Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť na trojuholníky. Pravidelný mnohouholník je jednoznačne daný s počtom strán (vrcholov) a s jedným z troch nasledujúcich údajov: dĺžka strany, polomer vpísanej kružnice a polomer opísanej kružnice. Každý pravidelný n-uholník môžeme rozdeliť na n zhodných rovnoramenných trojuholníkov. Z počtu strán vieme vypočítať ω: uhol ramien (stredový uhol) a pomocou toho α: vnútorný uhol. obvod ω o n.a α.180 Aby sme mohli vypočítať obsah pravidelného n-uholníka, vypočítame obsah jedného rovnoramenného trojuholníka. Klasický vzorec: S. v trojuholníku výška na stranu a je vlastne polomer vpísanej kružnice ρ dosadíme S. ak chceme vzorec obsahujúci iba jeden údaj z tých dvoch, musíme ich spojiť v ďalšom vzťahu využijeme goniometrickú funkciu v pravouhlom trojuholníku VkSSk-1
jedna odvesna je polovica strany, druhá je polomer vpísanej kružnice (ρ) a uhol je polovica stredového uhla pravidelného n-uholníka použijeme funkciu tangens tg z toho vyjadríme raz polomer, dosadíme do klasického vzorca a dostaneme vzorec na výpočet obsahu zo strany tg /.ρ ρ.tg /:tg obsah ρ. S.... a, ak je daná strana a n-uholníka S n.a2. n.a2.cotg ďalšie vzťahy potom vyjadríme stranu, dosadíme a dostaneme vzorec na výpočet obsahu z polomeru vpísanej kružnice tg /.2ρ 2ρ.tg a S... ρ 2.tg b, ak je daný polomer vpísanej kružnice ρ n-uholníka S n.ρ 2.tg ak použijeme vzorec na výpočet obsahu trojuholníka z dvoch strán a nimi zovretého uhla, dostaneme tretí vzťah S.! tie dve strany sú ramená, ktorá má dĺžku polomer opísanej kružnice r a nimi zovretý uhol je stredový uhol n-uholníka ω S ".". ". c, ak je daný polomer opísanej kružnice r n-uholníka S n.r2.sin ω počet uhlopriečok m.() strana a 2%& ( 2r.sin 2ρ.tg ) *.+, - polomer vpísanej kružnice polomer opísanej kružnice najkratšia uhlopriečka ρ.& r.( + - - r.cos ) *. - 0 +, - ) *. e1 2a.cos 4ρ.sin 2r.sin ω príklad: Vypočítajte vnútorný uhol α desaťuholníka, stranu a, obvod o, polomer r a obsah S, ak je daný polomer ρ 20 kružnice vpísanej desaťuholníku.
ω 36 α 2. 1 180 36 144 tg 2 a 2.ρ.tg 2.20.tg 18 13,00 o 10.a 10.13,00 129,97 cos r 3 +, +,1 21,03 S 10. 4. 10.,. 1 299,68 Vypočítajte obvod o a obsah S pravidelného osemuholníka, ak je dané a, r 16; b, ρ 12; c, a 8. ω 1 45 sin 2 a 2.r.sin 3 o 8.a 8.12,25 97,97 S 3.. 7 S 8.S 8.90,51 724,08 2.16.sin 22,5 12,25 90,51 tg 2 a 2.ρ.tg 2.12.tg 22,5 9,94 o 8.a 8.9,94 79,53 S 8. 4. 8.8,8. 477,17 o 8.a 8.8 64 tg 2 ρ 4. S 8. 4. 8.1.8, 309,02 1.,7 9,66 Vypočítajte obvod o a obsah S pravidelného dvanásťuholníka, ak je dĺžka najkratšej uhlopriečky e1 14. ω 30
9* sin ω ) * r ) * 3 3 S 3.. 49 S 12.S 12.49 588 α 2. 1 180 30 150 sin : 9* ) * a ) * 4 4 ; o 12.a 12.7,25 86,96 14 <7 7,25 Vypočítajte vnútorný uhol α osemuholníka, stranu a, obvod o, polomer r a obsah S, ak je daný polomer ρ 15 cm kružnice vpísanej osemuholníku. Vypočítajte obvod o a obsah S pravidelného desaťuholníka, ak je dané a, r 12 cm; b, ρ 18 cm; c, a 6 cm. Vypočítajte dĺžku uhlopriečky e pravidelného päťuholníka a, vpísaného do kružnice s polomerom r 25 cm; b, opísaného kružnici s polomerom ρ 18 cm. Najprv vyjadrite dĺžku uhlopriečky e všeobecne a potom dosaďte. Vypočítajte obvod o a obsah S pravidelného päťuholníka, ak je dĺžka uhlopriečky e 50 cm. Najprv vyjadrite obvod o a