3 VLASNOSI PLYNOV, IDEÁLNY PLYN Pri konštrukcii tepelných strojov vynaliezavos ich konštruktérov predbehla teóriu. udia postupne pozbierali a vytriedili staršie poznatky, zbavili sa predsudkov a omylov, prišli na nové myšlienky a až neskôr prišlo teoretické porozumenie toho, o sa v parnom stroji deje a aká môže by jeho úinnos. V parnom stroji pracuje plyn, presnejšie para, ktorá tlaí na piest. Para vzniká z energie pochádzajúcej z horiaceho uhlia. Aby sa dalo porozumie týmto procesom, bolo treba prís na to, ako a preo plyn tlaí na piest, ako tento tlak závisí od tepla, ktoré plyn od horiaceho uhlia získal a na niekoko alších vecí. V tejto kapitole sa s niekokými z nich zoznámime. Na plôšku, na ktorú zvyajne tlaí prst sestriky alebo lekára, položte závažie s hmotnosou 1 kg. Zistíte, že piest v striekake sa posunul smerom nadol a objem v striekake sa tým zmenil. eraz by sme sa mohli pokúsi prís na to, ako súvisí objem po stlaení s objemom pred stlaením. A mohli by sme to da aj do súvislosti s tým, aký tlak pôsobil potom. Nuž naozaj, aký tlak pôsobil na piest pred tým, ako sme na piest položili závažie? Odpove na túto otázku získal Galileiho žiak, taliansky vedec EVANGELISA ORRICELLI (1608 1647), ktorý v roku 1643 navrhol a uskutonil nasledujúci pokus. Sklenená trubica dlhá asi 1 m bola na jednom konci zatavená a naplnená ortuou. Druhý otvor trubice sa na chvíu zapchal a týmto otvorom bola trubica ponorená do otvorenej nádoby s ortuou, priom zatavený koniec smeroval kolmo nahor. Experiment ukázal, že ortu sa v trubici ustálila vo výške asi 73 cm, (obr. 3-) 3.1 Žijeme na dne vzdušného oceánu Urobte si na zaiatok jednoduchý pokus s injeknou striekakou. Naberte do nej vzduch, zapchajte otvor, na ktorý sa dáva ihla a postavte ju kolmo nahor, tak ako je to znázornené na obr. 3-1. 66 Obr. 3-1 Injekná striekaka Obr. 3- orricelliho pokus Vysvetlenie pokusu je nasledujúce: na hladinu ortuti tlaí vzduch (atmosférický tlak). ento tlak sa prenáša cez ortu a na stpec ortuti v trubici pôsobí na úrovni hladiny ortuti smerom nahor. Na tejto istej hladine pôsobí aj tlak ortuového stpca. akže atmosférický tlak je rovnako veký ako tlak spôsobený stpcom ortuti vysokým 73 cm. Môžeme sa tiež spýta, o je nad stpcom ortuti v zatvorenej trubici. Odpove je ni, ale latinsky to znie krajšie vákuum. Ortu je jedovatá a v škole sa dnes tento experiment nesmie robi. Mohli by sme sa ale spýta, i by sme ho nemohli urobi s nejakou neškodnou kvapalinou, napríklad s vodou. Odpove je áno, problém je len v tom, že stpec vody bude ovea vyšší. Hustota ortuti je 13,595-krát väšia 67
ako hustota vody a stpec vody by mal teda výšku 0,73 13,595 m = 9,93 m, o je približne 10 m. Experiment sa dá urobi, ak máte v škole schodište vysoké viac ako 10 m, ak ho nemáte, môžete ho urobi pred budovou. Potrebujete na priesvitnú hadicu dlhú vyše 10 m, s priemerom okolo 0,5 cm, nádobu s vodou, do ktorej sa zmestí viac vody ako do 10 m trubice a nejaké farbivo, ktorým vodu zafarbíte. Do nádoby dáte vodu, zafarbíte ju a ponoríte do nej hadicu tak, aby do nej natiekla voda. Potom jeden koniec hadice (pod vodou) uzavriete. ento koniec vytiahnete z vody a zdvíhate ho do výšky vyše 10 m. A to je všetko. Vemi odporúame, aby ste si tento pokus naozaj urobili. Už pred orricelliho pokusom udia vedeli, že pumpou sa dá voda zdvihnú len do výšky okolo 10 m, ale nebolo známe preo je to tak. lak vzduchu, ktorý na nás zo všetkých strán pôsobí, je teda rovnako veký ako tlak, ktorý by vytvorila vrstva vody vysoká približne 10 m. ento tlak nám nevadí, sme na stavaní, podobne ako niektoré druhy rýb a iných morských živoíchov sú stavané na to, aby žili pri ovea vyšších tlakoch. O orricelliho experimente sa dozvedel francúzsky matematik, fyzik, teológ a filozof BLAISE PASCAL (Bléz Paskal) a uvedomil si, že vo väších výškach by mal by atmosférický tlak nižší. Požiadal