A-PDF Merger DEMO : Purchase from to remove the watermark

A-PDF Merger DEMO : Prchase from wwwa-pdfcom to remoe the watermark III CUPRINS Prefaţă Capitoll ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A CURBELOR PLANE Reprezentarea analitică a crbelor plane Stabilirea ecaţiilor nor crbe plane Cisoida li Diocles Cicloida 4 3 Epicicloida Cardioida 5 4 Hipocicloida Astroida 8 5 Ecaţia nei drepte în coordonate polare 6 Spirale 6 Spirala li Arhimede 6 Spirala hiperbolică 63 Spirala logaritmică 7 Lemniscata 8 Concoide 3 8 Concoida cercli 3 8 Concoida nei drepte (concoida li Nicomede) 4 3 Tangenta şi normala la o crbă plană într-n pnct ordinar 4 4 Sbtangenta sbnormala segmentl tangentă segmentl normală 8 5 Lngimea ni arc de crbă plană Elementl de arc 6 Crbra şi raza de crbră a nei crbe plane 4 7 Contactl între doă crbe plane 8 8 Cercl osclator al nei crbe plane 3 9 Pncte mltiple ale nei crbe plane 35 Înfăşrătoarea nei familii de crbe plane 4 Eolta (desfăşrata) nei crbe plane 46 Eolenta (desfăşrătoarea) nei crbe plane 48 3 Teorema fndamentală a teoriei crbelor plane 53 4 Clase remarcabile de crbe plane Crbe speciale 54 5 Câtea consideraţii aspra crbelor în reprezentare polară 58 6 Probleme propse 63 Capitoll ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A CURBELOR ÎN SPAŢIU 66 Reprezentarea analitică a crbelor în spaţi 66 Lngimea ni arc reglat de crbă Element de arc 69 3 Tangenta la o crbă în spaţi 76 4 Planl normal la o crbă în spaţi 8 5 Planl osclator la o crbă în spaţi 84 6 Normala principală la o crbă în spaţi 87

IV 7 Binormala la o crbă în spaţi 9 8 Planl rectificant la o crbă în spaţi 94 9 Triedrl li Frenet 96 Indicatoare sferice Crbră Torsine 99 Formlele li Frenet 3 Aplicaţii ale formlelor li Frenet 7 3 Calcll crbrii şi al torsinii 3 4 Forma locală a nei crbe în spaţi în ecinătatea ni pnct ordinar 5 Clase remarcabile de crbe în spaţi 6 6 Contactl între doă crbe în spaţi Contactl între o crbă şi o sprafaţă 37 7 Probleme propse 5 Capitoll 3 ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A SUPRAFEŢELOR 55 3 Reprezentarea analitică a nei sprafeţe 55 3 Crbe trasate pe o sprafaţă Crbe coordonate 57 33 Planl tangent la o sprafaţă 65 34 Normala la o sprafaţă Orientarea nei sprafeţe 7 35 Prima formă fndamentală a nei sprafeţe 75 36 Aplicaţii ale primei forme fndamentale: elementl de arc; lngimea ni arc; măsrarea nghirilor; aria nei porţini de sprafaţă 8 37 A doa formă fndamentală a nei sprafeţe 9 38 Crbra nei crbe trasate pe o sprafaţă 95 39 Secţine normală Teorema li Mesnier Crbri normale şi tangenţiale 97 3 Crbri principale Direcţii principale Crbră totală Crbră medie Clasificarea pnctelor nei sprafeţe 3 Linii asimptotice Linii de crbră Linii geodezice 3 Clase remarcabile de sprafeţe 5 3 Sprafeţe riglate 5 3 Sprafeţe desfăşrabile 8 33 Sprafeţe cilindrice 3 34 Sprafeţe conice 3 35 Sprafeţe conoide 33 36 Sprafeţe de rotaţie 34 37 Sprafeţe minimale 35 38 Sprafeţe de crbră totală constantă 37 39 Sprafeţe Ţiţeica 4 3 Sprafeţe elicoidale 4 33 Inarianţi pe o sprafaţă 4 34 Probleme propse 48 Bibliografie 53

