3. ΦΑΣΜΑΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΩΝ (ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER) 3.. Γενικά Ένα σήμα μπορεί να αναπαρασαθεί με έναν από ους παρακάω ισοδύναμους ρόπους: Ως χρονικά μεαβαλλόμενη άση (κυμαομορφή) x(t) (αναπαράσαση σο πεδίο ου χρόνου). Ως συνάρηση ης συχνόηας X(f) (φασμαική αναπαράσαση ή αναπαράσαση σο πεδίο ης συχνόηας). Η σπουδαιόηα ης φασμαικής αναπαράσασης έγκειαι σο γεγονός όι η X(f) παρέχει πληροφορίες για ο συχνοικό περιεχόμενο ου σήμαος και, συνεπώς, διευκολύνει η μελέη ης διέλευσης και επεξεργασίας ου σήμαος από ηλεπικοινωνιακές διαάξεις και συσήμαα. Επιπλέον, η μελέη ης διέλευσης σημάων μέσα από συσήμαα είναι μαθημαικά απλούσερη σο πεδίο ης συχνόηας από όι σο πεδίο ου χρόνου. Η αναπαράσαση ενός σήμαος x(t) σο πεδίο ης συχνόηας πραγμαοποιείαι μέσω ης φασμαικής ανάλυσης ή ανάλυσης Fourier. Η ανάλυση αυή σηρίζεαι σο γνωσό θεώρημα Fourier, σύμφωνα με ο οποίο μια περιοδική κυμαομορφή x(t) (με περίοδο ) μπορεί να παρασαθεί ως άθροισμα άπειρων ημιονικών και συνημιονικών όρων, οι συχνόηες ων οποίων είναι ακέραια πολλαπλάσια ης θεμελιώδους συχνόηας f o T. Αξίζει να σημειωθεί όι, παρ όλο που ο θεώρημα Fourier αναφέρεαι σα περιοδικά σήμαα, χρησιμοποιείαι ως βάση για ην ανάλυση και μη περιοδικών σημάων. Σην πράξη, ανί για ους ημιονικούς-συνημιονικούς όρους, χρησιμοποιούναι ισοδύναμοι μιγαδικοί εκθεικοί όροι. Επίσης, αν και ο θεώρημα Fourier αφορά μόνο σις περιοδικές κυμαομορφές, η βασική ου ιδέα μπορεί να επεκαθεί ώσε να καλύψει και α μη περιοδικά σήμαα. Συνοψίζονας, οι βασικές δυναόηες ης φασμαικής ανάλυσης είναι οι παρακάω: Ένα περιοδικό σήμα x(t), περιόδου T μπορεί να παρασαθεί ως άθροισμα είε άπειρων ημιονικών και συνημιονικών όρων (ριγωνομερική σειρά Fourier) είε άπειρων μιγαδικών εκθεικών όρων (μιγαδική σειρά Fourier). Καθένας από αυούς ους όρους ανισοιχεί σε μια συγκεκριμένη συχνόηα (αρμονική) που είναι πολλαπλάσιο ης θεμελιώδους συχνόηας (αρμονικής) f o T. Οποιοδήποε σήμα (περιοδικό ή μη περιοδικό) μπορεί να παρασαθεί ως ολοκλήρωμα Fourier (δηλαδή ως συνάρηση Χ(f)). Σην περίπωση ων περιοδικών σημάων, ο ολοκλήρωμα Fourier εκπίπει σε μία σειρά που, αν και η μορφή ης δεν είναι εκθεική, η φυσική ης σημασία είναι ισοδύναμη με αυήν ης εκθεικής σειράς Fourier. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.
3.. Ανάλυση περιοδικών σημάων σε σειρά Fourier 3... ριγωνομερική σειρά Fourier Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, ένα περιοδικό σήμα x(t), περιόδου, μπορεί να αναλυθεί σε ένα άθροισμα άπειρων ημιονικών-συνημιονικών όρων (αρμονικών), κάθε ένας από ους οποίους έχει συχνόηα nf o (n 0,,,...) πολλαπλάσια ης βασικής συχνόηας f o T. ο άθροισμα αυό είναι η ριγωνομερική σειρά Fourier και δίνεαι αμέσως παρακάω: x(t) Σ [0, ) n.cos(π.nf o.t) + B n.sin(π.nf o.t) 0 + Σ [, ) n.cos(π.nf o.t) + B n.sin(π.nf o.t) (3.), Μπορεί να αποδειχθεί όι οι ριγωνομερικοί συνελεσές Fourier n, B n δίνοναι από ους ύπους 0 T T x(t).dt (DC συνισώσα) (3..α) B 0 0 (3..β) 3 n T T x(t).cos(π.nf o.t).dt (n,, 3, ) (3..γ) B n T T x(t).sin(π.nf o.t).dt (n,, 3, ) (3..δ) από ους οποίους πισοποιείαι όι οι εν λόγω συνελεσές καθορίζοναι από ο σήμα x(t) 4. 3... Εκθεική σειρά Fourier Γενικά Συνισάαι προσοχή σε ό,ι αφορά ους δείκες «0» και «ο». Ο πρώος («0») αναφέρεαι σε παραμέρους που σχείζοναι με η μηδενική συχνόηα (f 0 0) ενώ ο δεύερος («ο») αφορά παραμέρους που σχείζοναι με η θεμελιώδη συχνόηα (αρμονική) f ο. Κααχρησικά, μπορεί να θεωρηθεί όι η μηδενική συχνόηα είναι η μηδενική αρμονική ης θεμελιώδους (f 0 0.f o ). Ση βιβλιογραφία, ο όρισμα π.nf o.t μπορεί να εμφανισεί και ως nω o.t (αφού ω ο π.f o ) ή και t ως nπ (αφού f o ). 3 T ο T ο O συνελεσής Β 0 είναι πάνοε μηδενικός λόγω ου όι sin(π.0f o.t) sin(0) 0. Αυός είναι και ο λόγος που ο συγκεκριμένος συνελεσής δεν εμφανίζεαι σην εξίσωση (3.). 4 Υπενθυμίζεαι όι, για περιοδικά σήμαα, ο συμβολισμός T δηλώνει ολοκλήρωμα με διάρκεια ίση με μία () περίοδο. Επίσης, όι, για περιοδικά σήμαα, α ολοκληρώμαα με διάρκεια ίση με έχουν ιμή ανεξάρηη από α άκρα ης ολοκλήρωσης. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.
e jθ -jθ e e jθ -jθ e Χρησιμοποιώνας, ις αυόηες cosθ και sinθ (βλέπε και ΠΑΡΑΡΗΜΑ j Π.), η ριγωνομερική σειρά (3.) μπορεί να γραφεί ση (συνεκικόερη και βολικόερη) εκθεική μορφή, ως εξής: x(t) Σ [0, ) n.cos(π.nf o.t) + B n.sin(π.nf o.t) Σ [0, ) n. (e j.π.nf o.t + e j.π.nf o.t ) + B n. ( e j.π.nf o.t e j.π.nf o.t ) j Σ [0, ) n. (e j.π.nf o.t + e j.π.nf o.t ) B n. j ( e j.π.nf o.t e j.π.nf o.t ) Σ n jbn [0, ).e j.π.nf o.t + n jb n.e j.π.nf o.t 0 n jbn + Σ [, ).e j.π.nf o.t + 0 n jbn + Σ [, ).e j.π.nf o.t ( 0 + 0 ) + Σ n jbn [, ).e j.π.nf o.t + Σ n jbn [, ) Χ 0 + Σ [, ) X n.e j.π.nf o.t + Σ [, ) X n.e j.π.( n)fo.t Χ 0 + Σ [, ) X n.e j.π.nf o.t + Σ (, ] X n.e j.π.nf o.t.e j.π.nf o.t x(t) Σ (, ) X n.e j.π.nf o.t (3.3) 5,6 όπου X 0 0 (n 0) (3.4.α) jb X n n n (n > 0) (3.4.β) n jb n X n (n < 0) (3.4.γ) οι μιγαδικοί συνελεσές Fourier. Οι εξισώσεις (3.4) είναι σκόπιμο, για η διευκόλυνση ων υπολογισμών, να γραφούν σε μορφή που να περιέχει ο περιοδικό σήμα x(t). Αυό επιυγχάνεαι, ανικαθισώνας ους συνελεσές n, B n με ους ανίσοιχους ύπους (3.). Έσι, Για n>0: 5 Καά ην εξαγωγή ης σχέσης (3.3), ο δείκης n, αρχικά, θεωρείαι θεικός και, για ο λόγο αυόν, οι αρνηικές συχνόηες δηλώνοναι με ους όρους n ( n < ). Ση συνέχεια όμως, και προκειμένου οι σχεικές εκφράσεις να γίνουν συνεκικόερες (βλ. σχέσεις 3.3 και 3.4), ο δείκης n θεωρείαι όι λαμβάνει όσο θεικές όσο και αρνηικές ιμές (πεδίο μεαβολής από έως + ), οπόε οι μεν θεικές ιμές δηλώνοναι με ο διάσημα [, ), οι δε αρνηικές με ο διάσημα (, ]. 6 Η έννοια ης εξίσωσης (3.3) είναι όι η συνεχής προσθήκη όρων ης μορφής X n.e j.π.nf o.t (n 0, ±, ±, κλπ.) οδηγεί ση σαδιακή «ανασύνθεση» ου αρχικού περιοδικού σήμαος x(t). Η ανάλυση Fourier προβλέπει όι αν, για ην αναπαράσαση ενός περιοδικού σήμαος x(t) χρησιμοποιηθεί ο πολυώνυμο Σ ( Ν,Ν) X n.e j.π.nf o.t, η αναπαράσαση θα είναι όσο «πισόερη» όσο μεγαλύερη είναι η ιμή ου Ν. Σο όριο Ν, η αναπαράσαση θα είναι έλεια. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.3
