3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην ράγρφο είδμε ότι, ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι f ( γι κάθε [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της f, τις ευθείες =, = κι τον άξον (Σχ 6) είνι E ( Ω) f ( d = O =f( Ω = 6 7 Γι ράδειγμ, το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f ( =, τον άξον κι τις ευθείες =, = (Σχ 7) είνι ίσο με O d = / d = / = Έστω, τώρ, δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, ] με f ( g( γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες = κι = (Σχ 8) =f( =f( 8 Ω =g( =g( Ω Ω O () O () O (γ) Πρτηρούμε ότι Εομένως, ( f ( d d = ( f ( Ε Ω) = Ε( Ω ) Ε( Ω ) = g( ) d E ( Ω) ( f ( ) d () =

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γι ράδειγμ, το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( = + κι = 9 g ( = (Σχ 9) είνι ίσο με: = E ( Ω) [ f ( ] d = ( + ) d Ω = + 9 = + = Ο τύος () ρέθηκε με την ροϋόθεση ότι: (i) f ( g( γι κάθε [, ] κι (ii) οι f, g είνι μη ρνητικές στο [, ] O Θ οδείξουμε, τώρ, ότι ο τύος () ισχύει κι χωρίς την υόθεση (ii) Πράγμτι, εειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ], θ υάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε f ( + c g( + c, γι κάθε [, ] Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (Σχ ) έχει το ίδιο εμδόν με το χωρίο Ω (Σχ ) =f(+c Ω =f( Ω O =g( () Εομένως, σύμφων με τον τύο (), έχουμε: =g(+c O () Άρ, [( f ( + c) ( g( + c)] d = ( f ( Ε ( Ω) = Ε( Ω ) = g( ) d E ( Ω) ( f ( ) d =

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Με τη οήθει του ροηγούμενου τύου μορούμε ν υολογίσουμε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τον άξον, τη γρφική ράστση μις συνάρτησης g, με g ( γι κάθε [, ] κι τις ευθείες = κι = (Σχ ) Πράγμτι, εειδή ο άξονς είνι η γρφική ράστση της συνάρτησης f ( =, έχουμε E ( Ω) ( f ( g ( ) d = [ g ( ] d = d = Εομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g ( γι κάθε [, ], τότε O Ω =g( E ( Ω) = g( d Γι ράδειγμ, το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της g( = κι τον άξον (Σχ ) είνι ίσο με E ( Ω) = ( ) d = ( ) d - O Ω = + = = - Ότν η διφορά f ( δεν διτηρεί στθερό ρόσημο στο [, ], όως στο Σχήμ, τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες = κι = είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων Ω, Ω κι Ω Δηλδή, O Ω γ =g( =f( Ω Ω δ Ε( Ω) = Ε( Ω ) + Ε( Ω ) + Ε( Ω ) = γ ( f ( ) d ( g ( f ( ) d + ( f ( ) d + δ γ ( d + f ( d + f ( = γ γ δ f g( d δ δ

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εομένως, = f ( d E ( Ω) f ( d = - - Ο Γι ράδειγμ, ς υολογίσουμε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( =, g ( = κι τις ευθείες =, = (Σχ ) Αρχικά ρίσκουμε τις ρίζες κι το ρόσημο της διφοράς f ( στο διάστημ [,] Εειδή f ( = = ( ) = ( )( + ), έχουμε τον κόλουθο ίνκ: = = f ( + Λμάνοντς, τώρ, υόψη τον ράνω ίνκ, έχουμε = E ( Ω) f ( = ( g( f ( ) d + ( f ( ) d + ( g( f ( ) d = ) d + ( d + ( ( ) d = + + = ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με τ ράνω το είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων ου ρίσκοντι άνω ό τον άξον μείον το άθροισμ των εμδών των χωρίων ου ρίσκοντι κάτω ό τον άξον (Σχ 5) f ( d Ο a 5 + + ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 N ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( = ημ, g( = συν κι τις ευθείες = κι ΛΥΣΗ = Αρχικά ρίσκουμε τις ρίζες κι το ρόσημο της διφοράς f ( στο διάστημ [, ] Στο διάστημ υτό έχουμε f ( = g( ημ = συν εφ = Ο / =ημ =συν 5/ 6 = ή 5 = Εομένως, γι το ρόσημο της διφοράς κόλουθο ίνκ: f ( = ημ συν έχουμε τον - 5 f ( + Λμάνοντς, τώρ, υόψη τον ίνκ υτόν, έχουμε Ε( Ω) = f ( d = / ( ημ + συν d + (ημ συν d + ( ημ + 5 / / 5 / = [ συν + ημ] + ημ / 5 / + [ συν ημ] / + [ συν ] 5 / = + + + = συν d Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f ( = ln, τον άξον των κι την εφτομένη της στο σημείο ΛΥΣΗ A (,) C f

