VII. Π Ο Λ Υ Ω Ν Υ Μ Ι Κ Ο Ι Μ Ε Τ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι.

8 VII Π Ο Λ Υ Ω Ν Υ Μ Ι Κ Ο Ι Μ Ε Τ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι Γενικά Οι µετσχηµτισµοί Τ που θ θεωρούµε, θ είνι όοι γρµµικοί µετσχη- µτισµοί ενός δινυσµτικού χώρου VF στον ευτό του dmv Θεωρούµε το πουώνυµο F[] βθµού m: m m m m L Στο πουώνυµο υτό, ντιστοιχίζουµε τον πίνκ: m m A Α Α L A A m m όπου A I, κι A F Πρτηρούµε ότι, ν ντί του πίνκ Α άβουµε πίνκ Β όµοιο προς τον Α, Β PAP βέπε σε 5, τότε, ο πίνκς που ντιστοιχεί στο πουώνυµο είνι όµοιος προς τον πίνκ Α Πράγµτι, είνι m m PAP m PΑP m PΑP L PAP PAP Όµως, PAP PA P Αρ κι PAP P A P ΠΟΡΙΣΜΑ Ο Πουωνυµικός µετσχηµτισµός Τ είνι κά ορισµένος m Ισχύει ότι, ΤβΤ βττ β Ενς υπόχωρος U του V θ έγετι νοίωτος ως προς τον Τ, νν ΤU U Χρησιµοποιούµε κι την οροογί "Τ-νοίωτος υπόχωρος" Εστω {,,, } µί βάση του U Επεκτείνουµε την βάση υτή, σε µί βάση του V, δι της προσθήκης των γρµµικά νεξρτήτων δινυσµάτων v Επειδή, κάθε U έχει εικόν U, µε L v L v, έπετι ότι, ο πίνκς Α που ντιστοιχεί στον Τ ως προς υτήν την βάση, έχει την µορφή: Λ A Γ Ο περιορισµός U επί του U του γρµµικού µετσχηµτισµού Τ, είνι ο κά ορισµένος µετσχηµτισµός U :U U, που δίδετι πό την σχέση U, U Αν V U W κι οι υπόχωροι U, W νοίωτοι ως προς Τ, ο πίνκς του Τ ως προς µί βάση της µορφής {,,, } { w,w,,w }, όπου κι w βάσεις των υποχώρων U κι W ντίστοιχ, έχει την µορφή Λ A Στην περίπτωση υτή, ν U κι W είνι οι περιορισµοί του Τ πάνω στους U κι W ντίστοιχ, γράφουµε κι Τ U W Αντίστροφ, ν ο Τ έχει πίνκ Α ως προς την βάση {,w} τότε οι χώροι U, W είνι νοίωτοι ως προς Τ ΠΡΟΤΑΣΗ Αν U νοίωτος υπόχωρος του V ως προς Τ, τότε ο U είνι κι νοίωτος υπόχωρος του V ως προς κάθε πουωνυµικό µετσχηµτισµό fτ Κι ντίστροφ Απόδειξη Εστω U νοίωτος υπόχωρος του V ως προς Τ Είνι τότε, U, U Αρ κι U, κι, επγωγικά, U Συνεπώς, πό τις υποθέσεις µς ότι ο Τ γρµµική πεικόνιση κι ο U υπόχωρος, f U β Εστω U νοίωτος υπόχωρος του V ως προς fτ Είνι τότε, U f U Τότε όµως, κάθε όρος U, άρ κι ο όρος, διότι άως ο δεν θ οριζότνε, µιά κι U

85 Εάχιστο πουώνυµο Κάθε φορά, που µς δίδετι ένς µετσχηµτισµός Τ, υπάρχει κάποιο µη µηδενικό πουώνυµο f, το οποίο ν είνι ο µηδενικός µετσχηµτισµός Το ότι υπάρχει ένς τέτοιος µετσχηµτισµός, ρκεί ν θυµηθούµε ότι, ο χώρος των πινάκων επί του F, ποτεεί δινυσµτικό χώρο, µε διάστση Αρ, πίνκες µέσ σ υτόν τον χώρο, ποτεούν σύνοο γρµµικά εξρτηµένο Λβίνουµε οιπόν, τους πίνκες, { A, A,, A },, κι γράφουµε την γρµµική έκφρση, που τους συνδέει: Α Α L A A Στην έκφρση υτή, ντιστοιχεί έν πουώνυµο f, τέτοιο ώστε, xf x V Το ερώτηµ, που τίθετι είνι: Μήπως υπάρχει κι άο τέτοιο πουώνυµο βθµού < ; Γι ν πντήσουµε στο ερώτηµ υτό, πρτηρούµε ότι, το σύνοο J όων υτών των πουωνύµων, ποτεεί κύριο ιδεώδες Κτ ρχήν είνι ιδεώδες, µι κι, φνερά, ν f, g J, τότε κι, f±g J κι φ F[], φf J Το ιδεώδες υτό, είνι κύριο, µι κι όπως είδµε, βέπε Θεώρηµ, σε 8, η F[] είνι περιοχή κυρίων ιδεωδών Είνι οιπόν, g J Στο εχίστου βθµού υτό πουώνυµο, ντιστοιχούµε εκείνο το πουώνυµο m, το οποίο προκύπτει πό το g, ν διιρέσουµε όους τους συντεεστές κι τον στθερό του όρο, µε τον συντεεστή του µεγιστοβθµίου όρου του g, έτσι ώστε ν προκύψει έν moc πουώνυµο Το πουώνυµο υτό m είνι τότε, µονοσήµντ ορισµένο Ορισµός Το πουώνυµο υτό, m L κείτι εάχιστο πούώνυµο του µετσχηµτισµού Τ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το m έχει τις ιδιότητες: Ο συντεεστής του µεγιστοβθµίου όρου, είνι η µονάς β ma, γι κάθε πίνκ Α, που ντιστοιχεί στον µετσχηµτισµό Τ Λέµε ότι, o mτ µηδενίζει τον V γ Κάθε άο πουώνυµο f γι το οποίο ισχύει fa, είνι ποπάσιο του m, δηδή m f ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρούµε τον µετσχηµτισµό Τ στροφή του επιπέδου, βέπε σε 7, µε θ 9 µοίρες Ο πίνκς του µετσχηµτισµού υτού, ως προς την κνονική βάση του R είνι ο Α Πρτηρούµε ότι, A Είνι δηδή, A Ι Αρ A I Το m, m [], είνι, οιπόν, το εάχιστο πουώνυµο του Τ Αν ο Τ ήτν κτοπτρισµός του επιπέδου ως προς τον Ox άξον, τότε, Α, A, κι m Πρτηρούµε ότι, τώρ, το m έχει νυθεί σε γινόµενο πρώτων πργόντων Οµως, κνένς πό τους πουωνηµικούς µετσχηµτισµούς, που ντιστοιχούν στους πράγοντες υτούς, που είνι ντ οι ΑΙ κι ΑΙ, δεν µηδενίζει τον χώρο R R

