ANALIZA I OBRADA GEODETSKIH MJERENJA. skripta za učenje

ANAIZA I OBRADA GEODETSKIH MJERENJA kra za učeje

Aalza obrada geodekh mjereja Oa kra adržaa e šo je rof Rožć aeo u kaalogu zorka aaog adržaja, a odo e a TEORIJSKI adržaj redmea, e EMPIRIJSKI, z leraure: Fel, : Teorja ogrešaka raču zjedačeja r do Fel, : Teorja ogrešaka raču zjedačeja drug do Rožć, N: Račuka obrada geodekh mjereja PREDAVANJA u PDF-u Rožć, N: Račuka obrada geodekh mjereja (PAVA KNJIGA) Obaljea je uucja oojećh ručh erma ozaka uklado uuama rof Rožća Porebo je rouč algorme ruču ermologju radh algorama z: Rožć, N: Račuka obrada geodekh mjereja (PAVA KNJIGA) jer u adrža u kr Sreo!

Aalza obrada geodekh mjereja Sadržaj: TEORIJA POGREŠAKA 5 Uod u eorju ogrešaka 5 Vre ogrešaka 6 3 Razdoba jerojao zakoo kuog oašaja lučajh ogrešaka 7 4 Pouzdao mjereja 9 5 Krerj za ocjeu očo 6 Gauo zako ogrešaka 6 7 Korelacja mjereja 7 8 Zako o rrau ogrešaka 7 9 Oća ačela zjedačeja 4 9 Pouak zjedačeja 4 Meoda ajmajh kadraa 5 Choleky - oćeo 7 IZJEDNAČENJE DIREKTNIH MJERENJA 8 Uod 8 Izjedačeje jede ražee elče ( klača dreka mjereja ) 8 3 Izjedačeje šeruko mjereog ekora 3 4 Doruka mjereja 34 3 IZJEDNAČENJE REGUARNIH POSREDNIH MJERENJA 37 3 Uod 37 3 Određaje ajjerojajh rjedo eozaca 37 33 Korole 4 34 Ocjee očo 4 35 Redukcja jedadžb oraaka meodom Gaua 48 36 Zajedčko zjedačeje raaca dulja (razorode jedce mjere) 48 3

Aalza obrada geodekh mjereja 37 Prmjea zjedačeja oredh mjereja 5 4 IZJEDNAČENJE UVJETNIH MJERENJA 56 4 Uod 56 4 Određaje ajjerojajh rjedo mjereja 56 43 Korole r zjedačeju ujeh mjereja 59 44 Ocjee očo 6 45 Prmjer 63 5 IZJEDNAČENJE SINGUARNIH POSREDNIH MJERENJA 67 5 Uod 67 5 Sojee rjedo oje ekor 69 53 Oća erzja 7 54 Defek kofguracje 7 55 Defek dauma 7 56 Helmeroa raformacja 7 57 Izjedačeje lobodh mreža 73 58 Prmjer 75 6 ITERATURA 78 4

Aalza obrada geodekh mjereja TEORIJA POGREŠAKA Uod u eorju ogrešaka MJERENA VEIČINA je mjerejem dobe odaak, rezula je za elemearh oeracja (r oaljaje aa rumea, cerraje, horzoraje, očaaje ) od kojh u amo eke oažaje MJERENJE je oljedca oažaja, a geodek odac ećom u dobe mjerejem MJERNI PROCES je lože ljed ouaka kojma e obalja međuobo uoređaje geomerjkh l fzkalh elča, r čemu e rjedo (kaea) eozae elče određuje eoredm uoredbama mjerlom mjerog uređaja (rume) Mjer roce je odloža romjeama Mjerejem je emoguće odred rau/u rjedo eke elče, eć jeu rocjeu Maemačk gledao, mjereja u arjable REAIZACIJA MJERNOG PROCESA (REZUTAT mjerog rocea: dreko mjereje) MJERE SE: geomerjke elče (rac, dulje, ke razlke) fzkale elče (ubrzaje le eže, geomagek eleme, emeraura zraka ) MJERI SE: a oografkoj orš Zemlje (ekorolra uje) u laboraorju (korolra uje) KVAITETA MJERENJA: razlča (uklado romjeama) INSTRUMENTARIJ: razlč METODE: oaljaje, dreko, dreko mjereje, kombrao STRUČNJAK OKOIŠ: rrode le Mjer roce je moguće oo a deča ač Poljedca oga je da je odaak mjereja ujek razlč! Razlke zmeđu rezulaa mjereog rocea (), j odaaka mjerejem određeh elča, zou e POGREŠKE mjereja Razlke zmeđu odaaka mjereja e elče () PRAVE rjedo eke elče (λ) jeu PRAVE POGREŠKE (ε) je h moguće odred (mogl bmo h odred ako uarjed zamo rjedo elče koju želmo odred, a u aro oga ema) mjerem roceom je moguće odred z rau/u rjedo (λ) elča koje u eozae, al u određem lučajema mogu b ozae z KVAZI-PRAVE rjedo ekh elča (r mjerejem oke očo) Oo zadaak eorje ogrešaka je zučaaje ogrešaka mjereja jhoh karakerka Pouc zjedačeja u oeb ouc račuke obrade odaaka geodekh mjereja, uoblče u formu maemačkh algorama a cljem određaja jedozačh rjedo mjereh elča jhoe kalee O omogućuju elmraje lučajh ogrešaka z odaaka mjereja 5

Aalza obrada geodekh mjereja Vre ogrešaka Grube ogreške Uzroc: eažja, umor, red, emaro, eručo Elmacja: mjereja koja zaje oduaju e uzmaju e u obzr Velču grube ogreške ujeoa će ražea očo Karakerke: elk zo, razlč redzak, razlč zo Kao jeda od krerja jhoe defkacje čeo e kor grača ogreška z dozoljeo oduaje Moguće h je u ouo elmra Semake ogreške Uzrok: earšeo rumearja, ručjak, ujecaj okolša Uzrokoae u određem emom koj e, ukolko je oza, može rkaza ekom fukcjom Mogu e u ouo elmra uođejem aoh korekcja Malog u zoa Mogu b: koaog zoa redzaka, ada maju ojo kumulraja (koaa ogreška) arjablog zoa koaog redzaka arjablog zoa redzaka, e oe mogu b rdo rekree Mogućo elmraja emakh ogrešaka: deala lučaj: oza je ua koj dood do ojae emakh ogrešaka moguće ga je modelra maemačkom fukcjom Tada je moguća elmacja u uom zou rhalj lučaj: oza je ua, al je moguće jedoao modelraje eoolja lučaj: je oza ua Prje ouka zjedačeja reoaka je da u elmrae e emake ogreške 3 Slučaje ogreške Elmramo h oukom zjedačeja Razlke u mjerejma u rezula ogrešaka mjereja čj e uzroc zakoo e mogu zraz određeom fukcjom Drugm rječma, je oza ua Slučaje ogreške u romjejog zoa redzaka, rezula u čog lučaja Nje moguće jhoo eoredo elmraje Ne aaju o određem maemačkm zakoma Poezae u a STOHASTIČKIM MODEOM Ujecaj karaker lučajh ogrešaka e može zučaa z jhoog kolekog oašaja, z rade razdobe jerojao Slučaje ogreške e ozačaaju kao lučaje arjable Iz oga ljed da u mjereja akođer lučaje arjable Hoek (eorjk) oe u rae ogreške 6

