ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Ανάπτυξη και Ανάλυση Προτύπων Δυναμικών Συστημάτων στον Αυτόματο Έλεγχο Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Εισαγωγή στον αυτόματο έλεγχο Στόχοι του κεφαλαίου Μεθοδολογία ανάπτυξης δυναμικών μοντέλων. Έκφραση δυναμικών μοντέλων με συναρτήσεις μεταφοράς. Απεικόνιση και περιγραφή δυναμικών συστημάτων με διαγράμματα βαθμίδων. Εκτίμηση κύριων χαρακτηριστικών της δυναμικής συμπεριφοράς τυπικών συστημάτων χωρίς επίλυση των δυναμικών μοντέλων. 4
Εισαγωγή στον αυτόματο έλεγχο Περίληψη του κεφαλαίου Μεθοδολογία ανάπτυξης δυναμικών μοντέλων. Μετασχηματισμός Laplace. Επίλυση γραμμικών δυναμικών μοντέλων. Συνάρτηση μεταφοράς. Διαγράμματα βαθμίδων. Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων. Ποιοτικά χαρακτηριστικά δυναμικών μοντέλων. 5
Γιατί χρειαζόμαστε τα δυναμικά μοντέλα; Υπάρχει διαφορά στη συμπεριφορά ενός λεωφορείου από αυτή ενός ποδήλατου; Ποιο μπορεί να κάνει αναστροφή σε ακτίνα μέτρων; Ποιο αποκρίνεται καλύτερα όταν διέρχεται από «σαμαράκι»; Η δυναμική συμπεριφορά εξαρτάται περισσότερο από το όχημα παρά από τον οδηγό! Η δυναμική του συστήματος είναι πιο σημαντική από τον αυτόματο έλεγχο! 6
Γιατί χρειαζόμαστε τα δυναμικά μοντέλα; Η τροφοδοσία γίνεται περιοδικά αλλά η κατανάλωση απαιτεί συνεχή τροφοδότηση. Πόσο μεγάλος πρέπει να σχεδιαστεί ο όγκος του δοχείου; Περιοδική τροφοδοσία πρώτων υλών. Συνεχής τροφοδοσία μιας διεργασίας. Χρόνος Το σύστημα πρέπει να έχει ευελιξία για καλή δυναμική συμπεριφορά κατά τη λειτουργία του! 7
Γιατί χρειαζόμαστε τα δυναμικά μοντέλα; Η αντλία του ψυκτικού νερού σε αντιδραστήρα τέθηκε εκτός λειτουργίας. Πόσος χρόνος υπάρχει για να αποτραπεί η ανύψωση της θερμοκρασίας σε επικίνδυνα επίπεδα; F Θερμοκρασία Κίνδυνος! T χρόνος Η δυναμική μιας διεργασίας είναι σημαντική για την ασφάλεια! 8
Γιατί χρειαζόμαστε τα δυναμικά μοντέλα; Αζυγοσταθμίες στα περιστρεφόμενα σώματα σε ένα στρόβιλο προκαλούν σημαντικές καμπτικές ταλαντώσεις που μπορούν να προκαλέσουν καταστροφικά αποτελέσματα. Η δυναμική μιας διεργασίας είναι σημαντική για την ασφάλεια! 9
Μαθηματικά πρότυπα Μεταβολή μεταβλητής εισόδου, π.χ. βηματική μεταβολή στην παροχή του ρεύματος ατμού. Διεργασία δυναμικό σύστημα Επίδραση στη μεταβλητή εξόδου, π.χ. θερμοκρασία. Amplitude.8.6.4 Step Response f(t) m k Amplitude.8.6.4 Step Response.. -. 5 5 5 3 35 Time (sec) x c -. 5 5 5 3 35 Time (sec)
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Προσομοίωση διεργασίας. Συμπεριφορά μεταβλητών. Παραδείγματα επιλογής μεταβλητών Μετατόπιση Εξίσωση κίνησης Επιτάχυνση Εξίσωση κίνησης Θερμοκρασία Ισοζύγιο ενέργειας Πίεση Ισοζύγιο ορμής Τ.Ε. Marlin, Process Control, McGraw Hill, 995
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Συλλογή δεδομένων. Παράθεση παραδοχών. Ορισμός ορίων συστήματος. Τα όρια του συστήματος καθορίζουν τις ροές θερμότητας με το περιβάλλον.