86 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν κάποιο πουώνυµο, γι το οποίο είνι x x V, τότε θ είνι κι x U, x U Αν, οιπόν, µ το εάχιστο πουώνυµο του U ως προς U το µ Ιδιίτερ, µ m, όπου m το εάχιστο πουώνυµο του V ως προς Τ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Θεωρούµε, τώρ, κι το χώρο V/W Βέπε σε 6 Η προβοή του V επί του V/W είνι η πεικόνιση, που σε κάθε x V, x C x, όπου C x η κάση ισοδυνµίς που περιέχει το x modw βέπε σε Γράφουµε κι, x xw Αν ο W Τ-νοίωτος υπόχωρος του V, ορίζετι η επέκτση : V/W V/W της Τ πό την σχέση: C x xw xw xw C x Η είνι κά ορισµένη Πράγµτι, Cx Cy Cx Cy µιά κι ιώς, θ είχµε ότι V V/W x y modw, δηδη, yx W οπότε κι yx W, δηδή, C x C y Ισχύει ότι: x x xw xw x x V V/W Είνι, οιπόν,, κι γενικότερ, Συνεπώς, το εάχιστο πουώνυµο m του V ως προς, είνι ποπάσιο, του εχίστου πουωνύµου του χώρου V/W ως προς Πράγµτι, είνι, x V, xm xm Αρ το m m, µηδενίζει τον V/W Αρ είνι ποπάσιο του εχίστου πουωνύµου του V/W ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν g f, τότε κι rg rf Πράγµτι, x rg σηµίνει ότι, xg άρ, κι xg, F[] ΠΡΟΤΑΣΗ Εστω ότι έχουµε την περίπτωση, που Τ U W Αν m U κι m W τ εάχιστ πουώνυµ των υπόχωρων U κι W, τότε το εάχιστο πουώνυµο m του V είνι το εάχιστο κοινό ποπάσιο εκπ των m U κι m W Απόδειξη Κάθε έν πό τ m U κι m W πρέπει ν διιρεί το m Εστω g κάποιο ποπάσιο µφοτέρων των m U κι m W Τότε, Ug κι Wg Εστω το τυχόν διάνυσµ v V Είνι, τότε, v w όπου U κι w W Θεωρούµε, την εικόν του v διά της g Είνι vg wg gwg Η g µηδενίζει οιπόν τον V Αρ, το g διιρείτι πό το m ΠΡΟΤΑΣΗ Εστω f gh πουώνυµ, τέτοι ώστε το f µηδενίζει τον V κι τ g κι h είνι µετξύ τους πρώτ ότε V U W όπου U rg κι W rh Απόδειξη Κτ' ρχήν πρτηρούµε ότι, οι U κι W είνι νοίωτοι υπόχωροι ως προς Τ, µιά κι Uh, κι {} U Οµοι γιά τον W βέπε πρότση Από υπόθεση έχουµε, rgsh Αρ κι την rgsh ο τυτοτικός µετσχηµτισµός Γι το τυχόν v V είνι v vrgvsh Είνι, vrg w rh, µι κι vrgh vrf Οµοι, vsh rg Αρ, v w, άρ, είνι, V UW Αποµένει ν δείξουµε ότι U W {} Προς τούτο, έστω x U W Τότε είνι κι x xrgxsh Οµως, x U Αρ κι xrgxrg Το xr U, µιά κι U νοίωτος ως προς Τ Επίσης, x W Αρ, όµοι, κι xsg xsg ΠΟΡΙΣΜΑ Τ g κι h, ν είνι moc, είνι κι τ εάχιστ πουώνυµ των υπόχωρων U κι W Είνι, dmv dmudmw άθροισµ των βθµών των ντιστοίχων εχίστων πουωνύµων β Η έκφρση V U W είνι µονδική

87 ΘΕΩΡΗΜΑ της πρωτρχικής νύσεως Με επγωγή, ποδεικνύετι το Θεώρηµ: Εστω ότι το εάχιστο πουώνυµο m του V έχει την πρκάτω νάυση σε γινόµενο πρώτων moc πργόντων: m f L f Τότε V W W, όπου W rf Επιπέον, κάθε f είνι το W εάχιστο πουώνυµο ως προς τον περιορισµό της Τ επί τον W Απόδειξη Η περίπτωση είνι τετριµένη Εστω, ότι το θεώρηµ έχει ποδειχθεί γιά Λόγω της προτάσεως, γράφουµε τον V W V, όπου, W rf κι V r { f L f }, όπου ο περιορισµός της Τ επί του V Είνι όµως, l f f f L γιά κάθε,, Αρ κι r f r { f L f } Αρ, r f W ΠΟΡΙΣΜΑ dmv Κυκικοί υπόχωροι Θεωρούµε κάποιο στοιχείο w V, το οποίο κι στην συνέχει, το διτηρούµε στθερό Το σύνοο { w, w,, w } ποτεεί φνερά γρµµικώς εξρτηµένο σύνοο Υπάρχει, συνεπώς, εκθέτης τέτοιος ώστε, w w L Ο βίνετι βέβι, ο µικρότερος εκθέτης, γι τον οποίο ισχύει η Το πουώνυµο W µ L κείτι εάχιστο πουώνυµο του Τ ως προς το στοιχείο w Ο χώρος w L{ w, w,, w } κείτι κυκικός υπόχωρος του V πργόµενος πό το w Γράφουµε κι Κ, µ ντί των w, µ w, ν γνωρίζουµε περι ποίου w πρόκειτι Ο Κ είνι ο µεγίστης διστάσεως υπόχωρος του V που έχει την µορφή L{ w, w,, w } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 5 Είνι, dm, ο βθµός του εχίστου πουωνύµου µ w ΠΡΟΤΑΣΗ Ο υπόχωρος L{ w, w,, w }, είνι Τ-νοίωτος υπόχωρος του V Απόδειξη Είνι, x, x γ w Αρ, κι x γ w Οµως, κάθε όρος του θροίσµτος υτού νήκει στον Κ Αρ κι x ΠΡΟΤΑΣΗ 5 Ο µετσχηµτισµός µ w Τ µηδενίζει τον κυκικό υπόχωρο Κ Απόδειξη Εξ ορισµού, wµ Τ w w w w σχέση Εστω, τώρ, τυχόν x Είνι τότε, x γ w xµ Τ x w w Αρ κι γ ΠΡΟΤΑΣΗ 6 rµ Κ, ο περιορισµός του Τ επί τον Κ γ

88 Απόδειξη rµ Εστω το x Θ πρέπει, xµ Τούτο όµως ισχύει, µι κι xµ xµτ όγω της προηγούµενης πρότσης rµ Εστω x rµ Είνι τότε, x x εκφρά- ηδή, x γρµµική σχέση των x Γι τον περιορισµό όµως µτισµού Τ επί το Κ κάθε x εκφράζετι γρµµικά πό τ ζετι γρµµικά πό τ w Αρ κι το x εκφράζετι γρµµικά πό τ χώρος νοίωτος ως προς Τ Αρ x w Αρ κι το του µετσχη- w, µι κι ο ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Το εάχιστο πουώνυµο m του είνι το µ Το σύνοο των πουωνύµων g, τ οποί πρέχουν πουωνυµικό µετσχηµτισµό g, ο οποίος µηδενίζει τον Κ, ποτεεί κύριο ιδεώδες Ι µ Είνι δηδή, µ g, g που µηδενίζει τον Κ Το εάχιστο πουώνυµο m του V, διιρείτι πό κάθε πουώνυµο µ x, x V Αν V L{,,, }, τότε το m είνι το εάχιστο κοινό ποπάσιο των πουωνύµων µ 5 Ο Κ, είνι ο µεγίστης διστάσεως κυκικός υπόχωρος του V, που πράγετι πό το w Αν δηδή, Κ L{ w, w,, w }, τότε δεν υπάρχει άος υπόχωρος Κ του V, µε Κ Κ, κι ο οποίος ν πράγετι κι υτός πό το w 6 Αν µ w κι µ v µε µ w, µ v, είνι τ εάχιστ πουώνυµ των κυκικών υπόχωρων w κι v που πράγοντι πό τ δινύσµτ w κι v ντίστοιχ, τότε, v w {} ιότι σε ντίθετη περίπτωση, ο χώρος v w θ είχε διάστση >, οπότε κι το εάχιστο πουώνυµο υτού δεν θ ήτν µηδενικού βθµού Το πουώνυµο υτό, θ διιρούσε µφότερ τ µ w κι µ v, ντίθετ µε την υπόθεσή µς, ότι υτά είνι πρώτ προς άη 7 Αν x wv, τότε το x πράγει τον υπόχωρο x v w µε εάχιστο πουώνυµο το γινόµενο µ w µ v, που είνι το εκπ των µ w κι µ v Η έκφρση x v w είνι µονδική 8 Αν τ µ w κι µ v δεν είνι µετξύ τους πρώτ, τότε v w {} κι ντί της x v w έχουµε την x v w 9 Επγωγικά, τ πορίσµτ 6 κι 7 ισχύουν γιά κυκικούς υπόχωρους ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 6 Εδείξµε ότι, ν ο w Τ-νοίωτος κυκικός υπόχωρος πργόµενος πό το w, τότε το εάχιστο πουώνυµο µ w συµπίπτει µε το m Ισχύει όµως κι το ντίστροφο: Αν ο υπόχωρος Κ έχει εάχιστο πουώνυµο το m, τότε, υπάρχει w, τέτοιο ώστε, ο Κ ν πράγετι π υτό Ν είνι δηδή, Κ L{ w, w,, w }, όπου dm Πράγµτι, ν θεωρήσουµε µί βάση {,,, } του Κ, τότε, έχουµε ότι, m Ο Κ είνι συνεπώς Τ-νοίωτος Κτά συνέπει γιά κάθε τιµή του Υπάρχουν συνεπώς, γρµµικώς νεξάρτητ δινύσµτ της µορφής υτής, που πράγουν τον Κ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρούµε τον µετσχηµτισµό Τ: κνονική βάση, τον Α R R µε πίνκ ως προς την