X n n jb n [ T T x(t).cos(π.nf o.t).dt j T T x(t).sin(π.nf o.t).dt] T T x(t).[cos(π.nf o.t) j.sin(π.nf o.t)].dt T T x(t).e j.π.nf o.t dt (3.5.α) Για n0: X 0 0 (/T) T x(t).dt (3.5.β) Για n<0: n jb n X n [ T T x(t).cos(π.nf o.t).dt + j T T x(t).sin(π.nf o.t).dt] T T x(t).[cos(π.nf o.t) + j.sin(π.nf o.t)].dt T T x(t).e j.π.nf o.t dt (3.5.γ) 7,8 Οι παραπάνω ύποι μπoρούν να συμπυχθούν σον παρακάω ενιαίο ύπο X n [ n +( ) n+.jb n ] T T x(t).e j.π.nf o.t dt ( <n< ) (3.6) 9,0 Η «σύνδεση» μεαξύ ων πεδίων χρόνου και συχνόηας γίνεαι μέσω ου θεωρήμαος Parseval που για περιοδικά σήμαα, εκφράζεαι ως: 7 Η απόλυη ιμή n χρησιμοποιείαι για να «αναδείξει» ις θεικές ιμές ου δείκη n (o οποίος, μεά ην εξίσωση 3.3, θεωρείαι όι λαμβάνει όσο θεικές όσο και αρνηικές ιμές). Υπενθυμίζεαι όι οι jb δείκες Α n και B n ορίζοναι μόνο για θεικές ιμές ου δείκη n. Για παράδειγμα, X ενώ jb X. 8 Υπενθυμίζεαι όι. ση βιβλιογραφία, ο όρισμα π.nf o.t μπορεί να εμφανισεί και ως nω o.t (αφού t ω ο π.f o ) ή και ως nπ (αφού f o ). 9 T ο T ο Η ανάλυση σε εκθεική σειρά Fourier αποελεί, και αυή, ειδική περίπωση ης ανάλυσης σήμαος με η βοήθεια ορθογώνιων σημάων βάσης, όπως παρουσιάζεαι σην ενόηα.5 (εξισώσεις.9 και.30). Εδώ, ως σήμαα βάσης, χρησιμοποιούναι α e j.π.nfo.t ενώ η σαθερά Κ (που εμφανίζεαι σην εξίσωση.30) είναι ίση με. Επισημαίνεαι όι οι σχέσεις (3.3) και (3.6) θα μπορούσαν να προκύψουν, απευθείας, με εφαρμογή ων εξισώσεων (.9) και (.30). 0 Ο χαρακηρισμός ων ημιονοειδών σημάων (ης γενικής μορφής Α m cos(πf m t+φ m )) και, κα επέκαση, ων μιγαδικών εκθεικών «σημάων» (ης γενικής μορφής Α m e j(πf m t+φ m ) ) ως αρμονικών γίνεαι με βάση ο γεγονός όι α συγκεκριμένα σήμαα έχουν μία συγκεκριμένη (και χαρακηρισική) συχνόηα f m σε ανίθεση με α υπόλοιπα περιοδικά σήμαα που περιέχουν περισσόερες συχνόηες (0, f o, f o ). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.4
x (t).dt Σ (, ) X n B o + Σ [, ) T n n (3.7.α) Δεδομένου όι ο ολοκλήρωμα (/T) x (t).dt εκφράζει η μέση ισχύ P ου περιοδικού σήμαος x(t), προκύπει όι οι συνελεσές X n έχουν διασάσεις ισχύος (Watt) ενώ η (3.7.α) γράφεαι πληρέσερα ως εξής: P x (t).dt Σ (, ) X n X o +.Σ [, ) X n o + Σ n [, ) T B n (3.7.β) Γραφική αναπαράσαση ων μιγαδικών συνελεσών Fourier Για η γραφική παράσαση ων συνελεσών X n, πρέπει να ληφθούν υπόψη α εξής: Ση μιγαδική σειρά Fourier, εμφανίζοναι όσο θεικές (f n n.f o ), όσο και αρνηικές (f n n.f o ) συχνόηες. Αυό είναι άμεση συνέπεια ης χρήσης μιγαδικών (ανί ριγωνομερικών) σειρών, επιλογή που υπαγορεύεαι από ην ανάγκη απλοποίησης ων υπολογισμών που σχείζοναι με ην επεξεργασία ων σημάων. Από φυσική άποψη, και δεδομένου όι ο X n εκφράζει ην ισχύ ης ανίσοιχης αρμονικής f n, θα θεωρηθεί όι η συγκεκριμένη αρμονική απαρίζεαι από δύο «μαθημαικές συνισώσες», η «θεική» (X n+ e j.π.nf o.t ) και ην «αρνηική» (X n e j.π.nf o.t ), κάθε μία από ις οποίες περιέχει ο μισό ης ισχύος ης αρμονικής (π.χ., αν X X 5, όε η ισχύς ης ης αρμονικής είναι ίση με P X + X 5 +5 50 W). Οι X n είναι μιγαδικοί, οπόε (δεδομένου όι, σε πολική μορφή, γράφοναι ως X n X n e jφ n) για ην αναπαράσασή ους, απαιούναι δύο γραφικές παρασάσεις, μία για ο μέρο X n και μία για η φάση φ n. Από ις εξισώσεις (3.7), προκύπει όι οι συνελεσές X n για n>0 είναι συζυγείς με ους ανίσοιχους για n<0, ισχύει δηλαδή όι X r X r * (3.8) Δεδομένου όι α μέρα συζυγών μιγαδικών είναι ίσα (π.χ. X r X r ) ενώ οι φάσεις ανίθεες (φ r φ r ), η μεν γραφική παράσαση ων «μέρων» είναι συμμερική ως προς ον καακόρυφο άξονα (άρια), η δε γραφική παράσαση ων «φάσεων» είναι συμμερική ως προς ην αρχή ων αξόνων (περιή). Άμεση συνέπεια ου παραπάνω είναι όι ο συνελεσής X 0 έχει φάση φ 0 0, είναι δηλαδή, πάνα, πραγμαικός (αυό πισοποιείαι και από ις εξισώσεις (3.4.α) και (3.5.β) όπου φαίνεαι όι X 0 0, η DC συνισώσα). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.5
x(t) T T/ 0 T/ T 3T/ T X X 0 X X X φ X 3 X 3 φ -3 φ -......... φ 0 0... 3f o f o f o 0 f o f o 3f o 3f o f o f o 0 f o f o 3f o φ - φ φ 3 Ανιπαραβολή ης ριγωνομερικής και ης εκθεικής σειράς Fourier Η ριγωνομερική σειρά προβλέπει μόνο θεικές συχνόηες (ης μορφής n.f o με n 0). Ανίθεα, η εκθεική σειρά προβλέπει όσο θεικές όσο και αρνηικές συχνόηες (ης μορφής n.f o με ον δείκη n να μπορεί να λαμβάνει και αρνηικές ιμές). Οι συνελεσές Α n και B n είναι πραγμαικοί ενώ οι συνελεσές X n είναι γενικά μιγαδικοί. Η χρήση εκθεικής σειράς οδηγεί σε συνοπικόερες μαθημαικές εκφράσεις. Παράδειγμα: Έσω σήμα x(t) περιόδου ms (f o T 000 Hz) ο οποίο μπορεί (καά προσέγγιση) να γραφεί με χρήση ης DC συνισώσας και ων δύο () πρώων αρμονικών. Αν η σχεική εξίσωση είναι x(t) 3.cos(π.000.t) + sin(π.000.t) +.cos(π.000.t) + 4.sin(π.000.t) (δηλαδή Α 0, Α 3, Β, Α και Β 4), αυό σημαίνει όι Χ (Α + jb ) ( + 4j) + j Χ (Α + jb ) ( 3 + j) Χ 0 Α 0 Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.6
Χ (Α jb ) ( 3 j) Χ (Α jb ) ( 4j) j Οπόε x(t) (+j).e j.π.000.t + ( 3+j).e j.π.000.t j.π.000.t j.π.000.t + + ( 3 j).e + ( j).e Παράδειγμα: Η περιοδική παλμοσειρά p T (t) (ύψους, διάρκειας παλμών και περιόδου ) Για λόγους ευκολίας, θα θεωρηθεί όι o λόγος / είναι ακέραιος αριθμός (κάι που συμβαίνει και σην πράξη). Από ην (3.6), προκύπει όι Συνεπώς X n [-T/,T/] p T (t).e j.π.nf o t.dt T [-/,/].e j.π.nf o t.dt T [ T jπnfo(/) jπnfo(-/) e [ e ] T jπnf o (-j)sin(π.nf o.) - jπ.nf o e jπnfot jπnf sin(π.nfo.) π.nf. p T (t) Σ (-, ) X n.e j.π.nf o.t sin(π.nf o.) Σ (-, ).e j.π.nf o.t π.nf o. sin(nπ ) Σ (-, ).e j.π.nf o.t (nπ ) Η αρμονική Nf o ου ου μηδενισμού (κενρικός λοβός συχνοήων) είναι έοια ώσε o o ] [-/,/] sin(nπ ) (nπ ) π.νf o π Νf o Ν( ) Ν δηλαδή η άξη ης αρμονικής ου ου μηδενισμού προσδιορίζεαι αποκλεισικά από ο λόγο / (περίοδος σήμαος / διάρκεια παλμών). Α/ p T (t) P T (f) t f T / 0 f o /T / Περισσόερα παραδείγμαα υπάρχουν σο κεφάλαιο 4 όπου εξεάζοναι α βασικά ηλεπικοινωνιακά σήμαα (μεαξύ αυών και η ορθογωνική παλμοσειρά). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.7
