Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα ΙΙΙ. Αν η συνάρτηση g f,, Α. α ή α Β. 0 είναι συνεχής στο 0 τότε το α παίρνει τις τιμές: 0 Γ. α=0 Δ. IV. H συνάρτηση h nf έχει πεδίο ορισμού: A., B., Γ. Δ. -,- υ,., ή α V. Η h () είναι ίση με: A. B. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα VI. Στο σημείο A 0, h 0 η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h έχει εξίσωση: Α. y 0 B. y 0 Γ. y Δ. y 0 ΘΕΜΑ ο Α. Εξετάστε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Δείξτε ότι g() 0 για κάθε 0 Δίνονται οι συναρτήσεις: f, 0 g Γ. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f n,4 Α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της f στο σημείο της A,f. Γ. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης για τα οποία ισχύει: B A α) Να δείξετε ότι PABPA PB β) Αν η πιθανότητα Ρ(Α) είναι ίση με τη μέγιστη τιμή της f ενώ PB PA B να υπολογίσετε τις πιθανότητες PA, PB. Στο κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζεται η βαθμολογία ενός τμήματος μαθητών στα μαθηματικά Ι. να βρεθεί η μέση τιμή της βαθμολογίας. ΙΙ. βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμό από 0 ως 4. ΙΙΙ. αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή βρείτε την πιθανότητα να έχει πάρει το πολύ 6. IV. να εξεταστεί αν το δείγμα έχει ομοιογένεια ως προς την απόδοσή του. [8, ) 40% 90 [, 6) 0% [6, 0) 8 [0, 4) [4, 8) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο f Ι. Πρέπει: 0, Σωστό το Γ. ΙΙ. f lm 0 Σωστό το Δ. f ΙΙΙ. g a lm lm lm lm 0 0 0 0, 0, 0 Πρέπει lm g g0 0. Είναι lm g 0 a a a a g 0 a Σωστό το Δ. ΙV. h lnf ln Πρέπει : 0 - Σωστό το Α. V. h' ln ' ' ' Σωστό το Β.,
VI. Στο σημείο και εξίσωση: y Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ A0, h0η εξίσωση της εφαπτόμενης έχει συντελεστή διεύθυνσης λ h0 β διέρχεται από A0, h0, y h0 ln 0 0 οπότε: Για 0 y 0 οπότε: () 0, 0 0 β β 0 Άρα η εξίσωση: y y y 0 Σωστό το Β. ΘΕΜΑ ο f, 0 g Α. Για : g' ' Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Άρα : στο,0 η g γνησίως φθίνουσα, στο 0, η g γνησίως αύξουσα, στο 0 0παρουσιάζει ελάχιστο το g0 0. B. Αφού η g στο 0, αν 0 g g0 g 0. Γ. g ' f ' 0 Δείξαμε στο Β ότι g 0 για κάθε 0 g f' 0 για κάθε 0 ακόμα 0 για κάθε 0 f στο 0, Άρα η g () - 0 + g() + τ. ε. g(0) = 0 ΘΕΜΑ ο f n,4 0 A. f n,4, 0 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Άρα : στο 0, η f, στο, η f, στο 0 η f παρουσιάζει μέγιστο το f 0,4. 0 + f () f() + τ. μ. f() = 0,4 Β. Στο σημείο A,f η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης λ f' Οπότε έχει εξίσωση: y β () Η εφαπτομένη διέρχεται από το A,f οπότε: Για
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ,y,4 yf ln,4 y,4 y,4,4 β,4- - ββ,4 Άρα η εξίσωση της εφαπτόμενης: Γ. BABA B y,4 α) οπότε: PA-BPAPABPAB PA PB β) είναι PA 0,4 PBPA B Οπότε: PB0,4PBP B 0,4PB 0, κλάσεις f f % α f f 0-4 0,05 5 8 0, 4 0, 4-8 6 0,0 0 7, 6 7, 8-0 0,40 40 44 4 00 40-6 4 0,5 5 90,5 96 49 6-0 8 0,0 0 6,8 4,4 Σύνολο 00 60 0,6 8,8 Ι. Σ f 0, 6 ΙΙ. 40% 5%,5% ΙΙΙ. 5% 0% 5% IV. S Σ f () 8,8 (0, 6) 6, 44 Άρα S 6, 44 S 6,44 Οπότε CV 0,6 Για να είναι ομοιογενές το δείγμα πρέπει: CV 0, 6,44 6,44 0, 0, 6 (0, 6) 0, 0... 6, 44,6 άτοπο Άρα δεν είναι ομοιογενές. 4
