ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα Εισαγωγή Κινηματικές σχέσεις σημείων επίπεδου στερεού σώματος Ισοδύναμες δράσεις Στερεοί κόμβοι σε στοιχείο επίπεδου πλαισίου 4 Εφαρμογή Ανάλυση επίπεδου πλαισίου με στερεό κόμβο 5 Κινηματικές σχέσεις σημείων χωρικού στερεού σώματος Ισοδύναμες δράσεις 6 Στερεοί κόμβοι σε στοιχείο χωρικού πλαισίου

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο φέρων οργανισμός (δομικός φορέας) των κατασκευών συντίθεται από επιμέρους φέροντα δομικά στοιχεία, κατάλληλα συνδεδεμένα μεταξύ τους Ο πλέον συνήθης τρόπος σύνδεσης δύο ή περισσότερων δομικών στοιχείων μεταξύ τους είναι η μονολιθική σύνδεση μια και αποτελεί τον πλέον απλό και οικονομικό τρόπο Ο τρόπος αυτός σύνδεσης δεν επιτρέπει καμία δυνατότητα σχετικών μετακινήσεων των συνδεόμενων στοιχείων με άμεσο αποτέλεσμα τη μεταφορά δυνάμεων και ροπών από το ένα μέλος στο άλλο 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Επίσης, τα επιβαλλόμενα φορτία σε μια κατασκευή θα πρέπει να μπορεί ο φορέας της να τα μεταφέρει με ασφάλεια στο έδαφος θεμελίωσης Προκειμένου να επιτευχθεί αυτό, τα φορτία αρχικά μεταφέρονται στους φορείς θεμελίωσης στις θέσεις στήριξης και ακολούθως μεταβιβάζονται στο έδαφος μέσω των αντιδράσεων στήριξης Η πλέον συνήθης μορφή επιφανειακής θεμελίωσης κατασκευών αποτελείται από στοιχεία όγκου (πέδιλα υποστυλωμάτων, φρεάτια θεμελίωσης μεσοβάθρων), επί των οποίων στηρίζονται τα κατώτατα άκρα των κατακόρυφων φερόντων στοιχείων (υποστυλώματα κτιριακών έργων, μεσόβαθρα ή ακρόβαθρα γεφυρών) 5

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα γραμμικά ραβδωτά στοιχεία φορέα (πχ δοκοί, υποστυλώματα κλπ) προσομοιώνονται μέσω ευθύγραμμων τμημάτων τα οποία αποτελούν τον κεντροβαρικό άξονα του στοιχείου (ως κεντροβαρικός άξονας γραμμικού στοιχείου ορίζεται ο άξονας που ενώνει τα κέντρα βάρους των διατομών του) Παρ όλα αυτά, στις περιπτώσεις σύνδεσης στοιχείων μεταξύ τους ή σύνδεσης στοιχείου με τοιχείο ή στήριξης κατακόρυφου στοιχείου σε στοιχείο όγκου, τα ακραία τμήματα των στοιχείων αυτών στις περιοχές σύνδεσης ή στήριξης είναι άκαμπτα M M M 6

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα άκαμπτα αυτά τμήματα δεν μπορούν να θεωρηθούν γραμμικά μέλη και στις προαναφερθείσες περιοχές δεν ισχύει η Αρχή της Επιπεδότητας των Διατομών (Αρχή ernoulli) με βάση την οποία γίνεται η ανάλυση των ραβδωτών στοιχείων μια και στις περιοχές αυτές επικρατεί τριαξονική εντατική κατάσταση Έτσι, τα εντατικά μεγέθη που θα προκύψουν στην περιοχή των ακραίων τμημάτων των στοιχείων αυτών δεν θα είναι αξιόπιστα Προκειμένου να αντιμετωπιστούν οι προαναφερθείσες περιοχές με αξιοπιστία προβλέπονται στην αρχή ή/και στο τέλος των εν λόγω στοιχείων άκαμπτα τμήματα (στερεοί κόμβοι) μήκους ανάλογου με τη γεωμετρία της σύνδεσης ή στήριξης των στοιχείων αυτών Παρακάτω παρουσιάζεται η επιρροή στα βήματα της Μεθόδου Άμεσης Στιβαρότητας για την ανάλυση επίπεδου ή χωρικού ολόσωμου φορέα, προκειμένου να ληφθούν υπόψη οι στερεοί κόμβοι 7