Από α παραπάνω, προκύπουν α εξής βασικά συμπεράσμαα για ην περιοδική παλμοσειρά: Η περιοδική παλμοσειρά έχει αρμονικές οι οποίες απέχουν μεαξύ ους καά f o (άμεση συνέπεια ης ανάλυσης Fourier). H η μηδενική αρμονική προκύπει για συχνόηα f N. Η άξη ης ης T μηδενικής αρμονικής ισούαι με Ν Μείωση ης διάρκειας ων παλμών, με διαήρηση ης περιόδου σαθερής, οδηγεί σην αύξηση ου εύρους συχνοήων (αφού ο κλάσμα fν αυξάνεαι). Αύξηση ης περιόδου ων παλμών, με διαήρηση ης διάρκειας σαθερής, οδηγεί ση δημιουργία «πυκνόερου» φάσμαος αρμονικών αφού ο εύρος f N παραμένει σαθερό ενώ η «απόσαση» f o μεαξύ ων αρμονικών μειώνεαι. Ανιπροσωπευικά παραδείγμαα φαίνοναι αμέσως παρακάω: 0,5 μs, T μs f o MHz Απόσαση μεαξύ αρμονικών fo MHz Ν T fν f ΜΗz Συνεπώς, εμφανίζοναι η DC συνισώσα (f 0 0 Hz), η θεμελιώδης αρμονική (f o MHz) ενώ ση δεύερη αρμονική (f f Ν ΜΗz) η φασμαική αναπαράσαση μηδενίζεαι. 0,5 μs, T 4 μs f o MHz Απόσαση μεαξύ αρμονικών fo MHz Ν T 4 fν f 4 4 ΜΗz Εμφανίζοναι η DC συνισώσα (f 0 0 Hz), η θεμελιώδης αρμονική (f o MHz), η δεύερη και η ρίη αρμονική (f ΜΗz, f 3 3 ΜΗz) ενώ σην έαρη αρμονική (f 4 f N 4 ΜΗz) η φασμαική αναπαράσαση μηδενίζεαι. 3..3. Εναλλακικές εκφράσεις για ις σειρές Fourier χρήση ης κυκλικής συχνόηας ω Αν και η συχνόηα f (και όχι η κυκλική συχνόηα ω πf) είναι η παράμερος που χρησιμοποιείαι σα ηλεπικοινωνιακά συσήμαα, ενούοις, σε πολλές περιπώσεις, οι σειρές Fourier και οι συναφείς ποσόηες δίνοναι ως συναρήσεις ης κυκλικής συχνόηας ω. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.8
Δεδομένου όι σην ανάλυση σε σειρές Fourier (είε ριγωνομερικές είε εκθεικές) οι ολοκληρώσεις γίνοναι ως προς ο χρόνο t (δεν υπάρχει ολοκλήρωση ως προς f), οι εκφράσεις με ην κυκλική συχνόηα ω προκύπουν από ις ανίσοιχες για η συχνόηα f, απλώς με ην ω ανικαάσαση πf o ω o ή (ισοδύναμα) f o ο. π Για παράδειγμα, οι σχέσεις (3.3) και (3.6) για ην ανάπυξη σε εκθεική σειρά Fourier γράφοναι (απλώς με ην ανικαάσαση πf o ω o ) ση μορφή x(t) Σ (, ) X n.e j.ω o.t (3.9) X n [ n +( ) n+.jb n ] T T x(t).e j.ω o.t dt ( <n< ) (3.0) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.9
3.3. Ο μεασχημαισμός Fourier 3.3.. Ορισμός Μέσω ου ολοκληρώμαος (μεασχημαισμού) Fourier, είναι δυναή η φασμαική αναπαράσαση οποιουδήποε σήμαος, περιοδικού ή μη. Ο υπολογισμός ου εν λόγω ολοκληρώμαος, για ένα σήμα x(t) οδηγεί σε μια συνάρηση X(f), η οποία αναδεικνύει ο «συχνοικό περιεχόμενο» ου συγκεκριμένου σήμαος. Ισχύουν γενικά α εξής: Ο μεασχημαισμός Fourier Χ(f), είναι (γενικά) μιγαδική συνάρηση ης συχνόηας f και, ως έοια, χαρακηρίζεαι από ο μέρο ης X(f) και η φάση ης φ(f). Ειδικόερα, ο μέρο X(f) εκφράζει ην καανομή ης ισχύος ου σήμαος x(t) σο εύρος συχνοήων που κααλαμβάνει ο σήμα. Για περιοδικά σήμαα, ο μεασχημαισμός Fourier X(f) είναι διακριή μιγαδική συνάρηση ης συχνόηας. Για ένα περιοδικό σήμα x(t), οι γραφικές παρασάσεις Χ(f) και φ(f) είναι είναι διακριές και παρόμοιες με αυές ων X n και φ n ης μιγαδικής σειράς Fourier για ο ίδιο σήμα. Για μη περιοδικά σήμαα, ο μεασχημαισμός Fourier X(f) είναι μια συνεχής μιγαδική συνάρηση ης συχνόηας. Ο μεασχημαισμός Fourier μπορεί να προκύψει από η μιγαδική σειρά Fourier, θεωρώνας όι ένα μη περιοδικό σήμα x(t) μπορεί να εκληφθεί ως περιοδικό με περίοδο. Αυό έχει ως αποέλεσμα α εξής: Η απόσαση f o T μεαξύ ων αρμονικών είνει σο 0 (fo T 0). Ως άμεση συνέπεια ου παραπάνω, οι (διακριοί) μιγαδικοί συνελεσές Fourier X n «πυκνώνουν» και ουσιασικά μεεξελίσσοναι σε μια συνεχή μιγαδική συνάρηση X(f). Η μιγαδική σειρά Fourier (3.3) μεεξελίσσεαι σε ολοκλήρωμα. Ουσιασικά, οι συνελεσές X n ης σειράς Fourier υποκαθίσαναι από ον όρο X(f).df. Με βάση ους παραπάνω συλλογισμούς, ένα μη περιοδικό σήμα x(t) εκφράζεαι ως x(t) X(f).e j.πf.t.df (3.) (εξίσωση που αποελεί μεεξέλιξη ης έκφρασης 3.3), η δε μιγαδική συνάρηση Χ(f) χαρακηρίζεαι ως ο ολοκλήρωμα ή ο μεασχημαισμός Fourier ου σήμαος x(t). Μπορεί να αποδειχθεί όι, για η Χ(f), ισχύει η παρακάω εξίσωση («δυαδική» ης εξίσωσης; 3.) X(f) x(t).e j.πf.t.dt (3.) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.0
Με βάση ις εξισώσεις (3.) και (3.), οι συναρήσεις x(t) και Χ(f) χαρακηρίζοναι ως ζεύγος Fourier ή συζυγείς συναρήσεις. Συμβολικά x(t) X(f) (3.3) Η «σύνδεση» μεαξύ ων πεδίων χρόνου και συχνόηας γίνεαι μέσω ου θεωρήμαος Parseval που γενικά (για περιοδικά και μη) σήμαα, εκφράζεαι ως: Θεώρημα Parseval: x (t).dt X(f).df (3.4) Δεδομένου όι ο ολοκλήρωμα x (t).dt εκφράζει ην ενέργεια Ε ου σήμαος x(t), προκύπει όι η σχέση (.7) μπορεί να γραφεί πληρέσερα ως εξής: Ε x (t).dt X(f).df (3.5) Προϋπόθεση για ις (3.4) και (3.5) είναι α ολοκληρώμαα x (t).dt και X(f).df να παραμένουν πεπερασμένα. Αυό σημαίνει όι οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν μόνο για σήμαα ενέργειας. έλος, από η (3.5), προκύπει όι η συνάρηση X(f) έχει διασάσεις Joule/Hz (υπενθυμίζεαι όι οι συνελεσές X n έχουν διασάσεις ισχύος (Watt)). Παράδειγμα: Ο ορθογωνικός παλμός p(t) Α p(t) / / t P(f) [ /,/] Α.e j.πf.t.dt.e j.πf.t [ /,/] jπf.{e j.πf./ e +j.πf./ } jπf πf.( j).sin( ) jπf P(f) sin(πf).sa(πf) πf Α P(f) / 0 / / f Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.
Η σύγκριση μεαξύ ης ορθογωνικής παλμοσειράς p T (t) (παράδειγμα ενόηας 3..) και ου ορθογωνικού παλμού p(t) παρέχει μια πολύ καλή εικόνα ης μεεξέλιξης ης σειράς Fourier σε μεασχημαισμό (όπως περιγράφηκε και σην ενόηα 3.3.). Συγκεκριμένα, ο ορθογωνικός παλμός μπορεί να θεωρηθεί όι παράγεαι από ην ορθογωνική παλμοσειρά όαν η περίοδος ης ελευαίας είνει σο ( ). Σην περίπωση αυή, από ην ακολουθία ορθογωνικών παλμών «απομένει» μόνον ο κενρικός παλμός. Από ην άλλη πλευρά, σο πεδίο ης συχνόηας, η «απόσαση» f o T μεαξύ ων αρμονικών μειώνεαι συνεχώς (fo T 0), οπόε ο διακριό φάσμα ης ορθογωνικής παλμοσειράς μεεξελίσσεαι σο συνεχές φάσμα P(f) ου ορθογωνικού παλμού. Παράδειγμα: ο σήμα x(t) u(t).e αt Λόγω ου όι u(t) 0 για t < 0 u(t) για t 0, ισχύει όι x(t) 0 για t < 0 x(t) e αt για t 0. X(f) [0, ] e α.t.e j.πf.t.dt [0, ] e (α + j.πf).t.dt [e (α.+ j.πf)t ] 0 - (α jπf) [e α.t e j.πf.t ] 0 [0 ] - (α jπf) - (α jπf) α jπf 3.3.. Γραφική αναπαράσαση ου μεασχημαισμού Fourier Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, ο μεασχημαισμός Fourier Χ(f), είναι (γενικά) μιγαδική συνάρηση ης συχνόηας f. Συνεπώς, χαρακηρίζεαι από ο μέρο ου X(f) και η φάση ου φ(f), σύμφωνα με ην εξίσωση X(f) X(f) e j.φ(f) (3.6) άρα, για ην πλήρη γραφική ου αναπαράσαση, απαιούναι δύο γραφικές παρασάσεις, η X(f) και η φ(f). Κα' αναλογία με ις γραφικές παρασάσεις για ους συνελεσές X n (μέρο Χ n και φάσεις φ n ) ισχύει όι: Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.
