PRELEGEREA IV STATISTICĂ MATEMATICĂ

PRELEGEREA IV STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Indcator de măsură a împrăşter Dstrbuţa une varable nu poate f descrsă complet numa prn cunoaşterea mede, c este necesar să avem nformaţ ş despre gradul der împrăştere în jurul mede. În general, se poate afrma că, o împrăştere ma mare va f reflectată de exstenţa ma multor valor frecvente. Reamntm ndcator de măsură a împrăşter valorlor într-o dstrbuţe: ampltudne, quantla, momentul de ordn r, momentul centrat de ordn r, dspersa, abaterea mede, abaterea standard, coefcentul de varaţe, coefcentul de asmetere, coefcentul de boltre ş coefcentul de exces.... Ampltudnea Ampltudnea (sau întnderea domenulu sere statstce) este cel ma smplu ndcator de măsură a împrăşter. Ampltudnea este egală cu dferenţa dntre cea ma mare ş cea ma mcă valoare observată: A = x max x mn. A nu se confunda ampltudnea cu numărul de valor posble: xmax x mn +. Aplcaţe. Pentru sera expermentală:,, 0, 57,, 0, 33 se obţne: A = 0 0 = 0. Observaţ.. Ampltudnea este dependentă de volumul sere statstce avută în vedere. Cu cît este ma mare, cu atît valoarea calculată a ampltudn este ma credblă. Dec, modfcarea dmensun eşantoanelor studate poate afecta valoarea acestu ndcator.. Dacă valorle extreme (aberante) sînt într-un număr foarte mc, se pot înlătura practc dn operaţunle de grupare, dar se recomandă ca acest operaţe să se facă cu dscernămînt, deoarece rareor exstă lmte reale superoare sau nferoare pe care valorle une v.a. să nu le poată depăş. 3. Ampltudnea, alătur de ampltudnea nterquartlcă, este o măsură a varabltăţ, ma ales, cînd se realzează comparaţ între varabltăţle a două dstrbuţ cu un număr egal de scorur. De exemplu: - eşantonul :,, 8, 3, 9, 3, 37; - eşantonul : 8, 9,, 3,,, 9. Medanele lor fnd egale: Me = 3, ar Me = 3 se determnă ampltudnle lor: A = 37 =, ar A = 9 8 =. Rezultă că prmul eşanton este ma eterogen decît al dolea.. Ampltudnea nu ţne cont de forma repartţe, aceeaş valoare se poate obţne atît în stuaţa une curbe cu frecvenţe smetrce, cît ş în aceea a une curbe de frecvenţe în formă de J sau L... Quantla Quantla (percentla, cvantla) de ordn α permte aprecerea modulu de împrăştere a valorlor celor ma frecvente pe întregul segment al datelor observate ş fxarea une observaţ în raport cu medana dstrbuţe. Cu alte cuvnte, quantla este valoarea dn

sera expermentală care depăşeşte o proporţe α% de observaţ ş este depăştă de (- α)% observaţ. În tabelul următor se evdenţază cele ma frecvente ssteme de quantle. r. crt. umăr de părţ egale umăr de quantle Denumre 3 Treclă 3 Quartlă 3 5 Quntlă 5 Sextlă 5 7 Septlă 8 7 Octlă 7 9 8 onlă 8 0 9 Declă 9 00 99 Centlă Tabelul... Ssteme de quantle Doar pentru o repartţe unformă, quartlele sînt egal depărtate (ca număr de categor) între ele. De exemplu, quartlele împart observaţle în patru părţ egale: Q = Q /, Q = Q /, Q 3 = Q 3/. Se utlzează termen: - quartla întî (sau quartla de 5 %); - quartla a doua (sau quartla de 50%); - quartla a trea (sau quartla de 75%). Se observă că, quantla de ordn ½ este egală cu medana, adcă: Me(X) = Q /. Practc: - pentru datele dscrete, etapele de aflare a une quntle sînt: ) se ordonează şrul valorlor observate x (), x (),, x (n), unde n este numărul total de observaţ; ) se află ndcele (rangul) valor care împarte şrul de valor observate în proporţle date: k = [αn] +, ar [] reprezntă funcţa partea întreagă a unu număr.; 3) quantla de ordn α este atunc valoarea observată de rang k, Q α = x (k). În general, α = (numărul de observaţ ma mc decît Qα)/(numărul total de observaţ), ş se exprmă în procente. - pentru datele contnue, se procedează astfel: ) se calculează ndcele k al observaţe care determnă quantla, k = [αn] + ; ) se determnă ntervalul cărua î aparţne observaţa x (k) ; k f 3) se utlzează formula: Qα = l + l, unde f l este lmta nferoară exactă a ntervalulu, l este lungmea ntervalulu, f este frecvenţa (necumulată) a ntervalulu care conţne quantla, f - este frecvenţa cumulată pentru ntervalul anteror ntervalulu care conţne quantla.

