ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗ Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-1

3. ΣΥΝΑΓΩΓΗ 3.1 Βασικές αρχές συαγωγής 3.1.1 Εισαγωγικά στοιχεία 3.1. Συτεεστής συαγωγής και αριθμός Nusselt 3.1.3 Οριακό στρώμα ταχύτητας και θερμοκρασίας 3. Συαγωγή με εξααγκασμέη κυκοφορία 3..1 Εξωτερική ροή 3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) 3.3 Συαγωγή με φυσική κυκοφορία 3.4 Συδυασμέη φυσική και εξααγκασμέη κυκοφορία Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-

3.1 Βασικές αρχές 3.1.1 Εισαγωγικά στοιχεία Συαγωγή: Ο κύριος μηχαισμός μεταφοράς θερμότητας στα ρευστά, όπου η ύη μπορεί α μετακιηθεί εεύθερα. Καθώς στοιχεία μάζας του ρευστού μετακιούται από μία περιοχή σε άη μεταφέρου μαζί με τη μάζα τους (συάγου) όες τους τις ιδιότητες: Τη ορμή τους Τη θερμική τους εέργεια Τα συστατικά τους Ο μηχαισμός μεταφοράς ορμής, θερμότητας και μάζας με συαγωγή είαι ίδιος και περιγράφεται με παρόμοια μεθοδοογία και παρόμοιες σχέσεις υποογισμού. Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3

3.1.1 Εισαγωγικά στοιχεία Δύο κατηγορίες προβημάτω συαγωγής: Εξααγκασμέη κυκοφορία: Η κίηση του ρευστού γίεται υπό τη επίδραση εξωτερικώ δυάμεω Φυσική κυκοφορία: Η κίηση του ρευστού οφείεται στις δυάμεις άωσης, όγω της μεταβοής της πυκότητας με τη θερμοκρασία Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-4

3.1. Συτεεστής συαγωγής και αριθμός Nusselt Όπως έχουμε δει ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με συαγωγή μεταξύ μιας επιφάειας και εός ρευστού μπορεί α εκφρασθεί από τη σχέση: q h θ θ & συ ( ) s Τα προβήματα συαγωγής εστιάζοται στο προσδιορισμό του συτεεστή συαγωγής, h Στις μεέτες συαγωγής συηθίζεται α αδιαστατοποιούται οι εξισώσεις και α συδυάζοται οι μεταβητές σε αδιάστατους αριθμούς. Ο αδιάστατος αριθμός που ατιστοιχεί στο συτεεστή συαγωγής, h, είαι ο αριθμός Nusselt, Nu Nu όπου: η θερμική αγωγιμότητα του ρευστού και δ έα χαρακτηριστικό μήκος hδ Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-5

3.1. Συτεεστής συαγωγής και αριθμός Nusselt Φυσική σημασία του αριθμού Nusselt, Nu θ θ 1 q & δ Nu hδ q& συ h(θ θ1) Μεταφορά θερμότητας διαμέσου στρώματος ρευστού πάχους δ με διαφορά θερμοκρασίας Δθθ -θ 1 & (θ θ ) δ 1 qαγ q& Nu q & συ αγ hδ ΟαριθμόςNu δείχει τη είσχυση της μεταφοράς θερμότητας διαμέσου εός στρώματος ρευστού όγω συαγωγής σε σύγκριση με τη αγωγή Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-6

3.1.3 Οριακό στρώμα ταχύτητας και θερμοκρασίας Σε ρευστό που κιείται κοτά σε επιφάεια με διαφορετική θερμοκρασία ααπτύσσεται οριακό στρώμα θερμοκρασίας (δ θ ) ατίστοιχο με το οριακό στρώμα ταχύτητας (δ u ). Αριθμός Reynolds, Re: καθορίζει το είδος της ροής Αριθμός Prandtl, Pr: δείχει το σχετικό πάχος του οριακού στρώματος ταχύτητας και του οριακού στρώματος θερμοκρασίας Pr Δυάμεις αρδάειας Re Δυάμεις ιξώδους Διαχυτότητα ορμής Διαχυτότητα θερμοτητας ux α μc p u(m/s): ταχύτητα του ρευστού, x (m): χαρακτηριστικό μήκος, (m /s): κιηματικό ιξώδες, μ (kg/(m s)): δυαμικό ιξώδες, C p (J/(kg o C): ειδική θερμότητα, (W/(m o C)): θερμική αγωγιμότητα, α (m /s): θερμική διαχυτότητα. Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-7

3.1.3 Οριακό στρώμα ταχύτητας και θερμοκρασίας u θ Pr Διαχυτότητα ορμής Διαχυτότητα θερμοτητας α μc p δ u δ θ u θ δ θ δ u Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-8

3. Συαγωγή με εξααγκασμέη κυκοφορία Περιπτώσεις συαγωγής με εξααγκασμέη κυκοφορία Εξααγκασμέη συαγωγή Εξωτερική ροή Εσωτερική ροή Πάω από επίπεδη επιφάεια Γύρω από σώματα συγκεκριμέης γεωμετρίας, π.χ. κύιδροι, σφαίρες, κπ Ροή σε αγωγούς με διάφορες γεωμετρίες διατομής Κάθετα σε δέσμη σωήω Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-9

3. Συαγωγή με εξααγκασμέη κυκοφορία Στις περιπτώσεις συαγωγής με εξααγκασμέη κυκοφορία ο αριθμός Nusselt είαι συήθως συάρτηση μόο τω γεωμετρικώ χαρακτηριστικώ του συστήματος (x, L) και τω αριθμώ Reynolds και Prandtle: Τοπικός αριθμός Nusselt Nu x f 1 (x,re x,pr) Μέσος αριθμός Nusselt Nu L f (Re L,Pr) Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-10

3. Συαγωγή με εξααγκασμέη κυκοφορία 3..1 Εξωτερική ροή Επίπεδη επιφάεια Στρωτή ροή ux Re x < 5 10 5 Τοπικό Nu x hx Μέσο hl Nu L Pr α μc p Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-11

3..1 Εξωτερική ροή Επίπεδη επιφάεια Τυρβώδης ροή 5 5 10 Rex ux Τοπικό Nu x hx Μέσο hl Nu L Pr α μc p Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-1

Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής Αέρας θ 300 ο C u 10 m/s 0.5 m P 0.1 bar q& θ s 7 o C 1.0 m Δεδομέα: Αέρας υπό πίεση 0.1 bar και θερμοκρασία 300 o C ρέει με ταχύτητα 10m/s πάω από επίπεδη επιφάεια πάτους 1m και μήκους 0.5 m, ηοποίαδιατηρείταιμεψύξησεσταθερή θερμοκρασία 7 ο C Ζητούται: O ρυθμός με το οποίο απάγεται θερμότητα από τη επιφάεια (α) Στομέσοτηςεπιφάειας(σε απόσταση x 0.5 m). (β) Στο τέος της επιφάειας (σε x L 0.5 m). (γ) Να βρεθεί ο μέσος ρυθμός απαγωγής για όη τη επιφάεια. Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-13

Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής Αέρας Re x Nu x θ 300 ο C u 10 m/s ux hx 0.5 m Pr P 0.1 bar q& α θ s 7 o C 1.0 m μc hl Nu L p Λύση: Κύρια βήματα 1 ο Βήμα: Προσδιορισμός τω ιδιοτήτω του αέρα που χρειάζοται για το υποογισμό τω αριθμώ Re, Pr, Nu ο Βήμα: Υποογισμός του αριθμού Re και έεγχος του είδους ροής (στρωτή ή τυρβώδης) για όη τη επιφάεια 3 ο Βήμα: Επιογή τω κατάηω εξισώσεω και υποογισμός του τοπικού ή μέσου αριθμού Nusselt 4 ο Βήμα: Υποογισμός τω συτεεστώ συαγωγής h και του τοπικού και μέσου ρυθμού μεταφοράς θερμότητας ( θ ) q h θ & x x s ( θ ) q& h θ s Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-14

Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής Αέρας θ 300 ο C u 10 m/s 0.5 m P 0.1 bar q& θ s 7 o C 1.0 m Λύση: 1 ο Βήμα: Προσδιορισμός τω ιδιοτήτω του αέρα που χρειάζοται για το υποογισμό τω αριθμώ Re, Pr, Nu Μπορούμε α βρούμε από Πίακες * τις ιδιότητες του αέρα για διάφορες θερμοκρασίες, αά ααφέροται σε πίεση P1 bar. Re x Nu x ux hx Pr α μc hl Nu L p Οι ιδιότητες μ, C p καιδεεπηρεάζοταισηματικά από τη πίεση Η πίεση καθορίζει τη πυκότητα, ρ, και συεπώς καθορίζει έμμεσα το κιηματικό ιξώδες, μ/ρ, και τη θερμική διαχυτότητα, α/(ρcp). Για α υποογίσουμε τις ιδιότητες αυτές υποθέτουμε ότι ισχύει ο όμος τω τεείω αερίω * Πίακας Π.4.4 στα Παραρτήματα του βιβίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά Θερμότητας», 1991 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-15

Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής Αέρας θ 300 ο C u 10 m/s P 0.1 bar q& θ s 7 o C 1.0 m Λύση: 1 ο Βήμα: Προσδιορισμός τω ιδιοτήτω του αέρα που χρειάζοται για το υποογισμό τω αριθμώ Re, Pr, Nu Στημέσηθερμοκρασίατουστρώματος: 0.5 m θ o (θ + θ ) / 163.5 C ή 436.5 Κ f s Re x Nu x ux hx Pr α μc hl Nu L p Σε Τ436.5 ΚκαιP1 bar οι ιδιότητες του αέρα είαι * : ρ 0.800 kg/m 3, C p 1.019 kj/ (kgk), μ 4.51 10-6 kg/(ms) 3.07 10-5 m /s, 36.3 10-3 W/(mK), α 4.47 10-5 m /s * Πίακας Π.4.4 στα Παραρτήματα του βιβίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά Θερμότητας», 1991 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-16

Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής Αέρας Re x Nu x θ 300 ο C u 10 m/s ux hx 0.5 m Pr P 0.1 bar q& α θ s 7 o C 1.0 m μc hl Nu L κρ ίσιμο Rec 10 p Λύση: 1 ο Βήμα: Προσδιορισμός τω ιδιοτήτω του αέρα Σε Τ436.5 ΚκαιP1 bar οι ιδιότητες του αέρα είαι: ρ 0.800 kg/m 3, C p 1.019 kj/ (kgk), μ 4.51 10-6 kg/(ms) 3.07 10-5 m /s, 36.3 10-3 W/(mK), α 4.47 10-5 m /s Υποογίζουμε τα ρ, καιασεp0.1 bar : ρ 0.080 kg/m 3, 3.07 10-4 m /s, α 4.47 10-4 m /s ο Βήμα: Υποογισμός του Re και έεγχος του είδους ροής (στρωτήήτυρβώδης) σε όη τη επιφάεια u L 4 5 5 Re L 1.63 10 < Rec Στρωτή ροή Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-17

Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής Αέρας θ 300 ο C u 10 m/s 0.5 m P 0.1 bar q& θ s 7 o C 1.0 m Λύση: 3 ο Βήμα: Επιογή τω κατάηω εξισώσεω και υποογισμός του τοπικού ή μέσου αριθμού Nusselt 5 Re Pr 0.687 L < Rec 5 10 α Re x ux Pr α μc p Nu x hx hl Nu L Ιδιότητες σε Τ436.5 ΚκαιP0.1 bar: ρ 0.080 kg/m 3, 3.07 10-4 m /s 36.3 10-3 W/(mK), α 4.47 10-4 m /s Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-18

Αέρας Re x Nu x ux hx Pr α μc hl Nu L p 3. Συαγωγή Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής θ 300 ο C P 0.1 bar Λύση: Pr 0.687 u 10 m/s θ s 7 o C α 3 ο Βήμα: Επιογή τω κατάηω εξισώσεω και υποογισμός του τοπικού ή μέσου αριθμού Nusselt q& (α) Σε x 0.5 m: 1.0 m ux 1 3 0.5 0.5 m Re x 8.15 10 Nu 0.33 Re Pr 3 x x 6. 44 (β) Σε x L 0.5 m: ux Re x 10 1 3 0.5 16.3 Nu 0.33 Re Pr 3 x x 37. 40 (γ) ΟμέσοςαριθμόςNu L : Ιδιότητες σε Τ436.5 ΚκαιP0.1 bar: ρ 0.080 kg/m 3, 3.07 10-4 m /s 3 1 L L x x L Re L 16.3 10 0.5 Nu 0.664 Re Pr 3 Nu 74. 80 36.3 10-3 W/(mK), α 4.47 10-4 m /s Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-19

Αέρας 3. Συαγωγή Παράδειγμα 3.1. Υποογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη επιφάεια σε συθήκες στρωτής ροής θ 300 ο C u 10 m/s 0.5 m P 0.1 bar q& θ s 7 o C 1.0 m h Λύση: 4 ο Βήμα: Υποογισμός τω συτεεστώ συαγωγής h και του τοπικού και μέσου ρυθμού μεταφοράς θερμότητας (α) Σε x 0.5 m: Nu x 6. 44 Nux 3.84W /(m K) q & x 3.84 ( 300 7.1) 1048W / m x x (β) Σε x L 0.5 m: Nu x 37.40 (γ) ΟμέσοςαριθμόςNu L : h x.71w /(m K) q & 739.8W / m x h h x L 5.4W /(m K) Nu L 74.80 q & 1476.6W / m Το συοικό ποσό θερμότητας που πρέπει α απομακρύεται για α διατηρείται η θερμοκρασία στους 7 o C: q & q& A 1476.6 0.5 739.8W Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-0

3..1 Εξωτερική ροή Εγκάρσια ροή γύρω από σώματα κυιδρικής ή άης διατομής Re D Nu D Pr α ud hd μc p Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-1