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Εξισώσεις κίνησης Ισοζύγια ορμής, ενέργειας και μάζας Ποιες είναι οι κύριες εξισώσεις; Εξισώσεις κίνησης, ισοζύγια ορμής, ενέργειας και μάζας. Πόσες εξισώσεις χρειαζόμαστε; Πλήθος ανεξάρτητων μεταβλητών Πλήθος ανεξάρτητων εξισώσεων = Άλλες σχέσεις. Περιορισμοί (γεωμετρικοί περιορισμοί στην κίνηση). Καταστατικές εξισώσεις (συνήθως εμπειρικές σχέσεις). 3
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Αντιστοιχίες φυσικών μοντέλων Ηλεκτρικά συστήματα: ρεύμα, i, φορτίο, q, διαφορά δυναμικού τάση, v. Μηχανικό σύστημα: δύναμη, F, ορμή, P, διαφορά ταχύτητας, Δv. Μηχανικό σύστημα (στρεφόμενο): ροπή, Τ, στροφορμή, Η, διαφορά γωνιακής ταχύτητας, Δω. Υδραυλικό σύστημα: παροχή ρευστού, Q, όγκος, V, διαφορά πίεσης, ΔP. Θερμικό σύστημα: θερμική παροχή, q, ενθαλπία, Η, διαφορά θερμοκρασίας, ΔΤ. 4
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων Τα δυναμικά μοντέλα περιλαμβάνουν διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις, π.χ. d x m dt F dx b dt kx Με αρχικές συνθήκες: x()=, dx()/dt= Mε συγκεκριμένη μεταβολή της εξαναγκασμένης διέγερσης: F = f(t) = t (μεταβολή κλίσης) 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου 5
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Τα απλά μοντέλα επιλύονται αναλυτικά για ακριβή έκφραση της δυναμικής απόκρισης της διεργασίας. Παράδειγμα: v t / τ t v t Δf K e t t Πολλά συστήματα διεργασιών έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά. Στόχος είναι ο υπολογισμός της επίδρασης των χαρακτηριστικών της διεργασίας στις κύριες παραμέτρους της δυναμικής συμπεριφοράς. Παράδειγμα: Κέρδος, σταθερά χρόνου, συντελεστής απόσβεσης, φυσική συχνότητα. 6
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων Πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα επιλύονται αριθμητικά: d x m dt F dx b dt Χρησιμοποιείται προσέγγιση των παραγώγων με διαφορές. Μέθοδος Euler, Runge-Kutta, Gear. kx μx 3 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου 7
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Έλεγχος ορθότητας των αποτελεσμάτων: Φυσική εξήγηση για τη μορφή και το πρόσημο της απόκρισης. Ικανοποίηση παραδοχών. Εκτίμηση αριθμητικών σφαλμάτων. Σχεδίαση αποτελεσμάτων. Εκτίμηση ευαισθησίας σε μεταβολές παραμέτρων του συστήματος. 8
Μεθοδολογία ανάπτυξης μοντέλων. Ορισμός στόχων. Συλλογή πληροφοριών 3. Κατάστρωση μοντέλου 4. Επίλυση εξισώσεων 5. Ανάλυση αποτελεσμάτων 6. Τεκμηρίωση του μοντέλου Σύγκριση με εμπειρικά και πειραματικά δεδομένα. Amplitude 9 8 7 6 5 4 3-4 6 8 Time, sec Προβλέψεις μοντέλου 9
Παράδειγμα δυναμικού μοντέλου V V k Μ b Μ f(t) b M M dv dt dv dt t t b b V t b V t f t b V t V t k V t dt Μελέτη απόκρισης ταχυτήτων μαζών του συστήματος σε ημιτονοειδή μεταβολή της δύναμης r(t). π.χ. r(t)=ημ(5t). Συλλογή δεδομένων: Τιμές παραμέτρων Μ, Μ, b, b, k. Αρχικές συνθήκες. Επίλυση αναλυτικά ή με αριθμητική μέθοδο.
Παράδειγμα δυναμικού μοντέλου R v ~ C v 3 R Μελέτη απόκρισης τάσης v 3 του συστήματος σε μεταβολές των τάσεων των πηγών v και v. Συλλογή δεδομένων: Τιμές παραμέτρων R, R, C. Αρχικές συνθήκες. ~ Επίλυση αναλυτικά ή με αριθμητική μέθοδο. v i v v v R 3 dv dt i 3 R R C R i i i i 3 C C 3 dv C dt 3 dt v C i i 3 3 v R dt, dt, dv dt 3 3 v i i v R v v i C 3 R R v 3 Rv Rv 3 v R v R 3 3
Μετασχηματισμός LAPLACE Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μετατροπή τους σε αλγεβρικές εξισώσεις. Εξαγωγή ποιοτικών χαρακτηριστικών δυναμικής απόκρισης χωρίς επίλυση των εξισώσεων. L f t Fs f t e st dt Μ Βηματική μεταβολή στο t=: Σταθερή για t= μέχρι t. t= χρόνος L M t M st st Me dt e s t M s