Utlzarea unu sstem de quantle cu ma multe elemente (decle, centle) duce la o înţelegere ma fnă a modulu în care sînt împrăştate valorle observate în domenul respectv. Observaţ. ) La caracterzarea gradulu de împrăştere a valorlor observate se pot utlza următoarele mărm statstce dervate dn sstemele de quantle (ntervalul nterquantlc, abaterea quartlcă). a) ntervalul nterquartlc, IQR (Interquartle Range) = Q 3 Q, unde Q ş Q 3 sînt quartlele ş 3 ale dstrbuţe. În acest nterval se află 50% dntre valorle dstrbuţe. Cu cît ntervalul quartlc este ma mare, cu atît valorle sînt ma împrăştate. Valorle extreme sînt elmnate dn calculul acestu ndcator. Două ser de date cu acelaş nterval IQR pot să dfere semnfcatv ca dstrbuţe a valorlor. b) ntervalul nterdeclc, IQR = Q 9 Q, unde Q ş Q 9 sînt declele ş 9 ale dstrbuţe. În acest nterval se află 90% dntre valorle dstrbuţe. c) ntervalul ntercentlc, IQR = Q99 Q, unde Q ş Q 99 sînt centlele ş 99 ale dstrbuţe. d) abaterea quartlcă (sau ampltudnea semnterquartlcă), AQ = (Q3 Q )/. Acest ndcator permte determnarea unu nterval centrat pe medană (adcă, quartla a doua), nterval în care sînt ncluse aproxmatv 50% dntre observaţ. Lmtele acestu nterval sînt Me AQ ş Me + AQ ş este smetrc faţă de medana Me. Această afrmaţe este valablă doar în cazul repartţlor smetrce (cum este repartţa normală) ş erorle sînt majore pentru repartţle cu asmetre pronunţată. Lungmea ntervalulu defnt în acest mod este egală cu cea a ntervalulu nterquartlc. Pentru o dstrbuţe normală se poate consdera că ampltudnea este de aproxmatv 7.5 abater quartlce. e) crterul.5iqr, utlzat pentru depstarea valorlor aberante (extreme). Orce observaţe stuată la o dstanţă ma mare decît.5iqr sub prma quartlă sau peste a trea quartlă, poate f dentfcată ca o valoare aberantă. Utlzînd statstcle x mn Q Me Q 3 x max calculate dn valorle observate, în ordnea dată, se obţne o magne sntetcă a ampltudn datelor (prn ncluderea valorlor extreme), a tendnţe centrale (prn medană) ş a împrăşter datelor (prn quartle)...3. Momentul de ordn r Momentul de ordn r al v.a. X, cu notaţa M r, se defneşte ca valoarea mede a v.a. X r. Mr(X) = M(X r ). Pentru cazul contnuu, avem: Mr(X) = M(X r ) = + x r f ( x) dx. Dacă r =, momentul de ordn r este egal cu valoarea mede, ar dacă r =, momentul de ordn r este egal cu pătratul mede pătratce. În plus, în momentul de ordn r se amplfcă ponderea valorlor extreme, valorle fnd rdcate la puterea r. Dferenţele de semn dspar doar dacă r este par. Observaţe. Momentul de ordn r în raport cu un număr a se defneşte doar pentru cazul M X r dscret: a = r ( ) ( x a) / n.... Momentul centrat de ordn r Momentul centrat de ordn r al lu X, cu notaţa µ r, se defneşte ca momentul de ordn r al abater v.a. X de la meda e: µ r = M((X - M(X)) r ).

