Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunaan dipanggil fungsi trigonometri Fungsi trigonometri pada mulana timbul dalam pengajian sains pelaaran, sains pengukuran dan sains lain ang bergantung pada hubungan di antara sudut dan sisi segitiga Akan tetapi pada hari ini kebanakan penggunaan fungsi ini adalah dalam pengajian fenomenon gelombang seperti buni, haba, cahaa, keelektrikan, fizik nuklear dan biologi Fungsi ini juga digunakan apabila mengkaji fenomenon berkala iaitu keadaan dimana corak asas berulang berkali-kali 7 Takrif Fungsi Trigonometri Sebelum kita mentakrifkan fungsi trigonometri mari kita lihat tafsiran sudut atas satah secara geometri Misalkan dua garis lurus bertemu di titik O Maka pemutaran terhadap titik O ang membawa satu garis itu kepada garis ang satu lagi dipanggil sudut Jika pemutaran itu lawan arah jam maka sudut itu dikatakan sudut positif, manakala jika pemutaran itu ikut arah jam maka sudut itu dikatakan sudut negatif Titik O dipanggil bucu sudut Lihat Rajah 7 Sudut positif Sudut positif Sudut negatif Sudut negatif Rajah 7: Sudut Satu daripada cara mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah Satu putaran lawan arah jam ang lengkap adalah sama dengan ukuran 6 darjah (6 ) Dengan ini 8 ialah setengah putaran lawan arah jam; ialah satu pertiga putaran lawan 9
94 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI arah jam; 7 ialah tiga perempat putaran arah jam; dan 45 bersamaan satu perlapan putaran arah jam Cara mengukur sudut ang lebih berguna adalah dalam sebutan panjang bertanda Misalkan θ ialah sudut ang diperolehi apabila garis L diputarkan terhadap bucu O sehingga ia bertindih dengan garis L sebagaimana ditunjukkan Rajah 7 Bina satu bulatan berjejari berpusat di O Bulatan ini dipanggil bulatan unit Panjang bertanda lengkok bulatan unit ini di antara L dan L adalah dipanggil ukuran radian bagi θ Panjang bertanda bererti ukuran radian itu adalah positif jika θ lawan arah jam dan negatif jika θ arah jam Lihat Rajah 7 L Bulatan unit θ radian ( <) θ θ L unit panjang L θ radian ( >) L Rajah 7: Ukuran radian Mengikut teori geometri satah, ukuran lilitan bulatan unit ialah Jadi 6 radian 8 radian 9 radian 8 radian ( ) 6 dan radian 57 8 Daripada hubungan ini ukuran sudut dapat ditukar daripada satu sistem unit kepada sistem unit lain Sebagai contoh 7 7 7 radian 8 ( dan 7 radian 7 8 ) 77 9 Jadual berikut menunjukkan ukuran darjah dan radian sudut-sudut tertentu Darjah 45 6 9 5 5 8 7 6 Radian 6 4 4 5 6 Sekarang kita takrifkan fungsi trigonometri Bagi sesiapa ang telah mempelajari trigonometri cuba ingat kembali bahawa fungsi trigonometri boleh ditakrifkan secara klasik, iaitu dalam sebutan nisbah sisi-sisi suatu segitiga tegak Tetapi pendekatan ini
Seksen 7: Fungsi Trigonometri 95 tidak mencukupi dalam kalkulus Oleh itu kita takrifkan fungsi trigonometri dalam sebutan koordinat titik-titik atas bulatan unit seperti berikut Dua fungsi trigonometri ang asasi ialah sinus dan kosinus, biasana diringkaskan sin dan kos Untuk mentakrifkan fungsi-fungsi ini kita lukiskan satu bulatan unit ang berpusat di asalan suatu sistem koordinat Biarkan T satu titik atas bulatan unit ang jarak lengkokna dari titik (, ) ialah dengan sebarang nombor nata (jika < arah jam dan jika > lawan arah jam) Maka kos ialah koordinat pertama T dan sin ialah koordinat kedua T Sila lihat Rajah 7 ( >) (, ) T (kos, sin ) (, ) unit panjang (, ) (, ) unit panjang T (kos, sin ) ( < ) Rajah 7: Takrif sin dan kos Daripada takrif di atas, jelas fungsi sinus dan kosinus tertakrif untuk semua nombor nata Jadi domain setiap fungsi itu ialah set nombor nata Oleh sebab koordinat titik atas bulatan unit adalah kurang daripada atau sama dengan, maka julat fungsi sinus dan kosinus ialah [, ] Oleh sebab setiap jarak lengkok atas bulatan unit berpadanan dengan suatu sudut dalam ukuran radian maka kita boleh fikirkan sin dan kos sebagai fungsi bagi sudut ang diukur dalam radian (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 4 Rajah 74: Nilai sin dan kos sudut tertentu Untuk nilai tertentu, kosinus dan sinus dapat diperolehi dengan mudah Daripada Rajah 74, kita dapati kos, sin ; kos /4 /, sin /4 /; kos /, sin / ;kos, sin ;kos/ dansin/