Aalza obrada geodekh mjereja 3 Razdoba jerojao zakoo kuog oašaja lučajh ogrešaka Slučaje ogreške, odoo mjereja, drburaa u ajčešće rema kouraoj ormaloj razdob jerojao Ooa akog ohačkog modela mjereja je razdoba jerojao, a reoalja eć broj mjereja Ako e u obaljeh mjereja ek rezula x oja f ua, ada e f aza frekecja l učealo, a elča f/ e aza relaa frekecja Rao uuar kojega e kreću mjeree elče može e odjel a razrede Broj mjereja uuar razreda b će frekecja og razreda, a ako e odjel ukum brojem mjereja, oda će b relaa frekecja razreda 7

Aalza obrada geodekh mjereja HISTOGRAM je graf koj rkazuje razdobu frekecja ooca raokuka redalja elču razreda a raokuka redalja relau frekecju Slka 3 Hogram Poećajem broja mjereja, relae frekecje u ojedm razredma orm će able rjedo Teorjk lučaj: Kada broj mjereja orae do bekoačo ( ), a mjereja u olobođea emakh ogrešaka, redja rjedo relaz u rau rjedo (λ), ε Kada broj mjereja orae do bekoačo, relae frekecje u razredma relaze u jerojao Tada hogram orma oblk kourae glake krulje Fukcja koja defra krulju je: fukcja guoće jerojao ogrešaka f(ε) Porša od krulje redalja jerojao Fukcja guoće jerojao ogrešaka defra eorjk zako kuog oašaja rah ogrešaka, odoo lučajh ogrešaka, uz uje da u e grube emake ogreške rehodo elmrae Oa defra zakoo drbucje (razdobu) eorjkh relah frekecja ogrešaka, odoo eorjkh jerojao ogrešaka Slka 3 Fukcja guoće jerojao ogrešaka f(ε) Fukcja guoće jerojao ogrešaka omogućuje određaje jerojao uz koju će eka ogreška orm rjedo uuar ekog rozoljo zadaog erala, r erala (a,b) Slka 33 Fukcja guoće jerojao koja određuje jerojao lučaje arjable za eku rjedo Pomoću fukcje guoće jerojao f(ε) defraa je fukcja razdobe jerojao ogrešaka F(ε) Oa određuje jerojao da eka ogreška eće orm rjedo eću od eke zadae grače rjedo 8

Aalza obrada geodekh mjereja Slka 34 Fukcja razdobe jerojao mjereja 4 Pouzdao mjereja Neohodo je ojedoa mjeru kalee kojom će e rocje ama kalea mjereja uklado ogreškama adržam u mjerejma Mjere kalee, odoo krerj, u: 4 Točo Točo je uaj l raza odudaraja l rblžaaja ekog mjereja jegooj raoj rjedo Ikazuje ajku ouzdao mjereja Na mjeru očo uječu lučaje oale (eelmrae) emake ogreške Šo je eća očo, mjereja u ouzdaja Ako ak e ooje oale emake ogreške, odoo ako u elmrae, mjera očo b će adarda dejacja Tada je krerj očo ojea krerju reczo 4 Preczo Preczo je uaj /raza međuobog odudaraja odaaka mjereja r ooljeom mjereju jede e e eozae elče Na mjeru reczo uječu amo lučaje ogreške mjereja Preczo kazuje uuarju ouzdao mjereja Šo je eća reczo, mjereja u ouzdaja Nka derzja (raršeo) ogrešaka = oka reczo mjereja Voka derzja ogrešaka = ka reczo mjereja 9

Aalza obrada geodekh mjereja 43 Sguro Sguro je eral u kojem e očekuje eka ogreška mjereja Poezaa je određeom jerojaošću Nr 9% guro je eral u kojem će e, uz 9% jerojao oja eka ogreška mjereja ZAKJUČAK: ajučealje za ocjeu ouzdao mjereja kore e krerj očo reczo Točo ma redo red reczo jer uklado fzkalom realeu u odacma mjereja u adržae reoale emake ogreške koje e e mogu elmra Slka 4 Grafčk rkaz uzajamog odoa reczo očo mjereja 5 Krerj za ocjeu očo Mjereja u oerećea ogreškama, e e zbog oga uje ouzdao mjereja radom ocjeom očo Određaje rjedo mjera l krerja ocjee očo aza e ocjea očo mjereja Mjere l krerj za ocjeu očo u: 5 Praa ajjerojaja ogreška

Aalza obrada geodekh mjereja Armečka reda elmra eć broj lučajh ogrešaka jer oe maju razlče redzake Šo je eć broj oaljaja, maj je broj lučajh ogrešaka Semake ogreške b će adržae u armečkoj red

Aalza obrada geodekh mjereja Šo e u eorjkom ogledu događa ako mjereja,,, u ključo lučaje arjable? Nr karakerča lučaj aaje, ako ako mjereje om lučaje ogreške adrž fk zo emake ogreške (ogreška og redzaka aolue rjedo) 5 Sadardo oduaje / adarda dejacja ( (Fal: redja ogreška (m)) Sadardo oduaje je korje armečke rede ume kadraa Slučaj: kada u ozae ogreške mjereja (ε) raa rjedo elče (λ): Slučaj: kada u ozae rocjee ogrešaka mjereja je ozaa raa rjedo elče koja e određuje mjerejem (λ): Broj rekobrojh mjereja (broj ujea lobode l redudacja): orebo je barem jedo mjereje da e dobje elemearo azaje o elč koja e određuje mjerejem Sako aredo mjereje je rekobrojo: f =

Aalza obrada geodekh mjereja VARIJANCA MJERENJA ( je kadra adarde dejacje (Fal: kadra redje ogreške (m )) 53 Proječa ogreška () Proječa ogreška je armečka reda aoluh rjedo ogrešaka Maje je ojelja a eće ogreške, maje je ouzda krerj očo Odo roječe ogreške adardog oduaja: 54 Vjerojaa ogreška (ρ) Nalaz e u red h aoluh rjedo ogrešaka, ako da je broj ogrešaka koje u eće od jerojae, oe koje u maje, jedak Slučaj: kada u ozae rocjee ogrešaka mjereja kada je ukua broj ogrešaka eara, jerojaa ogreška jedaka je zou ogreške u red: 3 4 5 Slučaj: kada je ara broj, ogreška je jedaka armečkoj red redšjh ogrešaka: 3 4 5 6 Slučaj: kada u ozae ε: P (-ρ < ε < +ρ) =,5 Odo zmeđu jerojae ogreške adardog oduaja: 55 Relaa ogreška (τ) Relaa ogreška je omjer adarde dejacje rjedo odaaka mjereja Čeo e zražaa omjerom :N, gdje je N rrod broj Nr: grača ogreška kada je = mm, = km? τ = : /: τ = : 3

Aalza obrada geodekh mjereja 56 Grača ogreška ( ) Grača ogreška je rjedo oe ogreške koja međuobo razdaja (razgračaa) lučaje grube ogreške Defra e eralom ouzdao uuar kojh će b adržae ogreške određee elče uz eku uarjed zadau rjedo U geodezj eral ouzdao je ( ( grube ogreške koje remašuju graču ogrešku ma će jerojao,7 Pogreške za erala e maraju grubm ogreškama, e e odac odbacuju 57 Teže () kofakor (q) mjereja Uobčajeo je da e za ocjeu očo mjereja kor adarda dejacja () Poljedca: mjereja a malm adardm oduajma maju oku očo, a mjereja a elkm adardm oduajem maju malu očo Odo adardog oduaja očo je obruo roorcoala Rješeje: uod e krerj očo koj je roorcoala očošću - TEŽINA defra e omoću adardog oduaja Mala eža = ka očo Velka eža = oka očo Pomoću eže defra e KOFAKTOR mjereja, z ežk koefcje Mal kofakor = oka očo Velk kofakor = ka očo 58 Refereo adardo oduaje / referea adarda dejacja ( o ) referea arjaca ( o ) (Fal: Referea redja ogreška l redja ogreška jedče dulje) U geodezj e čeo jaljaju mjereja razlčh očo Ukolko e kao krerj očo mjereja kore eže, odoo mjereja a razlčm ežama, ada e očo mjereja mora zraz omoću jedog fkog mjereja (eoojećeg), a o je REFERENTNO mjereje Refereo mjereje je oo mjereje koje ma jedču ežu ( = ) Suklado refereom mjereju odgoara referea arjaca ( o ) refereo adardo oduaje ( o ) 4