6 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ στο ση- Η εξίσωση της εφτομένης της μείο A(,) είνι C f 7 ε: = f ( )( ) () Εειδή f ( = (ln =, έχουμε Εομένως, η () γράφετι: = ( ) = f ( ) = Το ζητούμενο εμδόν Ε είνι ίσο με το εμδόν του τριγώνου μείον το εμδόν του χωρίου ου ορίζετι ό τη τον άξον κι τις ευθείες = κι E = =, δηλδή ε Ο =ln d ln d = [ ln ] d = [ ln ] + [ ] = Ν υολογιστεί το εμδόν Ε του κυκλικού δίσκου + = ρ C f ΛΥΣΗ Το ημικύκλιο συνάρτησης C f ( = + είνι γρφική ράστση της ρ φού γι > είνι Αν E = ρ, [ ρ, ρ], = ρ είνι το εμδόν του ημικυκλίου, τότε E = E Εειδή f ( γι κάθε [ ρ, ρ], έχουμε ρ E ρ ρ Ο ρ = ρ (c ) (c ) 8 ρ Ε = ρ ρ d () Εειδή ώστε ρ ρ, έχουμε Εομένως, υάρχει θ ρ, τέτοιο,

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 = ημθ () ρ Έτσι, έχουμε = ρημθ, θ,, οότε d = ρσυνθdθ Ειλέον, γι = ρ είνι θ = κι γι = ρ είνι θ = Εομένως, / Ε = = ρ ρ ημ θ ρσυνθdθ ρ ημ θ συνθdθ / / / / / / / = ρ συν θ συνθdθ = ρ συν θdθ (Εειδή συν θ > ) / / + συνθ θ ημθ ρ = ρ dθ = ρ / + = / Άρ Ε = Ε = ρ Με τον ίδιο τρόο οδεικνύουμε ότι το εμδόν της έλλειψης + = ίσο με είνι ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( = +, τις ευθείες =, = κι του άξον των N υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f, τον άξον των κι τις ευθείες ου δίνοντι κάθε φορά: i) f ( =, =, = 7 ii) ( =, =, συν f = N υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( = κι τον άξον των

8 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ N υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( = κι g( = 5 Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( = κι την ευθεί = Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω η συνάρτηση f ( = i) Ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης της στο σημείο της A(, ) ii) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f, την εφτομένη της στο Α κι τον άξον των N υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της κι τον άξον των C f +, < f ( =, τις ευθείες =,, = N ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική +, < ράστση της συνάρτησης f ( = κι τον άξον + 5, των Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( = κι g ( = + 5 i) N υολογίσετε το εμδόν, E(λ), του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( =, g( = ln, τον άξον των κι την ευθεί = λ, λ >

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 ii) N ρείτε το όριο lim Ε( λ) λ + = = 6 N υολογίσετε το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διλνού σχήμτος = Ο 7 Ν υολογίσετε το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διλνού σχήμτος A = + Ο = 8 Δίνετι η συνάρτηση f ( = ημ i) Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτομένων της C στ σημεί O(, ) f κι A(, ) O(,) A(,) ii) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f κι τις εφτόμενες στ σημεί Ο κι Α 9 i) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( =, την εφτόμενή της στο σημείο (,) κι τον άξον των