preto svojho švagra, aby to overil pokusom. Švagor žil v meste Clermont v strednej Francii a kúsok od Clermontu je vysoký kopec Puy de Dôme. Spolu s priateom v roku 1648 pokus uskutonili a presvedili sa o tom, že atmosférický tlak na vrchole kopca bol naozaj menší ako na jeho úpätí. Úlohy 1. Vodii áut z asu na as merajú tlak v pneumatikách. o im merací prístroj ukáže: tlak v pneumatike alebo rozdiel tlaku v pneumatike a atmosférického tlaku?. Jednotkou tlaku je 1 Pa (pascal). Je to odvodená jednotka rovná 1 N (newton)/m (jednotka sily na jednotku plochy, ak sila pôsobí kolmo na plochu). Predstavte si, že atmosféra je tvorená 10 m vysokou vrstvou vody a spoítajte atmosférický tlak v Pa. (Mali by ste dosta íslo blízke hodnote bežného atmosférického tlaku 101 kpa.) 68 3. Hustota suchého vzduchu pri teplote okolo 0 C a pri atmosférickom tlaku je približne 0,001 4-krát menšia ako hustota vody. Predstavte si, že hustota vzduchu nezávisí od výšky (nie je to pravda, ale predstavi si to môžeme) a pri uritej výške h 0 sa naraz hustota zmení na nulu. Aká by bola táto výška h 0? Ako je to v skutonosti? (Asi 8 km. V skutonosti atmosféra sa stáva s rastúcou výškou redšou a redšou a zasahuje vyššie ako 8 km. Vo výške 8 km je v skutonosti hustota vzduchu približne 1/3 z hustoty vzduchu na Zemi.) 4. Preo horolezci používajú v Himalájach kyslíkové prístroje? 5. Preo musia by potápai opatrní, ke sa vynárajú z vekých hbok? Vo vekých hbkach je vysoký tlak, to vieme. K tomu preo je rýchle vynáranie nebezpené si budete musie nájs alšie informácie. 6. Nájdite si niekde informácie o tom, o je to výveva a ako pracuje. 7. Mešanosta mesta Magdeburg (Nemecko), Otto von Guericke, predviedol v roku 1654 na ríšskom sneme v Regensburgu pred cisárom Ferdinandom III svoje pokusy s vákuom. Najznámejší z nich bol tento: dve dobre vybrúsené bronzové duté pologule boli priložené tesne k sebe a potom sa z nich vyerpal vzduch. Pologule mali držadlá, o tie sa zachytili reaze a k nim sa zapriahlo 8 párov koní, ktoré sa snažili pologule od seba odtrhnú. Zväša sa to nepodarilo, a ke áno, bol pri tom obrovský rachot. (Citované poda R. Zajac, J. Šebesta: Historické pramene súasnej fyziky, zv. 1, ALFA Bratislava, 1990). Nájdite si v tejto knižke alebo na internete nieo o pokusoch von Guerickeho a vysvetlite kolegom, ako to fungovalo. 8. V niektorých školských kabinetoch sa nachádzajú menšie von Guerickeho pologule a olejová výveva. Ak je to tak na vašej škole, urobte si pokus, ktorý bude podobný pôvodnému. Ak tieto zariadenia nemáte, urobte si jednoduchší pokus. Zaobstarajte si dva zvony na istenie potrubia. Zvon sa skladá z drevenej tye (rúky) a z vlastného gumeného zvona. Pred pokusmi požiadajte niekoho z rodi- ov alebo známych, aby pripevnil rúku na gumu pevnejšie. Potom pritlate zvon na hladkú plochu a ahaním za rúku sa pokúste zvon od podložky odtrhnú. V druhej verzii pokusov môžete pritlai dva zvony na tenkú hladkú dosku (alebo nieo podobné) z oboch strán a ahaním za rúky sa snaži zvony odpoji. o je lacná verzia von Guerickeho experimentu. Dnes sa dajú kúpi aj zariadenia, napríklad malé zveráky, ktoré sa prisajú na podložku pekným trikom s využitím atmosférického tlaku. Požiajte si takéto zariadenie a príte na to ako pracuje. 9. Vezmite prázdnu plechovku od nejakého nápoja zhotovenú z tenkej vrstvy hliníka (s nejakými prímesami) a dajte do nej trocha vody. Zohrejte ju nad plameom, potom ju vhote obrátenú tak, že otvor smeruje dolu, do nádoby s chladnou vodou. Vysvetlite to, o ste videli. Odporúame, aby pokus urobil vyuujúci pred triedou a nepustil žiakov príliš blízko. 10. Ak máte nealeko školy nejaký vrch a ak si viete vypožia dva tlakomery môžte sa pokúsi o zopakovanie Pascalovho pokusu. Najprv skontrolujete i oba tlakomery ukazujú v triede tú istú hodnotu. Potom jeden tlakomer necháte v triede, s druhým sa dvaja žiaci vyvezú na kopec a odtia zavolajú mobilom 69
