Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Πίεση P() Σήµα εικόνας y I ( y, y ) Λαµπρότητα Σεισµικά σήµατα y Ιατρικά σήµατα... Ένα σήµα µεταφέρει ενέργεια ισχύ και µηνύµατα - πληροφορία.
Φάση s( ) si ( ω + ϕ) s() T s ) si( ϕ ) ( Πλάτος Volsή mpers Κυκλική συχνότητα rad sec Αρχική φάση Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας η περισσοτέρων () ω π Συχνότητα ανεξαρτήτων µεταβλητών. Με άλλα λόγια ένα σήµα είναι µία συνάρτηση. Η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι συνήθως ο χρόνος, ή οποία µπορεί να έχει και άλλη φυσική σηµασία. Με () συµβολίζεται η τιµή του σήµατος τη χρονική στιγµή. rad Hz π T Περίοδος sec Εισαγωγή -
Σήµα -Πληροφορία Πληροφορία δεν υπάρχει χωρίς ένα σήµα που την αντιπροσωπεύει. Η πληροφορία κωδικοποιείται σε ένα σήµα τροποποιώντας τη δοµή του σήµατος. Η διαδικασία µε την οποία η πληροφορία κωδικοποιείται σε ένα σήµα λέγεται διαµόρφωση (modulaio). s( ) si (π + ϕ) Φέρον σήµα Πλάτος Συχνότητα Αρχική φάση ιαµόρφωση πλάτους (ΑΜ) ιαµόρφωση συχνότητας (FΜ) ιαµόρφωση φάσης (PΜ) Η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας m(), για να µεταβάλλει κατά τρόπο συστηµατικό το πλάτος, τη συχνότητα, ή τη φάση ενός ηµιτονοειδούς φέροντος. Εισαγωγή -3
Είσοδος Τι είναι σύστηµα; Έξοδος ( ) y( ) Σχηµατικήπεριγραφήτουσυστήµατος S. Ως σύστηµα ορίζουµε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήµα () έχει ως αποτέλεσµα ένα άλλο τροποποιηµένο συνήθως σήµα y(). Η δράση ενός συστήµατος περιγράφεται σχηµατικά Σύστηµα S όπου () είναι το σήµα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήµατος και y() η έξοδος τουσυστήµατος. Ένα σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µετασχηµατισµός µεταξύ σηµάτων y ( ) S ( ) Εισαγωγή -4
Παλµοκωδική ιαµόρφωση (PCM) Η παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulaio (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC M ειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 8 9 3 3 4 5 6 7 8 9 3 3 Εισαγωγή -5
Φάση s( ) si ( Ω + ) θ s() N s ) si( θ ) ( Πλάτος Volsή mpers Κυκλική συχνότητα rad Αρχική φάση rad Ω π F Συχνότητα π N Περίοδος Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας η περισσοτέρων ανεξαρτήτων µεταβλητών. Με άλλα λόγια ένα σήµα είναι µία συνάρτηση. () Με () συµβολίζεταιητιµήτουσήµατοςτηχρονικήστιγµή T. Εισαγωγή -6
Το µιγαδικό εκθετικό σήµα s jθ ( ) c e όπου και s σ + j c c e ω Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου σ είναι R e{ ( ) } c cos( ω + θ) σ R e{ ( ) } c e cos( ω + θ) σ R e{ ( ) } c e cos( ω + θ) σ Η περιβάλλουσα c e σ c είναι σταθερή σ > Η περιβάλλουσα c e σ αυξάνεται εκθετικά σ < Η περιβάλλουσα c e σ µειώνεται εκθετικά Εισαγωγή -7
Το µιγαδικό εκθετικό σήµα διακριτού χρόνου ( ) c a όπου c c e jθ και a a e jω Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α είναι Re{ ( ) } c a Re{ ( ) } c a a < < a Εισαγωγή -8
Μετατροπές σηµάτων ως προς το χρόνο ( ) ( ),, αλλιώς 6 4 4 6 8 Ανάκλαση: y() (-) y ( ) y ( ),, αλλιώς 6 4 4 6 8 Χρονικήµετατόπιση: z() (-3) z ( ) z ( ) 3, 3 5, αλλιώς 6 4 4 6 8 Αποδεκάτισηστοχρόνο: r() () r ( ) r ( ),, αλλιώς 6 4 4 6 8 Εισαγωγή -9