obsah S všeobecne a potom dosaďte. Vypočítajte obvod o a obsah S pravidelného sedemuholníka, ak je dĺžka najkratšej uhlopriečky e 24 cm. Pravidelný mnohouholník má 54 uhlopriečok. Vypočítajte obvod o, obsah S, ak je dané: a, a 4 cm; b, r 14 cm; c, ρ 3,6 cm. Obvod kružnice, a obsah kruhu a jeho častí D. Kružnica je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od daného bodu je rovnaká. Ten daný bod je stred kružnice (S) a tá rovnaká vzdialenosť je dĺžka polomeru kružnice. Kruh je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od daného bodu je rovnaká alebo menšia. polomer kružnice (r) spája stred kružnice s ľubovoľným bodom na kružnici priemer kružnice (d) spojnica dvoch bodov na kružnici prechádzajúca stredom kružnice kružnicový oblúk dva rôzne body kružnice (A a B) rozdelia kružnicu na dva kružnicové oblúky D2 priamka prechádzajúca kružnicou [sečnica], rozdelí kružnicu na dva kružnicové oblúky D3 spoločná časť stredového uhla a kružnice tetiva spojnica dvoch bodov na kružnici (spoločná časť sečnice s kruhom) stredový uhol (ω) prislúchajúci k oblúku AB (k tetivy AB) je uhol, ktorý má vrchol v strede kružnice, ramená prechádzajú koncovými bodmi oblúku a oblúk leží vo vnútri uhla obvod o 2πr πd
obsah S πr 2 π > 1. kružnicový oblúk P. Ak zdvojnásobíme stredový uhol, potom aj dĺžka kružnicového oblúka bude dvojnásobná. Takže dĺžka kružnicového oblúka je priamo úmerná s príslušným stredovým uhlom. Preto sa môže počítať tak, že obvod kružnice vydelíme 360 (takto dostaneme dĺžku kružnicového oblúka pripadajúcu na 1-ový stredový uhol) a vynásobíme príslušným stredovým uhlom daným s stupňovej miere. l?".ω 2. kruhový výsek kruhový výsek stredový uhol rozdelí kruh na dva kruhové výseky: spoločná časť stredového uhla a kruhu - Obvod dostaneme ako súčet kružnicového oblúka a dvakrát polomer ako hranice útvaru. P. Ak zdvojnásobíme stredový uhol, potom aj obsah kruhového výseku bude dvojnásobný. Takže obsah kruhového výseku je priamo úmerný s príslušným stredovým uhlom. Preto sa môže počítať tak, že obsah kruhu vydelíme 360 (takto dostaneme obsah kruhového výseku pripadajúci na 1-ový stredový uhol) a vynásobíme príslušným stredovým uhlom daným s stupňovej miere. obvod obsah okv?".ω + 2.r SKV?".ω 3. kruhový odsek kruhový odsek sečnica rozdelí kruh na dva kruhové odseky - Obvod dostaneme ak sčítame dĺžku kružnicového oblúka a dĺžku tetivy ako hranice útvaru. - Obsah kruhového odseku je odvodený z obsahu výseku od obsahu kruhového odseku odčítame obsah rovnoramenného trojuholníka ( ABS)
obvod obsah oko?".ω + 2r.sin SKO?".ω ". 4. medzikružie medzikružie máme dve sústredné kružnice s rôznym polomerom plocha medzi kružnicami - Obvod dostaneme ak sčítame obvody obidvoch kružníc ako hranice útvaru. - Obsah dostaneme ako rozdiel obsahov kružníc obvod obsah príklad: omk 2πr1 2πr2 2π(r1 r2) SMK π& π& π(& & ) Akú dráhu s vykoná za týždeň koniec sekundovej ručičky, ak je 1,5 cm dlhá? najprv vypočítame obvod kružnice za 1 minútu vykoná tú dráhu o 2πr 2π.1,5 9,42 cm vypočítame, koľkokrát obíde ručička celý kruh koľko minút trvá týždeň 1 týždeň 7 dní 7.24 hodín 7.24.60 minút n 7.24.60 10 080 počet vynásobíme s obvodom s n.o 10 080.9,42 95 001,8 cm 950,02 m Určte polomer kruhu v centimetroch, ktorý má rovnaký obsah, ako štvorec so stranou 1,2 m.