do triedy o ich tlakomer ukazuje. Napokon sa môžete pokúsi z rozdielu tlakov uri výšku kopca. 11. Ak máte k dispozícii pomerne presný tlakový senzor (napríklad zo sady k súboru CoachLab) a videokameru, vyvezte sa výahom od prízemia na najvyššie poschodie vysokej budovy (aspo okolo 10 poschodí). Zapnete tlakový senzor a váš priate bude sníma videokamerou to, o senzor ukazuje. Videozáznam premietnite v triede a analyzujte v menších skupinkách. 3. Ako sa správa vzduch V tejto kapitole sa zamyslíme nad výsledkami niektorých experimentov so vzduchom. Ak máme urité množstvo vzduchu uzavreté v nádobe, jeho stav môžeme opísa veliinami objemom, tlakom, teplotou. Pri plánovaní experimentov sa zvyajne snažíme zabezpei, aby sme menili iba dve veliiny a všetky ostatné veliiny mali v priebehu experimentu konštantné hodnoty. V nasledujúcich príkladoch meraní bude vždy jedna z veliín objem, tlak, teplota konštantná a zvyšné dve budeme meni. každej zmene pokáme, kým sa teplota plynu vyrovná s teplotou okolia. Poas takejto zmeny objemu sa mení tlak plynu, ktorý meriame. eplo vone prechádza do valca alebo von z valca tak, aby sa teplota vo valci vyrovnávala s teplotou okolia. Meranie sme zrealizovali s injeknou striekakou s objemom 0 ml, priom tlak sme merali tlakovým snímaom pripojeným k meracej konzole CoachLab (obr. 3-3b). Namerané hodnoty sú zobrazené v tabuke a v grafe na obr. 3-4: objem ml tlak kpa 0 69,0 18 77, 16 86,8 14 98,8 1 115,0 10 135,6 8 166,5 6 1,1 4 94,9 Obr. 3-4 Graf závislosti tlaku vzduchu v striekake od objemu pripomína závislos y = 1/x, túto hypotézu môžeme overi nakreslením grafu závislosti tlaku od prevrátenej hodnoty objemu (obr. 3-5). Obr. 3-3a Obr. 3-3b 1. Izotermický dej. ýmto názvom oznaujeme dej, pri ktorom je konštantná teplota plynu. Na schematickom obrázku (obr. 3-3a) máme plyn (vzduch) uzavretý vo valci s pohyblivým piestom. Posúvaním piesta hore, alebo dolu meníme objem plynu. Snažíme sa zabezpei, aby teplota plynu bola poas merania stála, napríklad tým spôsobom, že objem meníme pomaly a po 70 Obr. 3-5 áto závislos sa javí ako lineárna a prechádzajúca nulou, teda môžeme tvrdi, že p = konšt (1/V), alebo že pv = konšt. áto závislos sa nazýva Boylov-Mariottov zákon. 71
. Izochorický dej. ýmto názvom oznaujeme dej, pri ktorom je konštantný objem plynu. Na schematickom obrázku (obr. 3-6a) máme nádobu s uzavretým vzduchom, objem nádoby nemeníme. eplotu plynu meníme, napríklad zahrievaním. Pri zahrievaní plynu pri konštantnom objeme sa zvyšuje tlak plynu. Na obrázku máme nádobu vo vodnom kúpeli. Meranie sme realizovali s nádobou s objemom 450 ml. eplo sme dodávali dolievaním horúcej vody do vodného kúpea. eplotu a tlak sme merali snímami pripojenými ku konzole CoachLab (obr. 3-6b). Môžeme teda písa p = p 0 + γ t. Zrealizovali sme experiment ešte dvakrát s rôznymi zaiatonými tlakmi vzduchu v nádobe, výsledky sú na obr. 3-8. Obr. 3-8a Obr. 3-8b 7 Obr. 3-6a Obr. 3-6b Namerané hodnoty sú zobrazené v tabuke a v grafe na obr. 3-7. teplota tlak kpa 5 93 10 95 0 98 30 101 40 105 50 108 60 111 70 115 100 15 Obr. 3-7 Závislos tlaku v nádobe od teploty pripomína lineárnu závislos. Z grafu na obr. 3-8a sa zdá, že namerané lineárne závislosti sú rozbiehavé. Pokúsili sme sa teda extrapolova (predži) závislosti smerom k malým hodnotám tlaku. Na obr. 3-8b vidíme zaujímavú skutonos. Všetky tri závislosti sa stretávajú v jednom bode pri nulovom tlaku. Hodnota teploty zodpovedajúca nulovému tlaku plynu v uvedenom experimente sa nazýva teplota absolútnej nuly. Jej hodnota je 73,15 C. Závislosti na obrázku vpravo sú krásne jednoduché, všetky tri vychádzajú z jedného bodu. Napriek tomu im zodpovedajúci vzah p = p 0 + γt nie je práve najkrajší, vystupuje v om tlak p 0 pri teplote 0 C. Je táto teplota vo vzahu k plynom nieím výnimoná? Urite nie, nie