89 Πρτηρούµε ότι, A A Εχουµε, οιπόν, τον πουωνυµικό µετσχηµτισµό m, ο οποίος µηδενίζει τον R A Το m είνι το εάχιστο πουώνυµο του Τ, µιά κι κνένς πό τους πράγοντες κι δεν πρέχει µετσχη- µτισµό, που ν µηδενίζει οόκηρο τον χώρο Υποογίζουµε τους υπόχωρους r κι r Γιά τον r είνι: x, x Αρ κι x, x, x x x x x,, x,, x,, Οδηγούµεθ, οιπόν, στο σύστηµ, x x x x x x x x Αν άβουµε x x, x, ο ζητούµενος υπόχωρος είνι ο L{,,} µε dm Γιά τον έχουµε, x, x xx Η σχέση υτή δίδει το σύστηµ x x x x x x x x x Είνι, οιπόν, L{,,,,,} µε dm Εκφράζουµε τώρ, τον µετσχηµτισµό Τ στην βάση Β {,,,,,,,,} του R Είνι:,,Τ,,,,,,,,,,,,,, Το γεγονός ότι,,,τ, το γνωρίζµε, µιά κι το,, r,,,,,,,, Εκφράζουµε το,, στην βάση µς:,,,,β,,γ,, Φνερά, είνι,, β, γ Αρ,,,Τ,,,,,, Τέος,,Τ,,,,,,,, Εκφράζουµε, το,, στην βάση Β:,,,,β,,γ,, Φνερά είνι, β, γ Ο πίνκς Α οιπόν, του µετσχηµτισµού Τ στη βάση Β, είνι ο πίνκς, Οι σηµειούµενοι υποπίνκες, είνι οι πίνκες που ντιστοιχούν στους περιορισµούς του µετσχηµτισµού Τ, ντιστοίχως, στους υποχώρους κι στην βάση Β του χώρου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρούµε τον προς την κνονική βάση, τον Α R κι τον µετσχηµτισµό Τ: R R µε πίνκ ως

9 Ζητάµε ν βρούµε το εάχιστο πουώνυµο του Τ ως προς το A w,, Υποογίζουµε τ w,, κι w 5,,6 Οµως, 5,,6,,,, ή w w w Αρ, το εάχιστο πουώνυµο του Τ ως προς w, είνι το µ Ο κυκικός υπόχωρος που πράγει το w, είνι ο Κ L{ w,w} L{,,,,,} µε dm Πρτηρούµε ότι, ο πίνκς του είνι ο µηδενικός πίνκς Ο µηδενίζει οόκηρο τον χώρο R Είνι, οιπόν, µ m Το γεγονός υτό, δεν έρχετι σε ντίφση µε την πρτήρηση 5, µιά κι το w δεν πράγει τον R ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρούµε τον προς την κνονική βάση, τον Α R κι τον µετσχηµτισµό Τ: R R µε πίνκ ως A Εκέγουµε κι τ δινύσµτ, w,,,, w,,,, w,,,, w,,, Υποογίζουµε τους κυκικούς υποχώρους, που πράγοντι π τ w Είνι, w,,, w,,,,,, w,,,,,, Πρτηρούµε ότι, w w w Το w πράγει συνεπώς, ένν κυκικό υπόχωρο, L{ w, w } µε dm κι εάχιστο πουώνυµο µ Είνι, w,,, w,,,,,, w,,,,,, Πρτηρούµε ότι, w w w Το w πράγει συνεπώς έν κυκικό υπόχωρο L{ w, w } µε dm κι εάχιστο πουώνυµο µ Είνι, w,,, w,,,,,, Πρτηρούµε ότι, w w Το w πράγει έν κυκικό υπόχωρο L{ w } µε dm κι εάχιστο πουώνυµο µ Είνι, w,,, w,,, w,,,,,, Πρτηρούµε ότι, w w w Το w πράγει συνεπώς ένν κυκικό υπόχωρο, L{w,w } µε dm κι εάχιστο πουώνυµο µ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Οι κυκικοί υπόχωροι,,, κι ποκείετι ν έχουν ευθύ άθροισµ τον R εν έχουν οιπόν, κενή τοµή

9 β Κνέν πό τ εάχιστ πουώνυµ µ δεν µηδενίζει οόκηρο τον χώρο γ Αν άβουµε το διάνυσµ w w w,,, [ντ w w w,,,] θ έχουµε, w,,, w,,, w 5,,, w 9,,6,8 w 5ww Υποογίζουµε, οιπόν, µ w 5 m [Αντίστοιχ, γιά το w w w είνι, w,,, w,,, w,,, w 8,,5,7 w 5ww Υποογίζουµε, οιπόν, µ 5 m] w δ Το εκπ υτών, είνι το m, το οποίο κι είνι το εάχιστο πουώνυµο του R, µιά κι ο µετσχηµτισµός mτ µηδενίζει τον χώρο Πρτηρούµε ότι, ο βθµός του εχίστου πουωνύµου είνι < πό την διάστση του χώρου Ο R δεν είνι οιπόν, το ευθύ άθροισµ των ευρεθέντων κυκικών υποχώρων Θ πρέπει ν υπάρχει ένς κόµ κυκικός υπόχωρος, µε διάστση κι µε εάχιστο πουώνυµο, ή το ή το Συνοδεύων πίνκς Κνονική µορφή πίνκος Εστω, τώρ, ότι ζητάµε ν βρούµε τον πίνκ του περιορισµού του Τ επί τον Κ Προς τούτο, βίνουµε την βάση { w, w,, w } του Κ, κι βίνουµε τις εικόνες των στοιχείων της Είνι: wτ w w w w w wτ w w w w w wτ w w w w w όγω Ο ζητούµενος πίνκς είνι συνεπώς ο πίνκς, C L L O L L Ο C κείτι συνοδός πίνκς comao matrx του µετσχηµτισµού Τ Στην περίπτωση, που ο χώρος µς V r, ο πίνκς του µετσχηµτισµού Τ, εκφρσµένος σε µί βάση, που ποτεείτι πό τ στοιχεί των βάσεων των βίνει την µορφή C C O Cr

