ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου (ΘΕΩΡΙΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ) και των χρόνων των επαναληπτικών του Ιουλίου (ΘΕΩΡΙΑ) σε συνδιασμό με την εξεταστέα ύλη με μια διαφορετική παρουσίαση. Περιέχει Μόνο την εξεταστέα ύλη από το σχολ. βιβ. έκδοσης 03-04 πάνω στην οποία έχουμε τονίσει με χρώμα τα τμήματα που ζητήθηκαν στις Πανελλήνιες εξετασεις ( αναγράφοντας τις χρονιές) οπότε με ένα ξεφύλισμα έχετε πλήρη εικόνα για τις απαιτήσεις των εξετάσεων όσον αφορά την θεωρία. Επίσης Έχει δοθεί όλη η θεωρία κανονικών και επαναληπτικων εξετασεων καθώς και όλες οι ερωτήσεις σωστό-λάθος ανα κεφάλαιο (με τις σωστες απαντήσεις) για να είναι πιο εύκολος ο ελεγχος και η αξιολόγηση της προσπάθειας του μαθητή από τον ίδιο ή τον καθηγητή του ή και τρίτων προσώπων (που συμπάσχουν και συμπαρίστανται στον αγώνα του). Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Πρώτα εμπεδώνουμε πλήρως τα θέματα των προηγούμενων χρόνων (ΜΑΙΟΥ) γιατί για προφανείς λόγους εδώ περιέχονται τα πλέον ουσιοδέστερα της εξεταστέας ύλης.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Μιγαδικοί Αριθμοί. Η Εννοια του Μιγαδικού Αριθμού. Πράξεις στο Σύνολο των Μιγαδικών.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού Β' ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Όριο-συνέχεια συνάρτησης. Πραγματικοί Αριθμοί. Συναρτήσεις.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση.4 Όριο συνάρτησης στο x 0.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια".6 Μη πεπερασμένο όριο στο x 0.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο.8 Συνέχεια συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Διαφορικός Λογισμός. Η έννοια της παραγώγου.. Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση..3 Κανόνες παραγώγισης..4 Ρυθμός μεταβολής..5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού..6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής..7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης..8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους)..9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l Hospital..0 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o Oλοκληρωτικός Λογισμός 3. Αρχική συνάρτηση-παράγουσα 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα 3.5. Η συνάρτηση F(x) = α x f(t)dt 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ σελ. 5-69 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ σελ. 70-90 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ 000-03 σελ. 9-5 ΚΛΙΜΑΚΩΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ 009 έως 03 ΒΑΘΜΟΣ 009 00 0 0 03 ΘΕΤΙΚΗ 8-0 6,50 4,3,09 9,79,47 ΤΕΧN 8-0 7,8 6,6 3,04,47 0,65 ΘΕΤΙΚΗ 5-7,9 0,46 5,08 7,98 8,5 4,6 ΤΕΧN 5-7,9 8,9,36 6,6 6, 4,55 ΘΕΤΙΚΗ -4,9 4,60 7,93 0,4 9,30,4 ΤΕΧN -4,9 9,44,53 9,89 9,3 8,88 ΘΕΤΙΚΗ 0-,9 7,37 7,35,55,79 3,65 ΤΕΧN 0-,9 6,7 8,3 8,5 8,6 7,86 ΘΕΤΙΚΗ 5-9,9 6,44,9,4 4,4 7,59 ΤΕΧΝ 5-9,9,0 0,3 4,6 8,5 6,68 ΘΕΤΙΚΗ 0-4,9 4,60,48 7,80 6,44 0,3 ΤΕΧΝ 0-4,9 45,07 4,0 48,37 45,56 5,35
5 o ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο R, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i =, Κάθε στοιχείο του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή =α +βi, όπου α,β R. O α λέγεται πραγματικό μέρος του και σημειώνεται Re(), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του και σημειώνεται lm(). Eπίσης κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α+0i, ενώ κάθε φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως 0+βi. Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών Ισχύει: Eπειδή 0 = 0 + 0i, έχουμε α +βi = γ + δi α = γ και β = δ α +βi = 0 α = 0 και β=0 Σ-Λ ΕΠ.008 Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών Κάθε μιγαδικό αριθμό α+βi μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο Μ(α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου. Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο Μ(α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α+βi. Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού y O M( ( ) x
α+βi. Αν θέσουμε = α +βi, τότε το σημείο συμβολίζουμε Μ(). 6 Μ (α, β) μπορούμε να το Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο. Ο άξονας x x λέγεται πραγματικός άξονας αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία Μ (α, 0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α= α+0i, ενώ ο άξονας y y λέγεται φανταστικός άξονας αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία Μ(0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών βi=0+βi. Ένας μιγαδικός = α+βi παριστάνεται επίσης με τη διανυσματική ακτίνα ΟΜ του σημείου Μ (α, β).. ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α +βi και γ + δi έχουμε: (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i. Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δi από τον α +βi, έχουμε: (α + βi) (γ + δi) = (α γ) + (β δ)i. Αν M(α,β) και M(γ,δ) είναι οι εικόνες των α +βi και γ + δi αντιστοίχως στο y ) μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα M ) (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i παριστάνεται με το σημείο O M x M(α + γ, β + δ). Επομένως, OM = OM + OM, δηλαδή: Σ-Λ 004-ΕΠ.0 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.