je na to žiaden dôvod. Nula stupov je totiž náš (udský) výmysel založený na topení adu, o so správaním sa plynov vôbec nesúvisí. Ak by sme si teplotu 0 stupov volili poda nejakého iného deja, vo výraze pre zmenu tlaku s teplotou by sa ako p 0 objavil práve tlak pri tejto novej teplote. Ak by sme si ako referennú zvolili práve teplotu 73,15 C, dostali by sme sa do vemi zaujímavej situácie. lak ideálneho plynu pri tejto teplote sa totiž rovná nule, výraz pre tlak by sa preto zjednodušil do tvaru p = γ (písmenom sme oznaili hodnotu teploty meranú novým spôsobom). ento nápad naplno zužitkujeme v nasledujúcej asti. eraz ešte dokoníme skúmanie zmien stavu plynu izobarickým dejom. 73
3. Izobarický dej. Pri izobarickom deji ostáva konštantný tlak plynu. Meníme teplotu, napríklad zohrievaním a tým sa mení objem plynu, plyn sa rozpína. Schematický obrázok (obr. 3-9a) pripomína aparatúru na skúmanie izotermického deja, teraz však je potrebné zabezpei konštantný tlak a mera teplotu plynu. Navrhnutie aparatúry ponechávame na študentov. Meraním môžeme dospie k závislosti na obr. 3-9b Obr. 3-9a Obr. 3-9b Schéma experimentu na mera- Získané výsledky nie závislosti objemu plynu od teploty pri stálom tlaku Vidíme, že každá zo závislostí pre jednotlivé zaiatoné objemy je lineárna. Vidíme tiež, že všetky tri závislosti sa stretávajú v jednom bode pri nulovom tlaku. eplota odpovedajúca nulovému tlaku je rovnaká ako pri izochorickom deji, 73,15 C. 3.3 Kelvinova teplotná stupnica V predchádzajúcich dvoch experimentoch sme objavili výnimonú teplotu 73,15 C. Ovea hlbšie dôvody, ako sú tie, ktoré sme tu uviedli ukazujú, toto je najnižšia možná teplota a túto hodnotu nemožno dosiahnu. Potom sa ale pýtame, i by sme nemali radšej vytvori stupnicu, v ktorej by najnižšia možná teplota bola nula pri tejto absolútnej najnižšej možnej teplote. akúto stupnicu navrhol vytvori anglický fyzik WILIAM HOMSON, ktorý bol v zrelom veku povýšený do šachtického stavu 74 a odvtedy sa volal lord KELVIN OF LARGS. Pretože nula v Kelvinovej stupnici je pri t = 73,15 C, bude pre v Kelvinovej stupnici plati = t + 73,15 priom t je teplota v Celziovej stupnici a je tá istá teplota v Kelvinovej stupnici. eplota roztápajúceho sa adu pri atmosférickom tlaku bude v Kelvinovej stupnici = 73,15 K. Ak hovoríme o rozdiele teplôt, rozdiel 1 C sa rovná rozdielu 1 K. eraz sa môžeme vráti k skúmaniu dejov z predošlej kapitoly. Izochorický dej môžeme opísa rovnicou p = konšt. Pri izochorickom deji s ideálnym plynom stálej hmotnosti je tlak plynu priamo úmerný jeho termodynamickej teplote (Charlesov zákon). Izobarický dej je opísaný rovnicou V = konšt. Pri izobarickom deji s ideálnym plynom stálej hmotnosti je objem plynu priamo úmerný jeho termodynamickej teplote (Gay-Lussacov zákon). Zhrme si naše poznatky: Boylov-Mariottov zákon = konšt. pv = konšt. Charlesov zákon V = konšt. p/ = konšt. Gay-Lussacov zákon p = konšt. V/ = konšt. Ako zhrnutie uvedených troch vzahov sa ponúka spoloná závislos pv/ = konšt. Konštanta v poslednom vzahu pravdepodobne závisí od množstva plynu uzavretého v nádobe a bližšie sa jej budeme venova v asti 3.6. * Poznámka O závislosti pv/ = konšt. sme povedali, že sa nám ponúka. Mali sme na mysli to, že z nej prirodzene vyplývajú všetky tri zákony, ktoré sme uviedli v predchádzajúcej tabuke. V skutonosti môžeme postupova inak, nehovori o tom, že sa nám nieo ponúka, ale odvodi stavovú rovnicu plynu pv/ = konšt. z predchádzajúcich zákonov. Na to nám staí uváži dva procesy. Pri prvom z nich plyn s hodnotami (p 1, V 1, 1 ) prechádza izotermicky na (p, V, ), priom 1 =. Zapíšeme to rovnicou s využitím Boylovho-Mariottovho zákona p 1 V 1 = p V, 1 = (1) 75