9 όπου C ο συνοδός πίνκς του Ο C είνι βέβι όµοιος προς τον πίνκ Α του Τ ως προς την ρχική βάση του χώρου Ορισµός Ο πίνκς C κείτι ρητή κνονική µορφή ratoal caocal form ή κνονική µορφή Jorda Jorda caocal form ή κνονικός πίνκς του Jorda Jorda caocal matrx, κι βίνετι ως εκπρόσωπος της ισοδυνάµου τάξεως των οµοίων πινάκων, που ντιστοιχούν στον µετσχηµτισµό Τ Τ πουώνυµ f εις τ οποί νύετι το εάχιστο πουώνυµο του µετσχηµτισµού Τ, κούντι νοίωτοι πράγοντεςvarat factors ως προς Τ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 7 Επειδή η νάυση του V σε ευθύ άθροισµ κυκικών υπόχωρων είνι µονδική, κι κάθε κυκικός υπόχωρος έχει µονδικό εάχιστο πουώνυµο, έπετι ότι, κι ο C είνι µονδικός βέπε πόρισµ 7, σε 88 Η σειρά βέβι των C δεν είνι κθορισµένη Συνεπώς, δύο πίνκες επί του ιδίου σώµτος F είνι όµοιοι, νν έχουν την ίδι ρητή κνονική µορφή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ συνέχει Οπως είδµε το εάχιστο πουώνυµο m του Τ είνι το m Στο πουώνυµο υτό, ντιστοιχεί κάποιος κυκικός υπόχωρος w µε dm w Ενς τέτοιος υπόχωρος, πράγετι, όπως εύκο µπορούµε ν διπιστώσουµε, κι πό το,,, Το ερώτηµ που τίθετι είνι: Με ποιά µέθοδο µπορούµε ν βρούµε έν διάνυσµ, που ν πράγει µεγίστης διστάσεως κυκικό υπόχωρο του V; Προς τούτο, εκτεούµε τ βήµτ: Εκέγουµε µί βάση {,,, } του χώρου V β Υποογίζουµε τ σχετικά εάχιστ πουώνυµ µ, ως προς τ στοιχεί της εκεγήσης βάσης γ Γιά,,, έστω κ ο µεγύτερος εκθέτης, που βρίσκετι στο σύνοο κ {,,, } κι w κ το διάνυσµ, που έχει σχετικό εάχιστο πουώνυµο το Αν πχ, τότε, w δ Το διάνυσµ w w w } έχει σχετικό εάχιστο πουώνυµο το w µ w κι πράγει κυκικό υπόχωρο µεγίστης διστάσεως Στο πράδειγµ, έχουµε: Εκογή βάσεως, την,,,,,,,,,,,,,,, β Σχετικά εάχιστ πουώνυµ, τ µ, µ, µ, µ γ Θεωρούµε τ ντίστοιχ σύνο των εκθετών {, }, {, }, {, } κι {, } Οι µεγύτεροι εκθέτες, που βρίσκοντι στ σύνο {,,, } κι {,,, } είνι οι κι Εχουµε, οιπόν το, που είνι το εκπ των µ Η διδικσί γ, µς πρέχει κριβώς το εκπ των µ Στο ντιστοιχεί το w, κι στο το w δ Το w w w πρέχει µέγιστο κυκικό υπόχωρο, εδώ, µε διάστση Γιά ν έχουµε την έκφρση R w x, θ πρέπει ν βρούµε έν διάνυσµ x του χώρου, το οποίο ν πράγει κάποιον µονοδιάσττο υπόχωρο, νοίωτο ως προς Τ Θ πρέπει δηδή, ν είνι x x, x x Εξ άου, επειδή το εάχιστο πουώνυµο του περιορισµού του Τ πάνω στον x διιρεί το m κι είνι πρωτοβάθµιο, θ είνι, όπως πρτηρήσµε, ή το ή το Τέος, το x w Εστω, οιπόν, x x, x, x, x Είνι, x x, ή κ

9 x, x, x, x x, x, x, x, π όπου βίνουµε το σύστηµ, x x x x x x x x x x x x x x x x Το οµογενές υτό σύστηµ, έχει ύση µη µηδενική, νν η ορίζουσ των συντεεστών των γνώστων είνι ίση µε µηδέν Είνι, Επειδή ο µέγιστος κυκικός υπόχωρος w έχει εάχιστο το, τo πρέπει ν ντιστοιχεί στο διάνυσµ, που θ µου δίδει τον x Πράγµτι, γιά, το προκύπτον σύστηµ έχει ύση την κ,,, Είνι, οιπόν, x L{,,,} Η ρητή κνονική µορφή του πίνκ Α είνι, οιπόν, η 5 5 Κσσική µορφή Αν τώρ, στο σώµ F[], το µ w νύετι κι υτό σε πρώτους πράγοντες µ w µ µ µ όπου µ, είνι πρώτ προς άη, τότε, ο συνοδός πίνκς που ντιστοιχεί στον µετσχηµτισµό µ, βίνει µιά κόµ πιό πή έκφρση Γιά ν την βρούµε υτήν, ς υποθέσουµε ότι,, οπότε ο βθµός του πουωνύµου µ είνι, Θεωρούµε τ δινύσµτ: x x, x,, x, x,, x x, x,, x Τ δινύσµτ υτά, που είνι της µορφής φτ, όπου φ πουώνυµο βθµού <, θ τ χρησιµοποιήσουµε ως βάση γιά τον Πράγµτι, υτά είνι γρµµικώς νεξάρτητ κι πράγουν τον χώρο, µιά κι: εν υπάρχουν δύο οµοιόβθµ φ, άρ δεν έχουµε συγγρµµικά β Αν είχµε κάποι µη µηδενική γρµµική έκφρση νάµεσ στ, τότε θ είχµε κι πουώνυµο φ βθµού <, τέτοιο ώστε φτ, πράγµ, που ντίκειτι στο γεγονός ότι ο βθµός είνι ο εάχιστος, γιά τον οποίο, έχουµε µτ γ Τέος, το πήθος υτών, είνι, δηδή, όση κριβώς η διάστση του χώρου Γιά ν βρούµε την µορφή του πίνκ Α στην βάση υτή, πρτηρούµε ότι,

9 x } { x } { Τ x x x x } { L Αρ, ο πίνκς Α βίνει την µορφή µ C M µ C M C µ M C µ O όπου µ C ο συνοδός πίνκς του µ κι Μ ένς πίνκς, που έχει στην κάτω ριστερή γωνί το κι ό τ ά στοιχεί του ίσ µε µηδέν Προσοχή! Την προηγούµενη κσσική µορφή, την γράφουν κι ως εξής, εφ όσον βίνουν ως εικόν του x το Τx: C N C N C N C t t t t µ µ µ µ O όπου t C ο νάστροφος πίνκς του C, κι ο Ν ένς πίνκς, που έχει στην άνω δεξιά γωνί το κι ό τ ά στοιχεί του ίσ µε µηδέν Ορισµός Η πρπάνω µορφή, κείτι κσσική µορφή Τ πουώνυµ µ κούντι στοιχειώδεις διιρέτες lmtary dvsors του m Ιδιίτερ πή µορφή βίνει ο πίνκς µ C, ότν βρισκόµστε σε έν σώµ F γεβρικά κειστό Στην περίπτωση υτή, οι στοιχειώδεις διιρέτες είνι πρωτοβάθµι πουώνυµ, οπότε, ν πχ x µ, είνι κι,

95 Ο Πίνκς Cµ είνι ένς πίνκς, που κείτι κι πίνκς του Jorda ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Εστω F Q το σώµ των ρητών ριθµών Το εάχιστο πουώνυµο m ενός µετσχη- µτισµού, έστω ότι είνι το µ µ m όπου µ κι µ Ο πίνκς του µετσχηµτισµού, είνι ένς 7 7 πίνκς, µιά κι η τάξη του είνι ίση µε το άθροισµ των βθµών των πουωνύµων µ κι µ Γιά ν βρούµε πρώτ την ρητή µορφή του πίνκ, γράφουµε, µ κι µ Είνι, τότε, Κάθε ένς πό τους σηµειουµένους υποπίνκες, βίνει την ισοδύνµο µορφή: κι ντιστοίχως, Η κσσική µορφή του πίνκ είνι συνεπώς, η: Αν ντί του σώµτος Q είχµε το σώµ F, τότε, κάθε πράγων νύετι σε γινόµενο πρώτοβθµίων πργόντων, Είνι, τότε, m κι ο προηγούµενος πίνκς, βίνει την ισοδύνµο µορφή, που εµφνίζετι δίπ Κάθε ένς πό τους σηµειούµενους υποπίνκες, είνι ο πίνκς του Jorda, που ντιστοιχεί στους στοιχειώδεις διιρέτες µ, µ κι µ C µ O O M C M C

