ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία εµπλέκει δύο αυθαίρετα σήµατα και αναπτύσσουµε τις ιδιότητές της. Σήµατα διακριτού χρόνου εδοµένων δύο ακολουθιών f [ ] και f [ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα f[ ] = f[ ] f[ ] +... + f[ ] f[ ] +... + f[ ] f[ ] (4.4). Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ ] και f [ ] την ακολουθία f[]. Η παραπάνω πράξη δηλώνεται µε f[ ] f[ ] και ονοµάζεται διακριτή συνέλιξη. Άρα, f [ ] f [ ] = f [ ] f [ ] = Παράδειγµα 4.5 Θεωρούµε τις ακολουθίες Από τον ορισµό (4.5) έπεται ότι f [ ] = α f [ ] = b f[ ] f[ ] = α b = b ( α / b) Το τελευταίο άθροισµα είναι µια γεωµετρική σειρά µε λόγο a/b. Άρα [βλέπε (3.5)], α α ( + ) = b α b = + + ( α b ) α b α b = = (4.5) (4.6) Το Θεώρηµα της Συνέλιξης για Μετασχηµατισµούς-Z Θα δείξουµε ότι ο µετασχηµατισµός-z της συνέλιξης δύο ακολουθιών ισούται µε το γινόµενο των µετασχηµατισµών-z των : Εάν f[ ] F( z) f[ ] F( z) τότε f[ ] f[ ] F( z) F( z) (4.7) Το θεώρηµα αυτό πράγµατι αποδείχτηκε στην τελευταία παράγραφο διότι [βλέπε (4.5) και (3.68)] y [ ] = x[ ] h[ ] Y ( z ) = X ( z ) H ( z ) Η απόδειξη ήταν, όµως, βασισµένη στις ιδιότητες των γραµµικών συστηµάτων. ίνουµε παρακάτω µια απόδειξη για αυθαίρετα σήµατα. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από τον ορισµό των µετασχηµατισµών-z έπεται ότι F ( z) = f [ ] + f [ ] z +... + f [ ] z +... -4.8-6/7/988 :3: µµ
ΣΥΝΕΛΙΞΗ Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µεf ( z ), λαµβάνουµε την F( z) F( z) = f[ ] F( z) + f[ ] z F( z) +... + f[ ] z F( z) +... (4.8). Έπειτα, παίρνουµε τους αντίστροφους µετασχηµατισµούς-z και των δύο πλευρών της (4.8) χρησιµοποιώντας το θεώρηµα της µετατόπισης (3.34): f [ ] U[ ] z F ( z) Και εφ' όσον U[-]= για >, συµπεραίνουµε ότι η αντιστροφή του δεξιού µέλους της (4.8) είναι το άθροισµα f [ ] f [ ] + f [ ] f [ ] +... + f [ ] f [ ] Αυτό έπεται από την (4.7) διότι το παραπάνω άθροισµα ισούται µε τη συνέλιξη των ακολουθιών f [ ] και f [ ]. Ιδιότητες Οι δύο παρακάτω ιδιότητες της συνέλιξης προκύπτουν εύκολα από την (4.7). Εφ' όσον F( z) F( z) = F( z) F( z), και η αντιστροφή του γινοµένου F( z) F( z) ισούται µε f [ ] f [ ], συµπεραίνουµε ότι ή, ισοδύναµα, f[ ] f[ ] = f[ ] f[ ] (4.9) f [ ] f [ ] = f [ ] f [ ] = = (4.) Τα παραπάνω δείχνουν πως η πράξη της συνέλιξης είναι αντιµεταθετική. Το συµπέρασµα αυτό µπορεί να ληφθεί απ' ευθείας από τον ορισµό εάν αντιστρέψουµε τη σειρά των όρων του αθροίσµατος της σχέσης (4.4). Παροµοίως, εφ' όσον [ F ( z) F ( z)] F ( z) = F ( z)[ F ( z) F ( z)], συµπεραίνουµε ότι 3 3 { f [ ] f [ ]} f3[ ] = f[ ] { f[ ] f3[ ]} (4.). Άρα λοιπόν, η πράξη της συνέλιξης είναι προσετεριστική. Υπολογισµός της συνέλιξης Η συνέλιξη f[] δύο ακολουθιών f [ ] και f [ ] µπορεί να βρεθεί είτε άµεσα από τον ορισµό, είτε έµµεσα από το θεώρηµα της συνέλιξης. Η πρώτη προσέγγιση περιλαµβάνει τον υπολογισµό του αθροίσµατος στην (4.4) για κάθε. Στην δεύτερη προσέγγιση πρέπει να βρούµε τους µετασχηµατισµούς F ( z) και F ( z) των δεδοµένων ακολουθιών και την αντιστροφή του γινοµένου των. Παρακάτω ασχολούµαστε µε τις κύριες εκδοχές αυτού του προβλήµατος, ξεκινώντας µε την έµµεση µέθοδο. Εάν το γινόµενο F ( z) F ( z) είναι µια ρητή συνάρτηση, τότε η f[] µπορεί εύκολα να βρεθεί µέσω της διάσπασης σε απλά κλάσµατα. Παρακάτω δίνουµε ένα παράδειγµα. Παράδειγµα 4.6 Εφ' όσον Επιθυµούµε να βρούµε τη συνέλιξη f[] των ακολουθιών 6. από τη σχέση (4.7) προκύπτει ότι f [ ] = 6. f [ ] = 4. z z 4. z 6. z 4. -4.9-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ z 3z z F ( z) = = ( z 6. )( z 4. ) z 6. z 4. Άρα, 6. 4. = 3 6. 4. σύµφωνα µε την (4.6). Παρακάτω θεωρούµε σήµατα µε πολυωνυµικούς µετασχηµατισµούς. Παράδειγµα 4.7 (α) Υποθέτουµε ότι f[ ] = ä [ ] + ä [ ] + ä [ ] f[ ] = ä [ ] + ä [ ] + ä [ ] όπως στο Σχ. 4.7. Στην περίπτωση αυτή, F ( z) = + z + z F ( z) = + z + z f [] * f [] = f[] 3 - - F (z)=+z +z F (z)=+z +z ΣΧΗΜΑ 4.7 Πολλαπλασιάζοντας, λαµβάνουµε Άρα (Σχ.4.7), (β) τότε Άρα, Παροµοίως, εάν - - F ( z) F ( z) = + z + 3z + z + z 3 4 f[] f[] = ä [] + ä [ ] + 3ä [ ] + ä [ 3] + ä [ 4] f[ ] = áä[ ] + áä [ ] + áä[ ] f [ ] = bä[ ] + bä[ ] + bä[ ] F ( z) = á + á z + á z F ( z) = b + b z + b z 3 4 - - -3-4 F(z)=+z +3z +z +z 3 4 F( z) F( z) = áb + ( áb + áb ) z + ( áb + áb + áb ) z + ( áb + áb ) z + ( áb ) z Οι συντελεστές του πολυώνυµου αυτού είναι οι τιµές της f[] για =,...,4. -4.- 6/7/988 :3: µµ
ΣΥΝΕΛΙΞΗ f [] * f [] = f[] 4 6 7 - -6 F (z)=+z +z +z ΣΧΗΜΑ 4.8 Παράδειγµα 4.8 (Σχ. 4.8),τότε -7 Εάν 67 - -6 F (z)=+z +z +z -7 678 3 4 - - -6 F(z)=+z +z +z + -7-8 - -3-4 +4z +z +z +z +z f[ ] = f[ ] = ä [ ] + ä [ ] + ä [ 6] + ä [ 7] F ( z) = F ( z) = + z + z + z 6 7 F ( z) F ( z) = + z + z + z + 4z + z + z + z + z 6 7 8 3 4 Η αντιστροφή f[ ] = f[ ] f [ ] του πιο πάνω γινοµένου φαίνεται στο Σχ. 4.8. Τα παραδείγµατα αυτά δείχνουν τη σχέση µεταξύ συνέλιξης και πολλαπλασιασµού πολυώνυµων: εάν δύο πολυώνυµα πολλαπλασιάζονται, οι συντελεστές των συνελίσσονται. Αυτή είναι µια ειδική περίπτωση του θεωρήµατος της συνέλιξης (4.7). Ηµι-γραφική µέθοδος Ο άµεσος υπολογισµός της συνέλιξης διευκολύνεται συχνά µε τη βοήθεια της παρακάτω κατασκευής. Επιθυµούµε να βρούµε το άθροισµα f[ ] = f [ ] f [ ] +... + f [ ] f [ ] +... + f [ ] f [ ] Για τον σκοπό αυτό σχεδιάζουµε τις ακολουθίες f [ ] και f [ ] ως συναρτήσεις του. Έπειτα σχηµατίζουµε την αντίστροφη εικόνα (mirror image) f [ ] της f [ ] ως προς την αρχή. Τελικώς, σχηµατίζουµε την ακολουθία f [ ] ολισθαίνοντας την αρχή του γραφήµατος της f [ ] ως το σηµείο. -4.-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ á á á f [] b b f [] f[] c b b3 c c c 3 c 4 c5 b f [-] 3 3 4 5-3 - - b b f [-] f[]=c =á b - - b b b f [-] f[]=c =á b +á b - f[]=c =á b +á b +á b b b 3 b 3 f [3-] f [4-] f[3]=c 3=á b 3+á b +á b 3 4 f [5-] f[4]=c =á b +á b 4 3 3 4 5 f[]=c 5 =á b 3 ΣΧΗΜΑ 4.9 Με αυτή την κατασκευή οι δύο παράγοντες του γινοµένου f [ ] f [ ] εµφανίζονται στην ίδια κατακόρυφη γραµµή. Αθροίζοντας για όλα τα, λαµβάνουµε την f[]. Σε όλα τα παραπάνω, είναι ένας σταθερός αριθµός και η µεταβλητή παίρνει όλες τις τιµές για τις οποίες και οι δύο συντελεστές γινοµένου f [ ] f [ ] είναι διάφοροι του µηδενός. Η διαδικασία αυτή εκτελείτε για =,,,... αποφέροντας f[], f[], f[],..., όπως στο Σχ. 4.9. Παράδειγµα 4.9 Στο Σχ. 4. προσδιορίζουµε τη συνέλιξη των ακολουθιών f [ ] = U[ ] U[ 6] f [ ] = U[ ] U[ 5] χρησιµοποιώντας την ηµι-γραφική µέθοδο. Παραδείγµατος χάριν, για να βρούµε την f[5], ολισθαίνουµε την ακολουθία f [ ] πέντε θέσεις προς τα δεξιά. Όπως βλέπουµε από το σχήµα, το γινόµενο f [ ] f [ ] είναι διάφορο του µηδενός για =,, και 3. Αυτό αποφέρει f[5]=3. 5 Αµφίπλευρη Συνέλιξη Η συνέλιξη όπως ορίστηκε στην σχέση (4.4) περιλαµβάνει τις τιµές του µόνον για. Σε κύριες εφαρµογές είναι επιθυµητό να θεωρούνται επίσης και αρνητικές τιµές του. Αυτό οδηγεί στην ακολουθία -4.- 6/7/988 :3: µµ
ΣΥΝΕΛΙΞΗ f[ ] = f [ ] f [ ] = f [ ] f [ ] = = (4.) η οποία ορίζεται για κάθε θετικό ή αρνητικό. Η ακολουθία f[] που σχηµατίστηκε έτσι θα ονοµάζεται αµφίπλευρη συνέλιξη των ακολουθιών f [ ] και f [ ]. Παράδειγµα 4. Θεωρούµε τις ακολουθίες f[ ] = f[ ] = > Εφαρµόζοντας την ηµι-γραφική µέθοδο που εισαγάγαµε προηγουµένως στην (4.), συµπεραίναµε πως f [ ] = για > 4, και για 4 έχει τριγωνική µορφή, όπως στο Σχ. 4.. f [] f [] f[] 3 f [-] 3 4 5 67 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 - - f [5-] 3 5 f [9-] 5 6 7 ΣΧΗΜΑ 4. f [] * f [] = f[] 5 4 4 3 3 - - - - ΣΧΗΜΑ 4. Από την (4.) έπεται ότι εάν f [ ] = για <, τότε -4-3- - 3 4 f[ ] = f [ ] f [ ] = f [ ] f [ ] = = διότι