Aalza obrada geodekh mjereja u zu mjereja u kojem će akom mjereju ra a aolua rjedo rae ogreške ε u zu mjereja u kojem će akom mjereju ra a aolua rjedo rae ogreške ε : = omjer za adardo oduaje ε : ε = omjer za rae ogreške Refereom adardom oduaju rada će raa ogreška ε r eža r ( r =, al e kor zbog dmezja) / / + gdje je: [ ], kako je: kako je ada je: / koačo refereo adardo oduaje 5

Aalza obrada geodekh mjereja 6 Gauo zako ogrešaka Gau zod fukcju guoće jerojao ogrešaka koju aza KRIVUJA POGREŠAKA Pošao je od hoeze da redja rjedo ogrešaka, određea kao armečka reda h ogrešaka, ma ajšu jerojao Gauo zako ogrešaka Nedoac: uođeje hoeze da je redja rjedo ogrešaka rjedo ajšom jerojaošću, u odou a e oale rjedo ogrešaka uođeje hoeze da uku broj ogrešaka ež u bekoačo uođeje hoeze da u ogreške međuobo ouo eoe Soja: Porša od krulje ogrešaka jedaka je, j jerojao da će eka ogreška orm rjedo u eralu od zo, j % Krulja je merča u odou a redju rjedo ogrešaka, a je jerojao ojae egah ozh ogrešaka og zoa jedaka Makmala ordaa krulje ogrešaka odgoara redjoj rjedo ogrešaka (jedaka je ul) Sredja ogreška je ajjerojaja rjedo 6

Aalza obrada geodekh mjereja Vjerojao o zou malh ogrešaka u rlo oke, a ogreške u u blz redje rjedo ogrešaka Vjerojao o zou elkh ogrešaka u rlo ke alaze e ajdalje od redje rjedo ogrešaka 7 Korelacja mjereja Gauo zako ogrešaka ouje koleka oja lučajh ogrešaka za eć broj mjereja ( ) Ogračaajem broja mjereja (lučaj u rak), ogreške eće u ouo ma a oja Slučaje ogreške e aoje od za elemearh ogrešaka mjereja će b oerećea jedoram ujecajem, šo će zaza korelacju Korelacja mjereja zaza međuobu oo mjereja Ako oa e ooj (l je zaemara), mjereja u međuobo eoa Mjereja mogu b maemačk l fzkalo korelraa 8 Zako o rrau ogrešaka Pojam rraa ogrešaka ozačaa ojau rjeoa ogrešaka mjereh elča a ražeu elču, dok zako o rrau ogrešaka maemačk urđuje oblk og rjeoa Neozae elče mogu e rmjeom mjerog rocea odred DIREKTNO (eoredo) INDIREKTNO (oredo) Dreko: moguća je dreka uoredba mjerla mjerog uređaja elčom koju reba odred Neozaa elča e mjer še ua kako b e oklole grube do emakh ogrešaka Poljedca: određaje ajbolje rocjee rjedo eozae elče, odaaka mjereja (zjedačeje) krerja očo Idreko: eozaa elča e fukcjk oezuje određem brojem elča koje je moguće dreko odred rmjeom mjerog rocea Problem: mjereja u oerećea ogreškama, ako će eozae elče b oerećee ogreškama Teorjk: Ako u,,, međuobo eoe elče dreko mjeree, ozam adardm oduajem,,, ražea elča F račua e kao fukcja mjereh elča ( =,,, ): F=F(,,, ) Porebo je odred adardo oduaje ražee elče F Ukolko u ozae rae ogreške elča,,, j ε, ε,, ε b će: λ F = F(λ, λ,, λ ) F + ε F = F( + ε, + ε,, + ε ) Poaljea fukcja je eleara a e learzra razojem u Tayloro red (zaemarujuć kadrae še člaoe reda, jer u zaemaro mal) ( ( ) ( ) ( ) 7

Aalza obrada geodekh mjereja Zako o rrau ogrešaka je u maemačkom mlu oal dferecjal fukcje eoredo l dreko određeh elča To je jeda od emeljh zakoa za određaje krerja očo dreko/oredo određeh elča Zako o rrau ogrešaka defra rjeo (rra) ogrešaka a dreko mjereh elča a oredo /dreko mjereje elče koje u fukcje dreko mjereh elča!! ZAKON O PRIRASTU POGREŠAKA, PREASKOM SA POGREŠAKA NA KRITERIJE TOČNOSTI, POPRIMA 3 KARAKTERISTIČNE FORME: 8Zako o rrau arjac Saka elča mjerea je ua, za elču ε ooj zraza Ozačš ekore: alaz e: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ež ul r ećem broju mjereja, a e zaemar kako je: Zako o rrau ogrešaka Skuš e koefcjee u ekor a, e arjace u marcu arjace koarjace V ll j 8

Aalza obrada geodekh mjereja [ ] koačo:, Za še fukcja: zako o rrau arjac za jedu fukcju Uođejem rblžh rjedo o rkraćeh mjereja l b će: = o + l F o = F( o, o,, o ) l = [l, l,, l ] ako razoja u Tayloro red: F = F o + a l aalogo, ako e rad o še fukcja: [ ], [ ], A= f = f o + Al V ff = A V ll A zako o rrau arjac za še fukcja ff = 9

Aalza obrada geodekh mjereja V ff je derzjka marca oaljeh fukcja l marca VARIJANCE-KOVARIJANCE fukcja mjereja Glaa djagoala: arjace ( ) Oal eleme: mješo roduk adardh oduaja (koarjace) ** Ako u koarjace =, zmeđu fukcja e ooj oo (korelacja) obruo 8 Zako o rrau eža kofakora Ako e u marcu arjace-koarjace ure eže uz reoaku eoh mjereja o o o o ll P kofakor: q q q o o o ll Q

Aalza obrada geodekh mjereja zako o rrau eža za jedu fukcju [ ] Gauo mbol Za lučaj še fukcja: zako o rrau kofakora za jedu fukcju Gauo mbol ( zako o rrau eža za še fukcja zako o rrau kofakora za še fukcja

Aalza obrada geodekh mjereja 8 Teže kh razlka u geomerjkom elmau mjereo je a ukuo ajalša reoaka: dulje zura d u koae (je ujea jer dulje zura oe o erekm ujema) ukua dulja laka ozae u eže koje u jedake = z = h =? fukcja: h = h + h + + h h = (z ) + (z ) + + (z ) oal dferecjal: dh = dz d + dz d + + dz d ekor koefcjeaa marca eža:, [ ] P ll x z z