Μετασχηματισμός LAPLACE Ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου είναι απαραίτητος για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. η παράγωγος: dy L dt t sl dy dt e st dt y t yt y sy s y e st s y t e st dt Σταθερή αρχική συνθήκη d y dt η παράγωγος: L s Ys sy y Σταθερές αρχικές συνθήκες 3
Μετασχηματισμός LAPLACE Ολοκλήρωμα: L t Fs f t dt s s f t dt Σταθερές αρχικές συνθήκες 4
Μετασχηματισμός LAPLACE Amplitude.9.8.7.6.5.4.3.. Step Response 3 4 5 6 Time (sec) Ο όρος αυτός είναι χαρακτηριστικός της απόκρισης ενός συστήματος ης τάξης σε βηματική μεταβολή. L f t / τ t e f t Fs f t e st dt L s t / τ / t τ e e s s τ e st dt s e τ s τ st s e s τ t dt τs s e t / τ e τ e st s dt τ t s τ 5
Μετασχηματισμός LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace Πεδίο χρόνου Διαφορικές εξισώσεις Πεδίο s Αλγεβρικές εξισώσεις Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace 6
Μετασχηματισμός LAPLACE Ο μετασχηματισμός Laplace είναι γραμμικός τελεστής af t bf t alf t blf t L Εφαρμόζεται μόνο σε γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Θεώρημα τελικής τιμής: Υπολογισμός της τελικής τιμής της μεταβλητής εξόδου χωρίς την επίλυση της δυναμικής συμπεριφοράς. Y t t limsy s Ο μετασχηματισμός Laplace επιφέρει τη μετατροπή των μοντέλων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις σε αντίστοιχα συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων. s 7
Μετασχηματισμός LAPLACE σημάτων εισόδου Μοναδιαία κρουστική μεταβολή (συνάρτηση δέλτα, Dirac) στο t=α: Παλμός με μέγεθος και πλάτος t δ(t-α)= για t α. /ε ε α χρόνος t δ t adt 8
Μετασχηματισμός LAPLACE σημάτων εισόδου Κρουστική μεταβολή στο t=: Παλμός με μέγεθος Μ και πλάτος t. L{ Md ( t) } = M Μ t= χρόνος Βηματική μεταβολή στο t=: Σταθερή για t= μέχρι t. L M M s Μ t= χρόνος Μεταβολή κλίσης στο t=: L{ Mt} = M Μ s χρόνος 9
Μετασχηματισμός LAPLACE σημάτων εισόδου! Παραβολική μεταβολή στο t=: 3 Ημιτονοειδής μεταβολή στο t=: L sinωt ω ω s ω Συνημιτονοειδής μεταβολή στο t=: L cos ωt L L L t s at e sin ωt e at cos ωt s ω s a ω s a s a ω s Μ χρόνος 3
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Παράδειγμα: Βηματική απόκριση συστήματος ης τάξης. f u Εξίσωση κίνησης: mv f t Αρχικές συνθήκες v()=v cv Βήμα ο Εφαρμόζεται Μετασχηματισμός Laplace. L mv Lf t cv v Lf clv sv Fs cvs ml m sv Βήμα ο Επίδραση αρχικών Συνθηκών. V s mv ms c ms Fs c Χαρακτηριστικό πολυώνυμο συστήματος Επιλύεται ως προς τη μεταβλητή εξόδου V(s). Επίδραση εξαναγκασμένης διέγερσης f(t). 3
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Η χρονική μεταβολή της ταχύτητας βρίσκεται με την εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace. Βήμα 3ο v t L mv L ms c F ms c s L Ελεύθερη δυναμική απόκριση. mv v ms c s c / m ct / m L ve Δυναμική απόκριση σε εξωτερική διέγερση (π.χ. βηματική μεταβολή). L f f ct / m ms c s c e 3
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Δυναμική απόκριση σε εξωτερική διέγερση (βηματική μεταβολή). v ct / m ct / m t v e e f c Επίδραση αρχικών συνθηκών Επίδραση εξαναγκασμένης διέγερσης v t f c Κέρδος διεργασίας: Δv t Δf c μονάδες εξόδου / μονάδες εισόδου Σταθερά χρόνου: τ=m/c μονάδες χρόνου Ρίζα χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s=-c/m 33
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE v t f c Κέρδος διεργασίας: Δv t Δf c μονάδες εξόδου / μονάδες εισόδου Εναλλακτικά από το θεώρημα τελικής τιμής: v t s lim s ms c f s f c Σταθερά χρόνου: τ=m/c μέτρο ταχύτητας απόκρισης εκφράζεται σε μονάδες χρόνου. Ρίζα (πόλος) χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s=-c/m v f c ct / m t e Για t=τ v(t)=.63 f/c Για t=4τ v(t)=.98 f/c 34