7 Επίσης, η διαφορά (α + βi) (γ + δi) = (α γ) + (β δ)i παριστάνεται με το σημείο N(α γ, β δ). Επομένως, ON = OM OM, δηλαδή: y O M 3 ( _ M ) M _ x Σ-Λ 00 Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α +βi και γ + δi έχουμε: (α+βi)(γ+δi) =α(γ+δi)+βi(γ+δi)=αγ+αδi+βγi+βiδi= = αγ + αδi +βγi +βδi = αγ + αδi +βγi βδ = (αγ β δ) + (αδ +βγ)i. Δηλαδή, (α + βi)(γ + δi) = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i. Ειδικότερα, έχουμε: Ο αριθμός α βi (α + βi)(α βi) = α + β λέγεται συζυγής του α +βi και συμβολίζεται με α +βi. Δηλαδή, α +βi = α βi Επειδή είναι και α βi = α +βi, οι α +βi, α βi μιγαδικοί. Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο α +βi γ + δi λέγονται συζυγείς, όπου γ + δi 0, στη μορφή κ + λi, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: α +βi (α +βi)(γ δi) (αγ +βδ) + (βγ αδ)i αγ +βδ βγ αδ = = = + i. γ+δi (γ+δi)(γ δi) γ +δ γ +δ γ +δ Δύναμη Μιγαδικού Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών. Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του i έχουμε: 0 3 i =, i = i, i =, i = i i = i
Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι: 4 5 4 6 4 7 4 3 3 i =i i =, i =i i= i=i, i =i i = i =, i =i i = i = i 8 4 ν δηλαδή, μετά το i οι τιμές του i επαναλαμβάνονται. Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i, γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή ν = 4ρ + υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε: ν 4ρ+υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i =i =i i =(i ) i = i =i = Ιδιότητες Συζυγών Σ-Λ 0-ΕΠ.005 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(α,β) και M(α, β) δύο συζυγών μιγαδικών =α +βi και =α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς =α +βi και =α βi μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι:, αν υ = 0 i, αν υ =, αν υ = i, αν υ = 3 +=α =βi Σ-Λ ΕΠ. 0 Αν =α +βi και = γ + δi είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:. + = +. = = 3. 4. = Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων. Για παράδειγμα έχουμε: + =(α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i. y O M () _ M ) x
9 =(α + γ) (β + δ)i = (α βi) + (γ δi) = +. Οι παραπάνω ιδιότητες και 3 ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς. Είναι δηλαδή: + +...+ ν = + +...+ ν... ν =... ν Ιδιαίτερα, αν είναι = =...= ν =,. τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ν ν ( ) = () Σ-Λ ΕΠ. 009 Επίλυση της Εξίσωσης α + β + γ = 0 με α, β, γ R και α 0 β± Δ = Δ>0. Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:, α β Δ=0. Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: = α Δ ( )( Δ) i ( Δ) i Δ Δ<0 Tότε, επειδή = = =, 4α 4α (α) α β i Δ η εξίσωση γράφεται: + =. Άρα οι λύσεις της είναι: α α β±i Δ, = οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Σ - Λ 008 α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ β γ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: + = και =. α α.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω M(x, y) η εικόνα του μιγαδικού = x + yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή = ΟΜ = x + y y y O x M(x,y) x Αν = x + yi, τότε = x yi και = x yi.