Η γραφική παράσαση ου X(f) είναι συμμερική ως προς ον καακόρυφο άξονα, ισχύει, δηλαδή, η σχέση X( f) Χ(f) (3.7) (ο μέρο X(f) είναι άρια συνάρηση ης συχνόηας f). Η γραφική παράσαση ης φ(f) είναι συμμερική ως προς ην αρχή ων αξόνων, ισχύει, δηλαδή, η σχέση φ( f) φ(f) (3.8) (η φάση φ(f) είναι περιή συνάρηση ης συχνόηας f. Άμεση συνέπεια είναι όι πάνα φ(0) 0 (3.9) Οι (3.7) και (3.8) μπορούν να «συμπυχθούν» σην παρακάω σχέση: X( f) Χ*(f) (3.0) X(f) φ(f) -B B f f 3.3.3. Ιδιόηες φασμαικής αναπαράσασης DC συνισώσα σήμαος x(t) Ως DC συνισώσα ενός σήμαος x(t) χαρακηρίζεαι η συνισώσα που ανισοιχεί σε συχνόηα f0. Θέονας f0 σην εξίσωση (3.3) προκύπει όι η DC συνισώσα εκφράζεαι από η σχέση Χ(0) x(t).dt (3.) Η σχέση αυή είναι διαφορεική από ην εξίσωση (3..α) (λείπει o συνελεσής T ) και ούο δηλώνει ο γεγονός όι η Χ(0) απλώς «εκφράζει» η DC συνισώσα χωρίς να αυίζεαι με αυήν. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.3
Γραμμικόηα μεασχημαισμού Fourier Ο μεασχημαισμός Fourier διαηρεί η γραμμικόηα ων σημάων x (t) + x (t) X (f) + X (f) (3.) Συμμερία μεασχημαισμού Fourier Αν Χ(t) είναι ο σήμα που προκύπει, αν ση συνάρηση Χ(f) η μεαβληή f ανικαασαθεί από η μεαβληή t, όε ο μεασχημαισμός Fourier προκύπει αν σο σήμα x(t) η t ανικαασαθεί από ην f. (Προϋπόθεση: Ο «αρχικός» μεασχημαισμός Fourier X(f) πρέπει να είναι πραγμαική συνάρηση). X(t) x( f) (3.3) «Κλιμακοποίηση» μεαβληών t και f Αν ξ είναι αδιάσαη σαθερά, όε x(ξ.t) ξ X( f ) (3.4) ξ Άμεση συνέπεια ης (3.4) είναι η παρακάω σχέση: x( t) Χ( f) X*(f) (3.5) Χρονική μεαόπιση σήμαος x(t ) Χ(f).e j.πf. (3.6) Απόδειξη: Αν είναι q(t) x(t ) όε σύμφωνα με ην (3.) είναι Q(f) q(t).e j.πf.t.dt x(t ).e j.πf.t.dt x(t ).e j.πf.e j.πf (t-).dt e j.πf x(t ). e j.πf (t-).dt e j.πf Χ(f) (o παράγονας e j.πf είναι σαθερός ως προς η μεαβληή t ) Η χρονική μεαόπιση ενός σήμαος (καά ), έχει ως συνέπεια ον πολλαπλασιασμό ου μεασχημαισμού Fourier επί e j.πf.. Σημειωέον όι Χ(f).e j.πf. Χ(f) (3.7) δηλαδή η χρονική μεαόπιση ου σήμαος x(t) διαηρεί ο μέρο ου μεασχημαισμού Fourier αναλλοίωο. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.4
(Συχνοική) μεαόπιση μεασχημαισμού Fourier Η ιδιόηα αυή αφορά σήμαα ης μορφής x(t).cos(πf c t) και x(t).sin(πf c t) που εμφανίζοναι συχνά σις εξόδους διαμορφωών και αποδιαμορφωών. Οι σχεικοί υπολογισμοί ξεκινούν από η σχέση x(t).e j.πf c t Χ(f f c ) (3.8) Απόδειξη: Αν είναι q(t) x(t).e j.πf c t, όε σύμφωνα με ην (3.) είναι Q(f) q(t).e j.πf.t.dt x(t).e j.πf c t.e j.πf.t.dt x(t).e j.πf c t.e j.π(f f c )t.dt Χ(f f c ) Η ιδιόηα (3.8) μπορεί να προκύψει και με εφαρμογή ης ιδιόηας ης συμμερίας (3.3) σην ιδιόηα (3.6). Με βάση ην (3.8) και δεδομένου όι x(t).cos(πf c t) x(t). (e j.πf c t +e j.πf c t ) (3.9.α) x(t).sin(πf c t) x(t). (e j.πf c t e j.πf c t ) (3.9.β) j προκύπει όι x(t).cos(πf c t) x(t).sin(πf c t) [X(f+fc ) + X(f f c )] (3.30) [ X(f+fc ) + X(f f c )] j (3.3) Αξίζει να σημειωθεί όι ο εύρος ζώνης ων σημάων x(t).cos(πf c t) και x(t).sin(πf c t) είναι διπλάσιο από αυό ου σήμαος x(t). Μεασχημαισμός Fourier ης παραγώγου και ου ολοκληρώμαος ενός σήμαος x(t) n d x(t) n dt (j.πf) n.x(f) (3.3) dx Απόδειξη (για n ): Αν είναι q(t) όε σύμφωνα με ην (3.) είναι dt Q(f) q(t).e j.πf.t dx j.πf.t j.πf.t.dt.e.dt x(t).e ( j.πf). x(t).e j.πf.t.dt 0 + (j.πf).x(f) dt [-,t] x(t).dt X(f) + π.χ(0).δ(f) (3.33) j.πf Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.5
Oι δύο αυές ιδιόηες δείχνουν όι οι διαφορικές/ολοκληρωικές εξισώσεις ου πεδίο ου χρόνου, μεαρέποναι, σο πεδίο ης συχνόηας, σε απλές αλγεβρικές εξισώσεις ως προς Χ(f),3. Μεασχημαισμός Fourier ης συνέλιξης δύο σημάων x (t) και x (t) d(t) x (t) x (t) x ().x (t ).d x (t ).x ().d D(f) X (f).x (f) (3.34) Tο ολοκλήρωμα d(t) είναι γνωσό ως η συνέλιξη ων σημάων x (t) και x (t) και εμφανίζεαι πολύ συχνά καά η μελέη (σο πεδίο ου χρόνου) ης διέλευσης σημάων από γραμμικά συσήμαα (βλ.κεφάλαιο 5). Είναι χαρακηρισικό όι, σο πεδίο ης συχνόηας, ο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης μεαρέπεαι σε απλό γινόμενο μεασχημαισμών Fourier. Οι ιδιόηες (3.3), (3.33) και (3.34) κααδεικνύουν η σκοπιμόηα χρήσης ου πεδίου ης συχνόηας για η μελέη σημάων και συσημάων, αφού οι διαφορικές-ολοκληρωικές εξισώσεις και α συνελικικά ολοκληρώμαα που εμφανίζοναι σο πεδίο ου χρόνου μεαρέποναι (σο πεδίο ης συχνόηας) σε αλγεβρικές εξισώσεις. Δεδομένου όι α γραμμικά συσήμαα περιγράφοναι (σο πεδίο ου χρόνου) από γραμμικές διαφορικές και ολοκληρωικές εξισώσεις, η μελέη ους σο πεδίο ης συχνόηας διευκολύνεαι σημανικά αφού οι διαφορικές/ολοκληρωικές εξισώσεις μεαρέποναι σε αλγεβρικές. 3 Οι σχέσεις (3.3) και (3.33) μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για ην εξαγωγή ων εκφράσεων για ην ισοδύναμη ανίσαση ου πηνίου (αυεπαγωγή L) και ου πυκνωή (χωρηικόηα C). di(t) V(f) Πράγμαι, για ο πηνίο v(t) L. V(f) L.jπf.I(f) ZL jπf.l. dt I(f) I(f) V(f) Ανίσοιχα, για ον πυκνωή v(t) i(t)dt V(f) ZC. C C πf I(f) jπf.c Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.6
Πεδίο χρόνου t Πεδίο συχνόηας f x (t) + x (t) X (f) + X (f) X(t) x( f) 3 x(ξ.t) x( t) ξ X( f ) ξ X*(f) 4 x(t ) Χ(f).e j.πf. 5 x(t).cos(πf c.t) 6 x(t).sin(πf c.t) 7 n d x(t) n dt 8 [-,t] x(t).dt [X(f+fc ) + X(f f c )] [ X(f+fc ) + X(f f c )] j (j.πf) n.x(f) X(f) + π.χ(0).δ(f) j.πf 9 x ().x (t ).d X (f).x (f) Βασικές ιδιόηες μεασχημαισμού Fourier Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.7
3.3.4. Φασμαική αναπαράσαση βασικών ηλεπικοινωνιακών σημάων O κρουσικός παλμός δ(t) Δ(f) δ(t).e j.π.f.t. dt e j.π.0.t (3.35) ο DC σήμα σ(t) Με εφαρμογή ση (3.33) ης ιδιόηας ης συμμερίας προκύπει όι Σ(f) δ(f) (3.36) Φυσική σημασία: ο DC σήμα σ(t) (όπως και οποιοδήποε DC σήμα) «περιέχει» αποκλεισικά η συχνόηα f 0 και αυό ακριβώς κααδεικνύει η μορφή ης δ(f). α ημιονοειδή σήμαα c(t) cos(πf c t) και c(t) sin(πf c t) Με εφαρμογή ης ιδιόηας (3.36) σην εξίσωση (3.30), προκύπει όι C(f).cos(πf c t) [δ(f+fc ) + δ(f f c )] (3.37) ενώ με εφαρμογή ης ιδιόηας (3.34) σην εξίσωση (3.9), προκύπει όι C(f).sin(πf c t) [ δ(f+fc ) + δ(f f c )] (3.38) j ο παράδειγμα αυό κααδεικνύει ο γεγονός όι ένα ημιονοειδές σήμα (είε ημιονικό είε συνημιονικό) έχει συγκενρωμένη ην ισχύ ου ση συχνόηά ου f c. Πρόσθεση (αφαίρεση) καά μέλη ων (3.37) και (3.38) οδηγεί ση σχέση e j.πf c t cos(πf c t) j.sin(πf c t) δ(f f c ) (3.39) Μεασχημαισμός Fourier περιοδικού σήμαος x(t) Σο παράδειγμα αυό, η μιγαδική σειρά Fourier θα χρησιμοποιηθεί για ον υπολογισμό ου μεασχημαισμού Fourier ενός περιοδικού σήμαος x(t). Σύμφωνα με ις (3.3) και (3.6) ενά περιοδικό σήμα x(t) εκφράζεαι ως: x(t) Σ(, )X n.e j.π.nf o.t (3.3) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.8