5 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii) Ν ρείτε την ευθεί ισεμδικά χωρί =, η οοί χωρίζει το χωρίο υτό σε δύο Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( = ln, g( = ln κι την ευθεί = ln i) N ρείτε συνάρτηση f της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό το σημείο A (, ) κι η κλίση της στο σημείο M (, f ( ) είνι ii) Ποιο είνι το εμδόν του χωρίου ου ορίζουν η των Έστω η συνάρτηση f ( = ( )( ) C f κι ο άξονς i) Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτομένων της γρφικής ράστσης της f στ σημεί Α, Β ου η C f τέμνει τον άξον των C f ii) Αν Γ είνι το σημείο τομής των εφτομένων, ν οδείξετε ότι η χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρί ου ο λόγος των εμδών τους είνι ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ i) Ν χρησιμοοιήσετε την ντικτάστση u = γι ν οδείξετε ότι f ( ημ d = f (ημ d ii) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ημ + d ημ / i) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 ii) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ / / ημ Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ du ( u + )( u + ) κι στη συνέχει τ ολοκληρώμτ: d συν i) d (ημ + )(ημ + ) ii) d ( + )( + ) ν+ t Αν I ν = dt, ν, + t i) Ν υολογίσετε το άθροισμ I ν + Ι ν+, ν ii) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ,, I I I 5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, ν οδείξετε ότι u f u)( u) du = f ( t) dt ( du 6 Δίνετι η συνάρτηση = F( f ( t) dt, όου f ( t) = u du i) Ν ρείτε το εδίο ορισμού των συνρτήσεων f κι F ii) Ν οδείξετε ότι η F είνι γνησίως ύξουσ κι κυρτή 7 Δίνοντι τ ολοκληρώμτ = t F( συν tdt κι = t G( ημ tdt, i) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ F ( + G( κι F( G( κι στη συνέχει τ ολοκληρώμτ F ( κι G( ii) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ I = t t συν tdt κι J ημ tdt = t

5 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Το χωρίο ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( = + κι την ευθεί = 5 χωρίζετι ό την ευθεί = +, >, σε δύο ισεμδικά χωρί Ν ρείτε την τιμή του 9 i) Ν ρεθεί το εμδόν Ε(λ) του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης κι τις ευθείες =, = λ, λ > ii) Ν ρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε iii) N ρεθούν τ lim E( λ) κι lim E( λ) λ λ + f ( =, τον άξον των Ε ( λ) = Έστω f, g δύο συνρτήσεις συνεχείς στο [, ] Ν οδείξετε ότι: i) Αν f ( g( γι κάθε [, ], τότε f ( d g( d ii) Αν m η ελάχιστη κι Μ η μέγιστη τιμή της f στο m ( ) f ( d M ( ) iii) Με τη οήθει της νισότητς [, ], τότε εφ > γι κάθε,, ν ημ οδείξετε ότι η συνάρτηση f ( =,, είνι γνησίως φθίνουσ κι στη συνέχει ν οδείξετε ότι: ) ημ γι κάθε, κι 6 / ημ ) d / 6 iv) N οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο + [, + ) γι κάθε f ( = κι στη συνέχει, με τη οήθει της νισότητς, ν οδείξετε ότι: ) γι κάθε [,] κι ) d

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι Σε κθεμιά ό τις ρκάτω εριτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την άντησή σς Ισχύει ( f ( + g( ) d = f ( d + g( d Α Ψ Ισχύει f ( g( d = f ( d g( d Α Ψ Αν =, τότε f ( d = Α Ψ Αν f ( d =, τότε κτ νάγκη θ είνι f ( = γι κάθε [, ] Α Ψ 5 Αν f ( γι κάθε [, ], τότε f ( d Α Ψ 6 Αν f ( d, τότε κτ νάγκη θ είνι f ( γι κάθε [, ] Α Ψ 7 ( + ) d < ( + + ) d, γι κάθε / / > Α Ψ 8 ln( ημ d = ln συνd Α Ψ 9 f ( d = f ( f ( d Α Ψ ln d = ln dt Α Ψ t