0 Eπομένως, Αν, Σ-Λ 00-003-ΕΠ.03 Σ-Λ 00-ΕΠ. 00 = = είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε Πράγματι, έχουμε: 00-007 και Σ-Λ 009 = = = = = ( )( ) = = και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα. Γενικά, αποδεικνύεται ότι... ν =... ν και ειδικότερα ν ν = Σ - Λ 006 Τέλος, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος + και της διαφοράς δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: Ισχύει: + + Σ-Λ ΕΠ.006-ΕΠ.003 Σ-Λ ΕΠ.004-ΕΠ.005 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. δηλαδή = (M M ) Σ-Λ 03 Γενικά, η εξίσωση 0 = ρ, ρ > 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ( 0) και ακτίνα ρ. Γενικά, η εξίσωση = παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία Α( ) και Β( ).
5 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 000-03 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ 34 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 ΘΕΩΡΙΑ. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,. Να αποδείξετε ότι: = Μονάδες 8 007 Μονάδες 7,5 00. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει =, να δείξετε ότι = Μονάδες 5 00 Ερωτησεις σωστο-λαθος 0 7 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Μονάδες η κάθε μία 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζουμε 0 = Σωστό 0 4. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Σωστό 00 5. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Σωστό 004 ΕΠ. 0
5 6. Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Σωστό 0 ΕΠ. 005 7. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει = Σωστό 009 8. Αν ένας μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε ισχύει == Σωστό 003 ΕΠ. 03 9. Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης α +β+γ=0 με α,β,γ IR και α 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών. Λάθος 008 0. Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει: α. = β. = γ. = δ. = ε. i = Σ-Λ-Λ-Σ-Σ 00. Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει Λάθος 006 =.. Η εξίσωση 0 = ρ, ρ > 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K ( 0 ) και ακτίνα ρ, όπου, 0 μιγαδικοί αριθμοί. Λάθος 03 3. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi=0 α=0 ή β=0 Λάθος ΕΠ. 008 4. Για κάθε μιγαδικό αριθμό = α + βi, α, β R ισχύει =β Λάθος ΕΠ. 0 5. Για κάθε C ισχύει = Σωστό ΕΠ. 00
53 6. Αν είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ν ( ) = ( ) ν Σωστό ΕΠ. 009 7. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα + + Σωστό ΕΠ. 003 8. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: + Σωστό ΕΠ. 006 9. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. Σωστό ΕΠ. 004 ΕΠ. 005 0..Αν = 3 + 4 i και = 3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α Στήλη Β. α. 4. 3. β. γ. 5 4. δ. 5 5. i ε. στ. 5 ζ. 0 Μονάδες 7,5 00
70 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ 000-03 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Β 00. Έστω ένας μιγαδικός αριθμός και f(ν) = i ν, ν IN*. α. Να δείξετε ότι f(3)+f(8)+f(3)+f(8)=0.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί όπου είναι ο συζυγής του. α. Να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ Β 003 =α+βi, όπου α,β IR και w=3 i +4, Re(w)=3α β+4, Ιm(w)=3β α. Μονάδες 6 β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ B 005 3. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 =3. 9 α. Δείξτε ότι: = Μονάδες 7 β. Δείξτε ότι ο αριθμός γ. Δείξτε ότι: + είναι πραγματικός. Μονάδες 9 + + 3 = + 3 +3. Μονάδες 9 3
7 ΘΕΜΑ B 007 4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός +αi = με α R. α + i α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 9 β. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο +αi = α + i για α = 0 και α= αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. Μονάδες 8 ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει ν ( ) ( ) ν = για κάθε φυσικό αριθμό ν. ΘΕΜΑ Β 008 5. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν τότε να βρείτε: (i + ) = 6 και w ( i) = w (3 3i) Μονάδες 8 α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Μονάδες 6 β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w Μονάδες 7 γ. την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6 δ. την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6