3..1 Εξωτερική ροή Εγκάρσια ροή γύρω από σώματα κυιδρικής ή άης διατομής (συέχεια) Re D Nu D ud hd Pr α μc p Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-

3..1 Εξωτερική ροή Ροήγύρωαπόδέσμησωήω Ευρύτατη εφαρμογή στο σχεδιασμό βιομηχαικώ συσκευώ μεταφοράς θερμότητας (εαάκτες) (α) Διάταξη σε σειρές umaxd ReD D: διάμετρος τω σωήω (α) Διάταξη σε σειρές u max u ST S D T (β) Τριγωική διάταξη u max u ST (S D) D (β) Τριγωική διάταξη Pr α μc p Nu D Pr m 0.36 cred Pr Prs 0.5 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3

3..1 Εξωτερική ροή Ροήγύρωαπόδέσμησωήω Nu D Pr m 0.36 cred Pr Prs 0.5 Ισχύει για αριθμό στηώ N L >0 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-4

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Δεδομέα: Αέρας υπό ατμοσφαιρική πίεση και θερμοκρασία 5 o C θερμαίεται περώτας από δέσμη σωήω διατεταγμέω σε σειρά. Τα δεδομέα της διάταξης και τω συθηκώ ειτουργίας δίοται στο διπαό σχήμα Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. αέρα: θ 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C Ζητούται: (α) Ο μέσος συτεεστής συαγωγής (β) Η θερμοκρασία εξόδου του αέρα Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-5

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Λύση: Nu D Pr m 0.36 cred Pr Prs Προσδιορισμός τω ιδιοτήτω του αέρα 0.5 Γωρίζουμε μόο τη θερμοκρασία εισόδου του αέρα: θ,1 5 ο C Υποθέτουμε μία θερμοκρασία εξόδου του αέρα: θ, 60 ο C Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. εισ. αέρα: θ,1 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C θ, m (θ,1 + θ,) / 4.5 o C ή 315.5 Κ Ιδιότητες στη μέση θερμοκρασία του αέρα θ,m 315.5 Κ ρ 1.11 kg/m 3, C p 1.007 kj/ (kgk), μ 19. 10-6 kg/(ms) 17.3 10-6 m /s, 7.4 10-3 W/(mK), α 4.8 10-6 m /s Αριθμοί Pr στις θερμοκρασίες θ,m 315.5 K και θ s 373 Κ Pr 0.705, Pr s 0.695 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-6

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Λύση: Nu D Pr m 0.36 cred Pr Prs 0.5 Ιδιότητες στη μέση θερμοκρασία του αέρα θ,m 315.5 Κ 17.3 10-6 m /s, 7.4 10-3 W/(mK) Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. εισ. αέρα: θ,1 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C Αριθμοί Pr στις θερμοκρασίες θ,m 315.5 K και θ s 373 Κ Pr 0.705, Pr s 0.695 ST D umax u u 10 0m /s S D D D T u D Re max 4 D.3 10 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-7

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Λύση: Nu D Pr m 0.36 cred Pr Prs 0.5 Ιδιότητες στη μέση θερμοκρασία του αέρα θ,m 315.5 Κ 17.3 10-6 m /s, 7.4 10-3 W/(mK) Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. εισ. αέρα: θ,1 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C Αριθμοί Pr στις θερμοκρασίες θ,m 315.5 K και θ s 373 Κ Pr 0.705, Pr s 0.695 Re D.3 10 4 Από το Πίακα: c0.7, μ0.63 0.5 4 0.63 0.36 0.705 (.13 10 ) ( 0.705) 136 Nu D 0.7 0.695 h NuD 186.3 W /(m K) D Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-8

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Λύση: (α) Ο μέσος συτεεστής συαγωγής h 186.3 W /(m K) (β) Η θερμοκρασία εξόδου του αέρα Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. εισ. αέρα: θ,1 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C Καθώς ο αέρας περάει από τις στήες θερμαίεται σταδιακά και αυξάεται η θερμοκρασία του. Ισοζύγιο εέργειας σε κάθε θέση: dq& mc &, p dθ h(θ Με οοκήρωση: θ,1 θs ha ln θ θ mc & s s s p θ ) da s θ θ,1, dα s : στοιχειώδης επιφάεια εααγής θερμότητας θ s θ s ha exp mc & s p Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-9

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Λύση: (α) Ο μέσος συτεεστής συαγωγής h 186.3 W /(m K) (β) Η θερμοκρασία εξόδου του αέρα Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. εισ. αέρα: θ,1 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C θ θ,1, θ s θ s ha exp mc & s p Η επιφάεια εααγής θερμότητας αά σειρά σωήω, Α st A N πdl 10 π 0.0 1 0.68 m st T Ρυθμός ροής μάζας του αέρα αά σειρά σωήω, m T m& ( ρ u A ) 1.17 10 1 0.0 0.468 kg / s T αερ, Τ θ ha, θs +,1 s mc & p ( θ θ ) exp s o 41.5 C Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-30

Παράδειγμα 3.. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωήω Λύση: m& T 0.468 kg /s θ, 41.5 o C Μεταφερόμεη θερμότητα αά σειρά σωήω: Αριθμός σειρώ: Ν Τ 0 Αριθμός στηώ: N L 10 Διάμετρος σωήω: D cm Μήκος σωήω: L 1 m Βήμα: S T S L D Ταχύτητα αέρα: u 10 m/s Θερμ. εισ. αέρα: θ,1 5 o C Θερ. επιφ. σωήω: θ s 100 o C ( θ θ ) 7.776kJ/ s q& m& TCp,, 1 T Η συοικά μεταφερόμεη θερμότητα για τις 0 σειρές: q& q& T 0 155.5 kj/s Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-31

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Κατά τη ροή σε αγωγούς η αάπτυξη του οριακού στρώματος, δ u ή/και δ θ, δε είαι εεύθερη. Σταματάει ότα: δ u, δ θ r s (r s : ακτία του αγωγού) Στα περισσότερα προβήματα το μήκος του αγωγού είαι αρκετά μεγαύτερο από τη περιοχή εισόδου και η επίδραση της είαι αμεητέα Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Χαρακτηριστικά ροής Αριθμός Reynolds: Re D: διάμετρος του αγωγού u m : μέση ταχύτητα umd Re < ~ 3000 : στρωτή ροή Καταομή ταχύτητας (ως προς r) στη αεπτυγμέη περιοχή u r u m 1 r r s Re ~3000 : τυρβώδης ροή f: συτεεστής τριβώ Για το υποογισμό της L u πτώσης πίεσης όγω τριβώ ΔP f ρ χρησιμοποιείται η εξίσωση: D Απαιτούμεη ισχύς άτησης m & V& ΔP V& : W ατ Στρωτή ροή 64 f Re Ογκομετρική παροχή Τυρβώδης ροή Διάγραμμα Moody Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-33