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν τα έξης: 5 4 PA' PB' PA B τότε: 7 Ι. Η πιθανότητα PA B είναι: A. B. Γ. Δ. 7 ΙΙ. Η πιθανότητα P(A B) ΙΙΙ. Η πιθανότητα PA B είναι: είναι: 4 A. B. Γ.. 7 7 4 A. B. Γ.. 4 7 Β. Σε μια κανονική κατανομή η μέση τιμή είναι 5 και ο συντελεστής μεταβολής 0%. Το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μεταξύ 0 και 0 είναι: Α. 4% Β. 68% Γ. 48% Δ. 95% Ε. 99,7%. Γ. Η μέση τιμή και η διακύμανση 8 μαθητών της Γ Λυκείου στα μαθηματικά είναι, S 0. Για τους βαθμούς των επτά μαθητών ισχύει: ( ) 6. Βρείτε το βαθμό του 8ου μαθητή αν γνωρίζουμε ότι δεν αρίστευσε. 7 ΘΕΜΑ ο 4 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 5 Ι) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ΙΙ) Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, και Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω. Αν P(A B) 0,6, P(B) lmf (), βρείτε το Ρ (Α) ώστε τα ενδεχόμενα Α, Β να είναι ξένα μεταξύ τους. ΘΕΜΑ ο Α. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το. Για την οποία ισχύει: f 4 f Ι. Να βρείτε τον τύπο της f. ΙΙ. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M,f ΙΙΙ. Εξετάστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Στο πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι επισκέψεις 50 μαθητών μιας τάξης σε διάφορα μουσεία της χώρας. Επισκέψεις Μαθητές v v y y 7 Σύνολο 50 y 5 5
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Αν να υπολογιστούν: α) Η διασπορά S. β) Η τυπική απόκλιση S. γ) Ο συντελεστής μεταβολής CV. Οι βαθμοί δύο μαθητών σε 0 μαθήματα ήταν αντίστοιχα. Μαθητής Α 0 8 0 7 8 7 6 7 6 0 Μαθητής Β 8 6 7 5 6 6 7 0 0 Ι. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή της βαθμολογίας του κάθε μαθητή. ΙΙ. Βρείτε ποια από τις δύο βαθμολογίες έχει την καλύτερη ομοιογένεια. ΙΙΙ. Εκ των υστέρων διαπιστώθηκε ότι από τυπογραφικό λάθος οι βαθμοί του Μαθητή Α ήταν κατά 5 μονάδες πάνω από τις πραγματικές τους τιμές. Αφού υπολογίσετε τις σωστές τιμές της βαθμολογίας του, υπολογίστε το νέο συντελεστή μεταβολής. Ποια βαθμολογία έχει τώρα τη μεγαλύτερη διασπορά; ΘΕΜΑ ο ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Δίνεται η γραφική παράσταση της f, [0,]. Γνωρίζουμε ότι η f 0 έχει ακριβώς ρίζες στο [0,], τις f (0) 5, f () 0, f (), f 8, και ότι Α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία Β) Να μελετηθεί η f ως προς τα ακρότατα (τοπικά-ολικά) ψ 0 ψ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () n. Α) Να βρεθεί το f(0) B) Να βρεθεί η f (0) h n(h ) h Γ) Να υπολογισθεί το lm h0 h Δ) Να βρεθούν οι τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται επάνω από τον. ΘΕΜΑ ο Στη Γ λυκείου ενός σχολείου, στα μαθηματικά Γενικής Παιδείας η μέση βαθμολογία σ ένα διαγώνισμα ήταν 4 και ο συντελεστής μεταβλητότητας ήταν, ενώ στα Μαθηματικά 4 Κατεύθυνσης η μέση βαθμολογία ήταν 0 και η τυπική απόκλιση 0,8. Ο Γιώργος στο διαγώνισμα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας έγραψε 5 και στο διαγώνισμα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης, αν η βαθμολογία και στα δύο μαθήματα ακολουθεί περίπου κανονική κατανομή, α) σε ποιο από τα δύο μαθήματα πήγε καλύτερα ο Γιώργος β) αν η βαθμολογία της Ελευθερίας στο διαγώνισμα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας περάστηκε κατά λάθος ως αντί για 5 ποια θα 6