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ 8

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Κινηματικές Σχέσεις Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx x και δύο τυχόντα σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx, Δx Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β ως Β u u x u u x ή με μητρωική μορφή δηλαδή D e D 0 u x u 0 u x u 0 0 0 x e 0 x όπου 0 0 9

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Ισοδύναμες Δράσεις Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό σώμα, εύκολα προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις F, F, M, μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο σημείο Α ως F F F F Β M x F x F M 0 0 F F 0 0 F F M x x M 0 x T e e 0 x όπου 0 0 ή με μητρωική μορφή δηλαδή 0

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j, k φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα υπερστοιχείο με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του k ',,, x x x ',,, x x x j j i k'

j j ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j, k φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα υπερστοιχείο με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του κραίες μετακινήσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j, k ή με μητρωική μορφή i k' k 0 x 0 0 0 u 0 x 0 0 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x u 0 0 0 0 x u 0 0 0 0 0 u u u u 0 0 0 0 u x u u x u ή D i D D 0 0 0 0 u x u u x u 0 e D i e 0 e D D i

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j, k φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα υπερστοιχείο με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του Έτσι, συμβολίζοντας με e, e τα μητρώα εκκεντρότητας του μέλους i του άκρου j και του άκρου k, αντίστοιχα, το μητρώο εκκεντρότητας του μέλους i i e θα δίνεται από τη σχέση 0 x 0 0 0 k k' 0 x 0 0 0 i e 0 0 0 0 0 0 j i e j 0 e 0 0 0 0 x ' x, x, x, 0 0 0 0 x ' x, x, x, 0 0 0 0 0 4

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j, k φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα υπερστοιχείο με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του j κραίες δράσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j, k j ή με μητρωική μορφή i k' k 0 0 F 0 0 F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 x x M 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 x x M F F M F F M F ' F 0 0 F F ' F 0 0 F M x x M ' M x x M i T e 0 i T e 0 e ή 5 i

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j, k φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα υπερστοιχείο με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του Τροποποίηση μητρώου στιβαρότητας στοιχείου i επίπεδου φορέα λόγω στερεών κόμβων στα άκρα του j, k Προκειμένου να προσδιοριστεί η τροποποιημένη σχέση στιβαρότητας γράφεται αρχικά η αντίστοιχη σχέση του στοιχείου χωρίς στερεούς κόμβους j j i k' i k i D i T k i e i i i i T i i i e k e D i i i D e D Τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας στοιχείου i i T i i k e k e 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 7 E 0 kn / m 00080m kel 4 40 kn / m α= o Εξεταζόμενο πλαίσιο k el Αρίθμηση κόμβων, μελών, καθολικό και τοπικά συστήματα αξόνων, βαθμοί ελευθερίας 6 5 4 α=0 o k el 9 8 7 Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών Μόρφωση τοπικών μητρώων στιβαρότητας μελών πλαισίου 8

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών 4 5 6 5 5 0 0 5 0 0 6 4 0 0055 066 0 0055 066 α=0 o 0 066 0666 0 066 0 0 0 0 0 0 k EI 5 0 0 5 0 0 4 0 0 0 0 0 8 0 0055 066 0 0055 0665 0 0 0 0 0 k el 7 e 0 066 0 0 066 0666 6 9 0 0 0 0 0 4 5 6 7' 8' 9' 0 0 0 0 09 706 0 0 706 0 0 4 0 0 0 0 0 0 006 05 0 006 05 5 T k 0 05 0577 0 05 088 6 m e k e k EI 706 0 0 706 0 0 7' 4 5 6 7 8 9 0 006 05 0 006 058' 706 0 0 706 0 0 4 0 05 088 0 05 0577 9' 0 006 05 0 006 008 5 0 05 0577 0 05 0577 6 k m EI 706 0 0 706 0 0 7 Τροποποίηση μητρώου μέλους 0 006 05 0 006 0088 λόγω στερεού κόμβου στο άκρο k 0 008 0577 0 008 46 9 9

