VΙΙ. ΕΤΗΣΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Α. ΕΤΗΣΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Η ρχή της ισουνµίς πιτεί την ισότητ της νλογιστικής προύσς ξίς των σφλίστρων µε την νλογιστική προύσ ξί των προχών (σφάλισης, ράντς ή οποισήποτε άλλης "κάλυψης". Το ενιίο σφάλιστρο κτβάλλετι όλο εφάπξ ότν συνάπτετι η σφάλιση κι έτσι εν τίθετι θέµ νλογιστικής προύσς ξίς του σφλίστρου : υπολογίζετι µί µόνο νλογιστική προύσ ξί, εκείνη των σφλιστικών προχών, κι υτή είνι εξ ορισµού το ενιίο σφάλιστρο. Το πρόβληµ περιπλέκετι κάπως ν τ σφάλιστρ κτβάλλοντι περιοικά κτά τη ιάρκει της σφάλισης : πρέπει τώρ ν υπολογίσουµε κι µι εύτερη νλογιστική προύσ ξί, εκείνη των άγνωστων ετήσιων σφλίστρων Ρ, ν την εξισώσουµε µε την ήη υπολογισµένη προύσ ξί των σφλιστικών προχών κι ν πάρουµε έτσι µι εξίσωση πό την οποί θ υπολογίσουµε το Ρ. Εφόσον η κτβολή κάθε ετήσιου σφλίστρου Ρ εξρτάτι πό την επιβίωση του σφλισµένου, τ ετήσι σφάλιστρ ποτελούν µι ράντ ζωής ύψους Ρ. Επειή επιπλέον το ετήσιο σφάλιστρο είνι κτβλητέο στην ρχή κάθε σφλιστικού έτους (το πρώτο κτβάλλετι κτά τη σύνψη της σφάλισης, κ.ο.κ., η νλογιστική προύσ ξί & = &, ηλή, & ν τ σφάλιστρ (ίσων ετήσιων σφλίστρων Ρ είνι ( ( κ + κτβάλλοντι ισοβίως ή & ν τ σφάλιστρ κτβάλλοντι επί n χρόνι (νεξάρτητ πό : n τη ιάρκει της ίις της σφάλισης, φού µπορεί ν συµφωνηθεί τ σφάλιστρ µις σφάλισης ν κτβληθούν µέσ σε έν χρονικό ιάστηµ µικρότερο πό τη ιάρκει της σφλιστικής κάλυψης (ν κι η συνηθέστερη περίπτωση είνι η ιάρκει πληρωµής των σφλίστρων ν συµπίπτει µε τη ιάρκει της σφάλισης. Αν η νλογιστκή προύσ ξί της σφάλισης είνι Α, πίρνουµε ( = = ν τ ετήσι σφάλιστρ κτβάλλοντι εφ' όρου ζωής ή && κ + & κ+ :n, ηλή, = ν τ ετήσι σφάλιστρ κτβάλλοντι επί n χρόνι. Έτσι, π.χ., το ετήσιο σφάλιστρο γι µι ισόβι σφάλιση πληρωτέ στο τέλος του έτους του θνάτου είνι = ν τ σφάλιστρ είνι πληρωτέ ισοβίως κι = ν τ σφάλιστρ της ισόβις υτής σφάλισης θ : 0 εξοφληθούν πλήρως µέσ στ πρώτ 0 χρόνι. Αν η σφάλιση είνι πληρωτέ τη στιγµή του θνάτου, τ ντίστοιχ ετήσι σφάλιστρ είνι = κι =. Αν η σφάλιση είνι µικτή, µε το θάντο πληρωτέο στο τέλος του έτους του θνάτου, κι τ σφάλιστρ : n κτβάλλοντι συνεχώς, τότε = ν τ σφάλιστρ κτβάλλοντι όλ τ χρόνι κι : :n :n = ( < n ν τ σφάλιστρ κτβάλλοντι γι ιάρκει µικρότερη πό τη ιάρκει n της σφάλισης. : n
