47 2.3 Úloha č. 3... 49 2.4 Úloha č. 4... 51 2.5 Úloha č. 5... 54 2.6 Úloha č. 6... 57 2.7 Úloha č. 7... 59 2.8 Úloha č. 8... 61 Záver... 66 Zoznam bibliografických odkazov... 68

Úvod Druhá časť učebného zdroja vytvoreného k akreditovanému inovačnému vzdelávaciemu programu Výučba matematiky s podporou edukačného softvéru sa obsahovo týka jeho štyroch vzdelávacích modulov: modulu 2 Softvér využiteľný v práci učiteľa matematiky, modulu 4 Kresliče funkcií na hodinách matematiky, modulu 9 Možnosti Internetu práca s voľne prístupným softvérom na hodinách matematiky, modulu 10 Tvorba projektu. Podrobne sa pritom budeme venovať jednému z programov zaradených do skupiny grapherov, presnejšie programu Graph verzia 4.4, ktorý je na internete voľne dostupný, a to aj v českej lokalizácii. Ciele, ktoré v tomto učebnom zdroji sledujeme: spracovať podrobný návod k uvedenému programu, jednoznačne zameraný na potreby práce učiteľa matematiky berúc ohľad na formu štúdia v tomto vzdelávacom programe, ponúknuť ukážky jeho využitia na hodinách matematiky v rámci riešenia konkrétnych úloh zo školskej (a okrajovo aj vyššej) matematiky. Program Graph umožňuje učiteľovi matematiky nielen názorne, ale aj s vysokou mierou presnosti modelovať grafické riešenia úloh predovšetkým z tematických okruhov algebra riešenie rovníc, nerovníc a ich sústav; funkcie; postupnosti; analytická geometria v rovine a regresná analýza údajov v štatistike. Okrajovo sa tiež zmienime o využití programu na riešenie niektorých úloh diferenciálneho a integrálneho počtu, ktoré je možné zaradiť v rámci rozširujúcich tém na hodinách seminárov a cvičení z matematiky. Autorka 5

1 Začíname s kresličmi funkcií Kresliče funkcií (angl. graphers) predstavujú skupinu programov primárne zameraných na grafické znázornenie a analýzu 2D grafov. Štandardne disponujú integrovaným prostredím a zabudovanou ponukou funkcií a konštánt, ktoré môžeme pri kreslení využívať. Väčšina z nich umožňuje prezentovať súčasne niekoľko grafov rôznych funkcií, prípadne ich aj interaktívne upravovať. Po zadaní predpisu program automaticky znázorní priebeh konkrétnej funkcie, umožní nám nájsť špecifické body funkcie, napr. priesečníky s osami, lokálne extrémy alebo dopočítať funkčné hodnoty v daných bodoch. Niektoré kresliče ponúkajú nástroje na zderivovanie funkcie, umožňujú v danom bode nájsť jej dotyčnicu alebo kolmicu. Ďalšie dokážu pracovať s plochami, vyšrafovať zadané elementy roviny, vypočítavať plochu ohraničenú dvoma krivkami, krivkou a niektorou z osí na zadanom intervale alebo dĺžku krivky medzi jej dvoma bodmi. Občas majú zabudovaný aj regresný analyzátor, ktorý je schopný zo zadaných hodnôt aproximovať funkčný predpis a zobraziť graf regresnej krivky. A nakoniec, najčastejšie požadovanou funkciou býva výstup do podoby súborov obrazového formátu. V našom učebnom zdroji sme si zo širokej ponuky programov tohto druhu vybrali program Graph 4.4 z jednoduchého dôvodu. Napriek tomu, že patrí k voľne dostupným programom, spĺňa všetky už uvedené požiadavky. Dokonca má v zálohe aj niečo navyše, napríklad export údajov v tabuľkách či tvorbu animácií. Jeho autorom je Ivan Johansen a jeho domovskou stránkou je http://www.padowan.dk (obr. 1). Obrázok 1 Domovská stránka programu Graph 6

1.1 Stiahnutie a inštalácia programu Graph Obrázok 2 Stiahnutie inštalačného súboru z domovskej webovej stránky programu Graph Po spustení internetu otvoríme domovskú stránku tohto programu (http://www.padowan.dk), kde je možné kliknutím na voľbu Downloads prejsť na ponuku stiahnutia inštalačného súboru SetupGraph-4.4.exe do nášho pracovného počítača 1 (obr. 2). Inštalačný súbor je samorozbaľovací, takže stačí ho spustiť dvojklikom na ikonku (obr. 3). Inštalácia sa rozbehne. Obrázok 3 Ikona inštalačného programu Otvorí sa prvé dialógové okno Otvoriť súbor Upozornenie zabezpečenia (obr. 4), v ktorom nás počítač požiada o povolenie spustiť inštaláciu. My súhlasíme kliknutím na tlačidlo Spustiť. Obrázok 4 Okno Otvoriť súbor Upozornenie zabezpečenia Spestrením inštalácie tohto programu je ponuka výberu inštalačného jazyka v arabčine. My sa nenecháme odradiť a z ponuky jazykov kliknutím na smerovník za ich zoznamom vyberieme češtinu (obr. 5). Upozorňujeme, že výber jazyka inštalácie je zároveň aj výberom jazyka pre užívateľské rozhranie programu, teda jazyka, v ktorom s nami bude po spustení komunikovať samotný program Graph. Obrázok 5 Okno Výber jazyka sprievodcu inštaláciou 1 Rovnaký výsledok dosiahneme i zadaním adresy http://www.padowan.dk/bin/setupgraph-4.4.exe do internetového prehliadača v prípade, že nám neponúkne voľbu Downloads. 7

Obrázok 6 Okno Výber jazyka sprievodcu inštaláciou pokračovanie Po výbere jazyka odhadneme, ktoré z ponúkaných tlačidiel je tlačidlo OK, pretože len kliknutím naň zabezpečíme úspešné pokračovanie inštalácie (obr. 6). Z vlastnej skúsenosti odporúčame kliknúť na tlačidlo nachádzajúce sa v ponuke vľavo. Privíta nás okno Průvodce instalací Graph (obr. 7), ktoré už v češtine potvrdí ochotu programu inštalovať súbor a upozorní nás na potrebu ukončiť všetky spustené aplikácie. My pokračujeme ďalej kliknutím na tlačidlo Další... Obrázok 7 Okno Průvodce instalací Graph... a súhlasíme s licenčnou zmluvou opäť kliknutím na tlačidlo Další (obr. 8). Obrázok 8 Nasledujúce okno Průvodce instalací Graph Prečítame si uvedené upozornenia, v prípade potreby dourčíme cieľový priečinok inštalácie a zobrazenie zástupcu programu na pracovnej ploche alebo v paneli rýchleho spustenia. Ak súhlasíme s návrhmi, stačí klikať na tlačidlo Další a proces inštalácie sa reálne rozbehne (obr. 9). Obrázok 9 Ďalšie okná sprievodcu inštaláciou programu Graph Poznámka: V prípade kliknutia na tlačidlo Storno počítač inštaláciu pozastaví a ešte raz si pre istotu vyžiada potvrdenie tohto rozhodnutia. Až tak sa inštalácia zruší. 8

Obrázok 10 Ostatné okno sprievodcu inštaláciou programu Graph Obrázok 11 Ikona programu Graph Pred dokončením inštalácie ešte zodpovieme na ostatnú otázku sprievodcu týkajúcu sa následného spustenia programu. V prípade, že si želáme spustiť program Graph hneď po ukončení inštalácie, zaškrtneme políčko Spustit aplikaci Graph a následným kliknutím na tlačidlo Dokončit (obr. 10) už len konštatujeme, že sme inštaláciu úspešne zvládli. V prípade, ak sme políčko nezaškrtli, program spustíme dvojklikom na jeho ikonu (obr. 11), ktorú nájdeme na pracovnej ploche v paneli rýchleho spustenia alebo v ponuke programov panelu Štart. Pri prvom otvorení nám v dialógovom okne Tip dne program ponúkne informáciu viažucu sa k jeho využitiu alebo ovládaniu. Ak táto informácia pôsobí rušivo, môžeme zobrazenie dialógového okna zrušiť odškrtnutím voľby Zobrazit tipy při spuštění (obr. 12). Obrázok 12 Okno programu Graph s dialógovým oknom Tip dne Poznámka k inštalácii: V prípade, že je v počítači nainštalovaná staršia verzia programu, nie je nutné ju pred inštaláciou novšej verzie odinštalovať. Stačí jednoducho spustiť inštaláciu a len sa uistiť, že program Graph nie je v danom okamihu spustený. 1.2 Stručná charakteristika programu Graph Graph je program navrhnutý pre operačný systém Windows 2 tak, aby svojmu užívateľovi umožnil zobraziť grafy matematických funkcií (bežných, parametrických i polárnych) v karteziánskej sústave súradníc a následne dovolil realizovať i ďalšie dopočty. Patrí k voľne šíriteľným programom. Jeho najnovšiu verziu (aj jeho zdrojový kód) je možné stiahnuť z domovskej stránky. 2 Podľa autora programu (Johansen, 2012) bol program Graph testovaný na operačných systémoch Windows 2000, Windows XP, Windows Vista a Windows 7. 9

V prípade problémov alebo v prípade potreby pomoci s jeho používaním je možné obrátiť sa na Fórum podpory programu Graph (http://www.padowan.dk/forum). Komunikačným jazykom tohto fóra je však angličtina. Ovládanie programu je riešené štandardne pomocou hlavnej ponuky panela nástrojov a pracovnej oblasti rozdelenej na dve časti Graf a Zoznam funkcií. Po zadaní niektorých príkazov sa môže v okne programu zobraziť aj ponuka pre Výpočty (obr. 13). Obrázok 13 Opis okna programu Graph Panel nástrojov prispôsobíme našim potrebám, ak naň klikneme pravým tlačidlom myši a z kontextovej ponuky vyberieme položku Přispůsobit panel nástrojů... (obr. 14). Obrázok 14 Kontextová ponuka panela nástrojov Teraz môžeme zvoliť skupinu príkazov výberom z ponuky Kategórie. V časti Příkazy sa zobrazí úplná ponuka príkazov vybranej skupiny (obr. 15). Obrázok 15 Dialógové okno Vlastní velikost 10

Presúvaním príkazov medzi dialógovým oknom a panelom nástrojov určujeme jeho výslednú podobu. Prácu s úpravou panela nástrojov ukončíme kliknutím na tlačidlo Zavřít (obr. 16). Obrázok 16 Presun príkazu na panel nástrojov 1.2.1 Spolupráca programu Graph a iných aplikácií Súbor, ktorý je vytvorený a uložený v programe Graph (s koncovkou *.grf) ponúka zaujímavé možnosti spolupráce s ďalšími aplikáciami. Môžeme ho napr. vložiť ako OLE objekt (skratka z angl. Object Linking and Embedding) do všetkých programov, ktoré také vloženie prepojených objektov podporujú. Jeden z nich je aj program MS Word. Program Graph však umožňuje vložiť aj iný OLE objekt do jeho súborov. Príkladom môže byť vloženie matematického zápisu vytvoreného v editore rovníc Microsoft Equation do opisu v súbore programu Graph. Ukážka č. 1: Predstavme si, že potrebujeme do dokumentu (napr. žiackeho pracovného listu) vložiť obrázok funkcie, ktorej vlastnosti má žiak skúmať. Chceme mať aj možnosť modifikovať tento obrázok priamo z prostredia MS Word 3. Postup ako na to opíšeme krok za krokom v nasledujúcej tabuľke. Je však potrebné rozlíšiť, či máme (1. 3. v tabuľke 1) alebo nemáme (4. 5. v tabuľke 1) k dispozícii pripravený súbor s grafom funkcie. Tabuľka 1 Postup vloženia objektu Graph do dokumentu v programe MS Word Náhľad v programe Graph Opis 1. Vloženie objektu (teda obrázka s grafom, ktorý je prepojený s pripraveným zdrojovým súborom vytvoreným v programe Graph) do dokumentu v programe MS Word vykonáme postupnosťou príkazov Vložiť Objekt..., ktorými otvoríme okno Objekt. V ňom na karte Vytvoriť zo súboru dourčíme názov súboru *.grf pomocou tlačidla Prehľadávať... a výber potvrdíme kliknutím na tlačidlo OK. 3 Uvedený postup je (na rozdiel od postupu uvedeného v manuáli programu) funkčný vo verziách MS Word 2003, 2007 aj 2010. 11

2. Do dokumentu sa vloží obrázok (presnejšie OLE objekt). Tento spôsob vloženia má oproti obrázku, ktorý by sme vložili štandardným postupom kopírovania (napr. kombináciou klávesov Ctrl+C a Ctrl+V), jednoznačnú výhodu v tom, že ho môžeme kedykoľvek upraviť, a to priamo z prostredia MS Word. Ako? 3. Stačí dvojklik kdekoľvek na plochu obrázka a program Graph sa aktivuje. Následne sa otvorí okno prepojeného súboru, v ktorom môžeme obrázok podľa našich potrieb ďalej upravovať. Po ukončení úprav v okne Graph Microsoft Word sa tieto úpravy automaticky prejavia aj na obrázku v dokumente. 4. Vloženie nového objektu Graph do dokumentu v programe MS Word vykonáme postupnosťou príkazov Vložiť Objekt..., ktorými otvoríme okno Objekt. V ňom na karte Vytvoriť nový vyberieme typ objektu Graf programu Graph. Výber potvrdíme kliknutím na tlačidlo OK. 5. Takto sa do dokumentu vloží objekt v tvare obrázka. Zároveň sa aktivuje program Graph s novým súborom, v ktorom môžeme začať vytvárať obrázok s grafmi. Poznámka k funkčnosti: Je žiaduce, aby v počítači, na ktorom chceme objekt programu Graph upravovať (nech je umiestnený v dokumente MS Word či v ktorejkoľvek inej aplikácii), bol: 1. program Graph aj reálne nainštalovaný, 2. pôvodný súbor (*.grf) k dispozícii. Tieto podmienky je nutné dodržať, inak nebude možné objekt v aplikácii upraviť. Pozitívnou skutočnosťou je, že aj bez ohľadu na inštaláciu programu či dostupnosť pôvodného súboru bude takto vložený objekt vždy v dokumente zobrazený aspoň ako obrázok. 12