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 0 0 Μητρώα 5 0 0 0 6 4 μετασχηματισμού μελών α=0 o 0 0 PF I 0 0 0 0 0 8 j k 0 o 0 0 k j k 0 o el 7 0866 05 0 9 05 0866 0 0 4 5 6 0 0 5 0 0 5 0 0 PF 0 0055 066 0 0055 066 0866 05 0 0 05 0866 0 0 066 0666 0 066 0 k EI 5 0 0 5 0 0 0 0 4 4 5 6 7 8 9 0 0055 066 0 0055 0665 08 56 0065 08 56 0044 0 066 0 0 066 0666 6 56 0705 008 56 0705 080 5 0065 008 0577 0065 008 05776 Καθολικά μητρώα k EI 08 56 0065 08 56 0047 στιβαρότητας μελών 56 0705 008 56 0705 0808 004 080 0577 004 080 469 0

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 6 5 4 α=0 o Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου k el 9 # # # 8 7 K ό ό ό 4 5 6 7 8 9 ό ό k jj k jk k 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0055 066 0 0055 066 0 0 0 # 0 066 0666 0 066 0 0 0 0 5 0 0 56 56 0065 08 56 004 4 K EI 0 0055 066 56 07585 00578 56 0705 080 5 # 0 066 0 0065 00578 4 0065 008 0577 6 0 0 0 08 56 0065 08 56 004 7 0 0 0 56 0705 008 56 0705 080 8 # 0 0 0 004 080 0577 004 080 46 9 ό kj kkk k jj k jk k kj k kk Καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ Τροποποίηση καθολικού k el 7 μητρώου στιβαρότητας 9 πλαισίου λόγω λοξής K m R K R στήριξης # # # 4 5 6 7 8 9 K m 6 5 4 α=0 o Μητρώο περιστροφής T 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0055 066 0 0055 066 0 0 0 # 0 066 0666 0 066 0 0 0 0 5 0 0 56 56 0065 0079 49 004 4 EI 0 0055 066 56 07585 00578 00 59 080 5 # 0 066 0 0065 00578 4 050 0 0577 6 0 0 0 0079 00 050 0060 0000 0080 7 0 0 0 49 59 0 0000 7054 0 8 # 0 0 0 004 080 0577 0080 0 46 9 8 4 5 6 7' ' 8'' 9'' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 R 5 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7'' 0 0 0 0 0 0 cos 60 sin 60 0 8' ' 0 0 0 0 0 0 sin 60 cos60 0 9'' 0 0 0 0 0 0 0 0 Τροποποιημένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω ελαστικής στήριξης Τροποποιημένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου ( η τροποποίηση) 6 7 8 9 K kel 0 0 k kel k k, k kk 0 0 0 8 k k k 0 0 0 9 k k k 9 # # # 4 5 6 7 8 9 K 5 4 α=0 o mm k el 8 7 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0055 066 0 0055 066 0 0 0 # 0 066 0666 0 066 0 0 0 0 5 0 0 56 56 0065 0079 49 004 4 EI 0 0055 066 56 07585 00578 00 59 080 5 # 0 066 0 0065 00578 4 050 0 0577 6 0 0 0 0079 00 050 0980 0000 0080 7 0 0 0 49 59 0 0000 7054 0 8 # 0 0 0 004 080 0577 0080 0 46 9

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ ύ 6 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 4 ί ( free ) 7 0 0 0 0 0 0 0 0 α=0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 Τροποποίηση 0 0 0 0 0 0 0 0 4 καθολικού μητρώου έ 0 0 0 0 0 0 0 0 5 8 4 στιβαρότητας ί 0 0 0 0 0 0 0 0 6 k el 7 πλαισίου λόγω (sup ported ) 5 0 0 0 0 0 0 0 0 9 7 8 αναδιάταξης 0 0 0 0 0 0 0 0 8 K ff K fs T 9 0 0 0 0 0 0 0 0 K 9 mmm V K mm V Ksf K ss 6 7 4 5 8 9 4 6 05 098 7 Αναδιατεταγμένο 0 0 5 καθολικό μητρώο 066 0 0 0055 στιβαρότητας K mmm EI 0 0 0 066 0666 πλαισίου ( η 0065 008 5 0 0 564 4 τροποποίηση) 0058 00 0 0055 066 56 0759 5 0 0 0 0 0 4 5 706 8 0578 008 0 0 0 004 080 0 46 9 Μητρώο αναδιάταξης 4