96 Στην περίπτωση, οιπόν, που γνωρίζουµε τους νοίωτους πράγοντες, είνι εύκοη η νγρφή της κνονικής ρητής µορφής κι ν νύσουµε κάθε έν νοίωτο πράγοντ σε στοιχειώδεις διιρέτες, της κσσικής µορφής του πίνκ Πρτηρούµε ότι, η κσσική µορφή, την οποί θ άβει ο πίνκς, εξρτάτι πό το σώµ F µέσ στο οποίο δουεύουµε, ενώ η ρητή µορφή υτού, όχι ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 8 Οι στοιχειώδεις διιρέτες, προσδιορίζουν µονοσήµντ τους νοίωτους πράγοντες Ετσι, ν κάποιος πίνκς έχει στοιχειώδεις διιρέτες τους,,,, κι, τότε, έχει νοίωτους πράγοντες τους µ, µ, µ 6 Χρκτηριστικό πουώνυµο Θεώρηµ των Cayly-Hamlto Ιδιοδιάνυσµ ή χρκτηριστικό διάνυσµ gvctor, charactrstc vctor του µετσχηµτισµού Τ LV κείτι κάθε µη µηδενικό διάνυσµ x V, που πράγει Τ-νοίωτο µονοδιάσττο υπόχωρο του V Το x είνι οιπόν ιδιοδυάνυσµ του Τ, νν x κι β x x, F Το κείτι ιδιοτιµή ή χρκτηριστική ρίζ ή χρκτηριστικός ριθµός του µετχηµτισµού Τ Λέµε ότι, το x ντιστοιχεί στην ιδιοτιµή Ο υπόχωρος που πράγετι πό το ιδιοδυάνυσµ x, γιά την ιδιοτιµή, κείτι κι ιδιόχωρος V της Είνι, V r Πράγµτι, x V, νν x x, ή x Είνι, βέβι, dmr R R, που ορίζετι πό τις σχέσεις ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Η προβοή : κι µε πίνκ A έχει τ µη µηδενικά δινύσµτ κι ως χρκτηριστικά, µε ντίστοιχες ιδιοτιµές, κι β Εστω ο Τ: R R, που ορίζετι πό την σχέση x, x, x x, x, x Κάθε διάνυσµ της µορφής x,,, x, είνι χρκτηριστικό διάνυσµ, µε ιδιοτιµή Επίσης, κάθε διάνυσµ, x, x µε x, x όχι µφότερ µηδέν, είνι χρκτηριστικό διάνυσµ µε ιδιοτιµή ΠΡΟΤΑΣΗ 7 Γιά διφορετικές ιδιοτιµές, οι µβνόµενοι ιδιόχωροι V έχουν τοµή τον {} Απόδειξη Κτ ρχήν πρτηρούµε ότι, επειδή Τ γιά κάθε, V Το δεν είνι ιδιοτιµή Τότε, δεν υπάρχει άο διάνυσµ εκτός πό το, που ν πηροί την σχέση x x Αρ, στην περίπτωση υτή, V {} β Το είνι ιδιοτιµή Τότε, γιά τ x, y V είνι κι xβy xβx xβyτ V κι συνεπώς, ο V υπόχωρος γ Εστω τ x V κι y V µε Αν z έν στοιχείο της τοµής των δύο υτών ιδιόχωρων, τότε φ ενός z z κι φ ετίρου, z z Αρ κι, z z z Αν οιπόν το z, τότε, νγκστικά,, άτοπο ΠΟΡΙΣΜΑ Ο υπόχωρος L{x}, που πράγετι πό κάποιο ιδιοδυάνυσµ x του µετσχηµτισµού Τ, είνι Τ-νοίωτος υπόχωρος ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ν ευρεθούν ό τ ιδιοδυνύσµτ του Τ LV Λύση Η σχέση x x γράφετι ισοδύνµ, xaι, όπου Α ο πίνκς του µετσχηµτισµού Τ σε κάποι βάση του χώρου κι Ι είνι ο µονδιίος πίνκς, που ντιστοιχεί στον τυτοτικό µετσχηµτισµό Τ Η σχέση υτή, είνι µε την σειρά της, ισο- δύνµος προς το σύστηµ δ x Το σύστηµ υτό, είνι οµογενές γρµµικό Εχει συνεπώς µη µηδενική ύση x, νν η dt δ Η ορίζουσ υτή, κείτι

97 χρκτηριστική ορίζουσ, κι είνι, βέβι, έν πουώνυµο του, που κι υτό κείτι χρκτηριστικό πουώνυµο φ Η εξίσωση φ, κείτι χρκτηριστική εξίσωση του πίνκ Α του µετσχηµτισµού Τ Οι ρίζες του πουωνύµου υτού, είνι οι ιδιοτιµές ή οι χρκτηριστικές ρίζες, του µετσχηµτισµού Τ Το πουώνυµο υτό, έχει την µορφή, φ L όπου:, το ίχνος trac του πίνκ Α το άθροισµ των διγωνίων στοιχείων του, < το άθροισµ, όων των δευτέρς τάξεως οριζουσών του πίνκ Α, < < το άθροισµ όων των τρίτης τάξεως οριζουσών του πίνκ Α, κοκ, dtα Σηµείωση Σε κάθε χρκτηριστική ορίζουσ, ντιστοιχεί έν χρκτηριστικό πουώνυµο φ Αντίστροφ, ν µου δίδετι κάποιο πουώνυµο, µπορούµε µέσως ν γράφουµε την ορίζουσ, της οποίς υτό είνι χρκτηριστικό Προς τούτο Γράφουµε το ως εξής: φ L ή φ L O Ο πίνκς Ρ, που έχει την προηγούµενη ορίζουσ ως χρκτηριστική ορίζουσ, είνι όµοιος του πίνκ Α του µετσχηµτισµού, που έχει χρκτηριστικό πουώνυµο το φ, µιά κι όπως θ δούµε µέσως πρκάτω, η τάξη ισοδυνµίς των οµοίων πινάκων, έχει το ίδιο χρκτηριστικό πουώνυµο Ο πίνκς υτός Ρ, είνι ο Ο πίνκς υτός κείτι, πίνκς του Frobs Είνι, βέβι, P AQ Q ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 Γιά το πουώνυµο φ 56 φ είνι, 56 P P O

98 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Γιά τον µετσχηµτισµό Τ, που ορίζετι πό την σχέση: x,x,,x x,x x,,x x, υποογίζουµε τον πίνκά του Α, στην κνονική βάση, βρίσκοντς τις εικόνες της βάσεως εκφρσµένες στην βάση υτή Είνι, Ο Α είνι ένς πίνκς του Jorda Εχει φ dtaι A O ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Εστω ο Τ: R R, µε x, x x x,x x Ο πίνκς του Τ στην κνονική βάση, είνι ο A οπότε κι A I άρ κι φ Εχουµε ιδιοτιµές, Στην ντιστοιχεί το ιδιοδυάνυσµ x, x, µε, x x x, x Η ισότης υτή, µς πρέχει το σύστηµ, x x κι x x Το οµογενές υτό σύστηµ, γιά την ευρεθείσ τιµή του γίνετι, x x κι x x, κι έχει µονοπρµετρική ύση την x, x κ, Ο ιδιόχωρος που πράγετι είνι ο V L{, } Με τον ίδιο τρόπο, υποογίζουµε έν δεύτερο ιδιοδιάνυσµ, γιά την τιµή, το, Είνι, οιπόν, V L{, } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 9 Εφ όσον το σώµ F του χώρου V είνι γεβρικώς κειστό, το φ έχει πάντ ύση µέσ σ υτό Κάθε µετσχηµτισµός Τ LV, έχει συνεπώς, έν τουάχιστον ιδιοδυάνυσµ Ιδιίτερ, ν Τ L R, ο Τ έχει µί τουάχιστον πργµτική ιδιοτιµή ΠΡΟΤΑΣΗ 8 Τ χρκτηριστικά δινύσµτ, που ντιστοιχούν σε διφορετικές ιδιοτιµές ενός µετσχηµτισµού Τ, ποτεούν γρµµικώς νεξάρτητο σύνοο Απόδειξη Εστω ότι οι ιδιοτιµές,,, είνι µ ν ότν είνι, µ ν Ας υποθέσουµε, τώρ, ότι τ ιδιοδινύσµτ x, που ντιστοιχούν στις, ποτεούν σύνοο γρµµικά εξρτηµένο Είνι, τότε, x, µε Ιδιίτερ, έστω Από την έχουµε, τώρ, ότι κι x x, ως επίσης κι, x ή Αφιρούµε πό την την κι βίνουµε την x Λβίνουµε, τώρ την εικόν της