Pri druhom procese prechádza plyn izobaricky zo stavu (p, V, ) na stav (p 3, V 3, 3 ). Ak využijeme Gay-Lussacov zákon, dostaneme 76 V = 3, p = p 3 () V Z rovníc (1) a () po úpravách dostaneme p V 1 3 p V 1 1 3 3 = (3) Vzhadom na to, že (p 3, V 3, 3 ) nie sú niím výnimoné, môžeme napísa všeobecne 3 pv/ = konšt. (4) Pre istotu ešte raz strune zhrme toto odvodenie. Zaali sme vo vemi špeciálnych hodnotách teploty, tlaku a objemu plynu 1, p 1, V 1. Do ubovoného stavu s hodnotami týchto parametrov 3, p 3, V 3 sa z neho nemôžeme dosta priamo jednoduchým dejom. Preto sme si cestu rozdelili na dve asti, izotermickú a izobarickú. Náš medzistav sa pritom vyznaoval parametrami, p, V. 3.4 udný dôsledok závislosti objemu plynu od teploty pri stálom tlaku existencia najnižšej možnej teploty V predchádzajúcom lánku sme si nakreslili závislos V = V 0 (1 + γt) pre 1 γ = (1) 73,15 C v intervale 100 C < t < 100 C. Vekos objemu sa rovnomerne zmenšuje s klesajúcou a zápornou teplotou. oto by platilo len pre ideálny plyn. Reálny plyn by sa pri dos nízkej zápornej teplote zmenil na kvapalinu a rovnica (1) by prestala plati. Hovorme ale o ideálnom plyne, pre ktorý rovnica (1) platí pre každú teplotu. Môžeme sa v princípe dosta k takej nízkej teplote, že objem plynu bude nulový. Rovnica (1) nám totiž hovorí, že je to možné. Staí, aby sme si zvolili teplotu 1 t n = = 73,15 C () γ Skutone, pri tejto teplote platí γ V = V0 1 = 0 (3) γ teda objem plynu je pri nej nulový. Ovea hlbšie dôvody, ako sú tie, ktoré sme tu uviedli ukazujú, že naozaj existuje najnižšia možná teplota, ktorá sa rovná 73,15 C a nižšiu teplotu nemožno dosiahnu. Pome teraz prepísa rovnicu (1) do Kelvinovej stupnice. Ak za dosadíme C dostaneme z (1) 1 73,15 1 t 73,15 C + t V = V0 + = 73,15 C V 0 (4) 73,15 C Výraz v itateli zlomku je ale teplota v Kelvinovej stupnici, ktorá odpovedá teplote t v Celsiovej stupnici a 73,15 C = 0 odpovedá v Kelvinovej stupnici teplote 0 C. Rovnica (4) teda bude V = V pri stálom tlaku (5) 0 0 o platí pri stálom atmosférickom tlaku p 0. Pre závislos tlaku plynu od teploty pri stálom objeme platí vzah (3) z lánku.3 a z neho môžeme dosta vemi podobný vzah p = p pri stálom objeme (6) 0 0 3.5 Molekulárno-kinetický pohad na závislos objemu a tlaku plynu od teploty Dnes bezpene vieme, že látky sa skladajú z atómov a molekúl, ale v polovici 19. storoia to bola len hypotéza. Viacerí fyzici a chemici ju považovali len za neoverenú špekuláciu a niektorí sa dokonca domnievali, že je to zbytoná špekulácia, lebo ju nikdy nebudeme schopní experimentálne overi. 77
V tomto ase a v spolonosti, v ktorej mnohí mali spomínané názory, prišiel DANIEL BERNOULLI (1700 178) s myšlienkou, ktorá približne vysvetovala závislos tlaku plynu (pri stálom objeme) od teploty a objemu plynu (pri stálom tlaku) od teploty. Bernoulli si predstavoval, že plyn sa skladá z atómov, ktoré sa pohybujú vone v priestore a každý atóm sa z asu na as zrazí s nejakým iným atómom. Na obr. 3-10 je nákres, ktorý odpovedá Bernoulliho predstave o štruktúre plynu. Jednoduché zariadenie, ktoré ilustruje Bernoulliho myšlienku, je znázornené na obr. 3-11. 78 Obr. 3-10 Bernoulliho model plynu Atómy sú tu znázornené ako malé telieska. Pohybujú sa všetkými smermi a niektoré z nich narážajú na piest, ktorý uzatvára plyn v nádobe. Každý atóm, ktorý narazí na piest potlaí piest trocha smerom nahor. Nárazy atómov na piest sú zodpovedné za tlak plynu. Ak zmenšíme objem, zväší sa hustota atómov. Atómy narážajú na piest astejšie a tlak plynu sa zvýši. o je v súlade so vzahom pv = konšt., o ktorom sme hovorili v lánku 3. (Boylov-Mariottov zákon). Bernoulli si tiež predstavoval, že teplota plynu súvisí s rýchlosou, ktorou sa atómy pohybujú. Ak sa teplota plynu zvýši, zvýši sa aj priemerná rýchlos atómov. Ak je atóm, ktorý dopadne na piest rýchlejší, potlaí piest viac. Preto tlak plynu rastie s teplotou. Platí to pri stálom objeme, pretože vtedy je hustota atómov stále rovnaká, len rýchlosti atómov sú väšie. Dnes je známe, že Daniel Bernoulli mal v podstate