Aalza obrada geodekh mjereja P / / ll x x h, a I a / = x x x dulja laka je određea reko zura: = d /:d / I h d k d h h K d, d co, co Teža ke razlke obruo je roorcoala dulj elmake rae 8 Teže kh razlka u rgoomerjkom elmau α k ku D horzoala dulja l a gala a rumea Teže dulje, e rumea e gala u rlo male u odou a ežu kog kua, a e mogu zaemar ( d = l = = ) h =? 3

Aalza obrada geodekh mjereja fukcja: l ( h ) g dg l h D h Dg l ; l h Dg oal dferecjal: dh D d co reoaka: α je male coα dh Dd K h h D K D U rgoomerjkom elmau redja ogreška ke razlke roorcoala je dulj, dok je eža ke razlke obruo roorcoala kadrau dulje elmake rae 9 Oća ačela zjedačeja 9 Pouak zjedačeja Mjereja ekh elča, kao šo u rac, kuo l dulje, u amo zao obaljea da e omoću jh dobju rocjee h elča, eć e kore za određaje drugh elča Te ražee elče fukcjk u oezae mjerem elčama Oća relacja koja oezuje ražee mjeree elče aza e MODE U ašem lučaju MATEMATIČKI MODE Nako oaljaja modela orebo je uao mmal broj elemeaa kojm je model jedozačo određe Broj h elemeaa jedak je NEOPHODNOM BROJU MJERENIH VEIČINA, o Nako šo e uao o, oažač odabre koje će elemee mjer Porebo je mjer VIŠE EEMENATA od MINIMANOG BROJA, odoo moraju ooja rekobroje mjeree elče f, zao šo moramo od račua o mogućm ogreškama mjereja Mora rjed:, gdje je broj h mjereh elča f o Kada ooj f, može e formra ekolko kombacja elemeaa eohodm brojem mjereh elča o 4

Aalza obrada geodekh mjereja Te kombacje defraju razlče modele, al e jho zlaz odac odoe a e elče Između zlazh odaaka modela ooja će maje razlke koje aaju zbog ogrešaka u mjerejma POSJEDICA: za ukua broj h mjereh elča, model eće b jedozačo defra Oa šezačo modela može e uklo ako da e umjeo ekora mjereh elča u model ur ekor korgrah, odoo oraljeh mjereja Korekcjom h mjereh elča o, jedozačo će odred e koače rezulae dobee omoću razlčh modela VEKTOR POPRAVJENIH MJERENJA zarao je ekor zjedačeh rjedo mjereh elča: gdje je: l l l - ekor zjedačeh rjedo mjereh elča l ekor mjereh elča ekor oraaka l, l 3, Vekor oraaka je eoza reba ga zjedačejem odred Samo će jeda ekor oraaka udoolj omalom rješeju Za zbor omalog rješeja reba urd određe KRITERIJ U geodezj aj krerj je rc ajmajh kadraa Pouak račuaja ekora l o meod ajmajh kadraa aza e RAČUN IZJEDNAČENJA Meoda ajmajh kadraa Izjedačejem reba odred ajbolje rocjee, odoo ajjerojaje rjedo ražeh elča (eozaca) Koače rjedo eozaca ma će ajeće jerojao Kada eozace maju ajeću jerojao, rad orac ma će akođer ajeće jerojao 3 Meoda ajmajh kadraa elmra VIŠEZNAČNOST modela!! Dferecjala jerojao ekog oraka, uz reoaku ε = : dp( ) ( ) d Prmjeom Gauoog zakoa ogrešaka: 5

Aalza obrada geodekh mjereja 6 ) ( e Porac će ma ajeće jerojao kada je roduk ojedh jerojao makmala: dp( )*dp( ) dp( ) Max l Max d e urš Max d d d, ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( * ) ( / Oaj zraz ma će max, kad je ekoe m: M kako je: k ljed: M M oo rc zjedačeja Nedoac: - hoeza da e ogreške e elče jaljaju jedako čeo kao oze kao egae, a oa e u rak amo djelomčo oaruje - adardo oduaje je dogoorea mjera očo, a cjel zod orma emrjk karaker OPĆI PRINCIP IZJEDNAČENJA: M Q P (marca P defra ohačk/lučaj model jer u mjereja ohačke l lučaje elče koje radaju ormaloj razdob)

Aalza obrada geodekh mjereja 7 Choleky - oćeo Pouak eodređeog rješaaja ormalh jedadžb Ierraje marce koefcjema ormalh jedadžb Smerču marcu N raamo a rokuae marce: korola Ce C Ne Ce C Ce C Ce e C C C N * * Ne - korol ekor očeka C Ce o korol ekor korola C C e korola Ce C e C e C e I C C 3 ) * ( * ) ( dob ćemo ekor jedca ) ( ) * ( ) ( ) ( / * C CQ C I CQ C CC CQ C C N Q C rema oom zrazu račua e Q!! korola: e Ne Q * NOTA BENE: MATRIČNA AGEBRA!! auč za zode! Ax y y A x Ax y b a a b b a A A A B AB ) ( ) ( ) ( ) (

Aalza obrada geodekh mjereja IZJEDNAČENJE DIREKTNIH MJERENJA Uod Maemačk model drekh mjereja je olazše za rremu odaaka zmjere koj e uključuju u maemačk model oredh mjereja (z rmara z ekudara račuka obrada geodekh mjereja) Izjedačeje jede ražee elče ( klača dreka mjere ja ) Određaje ajjerojajh rjedo eozaca Jeda ražea elča, eozaca, mjerea je eoredo ua Pooja će z mjereja:,,, Sa u mjereja međuobo eoa Najjerojaja rjedo eozace x dob će e ako e ojedm mjerejma dodaju odgoarajuć orac j: x = + Uođejem rblže rjedo eozace x o, odoo x = x o + δx, b će rkraćea rjedo eozace: δx = x x o, odoo rkraćee rjedo mjereja: -l = x o - Iz oga ljed jedadžba oraaka za -o mjereje: = δx l Za a obaljea mjereja ua jedadžb oraaka b će: = δx e l,,, 8

Aalza obrada geodekh mjereja Suau jedadžb oraaka oćeo rada odgoarajuća marca eža P Porake reba odred rema rcu zjedačeja: P M U rad zraz urmo ua jedadžb oraaka: Oaj zraz ma će mmum ako je: Koačo, ražea elča (eozaca) je: oća armečka reda Za eoa mjereja razlče očo b će P e = (jer je marca P djagoala) Tada je eozaca ežka reda: Za eoa mjereja e očo, marca eža je jedča marca (P=I) Tada je eozaca obča armečka reda: Korole r zjedačeju Korola ajjerojajh rjedo eozaca/oraaka Pomožš = δx e l ljea a e P dobje e: ljed z e P = δx e P e - e P l = δx e P e = e P l δx e P e - e P l = e P = korola račuaja oće armečke rede = korola račuaja ežke rede e = korola račuaja obče armečke rede Korola zjedačeja Porebo je korolra elču P Izlučajem δx z ra da člaa, a z zadja da člaa l P dobje e: ra zagrada jedaka je, a druga je jedaka Sljed: 9

Aalza obrada geodekh mjereja 3 Defa korola zjedačeja xe 3 Ocjea očo 3 Refereo adardo oduaje λ raa rjedo x ajjerojaja rjedo Uođejem rblže rjedo eozace x o, odoo rkraćeh rjedo δλ, δx l, može e a ua jedadžb rah ogrešaka: e l P xe l P ua jedadžb ajjerojajh ogrešaka Oduzmajem oh daju uaa dobje e: ( x) e P Oaj zraz e omož ljea e P e P ( x) e Pe Kako je e P e P x e Pe e P : Možmo zraz a P, odoo P P P ( x) Pe P P ( x) Pe Zbrojš oe zraze: P P P P ( x) Pe ( x) Pe Kako je e P Pe P P P P x Pe Kako je Pe e P dobje e: P P ( x) e P e P U gorj zraz e ur x e Pe zraz relaz u oblk: 3