5 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Aν ( f ( ) d = τότε f = Α Ψ Αν f ( d =, τότε f ( ξ ) = γι κάοιο ξ (, ) Α Ψ Αν f ( d = κι η f δεν είνι ντού μηδέν στο [, ], τότε η f ίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές Α Ψ Το ολοκλήρωμ ( d ριστάνει το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( = κι τον άξον των Α Ψ ΙΙ Σε κθεμιά ό τις ρκάτω εριτώσεις ν κυκλώσετε τη σωστή άντηση Αν f ( = ημ κι f ( ) =, τότε το f () ισούτι με Α), Β), Γ), Δ) To ολοκλήρωμ d στο (, + ) είνι ίσο με Α) ln( ) + c, Β) Γ) ln( ) + c, Δ) ln( ) + c, ln( ) + c Το ολοκλήρωμ d στο (, + ) είνι ίσο με Α) + c, Β) +, ( ln Γ) + c, Δ) + c,

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 55 Ε) + + c Το ολοκλήρωμ d είνι ίσο με 5 Α), Β), Γ), Δ), Ε) 5 Το ολοκλήρωμ ln d είνι ίσο με Α) c +, Β) ln + c, Γ) (ln ) ln, Δ) + c 6 Έστω f, g δυο ργωγίσιμες συνρτήσεις με συνεχείς ργώγους στο [, ] Αν f ( g( γι κάθε [, ], τότε κτ νάγκη θ ισχύει: Α) f ( g (, [, ], Β) ( d f g( d Γ) f ( d g( d, [, ], Δ) f ( d g( d 7 Το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διλνού σχήμτος είνι ίσο με - O 5 5 5 Α) f ( d, Β) f ( d 5 Γ) ( d f ( d, Δ) f ( d + f ( d f 8 Aν f ( = g ( γι κάθε [,] κι f ( ) = g() +, τότε γι κάθε [,] ισχύει: Α) f ( = g(, Β) ( f ( ) d = Γ) f ( g(, [,] Δ) Οι C, C έχουν κοινό σημείο στο [,] f g 5

56 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Έστω η συνάρτηση F( = f ( t) dt όου f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Τότε η F () είνι ίση με C f Α), Β), Γ), Δ) O Έστω η συνάρτηση f του διλνού σχήμτος Aν E ( Ω ) =, Ε Ω ) = κι Ε( Ω ) = τότε το ( f ( d είνι ίσο με O γ δ Ω Ω Ω Α) 6, Β), Γ), Δ), Ε) Έστω η συνάρτηση F( = f ( t) dt, όου f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Τότε Α) F ( =, O, < Β) F( =,,, <, < Γ) F( =, Δ) F( =,, ΙΙΙ Ποιο ό τ ρκάτω σχήμτ ντιροσωεύει τη γρφική ράστση μις λύσης της διφορικής εξίσωσης =, με, > O O O (Α) (Β) (Γ)

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 57 O O (Δ) (Ε) Ποι ό τ ρκάτω ολοκληρώμτ είνι κλώς ορισμέν; Α) d, Β), Γ) ημ / d εφ d Δ) ln d, Ε) d, Δ) d + Ν εντοίσετε το λάθος στις ρκάτω ράξεις: Άρ d + = d d ( d = = d = d = + d, οότε =! Ν εντοίσετε το λάθος στις ρκάτω ράξεις I = d = + = Αρ + u + u u du du = I (Θέσμε = οότε d = ) u u du I = I οότε I = Αυτό, όμως, είνι άτοο, φού = > I d, +

58 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ εειδή + > 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση F( = f ( t) dt, γι κάθε [,] όου f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Ν συμληρώσετε τ ρκάτω κενά O C f 6 F () F = F() =, F() =, F(6) = =, (),