Calculul momentulu centrat de ordn r al v.a. X se face în următoarea ordne: - se determnă valoarea mede; - se află abaterea de la mede; - se rdcă abaterea mede la puterea r; - se află valoarea mede pentru varabla obţnută în etapa anteroară. În momentul centrat de ordn r este amplfcată ponderea valorlor ma depărtate de mede. Observaţ.. Momentul centrat de ordnul întî este nul: µ = 0.. Vom vedea în paragraful următor că, momentul centrat de ordn este egal cu dspersa: µ = D (X). 3. Se demonstrează că momentul centrat de ordn r este ndependent la transformăr lnarte de genul, z = x x 0, unde x 0 este orgnea sere expermentale: µ (X) = µ (Z)...5. Dspersa Dspersa (sau varanţa, momentul centrat de ordnul al dolea) une v.a X, cu notaţa σ sau D (X), se defneşte ca momentul centrat de ordn, adcă meda pătratulu abater X - M(X). În aprecerea împrăşter datelor observate pentru o anumtă caracterstcă, dspersa rămîne ndcatorul cel ma folost, ndcînd cît de mult se abat valorle măsurate faţă de mede. Cu cît este ma mare această valoare, cu atît ma mult se împrăşte valorle în jurul valor centrale: - pentru date dscrete avem: σ = ( x x). = Prn rdcarea abaterlor de la mede la pătrat se realzează ponderea suplmentară a valorlor extreme (ma depărtate de mede). De exemplu, o valoare depărtată de mede cu 0 contrbue la calculul dsperse cu 00, în tmp ce o valoare ma apropată de mede, avînd o abatere de de la mede, contrbue doar cu. Se observă că greutatea contrbuţe la dsperse este amplfcată de valorle ma depărtate de mede. Observaţe. Orcare ar f o altă valoare de refernţă a abaterlor, W, are loc negaltatea: = ( x W ) ( x x), adcă suma pătratelor abaterlor de la = mede este mnmă ş că meda este cea ma bună aproxmare, în sensul celor ma mc pătrate a sere de valor respectvă. - pentru date contnue se utlzează: σ = n ( c x). Deoarece = ( x x) = x = în modul următor: x σ =, formulele de calcul pentru dsperse se pot scre, ma smplu, = x x, =

= ) ş respectv x ) = = σ ( x ( = n c ) ), unde n este frecvenţa ntervalulu σ ( nc ( = =, c este centrul (sau valoarea mede) ntervalulu, ar este volumul sere k expermentale, = fa, ar k este numărul claselor de grupare. = În stuaţa utlzăr dsperse de sondaj (calculată dntr-un eşanton mc), ca estmaţe a dsperse întreg populaţ statstce, formulele de ma sus sînt corectate, în sensul că împărţrea se face prn n- în loc de : s s n = ( x x) sau respectv n = k = n ( c x) ş, corespunzător: n = s ( x ( = ) ş n n x ) n = n = s k k = ( nc ( nc ) ). n = n = În cazul eşantoanelor mar (n > 30) dferenţele dntre rezultate sînt negljable. Propretăţ. a) Dspersa este o canttate poztvă. b) Dspersa