Aalza obrada geodekh mjereja 3 Dobje e: Pe e P e P P ( ) Zadj čla Pe e P e ( ) razjemo: Pe e Pe e Pe e P e ) ( ) ( ) ( 3 3 Prae ogreške ε maju lučaj karaker, a za mjereja uma mješoh rodukaa ε ε j ež ul Ozačš još Poljedj zraz orma oblk: ) ( Pe e P e urmo ga u Pe e P e P P ( ) e dobjemo: o P P P P P P * * refereo adardo oduaje u eom mjerejma razlče očo adardo oduaje u eom mjerejma e očo adardo oduaje ojedog mjereja za eoa mjereja razlče očo adardo oduaje ojedog mjereja za eoa mjereja e očo 3 Sadardo oduaje eozaca Kofakor eozace određuje e rmjeom zakoa o rrau kofakora a fukcju eozace: P P

Aalza obrada geodekh mjereja eža oće eža ežke eža obče armečke rede rede armečke rede Sadardo oduaje eozaca ( f = -): adardo oduaje oće armečke rede adardo oduaje ežke rede adardo oduaje obče armečke rede 3 Izjedačeje šeruko mjereog ekora 3 Određaje ajjerojajh rjedo eozaca Jeda eoza ekor mjere je eoredo ua Treba odred ajjerojaje rjedo elemeaa ražeog ekora x koj e aoj z u elča Oe elče mogu b međuobo eoe l čak oe Uođejem ekora rblžh rjedo x b će ekor rkraćeh rjedo x x x Preoalja e da ooje amo da međuobo eoa mjereja eozaog ekora: mjereje: ; Q V ; P Q u, u, u mjereje: ; Q V ; P Q u, u, u Q marca kofakora P marca eža V marca koarjace a oo rkraćeh mjereja: l x l, x dob će e odgoarajuće jedadžbe oraaka: x l P x l P Prc zjedačeja: 3

Aalza obrada geodekh mjereja Dferecrajem o x b će: Tražejem ekrema: Koačo je eoza ekor: Ako je obaljeo mjereja: 3 Korole r zjedačeju 3 Korola oraaka 3 Korola zjedačeja 33 Defa korola zjedačeja 33 Ocjea očo ( f = -u) 33 Refereo adardo oduaje 33 Točo eozaca 33

Aalza obrada geodekh mjereja Kofakor eozaca određuje e rmjeom zakoa o rrau kofakora a fukcju eozaca: adardo oduaje komoeaa ekora 333 Točo ojedog mjereja 4 Doruka mjereja To u dreka mjereja u kojma e eozaa elča mjer da ua, al obaezo u urom mjeroma (uklaja e do ogrešaka ezah za mjer mjereja) Pooj amo jedo rekobrojo mjereje (broj mjereja je ) 4 Određaje ajjerojajh rjedo eozaca 4 Korole r zjedačeju e l 43 Ocjea očo Pr određaju ocjee očo dorukh mjereja ooj aleraa - ocjeu očo odred: - omoću oraaka mjereja 34

Aalza obrada geodekh mjereja 35 - omoću razlke dorukh mjereja l z euglace dorukh mjereja (u eorjkom ogledu o je raa ogreška mjereja) 43 Pomoću oraaka mjereja adardo oduaje mjereja adardo oduaje eozace 43 Pomoću euglace dorukh mjereja d d = 4 4 ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d d d d x x x 433 Ocjejaje zoa dorukh mjereja Doruko je mjereo elča Neka je λ raa rjedo eke elče, koja je doruko mjerea Tada je: l l r r r r r Razlka dorukh mjereja d o karakeru je raa ogreška, a određuje e kao:

Aalza obrada geodekh mjereja 36 l l d d d d r r r r r / d d d : / d d d d Zbog e očo mjereja u da uroa mjera, b će = = : d d d d d d adardo oduaje mjereja 434 Sadardo oduaje ajjerojaje rjedo 4 V e V e ll ll x d d e V e x x ll adardo oduaje ajjerojaje rjedo eke elče x z dorukh mjereja

Aalza obrada geodekh mjereja 3 IZJEDNAČENJE REGUARNIH POSREDNIH MJERENJA 3 Uod Regularo zjedačeje aua u lučaju kada je za određaje eozaca uarjed l a ror defra refere okr u kojem e oe zjedačejem određuju Obaljajem geodekh mjereja oložaj eozah očaka određuju e relao u odou a oložaje eć ozah očaka Fukcje omogućuju određaje aoluog oložaja Mjereja u relae elče (e oe o refereom uau) Neozace u aolue elče jer u oe o refereom uau Ooa eorjka reoaka: međuoba eoo mjereja To zač da je marca P ključo DIJAGONANA marca!!! 3 Određaje ajjerojajh rjedo eozaca 3 Formraje jedadžb oraaka Sako zjedačeo mjereje fukcja je ajjerojajh (zjedačeh) rjedo eozaca, j F ( x, y, z,);(,,, ) - zjedačee rjedo eozaca - mjereja F - eklco defraa maemačka fukcja leara l eleara Fukcja F je oćeo eleara 37

Aalza obrada geodekh mjereja Velče a, b c azaju e koefcje jedadžb oraaka, a l je rkraćeo mjereje 38

Aalza obrada geodekh mjereja - ekor oraaka A - marca koefcjeaa jedadžb oraaka x - ekor rkraćeh rjedo eozaca l - ekor rkraćeh mjereja P marca eža Za oredh mjereja omoću kojega e određuje u eozaca, b će koačo: A x l P,, u u,,, 3 Formraje ormalh jedadžb Porake mjereh elča reba odred rema rcu zjedačeja P M 33 Rješeje ormalh jedadžb Ako e ua ormalh jedadžb omož ljea erzom marcom N -, dob će e rješeje: Rješaaje uaa ormalh jedadžb obalja e rmjeom z ouka eodređeog rješaaja jedadžb (emelj e a erraju marce koefcjeaa) Ne erra e dreko marca koefcjeaa ormalh jedadžb N Pouak rješaaja ormalh jedadžb: algormom Choleky 39

Aalza obrada geodekh mjereja 33 Korole 33 Korole aaa jedadžb oraaka O o zadać j fukcj mjereja eozaca Veoma u oae jer e okraju ek ako obaljeog zjedačeja 33 Korola aaa ormalh jedadžb U uau jedadžb oraaka može e ue ekor korolh elča, j: Ae l Za aku jedadžbu oraaka b će korola elča: a b c l 4

Aalza obrada geodekh mjereja Jedako e može ue ekor korolh elča: Ne A PAe A Pl A P( Ae l) A P Ne A P Za aku ormalu jedadžbu zbroj koefcjeaa aoluog člaa mora b jedak odgoarajućoj komoe ekora A P 333 Korola rješaaja ormalh jedadžb Ne e ( C ) ( C ) Ce ( C ) ( C ) / C Ce e C Ce ( C ) ( C ) ( C ) e ( C ) e ( C ) 334 Korola marce kofakora eozaca ( Ne) e e e e N N N Q Q N e e Ne I e u u, u xx xx e 335 Korole račuaja oraaka Ako e z ormalh jedadžb: A PAx A Pl zluč A P, dobje e A P( Ax l) A P 336 Korola zjedačeja korolramo defraje fukcja, uaa jedadžb oraaka Prood e dorukm račuajem elče P a) a oou korolrah oraaka račua e elča P b) 4

