.Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB cateta opusa AC Masurarea unghiurilor Unitatile de masura pentru unghi sunt diviziuni ale cercului. Gradul sexagesimal (1 0 )=a 360-a parte din masura unui cerc; Minutul sexagesimal (1 )= 1/60*1 0 1 0 =60 ; Secunda sexagesimala (1 )=1/60*1 =1/3600*1 0. Gradul centesimal (1 g ) este a 400-a parte din masura unui cerc. adianul=masura unui arc de cerc de raza a carui lungime este egala cu. L cerc =π (>0,raza) 1 rad=masura unui unghi la centru notat ABC care subintinde un cerc AB de lungime. Functia de masurare in radiani a unghiurilor si respective a arcurilor de cerc se noteaza cu µ (miu) Masura in radiani a unui cerc este: π rad π=3,141596535 elatia de transformare a gradelor sexagesimale in radiani: (1) α=π/180 0 n 0 (1 ) n 0 =180 0 /πα () 1 rad=57 0 17 44
Valorile funcţiilor trigonometrice ale unor unghiuri uzuale 0 o (0 rad.) sin 0 1 cos 1 3 tg 0 3 30 o o o o 45 60 90 180 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 3 3 1 1 3 Nu există 3 ctg Nu există 3 1 3 3 1 0 0-1 0 0 Nu există o Cercul trigonometric Se numeste cercul unitate notat C(0,1) cu central in originea reperului si de raza 1.
Pe cercul unitate se definesc doua sensuri de parcurgere: 1.Sensul pozitiv sau sensul trigonometric direct : A-B-A -B -A.Sensul negativ sau sensul invers trigonometric :A-B -A -B-A A(1,0)-punct initial(punct origine) Se numeste cercul trigonometric cercul unitate C(0,1) impreuna cu reperul ortogonal {O,i,j} si cu cele doua sensuri de parcurs. Lungimea cercului trigonometric ca si a cercului unitate este π rad.astfel arcele si unghiurile la centru masurate pe cercul trigonometric devin arce si respective unghiuri orientate.
Sinusul lui t notat sin t este ordonata punctului M. Cosinusul lui t notat cost este abscisa punctului M.
Periodicitatea sin(x+kπ)=sin x, x cos(x+kπ)=cos x, x tg(x+kπ)=tg x, x - ( k 1) ctg(x+kπ)=ctg x, x -k Perioada principală pentru funcţiile sin şi cos este şi pentru tg şi ctg este. Paritatea sin(-x)=-sin x, x cos(-x)=cosx, x tg(-x)=-tgx, x - ( k 1) ctg(-x)=-ctgx, x -k Semnul în funcţie de cadran I II III IV sin + + - - cos + - - + tg + - + - ctg + - + -
educerea la primul cadran Formula trigonometrică fundamentală Formule pentru sin, cos, tg şi cg ale sumei şi diferenţei de arce Formule pentru sin, cos, tg ale unor arce în funcţie de jumătatea arcului sin( -x)=cosx, x cos( -x)=sinx, x tg( -x)=ctgx, x - k ctg( -x)=tgx, x - ( k 1 ) sin(π-x)=sinx, x cos(π-x)=-cosx, x tg(π-x)=-tgx, x - ( k 1) ctg(π-x)=-ctgx, x -k sin x+cos x=1, x De aici se vede imediat că sin x=1-cos x şi că cos x=1-sin x Mai putem deduce uşor că sin tg x x=, x - ( k 1) 1 tg x sin(a+b)=sina cosb+cosa sinb, a, b sin(a-b)=sina cosb-cosa sinb, a, b cos(a+b)=cosa cosb-sina sinb, a, b cos(a-b)=cosa cosb+sina sinb, a, b tga tgb tg(a+b)= 1 tga tgb tga tgb tg(a-b)= 1 tga tgb sinx=sinx cosx cosx=cos x-sin x=cos x-1=1-sin x tgx tgx= 1 tg x
Formule pentru sin,cos,tg ale unor arce în funcţie de treimea arcului Substituţia universală ( formule pentru sin, cos şi tg ale unui arc în funcţie de tangenta jumătăţii arcului) Formule pentru sin, cos, tg ale unor arce în funcţie de dublul arcului Transformarea sumelor în produse Transformarea produselor în sume Graficele funcţiilor trigonometrice directe tgx sin x= 1 tg x sin 3x=3sinx-4sin 3 x 1 tg x cos x= 1 tg x cos3x=4cos 3 x-3cosx tgx tg x= 1 tg x 1 cos x 1 cos x sin x sinx= cosx= tgx= 1 cos x a b a b sina+sinb=sin cos a b a b cosa+cosb=cos cos sina cosb= a b a b sina-sinb=sin cos a b a b cosa-cosb=-sin sin sin( a b ) sin( a b cos( a b ) cos( a b ) cosa cosb= cos( a b ) cos( a b ) sina sinb= sin: [-1;1] cos: [-1;1] tg: - ( k 1) ctg: -k
Monotonia functiei sinus Cadranul I II III IV Functia sinus Funcţiile trigonometrice inverse Monotonia functiei cosinus Cadranul I II III IV Functia cosinus arcsin:[-1;1] [-, ] arcsin:[-1;1] [0; ] ) arctg: (-, arcctg: (0; ) arcsin a este arcul din intervalul [-, ] care are sinusul egal cu a. (a[-1; +1] ) Exemple: arcsin0=0 ; arcsin 1 ; arcsin 3 ; arcsin ; arcsin1= 6 4 3 Funcţia arcsinus este impară: arcsin(-a)=-arcsina, a[-1; 1]. arccos a este arcul din intervalul [0; ] care are cosinusul egal cu a. (a[-1; +1] ) 1 3 Exemple: arccos 0= ; arccos ; arccos ; arccos ; arccos 1=0. 3 4 6 arccos(-a)= -arccosa. arctg a este arcul din intervalul (-, ) care are tangenta egală cu a. (a ) Exemple:
3 arctg 0=0 ; arctg ; arctg 1= ; arctg 3. 3 6 4 3 arctg(-a)=-arctga, a Formule uzuale sin(arcsina)=a, a[-1; 1] cos(arccosa)=a, a[-1; 1] sin(arccosa)= 1 a, a[-1; 1] cos(arcsina)= 1 a, a[-1; 1] tg(arctga)=a, a tg(arcctga)= 1 a, a -{0} ctg(arctga)= 1 a, a -{0} arcsinx+arccos x=, x[-1; +1]. Ecuaţii trigonometrice fundamentale Teorema cosinusului Teorema sinusurilor Teorema medianei sin x=a, a[-1;1] x{( 1) k arcsin a k } cos x=a, a[-1;1] x{ arccos a k } tg x=a, a x {arctga k } a =b +c -bc cosa şi analoagele. b c a cos A= bc a b c, unde este raza cercului circumscris triunghiului ABC. sin A sin B sinc m a =(b +c /) a /4
Formule pentru aria triunghiului aza cercului înscris în triunghi baza inaltimea S= S= ab sinc S= p( p a )( p b )( p c ), unde p este semiperimetrul p= S= 4 abc r= S p a b c