96 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Oleh sebab jarak di antara titik T (kos, sin ) dengan asalan (, ) ialah, maka (kos ) +(sin ) Biasana (kos ) ditulis kos dan (sin ) ditulis sin Oleh itu kita mempunai identiti berikut kos +sin Empat fungsi trigonometri ang lain ditakrifkan dalam sebutan sin dan kos Fungsifungsi itu ialah tan sin kos kot kos sin sek kos kosek sin dengan tan ialah singkatan bagi tangen, kot singkatan kotangen, sek singkatan sekan dan kosek singkatan kosekan Fungsi tangen dan sekan tidak tertakrif di semua nombor nata dengan kos, iaitu semua dalam set S { (k + )/} Jadi domain fungsi tangen dan sekan ialah semua nombor nata kecuali nombor-nombor dalam set S Serupana, domain fungsi kotangen dan kosekan tidak tertakrif di semua dengan sin,iaitu semua dalam set K { k} Jadi domain dua fungsi ini ialah set semua nombor nata ang bukan dalam set K Selaluna fungsi trigonometri lebih sesuai dilihat sebagai fungsi dengan domain ang terdiri daripada sudut-sudut bukan nombor Dengan ini kita takrifkan sinus sudut radian sebagai sinus nombor Takrif ang sama dibuat untuk fungsi trigonometri lain Jadi ( ) kos 6 kos radian kos Jadual disebelah memberikan nilai-nilai fungsi trigonometri ang selalu digunakan Nilai-nilai ini dikira dengan menggunakan takrif fungsi trigonometri Cara penggiraan ini dapat dilihat dalam Contoh 7 dan 7 T (, ) (, ) (, ) 4 (, ) Rajah 75: Nilai fungsi trigonometri bagi /4 CONTOH 7 Misalkan kita hendak mengira nilai fungsi-fungsi trigonometri bagi /4 Titik T atas bulatan unit ang jarak lengkokna dari titik (, ) ialah /4 terletak di sukuan kedua (lihat Rajah 75) Koordinat bagi titik T ialah ( /, /)
Seksen 7: Fungsi Trigonometri 97 Darjah 8 9 45 6 9 5 5 8 7 6 radian 6 4 4 5 6 sin kos tan sek kot kosek bererti tak tertakrif Oleh itu sin 4 kos 4 tan 4 sin 4 kos 4 sek 4 kos 4 CONTOH 7 Untuk mengira nilai fungsi trigonometri bagi / dan /6, kita gunakan takrif klasik bagi sin dan kos dan Rajah 76 Segitiga dalam Rajah 76 ialah segitiga sisi sama, iaitu semua sisina sama panjang dan masing-masingna mempunai panjang Akibatna, setiap sudut segitiga itu 6 Rajah 76: Nilai fungsi trigonometri bagi / dan /6
98 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI ialah 6 atau / radian Dengan melukiskan satu garis pembahagi dua sama dari satu bucu kita telah membahagikan satu sudut kepada dua sudut ang sama, masingmasing /6 radian dan kita telah membahagikan satu sisi segitiga itu menjadi dua sisi ang sama panjang Menurut teorem Pthagoras, tinggi segitiga itu ialah kerana +( ) Olehitu sin 6 kos sin kos 6 tan 6 kot tan kot 6 sek 6 kosek sek kosek 6 Biasana untuk mencari nilai fungsi trigonometri secara langsung dengan menggunakan takrif dalam sebutan bulatan unit adalah tidak mudah kerana koordinat titik ang berpadanan dengan sebarang sudut amat sukar ditentukan Jadi bagaimana kita mencari nilai fungsi trigonometri bagi sebarang sudut? Kita mempunai beberapa cara menelesaikan masalah ini tetapi kita tidak akan mempelajarina dalam buku ini Kaedah menelesaikan masalah itu akan dipelajari dalam kalkulus lanjutan Jadual nilai fungsi trigonometri ang terdapat dalam buku jadual telah dibina dengan menggunakan kaedah-kaedah tersebut Latihan 7 Cari nilai fungsi trigonometri bagi nombor nata berikut (a) 75 (b) /4 (c) 5/4 (d) /4 (e) 74 (f) 5/4 (g) (h) / (i) 4/ (j) 4/ (k) 7/ (l) / (m) 5/6 (n) 5/6 Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri, cari (a) tan 4 (b) kot 5 (c) kot 5 (d) tan 88 (e) sin 8 (f) kos 7 (g) tan 967 (h) sin 6 (i) kos 489 (j) sek 8 (k) kosek (l) kosek (m) sek 7 (n) sek 4 Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri cari dengan (a) sin 874 (b) kos 74 (c) tan 54 (d) kot 449 (e) sek 74 (f) kosek 7 (g) sin 7 (h) tan 47 (i) kot 498 (j) sek 74
Seksen 7: Graf Fungsi Trigonometri 99 7 Graf Fungsi Trigonometri Dalam seksen ini kita akan lakarkan graf fungsi trigonometri atas satah koordinat Kita mulai dengan fungsi sinus dan kosinus Perhatikan bahawa dua sudut ang ukuran radianna berbeza sebanak gandaan adalah berpadanan dengan titik ang sama atas bulatan unit kerana panjang lilitan bulatan unit ialah Ini bermakna nilai fungsi sinus dan kosinus bagi kedua-dua sudut itu adalah sama Jika ialah suatu daripada nombor itu maka bagi sebarang integer n, sin sin( +n) dan kos kos( +n) iaitu bagi sebarang, sin sin( +) sin( +4) sin( ) sin( 4) dan seterusna Fakta ini selaluna diperihalkan dengan menatakan bahawa sinus dan kosinus adalah fungsi berkala dengan kalaan Takrif 7 Jika p ialah suatu nombor positif terkecil sedemikian hingga f( + p) f() bagi semua, makaf() dikatakan fungsi berkala dengan kalaan p Kita juga dapat tunjukkan bahawa bagi sebarang integer n dan sebarang dalam domain fungsi ang berkaitan, tan tan( + n) kot kot( + n) sek sek( +n) kosek kosek( +n) Jadi tangen dan kotangen adalah fungsi berkala dengan kalaan dan sekan dan kosekan adalah fungsi berkala dengan kalaan Sebagai akibat penting daripada sifat perkalaan fungsi trigonometri ialah bagi sebarang nombor, titik (, sin ) dan(+n, sin (+n)) atas graf sinus terletak pada tinggi ang sama di atas (atau di bawah) paksi- Hal ang analog juga berlaku pada graf fungsi kosinus Untuk fungsi tangen titik (, tan ) dan( + n, tan ( + n)) adalah sama tinggi Sekarang kita lakarkan graf fungsi sinus, kosinus dan tangen Untuk mendapatkan lakaran graf sin dan kos kita mesti tentukan tingkahlakuna dalam selang (, ) Dengan merujuk kepada bulatan unit kita dapat ketahui tingkahlaku fungsi-fungsi itu apabila bertambah dari ke Tingkahlaku ini disimpulkan dalam jadual disebelah Dengan menggunakan maklumat ini dan memplotkan beberapa titik ang diketahui kita boleh lakarkan graf fungsi sin dan kos dengan agak tepat Sila lihat Rajah 77 dan 78 Untuk graf fungsi tangen, perhatikan bahawa dalam Rajah 79, OPQ serupa dengan ORS dan dengan itu RS OS PQ OQ atau RS sin kos atau RS tan