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Σχετική τραχύτητα, ε/d 10 3 Διάγραμμα Moody: Συτεεστής τριβώ f για πήρως αεπτυγμέη ροή σε αγωγούς κυκικής διατομής Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-34

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Θερμικά χαρακτηριστικά Για στρωτή ροή Re<3000 x ε,u σ ε,u x 0.05ReD D για τη ταχύτητα x σ ε,θ D 0.05Re για τη θερμοκρασία D Pr Για τυρβώδη ροή Re 3000 x ε,θ Στη πήρως αεπτυγμέη ροή 10 < x τ ε,u D x τ ε,θ D < 60 Ηταχύτητα,u x, δε μεταβάεται ως προς x Ηθερμοκρασία, θ, μεταβάεται. Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-35

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Ισοζύγιο εέργειας κατά τη μεταφορά θερμότητας σε αγωγό Θερμότητα που μεταφέρεται από το τοίχωμα με συαγωγή στο στοιχειώδη όγκο: dq& q& (πr dx) h(πr dx)(θ s s s S θ Η θερμότητα αυτή έχει σα αποτέεσμα τη αύψωση της θερμοκρασίας κατά dθ m : m ) θ s : θερμοκρασία στα τοιχώματα θ m : μέση θερμοκρασία d q& mc & p dθ m dθ dx m πr mc & s p q& s πrs h (θ mc & p S θ m ) Δύο περιπτώσεις: (α) Σταθερό q & s (β) Σταθερή θερμοκρασία, θ s Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-36

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Σταθερός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας Σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος hf(x) hσταθερό q& mc & (πrs L)h m & Cp Δθ1 ln Δθ p ( θ θ ) m, m,1 ( Δθ1 Δθ) dθm πrs q& s σταθερό dx mc & p πrs θm(x) θm,1 + q& s x mc & p dθ dx m πrs h (θ mc & p S θ ( θs θm,x ) ( ) πr sh exp x θ θ s m,1 mc & p m ) q & h Δθ lm ( πrs L) Δθlm Δθ1 Δθ ln(δθ / Δθ 1 ) Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-37

Παράδειγμα 3.3. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας D5 cm, L3m θ s 10 o C, θ m,1 0 o C h500 W/(m K) Δεδομέα: Ατμός πίεσης bar συμπυκώεται στη εξωτερική επιφάεια μεταικού αγωγού διαμέτρου 5cm και μήκους 3m, διατηρώτας τη θερμοκρασία του αγωγού σταθερή στους 10 o C. Νερό εισέρχεται στο αγωγό με ρυθμό 0.05 kg/s και θερμοκρασία 0 o C. Θεωρούμε μέσο συτεεστή συαγωγής h500 W/(m K). Ζητείται: Η θερμοκρασία εξόδου του ερού Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-38

Παράδειγμα 3.3. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας Λύση: D5 cm, L3m θ s 10 o C, θ m,1 0 o C h500 W/(m K) Σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος. Χρησιμοποιούμε τη εξίσωση που περιγράφει τη μεταβοή της θερμοκρασίας του ρευστού συαρτήσει του μήκους του αγωγού. ( θs θm,x ) ( ) πr sh exp x θ θ s m,1 mc & p θ m, ( ) πdh θ s θs θm,1 exp L mc & p C p 4.18 kj/(kgk) π 0.05 500 θ 10 m, 3 0.05 4.18 10 o ( 10 0) exp 3 87.6 C Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-39

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Συτεεστής συαγωγής σε στρωτή ροή Περιοχή αεπτυγμέης ροής Περιοχή εισόδου Σ ταθερή q& s Nu D 4.36 Σταθερή θ s Nu D 3.66 Αεπτυγμέα υδραυικά χαρακτηριστικά Παράηη αάπτυξη οριακώ στρωμάτω hd Nu D ud Re D μc Pr α p x / D Gz RePr 1 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-40

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Συτεεστής συαγωγής Στρωτή ροή Re<3000 L >> D L x >> D x D σ ε,u D σ ε,θ 0.05 Re 0.05 Re D D Pr σ ε,u L x < 0.05 Re D D D σ L x ε,θ < 0.05 Re D Pr D D Nu D Re D Pr Gz x L >> D σ L x < D D ε,θ α hd ud μc Αρ. Graetz σ ε,u D RePr L / D 0.05 Re 0.05 Re D D p Pr Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-41

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Αγωγοί μη κυκικής διατομής: Αριθμός Nu και συτεεστής τριβώ f σε πήρως αεπτυγμέη - στρωτή ροή Re<3000 L D L D σ ε,u x >> D σ x >> D ε,θ 0.05 Re D 0.05 Re D Pr Χαρακτηριστική διάμετρος: D h 4A P Α: διατομή P: περίμετρος Nu D hd ud Re D ΔP f m L u ρ D Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-4

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Αγωγοί μη κυκικής διατομής: Αριθμός Nu και συτεεστής τριβώ f σε πήρως αεπτυγμέη - στρωτή ροή Re<3000 L D L D σ ε,u x >> D σ x >> D ε,θ 0.05 Re D 0.05 Re D Pr Χαρακτηριστική διάμετρος: D h 4A P Α: διατομή P: περίμετρος Nu D hd ud Re D ΔP f m L u ρ D Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-43

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Συτεεστής συαγωγής -Τυρβώδης ροή Για αγωγούς κυκικής και μη κυκικής διατομής n0 ότα q s σταθερό n0.11 ότα θ s σταθερή και θ s > θ m n0.5 ότα θ s σταθερή και θ s < θ m Nu D Re D Pr α hd ud μc Αρ. Graetz Gz RePr L / D p Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-44

3.. Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) Συτεεστής συαγωγής -Τυρβώδης ροή Υγρά μέταα Nu D hd ud Re D Pr Gz α Αρ. Graetz μc RePr L / D Αρ. Peclet p Pe RePr umd α Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-45

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C Δεδομέα: Πετρέαιο ρέει σε αγωγό διαμέτρου 30cm με μέση ταχύτητα m/s. Τμήμα του αγωγού μήκους 00m διαπερά τα παγωμέα ερά μιας ίμης με θερμοκρασία 0 o C. Η ροή είαι υδραυικά αεπτυγμέη ότα ο αγωγός φθάει στη ίμη Η θερμοκρασία του πετρεαίου ότα εισέρχεται στο τμήμα του αγωγού που βρίσκεται στη ίμη είαι 0 o C Ζητούται: (α) Η θερμοκρασία του πετρεαίου ότα ο σωήας βγαίει από τη ίμη (β) Ο ρυθμός απώειας της θερμότητας από το πετρέαιο (γ) Η απαιτούμεη ισχύς άτησης για α ατισταθμιστού οι απώειες πίεσης Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-46