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Σε χρόνο τ στο 63.% της τελικής τιμής. Σε χρόνο 4τ στο 98.% της τελικής τιμής. Κέρδος Βηματική μεταβολή τη χρονική στιγμή t= s στην εξωτερική διέγερση. 35
Αντίστροφος μετασχηματισμός LAPLACE Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζει την απόκριση στο πεδίου του χρόνου από το πεδίο Laplace. Ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων με βάση τις ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή. G s q p s s s z s z s zm s p s p s p K Με χρήση των πινάκων του μετασχηματισμού Laplace υπολογίζεται η χρονική απόκριση. n. Διακριτές πραγματικές ρίζες. L ak s p k a k e p k t a k s p k q s ps sp k 36
Αντίστροφος μετασχηματισμός LAPLACE. Συζυγείς μιγαδικές ρίζες. tan sin cos sin A A ω t e A A ω t A e ω t A e ω σ s σ s A ω σ s ω A L j ω σ s j ω σ s A L d σt d σt d σt d d d d d sin d d d σt ω σ s ω ω t e L cos d d σt ω σ s σ s ω t e L 37
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Παράδειγμα: Βηματική απόκριση συστήματος ης τάξης. x k f(t) c L Εξίσωση κίνησης: t m x f cx kx Αρχικές συνθήκες: x()=x x ()=v Εφαρμόζεται μετασχηματισμός Laplace. mx Lcx Lkx Lf t Xs sx x csx s x kxs Fs m s Βήμα ο: Βήμα ο: Επίλυση ως προς τη μεταβλητή εξόδου Χ(s). X s ms cx mx ms cs k s F ms cs k Χαρακτηριστικό πολυώνυμο συστήματος 38
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Βήμα 3ο: Η χρονική μεταβολή της μετατόπισης βρίσκεται με την εφαρμογή του αντίστροφου Μ-Laplace. x t L ms cx mx ms cs k L ms s F cs k Ελεύθερη δυναμική απόκριση. ms c xt xl x L ms cs k Δυναμική απόκριση σε εξωτερική διέγερση (π.χ. βηματική μεταβολή). f s xt L ms cs k m ms cs k 39
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Ο παρονομαστής φέρεται στη μορφή: s ζωns ωn Φυσική συχνότητα ω η και συντελεστής απόσβεσης, ζ. k ω n ζ m c km Ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου ζ<: Ελεύθερη δυναμική απόκριση. x A A σt t Ae cosωdt θ x A v σx A A θ tan s ζω ω A d n σ ζω n iω, A ω n d ζ ω n ζ 4
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Εξαναγκασμένη δυναμική απόκριση (βηματική μεταβολή) με μηδενικές αρχικές συνθήκες και ζ<. x θ σt t e cosω t θ f k tan ζ ζ ζ d x t f k Κέρδος διεργασίας: Δx t Δf k μονάδες εξόδου / μονάδες εισόδου 4
Επίλυση δυναμικών συστημάτων με μετασχηματισμό LAPLACE Step Response.8.6 ζ < μιγαδικές ρίζες.4 Amplitude..8.6 ζ > πραγματικές ρίζες.4. 4 6 8 Time (sec) 4
Δυναμικά συστήματα με μεταβλητές απόκλισης Αφαίρεση της () από την () Πώς μπορούν να απαλειφτούν οι αρχικές συνθήκες από το δυναμικό μοντέλο; t x cx x kx x f t m x s Μεταβλητή απόκλισης mx cx kx s kx mx ' cx ' kx' s s f f s f ' f s Μόνιμη κατάσταση Η μεταβλητή απόκλισης ορίζεται ως η διαφορά από μια κατάσταση ισορροπίας (αρχικές συνθήκες ή σημείο γραμμικοποίησης). Αν οι αρχικές συνθήκες αντιπροσωπεύουν μια κατάσταση ισορροπίας, τότε οι αρχικές συνθήκες σε σύστημα μεταβλητών απόκλισης είναι μηδενικές. 43
Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Παράδειγμα: Μη γραμμικό σύστημα. f v Εξίσωση κίνησης: mv f t cv Γραμμικοποίηση γύρω από κάποιο επιθυμητό σημείο ή σημείο ισορροπίας. 44
Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Ανάπτυξη της μη γραμμικής σχέσης σε σειρά Taylor. Διατήρηση μόνο των όρων πρώτης τάξης. F Η μόνη μεταβλητή της εξίσωσης df dx d F! dx x Fx x x x x R s x s s x s s Οι όροι είναι σταθεροί διότι υπολογίζονται στο σημείο γραμμικοποίησης, x s Ορίζουμε τη μεταβλητή απόκλισης: x = (x - x s ) 45
Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Παράδειγμα: Μη γραμμικό σύστημα. f v Εξίσωση κίνησης: mv f t cv Γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας, v cv cv d cv dv vv v v cv cv v v 46
Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Παράδειγμα: Μη γραμμικό σύστημα. f v cv Εξίσωση κίνησης: mv cv d cv dv vv f t cv v v cv cv v v Γραμμικοποιημένη εξίσωση κίνησης (): Eξίσωση κίνησης σε = f ( t )-cv μόνιμη κατάσταση (): Αφαιρώντας τη () από την (): 47
Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Παράδειγμα: Μη γραμμικό σύστημα. f v cv Εξίσωση κίνησης: mv cv d cv dv vv f t cv v v cv cv v v Ορίζοντας μεταβλητές απόκλισης v και f : Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace: ms V ( s) = F ( s)-cv V ( s) 48
Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Ανάπτυξη της μη γραμμικής σχέσης πολλαπλών μεταβλητών σε σειρά Taylor. F x, x Fx, x x x x x s s F x x, s, x, s s F x x, s, x, s s Ορίζουμε τις μεταβλητές απόκλισης από το σημείο γραμμικοποίησης: x = (x x s ) και x = (x x s ) 49
y, εξαρτημένη μεταβλητή Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων Η ακρίβεια της προσέγγισης εξαρτάται από: Το βαθμό μη-γραμμικότητας. Την απόκλιση της x από το σημείο γραμμικοποίησης, x s. y =.5 x +.5 x 3 στο x = 5 5 5-5 - -5 - -5 - -.5 - -.5.5.5 x, ανεξάρτητη μεταβλητή Επειδή ο αυτόματος έλεγχος επιδιώκει να διατηρήσει τις ρυθμιζόμενες μεταβλητές κοντά σε κάποιες επιθυμητές τιμές, η γραμμική προσέγγιση είναι συνήθως, αλλά όχι πάντα, αποδεκτή. Απομάκρυνση της διεργασίας από το σημείο γραμμικοποίησης, επιβάλλει τη διόρθωση της προσέγγισης. 5
Συνάρτηση μεταφοράς δυναμικού συστήματος f u Εξίσωση κίνησης: mv L f t Αρχικές συνθήκες: v()=v =. cv Εφαρμόζεται μετασχηματισμός Laplace. mv Lf t cv v Lf clv sv Fs cvs ml m sv Μεταβλητή εξόδου ταχύτητα u(t)v(s) V s ms Fs c Μεταβλητή εισόδου δύναμη f(t)f(s) Συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) 5
Συνάρτηση μεταφοράς δυναμικού συστήματος Από το μετασχηματισμό Laplace του δυναμικού μοντέλου εξάγονται τα ακόλουθα: Y(s) = G(s) X(s) X(s) G(s) Y(s) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ο λόγος της μεταβλητής εξόδου, Y(s), προς τη μεταβλητή εισόδου, X(s), για μηδενικές αρχικές συνθήκες: G(s) = Y(s)/X(s) 5
Φυσική σημασία συνάρτησης μεταφοράς Θεωρείται ένα οποιοδήποτε τυχαίο σήμα εισόδου (διέγερση) ως μια αλληλουχία κρούσεων μεταβλητού μεγέθους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. x(t) Διεργασία y(t) Η κάθε διέγερση κρούσης προκαλεί την κρουστική απόκριση της διεργασίας. Η συνολική απόκριση αποτελείται από την υπέρθεση του συνόλου των κρουστικών αποκρίσεων. 53
Φυσική σημασία συνάρτησης μεταφοράς Σήμα εισόδου x(t) x(τ) τ Δτ Η διέγερση που αντιστοιχεί στη σκιασμένη περιοχή θεωρείται ως κρουστική δύναμη που ασκείται τη χρονική στιγμή τ<t<τ+δτ. x τδτ δt τ 54
Φυσική σημασία συνάρτησης μεταφοράς Το σήμα εισόδου εκφράζεται ως το άθροισμα όλων των κρουστικών (δέλτα Dirac) μεταβολών που μπορεί να εκφραστεί ως εξής: x t xτ Δτ δt τ τ Η έξοδος είναι η υπέρθεση των κρουστικών δυνάμεων που μπορεί να εκφραστεί ως εξής: Δy t,τ x τ Δτg t τ Για όλη την αλληλουχία των κρουστικών μεταβολών: y t xτ Δτgt τ τ Αντικατάσταση αθροίσματος από ολοκλήρωμα: y t xτ gt τ t dτ Ολοκλήρωμα συνέλιξης (convolution integral) 55
Φυσική σημασία συνάρτησης μεταφοράς Η έξοδος είναι η υπέρθεση των κρουστικών δυνάμεων που μπορεί να εκφραστεί ως εξής: x τδτ δt τ Διεργασία Δy t,τ xτ Δτgt τ Xs Ys GsXs Η συνάρτηση μεταφοράς είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. 56
Συνάρτηση μεταφοράς διεργασίας Y G X(s) G(s) Y(s) s sxs Ανακεφαλαίωση: Πώς πετυχαίνονται μηδενικές συνθήκες για κάθε μοντέλο; Περιορίζεται η χρήση της συνάρτησης μεταφοράς μόνο σε βηματικές μεταβολές; Πώς αντιμετωπίζονται μη-γραμμικά μοντέλα διεργασιών; Πόσες μεταβλητές εισόδου και εξόδου συνδέονται με μια συνάρτηση μεταφοράς; 57