Από τ πρπάνω πρείγµτ (τ οποί εν εξντλούν όλους τους υντούς συνυσµούς του είους της σφάλισης κι του τρόπου κτβολής των σφλίστρων είνι φνερό ότι έχουµε περιπτώσεις που προκύπτουν φενός πό τη ιάκριση Α κι (τέλος του έτους του θνάτου κι στιγµή του θνάτου κι φετέρου πό τη ιάκριση & & κι (σφάλιστρο πληρωτέο στην ρχή κάθε έτους κι σφάλιστρο πληρωτέο συνεχώς κθ όλο το έτος. (Η κτβολή του σφλίστρου σε όσεις (εξµηνιίες, τριµηνιίες, κ.λ.π. ντιµετωπίζετι σε άλλη φάση ως "κτάλληλη νκτνοµή" του σφλίστρου που, κνονικά, πρέπει ν πληρωθεί στην ρχή του έτους. Μένουµε λοιπόν τώρ στις περιπτώσεις & & κι γνοώντς γι την ώρ τ ( & &. Γι τις τέσσερες περιπτώσεις που νφέρθηκν πρπάνω, χρειζόµστε ισάριθµ σύµβολ γι τ σχετικά σφάλιστρ. Γι σφάλιση πληρωτέ στο τέλος του έτους του θνάτου κι σφάλιστρο πληρωτέο στην ρχή του έτους, γράφουµε =. Οι είκτες του Α εξρτώντι πό το είος κι τη ιάρκει της σφάλισης κι οι είκτες του & & πό τη ιάρκει πληρωµής των σφλίστρων. Έτσι, π.χ., : n :n έχουµε τ =, =, : n n =, =. (Ο είκτης ριστερά του Ρ :n : n : n ηλώνει τη ιάρκει πληρωµής των σφλίστρων ότν ιφέρει πό τη ιάρκει της σφάλισης. Γι σφάλιση πληρωτέ στο τέλος του έτους του θνάτου κι σφάλιστρο πληρωτέο συνεχώς,, χρησιµοποιούµε το σύµβολο. Π.χ., n =, : n =, n = : n. Γι σφάλιση πληρωτέ τη στιγµή του θνάτου κι σφάλιστρο πληρωτέο στην ρχή κάθε έτους, το σύµβολο είνι ( µε πρείγµτ τ ( ( : n : : : n =, n( =, : n : n =. Τέλος, γι σφάλιση πληρωτέ τη στιγµή του θνάτου κι σφάλιστρο πληρωτέο συνεχώς, γράφουµε ( µε πρείγµτ τ ( ( : n =, ( : n : n =, :n =. Μί τελευτί πρτήρηση : είνι σηµντικό ν συνειητοποιήσουµε ότι, εν : n ντιθέσει προς τ ενιί σφάλιστρ Α κι, τ ετήσι σφάλιστρ εν είνι µθηµτικές ελπίες, λλά πηλίκο ύο µθηµτικών ελπίων Α κι. Π.χ., ( ( υ =, πηλίκο που προκύπτει λύνοντς γι ( ( X ( Y X = Y ( ( = 0 την ρχή της ισουνµίς υ ( :. (Η σχέση εν ισχύει ούτως ή άλλως λλά, κι ν κόµ ίσχυε, ο ορισµός ετήσιου σφλίστρου που προκύπτει πό την ρχή της ισουνµίς είνι της µορφής ( X ( Y.