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C Γεική Μεθοδοογία 1. Ααγώριση του προβήματος (εσωτερική ροή, σταθερή q s ήθ s, κπ.). Επιογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτω: ρ, μ,, Cp,, α, Pr 3. Προσδιορισμός ιδιοτήτω από το κατάηο Πίακα 4. Υποογισμός Re καθορισμός είδους ροής, στρωτή ή τυρβώδης 5. Υποογισμός μήκους υδραυικής και θερμικής εισόδου. Έεγχος για το α έχουμε υδραυικά ή/καιθερμικάααπτυγμέηροήήεά υπάρχει επίδραση της εισόδου 6. Επιογή της κατάηης εξίσωσης για το υποογισμό του αρ. Nu υποογισμός συτεεστή συαγωγής h 7. Υποογισμός θερμοκρασίας εξόδου θ m,. Έεγχος της καταηότητας της τιμής θερμοκρασίας που χρησιμοποιήθηκε στο βήμα. 8. Υποογισμός τω άω παραμέτρω, π.χ. ροή θερμότητας, q s, απώειες τριβώ, κ.ο.κ., αάογα με το πρόβημα. Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-47

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής Λύση: 1. Ααγώριση του προβήματος: εσωτερική ροή, σταθερή θ s. Επιογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτω: ρ, μ,, Cp,, α, Pr Έστω θ17 ο C ή 90 Κ 3. Προσδιορισμός ιδιοτήτω από το κατάηο Πίακα * D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C Nu D Pr α hd μc p ud Re D RePr Gz L / D ρ 890 kg/m 3, C p 1868 J/ (kgk), μ 99.9 10 - kg/(ms) 110 10-6 m /s, 145 10-3 W/(mK), α 0.87 10-6 m /s Pr 1900 4. Υποογισμός Re καθορισμός είδους ροής, στρωτή ή τυρβώδης ud 0.3 Re 6 110 10 D 536 Στρωτή ροή * Πίακας Π.4.5 στα Παραρτήματα του βιβίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά Θερμότητας», 1991 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-48

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C 145 10-3 W/(mK) Pr 1900 Re D 536 Nu D Pr α hd μc p ud Re D RePr Gz L / D Λύση: 5. Υποογισμός μήκους υδραυικής και θερμικής εισόδου. Έεγχος για το α έχουμε υδραυικά ή/καιθερμικάααπτυγμέηροήήεά υπάρχει επίδραση της εισόδου Η ροή είαι υδραυικά ααπτυγμέη ότα ο αγωγός φθάει στη ίμη Μήκος θερμικής εισόδου x ε 0.05 Re D Pr D 0.05 536 1900 0.3 103516 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-49 σ,θ ηροήθερμικάβρίσκεται σε συθήκες εισόδου 6. Επιογή της κατάηης εξίσωσης για το υποογισμό του αρ. Nu υποογισμός συτεεστή συαγωγής h 0.0668 Gz Nu 3.66 + / 1 + 0.04Gz Re Pr 1900 536 Gz 1037 Nu 34. 6 L / D 00 / 0.3 h Nu D 34.6 145 10 0.3 3 3 16.7 W /(m m K)

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής Λύση: h 16.7 W /(m K) D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C ρ 890 kg/m 3 Nu D Pr α hd μc p C p 1868 J/ (kgk) Pr 1900 Re D 536 ud Re D RePr Gz L / D 7. Υποογισμόςθερμοκρασίαςεξόδουθ m,. Έεγχος της καταηότητας της τιμής θερμοκρασίας που χρησιμοποιήθηκε στο βήμα. πdh θ θ L m, s m& ρu ( θ ) s θm,1 exp mc & p m πd ( 4 ) 4 16.7 θm, 0 890 0.3 1868 o ( 0 0) exp 00 19.73 C Οι ιδιότητες προσδιορίστηκα σε θερμοκρασία 17 ο C οι υποογισμοί μπορού α θεωρηθού ικαοποιητικής ακρίβειας Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-50

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής Λύση: h 16.7 W /(m K) θ m, 19.73 o C 8. Υποογισμός τω άω παραμέτρω, π.χ. ροή θερμότητας, q s, απώειες τριβώ, κ.ο.κ, αάογα με το πρόβημα. D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C 145 10-3 W/(mK) C p 1868 J/ (kgk) Pr 1900 Re D 536 (β) Ορυθμόςαπώειαςτηςθερμότηταςαπότοτμήματου αγωγού μέσα στη ίμη q & h( πdl) Δθlm Δθ Δθ1 Δθ ln(δθ / Δθ 0 19.73 ) ln(0/19.73) lm 1 19.86 o C Nu D Pr α hd μc p ud Re D RePr Gz L / D ( πdl) Δθ 16.7 (π 0.3 00) 19.86 6606 W q& h lm Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-51

Παράδειγμα 3.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάειας. Υποογισμός συτεεστή συαγωγής Λύση: h 16.7 W /(m K) θ m, 19.73 o C q & 6606W D0.3 m, L00m θ s 0 o C, θ m,1 0 o C ρ 890 kg/m 3, Nu D Pr α hd μc p C p 1868 J/ (kgk) Pr 1900 Re D 536 ud Re D RePr Gz L / D 8. Υποογισμός τω άω παραμέτρω, π.χ. ροή θερμότητας, q s, απώειες τριβώ, κ.ο.κ, αάογα με το πρόβημα. (γ) Η απαιτούμεη ισχύς άτησης για α ατισταθμιστού οι απώειες πίεσης Έχουμε ροή στρωτή και υδραυικά ααπτυγμέη (σε. 5.33) Στρωτή ροή 64 f Re ΔP f m L u ρ D & W ατ V& ΔP 64 00 f 0.119 ΔP 0.119 890 14169 (N / m ) Re 0.3 D W& ατ V& ( ΔP) (π )um( ΔP) 0031 W 4 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-5

3.3 Συαγωγή με φυσική κυκοφορία Φυσική κυκοφορία: Η κίηση του ρευστού οφείεται στις δυάμεις άωσης, όγω της μεταβοής της πυκότητας με τη θερμοκρασία Συτεεστής διαστοής του όγκου, β: 1 ρ β ρ θ P β 1 Δρ ρ Δθ 1 ρ ρ θ ρ θ Ιδαικά αέρια (PρRT) : β 1 T Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-53

Σε κατακόρυφη πάκα Ra < 10 9 : στρωτή ροή Ra 10 9 : τυρβώδης ροή 3. Συαγωγή 3.3 Συαγωγή με φυσική κυκοφορία Αριθμός Grashof, Gr: παριστάει το όγο τω δυάμεω άωσης προς τις δυάμεις τριβής: Gr Δυάμεις άωσης Δυάμεις ιξώδους g : επιτάχυση της βαρύτητας, m/s gβ(θ β : συτεεστής διαστοής όγκου, Κ -1 θ s : θερμοκρασία της επιφάειας, ο C s θ θ : θερμοκρασία του ρευστού μακριά από τη επιφάεια, ο C L : χαρακτηριστικό μήκος του γεωμετρικού σχήματος, m : κιηματικό ιξώδες, m /s Στηφυσικήσυαγωγήτοείδοςροής, στρωτή ή τυρβώδης, καθορίζεται από το αριθμό Rayleigh, Ra : π.χ. Ra 3 gβ(θs θ )δ Gr Pr α )δ 3 gβδθδ α 3 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-54