Συνάρτηση μεταφοράς διεργασίας Y G X(s) G(s) Y(s) s sxs Ποιο είναι το όφελος της έκφρασης των δυναμικών συστημάτων με συναρτήσεις μεταφοράς; Τα μοντέλα μπορούν εύκολα να συνδυαστούν αλγεβρικά. Μπορούν να προσδιοριστούν πολλά από τα δυναμικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος χωρίς επίλυση του δυναμικού μοντέλου. 58
Συνάρτηση μεταφοράς διεργασίας Διεργασίες σε σειρά s F v s. m s s % 3 G valve G tank s T F s. 5 K m s 5s 3 s G tank s T T s. K K s 3s G sensor T s T (χρόνος σε sec) measured T s s. K K s 59
Διάγραμμα λειτουργικών βαθμίδων v(s) F (s) T (s) T (s) T meas (s) G valve (s) G tank (s) G tank (s) G sensor (s) Απεικόνιση των εξισώσεων του μοντέλου με διάγραμμα λειτουργικών βαθμίδων. Διαχωρισμός επιμέρους διεργασιών. Εύκολη απεικόνιση διεργασιών. Η φορά των βελών δηλώνει τη σχέση αιτίας αποτελέσματος ανάμεσα στις μεταβλητές εισόδου και εξόδου. 6
Διάγραμμα λειτουργικών βαθμίδων Συνδυασμός δυναμικών συστημάτων χρησιμοποιώντας την άλγεβρα των διαγραμμάτων βαθμίδων. v(s) F (s) T (s) T (s) T meas (s) G valve (s) G tank (s) G tank (s) G sensor (s) v(s) G(s) T meas (s) meas s T T v Tmeas s T s T s T s F s Gs v s T s T s F s v s G s G s G s G s 6
Διάγραμμα λειτουργικών βαθμίδων Δυναμική απόκριση ολικού συστήματος και επιμέρους βαθμίδων..8 G sensor (s) G tank (s) Step Response G tank (s) Amplitude.6.4 G(s). 5 5 Time (sec) 6
Μετασχηματισμοί λειτουργικών βαθμίδων Επιτρεπτοί μετασχηματισμοί ΜΗ επιτρεπτοί μετασχηματισμοί X(s) G(s) Y(s) X (s) X(s) Y(s)=G(s)X(s) G (s) G (s) Y(s) X (s) G(s) Y(s) Y(s)=G (s)g (s)x(s) X(s) X (s) X (s) + X(s) X(s) G(s) Y (s) X (s) X(s)=X (s)=x (s) X (s) X(s)=X (s)+x (s) Y (s) 63
Διάγραμμα λειτουργικών βαθμίδων Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα των διαγραμμάτων βαθμίδων μπορεί να αναπαρασταθεί οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα. x k c f(t) X s ms cs k F s F(s) ms cs k X(s) ft m + c m s k m s xt 64
Μετασχηματισμοί λειτουργικών βαθμίδων Οι θεμελιώδεις τελεστές σε γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (linear time invariant) συστήματα είναι: Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό Παραγώγιση x(t) K y(t) x(t) d/dt y(t) y(t)=kx(t) y(t)=dx(t)/dt x (t) x (t) Άθροιση σημάτων + x(t)=x (t)+x (t) x(t) x(t) Ολοκλήρωση dt y(t)= x(t)dt y(t) 65
Μετασχηματισμοί λειτουργικών βαθμίδων Μετακίνηση σημείου άθροισης πίσω από μια βαθμίδα. X (s) G(s) Y(s) X (s) G(s) Y(s) X (s) X (s) G(s) Μετακίνηση σημείου άθροισης μπροστά από μια βαθμίδα. X (s) G(s) Y(s) X (s) G(s) Y(s) X (s) /G(s) X (s) 66
Μετασχηματισμοί λειτουργικών βαθμίδων Μετακίνηση κόμβου μπροστά από μια βαθμίδα. X (s) G(s) Y(s) X (s) G(s) Y(s) X (s) X (s) G(s) Μετακίνηση κόμβου πίσω από μια βαθμίδα. X (s) G(s) Y(s) X (s) G(s) Y(s) X (s) X (s) /G(s) 67
R(s) Απαλοιφή βρόχου ανάδρασης + E(s) C(s) M(s) G c (s) G v (s) G p (s) Y(s) Y m (s) H(s) p p v p v c Gp sgv sgc srs Ym s G sg sg s Rs HsY s Y s G s M s G s G s C s G s G s G s E s p v c p v c p v c G s G s G s H s Y s G s G s G s R s Y s Gp s Gv s Gc s G s G s G s H s p v c R s Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου 68
Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων η συνάρτηση μεταφοράς φέρεται στην ακόλουθη μορφή: Τι μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς επίλυση της διαφορικής εξίσωσης; Έστω a i οι ρίζες του παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς, p(s)=. Οι ρίζες του παρονομαστή ονομάζονται και πόλοι της. Οι ρίζες του αριθμητή ονομάζονται μηδενικά. Πραγματικά, διακριτά a i α t αt Y t A A e A e... B B t B t.. e p = Y s G s X s q s p s X s C s a C s a q... C cos ωt C sin ωt e... Μιγαδικά a i a q είναι Re{a i } αt αt Πραγματικά, επαναλαμβανόμενα a i
Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς. Αν όλοι οι πόλοι a i έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε όλοι οι εκθετικοί όροι τείνουν στο μηδέν με το χρόνο και συνεπώς η απόκριση του συστήματος Υ(t) συγκλίνει σε πεπερασμένη τιμή. α t αt Y t A A e A e... B B t B t.. e p q... C cos ωt C sin ωt e... Αν έστω ένας πόλος a i έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε ο αντίστοιχος όρος απειρίζεται με το χρόνο και συνεπώς η απόκριση του συστήματος Y(t) τείνει στο άπειρο.. Αν όλοι οι πόλοι a i είναι πραγματικοί, τότε η απόκριση του συστήματος Y(t) δεν εμφανίζει ταλαντώσεις. Αν υπάρχει έστω και ένα ζεύγος πόλων a i που είναι μιγαδικοί, τότε η απόκριση του συστήματος Y(t) εμφανίζει ταλαντώσεις. αt αt
Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς ' dca ' ' A A τ C K C dt ' dca ' ' A A τ C K C dt A B r A kc A F C A C A V C A V. Είναι η απόκριση πεπερασμένη ή απειρίζεται;. Είναι το σύστημα υπέρ- ή υπό-κρίσιμο; 3. Ποια είναι η τάξη του συστήματος; (Τάξη = ο αριθμός των παραγωγίσεων της εισόδου και της εξόδου). 4. Ποιο είναι το κέρδος της διεργασίας σε μόνιμη κατάσταση; Όλα αυτά χωρίς επίλυση του συστήματος! 7
Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς i 3 i i R C v I (s) R RCs V (s) i i i v v 3 3 i v R 3 3 v idt i v dt C C R dv RC v Ri RCs V s RI s dt Τάξη του συστήματος: η (εκθετική απόκριση). Κέρδος: Για s=, οπότε κέρδος=r. Μηδενικά δεν υπάρχουν. 7
Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς R R v ~ C v 3 ~ v Σταθερά χρόνου τ=r R C/(R +R ) i i i 3 v v Ri i3dt, i C v v Ri i3dt, i C v R 3 v R 3 dv3 v3 i3dt i3 C dt C dv3 v v3 v v3 dt C R R dv R R C R R v R v R v dt 3 3 73
Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς dv RRC dt R R Cs R R V s R V s R V s V 3 s 3 R R R R R Cs R 3 v 3 R R v V s R v R R R Cs R R V s V (s) Σταθερά χρόνου τ=r R C/(R +R ) R V (s) R + + R R Cs R R V 3 (s) 74
Ανάλυση δυναμικού συστήματος V k Μ t dv M b b V t bv t r t dt dv t M b V t V t k V t dt dt Με εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace. b b V Μ r(t) Σύστημα x V s G s V s G s R s R s V s MsV s b b V s bv s R s MsV s b V s V s k s M s b b V s b V s Rs k bv s Ms b V s s 75
Ανάλυση δυναμικού συστήματος Σύστημα x M s b b b V s Rs k b Ms b V s s G s 3 V s M s b s k s R s M M s M b M b b s M k b s b b k V s bs G 3 R s M M s M b M b b s M k b s b b k MATLAB: M=; M=; b=; b=5; k=; g=tf([m b k],[m*m M*b+M*(b+b) M*k-b^ (b+b)*k]) g=tf([b ], [M*M M*b+M*(b+b) M*k-b^ (b+b)*k]) v t sx s V s dx t X s G s dt R s s 76
Προσομοίωση δυναμικού συστήματος Απόκριση σε βηματική μεταβολή. MATLAB: step(g); step(g);.6 Step Response.5.4 V (t) Velocities.3.. V (t) -. 3 4 5 Time (sec) Παράμετροι: Μ = kg, M = kg, b = Ns/m, b =5 Ns/m, k= N/m. 77
Προσομοίωση δυναμικού συστήματος Απόκριση σε κρουστική μεταβολή: MATLAB: impulse(g); impulse(g). Impulse Response..8 V (t).6 Velocities.4. -. -.4 V (t) -.6 3 4 5 Time (sec) 78
Ανάλυση δυναμικού συστήματος Σύστημα αλληλεπιδρούντων δοχείων. F L A Κ L A Κ dl A F K L L dt dl A K L L K L dt AsL s F s K L s L s A sl s KL s L s KL s A s K L s F s KL s A s K K L s K L s 79
Ανάλυση δυναμικού συστήματος Σύστημα αλληλεπιδρούντων δοχείων. F A A L Κ L Κ L s A s K K F s A s K A s K K K L s K F s A s K A s K K K 8
Ανάλυση δυναμικού συστήματος Σύστημα αλληλεπιδρούντων δοχείων. L s A s K K F s A s K A s K K K L s K F s A s K A s K K K F L A Κ L A Κ L,sp (s) C(s) F (s) G (s) L (s) G (s) L (s) 8
Προσομοίωση δυναμικού συστήματος A=9.5; A=9.5; K=; K=.5; g=tf([a K+K],conv([A K],[A K+K])+[ -K^]); g=tf([k],conv([a K],[A K+K])+[ -K^]); step(g); hold on; step(g) 8