7 ΘΕΜΑ Β 009 6. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =(λ+)+(λ )i, λ R Α. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ R. Μονάδες 9 β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 = i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Μονάδες 8 Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w + w = 0 όπου 0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. 7. Δίνεται η εξίσωση ΘΕΜΑ Β 00 + = όπου με 0 Μονάδες 8 B. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης. Μονάδες 7 B. Να αποδείξετε ότι 00 00 =0 Μονάδες 6 B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w 4 + 3i = τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 7 B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι: 3 w 7 Μονάδες 5
73 ΘΕΜΑ Β 0 8. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 3i + + 3i = και w = 3i + 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών B. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 + 3i = Μονάδες 4 3i B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι: w Μονάδες 8 B4. Να αποδείξετε ότι: w= Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Β 0 9. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: + + =4 () w 5 w = () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. Μονάδες 6 B. Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με =, τότε να βρείτε το + Μονάδες 7 Β.3 Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών x y αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση + = και στη 9 4 συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Μονάδες 6 B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: w 4 Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Β 03 0. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: ( )( )+ =. 74 B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών, είναι κύκλος με κέντρο K(,0) και ακτίνα ρ =. (μονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι 3. (μονάδες 3) Μονάδες 8 B. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ = 0, με w μιγαδικό αριθμό, β,γ R, και Im( ) Im( ) = τότε να αποδείξετε ότι: β = 4 και γ = 5 Μονάδες 9 B3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α o, α, α οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: 3 v +αv +αv+α 0 =0 τότε να αποδείξετε ότι: v <4 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ 006. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,,3με α. Να αποδείξετε ότι: = = 3 = και + + 3 =0 i. =3 = 3. Μονάδες 9 ii. 4 και Re( ) Μονάδες 8 β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,,3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. Μονάδες 8
9 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 000-03 ν *. Είναι f ( ν ) = i, N, όπου ένας μιγαδικός αριθμός. οπότε 3 8 4 + 0 0 3 4 + 3 f ( 3) = i = i, f( 8) = i = i = i =, ( ) f 8 = i = i = i =. 8 4.4+ και ( ) f 3 = i = i = i Άρα f ( 3) + f ( 8) + f ( 3) + f ( 8) = i + + i = 0. α. Είναι =α +βi, οπότε =α βi α, β R. Άρα w=3 i+4=3( α +βi) i( α βi ) + 4 = ( 3α β + 4 ) + ( 3β α) i, οπότε Re( w ) = 3α β+4 και ( ) β. Έστω w = x + yi, με x,y R, οπότε ισχύει y = x () Αλλά από το προηγούμενο ερώτημα είναι x = 3α β+ 4 και y= 3β α, άρα η σχέση () γίνεται : 3β α= 3α β+ 4 4β 4α= 8 β=α Im w = 3β α y O M B(0, _ ) y=x _ A(,0) x δηλαδή οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y= x γ. Οι εικόνες των μιγαδικών =α +βi είναι σημεία της ευθείας με εξίσωση ε:y=x. Επειδή ως μέτρο μιγαδικού αριθμού ορίζουμε την απόσταση της εικόνας του από το O(0,0), ελάχιστο μέτρο θα έχει ο μιγαδικός που έχει εικόνα το σημείο τομής της ευθείας (ε) και μιας ευθείας (δ), η οποία είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται από το O(0,0). Η ευθεία (δ) εφόσον διέρχεται από το O(0,0) έχει εξίσωση δ : y = λx και επειδή είναι κάθετη στην ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης δ : y = x. λ=, οπότε έχει εξίσωση Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείο τομής των δυο αυτών ευθειών (ε) και (δ) επιλύουμε το παρακάτω σύστημα:
9 y= x x = x x = y= x y= x y= Άρα σημείο τομής είναι το σημείο Μ(, ), οπότε ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι ο = i. 3. α. Είναι: 9 =9 =9 = β. Για να δείξουμε ότι ο αριθμός + αρκεί να δείξουμε ότι + = + Πράγματι είναι : είναι πραγματικός,. 9 9 9 9 + = + = + = + = = + 9 9 9 9 (α). γ. Έχουμε: (α) 9 9 9 + + 3 = + + 3 = + + 3 = + + = 3 + + + + 3 3 3 3 =9 + + =9 =9 = 3 3 3 3 3 3 3 9 = + + = + + 7 3
93 4. α. Είναι +αi 4+α = = = α + i α +4 Άρα η εικόνα του ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ=. β. i. Για α=0 είναι = = = i και για i i + i α=είναι = = + i οπότε η ζητούμενη απόσταση των εικόνων τους είναι: = i = + i = y O _ M( ) N() x ii. Είναι ( ) ν ( ) v που ισχύει. = ( i) =( ) i =( ) ( ) =( ) v v v v v v 5. α. Είναι ( i+ ) = 6 i+ = 6 3 = 6 = Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ=. β. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος (ε) του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με A(, ) και B(3, 3). Η μεσοκάθετος διέρχεται από το μέσον Μ(, ) του ΑΒ και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= y O _ 3 _ 4 3 4 A M B y=x _ 4 x (γιατί ε ΑΒ λε λ ΑΒ = λ ( ) = λ = ε ε οπότε η εξίσωσή της είναι: ε:y=x 4 x y 4=0
94 γ. Η ελάχιστη τιμή του w είναι : 0 0 4 4 w = d(o,ε) = = = min + δ. Η ελάχιστη τιμή του w είναι w = d(o, ε) ρ= min 6. Α.α. Είναι x = Re() = λ+, οπότε απαλείφοντας το λ ( αφαιρώντας κατά μέλη ) y = Im() = λ προκύπτει ότι x y =. Άρα η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι ε:x y = 0 Β. Αν Μ(x,y) η εικόνα του μιγαδικού τότε επειδή το μέτρο είναι η απόσταση του Ο(0,0) από το σημείο Μ της ευθείας (ε), η απόσταση αυτή γίνεται ελάχιστη όταν η ΟΜ είναι κάθετη στην (ε). Αλλά η ΟΜ έχει εξίσωση της μορφής y = λx αφού διέρχεται από το Ο με λ= αφού OM (ε) και ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι λε =. Άρα η ΟΜ έχει εξίσωση y = x. y O A(,0) M B(0, _ ) y=x y=x _ x Λύνοντας το σύστημα x y = 0 y = x οπότε ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο Β. Αν w=α+βi α,β R βρίσκουμε x = και y = = i 0 αντικαθιστώντας στην δοσμένη εξίσωση παίρνουμε + + = + = α + β + α βi = i β= β= α β α α α 0 Άρα ( α = 3 ή α = 4) και β =, οπότε οι ζητούμενοι μιγαδικοί w είναι οι w = 3+ i και w = 4 + i
95 7. B. Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα + = 0. Έχει διακρίνουσα = 4 και ρίζες = + i και = i B. Είναι ( ) = + i = + i + i = i και ομοίως = i. Άρα + = (i) + ( i) = i i = 0. 00 00 005 005 005 005 005 005 B3. Είναι w 4 + 3i = + i + i w 4 + 3i = i = w ( 4 3i) = y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(4,-3) και ακτίνα. O _ 3 3 A 4 K x B4. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε : B w 4 + 3i 4 3i w 4 + 3i + 4 3i w 4 + 3i + 4 3i οπότε είναι 5 w + 5, άρα 3 w 7 8. Β. Έστω = x+ yi, x,y R. Τότε : = x+ yi 3i + + 3i = x + yi 3i + x yi + 3i = ( ) ( ) ( ) x+ y 3 i + x y 3 i = x + y 3 = ( ) ( ) + = x + y 3 = x y 3 οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 3) και ακτίνα ρ=. Β. Έχουμε:
96 ( )( ) ( )( ) 3i = 3i = 3i 3i = 3i 3i = + = + 3i = 3i ( 3i)( 3i) ( ) Β3. Η σχέση w= 3i+ λόγω της σχέσης () που αποδείχθηκε στο 3i προηγούμενο ερώτημα Β. γίνεται: ( ) w = 3i + w 3i 3i 3i = + +, οπότε w = + w = x R. Επειδή όμως η εικόνα του κινείται στον κύκλο του Β ερωτήματος ισχύει: Β4. Είναι : ( ) ( ) y 3 0 x + y 3 = x x x x w= + w= x x w ( ) w = + = = = =, 9. Β. Α τρόπος Έστω = x+ yi, x,y R.Τότε : + + = x + yi + x + yi + = x + yi + x + + yi =( ) ( ) Οπότε η σχέση () γίνεται : x + y + x+ + y = x + y +. x + y + = 4 x + y =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) και ακτίνα ρ=.