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 80 Μέλος : α= o k el Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών Μέλος : αφόρτιστο q=60kn/m 80 0 0 0 0 0 0 j F j F j r j M r k k r F k F k M 90 559 80 90 559 80 j F j F j r j M r k k r F k F k M 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ Μέλος : α= o T [ ] T r PF e r k el Ανάλυση παγιωμένου φορέα Καθολικές ακραίες δράσεις μελών Τροποποίηση ακραίων δράσεων λόγω στερεού κόμβου στο μέλος T r PF r Μέλος : αφόρτιστο 0 0 0 0 0 0 0866 05 0 0 0 0 0 0 90 00 05 0866 0 0 0 0 0 0 0 559 80 0 0 0 0 0 0 0 80 80 0 0 0 0 0 0 0 90 559 0 0 0 0 0 0 0 0 559 90 0 0 0 0 0 0 09 80 5997 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ () j S r 0 () () 6 () () 7 6 ' () () u 7 ' 095 () 0 0 f () mm 0 s () 4 0 4 () 5 5 0 0 8 () 8 ' 0 9 () 9 ' 6 5 4 α=0 o 0 0 k el 9 8 7 Ανάλυση παγιωμένου φορέα Υπολογισμός δράσεων παγίωσης Συνυπολογισμός φορτίου στερεού κόμβου στο μέλος 00 559 () k j k 80 S r r r 90 80 5997 80 q x =q sin(a) cos(a) =6kN/m 6 559 095 q 7 y =q cos (a)=45kn/m () R () R P f () R Ps () R 00 4 () R 80 5 () 90 60 8 R () 9 R 5997 006 7 S 006 nodal Pmm Pmm Smm Τροποποιημένα και αναδιατεταγμένα διανύσματα επικόμβιων μετακινήσεων και δράσεων πλαισίου

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 6 5 4 α=0 o Επίλυση Επικόμβιες μετακινήσεις κατά τους ελεύθερους και επικόβιες δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους δεσμευμένους βε k el 9 8 7 f () () () () 65 4 0 () () u 96 ' ' R' ' k 96 4 704 kn el () R () 0 R 907 () R 5890 () R 5484 () 9958 R 0 () R 6984 () R 8

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ 6 5 4 α=0 o k el 9 8 7 Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου j Μέλος : F 0 0 0 j F 0 0 907 j M 0 0 4 5890 r [ k ][ PF ] D [ k ][ I ] 0 k F 0 0 0 k 0 0 907 F k 0 65 6775 M 9

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου 6 5 4 α=0 o Μέλος : j F 90 0 j F 559 0 j M 80 6 r [ k ][ PF ][ e ] D [ k ][ ][ ] k PF e F 90 96 k 559 0 F k 80 0 M 90 706 0 0 706 0 0 8 559 0 006 05 0 006 05 k el 7 80 0 05 0577 0 05 088 9 EI 90 706 0 0 706 0 0 559 0 006 05 0 006 05 80 0 05 088 0 05 0577 0866 05 0 0 0 0 0 0 0 90 05 0866 0 0 0 0 0 0 0 0 449 0 0 0 0 0 0 0 65 6789 0 0 0 0 0 0 0 96 90 0 0 0 0 0 0 0 09 0 66886 0 0 0 0 0 0 0 0 954 0

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ [N] [Q] Διαγράμματα εσωτερικών εντατικών μεγεθών μελών πλαισίου [Μ]

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Β x x x x x x x x x u u θ Δx θ θ u u u u u u u u θ θ x x x Δx Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx x x και δύο τυχόντα σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx, Δx, Δx Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β ως Κινηματικές Σχέσεις όπου

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Κινηματικές Σχέσεις Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx x x και δύο τυχόντα σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx, Δx, Δx Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β x x x x x x Β Η σχέση u u θ Δx u u x u u x πιο αναλυτικά u x u γράφεται ως ή με τη βοήθεια του ορισμού του εξωτερικού γινομένου ως x x x u u x u x x u i i i u u x x u u u x x u u u x x 4