une constante c este egală cu zero: D (c) = 0. c) Dspersa produsulu dntre o constantă c ş o va.. x este egală cu: D (cx) = c D (X), ar D ( X) = c c D (X), d) Dspersa une sume fnte de v.a. ndependente este: D (X ± X ± ± X k ) = D (X ) + D (X ) + +D (X k ). e) Dspersa sume dntre o constantă c ş o v.a. X este egală cu: D (c ± X) = D (X). f) Se demonstrează că dspersa este ndependentă la transformăr lnare de genul, z = x x 0, ş z = x x0, unde x 0 este orgnea sere expermentale: D (X) = D (Z). g) u acelaş lucru se întîmplă, atunc cînd pe lîngă orgne se schmbă ş untatea x de măsură: dacă z x 0 =, atunc: c D (X) = c D (Z). Aplcaţ.. D (5) = 0.. În experenţa aruncăr unu zar deal, se şte că µ = 3.5. Dspersa va f egală cu:

D (X) = ( 3.5) + ( 3.5) + (3 3.5) + ( 3.5) + (5 3.5) + ( 3.5) =.9. 3. Dacă în aruncarea cu două zarur se notează cu X numărul obţnut la prmul zar, ar cu Y numărul obţnut la dolea zar, atunc suma celor două numere este o nouă varablă aleatoare dscretă, Z. V.a. X ş Y fnd ndependente, atunc: D (Z) = D (X) + D (Y) =.9 +.9 = 5.8.. Propetăţle menţonate ma sus permt reducerea volumulu de calcul sau facltarea calculelor prn mcşorarea ordnulu de mărme a valorlor observate. Este ma smplu să calculăm dspersa pentru valorle X:, 3,, decît pentru X : 00, 300, 00, 00, ştnd că: D (X ) = 00 D (X ) = 0000 D (X ). Dspersa este o măsură a împrăşter valorlor cu probabltăţ sufcent de mar (încît realzarea lor să fe plauzblă). În plus, propretăţle menţonate ma sus aduc preczăr legate de împrăşterea valorlor ma multor v.a., de exemplu, dferenţa a două v.a este tot atît de împrăştată ca ş suma lor. Observaţ.. otaţ. Utlozate în statstcă în mod curent: ume enttate Populaţe Eşanton umărul untăţlor Valoarea mede X sau µ Dsperse D (X) sau σ Ampltudne A a Coefcent de varaţe CV cv. Interpretarea practcă a dsperse este îngreunată pentru că nu se exprmă în aceleaş untăţ de măsură ca datele nţale. Dacă dspersa se calculează pentru lungm exprmate în cm, atunc dspersa se exprmă în cm. Acest neajuns este înlăturat de ndcatorul statstc, abaterea standard, utlzat în locul dsperse în mod frecvent. 3. Pentru n sufcent de mare, valorle mede ş ale dsperse trebue să fe apropate. Dscrepanţele dntre ele se datorează, în prncpal, împărţr pe clase a une selecţ de volum mc.... Abaterea mede Abaterea mede (abaterea mede artmetcă sau abaterea mede absolută) se defneşte prn expresa: AM = x x. Însă, în locul e, în ultma vreme, se foloseşte abaterea standard. =..7. Abaterea standard Abaterea standard(sau abaterea mede pătratcă), cu notaţa σ, se defneşte ca fnd rădăcnă pătrată dn dspersa populaţe studată: σ = σ.