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Apabila bertambah dari sin berubah dari kos berubah dari ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ( 6, ) ( 5 (, ) 6, ) (, ) (, ) sin (, ) Rajah 77: Graf fungsi sinus (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) kos Rajah 78: Graf fungsi kosinus R P tan sin O kos Q S Rajah 79: OPQ serupa ORS
Seksen 7: Graf Fungsi Trigonometri sebagaimana ang ditunjukkan dalam Rajah 79 Jadi apabila menokok daripada ke/, tan adalah positif dan menokok secara tak terhingga Oleh itu apabila /, tan dan kita tahu tan Sila lihat Rajah 7 (a) Dengan menggunakan fakta bahawa tan ( ) tan, kita boleh dapatkan graf tan untuk semua di antara / dan/ (lihat Rajah 7) Oleh sebab kalaan tan ialah maka grafna adalah seperti ang dilakar dalam Rajah 7 Rajah 7: Sifat graf fungsi tangen tan Rajah 7: Graf fungsi tangen ( << ) t tan Rajah 7: Graf fungsi tangen Fungsi kotangen, sekan dan kosekan masing-masingna digrafkan dalam Rajah 7, 74 dan 75
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI kot 5 5 Rajah 7: Graf fungsi kotangen sek (, ) (, ) Rajah 74: Graf fungsi sekan kosek (, ) (, ) (, ) (, ) Rajah 75: Graf fungsi kosekan
Seksen 7: Graf Fungsi Trigonometri CONTOH 7 Pertimbangkan fungsi f() sin Untukmelakargrafsin perhatikan bahawa sin t jika dan hana jika t n dengan n sebarang integer Jadi sin jika dan hana jika n iaitu jika dan hana jika n/ Oleh sebab sin t terbesar (sama dengan ) apabila t (/+n); dengan n sebarang integer, maka sin terbesar (sama dengan ) apabila (/+n) iaitu apabila (/6+n/) Jadi apabila bertambah dari ke /6, f() berubah dari ke dan apabila menokok dari /6 ke/, f() menusut dari ke Seterusna apabila bertambah dari / ke/, f() berkurang dari ke dan apabila menokok dari / ke/, maka f() menokok dari ke Jadif() adalah berkala dengan kalaan / Sila lihat Rajah 76 Bentuk graf sin serupa dengan graf sin f() sin sin 4 5 6 6 6 5 6 Rajah 76: Graf fungsi sin Secara am kalaan bagi fungsi sin k ialah /k kerana ( sin k sin(k +) sink + ) k Dengan ini jika bertambah sebanak /k, nilai sin k tetap sama kalaan bagi fungsi kos k ialah /k kerana ( kos k kos(k +) kosk + ) k Begitu juga CONTOH 7 Pertimbangkan fungsi f() kos Menurut fakta di atas, fungsi ini mempunai kalaan / Bentuk grafna sama dengan bentuk graf kos kecuali nilai maksimumna ialah f() kos dan nilai minimumna ialah f(/) kos (/) kos Jadi grafna berubah dari ke Sila lihat Rajah 77 Latihan 7 Cari semua nombor dalam [, ] dengan kos Cari semua nombor dalam [, ] dengan kos (/)
4 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI kos f() kos 4 4 Rajah 77: Graf fungsi kos Cari semua nombor dalam [, 4] dengan sin (/4) 4 Tentukan kalaan fungsi berikut (a) f() kos4 (b) f() sin5 (c) f() sin(/) (d) f() kos( ) (e) f() 4sin( +) (f) f() tan (g) f() kot4 (h) f() tan 5 Lakarkan graf fungsi berikut (a) f() sin (b) f() sin (c) f() kos (d) f() sin (e) f() kos (/) (f) f() tan4 (g) f() sin (h) f() kos (i) f() +sin (j) f() sin(/) (k) f() sin( ) (l) f() kos( + ) (m) f() sin( /4) + (n) f() (/) kos ( /) + 7 Identiti Trigonometri Dalam seksen ini kita akan mempelajari hubungan atau identiti di antara keenamenam fungsi trigonometri itu Identiti ang pertama telah kita terbitkan dalam Seksen 7 Identiti itu ialah sin +kos (7) Persamaan ini dipanggil identiti kerana ia benar untuk semua Perhatikanbahawa sin sin dan kos kos Sesungguhna hubungan (7) ialah suatu pernataan teorem pthagoras bagi segitiga tegak OPQ dalam Rajah 79 Bagi sebarang segitiga itlak, hubungan ang sah diberi oleh hukum kosinus
Seksen 7: Identiti Trigonometri 5 TEOREM 7 [Hukum Kosinus] Dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 78, kita dapati c a + b ab kos (7) b c radian a Rajah 78: Hukum kosinus Untuk membuktikan Hukum Kosinus kita lukiskan segitiga itu dalam kedudukan tertentu seperti dalam Rajah 79 (b kos, b sin ) B (b kos, b sin ) B b c rad a A b rad a A c Rajah 79: Bukti hukum kosinus Menurut formula jarak dan persamaan (7) kita dapati c (b kos a) +(bsin ) b kos ab kos + a + b sin b (kos +sin )+a ab kos c b + a ab kos Sekarang perhatikan keadaan dalam Rajah 7 Menurut formula jarak PQ (kos b kos a) +(sina sin b) kos b kos a kos b +kos a +sin a sin a sin b +sin b (kos a kos b +sinasin b)