pravdu, a vieme aj to, že plyny sa asto skladajú z molekúl, priom každá molekula je zložená z niekokých atómov. Existujú ale aj plyny, v ktorých úlohu molekúl hrajú jednotlivé atómy. Dnes tiež existuje vemi podrobná teória štruktúry plynov a ich vlastností a nieo si o nej ešte povieme. Obr. 3-11 V priesvitnej nádobe uzavretej zhora pohyblivým piestom sú nasypané malé guôky. Na dne nádoby je pohyblivá plocha, ktorú rozkmitáva elektromotorek. Kmitajúca plôška uvádza do pohybu guôky, ktoré sa nachádzajú v nádobe. Niektoré z nich narážajú na pohyblivý piest a vytvárajú tlak plynu. Ak zmenšíme objem plynu, napríklad tým, že na piest položíme závažie, zvýši sa hustota plynu. Nárazy guôok budú astejšie a tlak plynu bude väší. Ak chceme znázorni zvýšenie teploty plynu, rozkmitáme doštiku viac, guôky sa budú pohybova rýchlejšie a zvýši sa tlak plynu. Zdôraznime ešte, že toto zariadenie je len názorným modelom. V skutonosti sú molekuly plynu ovea, ovea menšie ako guôky v tomto zariadení a hustota molekúl je ovea, ovea väšia. Úloha Vymenujte niekoko plynov, v ktorých sa molekuly skladajú a) z jedného atómu, b) z dvoch atómov, c) z troch atómov, d) z viac ako troch atómov, e) z o najväšieho množstva atómov. 79
3.6 Stavová rovnica ideálneho plynu Z prác Gay-Lussaca o stálych objemových pomeroch zluujúcich sa plynov, z Avogadrovej vety a z prác alších prírodovedcov zo zaiatku 19. storoia sa experimentálne ukázalo, že 1 mol plynu pri normálnom atmosférickom tlaku p 0 (p 0 = 1,013 5 10 5 Pa) a pri teplote t 0 = 0 C, teda v Kelvinovej stupnici 0 = 73,15, má vždy rovnaký objem V 0 =,414 10 3 m 3 mol 1 =,414 l mol 1. ieto veliiny môžeme da do vzájomného vzahu 80 p 0 V 0 = R 0 (1) kde R je molová plynová konštanta R = 8,31 J K 1 mol 1. Vzah (1) je len vzahom medzi veliinami p 0, V 0, 0 a je v skutonosti definíciou veliiny R. Zapísali sme ju ale tak, aby sme ju mohli prepísa do tvaru platného aj pre iné hodnoty tlaku, objemu a teploty. Poda výsledkov z lánku 3.3 takto dostávame stavovú rovnicu ideálneho plynu pv = R () platnú v tomto tvare pre 1 mol ideálneho plynu. Ak plyn obsahuje n molov molekúl, stavová rovnica má tvar pv = nr (3) Stavová rovnica opisuje s dobrou presnosou správanie sa väšiny známych plynov v okolí normálnych podmienok, teda t 0 0 C, p 0 10 5 Pa (atmosférický tlak). Neskôr si v rozširujúcom uive ukážeme, že stavovú rovnicu možno odvodi z molekulárno-kinetickej teórie ideálneho plynu. Rozširujúce uivo si môžete nájs na webe na stránke citovanej v predhovore k tejto uebnici. Pod ideálnym rozumieme taký plyn, ktorý spa nasledujúce podmienky: 1. Rozmery molekúl ideálneho plynu sú zanedbatene malé v porovnaní s typickou vzdialenosou medzi susednými molekulami.. Potenciálnu energiu vzájomného pôsobenia medzi molekulami možno zanedba v porovnaní s ich kinetickou energiou. 3. Vzájomné zrážky molekúl medzi sebou a so stenami nádoby sú dokonale pružné. Celková energia ideálneho plynu sa potom rovná sútu kinetickej energie jeho molekúl. oto platí len pre plyny, ktorých molekuly sa skladajú z jedného atómu, ako je argón, kryptón alebo neón. V plynoch, v ktorých sa molekuly skladajú z viacerých atómov, prispieva k celkovej energii aj rotácia molekúl a kmitanie jednej asti molekuly voi inej asti. Aj pre tieto plyny platí stavová rovnica ideálneho plynu, ale opis ich celkovej energie je o nieo zložitejší ako pri jednoatómovom plyne. Úloha Prediskutujte podrobnejšie v om je spomínané zariadenie modelujúce plyn podobné reálnemu plynu a v om je od reálneho plynu odlišné. *3.7 Akou rýchlosou sa pohybujú molekuly ideálneho plynu Poznámka: Domnievame sa, že tento lánok je na hranici medzi základným a rozšíreným uivom. Je na vyuujúcom (napokon ako vždy) i tento lánok zaradí do základného uiva, alebo i ho vynechá. Molová tepelná kapacita C (pri stálom objeme) jednoatómového ideálneho plynu sa dá spoíta teoreticky. Urobil to nemecký fyzik RUDOLF CLAUSIUS v roku v roku 1857, ktorý nadviazal na predchádzajúce práce Daniela Bernoulliho a AUGUSA KR NIGA. Hodnota C sa však dá uri aj experimentálne. eória a experiment sa v tomto prípade celkom zhodujú a výsledok je 3 C = R (1) kde R je plynová konštanta vystupujúca v stavovej rovnici. ento vzah platí pre plyny, v ktorých sa molekula skladá z jediného atómu. Prírastok vnútornej energie ideálneho plynu ak jeho teplotu zvýšime z (Kelvinovej) teploty 1 na teplotu potom bude 3 U ( ) U ( 1 ) = R( 1 ) () 81