Ukážka č. 2 Máme v programe Graph znázornený priebeh funkcie x, pre x 0 f ( x). x, pre x 0 Chceme, aby sa tento zápis v korektnej podobe objavil aj v ploche grafu (tab. 2). Tabuľka 2 Postup vloženia objektu Microsoft Equation do grafu Náhľad v programe Graph Opis 1. Vloženie objektu do grafu v programe Graph vykonáme postupnosťou príkazov Funkce Vložit popis... alebo kliknutím na ikonu tohto príkazu ( ) v paneli nástrojov. Otvoríme tak okno Vložit popis. 2. V ňom klikneme na ikonu príkazu Vložit objekt ( ). 3. Otvorí sa ďalšie dialógové okno Vloženie objektu, v ktorom pomocou posuvníka vyhľadáme a ľavým tlačidlom myši označíme ponuku Microsoft Equation 3.0. Potom klikneme na tlačidlo OK. 4. Konečne sme v prostredí programu Microsoft Equation 3.0. V okne Equation Editor zapíšeme požadovaný matematický text. Skontrolujeme jeho správnosť a prácu s programom ukončíme (napr. postupnosťou príkazov File Exit). 5. Vytvorený objekt sa zobrazí v okne Vložiť objekt. Ak sme s jeho obsahom i rozmermi spokojní, klikneme na tlačidlo OK. Ak potrebujeme upraviť rozmery objektu, postačí ho označiť a technikou chyť a pusť upraviť. Obsah už existujúceho objektu najjednoduchšie upravíme tak, že dvojklikom naň znova aktivujeme program Microsoft Equation. 13

6. Kliknutím na tlačidlo OK (v predchádzajúcom kroku) sa predpis funkcie zobrazí v strede plochy Graf. Technikou ťahaj a pusť ho môžeme presunúť na požadované miesto, dvojklikom naň sa znovu otvorí okno Vložiť objekt a následne sa vrátime ku kroku 4. Objekt najrýchlejšie zmažeme po jeho označení stlačením klávesu Del na klávesnici. 1.3 Prehľad príkazov v hlavnej ponuke V nasledujúcich tabuľkách uvádzame všetky príkazy z hlavnej ponuky dostupné v programe Graph spolu s opismi ich funkcionality. Pri spracovaní opisov sme vychádzali z manuálu programu (Johansen, 2012), ktorý sme dopĺňali a v istých prípadoch aj upravovali a spresňovali, vychádzajúc pritom z vlastných skúseností pri práci s týmto programom. 1.3.1 Skupina príkazov Soubor Táto skupina príkazov je určená na prácu so súbormi vytvorenými v programe Graph (tab. 3). Umožňuje správu súborov tak, ako sme zvyknutí aj v iných programoch. Príjemným doplnením možností sú príkazy importov a rozšírenie spôsobov uloženia súborov v podobe obrázka. Predovšetkým táto možnosť pomáha riešiť štandardný problém učiteľa matematiky, ako získať vhodný obrazový materiál na prípravu učebných zdrojov, pracovných listov, písomných prác alebo didaktických testov vytváraných či už v printovej, alebo v elektronickej podobe. Tabuľka 3 Skupina príkazov Soubor Ikona Popis Nový (Ctrl + N) ponúkne uloženie aktuálne otvoreného súboru *.grf a následné otvorenie nového súboru. Otevřít... (Ctrl + O) ponúkne uloženie aktuálneho súboru *.grf a načíta už existujúci súbor. Uložit (Ctrl + S) uloží otvorený súbor *.grf na pôvodné miesto a pod rovnakým názvom. Uložit jako... pomocou dialógového okna Uložiť ako uloží otvorený súbor *.grf s možnosťou zmeny názvu súboru a miesta jeho uloženia. Uložit jako obrázek... (Ctrl + B) uloží aktuálne zobrazenie pracovnej časti Graf ako obrázka vo formátoch *.emf, *.svg, *.bmp, *.png, *.jpg, *.jpeg a *.pdf pomocou dialógového okna Uložiť ako. Importovat Soubor programu Graph... importuje obsah iného súboru *.grf do aktuálneho súradnicového systému otvoreného súboru. 14

Importovat Postoupnost bodů... importuje jednu alebo viacero postupností bodov zo súboru, v ktorom sú jednotlivé údaje oddelené tabulátorom, čiarkou alebo bodkočiarkou. Prvý údaj v stĺpci musí obsahovať x-ové súradnice bodov. Všetky údaje v ďalších stĺpcoch obsahujú y-ové súradnice bodov. Program Graph vytvorí toľko postupností, koľko je v súbore údajových stĺpcov s y-ovými súradnicami. Program neobmedzuje počet postupností bodov v súbore dát, všetky však musia mať jedny spoločné x-ové súradnice. Tisk... (Ctrl + P) vytlačí aktuálny obsah pracovnej časti Graf otvoreného súboru. Dourčenie možností tlače ponúkne dialógové okno Tisk. Konec (Alt + F4) ukončí program. Ak niektoré zmeny v aktuálnom súbore neboli doteraz uložené, program túto možnosť ponúkne pred samotným ukončením programu. 1.3.2 Skupina príkazov Úpravy Prvých päť položiek skupiny Úpravy ponúka štandardné možnosti použitia akcií a úprav elementov v aktuálne otvorenom súbore (tab. 4). Špecifickými príkazmi pre tento program sú príkazy Kopírovat obrázek (Ctrl + I), ktorý na rozdiel od príkazu Kopírovat (Ctrl + C) ukladá do schránky len obsah pracovnej časti Graf, príkaz Osy a príkaz Možnosti. Týmito sa budeme ešte podrobnejšie zaoberať v kapitole 1.6 Nastavenia a tiež pri riešení konkrétnych úloh. Tabuľka 4 Skupina príkazov Úpravy Ikona Popis Zpět (Ctrl + Z) zruší ostatne vykonanú akciu, resp. viacero akcií. V dialógovom okne príkazu Možnosti môžeme nastaviť maximálny počet akcií, ktoré si program zapamätá a následne bude schopný zrušiť. Znovu (Ctrl + Y) obnoví naposledy zrušené akcie. Táto možnosť je k dispozícii len po vykonaní príkazu Zpět. Vyjmout (Ctrl + X) týmto príkazom sa element označený kliknutím v pracovnej časti Zoznam funkcií prekopíruje do schránky. Následne bude tento element z grafu zmazaný. Kopírovat (Ctrl + C) prekopíruje označený element v pracovnej časti Zoznam funkcií do schránky. Tento element však zostane v prostredí grafu zachovaný. Vložit (Ctrl + V) vloží naposledy skopírovaný element zo schránky do prostredia grafu. Kopírovat obrázek (Ctrl + I) skopíruje zo Zoznamu funkcií označenú funkciu v podobe obrázka s jej grafom do schránky. Potom ho schránka umožní vložiť do iného programu, napríklad Microsoft Word. Osy... (Ctrl + A) poskytuje možnosť úpravy vlastností súradníc, napr. mierky, farby, umiestnenie opisu atď. v dialógovom okne Osy. Možnosti... slúži na zmenu súhrnných nastavení programu Graph pomocou dialógového okna, v ktorom môžeme nastaviť napríklad presnosť výpočtov, zobrazovanie vysvetliviek, nastavenie maximálneho počtu krokov späť a podobne. 15

1.3.3 Skupina príkazov Funkce Táto skupina príkazov má jednoznačnú väzbu na zadávanie predpisov a grafov funkcií, postupností bodov, znázornenie vzťahov a opisov v programe Graph. Tabuľka 5 Skupina príkazov Funkce Ikona Popis Vložit funkci... (Ins) vloží grafický priebeh funkcie do súradnicového systému. Vkladanému grafu môžeme v dialógovom okne Upravit funkci nastaviť typ grafu, hrúbku, farbu, štýl čiary, dá sa zvoliť zobrazenie len na určenom intervale či ďalšie parametre nastavenia. Vložit tečnu/kolmici... (F2) vloží dotyčnicu alebo kolmicu k zobrazenej funkcii v nami špecifikovanom bode. Dotyčnica alebo kolmica bude pridaná k funkcii, ktorú kliknutím označíme v časti Zoznam funkcií. Vložit šrafování... (F3) pridá vyšrafovanú plochu k zvolenej funkcii. V dialógovom okne šrafovania máme na výber rôzne štýly a farby šrafovania. Umiestnenie šrafovanej plochy môžeme zvoliť nad alebo pod funkciou, medzi funkciou a osou x alebo osou y, vo vnútri funkcie alebo medzi dvoma funkciami. Vložit f'(x)... (F7) pridá grafické znázornenie prvej derivácie k funkcii vybranej v časti Zoznam grafov. Vložit postoupnost bodů... (F4) slúži na vkladanie novej postupnosti bodov do súradnicového systému. Počet týchto bodov (určených x-ovými a y-ovými súradnicami) nie je programom obmedzovaný. Podobne, ako pri vkladaní funkcií, máme možnosť zvoliť farbu, veľkosť a štýl zobrazenia spojníc i značiek jednotlivých bodov postupnosti. Vložit regresní křivku... (Ctrl + T) vloží regresnú krivku ako graf funkcie, ktorá sa najviac približuje k zvolenej postupnosti bodov. Základný tvar tejto krivky je možné vybrať z rôznych ponúkaných typov. Vložit vztah... (F6) program vloží do súradnicového systému zadanú rovnicu alebo nerovnicu. Rovnako, ako pri funkcii alebo postupnosti bodov, je možné zadať rôzne štýly tieňovania a farby šrafovania výsledku. Vložit popis... (F8) vytvorí a vloží do pracovnej časti Graf opis. Ten je možné pomocou myši a technikou ťahaj a pusť presunúť na jej ľubovoľné miesto. Upravit... (Enter) umožní upraviť element označený kliknutím v pracovnej časti Zoznam funkcií. Odstránit (Del) odstráni element, ktorý bol označený v pracovnej časti Zoznam funkcií. Vlastní funkce/konstanty... (Ctrl + F) umožní definovať vlastné funkcie a konštanty a pridať ich tak k zabudovaným funkciám a konštantám. 1.3.4 Skupina príkazov Zobrazení Skupina príkazov Zobrazení (tab. 6) zabezpečuje komfort pri úprave pohľadu na pracovnú časť Graf, a teda aj na útvary v nej zobrazené. 16

Tabuľka 6 Skupina príkazov Zobrazení Ikona Popis Přiblížit (Ctrl + +) priblíži stred pracovnej časti Graf tak, že uvidíme ¼ pôvodne zobrazenej plochy. Oddálit (Ctrl + -) oddiali zobrazenie tak, že uvidíme štvornásobne väčšiu plochu grafu ako predtým. Výběr (Ctrl + W) po aktivovaní príkazu stačí pridržaním ľavého tlačidla myši vyznačiť oblasť pracovnej časti Graf. Tá sa následne zobrazí na celej ploche tejto časti. Naopak, kliknutím na pravé tlačidlo myši alebo stlačením klávesu Esc môžeme tento režim zrušiť aj bez výberu oblasti. Čtvercové (Ctrl + Q) zobrazí y-ovú os v mierke x-ovej osi. Tak docielime napríklad správne zobrazenie kružníc, ktoré inak nadobúdajú tvary elíps. Obe osi si podržia rovnakú mierku dovtedy, kým nezmeníme pomer zobrazenia. Standardní (Ctrl + D) vráti nastavenia súradníc na hodnoty parametrov, ktoré boli použité pri vytvorení nového súradnicového systému. Posunout soustavu (Ctrl + M) voľbou tohto príkazu sa kurzor myši zmení na obrys ruky. Ním môžeme ťahať súradnicový systém po ploche grafu. Opakovanou voľbou tohto príkazu, kliknutím na pravé tlačidlo myši alebo stlačením klávesu Esc, sa vrátime do normálneho módu. Alternatívou k tomuto príkazu je možnosť pridržať stlačený kláves Shift a posúvať súradnicový systém myšou. Přispůsobit zmení nastavenie súradníc tak, aby bol zobrazený celý zvolený element grafu. Zobrazit vše zmení nastavenie súradníc tak, aby sa zobrazili všetky elementy zaškrtnuté v oblasti Zoznam funkcií. 1.3.5 Skupina príkazov Výpočty Realizácia výpočtov je bonusom programu primárne zameraného na zobrazenie grafov funkcií. Program Graph v rámci tejto skupiny príkazov ponúka niekoľko veľmi zaujímavých možností (tab. 7). Tabuľka 7 Skupina príkazov Výpočty Ikona Popis Délka krivky vypočíta dĺžku krivky medzi dvoma bodmi zvoleného grafu. Obsah oblasti vypočíta obsah oblasti ohraničenej funkciou a osou x na danom intervale. Hodnota (Ctrl + E) vyhodnotí vlastnosti zvolenej funkcie v danom bode. Pre bežnú funkciu sú dostupné hodnoty f(x), f'(x) a f''(x). Parametrická funkcia ponúka hodnoty x(t), y(t), dx/dt, dy/dt a dy/dx. Polárna funkcia zobrazí hodnoty r(t), x(t), y(t), dr/dt a dy/dt. Tabulka... zaplní tabuľku rozsahom hodnôt špecifikovaných užívateľom a výsledným vyhodnotením vlastností zvolenej funkcie. Animovat... vytvorí animáciu grafu funkcie pomocou zmeny nami zadaného parametra. Dovoľuje skúmať, čo táto zmena hodnôt parametra v grafe spôsobí. Animáciu možno uložiť do samostatného multimediálneho súboru (*.avi). 17