6 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI (, ) Q(kos a, sin a) P (kos b, sin b) a rad O b rad A(, ) Rajah 7: Bukti hukum kosinus lagi Sebalikna dengan mengenakan hukum kosinus ke atas segitiga OPQ kita dapati PQ + kos(a b) kos(a b) kerana (a b) ialah ukuran radian bagi sudut dibucu O Dengan membandingkan kedua-dua ungkapan di atas kita memperolehi identiti berikut kos (a b) kosakos b +sinasin b (7) ang benar untuk semua nombor a dan b Jika kita tulis ( b) sebagai b maka kos (a + b) kosakos ( b)+sinasin ( b) tetapi ingat bahawa kos ( b) kosb dan sin ( b) sin b Jadi kita mempunai identiti kos (a + b) kosakos b sin a sin b (74) Biarkan a / dalam formula (7) Kita dapati ( ) kos b kos kos b +sin sin b, tetapi oleh sebab kos / dansin/, persamaan itu menjadi kos (/ b) sin b Seterusna jika kita biarkan c / b dalam persamaan ini, maka b / c dan kita dapati sin (/ c) kosc Oleh itu kita telah buktikan dua identiti berikut ( ) kos sin (75) ( ) dan sin kos (76) Formula ang serupa dengan (7) dan (74) bagi sinus hasil tambah dan beza dua nombor menusul daripada identiti-identiti di atas Menggunakan persamaan (75), kita boleh tulis ( ) ([ ] ) sin (a + b) kos (a + b) kos a b Menurut persamaan (7),
Seksen 7: Identiti Trigonometri 7 sin (a + b) kos ( ) ( ) a kos b +sin a sin b dan daripada persamaan (75) dan (76), kita dapati sin (a + b) sina kos b +kosasin b (77) bagi semua nombor nata a dan b Jika kita tulis a b sebagai a +( b) dan gunakan persamaan (7), kita dapati sin (a +( b)) sin a kos ( b)+kosasin ( b) dan oleh sebab kos ( b) kosb dan sin ( b) sin b, maka identiti berikut menusul sin (a b) sina kos b kos a sin b (78) Seterusna jika kita biarkan a b dalam Formula (77) dan (78), maka kita akan memperolehi identiti sin sin kos (79) dan kos kos sin (7) Oleh sebab kos +sin, persamaan (7) dapat ditulis sebagai kos kos (7) atau kos sin (7) Dengan menggantikan dengan dalam Formula (7) dan (7) dan selepas sedikit pengolahan algebra kita perolehi dua identiti berikut kos +kos (7) dan sin kos (74) Identiti trigonogetri memang banak bilanganna Kebanakan daripada identiti trigonometri ang penting, kita senaraikan dalam jadual berikut Kesemuana adalah berguna tetapi kita tak perlu menghafal semua identiti itu Kita cuma perlu ingat identiti (7), (7), (74) dan (77) Identiti lain dapat kita terbitkan apabila diperlukan CONTOH 7 Buktikan identiti sin a kos b [ ] sin (a + b)+sin(a b) Penelesaian Tambahkan identiti bagi sin (a + b) dengan identiti bagi sin (a b) Kita dapati sin (a + b)+sin(a b) [sin a kos b +kosasin b] + [sin a kos b kos a sin b] sin a kos b Untuk mendapatkan identiti itu, bahagikan persamaan di atas dengan
8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Identiti Trigonometri kos +sin +tan sek +kot kosek ( ) sin kos ( ) kos sin ( ) tan kot sin ( ) sin kos ( ) kos sin( ) sin kos ( ) kos tan( ) tan ( ) sin + kos ( ) kos + sin ( ) tan + kot sin ( + ) sin kos ( + ) kos tan ( ) tan tan(a + b) tan a +tanb tan a tan b tan ( + ) tan tan(a b) sin (a + b) sina kos b +kosa sin b sin (a b) sina kos b kos a sin b kos (a + b) kosa kos b sin a sin b kos (a b) kosa kos b +sina sin b sin sin kos tan a tan b +tana tan b kos kos sin kos sin tan tan tan sin kos kos +kos atau atau sin kos kos +kos tan sin +kos kos atau sin sin a sin b [ ] kos (a b) kos (a + b) tan kos sin kos a kos b [ ] kos (a + b)+kos(a b) sin a kos b [ ] sin (a + b)+sin(a b)
Seksen 7: Identiti Trigonometri 9 CONTOH 7 Terbitkan identiti bagi tan (a + b) Penelesaian sin (a + b) tan (a + b) kos (a + b) sin a kos b +kosasin b kos a kos b sin a sin b (bahagikan penebut dan pembilang dengan kos a kos b) tan a +tanb tan a tan b CONTOH 7 Cari (a) sin 5 dan (b) tan 5 tanpa menggunakan jadual atau mesin kira Penelesaian (a) Dengan menggunakan identiti sin ( kos )/ dan mengambil 5 / radian, maka sin kos (/) kos /6 / 4 Oleh itu sin / ( )/ ( 588) (b) Untuk mencari tan 5, gunakan identiti tan ( kos )/ sin dengan mengambil 5 /8 radian Dengan itu, tan 8 kos (/8) sin (/8) kos /4 sin /4 ( )/ ( )/ ( 44) CONTOH 74 Jika sin /5 dan [/, /], cari nilai lima fungsi trigonometri lain Penelesaian Menggunakan identiti kos +sin, kos sin ( 5 6 5 )