Β. ΟΙ Τ.Μ. υ ΚΑΙ υ + & K Είνι φνερό ότι η ρχή της ισουνµίς, ( = ( υ (ή ( & + = ( υ τη συνθήκη ( υ = 0 K K+ &, ισουνµεί µε K+. Αν θεωρήσουµε τη ιφορά ως µί τ.µ. L = υ (το τυχίο κέρος / τυχί πώλει του σφλιστή πό τη συγκεκριµένη σφάλιση, βλέπουµε ότι η τ.µ. L ικνοποιεί τη σχέση Ε(L = 0 : ο σφλιστής εν νµένει (µε την έννοι της µθηµτικής ελπίς ούτε ν κερίσει ούτε ν χάσει πό την σφάλιση. Ανεξάρτητ πό το ποι θ είνι η t προύσ ξί, υ, του πργµτικού ποτελέσµτος (που θ ιµορφωθεί ότν t επέλθει ο κίνυνος τη µελλοντική στιγµή t, το σφάλιστρο εν ευνοεί κµιά πό τις ύο πλευρές, το σφάλιστρο εν "µεροληπτεί", είνι "ίκιο" (far. Το γεγονός ότι Ε(L = 0 εν σηµίνει βέβι ότι η τ.µ. L έχει µηενική ισπορά. Με πιθνότητ θ υπάρξει πόκλιση πό το "προσοκώµενο ποτέλεσµ" κι έν πό τ ύο µέρη θ βγει "κερισµένο", το ε άλλο "χµένο" (ισόποσ, φού το τυχίο ποτέλεσµ γι τον σφλισµένο, υ = L, είνι το ντίθετο του τυχίου ποτελέσµτος υ = L του σφλιστή. ύο µόνο πράγµτ µπορούµε ν εγγυηθούµε : "ουετερότητ" πένντι στ ύο µέρη (Ε( L = (L = 0 κι ίση ισπορά κι γι τ ύο µέρη (Var( L = Var(L. Ας προχωρήσουµε στον υπολογισµό της Var(L. Μπορούµε ν ποφύγουµε τον υπολογισµό της µθηµτικής ελπίς ( L = ( υ επειή ( L = Var( L (εφόσον (L = 0. Γι µι ισόβι σφάλιση, π.χ., πληρωτέ τη στιγµή του θνάτου κι µε συνεχώς κτβλλόµενο σφάλιστρο, έχουµε ( ( ( ( Var L = Var υ = Var υ ( υ = Var ( ( ( + υ = + Var( υ. (Επειή τ ( ( ίις περίπου τάξης µεγέθους, η ποσότητ κι είνι συχνά της + είνι κάπου κοντά στο κι Var υ που ιπιστώνουµε έτσι ότι η Var(L, που βέβι είνι µεγλύτερη πό τη ισπορά ( συνέετι µε το σφάλιστρο, είνι ρκετές φορές µεγλύτερη πό την Var ( υ ( 9, π.χ., πίρνουµε Var( υ Var( L 9Var( υ. 4. Γι Ας γράψουµε τώρ την Var(L σε µορφή κτάλληλη γι υπολογισµό. Από τη θεµελιώη τυτότητ + =, πίρνουµε (ιιρώντς µε + =, ηλή ( +. Χρησιµοποιώντς υτό το ποτέλεσµ κι νκλώντς ότι = ( ( ( υ ( ( Var =, βλέπουµε ότι ( ( ( Var L =. Αν επιθυµούµε µόνον ( ( σφάλιστρ της ισόβις στην προηγούµενη πράστση, ρκεί ν ντικτστήσουµε (πάλι πό ( ( την τυτότητ + = το ( ( µε ( (, οπότε ( ( Var L =. ( (
Την ίι ιικσί µπορούµε ν κολουθήσουµε µε µι µικτή (χάρη στην ισχύ της + =, όχι όµως µε µι πρόσκιρη (που εν ικνοποιεί µι τόσο πλή σχέση κι, : n : n κτά συνέπει, πιτεί πιο πολύπλοκο υπολογισµό. Ανάλογη σχέση ισχύει κι γι σφάλιση (ισόβι ή µικτή πληρωτέ στο τέλος του έτους του θνάτου µε σφάλιστρο πληρωτέο στην K Var υ + & κολουθούµε ρχή κάθε σφλιστικού έτους. Γι τον υπολογισµό της ( K + + d& = κριβώς την πρπάνω ιικσί µε τη βοήθει υτή τη φορά της. Πιο "ύστροπες" φυσικά ποεικνύοντι οι περιπτώσεις που εµπλέκουν τυτόχρον τις τ.