συνεπώς, με βάση ην (3.39), προκύπει όι X(f) Σ (, ) X n.δ(f nf o ) Σ (, ) X n.δ(f f n ) (3.40) Η παραπάνω εξίσωση (3.40) δηλώνει απλώς όι ο μεασχημαισμός Fourier ενός περιοδικού σήμαος είναι μια διακριή συνάρηση ης συχνόηας η οποία αποκά ιμές μόνο σις αρμονικές συχνόηες f n nf o, (όπου ο παράγονας δ(f f n ) έχει μη μηδενικές ιμές). Από η μορφή ης (3.40), προκύπει όι η γραφική αναπαράσαση ης συνάρησης X(f) είναι, ουσιασικά, η γραφική αναπαράσαση ων συνελεσών Fourier X n (ένα γράφημα για α μέρα X n και ένα για ις φάσεις φ n ) είναι δηλαδή παρόμοια με ην αναπαράσαση ης μιγαδικής σειράς Fourier. Υπό ην έννοια αυή, οι εκφράσεις (3.3) και (3.40) είναι πρακικά ισοδύναμες, με η μόνη διαφορά όι η μεν (3.40) συνισά «αμιγή» φασμαική αναπαράσαση (ο χρόνος t ως μεαβληή έχει απαλειφθεί) σε ανίθεση με η μιγαδική σειρά Fourier σην οποία η μεαβληή t διαηρείαι. X 0 δ(f) X -. δ(f+f o ) X. δ(f-f o ) X-. δ(f+f o ) X. δ(f-f o ) φ. δ(f-f o ) X -3. X 3. φ -3. φ - δ(f+3f o ) δ(f-3f o ) δ(f+3fo......... φ 0 0... -3f o -f o -f o 0 f o f o 3f o -3f o -f o -f o 0 f o f o 3f o φ φ 3 O ορθογωνικός παλμός p(t) ύψους Α και διάρκειας φ- To σήμα αυό έχει μελεηθεί, ως παράδειγμα, και σην ενόηα 3.3.. Ισχύει όι P(f) [-/,/] Α.e j.πf.t.dt.e j.πf.t [-/,/] jπf.{e j.πf./ e +j.πf./ } jπf πf.( j).sin( ) jπf P(f) sin(πf).sa(πf) πf (3.4) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.9
To σήμα Gauss γ(t) ο σήμα Gauss δίνεαι από ον ύπο π.t γ(t) e (3.4) Μπορεί να αποδειχθεί όι Γ(f) e π f (3.43) 4 δηλαδή ο μεασχημαισμός Fourier Γ(f) παρουσιάζει, και αυός, μεαβολή Gauss. γ(t) Γ(f) Η φασμαική αναπαράσαση ων βασικών ηλεπικοινωνιακών σημάων φαίνεαι και σον πίνακα που ακολουθεί: To σήμα κ(t) /πt Ο μεασχημαισμός Fourier ου σήμαος κ(t) πt (3.44) είναι ο 4 Επειδή, σύμφωνα με ην (3.) x(t).dt Χ(0), για ο σήμα Gauss προκύπει όι γ(t).dt Γ(0) e π 0. Με βάση ην παραήρηση αυή και λαμβανομένου υπόψη όι ο ολοκλήρωμα g(t).dt εκφράζει ο εμβαδόν κάω από ο σήμα Gauss γ(t), ο κρουσικός παλμός δ(t) μπορεί να θεωρηθεί όι προκύπει από ένα σήμα Gauss γ(t) ο οποίο, αυόχρονα, «σενεύει» και «ψηλώνει» (κάι που επιυγχάνεαι όαν η παράμεος μειώνεαι διαρκώς ( 0). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.0
Κ(f) j.sgn(f) (3.45) όπου sgn(. ) η «συνάρηση προσήμου» που λαμβάνει ιμές, 0 ή +, ανάλογα με ο αν ο όρισμα είναι αρνηικό, μηδέν ή θεικό. Αυό σημαίνει όι ο μεασχημαισμός Fourier Κ(f) λαμβάνει ιμές +j e +j(π/), 0 ή j e j(π/) ανάλογα με ο αν η συχνόηα f είναι αρνηική, 0 ή θεική. Η σημασία ου σήμαος κ(t) έγκειαι σο γεγονός όι, αν «συνελιχθεί» με ένα σήμα x(t), ο πt νέο σήμα q(t) κ(t) x(t) κ().x(t ).d (3.46) έχει (σύμφωνα με ην ιδιόηα ης συνέλιξης 3.34) μεασχημαισμό Fourier Q(f) K(f)X(f) (3.47) που, λόγω ου όι Κ(f) +j, 0 ή j, έχει ο εξής χαρακηρισικό: Σε σχέση με ον (αρχικό) μεασχημαισμό X(f), οι όροι ου Q(f) έχουν υποσεί μεαόπιση φάσης καά + ή ανάλογα με ο αν οι όροι αυοί ανισοιχούν σε αρνηικές ή θεικές συχνόηες. ο σήμα q(t) χαρακηρίζεαι ως ο μεασχημαισμός Hilbert ου x(t). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.
Μεασχημαισμός Fourier βασικών ηλεπικοινωνιακών σημάων Σήμα x(t) Μεασχημαισμός X(f) Σχόλια δ(t) δ( f) δ(f) Βλ. αμέσως παραπάνω παράδειγμα και ιδιόηα. ο παράδειγμα αυό και ο αμέσως παρακάω δηλώνουν όι c(t) cos(πf 3 c.t) C(f) [δ(f+fc ) + δ(f f c )] ένα ημιονοειδές (συνημιονικό ή ημιονικό) σήμα έχει ην ισχύ ου συγκενρωμένη ση συχνόηά ου (f c ). sin(πf 4 c.t) C(f) [ δ(f+fc ) + δ(f f c )] j 5 x(t) περιοδική x(t) ΣX n.e j.π.nf o.t X(f) Σ (-, ) X n.δ(f nf o ) Γενικά, οποιοδήποε περιοδικό σήμα (που σύμφωνα με ην ανάλυση Fourier αναλύεαι σε σειρά ημιονοειδών σήμαα) έχει ην ισχύ ου συγκενρωμένη σις αρμονικές ου συχνόηες. ο παράδειγμα αυό δείχνει όι ο μσχ. Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ην αναπαράσαση σο πεδίο ης συχνόηας, όσο περιοδικών όσο και μη περιοδικών σημάων. Σημειωέον όι, σην περίπωση ων περιοδικών σημάων, η γραφική παράσαση ης μιγαδικής σειράς Fourier και ου μσχ. Fourier είναι ενελώς ισοδύναμες. Δεδομένου όι ο κενρικός λοβός περιλαμβάνει ποσοσό ισχύος άνω ου 95%, η ζώνη συχνοήων Β που καλύπει θεωρείαι ως ο εύρος ζώνης ου σήμαος. Προσοχή σο όι Β, δηλαδή ο Β είναι ανισρόφως ανάλογο ης 6 p(t) 7 π.t γ(t) e 8 κ(t) πt sin(πf) P(f) πf Α.Sa(πf) Γ(f) e π f Κ(f) j.sgn(f) διάρκειας ου παλμού. ο συμπέρασμα αυό είναι πολύ σημανικό για ις ψηφιακές μεαδόσεις που ουσιασικά συνίσαναι ση μεάδοση σειράς εραγωνικών παλμών (π.χ. ύψους 5 V για ο "" και 5 V για ο "0". Δεδομένου όι R (ρυθμός μεάδοσης σε bit/s) προκύπει όι για η μεάδοση παλμών με ρυθμό R (bit/s) και με ελάχιση παραμόρφωση απαιείαι εύρος ζώνης Β (Hz) R (bit/s) Σην πράξη, σις ψηφιακές μεαδόσεις, είναι αρκεό ο δέκης να λαμβάνει ην κορυφή ου παλμού, έσω και αν ο παλμός αυός έχει υποσεί σημανική παραμόρφωση καά η μεάδοση. Συνεπώς, θεωρείαι επαρκής η μεάδοση ου μισού εύρους ζώνης (από αυό που ανιπροσωπεύει ο 95% ης ισχύος ου παλμού). Άρα, αρκεί να είναι R Β Β95% (bit/s) ο σήμα γ(t) παρουσιάζει μεαβολή ύπου Gauss. Χαρακηρισική ιδιόηα ου σήμαος γ(t) είναι όι και ο μσχ. Fourier Γ(f) παρουσιάζει μεαβολή ύπου Gauss. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.
3.3.5. Εναλλακικές εκφράσεις για ο μεασχημαισμό Fourier χρήση ης κυκλικής συχνόηας ω Αν και η συχνόηα f (και όχι η κυκλική συχνόηα ω πf) είναι η παράμερος που χρησιμοποιείαι σα ηλεπικοινωνιακά συσήμαα, ενούοις, σε πολλές περιπώσεις, ο ολοκλήρωμα Fourier και οι συναφείς ποσόηες δίνοναι ως συναρήσεις ης κυκλικής συχνόηας ω. Ειδικά για ο ολοκλήρωμα Fourier Χ(f), όσο σον ορισμό ου όσο και σις μαθημαικές εκφράσεις ου, η εναλλακική μορφή X(ω) προκύπει αν η ποσόηα πf ανικαασαθεί από ην ω (πf ω ή, ισοδύναμα, f π ω ). Έσι, X(f) x(t).e j.πf.t.dt X(ω) x(t).e j.ω.t.dt (3.48) Ανίθεα, καά ον υπολογισμό κυμαομορφών x(t) από ο ολοκλήρωμα X(ω), θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν σαθερές πολλαπλασιασμού 5. Έσι, x(t) X(f).e j.πf.t.df X(ω).e j.ω.t.d( π ω ) π X(ω).e j.ωt.dω (3.49) Γενικά, ο κανόνας για η χρήση ων παραμέρων f και ω π.f, ως ανεξάρηων μεαβληών σο πεδίο ης συχνόηας, είναι ο εξής: Για ον υπολογισμό ου μεασχημαισμού Fourier, ση μορφή Χ(f) ή ην Χ(ω), χρησιμοποιούναι οι εξισώσεις (3.48) X(f) x(t).e j.πft.dt και X(ω) x(t).e j.ωt.dt (ανίσοιχα). Οι εκφράσεις X(f) και X(ω) είναι ουσιασικά αυόσημες (γεγονός που κααδεικνύεαι αν σην X(ω) γίνει η ανικαάσαση ω π.f) Για ον υπολογισμό μιας κυμαομορφής x(t) από ους μεασχημαισμούς Χ(f) ή Χ(ω) χρησιμοποιούναι οι ύποι x(t) X(f).e j.πf.t.df ή x(t) π X(ω).e j.ωt.dω. Προφανώς, ο αποέλεσμα είναι ο ίδιο και σις δύο περιπώσεις. 5 Σαθερές πολλαπλασιασμού προκύπουν μόνο για ολοκληρώμαα σα οποία η ολοκλήρωση ως προς f dω μεαρέπεαι σε ολοκλήρωση ως προς ω (επειδή df ). Οι εκφράσεις που εμπεριέχουν ολοκλήρωση π ως προς t παραμένουν αναλλοίωες και, απλώς, σο ελικό αποέλεσμα η μεαβληή f ανικαθίσααι από ω ην (ή η πf από ην ω). Αυός είναι και ο λόγος που σις σειρές Fourier (όπου όλες οι ολοκληρώσεις π είναι χρονικές) οι μαθημαικές εκφράσεις παραμένουν αναλλοίωες με ην αλλαγή f ω και, απλώς, ω χρειάζεαι να γίνει η ανικαάσαση f. π Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.3