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας F F F3 k k m 3 m m c c z z z 3 Εφαρμόζεται μετασχηματισμός Laplace για μηδενικές αρχικές συνθήκες (με χρήση μεταβλητών απόκλισης). sz m s z c c c c sz k k k k z F m 3 sz c 3 c sz3 k k z3 F3 m c c sz k k z F 83
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας F F F3 k k m 3 m m c c Ανακατατάσσοντας λαμβάνεται η σχέση: cs k ms cs cs k k cs k z F c z s k m3s cs k 3 F3 m s c s k c s k z F Επιλύεται το σύστημα ως προς τις 9 συναρτήσεις μεταφοράς: z F z z z 3 4 3 3 3 3 z m m s m c m c m c s F c c m k m k m k s c k c k s k k 3 3 3 Αυτόματος Έλεγχος m3c s cc m3k s ck kc s kk / Den / Den 84
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας z F z F 3 cc s ck ck s kk / Den 3 m3c s cc m3k s ck ck s kk / Den 4 3 3 3 z m m s m c m c s F m k c c m k s c k c k s k k z F 3 3 z F 3 z F 3 3 / Den mc s cc mk s ck ck s kk / Den 3 mc s cc mk s ck ck s kk / Den cc s ck ck s kk / Den 4 3 z m m s m c m c m c s 3 / Den F 3 mk cc Τμήμα mk Μηχανολόγων mk Μηχανικών s ck ck s kk 85
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι 6 ης τάξης. 4 3 3 3 3 3 m m m s m m c m m c m m c m m c s mm3k mm3k mm k mcc m3cc mcc mm3k s Den s m3ck mck mck mck m3ck mck s m kk mkk m3kk Απλοποιώντας. m m m m 3 c c c k k k Θεωρώντας ένα σύστημα χωρίς απόσβεση με μοναδιαία μάζα και συντελεστή στιβαρότητας. 86
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας Απαλοιφή μηδενικών πόλων. Πόλοι χαρακτηριστικής εξίσωσης: 3 4 s m s 4m ks 3mk k s,, s3, 4 j j m 3k s56, j. 73 j m. Οι πόλοι χαρακτηρίζουν τη συχνότητα που το σύστημα συντονίζεται.. Οι πόλοι εξαρτώνται μόνο από τις μάζες, τη στιβαρότητα και την απόσβεση και όχι από το σημείο που ασκούνται οι δυνάμεις ή μετρούνται οι μετατοπίσεις. 3. Οι πόλοι είναι κοινοί για κάθε συνάρτηση μεταφοράς. 4 z m s 3mks k F s m s 4m ks 3mk 3 4 z k F s m s mk 3 z3 k F s m s 4m ks 3mk 3 4 4 z m s 3mks k F s m s 4m ks 3mk 3 4
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας z k F s m s mk 3 Μηδενικά συναρτήσεων μεταφοράς:. 6,. 6 j j j, j j j. 6,. 6 z k 4 z m s 3mks k F s m s 4m ks 3mk 3 4 3 F 3 4 s m s 4m ks 3mk F 3 4 s m s 4m ks 3mk Απαλοιφή μηδενικών πόλων. 4 z m s 3mks k. Τα μηδενικά χαρακτηρίζουν τις συχνότητες που εξασθενούν τα σήματα εισόδου.. Τα μηδενικά είναι διαφορετικά για κάθε συνάρτηση μεταφοράς. 3. Τα μηδενικά εξαρτώνται από τη θέση των δυνάμεων και των αισθητήρων (μετρήσεων).
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας Poles and Zeros of z Poles and Zeros of z.5.5.5.5 Imag Imag -.5 -.5 - - -.5 -.5 - - -.5 - -.5.5.5 Μηδενικά (ο) και πόλοι (*) χωρίς απόσβεση. Οι πόλοι βρίσκονται στο φανταστικό άξονα. - - -.5 - -.5.5.5 Μηδενικά (ο) και πόλοι (*) με απόσβεση. Οι πόλοι απομακρύνονται από το φανταστικό άξονα. 89
Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Εφαρμόζει τη μεθοδολογία ανάπτυξης μαθηματικών προτύπων δυναμικών συστημάτων. Επιλύει συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Εξαγάγει τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της δυναμικής απόκρισης ενός συστήματος χωρίς επίλυση στο πεδίο του χρόνου. Γραμμικοποιεί μη-γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. 9
Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Καταστρώνει δυναμικά πρότυπα με μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση μεταβλητών απόκλισης. Υπολογίζει και να χρησιμοποιεί συναρτήσεις μεταφοράς και διαγράμματα λειτουργικών βαθμίδων για την απεικόνιση της συμπεριφοράς ενός δυναμικού συστήματος. Συνθέτει και να αναλύει σύνθετα διαγράμματα λειτουργικών βαθμίδων. 9
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Αθανάσιος Ι. Παπαδόπουλος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μάιος 4