µ. Τ K+ Var υ (σφάλιση πληρωτέ στο τέλος του έτους του θνάτου µε κι Κ. Αυτές είνι ( σφάλιστρο κτβλλόµενο συνεχώς κι Var υ ( ( & & (σφάλιση πληρωτέ τη στιγµή του θνάτου µε προκτβλητέο ετήσιο σφάλιστρο. Στις περιπτώσεις υτές υτόµτ εγείρετι το πρόβληµ των προσεγγίσεων γι τ σφάλιστρ κι ( (µόνον τ = είνι υπολογίσιµ άµεσ πό ένν πίνκ θνησιµότητς. Με τις προσεγγίσεις υτές θ σχοληθούµε τώρ. K + Γ. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΤΗΣΙΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΩΝ Οι προσεγγιστικές σχέσεις νάµεσ στ ιάφορ ετήσι σφάλιστρ είνι το φυσικό επκόλουθο των προσεγγιστικών σχέσεων µετξύ των ιάφορων ενιίων σφλίστρων ρντών ή/κι των ιάφορων ενιίων σφλίστρων σφλίσεων. Υπενθυµίζουµε ότι =, =, ( = κι ( =. Η ευκολότερη πό τις προσεγγίσεις είνι νάµεσ στο προκτβλητέο ετήσιο σφάλιστρο σφάλισης πληρωτές µέσως κι στο προκτβλητέο ετήσιο σφάλιστρο σφάλισης πληρωτές στο τέλος του έτους του θνάτου. Εφόσον µε UDD =, ( = είνι ίσο µε =. (Εύλογο ποτέλεσµ : εφόσον κι τ ύο σφάλιστρ κι οφείλετι, άρ ( κτβάλλοντι στην ρχή κάθε έτους, η µόνη ιφοροποίηση µετξύ ( στο ότι το ενιίο σφάλιστρο είνι κριβότερο πό το ενιίο σφάλιστρο. Γενικά, οποιήποτε προσέγγιση (όχι µόνον η UDD µετξύ κι ισχύει εξίσου µετξύ ( κι εφόσον ο προνοµστής & & είνι κοινό στοιχείο των ( κι κι τ ( κι ιφέρουν µόνο στον ριθµητή. Κάτω πό UDD, η ίι σχέση ισχύει µετξύ ( κι : ( = = τ ύο ετήσι σφάλιστρ σχετίζοντι µε την ίι ράντ, προκύπτει πάλι πό την όποι σχέση µετξύ κι. =. Κι εώ, κι εποµένως η µετξύ τους σχέση
Αντίθετ, στ κι, το κοινό στοιχείο είνι το κι η ιφορά προκύπτει πό τη ιφορά νάµεσ στις ξίες των κι & &. Με την πλή προσέγγιση = & t (υπόθεση ότι υ t p είνι γρµµικό σε κάθε έτος ηλικίς, έχουµε = = = = + d (η & = + d = + d. Βλέπουµε ότι >, γεγονός φυσικό εφόσον το ( προκτβάλλετι ενώ το κτβάλλετι όλο το έτος "µε το στγονόµετρο", πιτούµε εποµένως το συνολικό ετήσιο ποσό που θ κτβληθεί στικά ν είνι µεγλύτερο πό το ποσό που κτβάλλετι εφάπξ στην ρχή του έτους. Βλέπουµε όµως κόµ περισσότερ πό τον προνοµστή της προσεγγιστικής τιµής γι το. Το είνι µεγλύτερο πρώτον γιτί, µε συνεχές σφάλιστρο, χάνουµε κτά προσέγγιση το µισό τόκο που κερίζουµε στην περίπτωση του προκτβλητέου σφλίστρου (βλ. τον όρο d στον προνοµστή κι εύτερον γιτί υπάρχει ενεχόµενο ν µην εισπράξουµε µισό περίπου πό το ετήσιο σφάλιστρο λόγω θνάτου του σφλισµένου (βλ. τον όρο στον προνοµστή ενώ τέτοιος κίνυνος εν υπάρχει γι σφάλιστρο που εισπράχθηκε στην ρχή του έτους. Μετξύ των κι µπορούµε ν βρούµε προσεγγιστική σχέση κι πό οποιήποτε άλλη προσεγγιστική σχέση µετξύ κι & &. Με UDD, π.