Παράδειγμα: Ο μεασχημαισμός Fourier ου ορθογωνικού παλμού p(t) είναι ο P(f) ο P(ω) πω sin( ) ω. Ο P(ω) μπορεί να προκύψει από ον P(f) αν εθεί f. πω π ο θεώρημα Parseval λαμβάνει η μορφή sin(πf) ή πf x (t).dt X(f).df π X(ω).dω (3.50) Παρακάω δίνοναι, ο πίνακας με ις ιδιόηες ου μεασχημαισμού Fourier καθώς και ο πίνακας με ους μεασχημαισμούς Fourier βασικών ηλεπικοινωνιακών σημάων σους οποίους, όμως, οι υπολογισμοί έχουν γίνει με χρήση ης κυκλικής συχνόηας ω (ανί για η συχνόηα f). Πεδίο χρόνου t Πεδίο συχνόηας ω x (t) + x (t) X (ω) + X (ω) X(t) π.x( ω) 3 x(ξ.t) ξ X( ω ) ξ x( t) X*(ω) 4 x(t ) Χ(ω).e j.ω. 5 x(t).cos(ω c t) 6 x(t).sin(ω c t) 7 n d x(t) n dt 8 [-,t] x(t).dt [X(ω+ωc ) + X(ω ω c )] [ X(ω+ωc ) + X(ω ω c )] j (jω) n.x(ω) X(ω) + π.x(0).δ(ω) jω 9 x ().x (t ).d X (ω).x (ω) Ιδιόηες μεασχημαισμού Fourier (με χρήση ης κυκλικής συχνόηας ω Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.4
x(t) δ(t) X(ω) π.δ( ω) π.δ(ω) 3 cos(πω c.t) [δ(ω+ωc ) + δ(ω ω c )] 4 sin(πω c.t) [ δ(ω+ωc ) + δ(ω ω c )] j 5 x(t) περιοδική Σ (, ) X n.δ(ω nω ) x(t) ΣX n.e j.nω.t 6 p(t) ω sin( ) ω 7 e q t ω.e qπ /4q Μεασχημαισμός Fourier βασικών ηλεπικοινωνιακών σημάων (με χρήση ης κυκλικής συχνόηας ω) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.5
3.4. Οι βασικές παράμεροι ων σημάων σο πεδίο ης συχνόηας 3.4.. Ενέργεια Ε και μέση ισχύς P Γενικά Για ον υπολογισμό, σο πεδίο ης συχνόηας f, ης ενέργειας Ε (για σήμαα ενέργειας) και ης μέσης ισχύος Ρ (για σήμαα ισχύος0 ενός σήμαος x(t) είναι απαραίηη η χρήση ου θεωρήμαος ου Parseval (σχέση (3.4)) Θεώρημα Parseval: x (t).dt X(f).df X(ω).dω (3.4) π Χρησιμοποιώνας ο παραπάνω θεώρημα, προκύπουν α εξής για ην ενέργεια Ε και η μέση ισχύ P: E x (t).dt X(f).df X(ω).dω (Joules) (3.5) π P lim (T ) x (t).dt lim T (T ) X(f).df lim T (T ) π T X(ω).dω (Watts) (3.5) Ειδικά για περιοδικά σήμαα (όπου ως εκλαμβάνεαι η πεπερασμένη περίοδος ου σήμαος) P T x (t).dt Σ X n o + Σ (n + B n ) (3.53) Φασμαική πυκνόηα ενέργειας - Φασμαική πυκνόηα ισχύος 6 Βάσει ης εξίσωσης (3.5), ισχύει όι X(f) de df X(ω) de π dω (3.54) οπόε η ποσόηα G E (f) X(f) (Joule/Hz) (3.55) χαρακηρίζεαι ως φασμαική πυκνόηα ενέργειας. Ανίσοιχα, η ποσόηα 6 Η φασμαικές πυκνόηες ενέργειας και ισχύος ορίζοναι, ανίσοιχα, για α σήμαα ενέργειας και ισχύος. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.6
G P (f) X(f) T dp df (Watt/Hz) (3.56) 7 αποελεί (με βάση και ην (3.5)) η φασμαική πυκνόηα ισχύος. Μεά ον ορισμό αυόν, η πλήρης σειρά εκφράσεων για ην ενέργεια Ε και η μέση ισχύ P (για σήμαα ενέργειας και ισχύος, ανίσοιχα) είναι οι εξής: Ε x (t).dt X(f).df X(ω).dω G Ε (f).df GΕ (ω).dω (3.57) π π P lim (T ) x (t).dt lim T (T ) X(f).df T lim (T ) π T X(ω).dω G P (f).df G P (ω).dω (3.58) π 3.4.. Εύρος ζώνης σήμαος Ως εύρος ζώνης (bandwidth) Β σήμαος, θεωρείαι ο εύρος συχνοήων σο οποίο είναι συγκενρωμένο ένα σημανικό ποσοσό ης ενέργειας ή ης ισχύος ου σήμαος (π.χ. άνω ου 90%). Με άλλα λόγια, ο εύρος ζώνης ορίζεαι «έμμεσα» με βάση ις σχέσεις (για σήμαα ενέργειας και ισχύος, ανίσοιχα) E Β ( Β,Β) X(f).df ( Β,Β) G E (f).df ε.e (3.59) P Β T ( Β,Β) X(f).df T ( Β,Β) G P (f).df ε.p (3.60) όπου Ε Β, P Β η ενέργεια ή η ισχύς που περιλαμβάνεαι ση ζώνη [ Β, Β], Ε και Ρ η συνολική ενέργεια και ισχύς (όπως δίνοναι από ις σχέσεις (3.57), (3.58)) και ε συνελεσής (συνήθως μεγαλύερος ου 0,9). Η ακριβής ιμή ου συνελεσή ε (σις σχέσεις (3.59) και (3.60)) καθορίζει ο βαθμό παραμόρφωσης ου σήμαος καά η μεάδοσή ου από ον πομπό σο δέκη (υπό ην έννοια όι υψηλή ιμή ου ε σημαίνει μεάδοση με ελάχιση παραμόρφωση). Όπως αναφέρθηκε και σην ενόηα.5, αν B channel είναι ο διαθέσιμο εύρος ζώνης ης «ηλεπικοινωνιακής διαδρομής» (καναλιού) και Β ο εύρος ζώνης ου σήμαος, θα πρέπει να ισχύει όι Β channel > B (3.6) 7 Η ανίσοιχη έκφραση με χρήση ης κυκλικής συχνόηας ω είναι: X(ω) dp (3.56.β) π dω Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.7
3.4.3. Συνέλιξη και συσχέιση σημάων Συνέλιξη σημάων Βασική ιδιόηα ης συνέλιξης είναι όι ο μεασχημαισμός Fourier είναι απλά ο γινόμενο ων μεασχημαισμών Fourier ων δύο επιμέρους σημάων. Δηλαδή αν s(t) x (t) x (t) ισχύει όι s(t) S(f) X (f).x (f) (3.6) Tο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης εμφανίζεαι πολύ συχνά ση μελέη ης διέλευσης σημάων από γραμμικά συσήμαα. ο γεγονός όι ο ολοκλήρωμα αυό μεαρέπεαι σε απλό γινόμενο (σο πεδίο ης συχνόηας) είναι ένας ακόμη λόγος για η μελέη ων σημάων σο πεδίο ης συχνόηας ανί για ο πεδίο ου χρόνου. Συσχέιση σημάων 8 Για ην εεροσυσχέιση σημάων μπορεί να αποδειχθεί όι r () R (f) lim (T ).X (f).x *(f) (3.63) T Για ην αυοσυσχέιση (όπου x (t) x (t) x(t)), προκύπει όι r() R(f) lim (T ).X(f).X*(f) lim(t ) Χ(f) G Ρ (f) (3.64) T T όπου G Ρ (f) είναι η πυκνόηα ισχύος ου σήμαος. 8 Οι σχέσεις που ακολουθούν αναφέροναι σε σήμαα ισχύος. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.8
3.5. Ανιπαραβολή ης σειράς και ου μεασχημαισμού Fourier Λαμβανομένης υπόψη και ης σχέσης (3.40) (εφαρμογή μεασχημαισμού Fourier σε περιοδικά σήμαα) μπορούν να γίνουν α παρακάω σχόλια αναφορικά με ην ανιπαραβολή ης σειράς και ου μεασχημαισμού Fourier: Η ανάπυξη σε σειρά Fourier μπορεί να εφαρμοσεί μόνο σε περιοδικά σήμαα ενώ ο μεασχημαισμός Fourier μπορεί να εφαρμοσεί όσο σε περιοδικά όσο και σε μη περιοδικά σήμαα. Ο μεασχημαισμός Fourier Χ(f) είναι συνάρηση ης συχνόηας f. Ανίθεα, η σειρά Fourier είναι συνάρηση ου χρόνου και, απλώς, συνισά εναλλακικό ρόπο έκφρασης ενός περιοδικού σήμαος (ο οποίος όμως αναδεικνύει ις αρμονικές ου συχνόηες με ους ανίσοιχους συνελεσές). όσο η σειρά όσο και ο μεασχημαισμός Fourier, εφαρμοζόμενα σε περιοδικά σήμαα, αναδεικνύουν (έσω και μέσω διαφορεικών μαθημαικών εκφράσεων) ους μιγαδικούς συνελεσές X n και ις διακριές συχνόηες nf o. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.9