Aalza obrada geodekh mjereja P x A PAx x A Pl l PAx l l P x ( Nx ) l P( Ax l) P l P 337 Defa korola ajažja! U cjelo orđuje rao račuaja! Ako je zadooljla moramo oba zjedačeje očeka F F ( x, y, z,) 34 Ocjee očo 34 Refereo adardo oduaje P Oo krerj ocjee očo je adardo oduaje: o S obzrom da e zjedačejem određuju ajjerojaje rjedo, refereo adardo oduaje račua e omoću ajjerojajh oraaka o P P, u f Za P=I odoo mjereja e očo refereo adardo oduaje oaje adardo oduaje ojedog mjereja: o f Sadardo oduaje ojedog mjereja: o 34 Sadarda oduaja eozaca Sadarda oduaja eozaca u fukcje adardh oduaja mjereja Zbog oga eozace reba rkaza kao fukcje mjereja rmje zako o rrau kofakora x N A Pl x N A Pl Prmjeom zakoa o rrau kofakora doba e: Q ( N A P) P ( N A P) N N N Q xx xx A PP NN N A PAN PAN Marca kofakora eozaca jedaka je erzoj marc koefcjeaa ormalh jedadžb 4

Aalza obrada geodekh mjereja adarda oduaja eozaca l jer 343 Sadardo oduaje fukcje eozaca Uođejem rblžh rjedo (x o, y o, z o ) I razojem u Tayloro red: 43

Aalza obrada geodekh mjereja Prmjeom zakoa o rrau kofakora: Sadardo oduaje fukcje eozaca: NOTA BENE: r fukcja zjedačeh eozaca b će dulja zmeđu dje eozae očke 344 Sadardo oduaje zjedačeh mjereja Izjedačea rjedo akoga ojedog mjereja račua e o zrazu: l l ( l F a x b y c z) l x Q l f f o o Ax xx o A Pl AQ xx A Pl Zako o rrau kofakora: Q ( AQ A P) P ( AQ A P) AQ AQ AQ AQ xx xx xx xx Q AQ xx xx A PP A PAQ NQ NN A xx A A PAQ xx A xx A xx Korola: r(pq ) = r( PAQ A r( A PAQ ) xx = r( NN ) r( I) u u, u ) xx gdje je u broj eozaca Kofakor marce Q mogu e a razjeo (za r eozace): q a q a b q a c q b q b c q c q eleme djagoale xx xy xz yy yz zz 44

Aalza obrada geodekh mjereja q j a a j q xx eleme a djagoale ( a b a b ) q ( a c a c ) q b b q ( b c b c ) q c c q j j xy j 345 Sadardo oduaje oložaja očke, ožša krulja ela oložaje očo j Izjedačejem o oredm mjerejma čeo e određuje oložaj eke očke u ra a oo mjereh dulja l raaca Tada je ored ajjerojajh rjedo koordaa ozaa rada marca koarjace: xz j yy j j yz j zz Eleme a glaoj djagoal marce V xx u adarda oduaja određaja oložaja očke u mjeru koordah o No, u mogm zadacma u rak orebo je za adardo oduaje oložaja očke u ooljom/rozoljom mjeru To adardo oduaje može e zraz roacjom koordaog uaa, odoo orogoalom raformacjom Slka 344 Roacja koordaog uaa 45

Aalza obrada geodekh mjereja Gdje je M oroomraa marca M modala marca od V xx V - ekrala marca Sojee rjedo marce Q xx određuju e z karakerče jedadžbe: Sojee rjedo λ λ određuju mjeroe u kojma adarda oduaja očke ožu makmalu, odoo mmalu rjedo Ozačš a adarda oduaja oložaja očke: - m očo oložaja očke max adardo oduaje - max očo oložaja očke m adardo oduaje b će, rema zakou o rrau ogrešaka ( u eoe fukcje), adardo oduaje oložaja očke u ekom rozoljom mjeru: d A co ( ) B ( ) 46

Aalza obrada geodekh mjereja Slka 344 Nožša krulja ela oložaje očo (umjeo m x m y x y, umjeo m ρ d ) Pomoću lke doba e: Pomožš zraz d A co ( ) B ( ) a ozake, b će: d uzmajuć u obzr rehode To je jedadžba ožše krulje Krulja oložaje očo (o Felu: krulja ogrešaka) Oa e može arokmra elom: gdje u A B elka, odoo mala oluo ele Ela oložaje očo (o Felu: ela ogrešaka) je arjaa a romjeu koordaog uaa, jer e ojee rjedo λ λ e mjejaju roacjom koordaog uaa Velča aza e adardo oduaje oložaja očke Geomerjk o je kružca olumjera M oaa oko dobeog oložaja očke zjedačejem Oa kružca akako je eća od kružce oložaje očo (o Felu: kružce ogrešaka) u koju ela oložaje očo relaz kada je A=B, odoo x = y R je redja rjedo ogreške očke 47

Aalza obrada geodekh mjereja Helmeroa ela ogrešaka (oložaje očo!) o ju je azao redja ela ogrešaka, a ralje ju je za cerala ela ogrešaka To je ajmaja ela,39 jerojao da će e raa rjedo oložaja očke alaz u oj el MOHEoa ela redja ela ogrešaka:,63 jerojao za rau rjedo oložaja očke Ieralu odgoara,68 jerojao Poluo: 35 Redukcja jedadžb oraaka meodom Gaua U rak e čeo eozaca z (orjeacja kua kod uuarjh raaca!) elmra z jedadžb oraaka Na aj e ač alaze reducrae jedadžbe oraaka Najčešće e o zod Gauom oukom Jedadžbe oraaka u: gdje je: z rkraćea eozaca kua orjeacje Reducrae jedadžbe oraaka b će: gdje je: 36 Zajedčko zjedačeje raaca dulja (razorode jedce mjere) U ekm e geodekm roblemma zadaćama jalja oreba zajedčkog zjedačeja kuh learh mjereja, jer u fukcje h eozaca Karakerč je rmjer zjedačeje ragulacjko-rlaeracjke mreže, j mreže u kojoj je oložaj očaka oremeo određe rejekom raac rejekom dulja Do mjereja u kue elče (rac), a do mjereja leare elče (dulje), Kako b e dmezoalo razlča mjereja mogla zjedač u okru og zjedačeja, orebo je oba jhou homogezacju Homogezacja e obalja ralm određajem rdružajem eža radm kum learm mjerejma Pr zajedčkom zjedačeju kuh learh mjereja, u radom uau jedadžb oraaka emeljem odgoarajućeg gruraja mjereja, mogu e razluč da oduaa: Pr odgoara kum, a drug learm mjerejma 48

Aalza obrada geodekh mjereja 49 Ako u a kua mjereja oarea om očošću (očo je određea radm adardm oduajem k ) eže mjereja e uz ooljo defraje koae K (fakor roorcoalo) određuju kao jedče eže k k k k K Ako u a leara mjereja oarea om očošću (očo je određea radm adardm oduajem d ) eže mjereja e uz rehodo eć defrau rjedo koae K (K= k ) određee zrazom: d k d d K Pomoću eža formraju e marce eža koje odgoaraju kum learm mjerejma obuhaćem uama jedadžb oraaka: k k k k x k k P d d d d d x d P d d d dxd d kxk k x P P P Pomoću h marca formra e marca eža koja e rdružuje uau jedadžb oraaka Ukolko je ako ojedo kuo learo mjereje određeo razlčom očošću, ojem e oukom određuju rade eže, uz ogodo defrae koae a e uau jedadžb oraaka rdružuje marca eža:

Aalza obrada geodekh mjereja 37 Prmjea zjedačeja oredh mjereja **NOTA BENE: VANJSKI PRAVAC mjere raac a dae očke a ražeu očku UNUTARNJI PRAVAC mjere raac a ražee očke a dau očku Naede rac u JEDNOSTRANI OBOSTANI PRAVAC ako je mjere raac a dae očke a ražeu očku obruo kuo u eoredo mjeree elče, eć fukcjk određe reko raaca: čeo e u maemačk model oredh ujeh mjereja kao eoredo (dreko) uode elče koje o u (eorjk je raa, al omogućaa brže rješaaje geodekh zadaća) 5

Aalza obrada geodekh mjereja 5

Aalza obrada geodekh mjereja DRUGA KONTROA: 54

Aalza obrada geodekh mjereja 4 IZJEDNAČENJE UVJETNIH MJERENJA 4 Uod Neorebe u am formacje o refereom koordaom uau za zjedačeje Položaj očaka određuje e ako zjedačeja odgoarajućm aalčkm meodama Nedoaak ujeh mjereja je emogućo određaja eozace u okru zjedačeja 4 Određaje ajjerojajh rjedo mjereja 4 Formraje ujeh jedadžb Sakom mjereju reba doda oraak, da b e ošle euglace u ujema udooljlo rcu zjedačeja P Izjedačea rjedo mjereja jedaka je zbroju mjeree rjedo oraaka: 56

Aalza obrada geodekh mjereja Izjedačee rjedo mjereja moraju zadoolj određee maemačke ujee: Poalje uje mogu b lear l elear Ako u lear, reba h learzra Urš u gorj zraz, ako razoja u Tayloro red: Ozačš koefcjee ujeh jedadžb: euglace ujea: koačo u leare ujee jedadžbe: Ozačš adalje: 57

Aalza obrada geodekh mjereja 4 Formraje korelah jedadžb Porac moraju udoolj rc zjedačeja uklo e euglace u mjerejma agrage-oa fukcja adržaa kao r čla rc zjedačeja P ua ujeh jedadžb omože eozam fakorma (agrageo mullkaor l korelae) Vekor korelaa: agrage-oa fukcja: Oa fukcja ma će mmum kada je: Traorajem možejem oog zraza a P - = Q dob će e ua korelah jedadžb: k je eozao Broj korelah jedadžb jedak je broju mjereja 58

Aalza obrada geodekh mjereja 43 Formraje ormalh jedadžb Ako e u ua learh ujeh jedadžb ur ua korelah jedadžb: 44 Rješaaje ormalh jedadžb Ako e ua ormalh jedadžb omož ljea erzom marcom N -, dob će e rješeje ormalh jedadžb: Prema ome, ooo reba kor ouke eodređeog rješaaja ormalh jedadžb Shema rješaaja ormalh jedadžb rema algormu Cholekog: 43 Korole r zjedačeju ujeh mjereja 43 Korola aaa ujeh jedadžb Oć ouak za korolu aaa learzraja ujeh jedadžb u ojedm zadacma zjedačeja ujeh mjereja e ooj Zbog oga reba ažljo odabra aalja ujee 59

Aalza obrada geodekh mjereja Ukolko e u zjedačeje uključ jeda oa uje, rada korelaa b će jedaka ul Za elke uae ujeh jedadžb learzacja e može korolra omoću fgrah oraaka: ' = (dmezja euglace) Fgraa zjedačea mjereja ada u: ' ' Uršeejem u ujee jedadžbe ako razoja u Tayloro red: j j ' ' ' j j (,,, ) j (,,, ) ' ' ', j,,, r Neka je ' ' ' ',,, j ( ) j odoo: a ' ' b ' ' ', ' e r ' ' Koačo je: ' A ' Korola e rood ako da e u ujee jedadžbe ure rjedo dobee (fgrae) euglace reba uored a a, b a b ' d Na aj ač ' 43 Korola aaa ormalh jedadžb Vekor korolh elča ujeh jedadžb: Vekor korolh elča ormalh jedadžb: Korola e aoj u ome da e omoću ekora korolh elča ujeh jedadžb račua ekor A Q koj mora b jedak ekoru korolh elča ormalh jedadžb Zbroj koefcjeaa ojede ormale jedadžbe jedak je odgoarajućoj komoe ekora A Q 433 Korola rješaaja ormalh jedadžb Ne ( C ) / C Ce 6

Aalza obrada geodekh mjereja ( C ) C Ce ( C ) ( C ) Ce ( C ) ( C ) ( C ) 434 Korola račuaja oraaka z Nk A QAk 435 Korola zjedačeja Korola e rood dorukm račuajem elče P a) a oo korolrah oraaka račua e elča P b) Urš korelae jedadžbe u elču P: 436 Korola zjedačeh mjereja = defa korola Saoj e u ooljeom formraju oaljeh ujea omoću zjedačeh mjereja S uje moraju b ouo zadoolje [ ] 44 Ocjee očo 44 Refereo adardo oduaje 44 Sadardo oduaje ojedog mjereja 443 Sadardo oduaje zjedačeh mjereja l l ( l ) l - ekor zjedačeh rjedo mjereja l ekor rblžh rjedo mjereja l ekor rkraćeh rjedo mjereja ekor oraaka 6

Aalza obrada geodekh mjereja Uršaajem korelah jedadžb QAk rješeja ormalh jedadžb odoo korelaa k N e learzrajem euglaca: A l u oče zraz doba e: l l l QAN A ( l Ozačš: l l QAN B će: l l ( I QAN A ) Prmjeom zakoa o rrau kofakora doba e: Q ( I QAN A ) Q( I QAN A ) Q ( I QAN Q Q QAN Q Q QAN Q Q QAN A Q l A Q QAN A Q QAN ) A ) Q( I AN A Q) A Q QAN A Q QAN A QAN A Q A Q Traže kofakor zjedačeh mjereja alaze e a glaoj djagoal marce Q : Korola kofakora: Kako je PQ=I: r( PQ) ri r( A QAN odoo:, ) 6

Aalza obrada geodekh mjereja 45 Prmjer Prlkom zjedačeja rgoomerjkh l elmakh mreža ajčešće e kore: fgur uje, uje horzoa u uje ajalš uje S uje moraju b međuobo eo, a ujee jedadžbe leare ** Zašo je moguće oa uje horzoa ako u mjere rac? Ako u a ekom ajalšu mjere rac, uje horzoa je ujek zadoolje!! Ako e a gorjoj lc ozače rac a,, 3 4 ( - )+( 3 - )+( 4-3 )+( - 4 )=36 - + 3 - + 4-3 + - 4 =36 = 36 63

Aalza obrada geodekh mjereja FORMIRANJE SINUSNOG UVJETA: Sak čla oog zraza može e oebo learzra razojem u Tayloro red: Ozačš: Koefcje u romjee logarma ua r romje kua za '' (are roorcoale) Ako je ku Ako je ku 9 9 ; je oza ; je egaa Izod za are roorcoale: co (log )' log l* log l cg '' * log e,4349 * '' Nako uršaaja u zraz 64

