ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ. Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: i 7 ii v) 7 v. Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: i ii7 v) v 7 7. Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: i ii 9 9 v) v. Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: i ii v). Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: i 9 7 v ii 9 v) 7 v 0,(0 0). Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: 00 i 0 ii 0000 000 v) 7 v 0,(0 0) 7. Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: ln i ln ii ln ln v) ln v ln. Να βρείτε τις τιμές των επόμενων παραστάσεων : 00 (ln ) i ln(0 ) ii ln(7 7) 0 (ln ) v) 0 (0 ) v ln(ln )
9. Να βρείτε τις τιμές των επόμενων παραστάσεων : ln 7 i 0 ii ln(00) ln (ln ) 0 v) v 00 vi ln vii 0 0. Να βρείτε τον αριθμό α για τον οποίο ισχύει : i ii. Να βρείτε τον αριθμό α για τον οποίο ισχύει : i 9 ii ( ) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ. Να βρεθεί ο στις επόμενες ισότητες : og i n ii og 0 n. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : i ii v)0 000 v vi 0 vii 9000 i). Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : 0 i 0 ii 00 9. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : 7 ii i 000. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : i ii 7 7. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : ( ) ( ) i 0 ( ) ( )
ii ln( ) ln(7 ). Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : 0 i ii 0 0 9. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : ln 9 ln ln ln ln ii 0 0 0 i 0 ln 00 ln ln0 ln 0. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : 0 i 0 ii 000 v) ln v ln vi ln vii 9 0 ln. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : 0 i 0 ii 0 0 000. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : lnln i ln ln 7 ii 00 ln ln ln 000. Να εφαρμοστούν οι δυνατές ιδιότητες των λογαρίθμων : i ii R 0 * ) og ) og (,, ). Να δειχτούν οι ισότητες : i ) og og og 0 ii ) og og og0 og iii ) n n n n og og og og v) og og og og og v og og og og og
. Να δειχτούν οι ισότητες : og og og og 9 0 ii og og og og v) og00 og og. Να αποδειχτούν οι ισότητες: i og og og og 7 og og og og 9 og og 7 og v og og +=+ iog +og =+ ii og + =og += +0 v) 7 v ln( ) ln( ) vi ( ) ( ) ( ) vii 00[ ( )] 0 7. Να δειχτούν οι ισότητες : 0 i 7 9 9. Αν ισχύει lnα=, lnβ= και lnγ= να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : ln i ln ii ln 9. Δίνονται αριθμοί α,β>0 για τους οποίους ισχύει :. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 0. Να δειχτεί η συνεπαγωγή ( ) g ( og og ),, 0. Αν ( ),, 0 να δειχτεί ότι og ( ) ( og og ). Να δειχτεί ότι : og og( ) og( ) og( ) og
. Να αποδειχτεί: 0 0 iav, θετικοί και + =7 να αποδείξεις ότι:. Να αποδειχτούν οι ισότητες: iα+ β = αβ( + αβ) αβ. Αν α>β>0 και α +β =αβ να δειχτεί ότι: ln ln( ). Αν α, β > 0 και να δειχτεί ότι: 7. Αν z και, να δειχτεί ότι z. Να αποδειχτούν οι ισότητες:... 9 9 i, ν ριζικά 9. Αν =α(βγδ), =β(αγδ), z=γ(αβδ), ω=οgδ(αβγ), να αποδείξετε ότι: α -.β -.γ z-.δ ω- = 0. Αν =0,0 και =0,77, να υπολογίσετε τους αριθμούς: i 9 9. Να αποδειχτούν: i + + +... + v =v. Να αποδειχτούν οι ισότητες: ii (εφ)+ (εφ)+ +(εφ9)=0 ()+()= ()() i. Αν να δειχτεί ότι. Αν,,α,β>0 και α,β και α =β και β = α,να δειχτεί ότι:
. Να αποδειχτεί ότι:... ΤΥΠΟΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΒΑΣΗΣ. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : 7 7 i 9 ii 9 7 7. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : ln0 i ln0000 ii ln 0 ln 0. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : ln i ln ln ii ln 9 9 9. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων : A (0) ln(0) (0) ln(0) i B 9 0. Αν α,β>0 και α,β,να αποδείξετε ότι : i ii. Να αποδειχτούν οι ισότητες : α β i ln ln iiαββγγα = l. Να αποδειχτούν οι ισότητες : ι) α - β = α ( - βα) iα = αβ(l + βα) ii,. Av αβ = βγ.γ α, να δειχτεί ότι : α =β ή αβ=. Αν 0, να δειχτεί ότι: χψω=. Αν α,β,γ,δ>0 και διάφοροι της μονάδος να δείξετε ότι: ( )( )( ). Αν και δείξετε ότι α =β =γ. να
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 7. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f()= και g()= if()=ln και g()=ln+ ii f()=(+) και g() =+ f()= και g() =-. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f()= και g()= ( ) if()=ln και g()=ln(+) 9. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f () και g() i f () και g() ii f () 0, και g() 0,( ) f () και g() ( ) 0. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f()=(0) if()= ln iif()=(0+0) f()=ln( - ) v) f () v f () ln 00. Δίνονται οι συναρτήσεις f()= και g(). 0 α) Να αποδείξετε ότι g() f() β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()= και g(). Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f()= i f () ii f (). Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f()= i f()= (+) iif()= (-) 7