3.6. Ασκήσεις Σις ασκήσεις που ακολουθούν, θα χρησιμοποιηθεί, επανειλημμένα, η αυόηα ου Euler e ±jθ cosθ ± jsinθ οι ισοδύναμες εκφράσεις e jθ -jθ e e jθ -jθ e cosθ sinθ j καθώς και σχέσεις που προκύπουν άμεσα από ην υπόψη αυόηα, όπως e ±jκπ cos(κπ) ± jsin(κπ) ± j.0 e ±j(κ+)π cos[(κ+)π] ± jsin[(κ+)π] ± j.0 e j(4κ+)π/ (4κ )π (4κ )π cos[ ] + jsin[ ] 0 + j. j e j(4κ+3)π/ (4κ 3)π (4κ 3)π cos[ ] + jsin[ ] 0 j. j (κ 0,,, ) Επίσης, η σχέση f ο T ( fο.t ) Άσκηση Δίνεαι ορθογωνική παλμοσειρά p T (t) με παλμούς διάρκειας, περιόδου και ύψους Α η οποία λαμβάνει ιμές 0 (απουσία παλμού) και Α (παρουσία παλμού). Η χρονική σιγμή t0 έχει επιλεγεί έσι ώσε η παλμοσειρά να παρουσιάζει άρια συμμερία (ο «κενρικός» παλμός υφίσααι για χρονικό διάσημα από έως + ) ενώ η περίοδος ης παλμοσειράς είναι ακέραιο πολλαπλάσιο ης διάρκειας ων παλμών. p T (t) / 0 / t (α) Να υπολογισούν οι συνελεσές n, B n (n 0) ης ριγωνομερικής σειράς Fourier. Ποια η ιμή ου συνελεσή 0 και ι εκφράζει; (β) Να υπολογισούν οι συνελεσές X n ης εκθεικής σειράς Fourier (n θεικό είε αρνηικό). Ποια η ιμή ου συνελεσή X 0 και ι εκφράζει; (γ) Να επαληθευεί η σχέση μεαξύ ων { n, B n } και {X n }. n Bn (δ) Να επαληθευεί η σχέση. X n. ι εκφράζουν α δύο μέλη ης σχέσης; Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.30
(ε) Να υπολογισεί ο δείκης Ν ου πρώου μηδενικού συνελεσή (X N 0) και να αποδειχθεί όι για ην ανίσοιχη συχνόηα f N ισχύει όι f N. (σ) Να υπολογισεί η μέση ισχύς Ρ ης παλμοσειράς. Λύση sin(nπ ) (α) Προκύπει 0, n και B n 0 (λόγω ης άριας μορφής ης nπ παλμοσειράς). Ο συνελεσής Α 0 εκφράζει η DC συνισώσα και η μέση ιμή ης παλμοσειράς. Σους υπολογισμούς που ακολουθούν, γίνεαι χρήση ης σχέσης f o T καθώς και ου γεγονόος όι ο σήμα, ενός μιας περιόδου, έχει μη μηδενική ιμή μόνο σο διάσημα [, + ]. (3..α) 0 T T x(t).dt T [-T/,T/] p T (t).dt T [-/,/] Α.dt T [t] [-/,/] (3..γ) n T [-T/,T/] p T (t).cos(π.nf o.t).dt T [-/,/].cos(π.nf o.t).dt [-/,/] cos(π.nf o.t).dt sin(π.nf o.t) [ T T π.nf o sin(π.nf o./) sin(π.nf o.(-/)) [ ] T π.nf o π.nf o sin(π.nf o.) sin(π.nf o.) sin(π.nf o.) [ ] T π.nf o π.nf o T π.nf o sin(nπ ) nπ (3..δ) B n 0 (λόγω ης άριας μορφής ης παλμοσειράς) ] [-/,/] (β) (ελευαίο παράδειγμα ης ενόηας 3..) sin(nπ ) Προκύπει όι Χ n n (οπόε Χ 0 Α0 ) nπ (γ) Δεδομένου όι B n 0 και Χ n n, οι σχέσεις (3.5) ισχύουν. Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.3
(δ) Δεδομένου όι B n 0 και Χ n n, η σχέση ισχύει. Και α δύο μέλη ης σχέσης εκφράζουν η μέση ισχύ ης αρμονικής n. (ε) Ν (βλ. και ελευαίο παράδειγμα ενόηας 3..). (σ) P T [ T/, T/] p T (t)dt T [ /, /] dt Άσκηση Δίνεαι ορθογωνική παλμοσειρά p T (t) με παλμούς διάρκειας, περιόδου και ύψους Α. Η χρονική σιγμή t0 αυίζεαι με ην εμφάνιση παλμού (η παλμοσειρά δεν είναι συμμερική και ο «βασικός» παλμός υφίσααι για χρονικό διάσημα από 0 έως ). p T (t) 0 t (α) Να υπολογισούν οι συνελεσές n, B n ης ριγωνομερικής σειράς Fourier. Ποια η ιμή ου συνελεσή 0 και ι εκφράζει; (β) Να υπολογισούν οι συνελεσές X n ης εκθεικής σειράς Fourier. (γ) Να επαληθευεί η σχέση μεαξύ ων n, B n και X n. n Bn (δ) Να επαληθευεί η σχέση X n. ι εκφράζουν α δύο μέλη ης σχέσης; (ε) Να υπολογισεί ο δείκης Ν ου πρώου μηδενικού συνελεσή (X N 0) και να αποδειχθεί όι Λύση για ην ανίσοιχη συχνόηα f N ισχύει όι f N. (α) Δεδομένου όι η παλμοσειρά δεν παρουσιάζει ούε άρια ούε περιή συμμερία, υπάρχουν όλοι οι συνελεσές n και Β n. Προκύπει όι sin(nπ ) - cos(nπ ) 0, n, B n. nπ nπ Ο συνελεσής Α 0 εκφράζει η DC συνισώσα και η μέση ιμή ης παλμοσειράς. (3..α) 0 T [0,T] x(t).dt T [0,].dt (3..γ) n T [0,T] p T (t).cos(π.nf o.t).dt T [0,].cos(π.nf o.t).dt Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.3
[0,] cos(π.nf o.t).dt sin(π.nf o.t) [ T T π.nf o sin(π.nf o.) sin(π.nf o.0) [ ] T π.nf o π.nf o sin(nπ ) (n,, ) nπ ] [0,] (3..δ) Β n T [0,T] p T (t).sin(π.nf o.t).dt T [0,].sin(π.nf o.t).dt [0,] sin(π.nf o.t).dt T - cos(π.nf o.) [ T π.nf o - cos(nπ ) nπ (β) Από η σχέση (3.6) προκύπει όι [ T sin(π.nf - cos(π.nf o ] π.nf o.0) π.nf o (n,, ) o.t) ] [0,] X n T T x(t).e j.π.nf o.t dt [-T/,T/] p T (t).e j.π.nf o t.dt [0,].e j.π.nf o t.dt [ T T T e jπnfot ] [0,] jπnf o jπnfo j0 e [ e cos(π.nf o.) - jsin(π.nf o.) - sin(π.nfo.) ] T jπnf o - jπ.nf o π.nfo. sin(nπ ) - cos(nπ ) - j nπ nπ Σους παραπάνω υπολογισμούς, έχει γίνει χρήση ων σχέσεων f o και e ±jθ cosθ ± jsinθ καθώς και ου γεγονόος όι ο σήμα, ενός μιας περιόδου, έχει μη μηδενική ιμή μόνο σο διάσημα [0, ]. sin(nπ ) - cos(nπ ) (γ) Χ n j n jbn nπ nπ (δ) Με βάση α αποελέσμαα ων (α) και (β), προκύπει όι Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.33
sin(nπ ) Χ n [ ] - cos(nπ ) + [ ] n Bn nπ nπ άρα η σχέση, όνως, ισχύει. Και α δύο μέλη ης σχέσης εκφράζουν η μέση ισχύ ης αρμονικής n. (ε) Ν T f N Nf o T T Άσκηση 3 Για ις παλμοσειρές ων παραπάνω ασκήσεων και : (α) Να ανιπαραβληθούν οι συνελεσές n, B n ων ανίσοιχων ριγωνομερικών σειρών n Bn Fourier και να επαληθευεί όι η έκφραση έχει ην ίδια ιμή και για ις δύο παλμοσειρές. Πώς ερμηνεύεαι ο αποέλεσμα; (β) Να ανιπαραβληθούν οι συνελεσές X n ων ανίσοιχων εκθεικών σειρών Fourier και να επαληθευεί όι η έκφραση X n έχει ην ίδια ιμή και για ις δύο παλμοσειρές. Πώς ερμηνεύεαι ο αποέλεσμα; Λύση n Bn Οι όροι και X n (που, σε κάθε περίπωση, είναι ίσοι μεαξύ ους) εκφράζουν (ο καθένας) η μέση ισχύ ης αρμονικής n ης εκάσοε παλμοσειράς. Δεδομένου όι οι παλμοσειρές ων ασκήσεων και είναι η μία χρονική μεαόπιση ης άλλης και επειδή η συνολική μέση ισχύς αλλά και η μέση ισχύς ων αρμονικών δεν επηρεάζοναι από η χρονική n Bn μεαόπιση ης παλμοσειράς, οι όροι και X n έχουν ην ίδια ιμή και για ις δύο παλμοσειρές. Άσκηση 4 Δίνεαι ορθογωνική παλμοσειρά p T (t) παρόμοια με αυήν ης άσκησης (παλμοί με ιμές 0 και Α, άρια συμμερία, ο «κενρικός» παλμός υφίσααι για χρονικό διάσημα από / έως +/) για ην οποία ισχύει όι. 4 Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.34
p T (t) / 0 / t (α) Χρησιμοποιώνας α αποελέσμαα ης άσκησης, να υπολογισούν οι συνελεσές n, B n ης ριγωνομερικής σειράς Fourier. Ποια η ιμή ου συνελεσή 0 και ι εκφράζει; (β) Χρησιμοποιώνας α αποελέσμαα ης άσκησης, να υπολογισούν οι συνελεσές X n ης εκθεικής σειράς Fourier. Ποια η ιμή ου συνελεσή X 0 και ι εκφράζει; (γ) Να υπολογισεί ο δείκης Ν ου πρώου μηδενικού συνελεσή (X N 0) και να αποδειχθεί όι για ην ανίσοιχη συχνόηα f N ισχύει όι f N. (δ) Να υπολογισεί η μέση ισχύς Ρ ης παλμοσειράς. (ε) Να υπολογισεί η μέση ισχύς P N που «μεαφέρουν» οι αρμονικές μέχρι ην εμφάνιση ου πρώου μηδενικού συνελεσή X N και να δοθεί ως ποσοσό ης (συνολικής) μέσης ισχύος Ρ ης παλμοσειράς. (σ) Η παλμοσειρά διέρχεαι από ιδανικό βαθυπεραό φίλρο με συχνόηα αποκοπής f c,5.f o. Να σχεδιασεί η κυμαομορφή εξόδου y(t) ου φίλρου και να ανιπαραβληθεί με ην παλμοσειρά. (ζ) Η παλμοσειρά διέρχεαι από ιδανικό βαθυπεραό φίλρο με συχνόηα αποκοπής f C 3,5f o. Να σχεδιασεί πρόχειρα η κυμαομορφή εξόδου ου φίλρου και να ανιπαραβληθεί με ην παλμοσειρά. Λύση (α) 0, 4 sin(nπ ) n 4 4 nπ 4 και B n 0 (λόγω ης άριας μορφής ης παλμοσειράς). Ο συνελεσής Α 0 εκφράζει η DC συνισώσα και η μέση ιμή ης παλμοσειράς. sin(nπ ) (β) Χ n 4 n 4 nπ 4 Χ 0 4 Α0 (εκφράζει η DC συνισώσα και η μέση ιμή ης παλμοσειράς) (γ) Θέονας X N 0 sin(nπ ) 0 Nπ π 4 4 Ν 4 f N N.f o. T (η σχέση f N ισχύει γενικά για ις παλμοσειρές, ανεξάρηα από ην ιμή ου Ν) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.35