3.3 Συαγωγή με φυσική κυκοφορία Σχέσεις φυσικής συαγωγής Μοοότι ποά προβήματα φυσικής συαγωγής έχου ατιμετωπισθεί ααυτικά, στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιούται εμπειρικές σχέσεις της μορφής: m Nu cra c και m: εμπειρικές σταθερές που εξαρτώται (α) από τη γεωμετρία, (β) απότοείδοςροής(στρωτή ή τυρβώδης) Οι διάφορες ιδιότητες υποογίζοται στη μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού: θ f (θ s + θ ) / Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-55

m Nu cra Χαρακτηριστικό μέγεθος L: το ύψος της επιφάειας hl Nu L Ra L 3 gβδθ L α Χαρακτηριστικό μέγεθος L: εμβαδό/περίμετρος Ιδ. αέρια β 1/ T (K 1 ) Οι διάφορες ιδιότητες υποογίζοται στη μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού: θ f (θ s + θ ) / Χαρακτηριστικό μέγεθος L: εμβαδό/περίμετρος Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-56

m Nu cra c0.5, m1/4 c0.1, m1/3 hl Nu L Ra L 3 gβδθ L α Ιδ. αέρια β 1/ T (K 1 ) Οι διάφορες ιδιότητες υποογίζοται στη μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού: θ f (θ s + θ ) / Nu 0.56(Ra 1 4 L cosφ) Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-57

m Nu cra Ra< 10 9 c0.5, m1/4 Ra< 10 9 c0.1, m1/3 Χαρακτηριστικό μέγεθος δ: το ύψος L του κυίδρου hδ Nu δ gβδθδ Raδ α gβδθδ Gr δ Ιδ. αέρια β 1/ T (K 3 3 1 ) Χαρακτηριστικό μέγεθος δ: ηδιάμετροςd του κυίδρου Χαρακτηριστικό μέγεθος δ: ηδιάμετροςd της σφαίρας L Gr ξ 4 D 4 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-58 1/4

m Nu cra Nu δ Ra δ Ιδ. αέρια hδ gβδθδ α 3 β 1/ T (K 1 ) Pr α Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-59

Nu δ Ra δ Ιδ. αέρια β 1/ T Pr α hδ gβδθδ α (K 1 3 ) q& π L ln f Κυιδρικός χώρος eff ( Pr) eff ( ) ( θ ) 1 θ D D1 0.386 f ( Pr) f Pr 0.861+ Pr 1/4 cyl f (D) Ra cyl ( ) 5/ 4 1/4 δ (D) δ 3/4 ln(d D 3/5 / D ) + D 1 3/5 1 Σφαιρικός χώρος q& f eff ( Pr) eff πd1d δ 0.740 f ( θ θ ) 1 ( Pr) Pr 0.861+ Pr f 1/4 f sph sph (D) Ra 1/4 δ (D) (D D 1 ) δ 1/4 7/5 7/5 ( D + D ) 5/ 4 1 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-60

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Δεδομέα: Λεπτή τετράγωη πάκα διαστάσεω 0.6m x 0.6m βρίσκεται σε δωμάτιο με θερμοκρασία 30 ο C. Η μία πευρά της πάκας είαι μοωμέη και η άη διατηρείται σε θερμοκρασία 74 o C. Ζητούται: 1. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με φυσική συαγωγή ότα η πάκα: (α) είαι κατακόρυφη (β) έχει τη θερμή επιφάεια προς τα πάω (γ) έχει τη θερμή επιφάεια προς τα κάτω. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με ακτιοβοία 3. O ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με εξααγκασμέη συαγωγή στη περίπτωση (β) (θερμή επιφάεια προς τα πάω) εά διοχετεύεται αέρας θερμοκρασίας 30 ο C, με ταχύτητα u m/s (P1atm) Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-61

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Γεική Μεθοδοογία 1. Ααγώριση του προβήματος (γεωμετρία του συστήματος, σταθερή θ s ή q s, κπ.). Επιογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτω: ρ, μ,, Cp,, α, Pr 3. Προσδιορισμός ιδιοτήτω από το κατάηο Πίακα 4. Καθορισμός χαρακτηριστικού μεγέθους L(ήδ), αάογα με τη γεωμετρία 5. Υποογισμός Ra L καθορισμός είδους ροής, στρωτή ή τυρβώδης 6. Επιογή της κατάηης εξίσωσης για το υποογισμό του αρ. Nu υποογισμός συτεεστή συαγωγής h 7. Υποογισμός τω ζητούμεω μεγεθώ π.χ. ροή θερμότητας, q s 8. Έεγχος της καταηότητας της τιμής θερμοκρασίας που χρησιμοποιήθηκε στο βήμα (αάογα με το πρόβημα, π.χ. ότα στα ζητούμεα μεγέθη είαι η θερμοκρασία του τοιχώματος). Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-6

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Λύση: 1. Ααγώριση του προβήματος: Επίπεδη πάκα, σταθερή θ s. Επιογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτω: ρ, μ,, Cp,, α, Pr Μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού: θ f (θ s +θ )/5 ο C ή 35 Κ 3. Προσδιορισμός ιδιοτήτω από το κατάηο Πίακα * ρ 1.078 kg/m 3, C p 1.008 kj/ (kgk), μ 196.4 10-7 kg/(ms) 18.41 10-6 m /s, 8.15 10-3 W/(mK), α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 hl Nu L Nu cra Ιδ. αέρια Ra L β 1/ T m 3 gβδθl α (K 1 ) 4. Καθορισμός χαρακτηριστικού μεγέθους L(ήδ), αάογα με τη γεωμετρία (α) Κατακόρυφη επιφάεια: L: το ύψος της επιφάειας (β) και (γ) Οριζότια επιφάεια: L: εμβαδό/περίμετρος L 0.6 m L A / p (0.6 0.6) /(4 0.6) 0.15m * Πίακας Π.4.4 στα Παραρτήματα του βιβίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά Θερμότητας», 1991 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-63

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Λύση: 1.(α) Φυσική συαγωγή Κατακόρυφη επιφάεια 5. Υποογισμός Ra L καθορισμός είδους ροής, στρωτή ή τυρβώδης hl Nu L Ιδ. αέρια Ra L β 1/ T 3 gβδθl α (K 1 ) β 1/ T 1/ 35 0.00308(K 1 ) 3 gβδθ L 9.81 0.00308 (74 30) 3 9 3 L 0.6.554 10 0. 6 6 6 Ra α 18.41 10 6. 10 Ra L 5.949 10 8 18.41 10-6 m /s 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 6. Επιογή της κατάηης εξίσωσης για το υποογισμό του αρ. Nu υποογισμός συτεεστή συαγωγής h Nu Nu 0.5 (5.949 10 ) 78. 09 0.5 L 0.5Ra L 8 0.5 L Nu 78.09 6.15 10 L 0.6 3.66W /(m Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-64 h 3 L o C)