99 διά της Τ, που είνι η x x κι την φιρούµε πό την σχέση που προκύπτει, ν ποπσιάσουµε την επί, που είνι η x Ετσι, προκύπτει η x Εργζόµενη µε τον ίδιο τρόπο, βίνουµε τεικά την σχέση, L x Οµως, όες οι διφορές, όπως κι το Αρ, x Ατοπον ΠΡΟΤΑΣΗ 9 Η τάξη ισοδυνµίς των οµοίων πινάκων του µετσχηµτισµού Τ, έχει το ίδιο χρκτηριστικό πουώνυµο Απόδειξη Εστω Α ο πίνκς του Τ, κι Β P AP ένς όµοιος προς υτόν πίνκς Ισχύει τότε ότι, dt P AP dt P dtadtp dta Η ορίζουσ συνεπώς, του πίνκ Α, δεν άζει, ότν εκφράζουµε τον πίνκ Α σε µί άη βάση του χώρου Το ίδιο ισχύει κι γιά την ορίζουσ του πίνκ ΑΙ ΠΟΡΙΣΜΑ Οι συντεεστές του πουωνύµου φ πρµένουν νοίωτοι ως προς τις γές της βάσεως του χώρου Ιδιιτέρως, νοίωτοι είνι οι συντεεστές tra [το ίχνος του Α] κι dta ΠΡΟΤΑΣΗ Αν V V V όπου οι V, V είνι Τ-νοίωτοι υπόχωροι το V, τότε φ φ φ, όπου φ κι φ τ χρκτηριστικά πουώνυµ του περιορισµού του Τ επί των V, V ντίστοιχ Απόδειξη Εκέγουµε εκείνη την βάση του χώρου V, στην οποί ο πίνκς Α του µετσχηµτισµού Τ βίνει την µορφή A A όπου Α κι Α οι πίνκες των A A Ι ντίστοιχων περιορισµών του Τ Είνι, A Ι A Ι κι dtaι dt Α Ιdt Α Ι ΠΟΡΙΣΜΑ Το χρκτηριστικό πουώνυµο του µετσχηµτισµού, ο περιορισµός του Τ πάνω σε κάποιον Τ-νοίωτο υπόχωρό του Κ, είνι διιρέτης του χρκτηριστικού πουωνύµου του Τ ΠΡΟΤΑΣΗ Αν στην ιδιοτιµή ντιστοιχούν τ γρµµικώς νεξάρτητ ιδιοδινύσµτ, τότε, υτά πράγουν τον ιδιόχωρο V, που είνι Τ-νοίωτος υπόχωρος του V Ο περιορισµός του Τ επί του V πηροί την σχέση x x, x V Απόδειξη Πράγµτι, γιά το x V, x άρ κι x x V ΘΕΩΡΗΜΑ των Cayly-Hamlto Κάθε τετργωνικός πίνκς Α, πηροί την χρκτηριστική του εξίσωση

Απόδειξη Θεωρούµε τους πίνκες ΑΙ κι Β adaι Κάθε στοιχείο του ΑΙ είτε περιέχει το, ν δεν είνι διγώνιο στοιχείο, είτε περιέχει το ν είνι διγώνιο στοιχείο Αρ, κάθε στοιχείο του πίνκ Β, περιέχει το, το πού εις την δύνµη Εν τυπικό στοιχείο του Β, είνι, οιπόν, το β β β L β όπου οι συντεεστές β υτού, είνι πουωνυµικές συνρτήσεις των στοιχείων του πίνκ Α Τον πίνκ Β, µπορούµε συνεπώς ν τον γράψουµε στην µορφή B B B L B Ας υποογίσουµε τους πίνκες B, B, L, B Προς τούτο, χρησιµοποιούµε την τυτότητ dt A dtadadt A τύπος του Cachy, σε 5, που την γράφουµε, ΑadA dtai Αν ως Α άβουµε τον ΑΙ, η τυτότητ υτή µς πρέχει την ΑΙΒ dtαιι φι Ανυτικά, έχουµε ότι, A I B φ Ι ή AB ή Α Β AB B I Ι µε Β Ι AB B I µε Β Η σχέση υτή, ισχύει γιά κάθε τιµή του Αρ έχουµε τις ισότητες, Α Β Ι ή Α Β Α ΑΒ Β Ι ή Α Β ΑΒ Α ΑΒ Β Ι ή Α Β Α Β Α Β I ή A Β Α Προσθέτουµε τις πρπάνω ισότητες κτά µέη, κι βίνουµε την εξίσωση, φα ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Κάθε γρµµικός µετσχηµτισµός Τ, πηροί το χρκτηριστικό πουώνυµό του β Ο µετσχηµτισµός φτ µηδενίζει τον χώρο γ Το εάχιστο πουώνυµο m διιρεί το φ δ Στην περίπτωση, που το σώµ F είνι γεβρικά κειστό, το m κι το φ έχουν τις ίδιες ρίζες ε Οες οι χρκτηριστικές ρίζες του Τ κείντι εν F, νν όες οι ρίζες του εχίστου πουωνύµου κείντι εν F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω ότι στην κνονική βάση του R ο µετσχηµτισµός Τ έχει πίνκ Το φ του µετσχηµτισµού, είνι το 5 6 6 φ A Το m του µετσχηµτισµού είνι ή το ±φ, ή το ± Γιά ν βρούµε πιό π τ δύο είνι, ξεκινάµε πό το πούστερο, 6 που είνι το, σχηµτίζουµε τον ντίστοιχο πουωνυ- µικό µετσχηµτισµό Τ Τ, κι εέγχουµε ν ο µετσχηµτισµός υτός, µηδενίζει τον χώρο µς Είνι, x I Αρ, m m Πρτηρούµε ότι, dgm, ενώ η διάστση του χώρου είνι Ο χώρος οιπόν, γράφετι ως ευθύ άθροισµ δύο κυκικών υπόχωρων, ενός µε διάστση κι µε µ το m, κι ενός µε διάστση έν κι µε µ το Τ δύο υτά εάχιστ πουώνυµ,

είνι κι οι νοίωτοι πράγοντες του Τ Μπορούµε οιπόν στον Τ, ν ντιστοιχίσουµε τον πίνκ, που είνι η ρητή κνονική µορφή του πίνκ Α του µετσχηµτισµού Τ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω Τ L R Το χρκτηριστικό πουώνυµο του µετσχηµτισµού υτού, θ είνι της µορφής φ ρ ρ ν ρ ρ, είτε φ ρ ν ρ ρ ρ, είτε, τέος, φ, στην περίπτωση, που δεν έχει πργµτικές ρίζες Σε κάθε περίπτωση, πρέπει ν έχουµε m φ Στην πρώτη περίπτωση, είνι m ±φ κι ο χώρος νύετι σε ευθύ άθροισµ δύο κυκικών υπόχωρων r Τ κι r Τ, όπου Τ κι Τ οι ντίστοιχει περιορισµοί του Τ επί των κι Κάθε ένς πό τους χώρους Κ, έχει µ το ρ κι ρ ντίστοιχ Ο πίνκς του Τ, είνι ισοδύνµος του Στην δεύτερη περίπτωση Εδώ, το m είνι δυντόν ν είνι είτε το ρ, είτε το ρ Αντίστοιχ, έχουµε τους ισοδύνµους του Α πίνκες κι Στην τεευτί περίπτωση, m ±φ κι έχουµε ισοδύνµο πίνκ του µετσχηµτισµού, τον πίνκ της ρητής κνονικής µορφής του, που νγράφετι πρπεύρως ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω ο Τ L R, µε πίνκ Α τον δίπ Είνι, φ Επειδή το εάχιστο πουώνυµο έχει τις ίδιες ρίζες µε το χρκτηριστικό, είτε m ±φ, είτε m ± Αντίστοιχ, ο πίνκς Α είνι ισοδύνµος προς τον είτε τον Α β γ Υποογίζουµε, τώρ, ότι ΑΙΑΙ Αρ, m ±φ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω ο πίνκς: Ο πίνκς Α έχει δύο Jorda υποπί- νκες Ο µετσχηµτισµός Τ L R, Α που ντιστοιχεί στον πίνκ Α, έχει δύο νοίωτους υπόχωρους µε δι- άστση Είνι, φ κι m Ανοίωτοι πράγοντες του µετσχηµτισµού είνι οι,, κι στοιχειώδης διιρέτης υτού, ο