χ., έχουµε = a& b, d - όπου a κι b οι εξής συνρτήσεις επιτοκίου : a =, b =. Έχουµε λοιπόν κάτω πό UDD, = = = = κι η επιθυµητή προσέγγιση προκύπτει µε a b a b( + d a b && ντικτάστση των τιµών των a κι b. κι κι φετέρου τ ( κι ( ( =, άρ ισχύει κι µετξύ ( ( κι ( ( ( = κι ( ( Συγκρίνοντς φενός τ µετξύ κι. Έτσι, πίρνουµε, ιπιστώνουµε ότι η οποιήποτε προσεγγιστική σχέση ( + d = a b. ( + d Συνοψίζοντς, ιπιστώνουµε ότι έχουµε βρει σχέσεις που εκφράζουν προσεγγιστικά, συνρτήσει του "προσιτού πό τον πίνκ ", τ κι (, όχι όµως κι το (. Με UDD, π.χ., έχουµε φενός = a b + d, όπου a κι b οι γνωστές συνρτήσεις επιτοκίου, ( κι φετέρου ( =. Εισάγοντς την τιµή ( γι (, = στη σχέση που µόλις ποείξµε
a b πίρνουµε ( = ή, ενόψει των τιµών των a κι b, ( ( + d =, όπου a b ( + d d a = κι b =, Έτσι, κάτω πό UDD, µπορούµε ν προσεγγίσουµε µε βάση το κι τ τρί σφάλιστρ., ( κι (. ΤΜΗΜΑΤΙΚΩΣ ΚΑΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Όλ τ σφάλιστρ που είµε µέχρι στιγµής (κόµ κι τ συνεχή είνι ετήσι σφάλιστρ (ισούνµ µετξύ τους, έστω προσεγγιστικά. Ερχόµστε τώρ στην περίπτωση σφλίστρων που κτβάλλοντι περισσότερες πό µι φορά το χρόνο. (Φυσικά, τ συνεχή σφάλιστρ µπορούν ν θεωρηθούν κι ως ορική περίπτωση τµηµτικά κτβλλόµενων σφλίστρων ότν το ιάστηµ µετξύ κάθε ύο τµηµτικών κτβολών τείνει στο µηέν ή, ισούνµ, η συχνότητ των κτβολών ( φορές το χρόνο τείνει στο άπειρο. Γι σφάλιστρ που κτβάλλοντι φορές το χρόνο (" όσεις" χρησιµοποιείτι το σύµβολο ( (µζί µε άλλους κτάλληλους είκτες νάλογ µε το είος της σφάλισης, τη ιάρκει πληρωµής των σφλίστρων, κ.λ.π.. Ο γενικός τύπος γι τ σφάλιστρ υτά είνι ( κι η ( νγκί σχέση µετξύ κι του ντίστοιχου ετήσιου σφλίστρου Ρ προκύπτει πό τη ( σχέση µετξύ των & & κι & &. (Κθεµιά πό τις "όσεις σφλίστρου" εν µπορεί βέβι ν είνι πλά του "κνονικού" ετήσιου σφλίστρου. Λόγω των ιφορετικών χρόνων κτβολής των "όσεων", το σύνολο των όσεων πρέπει ν είνι, όχι, λλά το (φυσικά µεγλύτερο νλογιστικό ισούνµο του κνονικού ετήσιου σφλίστρου. ( Οι ιάφορες προσεγγιστικές τιµές του & & ( είνι της µορφής & = & B, όπου τ Α, Β στθερές νεξάρτητες της ηλικίς. Αν το l θεωρηθεί γρµµικό σε κάθε έτος ηλικίς (UDD, ( d τότε = ( ( κι B = d ( ( (συνρτήσεις του επιτόκιου κι της συχνότητς,, των d t κτβολών. Αν ληφθεί ως γρµµικό σε κάθε έτος ηλικίς το υ t p, τότε Α = κι B = ( (τιµές νεξάρτητες κι της ηλικίς κι του επιτοκίου, η τιµή του & & εξρτάτι µόνον πό τ & & κι. Γι µι ισόβι σφάλιση πληρωτέ στο τέλος του έτους του θνάτου µε σφάλιστρο πληρωτέο ( φορές το χρόνο, ο γενικός προσεγγιστικός τύπος είνι πολύ πλά = ( = = & B B = B ( + d κι ποµένει ν ντικτστήσουµε τις τιµές Α κι Β που ντιστοιχούν στην υπόθεση που κάνουµε (UDD, γρµµικό υ t p, κ.λ.π.. Γι ληξιπρόθεσµες ( ισόβιες ράντες, η νγκί προσέγγιση προκύπτει µέσως πό την προσέγγιση γι & & ( ( εφόσον = &. t