Abaterea mede pătratcă se exprmă în aceleaş untăţ de măsură ca ş valorle expermentale, ar pentru un eşanton cu dspersa s, în mod smlar, abaterea standard este: s = s. Observaţ.. Abaterea mede pătratcă este o canttate partculară de abatere de la mede faţă de abaterea mede pătratcă de la o valoare arbtrară.. Aproxmatv /3 dnte valorle normale sau tpce ale une dstrbuţ se găsesc în ntervalul cuprns de o parte ş de alta a mede cu o abatere standard: (M - σ, M + σ). De ac, provne atrbutul standard a abater, deoarece ndferent de forma dstrbuţe, aproxmatv /3 dnte valor se vor găs în acest nterval. Aplcaţe. Abaterea standard a v.a. X dn expermentul aruncăr unu zar deal este: σ =. 9 =.7...7. Calculul practc al mede ş abater standard Pentru calculul practc al mede ş abater standard se consderă următoarea: Aplcaţe. La controlul fnal al unor produse textle s-a analzat o caracterstcă obţnîndu-se următoarele date de sondaj: 8 8 9 7 7 5 8 55 5 7 73 58 70 78 5 58 55 70 9 8 55 58 8 8 Se cere: a) Să se împartă datele în k = 5 clase de ampltudne egală (se adoptă ntervale de tpul [ ; )); b) Să se calculeze meda; c) Să se calculeze abaterea mede pătratcă. Rezolvare: a) Valorle extreme sînt: x mn = ş x max = 9. Dec, ampltudnea este: A = 9 = 50. Lungmea unu nterval (sau noua untate) se obţne, astfel: l = A/k = 0. Împărţrea datelor de sondaj în 5 ntervale egale se prezntă după cum urmează: r. [x ;x I+ ) c n Val. n..z n. z clase smpl. (z ) [;5 ) [5; ) 7 57 8 - - -8-8 8 3 [;7 ) 7 0 0 0 5 [7;8 ) [8;9 ) 77 87 3 Total 30-0 b) ş c) Valorle smplfcate se obţn prn transformarea lnară:

7. c 7 z =, unde c este centrul une clase, ar noua orgne este x 0 0 În rezolvarea probleme vom utlza următoarele formule pentru: k n = - volumul sere expermentale: n = - meda adevărată: x = x + 0 c. z, unde c = l; - dspersa reală: σ (x) = c. σ (z); - abaterea mede pătratcă reală: σ(x) = c. σ ( z). În ordne, se obţn: n = 30, z = -/30 = -0., σ (z) = 0/30 (-0.) =.33 0.0 =.9, x = 7 + 0x (-0.) = 5, σ (x) = 0 x.9 = 9, σ(x) = 0x.9 = 0x. =.. ; =..7... Corecţa lu Sheppard Erorle sstematce ntroduse în calculul dsperse, în general, sînt semnfcatve, pe cînd nu acelaş lucru se poate spune despre mede, ele fnd negljable. De aceea, cînd nu sînt sufcente ntervale (clase) la dspozţe, practc, ma puţn de 0, se aplcă corecţa Sheppard asupra valor calculate a dsperse: σ (corectată) = σ c (calculată) -, cu c > σ. Aplcaţe. Corecţa lu Sheppard se aplcă valor calculată a dsperse în exemplul dn paragraful anteror, deoarece 0> σ. Dec, valoarea corectată a dsperse este: σ (corectată) = 9 00/ = 9 8.33 = 0.7. Prn urmare, valoarea corectată a abater standard va f: σ = 0. 7 = 0.98...8. Coefcentul de varaţe Coefcentul de varaţe nu depnde de untăţle de măsură foloste în obţnerea datelor expermentale (este admensonal) ş se află fe cu formula: CV = σ/m(x), fe procentual: CV = 00σ/M(X)%. Aplcaţe. Pentru problema rezolvată în paragraful..7.., se obţne: CV = 00x 0.98/5% =.5%. Coefcentul de varaţe se utlzează în operaţ de comparare a două sau ma multe ser statstce.