7 ιγωνοποίηση - Τριγωνοποίηση Ενς πίνκς Μ έγετι διγωνίσιµος, ντ τριγωνίσιµος, νν υπάρχει ντιστρέψιµος πίνκς Ρ, έτσι ώστε, ο P MP ν είνι διγώνιος ντ τριγωνικός πίνκς Ο µετσχηµτισµός Τ LV, έγετι διγωνίσιµος, ντ τριγωνίσι- µος, νν υπάρχει βάση του V τέτοι ώστ, ο πίνκς που ντιστοιχεί σ υτήν, ν είνι διγώνιος ντ τριγωνικός Σε ότι κοουθεί, θ υποθέτουµε το σώµ F του δινυσµτικού χώρου V είνι γεβρικά κειστό ΠΡΟΤΑΣΗ Ο πίνκς Α του µετσχηµτισµού Τ είνι διγώνιος, νν υπάρχει βάση του V, που ν ποτεείτι πό ιδιοδυνύσµτ του Τ Απόδειξη Εστω ότι η βάση {,,,} του V ποτεείτι πό ιδιοδυνύσµτ του Τ Ισχύει τότε, η γιά ό τ,, Ο πίνκς συνεπώς, που ντιστοιχεί στον µετσχηµτισµό Τ, εκφρσµένος στην βάση υτή, είνι διγώνιος, µε διγώνι στοιχεί τις ιδιοτιµές β Αντίστροφ, ν στον µετσχηµτισµό Τ ντιστοιχεί ο πίνκς D,,,, τότε φνερά, τ είνι ιδιοδυνύσµτ του Τ Ορισµός Φάσµ sctrm του µετσχηµτισµού Τ κείτι το σύστηµ των διφορετικών ιδιοτιµών του Τ Το φάσµ του Τ µζί µε τους νοίωτους ιδιόχωρους V ποτεούν τ φσµτικά δεδοµέν sctral data του Τ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οπως είδµε, η τάξη ισοδυνµίς των οµοίων προς τον Α πινάκων, έχει το ίδιο χρκτηρηστικό πουώνυµο πρότση 9, σε 99 εν ισχύει όµως πάντοτε το ντίστροφο ηδή, είνι δυντόν, το ίδιο χρκτηριστικό πουώνυµο, ν το έχουν κι πίνκες, που δεν είνι όµοιοι Γιά πράδειγµ, θεωρούµε τους πίνκες Α κι Β Οι πίνκες υτοί έχουν το ίδιο χρκτηριστικό πουώνυµο φ όµως δεν είνι όµοιοι µιά κι η σχέση οµοιότητς Β P AP δίδει την Β Ι, πράγµ άτοπον ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν όες οι ρίζες του φ είνι πές, τότε είνι κι διφορετικές Οι διφορετικές υτές ρίζες του φ, πρέχουν διφορετικά ιδιοδινύσµτ, που πράγουν τους µονοδιάσττους ιδιόχωρους V µε ευθύ άθροισµ τον V Μπορούν συνεπώς, ν χρησιµοποιηθούν ως βάση του V βέπε πρότση 7, σε 97 Ο πίνκς στην περίπτωση υτή διγωνίζετι, µε διγώνι στοιχεί τ Ερχόµστε, τώρ, στην περίπτωση, που έχουµε κι ποπές ρίζες Πρτηρούµε ότι, ο ιδιόχωρος V r Ι Γιά ν µπορεί οιπόν ο V ν γρφεί ως ευθύ άθροισµ των V, πρέπει κι ρκεί, dmv ποπότητ της ιδιοτιµής ΠΟΡΙΣΜΑ Ο είνι διγωνίσιµος νν η σχέση x I, συνεπάγετι την xι, x V Απόδειξη Είνι Κ rι r I ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω ότι ο πίνκς του µετσχηµτισµού Τ L R ως προς την κνονική βάση του χώρου, είνι ο A Είνι φ dt

Το εάχιστο πουώνυµο του Τ είνι το m, µιά κι ένς µικρός ογρισµός δίδει ΑΙΑΙ Ο πίνκς συνεπώς Α χωρίζετι σε δύο υποπίνκες Α κι Α, που κάθε ένς π υτούς, δίδει τον περιορισµό του Τ στους υπόχωρους Κ κι Κ, όπου Κ ri r I κι Κ ΤΙ Πρτηρούµε ότι, dm Κ dm Κ O είνι διγωνίσιµος, κι τ διγώνι στοιχεί του, είνι οι ιδιοτιµές του Τ Ο Α είνι, οιπόν, όµοιος προς τον D,, Γιά ν βρούµε τους ιδιόχωρους Κ κι Κ, βρίσκουµε τ ιδιοδινύσµτ που τους πράγουν Γιά τον Κ είνι: ξ, ξ, ξ ξ, ξ, ξ, µε Οδηγούµεθ συνεπώς στο σύστηµ: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ,, ξ ξ ξ που είνι διπρµετρικό, κι έχει ύση την ξ,, Αρ, Κ L{,,,,,} Γιά τον Κ σχηµτίζουµε την µε κι το σύστηµ στο οποίο οδηγούµεθ, είνι µονοπρµετρικό, κι έχει ύση την ξ,, Αρ, Κ L{,,} Ο πίνκς Α βίνει συνεπώς την διγώνι µορφή του, στην βάση που ποτεείτι πό τ,,,,, κι,, Η νέ υτή βάση εκφράζετι συνρτήσει της πιάς ρχική µς βάση είνι η κνονική πό τις σχέσεις: Αν Ρ ο πίνκς γής βάσεως, υτός δηδή, που εκφράζει τον µετσχηµτισµό των ρχικών δινυσµάτων βάσεως στ τεικά, είνι τότε, P Ισχύει φυσικά ότι, Α PD,, P Ο τριγωνισµός ενός πίνκ είνι πάντοτε δυντός ύνουµε τον γόριθµο που τριγωνίζει έν πίνκ Α, µέσ πό έν πράδειγµ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 ίδετι ο πίνκς Α Υποογίζουµε το χρκτηριστικό του πουώνυµο 8 φ Είνι, φ Εδώ έχουµε το ως τριπή ιδιοτιµή Ο A πίνκς Α όµως δεν είνι διγωνίσιµος, γιτί dmri < 5 5 Γιά ν τριγωνίσουµε τον Α, εργζόµστε ως εξής: Βρίσκουµε έν ιδιοδιάνυσµ που ντιστοιχεί στην ιδιοτιµή Εν τέτοιο, είνι το,, β Θεωρούµε τον χώρο W L{,,} κι τον χώρο πηίκο V/W,, ως κι την επέκτση που ορίζετι σ υτόν τον χώρο πό τον µετσχηµτισµό Τ του πίνκ Α γ Ανζητούµε τον πίνκ της, το χρκτηριστικό του πουώνυµο, κι έν ιδιοδιάνυσµ Γιά ν βρούµε τον πίνκ του χρειζόµστε µιά βάση γιά τον V/W Προς τούτο, πρτηρούµε ότι το {,,,, } είνι βάση του χώρου Αρ τ W κι W ποτεούν βάση του V/W βέπε σε 7

Είνι: W W 8,,W κ W κ W W W,5,5W κ W κ W Υποογίζουµε τ στοιχεί κ του ζητουµένου πίνκ: Εχουµε, 8,,W κ, κ, W κι,5,5w κ,, W Αρ τ δινύσµτ 8 κ,, κι κ κ κ, 5 κ, 5 W Είνι συνεπώς, 8 κ, κ, ξ,, κι κ, 5 κ, 5 ξ,, Από τις ισότητες υτές βίνουµε ξ, ξ, κ, κ 8, κ κι κ 5 Ο πίνκς 8 συνεπώς του είνι ο Το χρκτηριστικό πουώνυµο του είνι το, 5 κι έν ιδιοδυάνυσµ υτού, το,,w Βάση γιά τον χώρο πηίκο V/W, επιέγουµε την {,,W,,,W} δ Χρησιµοποιούµε ως βάση του V την : {,,,,,,,,} Είνι κι Ο πίνκς Α του Τ στην ρχική βάση είνι όµοιος µε τον πίνκ Β του Τ στην βάση Είνι Β P ΑΡ Αρ κι, 8 B 5 5 ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω ότι ο µετσχηµτισµός Τ έχει όες του τις χρκτηριστικές ρίζες εν F Υπάρχει τότε µί βάση γιά τον πίνκ του Τ, στην οποί, ο πίνκς υτός κθίσττι τριγωνικός Απόδειξη Με επγωγή πάνω στην διάστση του χώρου V Γιά dmv φνερά το προς πόδειξη συµπέρσµ ισχύει Υποθέτουµε ότι ισχύει γιά, κι έστω ο διάσττος χώρος VF Εστω F µί χρκτηριστική ρίζ του Τ, κι έν χρκτηριστικό δάνυσµ, που ντιστοιχεί στην Θεωρούµε τον W L{ } κι τον χώρο πηίκο V/W Επεκτείνουµε την Τ στον V/W, ο οποίος έχει διάστση κι επί του οποίου ο έχει εάχιστο πουώνυµο, διιρέτη του εχίστου πουωνύµου του Τ Οες οι ρίζες συνεπώς του, βρίσκοντι κι υτές στο F Ο πηροί τις υποθέσεις του θεωρήµτος κι επειδή dm V/W, η υπόθεση της επγωγής µς πρέχει µί βάση του V/W, ως προς την οποί, ο πίνκς του είνι τριγωνικός Είνι, οιπόν, Τ στοιχεί του V, τ οποί έχουν προβοή τ, µζί µε το ποτεούν βάση του V Στην βάση υτή, φνερά ο πίνκς του Τ είνι τριγωνικός ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σε ένν τριγωνικό πίνκ, τ διγώνι στοιχεί του, ποτεούντι πό τις ιδιοτιµές του