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 59 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Αρχική συνάρτηση - Αόριστο ολοκλήρωμ Η υτονόητη σημσί των ρολημάτων ου συνδέοντι με τον υολογισμό εμδών κι οι ιδιίτερες δυσκολίες ου ρουσιάζουν, οδήγησν τους μθημτικούς ό την ρχιότητ στην εινόηση γενικών μεθόδων μέτρησης εμδών, ιδιίτερ ειφνειών ου ερικλείοντι ό κμύλες Κθοριστική στο ζήτημ υτό υήρξε η συμολή των ρχίων Ελλήνων κι ιδιίτερ του Αρχιμήδη Οι ιδέες του Αρχιμήδη άνω στο ρόλημ του εμδού υήρξν η φετηρί της δημιουργίς του σύγχρονου ολοκληρωτικού λογισμού Χρκτηριστικό ράδειγμ οτελεί ο τρόος υολογισμού του εμδού μις ειφάνεις ου ερικλείετι ό έν τμήμ ρολής κι έν ευθύγρμμο τμήμ (ρολικό χωρίο) Έστω έν ρολικό χωρίο με άση ΑΒ κι κορυφή Ο (το σημείο της ρολής ου έχει τη μέγιστη όστση ό τη άση) Ο Αρχιμήδης, φέρνοντς τις χορδές ΟΑ κι ΟΒ, δημιουργεί δυο νέ ρολικά χωρί με άσεις ΟΑ, ΟΒ κι κορυφές, O O ντίστοιχ Στη συνέχει, χρησιμοοιώντς γεωμετρικές ιδιότητες της ρολής, οδεικνύει ότι γι τ εμδά των τριών τριγώνων OAB, AO κι BO ισχύει η σχέση O O A O ( O O OAB ) = [( O AO) + ( O BO)] () Συνεχίζοντς την ίδι διδικσί στ νέ ρολικά χωρί, ρίσκει ότι κι ( O O AO) = [( O AO ) + ( O O )] () ( O BO) = [( O5OO) + ( O6 BO )] () Με τον τρόο υτό, το εμδόν Ε του ρολικού χωρίου μορεί ν ροσεγγιστεί ( εξντληθεί ) ό έν άθροισμ εμδών εγγεγρμμένων τριγώνων ως εξής: E = OAB) + [( O AO ) + ( O O O)] + [( OAO ) + ( O O )] + ( O O O 5 + [( O 5OO) + ( O6 BO )] +L O O 6 B

6 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ = ( OAB ) + ( OAB) + ( O AO) + ( O BO) +L = ( OAB ) + ( OAB) + [( O AO) + ( O BO)] +L = ( OAB ) + ( OAB) + ( OAB) +L Όως είνι φνερό, ρόκειτι γι το άθροισμ των (είρων) όρων μις φθίνουσς γεωμετρικής ροόδου με ρώτο όρο το = (ΟΑΒ ) κι λόγο λ = Το άθροισμ υτό δίνετι σήμερ ό το γνωστό τύο ( ΟΑΒ) = = ( ΟΑΒ) λ Το εμδόν λοιόν του ρολικού χωρίου είνι ίσο με τ του εμδού του τριγώνου ου ορίζουν τ άκρ της άσης κι η κορυφή της ρολής (*) Όως στ ρολήμτ κροτάτων κι εφτομένων έτσι κι στο ρόλημ του εμδού, οι ιδέες των ρχίων Ελλήνων γνώρισν ρέρ εξέλιξη μετά την νάτυξη της Άλγερς κι την εφρμογή της σε γεωμετρικά ρολήμτ Στη διάρκει του 7ου ιών διιστώθηκε ότι ο υολογισμός των εμδών μορεί ν γίνει με μι διδικσί ντίστροφη ρος υτήν της ργώγισης Ορισμένο ολοκλήρωμ - Η έννοι του εμδού Χρκτηριστικό ράδειγμ της νές μεθόδου ντιμετώισης ρολημάτων υολογισμού εμδών κτά τον 7ο ιών οτελεί ο τρόος με τον οοίο ο J Wallis νκάλυψε το 655 μι νέ νλυτική έκφρση γι το εμδόν του κύκλου κι τον ριθμό (*) Η διτύωση στο έργο του Αρχιμήδη Τετργωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής είνι: ν τμάμ εριεχόμενον υό ευθείς κι ορθογωνίου κώνου τομάς είτριτον εστι του τριγώνου του άσιν έχοντος τν υτάν κι ύψος ίσον τω τμάμτι Ο Αρχιμήδης στην ργμτικότητ εργάστηκε λίγο διφορετικά οφεύγοντς την έννοι του είρου, χρησιμοοίησε εερσμένο λήθος όρων του ράνω θροίσμτος κι έδειξε ότι το ζητούμενο εμδό ισούτι με ( ΟΑΒ ) οκλείοντς (με γωγή σε άτοο) τις εριτώσεις ν είνι μεγλύτερο ή μικρότερο ό υτό

OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Ο Wallis θεώρησε έν ημικύκλιο διμέτρου M Λ ΑΒ = R, χώρισε την κτίν του ΟΒ σε ίσ τμήμτ μήκους κι ό κάθε σημείο διίρεσης ύψωσε μι κάθετη (λ σχήμ) Όως είνι Δ Ζ Η γνωστό ό την Ευκλείδει γεωμετρί, κάθε A R O Γ Ε Θ B μι ό υτές τις κάθετες είνι μέση νάλογη των δύο τμημάτων στ οοί χωρίζει τη διάμετρο ΑΒ Πχ, γι την κάθετη ΓΔ, ου είνι ύψος ρος την υοτείνουσ του ορθογωνίου τριγώνου ΔΑΒ, ισχύει ΓΔ = ΑΓ ΓΒ = R ( R + )( R ) = δηλ ΓΔ = R Όμοι ροκύτει ΕΖ = R, ΗΘ = R 9 κοκ Αφού υολόγισε με τον τρόο υτό όλες τις (εερσμένου λήθους) κάθετες ου εξντλούν το τετρτημόριο ΟΜΒ, ο Wallis ργμτοοίησε μι μετάση στο άειρο με τον εξής συλλογισμό: Ο λόγος του θροίσμτος όλων υτών των κθέτων ρος το άθροισμ των μεγίστων τιμών τους (δηλ των κτίνων) είνι ίδιος με το λόγο του τετρτημορίου (το οοίο εξντλούν υτές οι κάθετες) ρος το τετράγωνο με λευρά την κτίν (δηλ το τετράγωνο ΟΜΛΒ, το οοίο εξντλούν οι - κτίνες-ροεκτάσεις των κθέτων) Διτυωμένο σε συμολική γλώσσ, το συμέρσμ υτό του Wallis γίνετι R + R + R R + R + R + L + L τετρτημόριο( ΟΜΒ) = = τετράγωνο( ΟΜΛΒ) R R = () Αυτό το μίγμ Γεωμετρίς, Άλγερς κι ρωτόγονου ειροστικού λογισμού, ισοδυνμεί ουσιστικά με τη σύγχρονη σχέση d = Πράγμτι, ν θεωρήσουμε R = (δηλ το μονδιίο κύκλο + = ) κι διιρέσουμε την κτίν (δηλ το διάστημ [,] σε ν ίσ τμήμτ μήκους το κθέν, τότε το ρώτο μέλος της ροηγούμενης ισότητς () γίνετι v

6 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ν ν + ν + ν ν + L + ν Αυτό όμως όως θ δούμε ρκάτω είνι το κτώτερο άθροισμ της συ- νάρτησης f ( = (ου ροκύτει ό την εξίσωση του κύκλου), ως ρος την ροηγούμενη διμέριση του διστήμτος [,], κι το όριό του ότν ν +, είνι το d Η έννοι του ολοκληρώμτος, όως κι οι άλλες θεμελιώδεις έννοιες της νάλυσης, έγινν ντικείμενο συστημτικής κριτικής κι ορίστηκν με λογική υστηρότητ στη διάρκει του 9ου ιών Η έννοι του ολοκληρώμτος ου χρησιμοοιούμε σήμερ στο σχολείο, στηρίζετι στον εόμενο ορισμό του συμόλου f ( d ου έδωσε ο Β Rimann το 85: Θεωρούμε μι κολουθί τιμών,,, ν ου ρίσκοντι νάμεσ στ κι κτά σειρά μεγέθους κι συμολίζουμε χάριν συντομίς το με δ, το με δ, το ν με δ ν κι τ γνήσι θετικά κλάσμτ με ε Τότε η τιμή του θροίσμτος i S δ f + ε δ ) + δ f ( + ε δ ) + δ f ( + ε δ ) + L + δ f ( + ε δ ) = ( ν ν ν ν θ εξρτάτι ό την εκλογή των διστημάτων δ i κι των οσοτήτων ε i Αν έχει την ιδιότητ, νεξρτήτως της εκλογής των δ i κι ε i, ν τείνει ρος έν στθερό όριο Α κθώς όλ τ δ i γίνοντι ειροελάχιστ, τότε η τιμή υτή ονομάζετι f ( d Αν δεν έχει υτή την ιδιότητ, τότε το f ( d δεν έχει κνέν νόημ