Vzhadom na to, že hodnota C nezávisí od teploty, rozdiel 1 nemusí by malý. Predstavme si teraz, že s teplotou 1 ideme do absolútnej nuly. Urobme alej predpoklad, ktorý je správny, že pri absolútnej nule je aj vnútorná energia plynu nulová, teda oto dosadíme do vzahu () a dostaneme 8 U( 1 = 0) (3) 3 U ( ) = R (4) Na prvý pohad to možno nevidno, ale tento vzah nám poskytuje dôležitú informáciu o tom, akou rýchlosou sa molekuly plynu pohybujú. Makroskopické množstvo plynu, povedzme 1 mol (,4 litra za normálneho tlaku a teploty) obsahuje obrovské množstvo molekúl, približne 6 10 3. Pri takomto množstve molekúl nemá zmysel hovori o vlastnostiach jednotlivých molekúl. Užitoné je zavies stredné hodnoty pre dôležité veliiny, ktoré charakterizujú niektoré vlastnosti molekúl. Matematická poznámka. V texte lánku sme používali pojmy ako stredná kinetická energia molekuly a stredná kvadratická rýchlos molekuly. Všeobecná definícia strednej hodnoty veliiny x je nasledujúca. Ak máme v plyne N molekúl a molekula s íslom i hodnotu spomínanej veliiny rovnú x i, potom stredná hodnota x je daná rovnicou x1 + x x = + + x N Vzniká prirodzene otázka: ktoré stredné hodnoty veliín charakterizujúce pohyb molekúl sú najdôležitejšie a najzaujímavejšie? V prípade niektorých veliín ahko zistíme, že vemi zaujímavé nebudú. Uvažujme napríklad strednú hodnotu zložky rýchlosti molekúl v smere súradnice x = x x1 + x N +... + N xn kde x1 je x-ová zložka rýchlosti prvej molekuly at. a N je poet molekúl. Vzhadom na to, že v smere x sa pohybuje doava približne toko molekúl ako doprava bude sa x len zanedbatene málo líši od nuly. Zaujímavejšia by už bola x, o je tzv. stredná hodnota štvorca (kvadrátu) x-ovej zložky rýchlosti molekuly. Každá molekula k nej prispieva kladným íslom. Smer x ale nie je niím významný, vybrali sme si ho my a molekuly sa o to nestarajú. Preto je rozumnejšie zaujíma sa o strednú hodnotu veliiny = x + y + z Veliina je zaujímavá aj preto, že priamo súvisí s energiou molekuly ε = 1 m Ak predpokladáme, že všetky molekuly plynu majú rovnakú hmotnos, potom platí 1 1 ε = m = m Celková vnútorná energia plynu U() závisí od teploty, preto bude od teploty závisie aj, takže presnejšie budeme písa (). Hodnota () sa rovná vnútornej energii plynu pripadajúcej na jednu molekulu. Preto U ( ) N A 1 A ε ( ) = = (5) A ε + ε +... + kde U() je vnútorná energia 1 molu plynu pri Kelvinovej teplote a N A je Avogadrova konštanta (pripomíname, že uvažujeme 1 mol plynu). Pre ideálny plyn zanedbávame energiu vzájomného pôsobenia molekúl a vnútorná energia plynu sa potom rovná sútu kinetických energií jednotlivých molekúl. ieto kinetické energie sme vo vzahu (5) oznaili ako ε 1, ε at. Zo vzahov (4) a (5) máme N ε N 3 R 3 ε() = = k (6) N A 83