f [ ] = για > και f [ ] = για <. (4.3) Τελικώς, εάν f [ ] = και f[ ] = για <, τότε η f[] δίνεται από το άθροισµα στην (4.4). Παράδειγµα 4. Με f [ ] = y [ ] και f [ ] U[ ] =, η σχέση (4.3) αποφέρει -4.3-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ y [ ] U [ ] = y [ ] = Άρα, η συνέλιξη της y[] µε τη βηµατική ακολουθία U[] ισούται µε το άθροισµα όλων των τιµών της y[] από έως. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Στην προηγούµενη παράγραφο δείξαµε ότι η απόκριση y[] ενός συστήµατος δίνεται από το άθροισµα της σχέσης (4.6), µε την προϋπόθεση ότι η είσοδος x[] εφαρµόζεται για =. Με παρόµοια αιτιολόγηση, µπορούµε να δείξουµε ότι εάν η x[] δεν εφαρµοστεί στο = αλλά στο =, τότε y [ ] = x[ ] h[ ] = x[ ] h[ ] = = (4.4) Άρα, η απόκριση y[] για µια αυθαίρετη είσοδο x[] ισούται µε την αµφίπλευρη συνέλιξη της x[] µε την κρουστική απόκριση h[].. Αιτιολογώντας παροµοίως µε την απόδειξη της (4.7) µπορούµε να δείξουµε ότι εάν F ( z) = f [ ] z F ( z) = f [ ] z = = είναι οι αµφίπλευροι µετασχηµατισµοί-z των σηµάτων f [ ] και f F ( z) F ( z ). της αµφίπλευρης συνέλιξής των f[] ισούται µε [ ], τότε ο µετασχηµατισµός-z F(z) Σήµατα Συνεχούς Χρόνου Η συνέλιξη δύο σηµάτων συνεχούς χρόνου f [ ] και f [ ] είναι το ολοκλήρωµα f () = f() ôf( ôdô ) Όπως και στην περίπτωση διακριτών σηµάτων, η πράξη δηλώνεται µε f () f (). Παράδειγµα 4. Εάν f e ()= α και f e ()= β, τότε Άρα, e αô β( ô) β ( βα) ô f () f () = e e dô = e e dô a (4.5) a e a b b = e = b a e a e b ( ) a b (4.6) Το θεώρηµα της Συνέλιξης για Μετασχηµατισµούς Laplace Θα δείξουµε ότι ο µετασχηµατισµός Laplace της συνέλιξης δύο συναρτήσεων ισούται µε το γινόµενο του µετασχηµατισµού Laplace των συναρτήσεων. Εάν f() F() s f() F() s τότε f() f() F() s F() s (4.7) ΑΠΟ ΕΙΞΗ. Όπως γνωρίζουµε -4.4-6/7/988 :3: µµ
ΣΥΝΕΛΙΞΗ s F () s = f () ô e dô Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε F (), s λαµβάνουµε F s F s f ô e sô () () = () F() s dô (4.8) sô Το παραπάνω ολοκλήρωµα είναι µια υπέρθεση όρων της µορφής e F () s πολλαπλασιασµένοι µε f ( ô) dô. Εφ' όσον [βλέπε (.69)] f ô U ô e sô ( ) ( ) F( s) συµπεραίνουµε ότι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός του ολοκληρώµατος της (4.8) ισούται µε και έτσι προκύπτει η σχέση (4.7). f ( ô) f ( ô) U( ô) dô = f ( ô) f ( ô) dô Ιδιότητες Οι παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν εύκολα από το θεώρηµα της συνέλιξης (βλέπε Προβλήµατα 4.8 και 4.9):. Η πράξη της συνέλιξης είναι αντιµεταθετική και προσετεριστική f() f() = f() f() (4.9) [ f ( ) f ( )] f3( ) = f( ) [ f ( ) f3 ( )] (4.3). Εάν f () = f() f (), τότε f () = f () f() = f() f () (4.3) 3. Εάν y () = f ( ) y () = f ( ) y() = y () y () α b τότε (Σχ. 4.) y () = f ( α b ) (4.3) -4.5-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ f () * f () = f() y () * y () y() á b á + b ΣΧΗΜΑ 4. Υπολογισµός της Συνέλιξης Όπως και στην περίπτωση διακριτών σηµάτων, µπορούµε να υπολογίσουµε τη συνέλιξη δύο συναρτήσεων είτε απ' ευθείας από τον ορισµό είτε έµµεσα από το θεώρηµα της συνέλιξης. Ξεκινούµε µε την έµµεση µέθοδο. Παράδειγµα 4.3 Εφ' όσον από την (4.7) έπεται ότι άρα, Ηµι-γραφική µέθοδος Επιθυµούµε να βρούµε τη συνέλιξη f() των συναρτήσεων 3 5 f () = f () = 3 3! 5 5! 4 6 s s!! F () s = 35 s 3 5 35 9 =!! 9! Επιθυµούµε να υπολογίσουµε το συνελικτικό ολοκλήρωµα f () = f() ôf( ôdô ) για κάθε. Άρα λοιπόν, δεν έχουµε ένα ολοκλήρωµα αλλά έναν άπειρο αριθµό ολοκληρωµάτων, διότι η προς ολοκλήρωση ποσότητα f( ô) f( ô) και τα όρια της ολοκλήρωσης µεταβάλλονται καθώς το παίρνει διάφορες τιµές. Η παρακάτω µέθοδος απλοποιεί τον προσδιορισµό αυτών των ορίων (Σχ. 4.3). Σχεδιάζουµε τις συναρτήσεις f ( ô) και f ( ô), όπου τ είναι η µεταβλητή ολοκλήρωσης. Σχηµατίζουµε την ανάστροφη εικόνα (mirror image) f ( ô) της f ( ô). Σχηµατίζουµε τη συνάρτηση f ( ô) µεταθέτοντας την αρχή της καµπύλης f ( ô) στο σηµείο. Ολοκληρώνουµε το γινόµενο f ( ô) f ( ô) ως προς τ. Κατά την ολοκλήρωση αυτή το είναι ένας σταθερός αριθµός και η ολοκλήρωση περικλείει όλες τις τιµές του τ για τις οποίες και οι δύο συντελεστές του γινοµένου f ( ô) f ( ô) είναι διάφοροι του µηδενός. Τα όρια της ολοκλήρωσης εξαρτώνται από το. -4.6-6/7/988 :3: µµ
ΣΥΝΕΛΙΞΗ f (-ô) f (ô) f ( -ô) f()=f ()*f () f ( -ô) f ( 3-ô) f (ô) 3 ô 4 ô f( )= f (ô)f ( -ô)dô f( )= f (ô)f ( -ô)dô f( )= f (ô)f ( -ô)dô 3 3 3-4 -4 (á) f (ô) f (ô) f() 3 f ( -ô) f ( -ô) f ( 3-ô) 4 3 ô 4 ô 4 6 3 ΣΧΗΜΑ 4.3 (â) Για τις καµπύλες του Σχ. 4.3α λαµβάνουµε f () = fôf ( ) ( ôdô ) < 4 f () = fôf ( ) ( ôdô ) < -4-4 4 f () = fôf ( ) ( ôdô ) < 6 και f()= για 6. Εάν οι συναρτήσεις f () και f () είναι τετραγωνικοί παλµοί, όπως στο Σχ. 4.3β, τότε η f() είναι ένα τραπεζοειδές. Παράδειγµα 4.4 Επιθυµούµε να βρούµε τη συνέλιξη µιας αυθαίρετης συνάρτησης y() µε τον τετραγωνικό παλµό PT () που φαίνεται στο Σχήµα 4.4. Όπως φαίνεται από το σχήµα το P ( T ô ) = για κάθε τ στο διάστηµα ολοκλήρωσης (-Τ, ) και ισούται µε µηδέν οπουδήποτε αλλού. Άρα, y () P() = yôdô ( ) > T T T -4.7-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ y(ô) P (-ô) T -T ô ΣΧΗΜΑ 4.4 P (ô) T T ô y()*p ()= y(ô)dô -T ô >Ô Συνέλιξη µε ένα σήµα βραχείας διάρκειας Η συνέλιξη µιας τυχαίας συνάρτησης y() µε µια συνάρτηση zå( ) η οποία είναι µηδενική έξω από το προς ολοκλήρωση διάστηµα (,ε) δίνεται από τη σχέση ε y () z () = y( τ ) z ( τ) dτ τ (βλέπε Σχ. 4.5). Εάν η συνάρτηση y(τ) είναι σχεδόν στιγµιαία στο διάστηµα (-ε, ), τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την προσέγγιση å å å å yôz ( ) ( ôdô ) y () z ( ôdô ) = Ay () όπου Α είναι η επιφάνεια της zå (). Αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι εάν η y() είναι συνεχής και το ε είναι ικανοποιητικά µικρό, τότε (βλέπε επίσης Πρόβληµα 6.7) y () z å () Ay () (4.33) y(ô) z (ô) å å z (-ô) å z (ô)dô=á å -å ô å ô ΣΧΗΜΑ 4.5 Η προσέγγιση δεν ισχύει στην γειτονιά(περιοχή) του ε για τα σηµεία ασυνέχειας της y(). Από τα παραπάνω έπεται ότι z () Áä () καθώς το ε διότι [βλέπε (.9)] Αµφίπλευρη Συνέλιξη ολοκλήρωµα å y () ä () = y () (4.34) Η αµφίπλευρη συνέλιξη δυο συναρτήσεων f () και f () είναι το f( ) = f ( ô) f ( ô) dô = f ( ô) f ( ô) dô οριζόµενο για κάθε θετικό ή αρνητικό. (4.35) Παράδειγµα 4.5 Εάν -4.8-6/7/988 :3: µµ
ΣΥΝΕΛΙΞΗ f() = f() = T > T τότε f() είναι ένας τριγωνικός παλµός, όπως στο Σχ. 4.6. Αυτό έπεται εύκολα από την ηµι-γραφική µέθοδο κατάλληλα διαµορφωµένη. f () * f () = f() T ΣΧΗΜΑ 4.6 -T T -T T -T T Εάν f ()= για <, τότε f( ) = f ( ô) f ( ô) dô = f ( ô) f ( ô) dô διότι f ( ô) = για ô > και f ( ô) = για ô <. Τελικώς, εάν f ()= και f ()= για <, τότε η f() δίνεται από το ολοκλήρωµα της σχέσης (4.5). Παράδειγµα 4.6 Με f () = y() και f () = U(), (4.36) αποφέρει y () U () = yôdô ( ) (4.37) Άρα η συνέλιξη της y() µε µια βηµατική συνάρτηση U() ισούται µε το ολοκλήρωµα της y() από - έως. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Στην προηγούµενη παράγραφο δείξαµε ότι αν η είσοδος x() σε ένα σύστηµα εφαρµόζεται για =, τότε η προκύπτουσα απόκριση y() δίνεται από το ολοκλήρωµα της σχέσης (4.3). Με παρόµοια αιτιολόγηση, µπορούµε να δείξουµε ότι εάν η είσοδος x() εφαρµοστεί όχι για = αλλά για =- τότε y ( ) = xôh ( ) ( ôdô ) x ( ôhôdô ) ( ) = Αυτή είναι η αµφίπλευρη συνέλιξη της x() µε την κρουστική απόκριση h() του συστήµατος.. Αιτιολογώντας όπως στην απόδειξη της σχέσης (4.7), µπορούµε να δείξουµε ότι εάν F s f e s ( ) = ( ) d F ( s) = f ( ) e s d - είναι οι αµφίπλευροι µετασχηµατισµοί Laplace των σηµάτων f () και f Laplace F(s) της αµφίπλευρης συνέλιξης f() ισούται µε F ( s) F ( s). (4.38) (), τότε ο µετασχηµατισµός -4.9-