1.3.6 Skupina príkazov Nápověda Skupina príkazov Nápověda je poslednou skupinou hlavnej ponuky (tab. 8). Prináša pomoc v podobe nápovede pre možnosti programu, prehľad zabudovaných funkcií, základné informácie o programe a v prípade pripojenia na internet aj prístup k podpore a k aktualizáciám. Tabuľka 8 Skupina príkazov Nápověda Ikona Popis Obsah a rejstřík (F1) ukáže obsah a register súboru nápovede. Prehled funkcí (Ctrl + F1) ukáže zoznam funkcií a konštánt, ktoré môžu byť použité na zobrazovanie grafov. Často kladené dotazy ukáže zoznam nielen často kladených otázok, ale aj odpovedí na ne. Tip dne v samostatnom okne zobrazí niektoré tipy na používanie programu Graph a upozorní nás na možnosti a zaujímavosti, o ktorých zatiaľ ešte asi nevieme. Internet Domovská stránka programu Graph v predvolenom prehliadači internetových stránok sa v prípade pripojenia počítača na internet zobrazí domovská stránka programu Graph. Internet Podpora v predvolenom prehliadači internetových stránok sa v prípade pripojenia počítača na internet sprístupní odborné fórum na podporu programu Graph. Internet Sponzorovat zobrazí webovú stránku, prostredníctvom ktorej môžeme finančne prispieť na projekt Graph a umožniť tak jeho ďalší rozvoj. Internet Zkontrolovat aktualizace skontroluje, či nie je k dispozícii nová verzia programu Graph. Ak nová verzia existuje, ponúkne možnosť jej stiahnutia z internetu. O programu Graph (Alt + F1) ukáže číslo verzie, copyright a licenčné informácie o programe Graph. V krátkosti sa ešte pristavíme pri zabudovaných premenných, konštantách, operátoroch a funkciách používaných programom. Ich prehľad je dostupný v manuáli programu (Johansen, 2012) i v nápovedi, preto ho tu nebudeme uvádzať. Snáď postačí len konštatovať, že: program vo výpočtoch rešpektuje prioritu operácií. Samozrejme, môžeme ju meniť použitím zátvoriek. Zátvorky (), {} a [] však majú v tomto programe rovnakú prioritu; program nerozlišuje malé a veľké písmená. Jedinou výnimkou je e vo význame Eulerovej konštanty a E ako oddeľovač exponentu používaný vo vedeckom zápise čísla; v zápise funkcií, vlastných funkcií a vzťahov program Graph umožňuje používať okrem bežných matematických funkcií aj logické: AND, OR, XOR a podmienený príkaz IF. 18

1.4 Nastavenia Nastavenia jednotlivých položiek z hlavnej ponuky sú veľmi dôležitým bodom efektívneho využívania možností, ktoré program Graph ponúka. Nie každý graf funkcie je totiž vždy a dobre viditeľný v počiatočnej mierke programu, nie vždy je predvolená zelená farba šrafovania tá najlepšia a nie každý výpočet je potrebné uvádzať s presnosťou na 6 desatinných miest. Postupne teda prejdeme jednotlivé nastavenia príkazov tak, aby sme sa pri riešení konkrétnych úloh mohli odvolávať na vedomosti získané štúdiom tejto kapitoly. 1.4.1 Osi Keď vyberieme z hlavnej ponuky postupnosť príkazov Úpravy Osy... alebo keď klikneme na ikonu v paneli nástrojov, zobrazí sa dialógové okno Osy so štyrmi kartami (obr. 17). Obrázok 17 Dialógové okno Osy Osa x/osa y Prvé dve karty sú ponúknutými možnosťami nastavenia identické, pretože sa týkajú x-ovej a y-ovej súradnicovej osi. Môžeme v nich nastaviť nasledujúce údaje (obr. 17): 1. Minimum/Maximum najnižšia/najvyššia číselná hodnota zobrazená na zvolenej osi. Predvolenými číselnými hodnotami sú -10 a 10. Upozorňujeme len, že v tomto počiatočnom nastavení nie je mierka oboch osí rovnaká. 2. Popis po zaškrtnutí políčka zobrazíme text v priľahlom poli tesne pri osiach. To nám umožňuje uviesť v grafe pomenovanie vynášaných veličín a ich jednotiek. 19

3. Průsečík s osou y v bodě/průsečík s osou x v bodě súradnice bodu, ktorý bude priesečníkom oboch osí. Predvolená hodnota je bod [0,0]. Dostupná je len v prípade, ak v karte Nastavení je povolené zobrazenie osi s označenou voľbou Uprostřed. 4. Vzdálenost značek jednotka vzdialenosti medzi značkami dielikov stupnice na zvolenej osi. Pri logaritmickej stupnici pole Vzdálenost značek udáva pomer medzi značkami. 5. Automatická optimálna, programom vypočítaná číselná hodnota pre pole Vzdálenost značek. 6. Zobrazit značky možnosť zobraziť alebo nezobraziť značky dielikov ako krátke čiarky na osi v rozstupoch zvolených v poli Vzdálenost značek. 7. Jednotka mřížky vzdialenosť medzi čiarami mriežky. 8. Automatická možnosť, ktorou program zvolí číselnú hodnotu v poli Jednotka mřížky zhodnú s číselnou hodnotou v poli Vzdálenost značek. 9. Zobraziť mriežku možnosť zobraziť alebo nezobraziť čiary mriežky ako bodkované čiary kolmé na osi, zafarbené podľa nastavenia v karte Písma a barvy a v rozstupoch zvolených v poli Jednotka mřížky. 10. Logaritmicky možnosť zobraziť alebo nezobraziť logaritmickú stupnicu na osi. 11. Zobrazit čísla možnosť zobraziť alebo nezobraziť na osi čísla vzájomne od seba vzdialené o hodnotu danú v poli Vzdálenost značek. 12. Zobrazit jako násobek π možnosť zobraziť alebo nezobraziť na osi čísla v tvare násobkov čísla π o hodnotu danú v poli Vzdálenost značek. V karte Nastavení môžeme zadať ďalšie atribúty súradnicovej sústavy (obr. 18): Obrázok 18 Dialógové okno Osy Nastavení 20

1. Název text, ktorý sa zobrazí v grafe nad súradnicovým systémom. Pomocou tlačidla môžeme meniť typ, rez, veľkosť, farbu a ďalšie efekty písma. 2. Zobrazit legendu možnosť zobraziť alebo nezobraziť v grafe legendu so zoznamom funkcií a postupností bodov. Písmo v nej upravujeme na karte Písma a barvy. 3. Umístnění legendy výber jedného zo štyroch rohov, v ktorom bude legenda umiestnená. Jej polohu môžeme zmeniť aj kliknutím pravým tlačidlom myši na legendu v grafe. 4. Počítat s komplexními čísly pri vykresľovaní grafov program použije výpočty s komplexnými číslami, čím sa však čas potrebný na ich vykreslenie predĺži. Finálny výsledok bude možné vykresliť, len ak bude z množiny reálnych čísel. 5. Zobrazení os zobrazenie a miesto zobrazenia osí súradnicového systému. Súradnice počiatočného bodu sa dajú upraviť hodnotami v poliach Průsečík s osou y v bodě a Průsečík s osou x v bodě na kartách Osa x a Osa y. Možnosť Vlevo dole zvolíme, ak chceme mať osi umiestnené na spodnom a ľavom okraji grafu, čím sa však potlačí prístup k voľbe Průsečík s osou y v bodě, resp. Průsečík s osou x v bodě. 6. Trigonometria voľba jednotiek (stupne alebo radiány) pri výpočtoch v trigonometrických funkciách. Nastavenie sa prejaví aj pri zobrazení komplexných čísel v polárnom tvare. Obrázok 19 Dialógové okno Osy Písma a barvy V dialógovom okne Písma a barvy (obr. 19) môžeme meniť: 1. Barvy farba pozadia, osí a čiar mriežky. 2. Písma fonty písma použité v opisoch, číselných údajoch na osiach a v poli Legenda. Voľba Uložit jako výchozí je spoločnou voľbou všetkých kariet dialógového okna Osy. Keď po jej zaškrtnutí klikneme na tlačidlo OK, všetky nastavenia sa uložia a budú použité ako 21

predvolené pri ďalšom otvorení programu. Toto nastavenie sa ukladá do užívateľského profilu, takže každý užívateľ môže mať vo svojom profile svoje vlastné predvolené nastavenie programu Graph. 1.4.2 Možnosti Keď zvolíme postupnosť príkazov Úpravy Možnosti... z hlavnej ponuky, objaví sa dialógové okno (obr. 20), v ktorom meníme všeobecné nastavenia programu: Obrázok 20 Dialógové okno Možnosti 1. Desetinná místa počet desatinných miest v uvádzaných výsledkoch výpočtov. Tento počet však nemá žiadny vplyv na vykonávané výpočty alebo zobrazované grafy. 2. Poslední soubory maximálny počet nedávno otvorených súborov, ktorých zoznam je uvedený v hlavnej ponuke v skupine príkazov Súbor. Číslo musí mať hodnotu od 0 po 9. 3. Max. kroků zpět maximálny počet krokov, o ktoré sa program dokáže vrátiť späť vo vykonaných zmenách. Prednastavená hodnota je 50. Tá znamená, že sa aktuálne môžeme vrátiť o 50 už vykonaných krokov dozadu. 4. Komplexní čísla spôsob, ktorým chceme zobrazovať komplexné čísla v tabuľke Hodnota. Voľba Reálná část znamená, že sa zobrazí len reálne číslo. Ak je číslo imaginárne, nezobrazí sa a ukáže sa chybové hlásenie. Voľba Kartézsky spôsobí, že komplexné čísla sú zobrazované v tvare a + bi, kde a je reálna časť a b je imaginárna časť komplexného 22

čísla. Voľbou Polárně dosiahneme zobrazovanie čísel v tvare a, kde a je absolútna hodnota čísla a θ je jeho uhol uvedený v jednotkách zvolených v časti Trigonometria na karte Nastavení dialógového okna Osy. 5. Velikost písma umožňuje zmenu veľkosti písma užívateľského prostredia. Táto možnosť sa hodí v prípade, že máme ťažkosti s čitateľnosťou prostredia programu Graph. 6. Jazyk zoznam dostupných jazykov pre lokalizáciu programu. Tu zvolený jazyk bude používaný aj pri ďalšom spustení programu. Každý užívateľ programu si v rámci svojho konta môže zvoliť odlišný jazyk lokalizácie programu. 7. Vlastní desetinný oddělovač použijeme pri exporte dát do iných súborov alebo do schránky. Bez zaškrtnutia bude použitý desatinný oddeľovač v súlade s regionálnym nastavením operačného systému Windows. Vlastný oddeľovač nemá vplyv na výrazy zadávané v programe Graph. Tu bude ako oddeľovač desatinnej časti čísla použitý vždy len interpunkčný znak. (bodka). 8. Přiradit soubory GRF súhlas so spúšťaním programu a automatickým otvorením toho súboru, ktorý aktivujeme dvojklikom na jeho ikone. 9. Zobrazit vysvětlivky zobrazí anotáciu objektu, na ktorý ukážeme v okne programu kurzorom myši. Opis sa zobrazí aj v stavovom riadku na spodnom okraji hlavného okna. 10. Při ukončení uložit pracovní plochu program uloží veľkosť hlavného okna pred ukončením do nastavenia a pri budúcom štarte programu sa táto veľkosť opätovne nastaví. Rovnako bude uložené i rozloženie pracovných častí Zoznam funkcií a Graf. 11. Při spustění zjišťovat novou verzi programu Graph pri každom spustení program preverí, či je k dispozícii na internete novšia verzia. Ak áno, ponúkne jej stiahnutie. V prípade, že je táto funkcia vypnutá, ešte vždy máme možnosť pomocou príkazov Pomocník Internet Skontrolovat aktualizace zistiť, či novšia verzia existuje. 1.4.3 Vložiť/upraviť funkciu Keď chceme v programe Graph zobraziť priebeh funkcie, musíme jej predpis vložiť do Zoznamu funkcií postupnosťou príkazov Funkce Vložit funkci... Na prístup k úprave už zadanej funkcie potrebujeme najprv túto funkciu označiť v Zozname funkcií kliknutím a až potom v ponuke Funkce Upravit... editovať. K editovaniu sa môžeme dostať i priamo dvojklikom na predpis funkcie v Zozname funkcií. 23