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Κινηματικές Σχέσεις Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx x x και δύο τυχόντα σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx, Δx, Δx Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β x x x x x x D e D x x x Β Έτσι, οι σχέσεις u u θ Δx θ θ με μητρωική μορφή γράφονται ως u u 0 0 0 x x u 0 0 x 0 x u u 0 0 x x 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Κινηματικές Σχέσεις Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx x x και δύο τυχόντα σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx, Δx, Δx Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β x x x x x x D e D x x x Β e όπου με [e] συμβολίζεται το μητρώο εκκεντρότητας του σημείου Β ως προς το σημείο Α του χωρικού στερεού σώματος 0 0 0 x x 0 0 x 0 x 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό σώμα, εύκολα προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις F, F, F, M, M, M, μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο σημείο Α ως ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ 7 Β x x x x x x x x x F F M M Δx F F F F F F F F F M M M M M M M M x x x Δx Ισοδύναμες Δράσεις όπου

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Ισοδύναμες Δράσεις Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό σώμα, εύκολα προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις F, F, F, M, M, M, μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο σημείο Α x x x x x x Β πιο αναλυτικά γράφεται ως Η σχέση M M ΔxF M M x F M M x F x M M F ή με τη βοήθεια του ορισμού του εξωτερικού γινομένου ως x x x M i i i M M M x F x F M M x x x M M x F x F M M F F F M M x F x F 8

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Ισοδύναμες Δράσεις Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό σώμα, εύκολα προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις F, F, F, M, M, M, μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο σημείο Α x x x x x x T e x x x όπου με [e] συμβολίζεται το μητρώο εκκεντρότητας του σημείου Β ως προς το σημείο Α Β Έτσι, οι σχέσεις F F M M ΔxF με μητρωική μορφή γράφονται ως F F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 M x x M x 0 x 0 0 M M x x 0 0 0 M M 9

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ 40

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i χωρικού φορέα, του οποίου τα άκρα j, k φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα υπερστοιχείο με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του k j k' j ',,,,,, x x x ',,,,,, x x x 4

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ κραίες μετακινήσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j, k D e D k k' j j u 0 0 0 u 0 0 0 u x x u x x u 0 0 x u 0 0 0 u 0 x u x x u 0 0 u 0 0 0 u 0 x x u x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 D e D

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ κραίες δράσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j, k T e j k' k e T F F F M M M 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 0 0 F x x M x 0 x 0 0 M 0 0 0 x x M j 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 M x x M 0 0 0 M x x M 0 0 0 M x x M ' x,, x,, x ',, x,, x,, x,, όπου e, e τα μητρώα εκκεντρότητας του μέλους i του άκρου j και του άκρου k, αντίστοιχα 4

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Έτσι, συμβολίζοντας με e, e τα μητρώα εκκεντρότητας του μέλους i του άκρου j και του άκρου k, αντίστοιχα, το μητρώο εκκεντρότητας του μέλους i i e θα δίνεται από τη σχέση ' x,, x,, x,, 0 0 0 x x ' x x x,,,,,, 0 0 x 0 x 0 0 x x 0 [0] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 0 i 0 0 0 0 0 e 0 e 0 0 0 x x 0 0 x 0 x 0 0 x x 0 [0] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 44

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Τροποποίηση μητρώου στιβαρότητας στοιχείου i χωρικού φορέα λόγω στερεών κόμβων στα άκρα του j, k Προκειμένου να προσδιοριστεί η τροποποιημένη σχέση στιβαρότητας γράφεται αρχικά η αντίστοιχη σχέση του στοιχείου χωρίς στερεούς κόμβους i k i D i j j k' k T i i i e D i e i D i T i i i i i e k e D Τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας στοιχείου i i T i i k e k e 45

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ κραίες μετακινήσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j, k ή συνολικά για το μέλος i u u 0 0 0 x x u u 0 0 0 x x u u 0 0 0 [0] x x 0 0 0 0 0 i D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e u 0 0 0 x x u 0 u 0 0 x 0 x u i u 0 0 0 e x x u [0] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 δηλαδή 0 46 i D D D e D D

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ κραίες δράσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j, k ή συνολικά για το μέλος i δηλαδή F F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 [0] F i M 0 x x 0 0 M M x 0 x 0 0 M M x x 0 0 0 T M e 0 F 0 0 0 F 0 0 0 0 e F F 0 0 0 i T i F [0] 0 x x 0 0 M F e M 0 x x M 0 0 M 0 0 0 M x x M 47