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Λύση: 1.(α) Φυσική συαγωγή. Κατακόρυφη επιφάεια 7. Υποογισμός τω ζητούμεω μεγεθώ π.χ. ροή θερμότητας, q s q& ha(θs θ ) 3.66 (0.6 0.6) (74 30) 58.03W 1.(α) Φυσική συαγωγή. Κατακόρυφη επιφάεια hl Nu L Ιδ. αέρια Ra L β 1/ T 3 gβδθl α (K 1 ) L 0.6m Ra L 5.949 10 8 0.5 Nu L 0.5Ra L 18.41 10-6 m /s 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 h 3.66W /(m o C) q & 58.03W Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-65

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Λύση: 1.(β) Φυσική συαγωγή. Θερμή οριζότια επιφάεια προς τα πάω L 0.15m Ra L 9.96 10 6 0.5 Nu L 0.54Ra L h 5.60W /(m o C) hl Nu L Ιδ. αέρια Ra L β 1/ T 3 gβδθl α (K 1 ) q & 88.63W 18.41 10-6 m /s 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-66

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Λύση: 1.(γ) Φυσική συαγωγή. Θερμή οριζότια επιφάεια προς τα κάτω L 0.15m Ra L 9.96 10 6 0.5 Nu L 0.7Ra L h.80w /(m o C) hl Nu L Ιδ. αέρια Ra L β 1/ T 3 gβδθl α (K 1 ) q & 44.3W 18.41 10-6 m /s 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-67

Παράδειγμα 3.5. Ψύξη πάκας με διαφορετικό προσαατοισμό Λύση: 1. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με φυσική συαγωγή ( α) q& συ 58.03W ( β) q& συ 88.6W ( γ) q& συ 44.3W. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με ακτιοβοία q& ακτ Αεσ(T 4 s T 4 ) Σταθερά Boltzman: σ 5.67 10-8 W/(m K 4) Έστω: ε 1 4 4 [(74 + 73) (30 73 ] 4 4 8 ακτ Αεσ(T T ) 0.36 1 5.67 10 ) s q & + q& ακτ 13.9W Η μεταφορά θερμότητας με ακτιοβοία πρέπει α αμβάεται υπόψη σε επιφάειες που ψύχοται με φυσική συαγωγή διότι οι δύο ρυθμοί μεταφοράς θερμότητας είαι της ίδιας τάξης μεγέθους Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-68

3.4 Συδυασμέη φυσική και εξααγκασμέη κυκοφορία Ότα υπάρχει ροή ρευστού σε επαφή με επιφάεια διαφορετικής θερμοκρασίας συυπάρχου η εξααγκασμέη και η φυσική κυκοφορία. Το ποιος από τους δύο μηχαισμούς επικρατεί εξαρτάται από το όγο, Gr/Re : Gr 1 Re << Μόο εξααγκασμέη κυκοφορία Gr 1 Re >> Μόο φυσική κυκοφορία u Gr 1 Re Συδυασμός τω δύο μηχαισμώ Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-69

3.4 Συδυασμέη φυσική και εξααγκασμέη κυκοφορία Gr 1 Re Συδυασμός φυσικής και εξααγκασμέης κυκοφορίας Εξωτερική ροή 3 3 [ Nu ] 1/ 3 εξα Nu Nu ± + ότα η ροή του ρευστού έχει τη ίδια ή εγκάρσια κατεύθυση με τη φυσική κυκοφορία φυσική ότα η ροή έχει ατίθετη κατεύθυση προς τη φυσική κυκοφορία u Ra (D/ L) < 10 Εσωτερική ροή (σε αγωγούς) 4 Ra (D/ L) > 10 Re < 000 Re < 800 Re > 000 Re > 800 Στρωτή ροή Τυρβώδης ροή 1/3 4/3 [ Gz 0.1(GzGr ] 1/ 3 0.14 D 1.75(μ /μs) D ) Nu + 4 Gz Re D Pr(D / L) u 0.7 0.1 0.07 0.36 D Pr GrD (D / L) Nu 4.69Re Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-70

Παράδειγμα 3.6. Ψύξη πάκας με συδυασμό εξααγκασμέης και φυσικής κυκοφορίας u 1 m/s Δεδομέα: Τα δεδομέα του παραδείγματος για τη περίπτωση (a), δη.: Λεπτή τετράγωη πάκα διαστάσεω 0.6m x 0.6m βρίσκεται σε δωμάτιο με θερμοκρασία 30 ο C. Η μία πευρά της πάκας είαι μοωμέη και η άη διατηρείται σε θερμοκρασία 74 o C Η πάκα έχει κατακόρυφη τη θερμή επιφάεια Διοχετεύεται αέρας θερμοκρασίας 30 ο C, με ταχύτητα u m/s (P1atm) και κατεύθυση ροής από κάτω προς τα πάω Ζητούται: Να υποογισθεί ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με εξααγκασμέη ή/και φυσική συαγωγή: Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-71

Παράδειγμα 3.6. Ψύξη πάκας με συδυασμό εξααγκασμέης και φυσικής κυκοφορίας ux Re x hx Nu x 18.41 10-6 m /s u 1 m/s hl NuL 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 Ra L 5.949 10 8 Λύση: 1. Ααγώριση του προβήματος: εξωτερική ροή, επίπεδη επιφάεια, σταθερή θ s. Επιογή θερμοκρασίας προσδιορισμός ιδιοτήτω από το κατάηο Πίακα. (όπως στο παράδειγμα 3.5) 3. Υποογισμός Re L και Gr έεγχος κυρίαρχου μηχαισμού L0.6m u L Re L 3.6 10 Gr Ra Pr 5.949 10 0.7035 8.457 10 4. Αριθμός Nu φυσ φυσικής συαγωγής από παράδειγμα 3.5 8 8 4 Gr 8.457 10 Συδυασμός τω δύο 0.796 1 4 Re (3.6 10 ) μηχαισμώ Nu φυσ 78.09 8 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-7

Παράδειγμα 3.6. Ψύξη πάκας με συδυασμό εξααγκασμέης και φυσικής κυκοφορίας Λύση: 5. Υποογισμός αριθμού Nu εξα εξααγκασμέης ροής 5.1 Από το Re L καθορισμός είδους ροής, στρωτή ή τυρβώδης ux Re x hx Nu x u 1 m/s hl NuL u L 4 Re L 3.6 10 < Re κρ ίσιμο Rec 5 10 5.. Επιογή τω κατάηω εξισώσεω- Υποογισμός μέσου Nu L 5 c Στρωτή ροή 18.41 10-6 m /s 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-73