Bez ohľadu na použitý postup program zobrazí dialógové okno Upravit funkci (obr. 21). V ňom môžeme upraviť: 1. Typ funkce výber z troch možností Běžná funkce, Parametrická funkce a Polární funkce. Bežná funkcia je v tomto programe definovaná predpisom y f (x) pre [ x, y] R R, parametrická funkcia je daná dvoma rovnicami pre x (t) a y (t) s parametrom t R a polárna funkcia r f (t ) je opísaná vzťahmi x( t) r( t).cos( t ) y( t) r( t).sin( t) tiež s parametrom t R. a Obrázok 21 Dialógové okno Upravit funkci 2. Rovnice funkce predpis funkcie. Môže mať rôzny tvar v závislosti od typu funkcie. Postupnosťou príkazov Nápověda Přehled funkcí alebo kombináciou klávesov Ctrl +F1 sa dostaneme ku kompletnému zoznamu všetkých dostupných premenných, konštánt a funkcií, ktoré môžeme v predpise použiť. 3. Rozsah argumentu interval pre nezávislú premennú funkcie. Polia Od a Do určujú začiatok a koniec intervalu. Ak je použitý typ Běžná funkce, graf sa zobrazí na zadanom intervale. Môžeme však ponechať polia prázdne, v tom prípade sa graf funkcie vykreslí na intervale,. Keď je použitým typom Parametrická funkce alebo Polární funkce, program bude vyžadovať určenie intervalu a aj stanovenie Výpočtů, teda minimálneho počtu vypočítavaných hodnôt funkcie. Čím bude tento počet väčší, tým presnejší bude graf funkcie, no úmerne sa predĺži čas jeho vykreslenia. Pre bežnú funkciu 24

odporúčame nevyplniť pole výpočtov a ponechať na program Graph určenie jeho optimálneho počtu. Na druhej strane môžeme do tohto poľa vložiť svoju predstavu o množstve výpočtov, ak graf funkcie nie je dostatočne detailný alebo ak sa asymptota funkcie nezobrazuje správne. V tom prípade je manuálom odporúčaná hodnota 100000. 4. Koncové body grafické značky pre začiatok a/alebo koniec intervalu. Keď nie je interval určený, koncové značky sa zobrazia na miestach, kde funkcia vstupuje alebo opúšťa oblasť grafu. Prednastavený je výber bez koncových bodov. 5. Text legendy opis, ktorý má byť zobrazený v legende grafu. Keď je opis prázdny, v legende sa zobrazí predpis funkcie. 6. Vlastnosti grafu výber rôznych štýlov čiar, ich hrúbky a farebného prevedenia, ktorými môžu byť grafy vykreslené. Štýl čiary môžeme nastaviť len vtedy, ak sme v susednom poli Zobrazit zadali voľbu Čáry alebo Automatická. Ak bola zadaná voľba Bodky, potom bude každý kalkulovaný bod zobrazený len jednou bodkou. Voľba Automatická tiež spôsobí nastavené vykresľovanie grafu, ale program Graph vykoná viac výpočtov v kritických miestach na vylepšenie jeho vzhľadu. 1.4.4 Vložiť/upraviť dotyčnicu alebo kolmicu Na vloženie dotyčnice alebo kolmice k zadanej funkcii použijeme postupnosť príkazov Funkce Vložit tečnu/kolmici... z hlavnej ponuky programu alebo klikneme na ikonu v paneli nástrojov. K úprave už existujúcej dotyčnice či kolmice sa najrýchlejšie dostaneme dvojklikom na jej predpis v časti Zoznam funkcií. Otvorí sa dialógové okno Vložit tečnu/kolmici (obr. 22), v ktorom môžeme dourčiť: 1. x alebo t graf dotyčnice, resp. kolmice k funkcii je jednoznačne daný bodom dotyku, resp. pätou kolmice. Ak graf zobrazujeme bežnou funkciou, bod dotyku je daný x-ovou súradnicou daného bodu, zatiaľ čo pre parametrickú alebo polárnu funkciu je tento bod určený nezávislým parametrom t. 2. Text legendy text, ktorý sa zobrazí v legende. Keď opis nevložíme, bude zobrazená rovnica dotyčnice, resp. kolmice. 3. Rozsah argumentu interval zobrazenia dotyčnice/kolmice. Polia Od a Do označujú počiatočný a koncový bod intervalu. Polia môžeme ponechať prázdne, v tom prípade sa ich priamky budú vykresľovať v intervale,. 25

4. Koncové body symbolické značky počiatočného a/alebo koncového bodu zobrazené na dotyčnici/kolmici. Ak interval nie je určený, značky sa zobrazia na okraji plochy grafu. 5. Vlastnosti grafu výber z možností zodpovedajúcich štýlu čiary, hrúbky čiary a farby, ktorou chceme zobraziť konkrétnu dotyčnicu alebo kolmicu. 6. Typ výber medzi dotyčnicou (Tečna) a kolmicou (Kolmice). Obrázok 22 Dialógové okno Vložit tečnu/kolmici 1.4.5 Vložiť/upraviť šrafovanie Dialógové okno Vložit šrafování (obr. 23) obsahuje tri karty a slúži na vloženie a editovanie šrafovania (označenej plochy medzi grafom funkcie a nejakou inou hranicou). Na vloženie nového šrafovania využijeme postupnosť príkazov Funkce Vložiť šrafování alebo ikonku v paneli nástrojov. Na prístup k úprave už existujúceho šrafovania použijeme rovnaký postup ako pri úprave už existujúcej funkcie. Na karte Šrafování si môžeme vybrať jedno z nasledujúcich ohraničení šrafovanej plochy: Od funkce k ose x najčastejšie používaný typ šrafovania. Vyznačíme ním plochu medzi grafom funkcie a osou x vo vybranom intervale. Od funkce k ose y vyznačíme ním plochu medzi grafom funkcie a osou y vo vybranom intervale. Nie je to často používaný typ, užitočný je pri parametrických funkciách. 26

Pod funkcí vyšrafujeme ním plochu medzi grafom funkcie a dolným okrajom plochy grafu vo zvolenom intervale. Nad funkcí vyšrafujeme ním plochu medzi grafom funkcie a horným okrajom plochy grafu vo zvolenom intervale. Uvnitř funkce vyšrafujeme ním plochu vo vnútri grafu funkcie v zvolenom intervale. Tento typ šrafovania je obzvlášť vhodný na vyšrafovanie uzavretých plôch parametrických alebo polárnych funkcií, ale môžeme ho použiť aj pri bežných funkciách. Mezi funkcemi vyznačíme ním plochu medzi grafmi dvoch funkcií. Prvá funkcia je tá, ktorú zvolíme v Zozname funkcií hlavného okna pred vyvolaním dialógu. Druhú funkciu potom vyberieme zo zoznamu uvedeného na karte Druhá funkce. Pri bežných funkciách bude interval šrafovania rovnaký pre obe funkcie. V prípade parametrických funkcií môžeme stanoviť pre každú rovnicu jej vlastný interval. Keď nezvolíme žiadny interval pre druhú funkciu, zostáva aj pre ňu v platnosti rozsah prvej funkcie. Obrázok 23 Dialógové okno Vložit šrafování/šrafování Obrázok 24 Dialógové okno Vložit šrafováví/možnosti Na karte Možnosti (obr. 24) môžeme meniť nasledujúce vlastnosti šrafovania: 1. Od číselná hodnota, od ktorej sa má šrafovanie začať. Stanovuje sa x-ová súradnica bodu pre bežnú funkciu a parameter t pre parametrickú alebo polárnu funkciu. Ak hodnotu neuvedieme, šrafovanie sa začne od ľavého okraja plochy grafu. Ak zaškrtneme políčko Začít od průsečíku, počiatočná súradnica šrafovania sa zníži k hodnote, pri ktorej graf pretína os, sám seba alebo iný graf, v závislosti od zvoleného typu šrafovania. 27

2. Do číselná hodnota, pri ktorej sa má šrafovanie skončiť. Stanovuje sa x-ová súradnica bodu pre bežnú funkciu a parameter t pre parametrickú alebo polárnu funkciu. Ak hodnotu neuvedieme, šrafovanie pôjde až po pravý okraj plochy grafu. Ak zaškrtneme políčko Pokračovat k průsečíku, koncová súradnica šrafovania sa posunie k hodnote, pri ktorej graf pretína os, sám seba alebo iný graf, v závislosti od zvoleného typu šrafovania. 3. Vlastnosti (Styl, Barva, Označit hranice) výber z ponúkaných štýlov a farieb šrafovania s možnosťou označenia, resp. neoznačenia jeho hraníc. Malé upozornenie k šrafovaniu: ak použijeme kompaktný farebný odtieň, prekryjeme ním nielen požadovanú plochu, ale aj všetky krivky, ktoré na tejto ploche ležia. V prípade, že sme na karte Šrafování zvolili v poradí posledný typ Mezi funkcemi, je potrebné na karte Druhá funkce dourčiť nastavenia druhej funkcie (obr. 25): Obrázok 25 Dialógové okno Vložit šrafování/druhá funkce 1. Druhá funkce zoznam zadaných a v Zozname funkcií dostupných funkcií. 2. Rozsah šrafování pro druhou funkci interval šrafovania pre druhú funkciu zadávame úplne rovnako ako interval prvej funkcie na karte Možnosti. Upozorňujeme na fakt, že pri výbere druhej bežnej funkcie bude jej interval vždy zhodný s intervalom prvej vybranej funkcie. Iné údaje môžeme zadávať len pri parametrických alebo polárnych funkciách. Ak ich nezadáme, program aj v tomto prípade preberie interval prvej zadanej funkcie. 28

1.4.6 Vložiť/upraviť postupnosť bodov Postupnosť bodov pridáme do grafu nasledujúcimi príkazmi Funkce Vložit postoupnost bodů alebo kliknutím na ikonu v paneli nástrojov. K úpravám už existujúcej postupnosti sa dostaneme rovnakým spôsobom ako k úprave funkcie. Otvorením dialógového okna Upravit postoupnost bodů (obr. 26) získame prístup k dvom kartám, ktoré umožňujú vložiť: 1. Popis textové pole, do ktorého môžeme zapísať alebo v prípade potreby upraviť náš názov postupnosti. Ten bude zobrazený v legende. 2. Tabuľka XY tabuľka súradníc bodov postupnosti. Tie sa zadávajú pomocou klávesnice, no môžeme ich do tabuľky importovať aj z iných dátových súborov pomocou príkazu Importovat Postoupnost bodů alebo pomocou schránky. Počet vložených bodov je ľubovoľný, jedinou podmienkou je, že každý bod musí mať nejakú x-ovú a nejakú y-ovú súradnicu. Program Graph dokáže importovať aj textové súbory, v ktorých sú dáta oddelené tabulátorom, čiarkou alebo bodkočiarkou. Dáta budú vložené do tabuľky vždy od pozície bunky, v ktorej sa nachádza kurzor. Obrázok 26 Dialógové okno Upravit postoupnost bodů 3. Typ souřadnic výber z dvoch typov. Voľbu Kartézský použijeme na špecifikáciu x, y súradníc, kde x, y R. Voľbu Polárně použijeme na špecifikáciu,r súradníc, kde θ 29

je uhol a r je vzdialenosť od počiatku. Uhol θ je daný v radiánoch alebo stupňoch podľa aktuálneho nastavenia. 4. Symbol výber z rôznych symbolov pre značky bodov. Dá sa tiež nastaviť farba a veľkosť značiek. Ak zvolíme za symbol bodu šípku, jej smer bude zodpovedať dotyčnici ku krivke v tomto bode a prvý bod postupnosti sa nikdy nezobrazí. Ak je veľkosť symbolu nastavená na hodnotu 0, nezobrazí sa žiadny symbol ani odchýlka. 5. Čára spojnica medzi symbolmi bodov v grafe, pričom bude zachované poradie bodov uvedené v Tabuľke XY. Môžeme zvoliť rôzne štýly, farby a hrúbky týchto čiar alebo ponechať body bez spojovacích čiar. Samotný tvar čiary je daný nastavenou interpoláciou. Voľba Interpolace ponúka výber zo štyroch typov: Lineární lomená čiara spájajúca vždy dva susedné body. Jednorozměrní kubický splajn polynomická krivka 3. stupňa spájajúca všetky body zoradené podľa x-ovej súradnice. Dvojrozměrný kubický splajn polynomická krivka 3. stupňa spájajúca všetky body v ich zadanom poradí. Kosínusová kosínusoida spájajúca susedné body krivkou s polovičnou periódou kosínusovej funkcie. 6. Popisky spôsob zobrazenia súradníc bodov. Môžeme použiť tlačidlo na zmenu fontu a zoznam Umístnění na určenie polohy hodnôt súradníc vzhľadom na bod. 7. Odchylky na ose x/y zobrazenie vodorovných alebo zvislých chybových intervalov, ktoré vymedzujú tzv. pásmo neistoty. V ponuke sú tri možnosti výberu: Absolutní všetky body majú rovnakú mieru neistoty vyjadrenú konštantou. Relativní všetky body majú rovnakú mieru neistoty vyjadrenú percentom. Vlastní v tabuľke sa zobrazí ďalší stĺpec, v ktorom je možné určiť rôznu hodnotu neistoty pre jednotlivé body. Upozornenie: vlastné chyby y-ových súradníc sa premietnu do váhy bodov pri určení regresnej krivky. 1.4.7 Vložiť regresnú krivku Po zadaní postupnosti bodov máme k dispozícii príkaz na zobrazenie regresnej krivky, čo je funkcia, ktorá aproximuje postupnosť bodov v grafe, a teda ukazuje trend vývoja. Štandardne najvyužívanejšou metódou aproximácie je metóda najmenších štvorcov. 30