..9. Coefcentul de asmetre Acest ndcator măsoară, pe de o parte, gradul de smetre al une dstrbuţ., ar, pe de alta, permte compararea a două dstrbuţ, atunc cînd valorle obţnute pentru µ 3 sînt comparable cu valorle varable studate. Coefcentul de asmetre, cu notaţa β, se află astfel: µ 3 β =, unde σ este dspersa v.a. X. 3 (σ ) În formula coefcentulu de asmetre ntervne momentul centrat de ordn 3, care ponderează suplmentar valorle ma depărtate de mede ş care conservă semnul. Valorle negatve ale momentulu centrat de ordn 3, reflectă repartţ cu asmetre spre stînga, ar cele poztve repartţ cu asmetre spre dreapta. Ma mult, deoarece coefcentul de asmetre este o valoare poztvă totdeauna, aprecerea sensulu smetre se obţne cu: µ 3 β =. Valorle accentuat apropate de zero a celor do 3 / (σ ) ndcator statstc, reflectă o repartţe smetrcă...0. Alţ coefcenţ de asmetre pentru dstrbuţ unmodale Am văzut că forma une dstrbuţ de date poate f smetrcă sau asmetrcă în raport cu meda e. Astfel, pentru dstrbuţ smetrce moda, medana ş meda, ce tre parametr de tendnţă centrală, se confundă, ar pentru dstrbuţ asmetrce, cele tre valor sînt foarte dferte. Dacă moda, medana ş meda dferă foarte puţn, atunc dstrbuţa este una uşor asmetrcă. În plus, asmetra une dstrbuţ unmodale poate f stabltă ş cu ajutorul coefcenţlor lu Pearson, Fsher ş Yule. a) Coefcentul lu Pearson. Ţnînd cont de relaţa de legătură între modă, medană ş mede, pentru coefcentul lu Pearson se cunosc tre expres: x Mo 3( x Me) 3( Me Mo). β P =,. β P = ş 3. β P =. σ σ σ Cu cît valoarea acestu coefcent se aprope de zero, cu atît ma mult dstrbuţa este asmetrcă. b) Coefcentul lu Fsher. În expresa de calcul a acestu coefcent ntervne 3 µ momentul centrat de ordn 3 ş cubul abater standard: β F =. În mod 3 σ analog, forma dstrbuţe, avută în vedere, va f una pronunţat asmetrcă, dacă valoarea lu β F tnde către zero. c) Coefcentul lu Yule. Cu nterpretare smlară celorlaţ do coefcenţ de ma sus, pentru acest ndcator se prezntă două expres: ( Q3 Q ) ( Q Q ). β Y = ş Q3 Q Q + Q3 Me. β Y =. A doua exprese se obţne dn prma, ştnd Q3 Q că medana este egală cu quartla a doua: Me = Q.

... Coefcentul de boltre Coefcentul de boltre măsoară gradul de înălţare în aproperea valor mod a une repartţ unmodale. Coefcentul de boltre (coefcentul de aplatzare- kurtoss), cu notaţa β, se determnă în modul următor: µ β =, unde σ este dspersa, ar µ este momentul centrat (σ ) de ordn. O valoare ma mare a coefcentulu de boltre descre o supraînălţare în aproperea valor mod. Ma tîrzu, vom vedea că pentru grafcul denstăţ de probabltate a une varable aleatoare X, o valoare ma mare a coefcentulu de boltre descre faptul că valorle respectve au probabltăţ de realzare ma mar decît valorle ma depărtate, nălţare care de cele ma multe or este raportată la boltrea repartţe normale, β = 3.... Coefcentul de exces Coefcentul de exces se calculează în funcţe de β : E = β - 3. Valoarea excesulu reflectă:. O repartţe platcurtcă, dacă E < 0 (sau β < 3),. O repartţe mezocurtcă, dacă E = 0 (sau β = 3), 3. O repartţe leptocurtcă, dacă E > 0 (sau β > 3). În concluze, dn tpul repartţe se pot extrage nformaţ despre concentrarea valorlor cu probabltăţ de realzare ma mar, ar valorle coefcenţlor de boltre ş de exces reflectă tocma forma repartţe.