Podiel R/N A oznaujeme ako k a konštantu k nazývame Boltzmannova konštanta, poda rakúskeho fyzika LUDWIGA BOLZMANNA (1844 1906), ktorý podstatne prispel k molekulárno-kinetickej teórii plynov. Hodnota konštanty k sa ahko urí z hodnôt konštánt R a N A k = 1,38 10 3 J K 1 (7) Strednú kinetickú energiu molekuly s hmotnosou m môžeme zapísa ako ε = 1 m (8) kde je stredná kvadratická rýchlos molekuly. Zo vzahov (6) a (8) máme 1 m 3 = k (9) áto informácia nám hovorí, aká veká je stredná kvadratická rýchlos molekuly s hmotnosou m pri Kelvinovej teplote. Z poslednej rovnice vieme výpoíta aj veliinu ktorá nám udáva typickú hodnotu rýchlosti molekuly. áto veliina je odmocninou zo strednej kvadratickej rýchlosti molekúl. Historická poznámka. Zaiatkom 19. storoia viacerí fyzici verili, že teplo je zvláštna látka, ktorá akosi preteká z teplejšieho do chladnejšieho telesa. Ak je v telese kalorika viac, teleso je teplejšie, ak je kalorika menej, teleso je chladnejšie. áto predstava jednoducho vysvetovala známu skutonos, že pri dotyku dvoch telies sa teplejšie teleso ochladzuje a chladnejšie sa zahrieva. Z hadiska molekulárno-kinetickej teórie plynov žiadne kalorikum neexistuje, vnútorná energia plynu v uritom objeme je daná sútom kinetických energií jeho molekúl. Mohli by sme sa udova, ako bolo možné, aby si udia mysleli, že nejaké kalorikum existuje. Ale nebola to zlá myšlienka, len experiment neskôr ukázal, že nápad bol omylom. Úlohy Všetky nasledujúce úlohy sú pomerne nároné a sú vhodné len pre prácu seminára z fyziky a pod. 1. Spoítajte strednú kvadratickú rýchlos molekúl niekokých plynov pri izbovej teplote. Uvažujte aspo tieto plyny: H, O, H O (vodná para), Ne. Porovnajte rýchlosti molekúl rôznych plynov.. Vedeli by ste navrhnú nejaký spôsob ako by sa dala mera rýchlos molekúl? Ak sa vám to nepodarí navrhnú, môžte to nájs niekde alej v tejto uebnici. 3. Experiment ukazuje, že pre jednoatómové plyny (Ne, Kr, ) sa pri izbových teplotách molová tepelná kapacita naozaj rovná (3/)R. Pre plyny skladajúce sa dvoch alebo viac atómov je hodnota molovej tepelnej kapacity vyššia. Vedeli by ste pre to nájs vysvetlenie? 4. Ak kalorikum neexistuje, potom je tu malý problém. Predstavme si, že máme v dvoch susedných nádobách oddelených priehradkou dva jednoatómové plyny, pozri obr. 3-1. Obr. 3-1 Dva plyny oddelené priehradkou Molekuly jedného plynu, povedzme hélia (atóm He je približne 4-krát ažší ako atóm vodíka), majú hmotnos m 1 a teplotu 1, molekuly druhého plynu, povedzme kryptónu (atóm Kr je približne 84-krát ažší ako atóm vodíka), majú hmotnos m a teplotu. Stredné kvadratické rýchlosti sú v obidvoch plynoch dané vzahom (9). Postupom asu prechádza teplo z teplejšieho plynu cez priehradku k chladnejšiemu plynu a teploty oboch plynov sa po ase vyrovnajú. o vieme z praktickej skúsenosti. Poda teórie kalorika je to celé jednoduché. V teplejšom plyne je viac kalorika ako v chladnejšom. Kalorikum preto preteie z teplejšieho plynu do chladnejšieho a teploty plynov sa vyrovnajú. Vyrovnávanie teploty by sme ale mohli urýchli tým, že by sme priehradku vytiahli a mali by sme v spolonej nádobe dva plyny s rovnakou teplotou. Stredná kinetická energia jedných i druhých molekúl by boli rovnaké a dané vzahom (9). o ale znamená, že v zrážkach ahkých atómov hélia s ažkými atómami kryptónu by si atómy mali vymiea energiu tak, aby jedny aj druhé 84 85
mali po ase rovnakú strednú kinetickú energiu. Otázka je, ako je možné, aby sa to pri celkom náhodných zrážkach stalo. A teraz otázka: Akým mechanizmom vzniká v plyne skladajúcom sa z ahších a ažších molekúl situácia, v ktorej majú ahšie i ažšie molekuly rovnakú strednú kinetickú energiu. Otázka nie je triviálna a asi budete potrebova konzultáciu s expertom. 5. Ak sa chcete trocha pohra na historickú tému, vytvorte v triede dve malé skupinky. Jedna z nich budú zástancovia teórie kalorika, druhá budú zástancovia molekulárno-kinetickej teórie plynov. Každá skupinka si nájde k svojmu postoju nejaké informácie a potom sa stretnú v debate. Zvyšok triedy po debate hlasuje o tom, kto má asi pravdu. Debatova môžte v obleení pripomínajúcom obdobie okolo roku 1800 n. l. 6. Ak sa chcete s problémom pohra sami, pozbierajte argumenty v prospech (a v neprospech) teórie kalorika, a to isté urobte pre molekulárno-kinetickú teóriu a pokúste sa rozhodnú, ktorá z nich je správna. Navrhnite aj experimenty, ktoré by otázku mohli rozhodnú. 86