Najprv teda označme v Zozname funkcií konkrétnu postupnosť bodov. Potom už len stačí využiť hlavnú ponuku programu a postupnosť príkazov Funkce Vložit regresní křivku... alebo ikonu v paneli nástrojov. Otvorí sa dialógové okno (obr. 27) obsahujúce dve karty, v ktorých môžeme nastaviť nasledujúce vlastnosti regresnej krivky. Obrázok 27 Dialógové okno Vložit regresní křivku... V karte Předdefinované: 1. tvary preddefinovaných regresných kriviek výber zo šiestich typov funkcií použiteľných na aproximáciu údajov. Ak je zvolená funkcia Lineární, Polynomická alebo Exponenciální, môžeme zaškrtnúť políčko Průsečík a zadať bod, v ktorom má funkcia preťať y-ovú os. Výber typu regresnej krivky je na samotnom užívateľovi. Najvhodnejšia aproximácia sa spravidla vyznačuje koeficientom korelácie R 2 blížiacim sa k hodnote 1. 2. Čára výber z rôznych štýlov, farieb a hrúbky regresnej krivky. V karte Užívatelské: 3. Šablóna predpis vlastnej regresnej funkcie. Jej zápis sa vkladá do textového poľa rovnako ako zápis bežnej funkcie. Len koeficienty, ktoré bude program Graph určovať, musia byť pomenované počiatočným znakom $ (dolár), napríklad $a, $x0, $konst. Vhodným zápisom novej regresnej funkcie je povedzme vzťah f ( x) 1/($ a* x $ b). Snahou programu bude vypočítať koeficienty $a a $b tak, aby sa priebeh funkcie f (x) čo najviac priblížil k bodom postupnosti. Pomocou tlačidla Přidat šablónu v novootvorenom okne ju pomenujeme a pridáme do zoznamu. Pri jej použití sa v komentári regresnej funkcie zobrazí aj hodnota koeficientu korelácie R 2. I tu platí, že čím je R 2 bližšie k hodnote 1, tým regresná krivka lepšie vystihuje danú postupnosť bodov. 31

1.4.8 Vložiť/upraviť opis Opisy používame na vkladanie alebo úpravu textu v pracovnej oblasti grafu. Vloženie opisu nám umožňuje ikonka v paneli nástrojov alebo postupnosť príkazov Funkce Vložit popis... z hlavnej ponuky programu. Zmenu už existujúceho opisu urobíme tak, že ho najprv aktivujeme dvojklikom v pracovnej časti Graf alebo ho označíme v Zozname funkcií a použijeme príkazy Funkce Upravit... z hlavnej ponuky programu. Otvoríme tak dialógové okno Upravit textový popis (obr. 28). V ňom môžeme nastaviť, resp. upraviť: 1. Písmo výber typu, veľkosti, farby písma a farby jeho pozadia. Farba pozadia sa dá nastaviť len pre celý textový opis. 2. Text obsah opisu. 3. Textový popis štýl textu, môžeme ho meniť aj v jednotlivých častiach textu. Obsahuje okrem iných tlačidlá: Vložit symbol ( ), ktoré umožňuje vkladať do textu špeciálne znaky, ako sú matematické symboly a grécke písmená, Vložit objekt ( ), ktoré umožňuje vložiť do textu napríklad excelovské hárky, textové dokumenty, snímky z powerpointových prezentácií, obrázky alebo aj matematický text napísaný v programe Microsoft Equation 4. Obrázok 28 Dialógové okno Upravit textový popis 4 Podrobný postup vloženia objektu do grafu sme opísali v kapitole 1.2.1 Spolupráca programu Graph a iných aplikácií. 32

Poznámka: Po stlačení tlačidla OK sa vytvorený opis zobrazí vždy v strede pracovnej časti grafu, no dá sa bez problémov technikou ťahaj a pusť presunúť aj na inú pozíciu. V prípade potreby môžeme presnejšie dourčiť jeho umiestnenie na ploche alebo upraviť jeho otočenie. Využijeme na to kontextovú ponuku vyvolanú kliknutím pravým tlačidlom myši na opise vloženom na pracovnej ploche. Textový opis môže okrem textu obsahovať aj numerický výraz, ktorý dokáže následne vyhodnotiť. Toto je zvlášť užitočná vlastnosť, keď v opise potrebujeme ukázať napríklad aktuálne hodnoty vlastných konštánt. Ich zápis však musí byť označený znakom % (percento) a umiestený v zátvorkách. Príklad: Máme tri vlastné konštanty a = 1, b = -3 a c = 2,5. Chceme do plochy grafu vložiť opis funkcie f ( x) a. x b. x c tak, aby sa akákoľvek zmena číselnej hodnoty konštanty automatic- 2 ky odzrkadlila i v zmene opisu. Riešenie: Do textového opisu v okne Upravit textový popis vyvolanom kliknutím na ikonu v paneli 2 nástrojov vložíme zápis tvaru f ( x) %( a) x %( b) x %( c). Potvrdíme kliknutím na tlačidlo OK. Opis sa zobrazí v pracovnej časti grafu v tvare f ( x) 1x 3x 2. 5. Keď potom 2 zmeníme (manuálne alebo pri animácii) číselné hodnoty konštánt, opis v grafe sa automaticky aktualizuje. V uvedenom príklade bolo znamienko + pred %(b) upravené samotným programom, pretože hodnota konštanty b ním bola vyhodnotená ako záporná. 1.4.9 Vložiť/upraviť vzťah Pojem vzťah je v tomto programe chápaný ako spoločné pomenovanie rovníc a nerovníc tiež označovaných ako implicitné funkcie. Na vloženie nového vzťahu použijeme postupnosť príkazov Funkce Vložit vztah... alebo klikneme na ikonu v paneli nástrojov. Zmenu existujúceho vzťahu docielime tak, že vzťah najskôr označíme v časti Zoznam funkcií a pokračujeme príkazmi Funkce Upravit... alebo úpravu aktivujeme dvojklikom priamo na vzťah v Zozname funkcií. 33

Obrázok 29 Dialógové okno Upravit vztah V dialógovom okne Upravit vztah (obr. 29) môžeme zadať alebo editovať: 1. Vztah zápis rovnice alebo nerovnice (s premennými x, y R ), ktorý chceme zobraziť v pracovnej časti grafu. Napríklad nerovnica zapísaná v tvare (x-1)^2 + y^2 = 9 sa zobrazí ako kružnica so stredom v bode [1,0] a polomerom 3. Zaujímavým príkladom zápisu nerovnice môže byť: y*sin(x)<x*cos(y). 2. Interval obmedzenie pre hľadané riešenie, ktorým môže byť akýkoľvek numerický výraz. Výraz pre obmedzenie sa obyčajne skladá z viacerých nerovností oddelených logickými operátormi (and, or, xor). Rovnako ako vo vzťahu aj tu používame nezávisle premenné x, y R. Napríklad, ak máme vzťah x^2 + 9y^2 <= 81, ktorým je vyplnená elipsa, výraz pre obmedzenie (x < 0 and y > 0) or (x > 0 and y < 0) sa prejaví tak, že sa z pôvodnej elipsy zobrazí len výsek jej II. a IV. kvadrante. 3. Popis text, ktorý sa zobrazí v legende. Ak toto pole zostane prázdne, v legende sa ukáže vzťah a jeho prípadné obmedzenia. 4. Vlastnosti štýl šrafovania, farba a hrúbka čiary grafu. Nastavený štýl šrafovania sa použije len pri zadaní nerovnice, v prípade rovnice sa z pochopiteľných dôvodov ignoruje. 1.4.10 Vložiť graf prvej derivácie Na zobrazenie grafu prvej derivácie musíme najprv v Zozname funkcií označiť tú funkciu, ktorej deriváciu chceme zistiť, až potom použiť postupnosť príkazov Funkce Vložit f'(x). 34

Obrázok 30 Dialógové okno Vložit f (x) V otvorenom dialógovom okne Vložit f (x) (obr. 30) môžeme zvoliť: Rozsah argumentu interval daný x-ovou súradnicou počiatočného a koncového bodu, Text legendy opis zobrazený v legende. Ak ho nezadáme, program zobrazí predpis f (x). Vlastnosti grafu štýl čiary, jej hrúbka a farba. Derivácia bude do grafu vložená ako funkcia, a teda môže byť ako funkcia aj upravovaná. Zmenou pôvodnej funkcie sa však jej derivácia v programe automaticky neaktualizuje. 1.4.11 Vlastná funkcia/konštanty Program Graph nám umožňuje používať nielen preddefinované funkcie, ale tiež definovať a používať vlastné funkcie a konštanty na zjednodušenie zápisov. Na otvorenie dialógového okna Vlastní funkce/konstanty (obr. 31) využijeme postupnosť príkazov Funkce Vlastní funkce/konstanty... z hlavnej ponuky programu alebo ikonu v paneli nástrojov. Obrázok 31 Dialógové okno Vlastní funkce/konstanty 35

V ňom môžeme zadať: 1. Název stĺpec s pomenovaním vlastných funkcií alebo konštánt. Názov sa môže skladať z kombinácie písmen, číslic a podčiarkovníka začínajúcej písmenom. Argumenty funkcie sa vkladajú do zátvorky za názvom a medzi sebou sú oddelené čiarkou. Podobne ako názov funkcie aj mená argumentov sa musia začínať písmenom a môžu obsahovať iba písmená a číslice. 2. Definice stĺpec s výrazmi. V každom výraze môžu byť použité len tie argumenty, ktoré boli špecifikované v prvom stĺpci, samozrejme tiež predpisy všetkých preddefinovaných funkcií, vlastných funkcií a konštánt, dokonca môžeme použiť aj rekurentnú definíciu samotnej funkcie. Poznámky k funkcii môžeme zapísať na konci výrazu za symbol #. V prípade potreby môžeme: odstrániť vlastnú funkciu alebo konštantu zmazaním jej názvu a definície v tabuľke, alebo kliknutím pravého tlačidla myši na riadok a výberom voľby Odstrániť riadok z kontextovej ponuky. Všetky elementy, ktoré obsahujú odvolávku na zrušenú funkciu, však budú vyhodnotené s chybou; upraviť vlastnú funkciu alebo konštantu postupnosťou príkazov Funkce Vlastní funkce/konstanty... z hlavnej ponuky programu editáciou údajov v dialógovom okne; exportovať alebo importovať vlastné funkcie a konštanty zo/do súboru, keď pravým tlačidlom myši klikneme do dialógového okna a vyvoláme kontextovú ponuku. 1.4.12 Funkčná hodnota Po zvolení príkazov Výpočty Hodnota alebo po kliknutí na ikonu v paneli nástrojov program zobrazí novú časť pracovnej plochy v ľavej dolnej časti okna. Tu môžeme zistiť ďalšie údaje o zvolenej funkcii. Nasledujúci obrázok (obr. 32) znázorňuje situáciu pri označení bežnej funkcie. Ponuka sa však automaticky upraví podľa typu funkcie či označenia dotyčnice alebo kolmice. 36

Obrázok 32 Postup otvorenia a práce s oknom Hodnota Postup otvorenia ponuky na výpočet hodnôt je jednoduchý: 1. postupnosťou príkazov Výpočty Hodnota alebo kliknutím na ikonu príkazu v paneli nástrojov zobrazíme v ľavom dolnom rohu okna ponuku na výpočet hodnôt. Jej polohu môžeme v prípade potreby zmeniť technikou chyť a pusť ; 2. označíme kliknutím do Zoznamu funkcií ten zápis, ktorého graf chceme presnejšie skúmať; 3. otvorí sa ponuka výpočtov hodnôt bodov konkrétnej funkcie. Do textového poľa x = (obr. 32) môžeme vložiť x-ovú súradnicu bodu, ktorý chceme vo funkcii vyhodnotiť. Ak sa výsledný bod nachádza v zobrazenej oblasti grafu, bude označený čiarkovaným krížom. Platí však aj opačný postup. Kliknutím na graf sa najbližší bod funkcie prenesie do textového poľa aj s vyhodnotením. Funkčné hodnoty bodov môžeme sledovať tiež posunom ukazovateľa myši po grafe zvolenej funkcie. V prípade, že výsledkom vyhodnotenia je komplexné číslo s imaginárnou časťou, vypíše sa v tvare a + bi, resp. nevypíše vôbec, v závislosti od nastavenia v dialógovom okne Možnosti. Predtým než klikneme myšou do oblasti grafu, môžeme zvoliť, k čomu bude kurzor prichytený voľbou Přichytit k: v ponuke výpočtov hodnôt. a, alebo sa Obrázok 33 Možnosti nastavenia výpočtov 37

Vyberáme z možností (obr. 33): Funkce kurzor sa prichytí k najbližšiemu bodu označenej funkcie. Průsečík kurzor sa prichytí k najbližšiemu priesečníku označenej funkcie a najbližšej zobrazenej funkcie. Os x kurzor sa prichytí k najbližšiemu priesečníku označenej funkcie s osou x. Os y kurzor sa prichytí k najbližšiemu priesečníku označenej funkcie s osou y. Táto možnosť je však pre bežné funkcie nedostupná. Extrémna hodnota x kurzor sa prichytí k najbližšiemu lokálnemu extrému súradnice x. Podobne aj táto možnosť je pre bežné funkcie bohužiaľ nedostupná. Extrémna hodnota y kurzor sa prichytí k najbližšiemu lokálnemu extrému súradnice y. 1.4.13 Obsah ohraničenej oblasti Keď zvolíme v hlavnej ponuke programu postupnosť príkazov Výpočty Obsah oblasti alebo keď klikneme na ikonu v paneli nástrojov, program zobrazí v ľavom dolnom rohu ponuku na výpočet plochy na danom intervale ohraničenej funkciou a x-ovou osou (obr. 34). Týmto nám program ponúka znázornenie a výpočet určitého integrálu vybranej funkcie na danom intervale s rešpektovaním znamienka plochy v ňom. Interval (Od Do) vložíme do textových polí ponuky pomocou klávesnice, alebo ho zvolíme kliknutím ľavým tlačidlom myši do pracovnej časti Graf. Výsledok výpočtu obsahu označenej oblasti bude uvedený pod zadaním intervalu a príslušná plocha bude v grafe vyznačená šrafovaním. Obrázok 34 Postup výpočtu 38