Ενεργειακά σήµατα - σήµατα ισχύος Ηενέργεια E τουσήµατος ()δίνεταιαπότησχέση E lim + T T T ( ) d Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήµα αν < E < Η ενέργεια διακριτού σήµατος δίνεται από τη σχέση E ( ) Εισαγωγή -
Ηµέσηισχύς P τουσήµατος ()δίνεταιαπότησχέση P lim T T + T T ( ) d Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως σήµα ισχύος αν < P < Αν το σήµα είναι περιοδικό τότε P T T ( ) d Η µέση ισχύς διακριτού σήµατος δίνεται από τη σχέση P N N ( ) Εισαγωγή -
() R B i () dy( ) C y () N k Γ a k d k y ( ) d k M k b k ( ) ( ) RC + y d Η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου () και του σήµατος εξόδου y() ενός συστήµατος περιγράφεταιαπόµίαδιαφορικήεξίσωσηµεσταθερούςσυντελεστές. h () d k ( ) Η κρουστική απόκριση h() είναι η έξοδος του συστήµατος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτησηδ(), δηλαδή h() S[δ()]. δ () y Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από διαφορικές εξισώσεις ( ) ( ) δ ( ) y ( ) h( ) Η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου () και του σήµατος εξόδου y() του συστήµατος περιγράφεται µε το ολοκλήρωµα της συνέλιξης. ( ) h ( ) ( τ ) h ( τ ) dτ h ( τ ) ( τ ) dτ d k h( ) Εισαγωγή -
Η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου () και του σήµατος εξόδου y() ενός ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου περιγράφεται από µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής Η κρουστική απόκριση h() είναι η έξοδος του συστήµατος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(), δηλαδή h() S[δ()]. δ () y Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών ( ) () y () b N k -a a k z ( ) δ ( ) h () y ( ) h( ) Η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου () και του σήµατος εξόδου y() του συστήµατος περιγράφεται µε το άθροισµα της συνέλιξης. ( ) h ( ) y( k) k k M k b k ( k ) ( k) y ( ) a y( ) b ( ) h ( k ) µε a k k h() h ( k ) ( k ) Εισαγωγή -3
Ευστάθεια Μία από τις σηµαντικότερες έννοιες στην θεωρία συστηµάτων είναι αυτή της ευστάθειας. () () y() y() Στο σύστηµα το σφαιρίδιο ισορροπεί και αν εφαρµοστεί µία µικρή οριζόντια δύναµη για µικρό χρονικό διάστηµα θα µετακινηθεί λίγο και θα επανέλθει στην αρχική του θέση µετά από κάποιες ταλαντώσεις (το σύστηµα θεωρείται πραγµατικό και παρουσιάζει τριβές). Πρόκειται για ένα ευσταθές σύστηµα. Στο σύστηµα το σφαιρίδιο ισορροπεί αλλά αν µετακινηθεί λίγο λόγω µικρής και περιορισµένης διάρκειας οριζόντιας δύναµης, θα κυλίσει προς τα κάτω και δεν πρόκειται ποτέ να επανέλθει στην αρχική του θέση, κατάσταση που εκφράζει ότι το σύστηµα είναι ασταθές. Παρατηρήστε ότι η απόκριση, η κατακόρυφη θέση, θα αυξάνει µε το χρόνο χωρίς περιορισµό. () Στο σύστηµα µία µικρή και περιορισµένης διάρκειας οριζόντια δύναµη θα µετακινήσει λίγο το σφαιρίδιο, το οποίο θα παραµείνει εκεί που θα πάει, όπου έχει την ίδια απόκριση (κατακόρυφη θέση). Η κατάσταση αυτή αδιάφορης ισορροπίας, εκφράζει την οριακή ευστάθεια. Εισαγωγή -4