Παράδειγμα 3.6. Ψύξη πάκας με συδυασμό εξααγκασμέης και φυσικής κυκοφορίας Λύση: 5.3. Υποογισμός Nu L εξααγκασμέης κυκοφορίας Nu 0.664Re εξα 0.5 Pr 1/3 u 1 m/s Nuεξα 0.664 (3.6 10 ) 0.7035 106.6 4 0.5 1/3 ux Re x hx Nu x 18.41 10-6 m /s hl NuL 8.15 10-3 W/(mK) α 6. 10-6 m /s Pr 0.7035 Re L 3.6 10 4 Nu φυσ 78.09 h φυσ 5.3. Υποογισμός του Nu του συδυασμού εξααγκασμέης και φυσικής κυκοφορίας 3 3 [ Nu ] 1/ 3 εξα Nu Nu ± Nu 3.66 W /(m φυσική 3 3 1/3 [ 106.6 + 78.09 ] 119. 1 o C) q& φυσ 58.03W h 5.59W /(m o C) q & 88.49W Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-74

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Δεδομέα (παρόμοια με παράδειγμα.6) : Παράθυρο ύψους 0.8m και πάτους 1.5m, με διπό τζάμι, το οποίο αποτεείται από δύο στρώματα γυαιού πάχους 4mm και έα στρώμα αέρα πάχους 0mm. Θερμική αγωγιμότητα γυαιού, 0.78 W/(m o C) Συτεεστής μεταφοράς θερμότητας στη εσωτερική και εξωτερική επιφάεια του παραθύρου, h 1 10 W/(m o C) και h 40 W/(m o C) Η θερμοκρασία στο δωμάτιο είαι θ 1 0 ο C και η εξωτερική θερμοκρασία είαι θ -10 ο C Ζητούται: Οι συτεεστές συαγωγής στη εσωτερική και εξωτερική επιφάεια καθώς και στο στρώμα αέρα μέσα στο κειστό περίβημα του διπού τζαμιού. Η απώεια θερμότητας Οι θερμοκρασίες θ 1, θ, θ 3, θ 4 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-75

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Λύση: 1. Ααγώριση του προβήματος: Συαγωγή με φυσική κυκοφορία, (α) σε κατακόρυφη επιφάεια, β) σε κειστό περίβημα. Επιογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτω του αέρα,, α, Pr.1 στο εσωτερικό του δωματίου: ~17 ο C ή 90 Κ. μέσα στο περίβημα: ~θ μεση (θ 1 +θ )/5 ο C ή 78 Κ.3 στο εξωτερικό χώρο ~ -3 o C ή 70 3. Προσδιορισμός ιδιοτήτω από το κατάηο Πίακα T90 T78 T70 15.00 10-6 m /s 13.93 10-6 m /s 13. 10-6 m /s 5.5 10-3 W/(mK) 4.5 10-3 W/(mK) 3.9 10-3 W/(mK) hδ Nu δ Ιδ. αέρια Ra δ β 1/ T gβδθδ α (K 1 ) 3 α 1.18 10-6 m /s Pr 0.7096 α 19.60 10-6 m /s Pr 0.717 α 18.50 10-6 m /s Pr 0.7148 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-76

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Λύση: T90 15.00 10-6 m /s 5.5 10-3 W/(mK) α 1.18 10-6 m /s Pr 0.7096 T78 13.93 10-6 m /s 4.5 10-3 W/(mK) α 19.60 10-6 m /s Pr 0.717 T70 13. 10-6 m /s 3.9 10-3 W/(mK) α 18.50 10-6 m /s Pr 0.7148 4. Καθορισμός χαρακτηριστικού μεγέθους L(ήδ), αάογα με τη γεωμετρία. Αρχική υπόθεση για τις τιμές της θερμοκρασίας στα διαδοχικά στρώματα. ΥποογισμόςαριθμούRa. hδ Nu δ Ιδ. αέρια Ra δ β 1/ T gβδθδ α (K 1 ) 3 Εσωτερική πευρά: L0.8 m Δθ i ~5 ο C Μέσα στο περίβημα: δ0.0 m Δθ -3 ~0 ο C Εξωτερική πευρά: L0.8 m Δθ o ~5 o C Ra L.76 10 Ra δ.064 10 Ra L 3.795 10 8 4 8 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-77

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Λύση: T90 15.00 10-6 m /s 5.5 10-3 W/(mK) α 1.18 10-6 m /s Pr 0.7096 T78 13.93 10-6 m /s 4.5 10-3 W/(mK) α 19.60 10-6 m /s Pr 0.717 T70 13. 10-6 m /s 3.9 10-3 W/(mK) α 18.50 10-6 m /s Pr 0.7148 5. Επιογή εξισώσεω. Υποογισμός Nu l Εσωτερική πευρά Εξωτερική πευρά Ra L.76 10 8 Ra L 3.795 10 8 hδ Nu δ Ιδ. αέρια Ra δ β 1/ T gβδθδ α (K 1 ) 3 Nu L, i 64.5 Nu L, o 69.79 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-78

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Λύση: 5. Επιογή τω κατάηω εξισώσεω- Υποογισμός Nu δ Περίβημα 4 Ra δ.064 10 Pr 0.717 H δ 40 6. Υποογισμός συτεεστώ συαγωγής, h, και ατιστάσεω, R hδ Nu δ Ιδ. αέρια R i 1 h A i Ra δ β 1/ T R gβδθδ α (K 1 ) x A 3 Εσωτερική πευρά Nu L, i 64.5 5.5 10-3 W/(mK) h i.05w / K K A 0.8 1.5 1.m R i 0.407 W Περίβημα Nu δ 1.659 4.5 10-3 W/(mK) h.03w / K K R 0.411 W Εξωτερική πευρά Nu L, o 69.79 3.9 10-3 W/(mK) h o.08w / K K R o 0.401 W Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-79

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Λύση: R i C 0.407 W o R 1 R 3 R C 0.411 W R Ri + R1 + R + R3 + Ro 1.8 o 4.74 10 3 o C W o R C/ W o o C 0.401 W θ q& o 1 θ R [0 ( 10)] C o 1.8 C/ W 4.43W hδ Nu δ R Ιδ. αέρια x A Ra δ β 1/ T gβδθδ α (K 1 γυα 0.78 W/(m o C) ) 3 θ1 θ 1 qr & i 10.06 θ θ1 qr & 1 9.95 o C θ3 θ qr & 0.09 θ4 θ3 qr & 3 0.19 o o o C C C Δθ Δθ Δθ 1 i 3 1 o 9.94 o C 10.04 9.81 o C o C Δθ Δθ Δθ 0 i 5 o 0 3 0 o 5 C 0 o C o C Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-80

Παράδειγμα 3.7. Απώεια θερμότητας από παράθυρο με διπό τζάμι Λύση: Αρχικές τιμές 1 επαάηψη επαάηψη θ 1 0 0 0 3 επαάηψη 4 επαάηψη 0 0 θ 1 10.03 11.6 10.94 11.0 11.00 θ 9.93 11.15 10.84 10.91 10.89 θ 3-0.10-1.7-0.97-1.04-1.0 θ 4-0.1-1.38-1.08-1.15-1.13 θ -10-10 -10-10 -10 h i.05.43.35.38.37 h.04 1.71 1.81 1,78 1.79 h o.05.47.39.41.40 q 4.50 5.5 5.59 5.59 5.59 Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-81