1.4.14 Dĺžka krivky Ak použijeme, podobne ako v predchádzajúcom prípade, postupnosť príkazov Výpočty Délka křivky alebo ak klikneme na ikonu v paneli nástrojov, môžeme v novootvorenej ponuke výpočtov (zobrazenej tradične v ľavom dolnom rohu okna) po označení predpisu funkcie zistiť vzdialenosť dvoch bodov meranú funkčnou krivkou. Rozsah, v tomto prípade x- ové súradnice dvoch bodov krivky, vložíme do príslušných polí ponuky pomocou klávesnice alebo ich označíme na krivke kliknutím ľavého tlačidla myši. Výsledok sa zobrazí graficky v pracovnej časti Graf na krivke čiernou farbou a číselne v ponuke výpočtov Délka hneď pod zadaným rozsahom (obr. 35). Obrázok 35 Postup výpočtu dĺžky krivky 1.4.15 Tabuľka V programe Graph budeme tabuľku využívať v rámci vyhodnotenia priebehu zvolenej funkcie v určenom rozsahu. Potrebujeme, podobne ako v predchádzajúcich prípadoch, označiť kliknutím v Zozname funkcií predpis funkcie a ďalej už pokračujeme príkazmi z hlavnej ponuky Výpočty Tabulka alebo kliknutím na ikonu na zobrazenie dialógového okna Vytvořit tabulku (obr. 36). Najskôr v poliach Od a Do zadáme prvú a poslednú hodnotu nezávislej premennej. V poli Δx alebo Δt určíme číselnou hodnotou zmenu (nárast alebo úbytok) nezávislej premennej medzi jednotlivými riadkami výpočtov. Kliknutím na tlačidlo Výpočty sa tabuľka zaplní údajmi. 39

Obrázok 36 Dialógové okno Vložit tabulku Obsah údajov v stĺpcoch závisí od typu funkcie. Pre bežné funkcie sa v tabuľke objavia hodnoty f(x), f'(x) a f''(x). V prípade parametrickej funkcie sa ukážu hodnoty x(t), y(t), dx/dt, dy/dt a dy/dx. V prípade polárnej funkcie sa v tabuľke zobrazia hodnoty r(t), x(t), y(t), dr/dt a dy/dx. V prípade, že vykonanie výpočtov trvá dlhšie, zobrazí sa indikátor priebehu výpočtov. Na ďalšiu prácu s údajmi v tabuľke môžeme využiť kontextové menu, ktoré získame kliknutím na pravé tlačidlo myši v ploche tabuľky. To nám umožní: skryť nepotrebné stĺpce, preniesť údaje z tabuľky do iných tabuľkových editorov nasledujúcim postupom (tab. 9). Tabuľka 9 Postup práce s údajmi v tabuľke Náhľad v programe Graph Opis 1. Pomocou kurzora myši označíme niektoré bunky, riadky, stĺpce alebo celú tabuľku. 40

2. a) Kliknutím na pravé tlačidlo myši v ploche tabuľky otvoríme kontextové menu a položkou Kopírovat prenesieme obsah zvolených buniek do schránky. Poznámka: Zo schránky potom môžeme tieto údaje vložiť do iného programu, napríklad do tabuľkového kalkulátora. 2. b) Môžeme tiež pomocou kontextového menu a položky Exportovat do souboru exportovať zvolené údaje do súboru ako text s položkami oddelenými čiarkou alebo tabulátorom. 1.4.16 Animácia Animácia v programe Graph umožňuje vytvárať videosekvencie v podobe *.avi súborov založených na zmene hodnôt vlastnej konštanty. Animácie pritom môžu obsahovať všetky elementy podporované programom, napríklad funkcie, vzťahy, postupnosti bodov, opisy atď. Animáciu je možné prehrať priamo v programe, uložiť ju ako súbor alebo prekopírovať do dokumentu. K dialógovému oknu Animovat (obr. 37) sa dostaneme postupnosťou príkazov Výpočty Animovat alebo kliknutím na ikonu v paneli nástrojov. Aktívna bude však len vtedy, ak už máme v súbore zadefinovanú nejakú vlastnú konštantu (podrobnejšie v kapitole 1.4.11 Vlastná funkcia/konštanty). V tomto okne môžeme upraviť nasledujúce nastavenia. Obrázok 37 Dialógové okno Animovat 41

1. Konstanta výber konštanty, ktorej hodnotu budeme v animácii meniť. Táto konštanta musí byť vopred vytvorená v dialógovom okne Vlastní funkce/konstanty. Pre každú jej novú hodnotu bude vytvorená jedna animačná snímka. 2. Rozsah uzavretý interval hodnôt vlastnej konštanty. V poliach Od a Do určujeme krajné hodnoty zvolenej konštanty v animácii. Hodnota Krok udáva nárast alebo úbytok hodnoty konštanty medzi dvoma snímkami. Počet snímok animácie je teda daný výsledkom vzťahu Do Od Vpred. Pri zadávaní týchto údajov platí priama úmernosť čím viac snímok, tým plynulejšia animácia, ale aj viac času potrebného na jej vytvorenie a viac priestoru na disku potrebného na jej uloženie v podobe multimediálneho súboru. 3. Možnosti obrázku rozmery snímok animácie. Tie rovnako významným spôsobom ovplyvňujú veľkosť budúceho súboru a čas vytvárania animácie. V poli Snímků/sekundu určujeme predvolenú rýchlosť animácie. 4. tlačidlo Animovat spustí proces vytvárania animácie podľa parametrov, aké sme nastavili. Dĺžka vytvárania animácie závisí od toho, koľko elementov v grafe existuje, aký počet snímok je požadovaný a v akých rozmeroch sme veľkosť snímky nastavili. Keď je animácia dokončená, ukáže sa veľmi jednoduchý prehrávač (obr. 38), ktorý môžeme použiť na prehranie animácie. Tlačidlo Možnosti nám poskytne niekoľko dodatočných nastavení: 1. Rýchlost úprava rýchlosti prehrávania vytvorenej animácie, nemá súvis s veľkosťou vytváraného súboru. 2. Opakovat voľba nepretržitého prehrávania animácie. 3. Automatické přehrání zpět voľba, ktorá po dosiahnutí posledného záberu spôsobí automatické spustenie spätného prehrávania animácie k prvému záberu. Najviac úžitku dáva v spojení s voľbou Opakovat, vtedy bude animácia prehrávaná od jedného krajného záberu k druhému, tam a späť. 4. Uložit jako... navolený formát uloženia súboru je Audio Video Interleave (avi), ktorý sa dá prehrať na ktoromkoľvek prehrávači médií. 5. Uložit snímek... program uloží aktuálny záver ako obrázok do súboru v niektorom z formátov *.bmp, *.png alebo *.jpeg (podrobnejšie v kapitole 1.4.17 Uložit jako obrázek). 42

6. Uložit všechny snímky... program uloží všetky zábery do samostatných súborov obrazového formátu. Výsledok je rovnaký ako opakované uloženie každej snímky animácie pomocou príkazu Uložit snímek... Obrázok 38 Prehrávanie animácie 1.4.17 Uložiť ako obrázok Použitie príkazov hlavnej ponuky Súbor Uložit jako obrázek... alebo ikony v paneli nástrojov umožňuje uložiť obsah pracovnej časti Graf ako obrazový súbor. V novootvorenom okne Uložit jako zadáme meno súboru, zvolíme priečinok a vyberieme jeden z možných typov formátu: Windows Enhanced Metafile (emf) súbory tohto formátu sú obyčajne malé a dobre vyzerajú aj pri zmene veľkosti. Aj keď sú súbory *.emf podporované systémom MS Windows, kvôli prenositeľnosti nie sú príliš používané. Scalable Vector Graphic (svg) formát súborov, ktorý možno umiestňovať na internete. Súbory tohto formátu však stále nie sú podporované všetkými prehliadačmi. Portable Network Graphic (png) formát najviac podporovaný na webových stránkach, pretože je úsporný a dokážu ho spracovať všetky dostupné prehliadače. Windows Bitmap (bmp) formát podporovaným takmer všetkými programami Windows, ktoré dokážu čítať grafické súbory. Problémom môže byť ich veľkosť. 43

Formát konzorcia Joint Photographic Experts Group (jpeg) konzorcium fotografických expertov navrhlo grafický formát bitové mapy so stratovou kompresiou. Často používaný formát, ktorý však môže spôsobiť rozmazané zobrazenie grafov. Portable Document Format (pdf) formát pdf vlastne nie je grafickým formátom. Je to možnosť, ako uložiť dokumenty ako postscript prenositeľným spôsobom. Program Graph ukladá dovnútra súboru pdf obrázky s formátom png. Tlačidlo Možnosti... v dialógovom okne Uložiť sa dá použiť na zmenu veľkosti obrázka. V závislosti od zvoleného formátu obrázka budeme môcť nastaviť aj ďalšie parametre. 1.4.18 Úprava zobrazenia pracovnej časti Graf Temer zákonite po zobrazení priebehu akejkoľvek funkcie v pracovnej časti Graf zistíme, že jeho zobrazenie ešte potrebuje úpravu, pretože vytvorený graf by mal byť predsa len trochu väčší, alebo naopak menší, viac posunutý vpravo dole, alebo vľavo hore, prípadne súradnice majú pri danom zobrazení rozdielnu mierku, čím deformujú výsledný tvar grafu. Práve tieto požiadavky riešia príkazy skupiny Zobrazení z hlavnej ponuky programu. Opis výsledkov ich činnosti uvádzame v kapitole 1.3.4 Skupina príkazov Zobrazení, preto sa na tomto mieste budeme viac venovať tipom a trikom použiteľným na úpravu zobrazenia pracovnej časti Graf. Vieme, že: sústavou súradníc môžeme pohybovať, ak pridržíme stlačený kláves Ctrl a pomocou smerových kurzorových klávesov meníme polohu súradnicovej sústavy. Podobne, ak použijeme postupnosť príkazov Zobrazení Posunout soustavu, môžeme ťahať sústavu súradníc ľubovoľným smerom pohybom myši, graf sa dá ľahko približovať alebo vzďaľovať, ak použijeme stlačený kláves Ctrl a kláves + alebo -. Podobne funguje i rolovacie koliesko myši. Ak otáčame kolieskom hore, program priblíži súradnicovú sústavu a vycentruje oblasť grafu na bod polohy ukazovateľa myši. Ak otáčame kolieskom dole, sústava súradníc sa bude vzďaľovať, program si zapamätá veľkosť a pozíciu okna, ak v dialógovom okne Možnosti zaškrtneme políčko Při ukončení uložit pracovní plochu, na ploche grafu budú zobrazené len tie funkcie, dotyčnice, kolmice, vzťahy či šrafovania, ktoré zaškrtneme kliknutím v časti Zoznam funkcií. 44

2 Ukážky riešených úloh Nasledujúce úlohy sme vyberali s cieľom: - opísať možnosti využitia programu Graph na riešenie konkrétnych úloh prevažne stredoškolskej matematiky pre potreby dištančného štúdia účastníkov vzdelávania, - ponúknuť námety na prácu s programom Graph vo vybraných tematických celkoch vzdelávacieho predmetu Matematika. Samozrejme, ku každej predloženej úlohe existuje viacero stratégií riešenia. V tejto kapitole sa však vedome zameriame na tie stratégie, ktoré umožňujú žiakom pochopiť abstraktné vzťahy pomocou ich vizualizácie a prechodom cez riešenie konkrétnych modelov. 2.1 Úloha č. 1 Znenie: Riešte graficky v R 2 sústavu rovníc pre premenné a, b za predpokladu, že 3 5 4 a b a b 1 3 2 a b a b 5 a b : Riešenie: Za podmienky a b zjednodušíme zápis rovníc v znení úlohy nasledujúcimi substitúciami: 1 1 x, y (2) a b a b Dostaneme tak novú sústavu tentokrát dvoch lineárnych rovníc (3) s dvomi neznámymi x, y: 3x 5y 4 2 (3) x 3y 5 Z geometrického hľadiska obe rovnice chápeme ako lineárne funkcie dané predpismi: 3x 4 f1( x) : y 5 (4) 5x 2 f 2 ( x) : y 15 Graficky ich znázorníme pomocou programu Graph nasledujúcim postupom (tab. 10). 45

Tabuľka 10 Postup riešenia úlohy č. 1 s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. V okne Vložit funkci dopíšeme do textového poľa Rovnice funkce za f(x)= výraz (3x+4)/5. Nastavíme vlastnosti grafu, ostatné údaje (Rozsah argumentu a Text legendy) zadávať v tomto prípade nemusíme. Klikneme na tlačidlo OK. Nami zapísaný predpis funkcie sa zobrazí v časti Zoznam funkcií, graf funkcie sa zobrazí v časti Graf. 2. Opätovne otvoríme okno Vložit funkci a do textového poľa Rovnice funkce dopíšeme výraz -(5x+2)/15, nastavíme vlastnosti grafu a klikneme na tlačidlo OK. V časti Graf sa zobrazí aj tento graf funkcie, podobne predpis funkcie nájdeme v časti Zoznam funkcií. 3. A práve v tejto časti (Zoznam funkcií) označíme kliknutím na predpis jednu zo zadaných funkcií. 4. Príkazom Hodnota otvoríme ponuku výpočtov, v ktorej pomocou zoznamu Přichytit k: vyberieme možnosť Průsečík. Poznámka: Prípadné údaje v okne Hodnota budeme zatiaľ ignorovať. 5. Až po kliknutí do blízkosti priesečníka grafov zadaných funkcií v časti Graf môžeme v okne Hodnota odčítať súradnice programom nájdeného priesečníka grafov funkcií. Ak sa priesečník v grafe zatiaľ nezobrazil, odporúčame upraviť vzhľad grafu príkazmi zo skupiny Zobrazení. Vychádzajúc z údajov v okne Hodnota konštatujeme, že súradnice priesečníka grafov funkcií f 1 a f 2 sú: 46

x 1 y 0,2 Po spätnom dosadení (5) do (2) a následnej úprave, samozrejme za podmienky a b, dostávame: 1 5 (5) 1 1 a b a b 1 1 1 (6) a b 5 a b 5 čo je znova sústava dvoch lineárnych rovníc, ktorú môžeme riešiť graficky. Nakoľko program Graph pracuje s jednotným označením funkcií ako f a premenných ako x a y, prepíšeme rovnice (6) do tvaru: f ( x) : y x 1 3 f ( x) : y x 5 4 (7) Tabuľka 10 pokračovanie Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 6. 2x Krokmi 1 až 5 už uvedeného postupu vložíme do pracovnej plochy predpisy funkcií f 3 (x) a f 4 (x) zapísané v tvare: f(x)=-x-1, f(x)=x-5. Pomocou príkazu Hodnota zobrazíme priesečník grafov týchto funkcií a odčítame jeho súradnice, konkrétne: x=2, y=-3. Keďže zistené hodnoty spĺňajú podmienku riešiteľnosti danej sústavy, usporiadaná dvojica P 2; 3 je riešením (7,6), a teda aj riešením pôvodnej sústavy rovníc. 2.2 Úloha č. 2 Znenie: Ukážte, že každé riešenie sústavy lineárnych rovníc 2x 3y 6 v množine R x R je rieše- x 2y 3 ním rovnice 2x y 6 bez toho, aby ste reálne našli riešenie pôvodnej sústavy rovníc. 47