(δ) P T [ T/, T/] p T (t)dt T [ /, /] dt 4 0,5 (ε) Υπολογίζοναι οι Χ 0, Χ, Χ, Χ 3 (Χ 4 0) Χ 0 4 0,5 sin(π ) Χ 4 4 4 π 4 π π 4 4 sin(π ) Χ 4 0,59 4 4 π 4 π π 4 sin(3π ) Χ 3 4 4 4 3π 4 3π 3π 4 4 P N Χ 0 + Χ + Χ + Χ 3 0,6 0,5 0,075 P N 0, 9 P 0, 5 0,9 (σ) Από ο φίλρο, διέρχοναι μόνο οι συνισώσες Χ 0 (DC) και Χ (θεμελιώδης αρμονική) y(t) X 0 + X e jπf ot + X e jπf ot X0 + X cos(πf o t) X 0 + X cos(πt/t) 0 + cos(πt/t) (X 0 0, Χ πραγμαικά οπόε X Χ /) (ζ) Από ο φίλρο, διέρχοναι οι συνισώσες Χ 0 (DC), Χ, Χ και Χ 3. Η σχεδίαση ης κυμαομορφής εξόδου y(t) απαιεί η χρήση υπολογισή, ωσόσο θα μοιάζει σην ορθογωνική παλμοσειρά με η διαφορά όι, ανί για η σαθερή ιμη Α, θα υπάρχει κυμάωση ενώ η μεάπωση από ην ιμή Α σην ιμή 0 θα γίνεαι προδευικά (και όχι απόομα). Άσκηση 5 Δίνεαι ορθογωνική παλμοσειρά p T (t) παρόμοια με αυήν ης άσκησης (παλμοί με ιμές 0 και Α, άρια συμμερία, ο «κενρικός» παλμός υφίσααι για χρονικό διάσημα από / έως +/) για ην οποία ισχύει όι ). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.36
p T (t) / 0 / t (α) Χρησιμοποιώνας α αποελέσμαα ης άσκησης, να υπολογισούν οι συνελεσές n, B n ης ριγωνομερικής σειράς Fourier. Ποια η ιμή ου συνελεσή 0 και ι εκφράζει; (β) Χρησιμοποιώνας α αποελέσμαα ης άσκησης, να υπολογισούν οι συνελεσές X n ης εκθεικής σειράς Fourier. Ποια η ιμή ου συνελεσή X 0 και ι εκφράζει; (γ) Να υπολογισεί ο δείκης Ν ου πρώου μηδενικού συνελεσή (X N 0) και να αποδειχθεί όι για ην ανίσοιχη συχνόηα f N ισχύει όι f N. (δ) Να υπολογισεί η μέση ισχύς Ρ ης παλμοσειράς. (ε) Να υπολογισεί η μέση ισχύς P N που «μεαφέρουν» οι αρμονικές μέχρι ην εμφάνιση ου πρώου μηδενικού συνελεσή X N και να δοθεί ως ποσοσό ης (συνολικής) μέσης ισχύος Ρ ης παλμοσειράς. Λύση (α) 0, sin(nπ ) n nπ και B n 0 (λόγω ης άριας μορφής ης παλμοσειράς). Ο συνελεσής Α 0 εκφράζει η DC συνισώσα και η μέση ιμή ης παλμοσειράς. sin(nπ ) (β) Χ n n nπ Χ 0 Α0 (εκφράζει η DC συνισώσα και η μέση ιμή ης παλμοσειράς) (γ) Θέονας X N 0 sin(nπ ) 0 Nπ π Ν f N N.f o. T (η συγκεκριμένη ιδιόηα ης f N ισχύει γενικά για ις παλμοσειρές, ανεξάρηα από ην ιμή ου Ν) (δ) P 0, 5 (ε) Υπολογίζοναι οι Χ 0 και Χ (Χ 0) Χ 0 0,5 Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.37
sin(π ) Χ π π P N Χ 0 + Χ 0,45 π 0,38 P N 0, 45 P 0, 5 0,9 Άσκηση 6 Δίνεαι ορθογωνική παλμοσειρά π T (t) διάρκειας, περιόδου ( ) και ύψους Α η οποία λαμβάνει ιμές Α/ (αρνηικός παλμός) και +Α/ (θεικός παλμός). Η χρονική σιγμή t0 έχει επιλεγεί έσι ώσε η παλμοσειρά να παρουσιάζει άρια συμμερία (ο «βασικός» παλμός υφίσααι για χρονικό διάσημα από από έως + ). (α) Να υπολογισούν οι συνελεσές X n ης εκθεικής σειράς Fourier. (β) Οι συνελεσές X n να συγκριθούν με αυούς ης παλμοσειράς ης άσκησης 5. Πώς ερμηνεύεαι ο αποέλεσμα; / π T (t) / 0 / t Α/ Λύση sin(nπ ) sin(nπ ) (α) Χ n, Χ 0 0 nπ nπ (β) Με εξαίρεση ο συνελεσή Χ 0 (DC συνισώσα), οι συνελεσές ης παλμοσειρά π T (t) αυίζοναι με αυούς ης p T (t). Ο λόγος είναι όι π T (t) p T (t) Α, δηλαδή η πt (t) έχει Α προέλθει από ην p T (t) με αφαίρεση, απλώς, ης DC συνισώσας. Η αφαίρεση αυή επηρεάζει μεν η DC συνισώσα (η οποία και μηδενίζεαι) αφήνει, όμως, ανεπηρέασες ις υπόλοιπες αρμονικές. Άσκηση 7 Να αναλυθεί σε εκθεική σειρά Fourier, ο ημιανορθωμένο σήμα Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.38
x(t) c.cos(π.f c.t) (για 0 t c ) x(t) 0 (για c t T c ) όπου f c και c είναι η συχνόηα και η περίοδος ου αρχικού ημιονοειδούς σήμαος c(t) c.cos(π.f c.t). f c Λύση X n X n [0,Tc/] x(t).e j.π.nf c t dt T c [0,Tc/] c.cos(π.f c.t).e j.π.nf c t dt T c c [0,Tc/] [e j.π.f c.t + e j.π.f c.t ].e j.π.nf c t dt T c c [0,Tc/] [e j.π.(f c nf c ).t + e j.π.( f c nf c ).t ].dt Tc c [0,Tc/] e j.π.(f c nf c ).t dt + c [0,Tc/] e j.π.( f c nf c ).t.dt Tc Tc Ση συνέχεια, θεωρούναι οι υποπεριπώσεις n 0 Χ 0 c [0,Tc/] e j.π.f c.t dt + c [0,Tc/] e j.π.( f c ).t Α.dt c Tc Tc π (όπου γίνεαι χρήση ων σχέσεων f c c και e ±jπ ) Α n ± Χ c 4 (όπου γίνεαι χρήση ων σχέσεων f c c και e ±jπ 0) n ±, ±4, Χ n n ±3, ±5, Χ n 0 n (n -) Α c π Άσκηση 8 Περιοδική κυμαομορφή x(t) αναλύεαι σε εκθεική σειρά Fourier και, καά ην ανάλυση, προκύπει όι οι μόνοι «σημανικοί» συνελεσές είναι οι X 0 5, X +j και X j (οι ανίσοιχες αρμονικές μεαφέρουν ο 90% ης ισχύος ης κυμαομορφής). (α) H κυμαομορφή x(t) να γραφεί ως εκθεική σειρά Fourier. (β) H κυμαομορφή x(t) να γραφεί ως ριγωνομερική σειρά Fourier. (γ) Να υπολογισεί η μέση ισχύς Ρ ης x(t). Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.39
Λύση (α) (3.3) x(t) Σ (,+) X n.e j.π.nf o.t με n,, 0, +, + και Χ n X n * Άρα x(t) (+j).e j.π.f o.t + ( j).e j.π.fo.t + 5+ (+j).e j.π.fo.t + ( j).e j.π.fo.t (β) Με χρήση ης αυόηας ου Euler e ±j.π.nf o.t cos(π.nfo.t) ± j.sin(π.nf o.t) προκύπει όι x(t) (+j).[cos(π.f o.t) jsin(π.f o.t)] + ( j).[cos(π.f o.t) jsin(π.f o.t)] + 5 + (+j).[cos(π.f o.t) + jsin(π.f o.t)] + ( j).[cos(π.f o.t) + jsin(π.f o.t)] οπόε, με αλγεβρικές πράξεις, προκύπει όι x(t) 5 + cos(π.f o.t) 4sin(π.f o.t) + 4cos(π.f o.t) + sin(π.f o.t) (γ) P Χ 0 + Χ + Χ 45 W Άσκηση 9 Να υπολογισεί o μεασχημαισμός Fourier ου σήμαος x(t) x(t) 3/ / / 3/ t Λύση x(t) p(t+) + p(t ) Συνεπώς, Χ(f) P(f).e jπf. + P(f).e jπf. P(f){e jπf. + e jπf. } sin(πf) P(f)..cos(πf.) [. ]..cos(πf.) πf Άσκηση 0 Να υπολογισεί o μεασχημαισμός Fourier ου σήμαος x(t) x(t) / / t Λύση Α Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.40
x(t) p(t + 4 ) p(t 4 ) Συνεπώς, Χ(f) P(f).e jπf.(/4) P(f).e jπf.( /4) P(f)[e jπf.(/4) e jπf.( /4) ] πf πf sin sin πf P(f).j.sin( ). πf j.sin( ) j πf πf Από ην παραπάνω σχέση, προκύπει όι Χ(0) X( ) 0. Πράγμαι, από η φασμαική αναπαράσαση, φαίνεαι όι ο μεασχημαισμός Fourier X(f) εκείνεαι από f 0 έως f (εύρος ζώνης Β, διπλάσιο ου ορθογωνικού παλμού) ενώ παρουσιάζει μέγισο για f Β (και όχι για f 0 όπως ο ορθογωνικός παλμός). Σχόλιο: To βασικό πλεονέκημα ου σήμαος είναι όι η ισχύς ου είναι «συγκενρωμένη» γύρω από η συχνόηα Β και όχι γύρω από ην f 0 (DC) όπως η ισχύς ου ορθογωνικού παλμού. Εκμεάλλευση ου πλεονεκήμαος αυού γίνεαι ση μεάδοση ψηφιακών σημάων μέσω μεαλλικών καλωδίων, επειδή α καλώδια αυά προκαλούν ισχυρή εξασθένηση σε μηδενικές και πολύ χαμηλές συχνόηες (έως και κάποιες δεκάδες Hz). Μειονέκημα ου σήμαος είναι όι ο εύρος ζώνης ου είναι διπλάσιο από αυό ου ορθογωνικού παλμού (βλ. ενόηα 7.4). Άσκηση Να υπολογισεί o μεασχημαισμός Fourier Q(f) ου ριγωνικού σήμαος q(t) ου σχήμαος. x(t) Χ(f) -/ / -/ / q(t) + t t ( / < t < 0) (0 < t < /) Γερ. Κ. Παγιαάκης: ηλεπικοινωνιακά Συσήμαα 3.4