Ευστάθεια Ένα σύστηµα λέγετε ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγµένης Εισόδου Φραγµένης Εξόδου) (Bouded Ipu Bouded Oupu (BIBO) sable) αν και µόνον αν για κάθε φραγµένη είσοδοηέξοδόςτουπαραµένειφραγµένη. Φραγµένη Εισόδος ( ) M Ευσταθές σύστηµα Σύστηµα ευσταθές. Φραγµένη Εξόδος y ( ) M Φραγµένη Εισόδος ( ) M Μη ευσταθές σύστηµα Σύστηµα µη ευσταθές Μη φραγµένη Εξόδος Εισαγωγή -5
Πλάτος Φάση Περιγραφή σήµατος στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας ( π ) ( ) aσυν π a a π T Πλάτος a 3 Πλάτος 3 Φάση π Φάση 3 a 3 T 3 ( π 3 ) ( ) aσυν π ( ) ( ) + ( ) a 3 a 3 3 π T Εισαγωγή -6
Περιγραφή συστήµατος στο πεδίο συχνότητας ( ) e j ( ω +ϕ) H (ω ) y ) H ( ω ) e ( j ( ω + ϕ) Η συνάρτηση H(ω) είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier της h() και αποτελεί την Απόκριση συχνότητας του συστήµατος. Η απόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ω και γενικά έχει τη µορφή H( ) H( ) e j arg H ( ω) ω ω Η φυσική σηµασία της απόκρισης συχνότητας, H( ω), αναδεικνύεται από το σχήµα συν ( π + θ ) H ( ) Απόκριση πλάτους Απόκριση φάσης ( ) συν( π +θ H( )) H + γων Συχνά χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα για τη συχνότητα, και ως µονάδα µέτρου το decibel (db). Η κλίµακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db log H( ω) Εισαγωγή -7
y ( π + ) ( ) συν π Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν 5 Hz. ( π + ) ( ) συν π 4 T H ( ) arg H ( ) y ( π + ) ( ) συν π 4 Το σήµα εισόδου (). π π Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν Hz. y ( ) συν π ( ) Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν 5 Hz. Εισαγωγή -8
Ιδανικά φίλτρα Ανάλογα µε τη ζώνη διέλευσής τους, τα φίλτρα διακρίνονται σε: H ( ) H ( ) διέλευσης c αποκοπής αποκοπής c διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H ( ) H ( ) αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή -9
Πραγµατικά φίλτρα H ( ) LPF H ( ) HPF διέλευσης c αποκοπής Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής c διέλευσης Πραγµατικό υψιπερατό φίλτρο Στησυχνότητα c ηοποίαχαρακτηρίζεταιωςσυχνότητα 3dBηαπόκρισηπλάτους τουσυστήµατοςείναιίσηµετο / τηςµεγίστηςτιµήςτης. H ( ) ΒPF H ( ) ΒRF αποκοπής διέλευσης Πραγµατικό ζωνοπερατό φίλτρο αποκοπής διέλευσης αποκοπής Πραγµατικό ζωνοφρακτικό φίλτρο διέλευσης Εισαγωγή -
Περιγραφή συστήµατος διακριτού χρόνου στο πεδίο συχνότητας jω ( ) e H (Ω) jω y ) H ( Ω ) e ( Η συνάρτηση Η(Ω) είναι ο ιακριτός µετασχηµατισµός Fourier της h() και ονοµάζεται Απόκριση συχνότητας του συστήµατος διακριτού χρόνου. Η απόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της διακριτής συχνότητας Ω και γενικά έχει τη µορφή H jarg H( Ω) ( Ω) H( Ω) e Η φυσική σηµασία της απόκρισης συχνότητας, H( Ω), αναδεικνύεται από το σχήµα ( Ω +φ) ( ) cos H (Ω) y Απόκριση Απόκριση πλάτους φάσης ( ) H ( Ω) cos Ω+ φ+ arg H ( Ω ( )) Εισαγωγή -
( ) cos (,5π ) H,8 e ( Ω) j Ω [,5π ( 3,4) ] y ( ) 4,9 cos Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος για Ω,5π είναι H,8e ( Ω) j Ω H,8e (,5π) j, 5π j,5377 4,9e () 4 Σήµα εισόδου y() 4 3,4 4 4,9 Σήµα εξόδου 4 Εισαγωγή -