Riešenie: Z algebrického pohľadu by sme asi vybrali najjednoduchšiu stratégiu riešenia založenú na skúške správnosti. Ak riešenie sústavy lineárnych rovníc (I, II) je zároveň riešením ďalšej zadanej rovnice (1), potom dosadením premennej y R z rovnice (1) v tvare y 2x 6 do oboch rovníc sústavy (I, II) musíme získať identické vyjadrenie premennej x R. Teda: 2 (1) (I) : x 3(2x 6) 6 8x 18 6 x 3 (1) (II): x 2(2x 6) 3 3x 12 3 x 3 Vychádzajúc z cieľov tejto kapitoly nás však bude viac zaujímať grafické riešenie úlohy. Zadajme rovnice (I, II, 1) ako vzťahy do programu Graph (tab. 11) a skúmajme, aké funkcie sú nimi opisované. Tabuľka 11 Postup riešenia úlohy č. 2 s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. V okne Upravit vztah do textového poľa Vztah zapíšeme prvú rovnicu sústavy (I): 2x+3y=6, nastavíme modrú farbu grafu, zadáme hrúbku čiary 3 a klikneme na tlačidlo OK. 2. Znova otvoríme okno Upravit vztah, do textového poľa Vztah zapíšeme druhú rovnicu sústavy (II): -x+2y=-3, nastavíme zelenú farbu grafu, zadáme hrúbku čiary3 a klikneme na tlačidlo OK. 3. Do tretice otvoríme okno Upravit vztah, do textového poľa Vztah zapíšeme rovnicu (1): 2x-y=6, nastavíme červenú farbu grafu, zadáme hrúbku čiary 3 a klikneme na tlačidlo OK. 4. V časti Graf sa zobrazí grafické znázornenie zadaných rovníc. V časti Zoznam funkcií sa zobrazia ich zápisy. Ponuka výpočtov však nebude aktívna, nakoľko sme do grafu nezadali funkcie, ale vzťahy. V prípade potreby ešte využijeme na úpravu zobrazenia niektorý príkaz zo skupiny príkazov Zobrazení. 48

Zisťujeme, že grafickým zobrazením daných rovníc sú priamky, z čoho vyplýva, že tieto rovnice sú predpismi nejakých lineárnych funkcií. A skutočne, jednoduchými úpravami zadaných rovníc (I, II, 1) dostávame: 6 2x (I)... 2x 3y 6 y, 3 3 x (II)... x 2y 3 y, 2 (1)... 2x y 6 y 2x 6. Navyše, po ich zobrazení môžeme vysloviť hypotézu, že priamky (grafy týchto lineárnych funkcií) patria do spoločného zväzku priamok, t. j. množiny priamok danej roviny s jediným spoločným bodom nazývaným tiež stred zväzku. Pravdivosť tejto hypotézy dokážeme vtedy, ak sa nám podarí dané rovnice upraviť do tvaru y k( x x ) y, kde R 0 0 k a 2 S x, y R 0 0 je stred zväzku. Keďže platí: 6 2x 2 (I)... y 3 0 3 y x 3 3 x 1 (II)... y y x 3 0 2 2 (1)... y 2x 6 y 2( x 3) 0 môžeme len konštatovať, že grafy týchto lineárnych funkcií sú priamky vytvárajúce zväzok. Čo z toho vyplýva? Majú jediný spoločný bod stred zväzku. Súradnice tohto stredu vyhovujú rovniciam všetkých priamok zväzku, teda sú ich jediným spoločným riešením. To však znamená, že ak sú riešením danej sústavy lineárnych rovníc (I, II), sú riešením i zadanej rovnice (1). q.e.d. 2.3 Úloha č. 3 Znenie: Riešte nerovnicu v R: 2x 2 3x 5 0. Zistite, pre ktoré hodnoty premennej c R daná nerovnica 2x 2 3x c 0 nebude mať riešenie. 49

Riešenie: Analyzujme znenie úlohy už len z geometrického hľadiska. Ľavú stranu nerovnice môžeme 1 2 chápať ako zápis funkčnej hodnoty kvadratickej funkcie f ( x) 2x 3x 5 v jej ľubovoľnom bode x R. Pravá strana nerovnice vyjadruje konštantnú funkciu, ktorá v svojom ľubovoľnom bode dosahuje funkčnú hodnotu rovnú 0. Teda, pravá strana nerovnice je vyjadrením x-ovej osi f ( x) 0. Znamienko < nás upozorňuje na fakt, že hľadáme interval, 2 v ktorom graf funkcie f ( ) leží pod osou x. Načrtnime analyzovanú situáciu v programe 1 x Graph, tentokrát s využitím definovania vlastných funkcií (tab. 12). Tabuľka 12 Postup riešenia úlohy č. 3 s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. Príkazom Vlastní funkce/konstanty zadáme v rovnomennom dialógovom okne názvy funkcií f1(x), f2(x) a ich definície pomocou zápisov: f1(x)=2x^2-3x-5, f2(x)=0. Tak klikneme na tlačidlo OK. 2. Opakovaným zadaním príkazu Vložit funkci postupne vložíme do grafu dve funkcie: f(x)=f1(x), f(x)=f2(x), ktoré navzájom farebne rozlíšime. Tie sa zobrazia sa v pracovnej časti Graf. 3. Príkazom Vložit vztah definujeme hľadaný vzťah medzi funkciami: f1(x)<f2(x). Nastavíme vlastnosti šrafovania a klikneme na tlačidlo OK. 4. Výsledok v podobe rovinného pásu označujúceho interval sa automaticky zobrazí v pracovnej časti Graf. Aktivovaním príkazu Hodnota zistíme jeho hraničné hodnoty (konkrétne x 1a x 2, 5). Na prvú časť úlohy sme teda našli odpoveď v podobe otvoreného intervalu (-1; 2,5). 50

Poznámky k zvolenému postupu realizácie riešenia úlohy v programe Graph: Dôvod použitia vlastných funkcií na riešenie tejto úlohy bol prozaický. Rovnakým postupom totiž môžeme riešiť nielen nerovnicu zadanú v znení úlohy, ale aj ďalšie nerovnice typu: f x) f ( ), 1( 2 x 1( x) f2( x 1( x) > f2( x f ), f ). Postačí len podľa nového znenia upraviť zápisy funkcií a vzťahu v 1. a 3. kroku predchádzajúceho postupu (tab. 12). Tu oceníme použitie programu Graph v príprave učiteľa predovšetkým v rámci tvorby úloh na precvičenie vo fixačnej alebo evalvačnej fáze vyučovacej hodiny. Pri tomto postupe totiž nie je potrebné vytvárať nové súbory na riešenie ďalších úloh podobného typu, stačí navrhnutými úpravami modifikovať zápis funkcií v jednom, už vytvorenom súbore. V druhej časti úlohy skúmame, pre ktoré hodnoty premennej c R daná nerovnica 2x 2 3x c 0 nebude mať riešenie. Experimentovaním s priebehom funkcie pri zmenách parametra c (obr. 39) môžeme žiakov doviesť nielen k určeniu intervalu hodnôt pre parameter c 1,125;, ale aj k odvodeniu vzorca na výpočet súradníc vrcholu paraboly či vysloveniu hypotézy o vplyve koeficienta c na polohu grafu kvadratickej funkcie. Obrázok 39 Experimentovanie s priebehom funkcie v programe Graph 2.4 Úloha č. 4 Znenie: V R je daná exponenciálna funkcia 1 1 inverznej pre a,,2, e, 10. 5 2 f x : y a pre a 0, a 1. Narysujte graf funkcie k nej 51

Riešenie: Zaužívaný postup odvodenia predpisu inverznej funkcie k zadanej funkcii vychádza zo samotnej definície inverznej funkcie. Teda, ak je daná v množine reálnych čísel exponenciálna funkcia f x : y a, kde a 0, a 1, tak inverzná funkcia k nej je daná predpisom f 1 : x y a 1, čo je vlastne predpis logaritmickej funkcie f : y log x a. Program Graph však umožňuje okrem zápisu funkcie v tvare f : y f ( x) využiť i zápis funkcie pomocou parametrických rovníc. Prepis pôvodnej funkcie do parametrických rovníc je v tomto prípade skutočne jednoduchý: - prvá rovnica bude mať tvar x( t) t, kde t R nazývame parameter, - druhá rovnica je opisom zadaného tvaru pôvodnej funkcie, avšak s parametrom t R, čiže: y t ( t) a. Pre inverznú funkciu zadanú parametrickými rovnicami stačí (v zmysle definície) zameniť zápisy jednotlivých rovníc pôvodnej funkcie, teda: f 1 : x( t) t a, y( t) t, kde t R, a 0, a 1. Výhodou tohto postupu je jeho jednoduchosť. Okrem uvedenej zámeny totiž nie je potrebná žiadna ďalšia úprava vzťahov. 1 Zostrojme teda v programe Graph pre a prvú dvojicu navzájom inverzných grafov využitím parametrických rovníc ich funkcií (tab. 5 13). Tabuľka 13 Postup riešenia úlohy č. 4 s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. Príkazom Vlastní funkce/konstanty zadáme v rovnomennom dialógovom okne názov konštanty a jej definíciu v podobe číselnej hodnoty 1/5. Tak klikneme na tlačidlo OK. 52

2. Pomocou príkazu Vložit funkci zadáme do rovnomerného dialógového okna parametrický typ funkcie s rovnicami: x(t)=t, y(t)=a^t. Upravíme vlastnosti grafu a klikneme na tlačidlo OK. Graf funkcie sa zobrazí v pracovnej časti. 3. Znova pomocou príkazu Vložit funkci zadáme do rovnomerného dialógového okna parametrický typ funkcie s rovnicami: x(t)=a^t, y(t)=t. Opäť upravíme vlastnosti grafu a klikneme na tlačidlo OK. Aj tento graf sa zobrazí v pracovnej časti. Poznámka: Rovnakým postupom môžeme na zvýšenie názornosti vložiť do pracovnej plochy aj graf tretej funkcie f(x)=x. Prvá dvojica grafov navzájom inverzných funkcií f x 1 1 : y a f : y log 1 x je zobrazená 5 v pracovnej časti. Avšak dokážeme viac. Uvedeným postupom totiž získavame možnosť zobraziť v tomto súbore aj všetky ostatné dvojice. Stačí zmeniť číselnú hodnotu konštanty a v prvom kroku postupu opísaného v predchádzajúcej tabuľke (tab. 13). Názornosť a flexibilita takto pripraveného súboru umožňuje učiteľovi prezentovať také množstvo príkladov v expozičnej i fixačnej fáze vyučovacej hodiny, aké uzná za potrebné (obr. 40). 5 Obrázok 40 Experimentovanie s priebehom funkcie v programe Graph 53

2.5 Úloha č. 5 Znenie: V pripravenom súbore uloha5.grf je načrtnutý graf funkcie g(x). Doplňte tabuľku funkčných hodnôt ich odčítaním z grafu a odvoďte predpis danej funkcie. x 2 3 4 5 6 7 8 g(x) Príprava súboru: Najprv si musíme uvedomiť požiadavky a obmedzenia, ktoré by mal súbor spĺňať: - graf funkcie má byť prístupný na zisťovanie funkčných hodnôt, - funkčný predpis patriaci grafu nemôže byť zobrazený v časti Zoznam funkcií ani v legende grafu. Z toho vyplýva, že: - funkciu môžeme v programe definovať príkazom Vložit funkci alebo Vlastní funkce/konstanty. V našom prípade bude výhodnejšia druhá možnosť, pretože predpisy takto definovaných vlastných funkcií program v Zozname funkcií ani v legende grafu nezobrazuje. Podrobný postup spracovania súboru uvádzame v nasledujúcej tabuľke (tab. 14). Tabuľka 14 Postup riešenia úlohy č. 5a s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph 54 Použité nástroje Postup 1. Z vlastných zdrojov alebo na internete nájdeme vhodný podkladový obrázok. Ten vložíme do opisu otvoreného súboru v programe Graph príkazom Vložit objekt. Upravíme jeho rozmery a klikneme na tlačidlo OK. Obrázok sa tak objaví v pracovnej časti Graf. Polohu obrázka môžeme upraviť technikou ťahaj a pusť, polohu a mierku osí zas príkazmi zo skupiny príkazov Zobrazení. 2. Príkazom Vlastní funkce/konstanty zadáme v rovnomennom dialógovom okne názov funkcie g(x) a jej definíciu, ktorá vystihuje na obrázku znázornenú kužeľosečku, napr. x^2-10x+27. Tak klikneme na tlačidlo OK.