97 Β. Β τρόπος ( )( ) ( )( ) + + = 4 + + + = 4 + + + + + = 4 + = 4 = = = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων O( 0,0) και ακτίνα ρ =. Β. Εχουμε = =. Οπότε : Όμοια ( ) = = ( )( ) = + = + = + = + = 0 + = + + + = + + 0= Επομένως + = Β3. Έστω w = x+ yi, x,y R, τότε η δοθείσα σχέση () γίνεται : w 5w = x + yi 5( x yi) = x + yi 5x + 5yi = x y x y x y 4x+ 6yi = + i = + = + = 3 3 9 4 (4) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η έλλειψη με κορυφές τα σημεία A 3,0,A 3,0,B 0,,B 0, ( ) ( ) ( ) ( ) μεγάλο άξονα ( ΑΑ ) = α = 6 και μικρό άξονα ( ΒΒ ) = β = 4. Είναι γνωστό από Β Λυκείου ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης ισχύει ότι β ( ΜΟ) α, οπότε w 3. Επομένως για w = i ή w = i έχουμε ότι y B A _ 3 O _ B w = και για w = 3και w = 3 έχουμε w = 3 min max M A 3 x
98 Β4. Προκύπτει εύκολα από το προηγούμενο σχήμα στο οποίο τοποθετήσαμε τον κύκλο του Β..ερωτήματος ή και με τριγωνική ανισότητα w + ( w) + w ή w w + w ή w + 3 ή w 4 0. Β. Η σχέση που μας δίνεται γράφεται ισοδύναμα: ( )( ) ( )( ) + = + = + =. Η τελευταία σχέση είναι τριώνυμο ως προς απορρίπτεται και. Eπομένως είναι =. y, με ρίζες, η οποία Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ (,0) και ακτίνα ρ=. O K M 3 x Η ανισότητα 3 που ζητείται να δειχθεί, μπορεί να αποδειχθεί με πολλούς τρόπους : Εφαρμόζοντας τριγωνική ανισότητα έχουμε : = ( ) + + = + = 3 Επειδή το είναι η απόσταση της εικόνας M( ) από το O( 0,0 ), ζητείται να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση είναι ίση με 3. Πράγματι η μέγιστη απόσταση ισούται με το άθροισμα OK + ρ= + = 3 όπου K (,0) το κέντρο του κύκλου και ρ= η ακτίνα του. Το πιο απομακρυσμένο σημείο αυτού του κύκλου από την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Μ ( 3,0), άρα ΟΜ 3.
Β. Επειδή το τριώνυμο 99 w +βw + γ = 0 έχει πραγματικούς συντελεστές, οι ρίζες του και είναι μιγαδικοί συζυγείς, άρα =. Δηλαδή αν = x+ yi, τότε = x yi. Επομένως Im( ) Im( ) = y+ y = y = y =±, οπότε από την εξίσωση του κύκλου προκύπτει ( ) Άρα τελικά έχουμε = + i και = i Από τους τύπους Vieta έχουμε τώρα ότι 4 x + = x = =γ γ= + i i = i = 5. + = β β= και ( )( ) Β3. Η δοσμένη σχέση γράφεται: ( ) ν + α ν +α v+α =0 v = α v +α v+α 3 3 0 0 v = α v +α v+α α v + α v + α 3 0 0 Όμως οι μιγαδικοί α, α και α0 ανήκουν στον παραπάνω κύκλο, άρα το μέτρο τους δεν υπερβαίνει τον αριθμό 3. Συνεπώς έχουμε: 3 0 3 3 ( )( ) 3 v α v +α v+α 3v + 3v+ 3 v 3v 3v 3 0 v 3v 3v 3 0< v 3v 3v 4< 0 v 4 v + v + < 0 v < 4 αφού η παράσταση v + v + είναι θετική.. α. i. Είναι + + 3 = 0 = 3 (). Οπότε : () = + + = + = + 3 3 3 3 3 3 ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 + = + + + = + + 4+ 3+ 3+ 33 = + 3 + 3+ 433 3 = 333 3 = 3 =, που ισχύει. 3 3