najprv vypočítame obsah štvorca S a 2 1,2 2 1,44 m 2 z obsahu kruhu vyjadríme polomer S πr 2 r 2 @ A r. @ A., A 0,677 m 67,70 cm Určte dĺžku l kružnicového oblúka, ak poznáte: r 42 a ω 125. najprv vypočítame obvod kružnice o 2πr 2π.42 263,89,,18 l.ω.125 91,63 Trojuholníku ABC so stranami a 20, b 24, c 30 je opísaná kružnica. Vypočítajte obsahy Sa, Sb, Sc odsekov určených stranami a, b, c. vypočítame obsah trojuholníka s 4BCB+ BB 37 S %s(s a)(s b)(s c) 37.17.13.7 57239 239,25 z toho môžeme určiť polomer opísanej kružnice r P.. 15,05 @.8,7 potrebujeme určiť príslušné stredové uhly BCSo je rovnoramenný trojuholník výška na základňu rozpoľuje základňu aj uhol ramien sin * 0,665 * 4139' ω1 8318'.7,7 už máme všetky údaje pre výpočet obsahu kruhového odseku 2 4 " " Sa A".ω1 ". * podobne postupujeme aj pri ďalších odsekoch sin C " A.7,7.8318' 7,7. 11 164,59 112,44 52,15 0,797 5253' ω2 10547'.7,7 Sb A".ω2 ". A.7,7.10547' 7,7. 7< 209,01 108,94 100,07 ω3 360 (ω1 + ω2) 360 (8318' + 10547') 360 1895' 17055' Sc A".ω3 ". R A.7,7.17055' 7,7. <77 337,71 17,87 319,85 Aké široké je medzikružie, ktorého obsah je 896 a vnútorný priemer je 24,2? najprv vypočítame obsah vnútorného kruhu S2 π& π.24,2 2 1 839,84 obsah medzikružia je rozdiel obsahu kruhov vyjadríme obsah vonkajšieho kruhu S S1 S2 S1 S + S2 896 + 1 839,84 2 735,84 z toho vieme vypočítať polomer väčšieho kruhu
S1 π& & @ * <7,1 870,85 A A r1 29,51 a šírka medzikružia je rozdiel polomerov kruhov h r1 r2 29,51 24,2 5,31 Vypočítajte polomer r kruhovej dráhy, ktorú atlét musí obehnúť trikrát, aby zabehol 5 km. Vypočítajte polomer kružnice, ktorej dĺžka je o 10 cm väčšia ako obvod pravidelného šesťuholníka, ktorý je vpísaný do tejto kružnice. Priemer kruhového záhonu je 3 m. Na záhon sadíme kvety v sústredných kružniciach. Vzdialenosť riadkov je 30 cm a vzdialenosť kvetov v jednom riadku (meraná po oblúku) je 25 cm. Koľko kvetov vysadíme? Akú dráhu s vykoná za 24 hodín koniec sekundovej ručičky, ak je 5 cm dlhá? Určte dĺžku polomeru r, stredový uhol α, dĺžku l kružnicového oblúka (ak nie sú dané): a, r 25 mm, α 5417' b, r 57 mm, α A < c, r 9 cm, l 18,06 cm d, r 23 mm, l 33,5 mm e, α 15749', l 28,4 cm f, α 0,959 93 rad, l 58 cm Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré je ohraničené kružnicami s priemermi 50 mm a 32 mm. Aké široké je medzikružie, ktorého obsah je 6 851 cm 2, a, vnútorný priemer je 31,6 cm; b, vonkajší priemer je 106 cm? Vypočítajte obsah S plochy ohraničenej kružnicou opísanou a vpísanou trojuholníku so stranami a 25 mm, b 29 mm, c 36 mm. Určte obsah So kruhového odseku, ktorého tetivou je strana pravidelného šesťuholníka, ak je polomer r 19 mm. Výška kruhového odseku je 2 cm, stredový uhol α 60. Vypočítajte jeho obsah So a dĺžku oblúka l.