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Jadi kos 4/5 atau 4/5 Oleh sebab [/, /], kos adalah negatif Oleh itu kos 4/5 Menurut takrif sek dan kosek, kita dapati sek kos 5 4 Oleh sebab tan sin/ kos, maka tan /5 4/5 4 Akhir sekali, kot tan 4 Latihan 7 dan kosek sin 5 Buktikan identiti-identiti berikut (a) kot( ) kot (b) tan(/ ) kot (c) sek(/ ) kosek (d) tan ( kos )/ sin (e) sin ( kos )/ (f) kos a kos b [kos(a + b)+kos(a b)]/ (g) /( + tan ) kot/( + kot ) (h) kos 4 8kos 4 8kos + (i) (+sin )/ kos (kos +sin)/(kos sin ) (j) kos A (tan A +tana)/(tan A tan A) (k) sin sin 4sin (m) sin a +sinb sin((a + b)/) kos ((a b)/) Cari nilai fungsi berikut tanpa menggunakan jadual trigonometri atau mesin kira (a) sin ( /4) (b) kos ( 5/6) (c) kos (7/6) (d) sin (/6) (e) kos (/4) (f) sin (7/4) Permudahkan (a) sin ( 9/) (b) sek (6 + ) (c) tan( +7/()) (d) kos (a + /) sin (b /) 4 Buktikan hukum sinus (dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 7) sin sin sin z a b c c a z b Rajah 7: Bukti hukum sinus 5 Cari nilai lima fungsi trigonometri ang lain jika tan 4/ dan [, ] 6 Buktikan bahawa sin 5/ ( 6+ )/4 dengan mengembangkan sin (/4+/6)
Seksen 74: Terbitan Fungsi Trigonometri 74 Terbitan Fungsi Trigonometri Sebelum kita dapat menerbitkan formula bagi terbitan fungsi sinus kita perlu tahu satu fakta had ang penting iaitu sin had Had ini adalah munasabah berdasarkan kepada pemerhatian secara geometri ke atas Rajah 7 Perhatikan bahawa Q ialah titik (kos, sin ) danp ialah titik (kos, sin ) Jadi panjang perentas PQ ialah sin dan lengkok PQ mempunai panjang Dengan ini Panjang perentas PQ Panjang lengkok PQ sin sin (, ) P (kos, sin ) sin O rad - rad R (, ) sin (, ) Q(kos, sin ) Rajah 7: Fakta penting had Secara segerak hati kita dapati apabila, panjang perentas PQakan menghampiri panjang lengkok PQ, dan dengan ini nisbah panjangna akan mendekati Oleh itu kita buat kesimpulan berikut sin had Dengan menggunakan fakta ini kita dapat menilai beberapa had ang melibatkan fungsi trigonometri CONTOH 74 Tunjukkan bahawa (a) had sin, (b) had kos dan (c) had ( kos )/ Penelesaian (a) had sin sin had sin had had
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Oleh sebab sin, maka had sin sin Jadisin selanjar di Malahan sin selanjar di mana-mana sahaja (b) had kos had sin had ( sin ) Oleh sebab kos, maka had kos kos Dengan ini kos juga selanjar di Sesungguhna fungsi kos selanjar di semua nombor nata (c) had kos had had had had kos +kos +kos kos ( + kos ) sin ( + kos ) sin sin +kos Sekarang kita telah mempunai maklumat ang cukup untuk mencari terbitan fungsifungsi trigonometri TEOREM 74 Jika f() sin maka f () kos Bukti Menurut takrif terbitan, jika f() sin, maka f () f( + h) f() had h h sin ( + h) sin had h h sin kos h +kossin h sin had h h ( sin +sinkos h)+kossin h had h [ h ( kos h) had sin +kos sin h ] h h h ( sin ) +(kos) kos Dengan menggunakan petua rantai, Teorem 74 dapat diperluaskan menjadi D sin f() (kosf())d f() dengan f() suatu fungsi terbezakan
Seksen 74: Terbitan Fungsi Trigonometri CONTOH 74 Jika g() sin(4 ), maka g () ( kos (4 ) ) (4 ) 8 kos (4 ) CONTOH 74 Untuk mencari D sin 4, perhatikan bahawa sin 4 ialah kuasa sin Jadi dengan menggunakan petua kuasa D sin 4 (4sin ) D sin 4sin kos CONTOH 744 Dengan menggunakan petua kuasa dua kali kita dapati D ( sin ) / ( sin ) / D ( sin ) ( sin ) / ( sin )D sin ( sin ) / sin kos sin kos ( sin ) / Seterusna mari kita cari terbitan fungsi kosinus Teorem berikut memberi jawapan ang kita kehendaki TEOREM 74 Jika f() kos, makaf () sin Bukti Dengan menggunakan identiti ( ) ( ) kos sin dan sin kos ( kita dapati ) D kos D sin ( ) ( ) kos D sin ( ) sin Penggabungan teorem ini dengan petua rantai menghasilkan formula berikut dengan f() suatu fungsi terbezakan D kos f() sin f() D f() CONTOH 745 Dengan menggunakan petua kuasa dan petua di atas kita dapat cari terbitan berikut dengan mudah (a) D kos sin D ( ) sin (b) D kos 5 5kos 4 D (kos ) 5kos 4 ( sin ) D ( ) kos 4 sin
4 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI (c) D kos (ln ) kos(ln)d (kos (ln )) kos(ln)( sin (ln ) D (ln )) kos (ln )sin(ln) Dengan menggunakan terbitan fungsi sinus dan kosinus kita dapat mencari terbitan empat fungsi trigonometri ang lain Kita tunjukkan carana dalam contoh berikut CONTOH 746 Dengan menggunakan ( petua ) hasil bahagi kita dapati sin D (tan ) D kos (kos )D sin (sin )D kos kos kos +sin kos kos sek Oleh itu D (tan ) sek Dengan cara ang serupa kita dapat sahkan formula berikut D (kot ) kosek D (sek ) sek tan D (kosek ) kosek kot Penggabungan formula-formula ini dengan petua rantai menghasilkan D (tan f()) sek f() D f() D (kot f()) kosek f() D f() D (sek f()) sek f()tan f() D f() D (kosek f()) kosek f()kot f() D f() dengan f() ialah fungsi terbezakan CONTOH 747 Terbitan-terbitan berikut dapat dicari dengan mudah menggunakan petua rantai (a) D tan 5/ sek 5/ D ( 5/ ) 5 / sek 5/ (b) D kot ( + ) kot( + )( kosek ( + ) D ( + ) kot( + )kosek ( + ) ( +) ( +)kot( + )kosek ( + ) (c) D sek 4 4sek 4 D (sek ) 4sek tan (d) D kosek kosek ( kosek kot ) D ( ) kosek kot ( ) 6 kosek kot