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ είναι η μέση βαθμολογία στο διαγώνισμα μετά τη διόρθωση της βαθμολογίας της Ελευθερίας αν το πλήθος των μαθητών ήταν 00. Το μήκος των ράβδων που κατασκευάζει μια βιομηχανία ακολουθεί κανονική ή σχεδόν κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση cm. Η πιθανότητα μια ράβδος να έχει μήκος μεγαλύτερο του m είναι 0,05. Α) Να βρεθεί το μέσο μήκος των ράβδων και ο συντελεστής μεταβλητότητας Β) Αν η πιθανότητα μια ράβδος να έχει μήκος μεγαλύτερο των 97cm είναι 0,085, να βρεθεί η πιθανότητα το μήκος μιας ράβδου να είναι μεγαλύτερο των 95cm και μικρότερο των 98cm. 4 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Α) Να δείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P P PB P B) Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια και θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α «η ένδειξη της πάνω έδρας του πρώτου ζαριού είναι άρτιος αριθμός» και Β «η ένδειξη της πάνω έδρας του δεύτερου ζαριού είναι άρτιος αριθμός». Να αντιστοιχίσετε τα ενδεχόμενα της στήλης Α με τους συμβολισμούς τους στη γλώσσα των συνόλων που βρίσκονται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β. Η ένδειξη της πάνω έδρας ενός τουλάχιστον ζαριού είναι άρτιος αριθμός α.. Η ένδειξη της πάνω έδρας του πρώτου ζαριού είναι περιττός αριθμός β.. Οι ενδείξεις των πάνω εδρών και των δύο ζαριών είναι άρτιοι αριθμοί γ. 4. Οι ενδείξεις των πάνω εδρών και των δύο ζαριών είναι περιττοί αριθμοί δ. 5. Η ένδειξη της πάνω έδρας μόνο του δεύτερου ζαριού είναι άρτιος αριθμός ε. στ. ΘΕΜΑ ο ln 4 με >0. Να βρείτε την παράγωγο της f. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία της. Να προσδιορίσετε τα ακρότατα της (Δίνεται 0 ) Α. Δίνεται η συνάρτηση f 7
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Β. Να υπολογισθούν τα όρια: 4. lm. lm. 5 lm 5 ΘΕΜΑ ο Α. α. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να υπολογισθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. Κλάσεις [-) -5 0, 5-7 0, 7-9 0, 9- Σύνολο f f f β. Γνωρίζοντας ότι ένα δείγμα είναι ομοιογενές όταν CV 0%, τότε αν οι τιμές του δείγματος αυξηθούν κατά μία σταθερά c, με c 0, να υπολογισθούν οι τιμές του c ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές. γ. Αν c,,,...,0 όπου Ω δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α: το δείγμα να είναι ομοιογενές και c να είναι άρτιος αριθμός. Α. Έστω Ω={,,,4,5,6,7,8,9,0} ένας δειγματικός χώρος, ο οποίος αποτελείται από απλά και ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο κ. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση 4 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες. Β. Το 0% των μαθητών μιας τάξης ενός σχολείου έχουν τερηδόνα, το 6% έχει ουλίτιδα και το % έχει και τα δύο. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή και έστω Α το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει τερηδόνα» και Β το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει ουλίτιδα».. Τι εκφράζει το ενδεχόμενο και ποία η πιθανότητα του.. Πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει τουλάχιστον μια ασθένεια» και ποια είναι η πιθανότητα του.. Πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής δεν έχει καμία ασθένεια» και ποια είναι η πιθανότητα του. 8