3. Príkazom Vložit funkci doplníme rovnicu funkcie f(x)= zápisom g(x) a v texte legendy upravíme jej opis napríklad na tvar g(x)=???, ktorý sa zobrazí v Zozname funkcií aj v legende grafu. Vo vlastnostiach grafu nastavíme bodkovaný štýl čiary, bielu farbu grafu a hrúbku čiary na hodnotu 3. Zadanie funkcie ukončíme kliknutím na tlačidlo OK. 4. Kliknutím na príkaz Hodnota môžeme začať skúmať graf neznámej funkcie. Poznámka: Pripravený súbor odporúčame uložiť pod názvom uloha5.grf tak, aby bol v prípade potreby k dispozícii. Pre zachovanie pomerov osí a rozloženia okna programu nezabudnime na možnosti nastavenia programu v dialógových oknách Osy.. a Upravit Možnosti... Riešenie: Majme pripravený a už otvorený súbor uloha5.grf. Kliknutím na príkaz Hodnota ( ) sprístupníme ponuku výpočtov, kde priamym zápisom do textového poľa x= získame jednotlivé funkčné hodnoty premennej x. Doplníme ich do tabuľky (tab.15). Tabuľka 15 Doplnená tabuľka funkčných hodnôt x 2 3 4 5 6 7 8 g(x) 11 6 3 2 3 6 11 Naznačený graf funkcie v tvare paraboly napovedá, že neznámou funkciou je kvadratická funkcia. Tá je daná všeobecnou rovnicou je zistiť hodnoty koeficientov a, b a c. 2 g( x) ax bx c, kde a, b, c R a a 0. Úlohou V algebrickom riešení postupne dosadíme do všeobecnej rovnice kvadratickej funkcie tri usporiadané dvojice [x;g(x)] z tabuľky funkčných hodnôt (napr. 2 ;11, 3 ;6 a 4 ;3 ). Tak dostaneme sústavu troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi: 4a 2b c 11 9a 3b c 6 16a 4b c 3 55 (1)

Jediným riešením tejto sústavy rovníc (1) je usporiadaná trojica a 1, b 10, c 27, a teda 2 hľadaná funkcia má tvar g ( x) x 10x 27. Iný spôsob ponúka program Graph. Netradične využijeme možnosť zostrojiť regresnú krivku k postupnosti bodov zadaných podľa tabuľky 14. Rovnica regresnej krivky bude zároveň hľadanou rovnicou kvadratickej funkcie. Postup jej zobrazenia opisuje nasledujúca tabuľka (tab. 16). Tabuľka 16 Postup riešenia úlohy č. 5b s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. V súbore uloha5.grf otvoríme príkazom Tabulka dialógové okno Vytvořit tabulku, v ktorom zadáme hodnoty Od: 2, Do: 8 a x 1. Potom klikneme na tlačidlo Výpočty. Tabuľka sa zaplní údajmi. My označíme číselné hodnoty v 1. a 2. stĺpci tabuľky a skopírujeme ich do schránky (napríklad kombináciou klávesov Ctrl+C). Tak môžeme tabuľku zavrieť. 2. Po kliknutí na príkaz Postoupnost bodů vložíme do otvoreného dialógového okna jej opis (napr. Kontrola) a pomocou kombinácie klávesov Ctrl+V aj údaje z predchádzajúcej tabuľky zatiaľ umiestnené v schránke. Nastavíme vlastnosti zástupných symbolov a klikneme na tlačidlo OK. 3. V časti Graf sa zobrazí postupnosť bodov s nami zadaným opisom Kontrola a v paneli nástrojov sa sprístupní ikona príkazu Regresní křivka. 56

4. Kliknutím na príkaz Regresní křivka otvoríme dialógové okno Vložte regresní křivku. V karte Předdefinované vyberieme polynomickú funkciu 2. rádu, nastavíme vlastnosti krivky a potvrdíme ich kliknutím na tlačidlo OK. 5. V grafe sa zobrazí regresná krivka, ktorej predpis f(x)=1*x^2-10*x+27 sa objaví v Zozname funkcií i v legende grafu. Hodnota R 2 =1 signalizuje, že všetky nami zadané body ležia na regresnej krivke s pravdepodobnosťou hraničiacou s istotou. Navyše sme overili, že jej predpis sa zhoduje s predpisom funkcie, ktorý sme vypočítali algebricky. 2.6 Úloha č. 6 Znenie: Zistite, akým spôsobom ovplyvňujú jednotlivé koeficienty polohu a priebeh goniometrickej funkcie f ( x) a.sin( bx c) d, kde a, b, c, d R a a 0, b 0. Riešenie: Na priblíženie danej problematiky žiakom pripravíme súbor uloha6.grf, z ktorého môžeme exportovať štyri animácie nami nazvané f(x)=a.sin(x).avi, f(x)=sin(bx).avi, f(x)=sin(x+c).avi a f(x)=sin(x)+d.avi, názorne ukazujúce vplyvy jednotlivých koeficientov na výsledný tvar a polohu grafu funkcie v porovnaní s funkciou f(x)=sin(x). Postup spracovania opíšeme v nasledujúcej tabuľke (tab. 17). Tabuľka 17 Postup riešenia úlohy č. 6 s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. Otvoríme nový súbor, ktorý následne uložíme pod názvom uloha6.grf. V súbore uloha6.grf najprv upravíme nastavenia súradnicových osí. Príkazom Osy... otvoríme dialógové okno, pre os x nastavíme rozsah od pi/2 do 5*pi/2 so vzdialenosťou značiek pi/2, zobrazenie čísel v násobkoch čísla a na oboch osiach povolíme zobrazenie mriežky. 57

2. Pomocou príkazu Vlastní funkce/koeficienty zadefinujeme koeficienty a=3, b=3, c=3 a d=2, ktoré sú nevyhnutné na následné vytvorenie animácií. 3. Vložíme prvú funkciu so zápisom f(x)=sin(x) v rozsahu od pi/2 do 5*pi/2. Na jej vykreslenie zvolíme prerušovanú čiaru a čiernu farbu hrúbky 3. Nasledujúci krok zopakujeme osobitne pre každú z funkcií: f(x)=a*sin(x), f(x)=sin(b*x), f(x)=sin(x+c), f(x)=sin(x)+d. 4. 4x Pomocou príkazu Vložit funkci postupne vložíme každú z vyššie uvedených funkcií do grafu v rozsahu od pi/2 do 5*pi/2. Na ich vykreslenie zvolíme plnú čiaru a navzájom rôzne farby, avšak s rovnakou hrúbkou. Zápisy funkcií sa postupne objavia v Zozname funkcií, ich zobrazenie v časti Graf však na zvýšenie prehľadnosti zatiaľ kliknutím na zaškrtávacie políčko vypneme. 5. 4x Ku každej funkcii vložíme zodpovedajúci farebne zvýraznený opis: f(x)=%(a) sin(x), f(x)=sin(%(b)x), f(x)=sin(x+%(c)), f(x)=sin(x)+%(d). Aj ich zobrazenie v časti Graf zatiaľ vypneme. Vytvorený súbor uloha6.grf (pre istotu ) uložíme a môžeme začať spracovávať prvú (potom druhú, tretiu a nakoniec štvrtú) animáciu. V tabuľke (tab. 18) opíšeme postup prípravy jednej z nich f(x)=a.sin(x).avi. Postup prípravy ostatných animácií je identický, odvíjajúci sa v nasledujúcich troch krokoch: - Zobrazíme konkrétnu funkciu a jej opis. V jej zápise musí vystupovať nami zadefinovaný vlastný koeficient. - Nastavíme zmeny hodnoty koeficienta v animácii a spustíme proces jej tvorby. - Po vytvorení animácie skontrolujeme jej priebeh a uložíme ju na ďalšie použitie. 58

Tabuľka 18 Postup vytvorenia animácie s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. Kliknutím na zaškrtávacie políčka v Zozname funkcií zobrazíme okrem grafu funkcie f(x)=sin(x) aj graf a opis funkcie f(x)=a.sin(x). 2. Začneme s tvorbou animácie. Kliknutím na príkaz Animovat otvoríme dialógové okno a upravíme nastavenia: - Konstanta: a, - Rozsah Od: 3 Do: -3, - Krok: 0.1, - Snímků/sekundu: 2. Tak klikneme na tlačidlo Animovat a proces tvorby animácie sa rozbehne. 3. Po jeho ukončení sa automaticky otvorí okno Animace. V ňom môžeme vyskúšať spustenie práve vytvorenej animácie. Ak sme s výsledkom spokojní, animáciu uložíme do počítača príkazom Uložit jako z rozšírenej ponuky Možnosti pod názvom, napríkld f(x)=a.sin(x).avi. Formát *.avi je rozšírený formát mediálnych súborov a dokáže ho bez problémov prehrať väčšina multimediálnych prehrávačov. 2.7 Úloha č. 7 Znenie: 2 Je daná množina bodov {[ x, y] RxR : (2y x 4).(2 y x 4)( x 4x y) 0}. Znázornite ju v karteziánskej sústave súradníc. Riešenie: Na riešenie tejto úlohy je geometrická stratégia riešenia naozaj vhodná je rýchla, prehľadná a spoľahlivá. Vychádzajme z podmienky danej nerovnicou. Jej ľavá strana pozostáva zo súčinu troch výrazov, pričom každý z nich má svoju geometrickú interpretáciu. V prvom kroku budeme hľadať také body množiny, ktoré spĺňajú rovnosť: 59

2 (2y x 4).(2 y x 4)( x 4x y) 0 (1). Tá nastane v prípade, že aspoň jeden výraz v zátvorkách nadobudne nulovú hodnotu. Teda: 2 2y x 4 0 2y x 4 0 x 4x y 0 (2). Úpravou rovníc (2) dostávame vyjadrenia závislostí zodpovedajúce zápisom troch funkcií: f f f 1 2 3 : y 0,5x 2 : y 0,5x 2 : y x 2 4x ktoré načrtneme v karteziánskej sústave súradníc pomocou programu Graph už známym postupom z predchádzajúcich úloh. Grafy funkcií rozdelia rovinu na osem častí (obr. 41). Obrázok 41 Rozdelenie roviny grafmi funkcií My však potrebujeme zistiť, ktoré z nich vytvárajú hľadanú množinu, teda spĺňajú podmienky danej nerovnosti (1). Sprehľadniť situáciu nám pomôže tabuľková metóda. Kladným znamienkom označíme v tabuľke 19 tú bunku, v ktorej funkcia uvedená v stĺpci nadobúda kladné funkčné hodnoty v konkrétnej časti plochy uvedenej v riadku tabuľky. Tabuľka 19 Sign tabuľka množiny 2 f : y 0,5x 2 f : y 0,5x 2 f : y x 4x výsledok 1 2 60 3 I. + + + II. + + - III. + + + IV. - + + V. - - + VI. + - + VII. + - - VIII. - - -

Hľadaná množina má teda výslednú podobu (obr. 42), ktorú dokážeme znázorniť pomocou programu graf využitím príkazu Vložit vztah ( ) zapísaný v tvare: (x^2-4x-y)*(2y+x-4)*(2y-x+4)>=0. Obrázok 42 Grafické riešenie úlohy 2.8 Úloha č. 8 Znenie: 2 Je daná kvadratická funkcia f ( x) x 3x 4. Určte: a) rovnicu dotyčnice v bode x 0 2, b) rovnicu kolmice v bode x 0 2, c) obsah časti roviny ohraničenej krivkou f (x), ktorá je zobrazená nad osou x, d) dĺžku krivky ležiacej nad osou x. Riešenie: Numerické riešenie tejto úlohy presahuje súčasné požiadavky kladené na žiakov maturantov zo všeobecného predmetu matematika. Napriek tomu využitím programu Graph môžeme relatívne jednoduchým spôsobom získať odpovede aj na otázky položené v tejto úlohe. Numerický výpočet uvádzame len pre možné porovnanie výsledkov. Úloha a), b) Vychádzajúc z geometrického významu prvej derivácie funkcie (x) f v bode x 0 ; y 0 je f ( x 0 ) smernicou dotyčnice k funkcii f (x) v danom bode. Rovnicu hľadanej dotyčnice teda môžeme zapísať nasledujúcim vzťahom (1). 61

y y f x ).( x ) (1) 0 ( 0 x0 Za predpokladu, že f ( x 0 ) 0, zapíšeme rovnicu kolmice vzťahom (2). 2 Pre zadanú funkciu ( x) x 3x 4 1 y y0.( x x0 ) (2) f ( x ) f v bode ;6 0 2 je f ( x) 2x 3 a f ( 2) 1. Rovnicu dotyčnice k funkcii v danom bode vypočítame po dosadení do (1) a následnou úpravou: y 6 1.( x 2) y x 8 Rovnicu kolmice zistíme rovnakým spôsobom avšak po dosadení do (2): y 6 1.( x 2) y x 4 Overme, že tieto výpočty zvláda v piatich krokoch aj program Graph (tab. 20). Tabuľka 20 Postup riešenia úlohy č. 8 s využitím programu Graph Krok Náhľad v programe Graph Použité nástroje Postup 1. Príkazom Vložit funkci vložíme do pracovnej časti graf funkcie daný rovnicou f(x)=x^2-3x+2. 2. Kliknutím na príkaz Vložit tečnu/dotyčnici zadáme v dialógovom okne x-ovú súradnicu bodu dotyku 2, nastavíme konštrukciu dotyčnice a nami požadované vlastnosti grafu. Potom klikneme na tlačidlo OK. 62