5 Ασκήσεις Γιά ποιές τιµές του ο πίνκς Α είνι διγωνίσιµος; Λύση Εχουµε φ dtaι Γιά ν είνι ο Α διγωνίσιµος, θ πρέπει ν έχουµε m Θ πρέπει δηδή ν είνι, ma Η ισότης ισχύει γιά την τιµή Εστω ο πίνκς Α β όπου, β, γ εν R Ποί συνθήκη πρέπει ν γ πηρούν τ, β, γ γιά ν είνι ο Α διγωνίσιµος; Λύση Εχουµε φ dtaι γ Γιά ν είνι ο Α διγωνίσιµος, θ πρέπει το m γ Πρέπει συνεπώς ν είνι, ma Από την ισότητ υτή, βίνουµε τις σχέσεις β κι γ Η τιµή γ πορρίπτετι, γιτί ν γ, φ οπότε το m, οπότε κι ma AI, δηδή, Α Ι, πράγµ άτοπο ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ο πίνκς Α έχει το ως ιδιοτιµή, είνι ιδιάζων µη ντιστρέψιµος πίνκς Απόδειξη Ο Α έχει το ιδιοτιµή Τότε, γιά, φ dtaι dta β Ο Α είνι ιδιάζων Ο µετσχηµτισµός Τ που έχει τον Α ως πίνκ σε κάποι βάση του χώρου, έχει r {} Εστω το V, r Είνι τότε,, δηδή, το ιδιοτιµή του Τ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οτν ο Α είνι ιδιάζων, το φ έχει Είνι, δηδή, της µορφής ν ν ν ρ ρ κ L κ Αντίστροφ, ν το φ έχει στθερό όρο, τότε ντιστρέφετι Πράγµτι, ν πχ έχουµε το φ, τότε, το θεώρηµ των Cayly-Hamlto δίδει την ισότητ φα ή Α Α Α Ι οπότε είνι κι Α Α Α Ι, ή Α Α Α Ι Ι ή Α ντίστροφο πίνκ του Α Α Α Ι Υποογίσµε έτσι, κι τον 5 ίδετι ο πίνκς Α ο οποίος έχει φ 6 κι ιδιοδυάνυσµ, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιµή, το,,, Ν τριγωνίσετι την πεικόνιση : R / < > R / < > Λύση Το {,,, } ποτεεί βάση γιά τον R Τ L,,,, ποτεούν βάση του R / < > Βρίσκουµε τον πίνκ της Είνι, L L L L άρ κι, L L Εχουµε, οιπόν,,,, L,, 5, L

6,,, L οπότε κι,,,,,,, ξ,,, άρ ξ,, 5,,,, ξ,,, άρ ξ,,,,,, ξ,,, άρ ξ Υποογίζουµε συνεπώς ότι τ έχουν τις τιµές 5,,, 6,, 9 κι τέος,,, 5 5 Ο πίνκς συνεπώς της στην βάση L είνι ο Β 6 9 5 Το χρκτηριστικό πουώνυµο του Β είνι το Στην ιδιοτιµή, ντιστοιχεί το, /, Στήν ιδιοτιµή, ντιστοιχεί το /,, Είνι, τώρ,,, /,, /, /, / / κι τεικά, 5 6 9 6 9 5 5 ίδετι ο πίνκς Α R είξτε ότι το είνι ιδιοτιµή του Α γιά κάθε R β Γιά ποιές τιµές του, ο Α είνι τριγωνίσιµος γ Γιά ποιές τιµές του ο Α είνι διγωνίσιµος Λύση Το χρκτηριστικό πουώνυµο του είνι, φ [ ] Αρ η τιµή είνι ιδιοτιµή του Α Εχουµε κόµ τις ιδιοτιµές ± 6 ±, Πρέπει ν είνι, ή Στην περίπτωση, που, φ Πρτηρούµε τότε, ότι ΑΑΙ οπότε ο Α είνι τριγωνίσιµος, ά όχι διγωνίσιµος Στην περίπτωση, που, φ Τότε, ΑΑΙ οπότε ο Α είνι τριγωνίσιµος, ά όχι διγωνίσιµος Στην περίπτωση, που > ή <, τότε φ ρ ρ µε ρ ρ οπότε ο Α είνι διγωνίσιµος 6 ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ιδιοτιµή του Τ, κι οιοσδήποτε πουωνυµικός µετσχηµτισµός του Τ, τότε η είνι κι ιδιοτιµή του Τ Απόδειξη Εχουµε, x V, x x Αρ κι, x x x x Εν γένει ισχύει ότι, x x Αν οιπόν L, τότε κι

7 x x L x L x x x L x x x L x x x L x 7 ΠΡΟΤΑΣΗ Εστω f µί µηδενοδύνµη πεικόνιση βέπε σε 5 Η f είνι τότε τριγωνίσιµη, µε ό τ διγώνι στοιχεί ίσ µε µηδέν Απόδειξη Γιά κάποιον φυσικό, είνι f f Θεωρούµε το πουώνυµο x x κι πρτηρούµε ότι, ο πουωνυµικός µετσχηµτισµός f είνι ο µηδενικός µετσχη- µτισµός Είνι xf x Εχουµε οιπόν ιδιοτιµή την, µε ποπότητ Τ διγώνι στοιχεί του πίνκ, που είνι οι ιδιοτιµές του, έχουν την τιµή ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η f δεν µπορεί ν είνι διγωνίσιµη, ν > Πράγµτι, τότε το εάχιστο πουώνυµο της f θ ήτν το m, οπότε κι mf f f 8 Στην σε 99, ορίσµε το ίχνος ενός πίνκ Α, πό την σχέση, tra Το µέγεθος υτό, πρµένει νοίωτο ως προς την γή της βάσεως του χώρου, µιά κι όοι οι όµοιοι πίνκες έχουν το ίδιο χρκτηριστικό πουώνυµο, κι το tra είνι ο συντεεστής του όρου βθµού του πουωνύµου υτού Το γεγονός υτό, µς επιτρέπει ν θεωρούµε κι το ίχνος του µετχηµτισµού Τ LV Ισχύουν οι σχέσεις: trα tra β trab tratrb γ trab trba δ tr όπου χρκτηριστική ρίζ του Τ, ποπότητος Αν ο Τ είνι µηδενοδύνµος, τότε όες του οι χρκτηριστικές ρίζες είνι κι συνεπώς, tr Αρ κι tr, N Ισχύει όµως κι το ντίστροφο σε σώµτ F χρκτηριστικής µηδενός Πράγµτι, ν tr N, τότε, επειδή ο Τ πηροί το χρκτηριστικό του πουώνυµο, έχουµε την σχέση L Αρ κι, tr tr L tr L tr tr Αρ Αφού ο στθερός όρος του χρκτηριστικού πουωνύµου του Τ είνι, ο Τ είνι ιδιάζων βέπε πρτήρηση, άρ έχει ιδιοτιµή την βέπε πρότση