Aalza obrada geodekh mjereja Ozačš euglacu: Koačo je ujea jedadžba: 65

Aalza obrada geodekh mjereja 5 IZJEDNAČENJE SINGUARNIH POSREDNIH MJERENJA 5 Uod RANG marce (r) - broj međuobo eoh ekora RANGDEFEKT / DEFEKT MATRICE (d) broj međuobo oh ekora Kod POSREDNIH: eo uča ekor U maemačkom mlu o zač da e jeda eozaca e može maemačk zraz learom kombacjom reoalh eozaca (eozace u međuobo eoe) Temelja razlka zmeđu gularog regularog zjedačeja oredh mjereja je u edefrao refereog uaa u kojem e određuju eozace Maemačk gledao o e očuje u learom fukcjkom modelu, odoo jedadžbama oraaka kao leara oo učah ekora marce A (defek raga), odoo leara oo eozaca Pošo e defek raga reo a marcu N, jalja e jea gularo, e me emogućo rmjee klače erzje Zbog oga e zjedačeje zoe gularo, a defek raga marce A e zoe defek dauma Refere koorda ua je defra kada je oza roor oložaj jegoog hodša, umjereja koordah o mjerlo duž o Kod gularog zjedačeja, refere ua e određuje u klou zjedačeja Ako refere ua je defra (gularo), moguće ga je geomerjk doe u z razlčh oložaja u odou a geodeku mrežu koreć karakerče ujee lobode gbaja (ralacja, roacja, mjerlo) T uje oe o: dmezjama koordaog uaa, r mjereja u geodekoj mrež Kako b oal fukcjk model za gularo zjedačeje, moramo barem rblžo odred refere ua, a o e rad određajem rblžh rjedo h eozaca 67

Aalza obrada geodekh mjereja S obzrom a ru karaker eozaca (geomerjke/fzkale elče), u ralu u ujek oza ra oja refereog uaa kojem adaju e broj eohodh arameara koj refere ua određuju, z aramer dauma 68

Aalza obrada geodekh mjereja 5 Sojee rjedo oje ekor Za kadrau marcu A, dmezje x, reba odred ekor (razlč od ule) kalar λ ako da je: A Naede zadaak aza e roblem ojee rjedo ( A I) a a ( A I) a a a a Izraz ( A I) ma rješeje za: de( A I) - karakerča jedadžba a a - karakerča marca a Ta jedadžba ma korjea, a aka kadraa marca, dmezje x ojeduje ojeh rjedo λ (=,,,) Samo za oe korjee λ roblem ojee rjedo ma će rješeja Vekor (=,,,) azaju e oje ekor Saka ojea rjedo λ daje em homogeh jedadžb kojma e određuju ekor Uršaajem ojedh korjea λ u zraz ( A I) alaz odgoarajuć ekor ': ( A I) ' Karakerča marca ( A I) je gulara, a jez rag može b razlč 69

Aalza obrada geodekh mjereja Ako je rag jedak (-), oje ekor ' eće b određe o dulj, eć amo zjem fakorom roorcoalo Ako je ' eko rješeje, b će akođer rješeje k*' (k je fakor roorcoalo) Zbog oga e može ue uje da oje ekor bude ormra a dulju a: ' ' ' Se ojee rjedo or će ekralu marcu:, a oje ekor modalu marcu:, Problem ojee rjedo može e defra: AS S de A de ; ra r A SS S S I; SS A SS z : AS S rozlaz: S AS S (jer je AS S S I; S ) S adalje: A SS A A (jer je S S / S S S S ) Koačo: ekralo raaljaje marce A: A Dakle, marca A e može raa a umu djadh rodukaa ojeh ekora, koj maju rag 7

Aalza obrada geodekh mjereja 53 Oća erzja 7

Aalza obrada geodekh mjereja 54 Defek kofguracje Oa ra defeka aaje kada obaljea mjereja geomerjk u doaa za određaje h eozaca (koordaa) u mrež Oaj roblem ema rakčo začeje ako je u mrež moguće oar ooljea mjereja, čme će oa ra defeka b ouo elmraa 55 Defek dauma Ako u za eku mrežu oza amo odac mjereja, bez uključaja aoluh elča (dauma), ada će broj ujea lobode o o r dmezj mreže PROBEM: uklaaje očaka jede mreže u eku drugu mrežu RJEŠENJE: Helmeroa raformacja 56 Helmeroa raformacja Točke lokale mreže reba uklo u eku drugu mrežu šeg reda Ako ooj še od dju dečh očaka u oba uaa, ada e aramer raformacje mogu odred zjedačejem Dmezje, rukura ojed eleme marce G oza u određe fukcjkm modelom oredh mjereja kod Helmeroe raformacje, rmjejee a u geodeke mrežu a koju e odo marca N 7

Aalza obrada geodekh mjereja - broj očaka adrža u geodekoj mrež g ' oje ekor marce N x or, y or, H or rblže koordae očaka mreže, reducrae u odou a ežše marce 57 Izjedačeje lobodh mreža Sloboda mreža je mreža u kojoj za jedu očku u ozae koordae odoo admorke e Međuob oložaj očaka u određe amo a oo mjereja, odoo relah elča Marca N je gulara Klača ouak r zjedačeju lobodh mreža o oredm mjerejma aoj e u ome da e uklo defek mreže Tako u mrež u kojoj u mjere amo rac, dje očke rogla će e dam očkama ozam koordaama Oe očke eće b oraljee o koordaama, a adarda oduaja koordaa h očaka b će jedake ul Elmacjom defeka mreže marce koefcjeaa ormalh jedadžb oa će regulara Izbor dah očaka je rozolja u ouku zjedačeja Razlčm zborom dah očaka dob će e razlča rješeja ormalh jedadžb Zbog oga reba urd koje u elče oe odoo eoe o zboru dah očaka Neoe u e elče koje e odoe a mjereja: orac, refereo adardo oduaje e ocjee očo mjereja Vekor rješeja x rada marca kofakora Q xx oe o zboru dah očaka Ele oložaje očo za ojede očke mreže, akođer će o o zboru dah očaka No ouak zjedačeja u kojemu e e očke mreže reraju kao eozae aka očka doba orake račuaju e adarda oduaja koordaa Ukolko e rad o rgoomerjkoj mrež, eozace orjeacje reba elmra z jedadžb oraaka 73

Aalza obrada geodekh mjereja Sua jedadžb oraaka: A* x l,,,, P Marca A je regulara o ucma Normale jedadžbe: N * x ; N A PA;,,,, Marca N je gulara (den=) A Pl Normale jedadžbe e rješaaju Moore-Peroeoom eudoerzjom N + Ako e ekor marca A ormraju a dulju, b će em ojeh ekora, koj e ozačuje marcom G Sljed: G x Marca G je jeda od mogućh grua ojeh ekora B će o oćoj erzj (d oglalje 53) M N GG N Q xx x Q M xx GG ( N GG ) GG Za korolu mora b: AG =, G =, jer je N G = Također Q xx G = Pr ocje očo, odoo račuaju refereog adardog oduaja, b će: broj mjereja u broj eozaca; u = - d + broj elmrah eozaca orjeacje 74

Aalza obrada geodekh mjereja 58 Prmjer 75

Aalza obrada geodekh mjereja NOTA BENE: NOTA BENE: Ako je rječ o 3D mrež u kojoj NISU mjeree dulje, marca G će ma h 7 uaca! Odoo e ujee lobode gbaja: 3 ralacje, 3 roacje romjeu mjerla!! 77

Aalza obrada geodekh mjereja 6 ITERATURA Fel, : Teorja ogrešaka raču zjedačeja r do Fel, : Teorja ogrešaka raču zjedačeja drug do Rožć, N: Račuka obrada geodekh mjereja PREDAVANJA u PDF-u Rožć, N: Račuka obrada geodekh mjereja (PAVA KNJIGA) 78