Seksen 75: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 5 CONTOH 748 Cari d/d jika sin + sin Penelesaian Bezakan persamaan itu secara tersirat terhadap Kita dapati sin + kos d d + d sin + kos d d ( kos +sin) d (sin + kos ) d d sin + sin kos +sin Latihan 74 Cari f () bagi fungsi berikut (a) f() sin5 (b) f() 4sin (c) f() sin( + ) (d) f() sin ( ) (e) f() kos(4 ) (f) f() sin(e ) (g) f() (sin) (kos ) (h) f() sin (i) f() kos( + e ) (j) f() ln sin 4 (k) f() tan(kos ) (l) f() sin +kos Cari terbitan fungsi berikut (a) ln sek (b) (sin)/( kos ) (c) tan (/) (d) e kos (e) sek (f) e kot (g) (kos) sin (h) (lnsin) e Dengan menggunakan pembezaan secara tersirat cari d/d (a) kos sin (b) sin + sin (c) ln sin( + ) (d) kos sin( + ) (e) kos( ) (f) sin kos( + ) 75 Pengkamiran Fungsi Trigonometri Formula kamiran tak tentu bagi fungsi sinus dan kosinus menusul secara langsung daripada formula pembezaan ang berkaitan Oleh sebab D sin kos, maka kos dsin + C Oleh sebab D ( kos ) sin, maka sin d kos + C
6 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan cara ang serupa, formula pembezaan lain dalam seksen terdahulu dapat ditulis semula sebagai formula pengkamiran berikut sek d tan + C kosek d kot + C sek tan d sek + C kosek kot d kosek + C CONTOH 75 Cari luas rantau di bawah graf kosinus dari / ke/ Penelesaian Luas ang dikehendaki sama dengan / / kos d Dengan menggunakan teorem asasi kalkulus, / [ ] / kos d sin / / sin ( sin ) ( ) CONTOH 75 Hitung sin d Penelesaian Biarkan u, makadu d Jadi sin d sin udu ( kos u)+c kos + C Kamiran tak tentu fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan tidak mudah diperolehi Formula kamiran tak tentu fungsi tangen diterbitkan seperti berikut Oleh sebab sin tan d kos d kita biarkan u kos Jadidu sin ddan kita dapati tan d du u ln u + C ln kos + C ln kos + C ln kos + C ln sek + C
Seksen 75: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 7 Untuk mencari kot dkita biarkan u sin Jadidu kosddan kita dapati kos kot d sin d du u ln u + C ln sin + C Untuk mengkamirkan sek d, kita darabkan pembilang dan penebut ang dikamir dengan ungkapan (sek +tan) Kita dapati sek (sek +tan) sek d d sek +tan sek +sektan d sek +tan Biarkan u sek +tan Makadu (sektan +sek ) d Jadi du sek d u ln u + C ln sek +tan + C Kita gunakan teknik ang sama untuk mendapatkan formula bagi kosek d Darabkan pembilang dan penebut ang dikamir dengan ungkapan (kosek kot ) Kita dapati kosek (kosek kot ) kosek d d kosek kot kosek kosek kot d kosek kot Biarkan u kosek kot, maka Jadi du { kosek kot ( kosek )} d (kosek kosek kot ) d du kosek d u ln u + C ln kosek kot + C Kita kumpulkan keempat-empat kamiran ang kita telah terbitkan di atas tan d ln sek + C kot d ln sin + C sek d ln sek +tan + C kosek d ln kosek kot + C
8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 75 Hitung kot d Penelesaian Biarkan u Jadidu d dan kot d kot udu ln sin u + C ln sin + C CONTOH 754 Cari (/ kos ) d Penelesaian Biarkan u Jadidu d dan kos d sek d sek udu ln sek u +tanu + C ln sek +tan + C CONTOH 755 Hitung kosek d Penelesaian Biarkan u Makadu d atau d du/ Jadi kosek d kosek udu ( kot u)+c kot + C CONTOH 756 Kamirkan kos 5 sin d Penelesaian Biarkan u kos Makadu sin d dan kos 5 sin d u 5 du u6 6 + C 6 kos 6 + C CONTOH 757 Kira (a) kos ddan (b) sin d Penesaian (a) Kita tulis kos kos kos ( sin )kos Biarkanu sin, maka du kosd dan
Seksen 75: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 9 kos d ( sin )kos d ( u ) du u u + C sin sin + C (b) Kita tulis sin sin sin ( kos )sin dan kita biarkan u kos Maka du sin d dan sin d ( kos )sin d ( u )( du) u + u + C kos + kos + C CONTOH 758 Hitung (a) kos 4 ddan (b) sin d Penelesaian (a) Kita gunakan identiti kos (+kos)/ Jadi ( ) +kos kos 4 d d ( 4 + kos + ) 4 kos d 4 + sin + ( ) +kos4 d 4 4 + 4 sin + 8 + sin 4 + C 8 4 8 + sin + sin 4 + C 4 (b) Kita gunakan identiti sin ( kos )/ Jadi ( ) kos sin d d kos d d sin + C 4 Untuk mencari kamiran tak tentu trigonometri ang lebih rumit kita perlu gunakan teknik pengkamiran seperti penggantian dan pengkamiran bahagian demi bahagian Teknik ini akan dipelajari dalam bab kelapan
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Latihan 75 Nilaikan kamiran berikut (a) ( kos sin ) d (b) (c) kos (4 ) d (d) (e) sin kot d (f) (g) sin (/ + )d (h) ( kos 5 +sin) d tan d kosek ( ) d sek tan d Hitung kamiran berikut (a) sin /( kos ) d (d) kosek ( ) d (b) (e) sin d sek tan d (c) (f) kos ( ) d (sin (ln ))/ d Cari (a) (d) (g) (j) sin 4 d kos 5 d kos sin ; d sin kos 4 d (b) (e) (h) (k) kos d sin kos d tan d sin kos 4 d (c) (f) (i) (l) sin 5 d sin 5 kos d sek tan d sin kos d 4 Cari luas rantau ang dibatasi oleh satu lengkok daripada kos dengan paksi- 5 Cari isipadu pepejal ang terjana jika rantau ang terbatas oleh satu lengkok sin dengan paksi- dikisarkan mengelilingi paksi- 76 Fungsi Trigonometri Songsang Kali pertama konsep fungsi songsang dibincangkan ialah dalam bab pertama Bukan semua fungsi mempunai fungsi songsang Cuma fungsi satu-ke-satu sahaja ang mempunai fungsi songsang Sebagai contoh fungsi ln dan e mempunai fungsi songsang dan mereka adalah songsang satu daripada ang lain (lihat Seksen 6) Fungsi tidak mempunai songsang kerana ia bukan fungsi satu-ke-satu Akan tetapi jika domainna dibataskan kepada [, ), maka ialah fungsi songsangna
Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang Sekarang sila rujuk kepada graf fungsi sinus dalam Rajah 77 Kita dapati sinus bukan fungsi satu-ke-satu Dengan ini fungsi sinus tidak mempunai songsang Akan tetapi jika domainna dibataskan kepada [ /,/], maka ia menjadi fungsi satu-ke-satu (lihat Rajah 7) Jadi fungsi sinus dengan domain ang terbatas ini mempunai fungsi songsang Songsangna dipanggil fungsi sinus songsang dan dilambangkan dengan simbol sin Rajah 7: Fungsi sinus dalam domain [ /,/] Takrif 76 Fungsi sinus songsang ang ditulis sin ditakrifkan seperti berikut sin jika dan hana jika sin dan Kadang-kadang fungsi sin dipanggil fungsi lengkok sinus dan ditulis lengsin Perhatikandisinibahawasin (sin) walaupun tatatanda sin bererti (sin ) Domain sin ialah selang tertutup [, ] dan julatna selang tertutup [ /,/] Untuk mendapatkan graf sin, mula-mula kita lukis graf sin untuk [ /,/] dan kemudian lukiskan imejna terhadap garis Lihat Rajah 74 Satu cara mencari nilai fungsi sinus songsang sin a ialah dengan mencari nombor ang sinusna sama dengan a Sebagai contoh sin / /6 keranasin/6 / dan sin ( /) / keranasin( /) / Ingat bahawa sin mesti berada dalam selang [ /,/] Jadi walaupun sin 5/6 /, sin / 5/6 kerana 5/6 [ /,/] Yang berikut menusul daripada takrif di atas sin (sin ) bagi [, ] dan sin (sin ) bagi [ /,/] Fungsi sinus songsang ang dibincangkan setakat ini adalah diperolehi dengan membataskan domain fungsi sinus kepada selang [ /,/] Akan tetapi fungsi sinus adalah
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI sin (, ) (, ) 6 sin (, ) (, ) Rajah 74: Graf fungsi sinus songsang fungsi satu-ke-satu juga dalam selang-selang lain, misalna [ /, /], [/, /] dan [/, 5/] Jadi dalam setiap selang ini fungsi sinus juga mempunai songsang Selang [ /,/] dipilih kerana ia mengandungi nombor dan grafna menokok dalam selang itu Fungsi kosinus juga tidak mempunai fungsi songsang atas alasan ang sama dengan fungsi sinus Akan tetapi jika kita bataskan domainna kepada selang tertentu maka fungsi kosinus menjadi satu-ke-satu (lihat grafna dalam Rajah 78) dan oleh itu mempunai fungsi songsang Untuk fungsi kosinus kita pilih selang [,] Rajah 75 menunjukkkn graf fungsi kosinus dengan domain terbatas [, ] Julatna ialah [, ] Oleh sebab fungsi ini satu-ke-satu maka iana mempunai fungsi songsang ang dipanggil fungsi kosinus songsang dan diberi lambang kos Rajah 75: Graf fungsi kosinus dalam [,]
Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang Takrif 76 Fungsi kosinus songsang ang ditulis kos ditakrifkan seperti berikut kos jika dan hana jika kos dan Domain fungsi kos ialah selang tertutup [, ] dan julatna ialah selang tertutup [,] Grafna ialah imej graf kos bagi [,] terhadap garis Sila lihat Rajah 76 kos (,) kos (, ) Rajah 76: Graf fungsi kosinus songsang Fungsi kosinus songsang kos juga dipanggil fungsi lengkok kosinus dan ditulis lengkos Untuk mencari nilai kos a kita cari nombor b dengan kos b a Sebagai contoh, kos / / kerana kos / / dankos ( ) kerana kos Akan tetapi kos ( ) walaupun kos kerana/ [,] Ingat kos mesti berada dalam selang [,] Menurut takrif kos kita dapati kos (kos ) bagi [, ] dan kos (kos ) bagi [,] CONTOH 76 Cari (a) sin, (b) kos (kos /), (c) sin (sin /), dan (d) kos (sin ) bagi [, ] dalam sebutan Penelesaian (a) sin tak wujud kerana / [, ] (b) kos (kos ) kos ( ) (c) sin (sin /) sin /6 /
4 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI (d) Untuk mencari kos (sin ) bagi [, ], mula-mula kita tulis sin Maka sin dan [ /,/] Jadi kos (sin )kos ± sin ± Oleh sebab [ /,/], maka kos Oleh itu kos (sin ) + CONTOH 76 Nilaikan sin (kos ) bagi [, ] dalam sebutan Penelesaian Biarkan kos bagi [, ] Maka kos dan [,] Oleh itu sin (kos )sin ± kos ± Tetapi sin kerana [,] Jadi sin (kos )+ Seperti fungsi sinus dan kosinus, fungsi tangen juga mempunai fungsi songsang jika kita bataskan domainna Jika kita bataskan fungsi tangen kepada selang terbuka ( /,/), maka fungsi tangen adalah satu-ke-satu (lihat Rajah 77) Dengan ini ia mempunai fungsi songsang ang kita panggil fungsi tangen songsang dan diberi lambang tan tan tan Rajah 77: Graf fungsi tangen songsang Takrif 76 Fungsi tangen songsang ang ditulis tan ditakrifkan seperti berikut tan jika dan hana jika tan dan << Domain fungsi tan ialah semua nombor nata dan julatna ialah ( /,/) Fungsi songsang ini juga dipanggil fungsi lengkok tangen dan ditulis lengtan Graf fungsi tan ditunjukkan dalam Rajah 77 sebagai imej tan terhadap garis
Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang 5 Seterusna fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang dapat ditakrifkan dengan cara ang serupa Perumusan takrif fungsi-fungsi ini ditinggalkan sebagai satu latihan Graf fungsi-fungsi ini disimpulkan dalam Rajah 78 (b) sek (a) kot (d) kot (e) sek (c) kosek (f) kosek Rajah 78: Graf fungsi trigonometri songsang lain CONTOH 76 Cari (a) tan, (b) tan (tan /4) dan (c) sin ( tan /) Penelesaian (a) tan /4 keranatan/4 dan/4 ( /,/) (b) tan (tan /4) tan ( ) /4 keranatan( /4) (c) Biarkan tan / Maka tan / dan ( /,/) Jadi dapat diwakili oleh sudut dalam sukuan pertama (lihat Rajah 79) Oleh itu ( sin tan ) sin sin ( )( kos ) 5 5 4 5 Sekarang mari kita tumpukan perhatian kita pada perumusan terbitan fungsi sin, kos dan tan Untuk mendapatkan formula bagi terbitan fungsi sinus songsang kita tulis sin bagi [, ] [ Ini setara dengan sin dan, ] Bezakan kedua-dua belah persamaan ini terhadap, kita dapati kos d d
5 6 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Rajah 79: Rajah untuk cari sin dan kos Jadi d d bagi kos << kos (sin ) Tetapi menurut Contoh 76(d), kos (sin ) Dengan ini kita dapati d d sin bagi (, ) Perhatikan disini bahawa domain terbitan fungsi sinus songsang ialah (, ) Jika f() ialah suatu fungsi terbezakan maka penggabungan petua rantai dengan formula di atas menghasilkan petua d d sin f() f () d d f() CONTOH 764 Cari d/d jika (a) sin (b) sin / dan (c) sin e Penelesaian (a) (b) (c) d d ( ) 4 d ( ) d d d d ( ) (/) d ( ) d d (e ) e e d d (e ) Untuk mendapatkan formula terbitan fungsi lengkok kosinus kita tulis
Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang 7 kos bagi [, ] ang mana adalah setara dengan kos bagi [,] Pembezakan terhadap menghasilkan sin d d atau d d sin bagi [,] sin (kos ) Tetapi sin (kos ) (lihat Contoh 76) Oleh itu d d (kos ) bagi [, ] Formula ini apabila digabungkan dengan petua rantai menghasilkan petua d d kos d f() f () d f() dengan f() sebarang fungsi terbezakan CONTOH 765 Cari terbitan (a) lengkos ( + ), (b) lengkos (/ ), dan (c) lengkos ( +) Penelesaian (a) Biarkan lengkos ( +)lengkos f() dengan f() + Menurut petua di atas, d d ( +) ( +4 +) d ( +) d (b) Seperti (a), biarkan lengkos (/ ), maka ( ) d d d (/ ) d ( ) (/) (/ ) (c) Menurut petua hasil darab, d d ( lengkos ( +)) ( ) ( +4 +) + lengkos ( +) +lengkos ( +) ( +4 +)
8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Seterusna untuk mencari d(tan )/d, kita tulis tan bagi (, ) Ini setara dengan tan bagi [ /,/] Pembezaan terhadap menghasilkan sek d d atau d d sek +tan bagi [ /,/] + bagi (, ) Oleh itu d d (tan ) + bagi (, ) Formula ini bersama-sama dengan petua rantai memberikan petua d d (tan f()) dengan f() sebarang fungsi terbezakan +f () d d f() CONTOH 766 Cari d/d jika (a) tan,(b) tan e,dan (c) ln( ) tan (/) Penelesaian (a) tan d d +( ) + 4 (b) tan e Menurut petua hasil darab, d d +(e ) e +e +tan e d ( ) d d d (e )+tan e (c) Bezakan persamaan ln( ) tan (/) secara tersirat terhadap, kita dapati ( d ) ( ) d d +(/) d (d/d) +(/) (d/d) (d/d) + ( ) d d d d
Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang 9 Kita akhiri seksen ini dengan menulis beberapa formula kamiran tak tentu dan contohcontoh penggunaanna Formula ini diperolehi daripada formula bagi terbitan fungsi trigonometri songsang d sin + C d kos + C + d tan + C Kita juga mempunai formula berikut a d sin + C dengan a> a a d kos + C dengan a> a a + d a tan a + C CONTOH 767 Nilaikan (a) d (b) +9 d (c) 4 Penelesaian (a) Biarkan u, makadu d Jadi +9 d +u du tan u + C tan + C (b) Oleh sebab 4 4(/4 ) /4 maka 4 d d /4 ( ) kos + C / kos + C (c) Lengkapkan kuasa dua ungkapan +4 +8 +4 +8( +4 +4)+4( +) +4u +4 dengan u + Jadi +4 +8 d 4+u du tan u + C tan + + C +4 +8 d
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Latihan 76 Nilaikan nombor berikut (a) sin () (b) kos (/) (c) tan () (d) kot () (e) sek (/ ) (f) kosek (/ ) (g) sin (/) (h) kos ( /) (i) sin ( /) Cari nilai nombor berikut (a) kos(sin ( /)) (b) sin (tan (/ )) (c) kot(sek ( )) (d) tan(kosek ( 5/4)) (e) kos ( tan ( 5/)) (f) kos (tan ()) (g) sek(sin ( 4/5)) (h) sin(4kos ( /5)) (i) tan(sin (/)) (j) kot(sin ( /)) Adakah kot /(tan )? 4 Lakarkan graf fungsi berikut (a) sin (/) (b) sin () (c) tan (d) kos 5 Cari terbitan fungsi berikut (a) f() sin (b) g() sin (/) (c) f(t) kos (4t) (d) f() kos () (e) F () tan (/) (f) f(t) t tan (t + t) (g) f() sin () (h) g() kos (sin ) (i) F (s) sin (tan s) (j) f9) ln(tan () 6 Cari d/d jika (a) kos ( ) sin () (b) sin + tan 7 Nilaikan kamiran berikut (a) d (b) 4 (d) +4 +5 d (e) (g) (j) / d (c) +4 d (f) 5 4 d (h) d (i) + 9 ( ) d 9+ d + d 4 9 d 8 Takrifkan fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang Rujuk kepada graf kotangen, kosekan dan sekan untuk menentukan pembatasan domain ang wajar