V PREFAŢĂ Începtrile geometriei diferenţiale se găsesc în lcrările li Leibniz (646-76) şi snt indisolbil legate de începtrile analizei matematice Teoria crbelor plane a fost elaborată în a doa jmătate a secolli al XVII-lea şi în prima jmătate a secolli al XVIII-lea L Eler (77-783) a stdiat crbrile secţinilor normale ale sprafeţelor a dat definiţia direcţiilor principale şi a crbrii nei sprafeţe proprietăţile sprafeţelor desfăşrabile şi nele proprietăţi ale crbelor în spaţi A doa etapă în dezoltarea geometriei diferenţiale a fost inagrată de G Monge care în lcrarea Application de l analyse a la geometrie pblicată în 795 constrieşte teoria crbelor în spaţi S-a ocpat de asemenea c stdil generării sprafeţelor prin crbe A treia etapă în dezoltarea geometriei diferenţiale o inagrează K Gass (777-855) care s-a ocpat de teoria sprafeţelor pornind de la geodezie Contribţii la dezoltarea acestei teorii a at de asemenea: J Schoten G Darbox EJ Cartan G Fbini IN Lobaceski I Bolyai E Beltrami F Klein H Poincaré B Riemann şi alţii Prima lcrare de geometrie diferenţială din ţara noastră este scrisă de E Bacalogl care în 859 a considerat o altă crbră a nei sprafeţe pe lângă crbra totală şi medie Priml geometr român ale cări lcrări de geometrie diferenţială s-a imps atenţiei matematicienilor din întreaga lme este Gh Ţiţeica (873-939) Deoarece el a intro şi stdiat o clasă de crbe şi na de sprafeţe care astăzi îi poartă nmele el este considerat nl dintre creatorii geometriei centro-afine Contribţii importante la dezoltarea geometriei diferenţiale proiectie şi afine a crbelor şi a sprafeţelor a a şi: acad Al Myller şi acad O Mayer Un alt geometr roman Al Pantazi (896-948) format în şcoala geometrli francez EJ Cartan a a prin lcrările sale contribţii importante în domenil geometriei diferenţiale proiectie a crbelor şi a sprafeţelor Un loc proeminent între geometrii români îl ocpă acad G Vrâncean creator al teoriei spaţiilor neolonome şi al nei teorii nitare relatiiste care a a contribţii importante în aproape toate ramrile geometriei diferenţiale moderne În cartea de faţă snt prezentate pe parcrsl a trei capitole rezltate clasice din geometria diferenţială: a crbelor plane a crbelor în spaţi şi a sprafeţelor Capitoll intitlat: Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane are în edere pe parcrsl a şaisprezece paragrafe stdil noţinilor de: tangentă şi normală la o crbă plană sbtangentă sbnormală segment tangentă şi segment normală lngime a ni arc de crbă plană element de arc crbră şi rază de crbră contact între doă crbe plane cerc osclator pncte mltiple ale nei crbe plane înfăşrătoare a nei familii de crbe plane eoltă şi eolentă De asemenea pe câtea crbe plane des tilizate în tehnică este exemplificată reprezentarea analitică a crbelor plane

VI Capitoll intitlat: Elemente de geometrie diferenţială a crbelor în spaţi este dedicat stdierii pe parcrsl a şaptesprezece paragrafe a noţinilor de: tangentă plan normal plan osclator normală principală binormală plan rectificant triedr Frenet indicatoare sferică crbră torsine formle ale li Frenet c aplicaţii crbă aproximantă contact între doă crbe în spaţi contact între o crbă şi o sprafaţă sferă osclatoare Snt de asemenea prezentate câtea clase remarcabile de crbe în spaţi Capitoll 3 intitlat: Elemente de geometrie diferenţială a sprafeţelor conţine paisprezece paragrafe în care se realizează stdil noţinilor de: crbă trasată pe sprafaţă crbe coordonate plan tangent normală prima formă fndamentală c aplicaţiile sale a doa formă fndamentală secţine normală crbri normale şi tangenţiale crbri principale direcţii principale crbră totală şi medie linii asimptotice linii de crbră linii geodezice inarianţi pe sprafaţă Snt de asemenea prezentate câtea clase remarcabile de sprafeţe Realizată pe o strctră de crs niersitar conţinând partea teoretică a problematicii abordate cartea de faţă cprinde şi n bogat material exemplificati şi în acelaşi timp propne o serie de probleme spre rezolare ce permit cititorli să erifice singr calitatea însşirii cnoştinţelor stdiate Paragrafele teoretice snt ssţinte de probleme rezolate care da posibilitatea aprofndării noţinilor cprinse în paragrafl respecti Această carte a fost scrisă astfel ca limbajl noţinile teoretice şi sccesinea lor să fie în concordanţă c programele analitice în igoare Lcrarea de faţă se adresează stdenţilor care rmează crsl de geometrie diferenţială clasică dar şi fizicienilor şi inginerilor care folosesc metodele geometriei în stdiile lor În acelaşi timp cartea este tilă ttror acelora care or să se iniţieze în acest important domeni al matematicii 3 aprilie 3 Atorl

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane Capitoll ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A CURBELOR PLANE Reprezentarea analitică a crbelor plane Fie (π) planl (xoy) în care s-a fixat n sistem de coordonate carteziene x y Definiţia Se nmeşte arc simpl de crbă plană o mlţime (Γ) de pncte M din R i j al li plan ale căror coordonate carteziene x y în raport c reperl ortonormat { } R şi ectori de poziţie r satisfac na din rmătoarele relaţii: (Γ) : F(x y) (x y) D R () (Γ) : y f(x) x (x x ) r () (Γ) : (Γ) : x x(t) y y(t) t (t t r ) r (3) r (t) t (t t ) r (4) nde fncţiile F f x y r satisfac condiţiile: i) snt reale niforme şi contine; ii) fncţiile x şi y stabilesc o corespondenţă biniocă şi bicontină între pnctele M (Γ) şi mlţimea alorilor parametrli real t ( t (t t )); iii) admit deriate de ordinl întâi contine Relaţiile () () (3) (4) se nmesc respecti reprezentarea analitică implicită sa ecaţia implicită a arcli simpl de crbă plană (Γ) reprezentarea analitică explicită sa ecaţia explicită a arcli simpl de crbă plană (Γ) reprezentarea analitică parametrică sa ecaţiile parametrice ale arcli simpl de crbă plană (Γ) şi reprezentarea ectorială sa ecaţia ectorială a arcli simpl de crbă plană (Γ) Definiţia Se nmeşte arc reglat de crbă plană mlţimea (Γ) a pnctelor M din R i j al li R ale căror coordonate carteziene x y în raport c reperl ortonormat { }

Geometrie diferenţială R şi ectori de poziţie r satisfac ecaţia () sa ecaţia () sa sisteml (3) sa ecaţia (4) nde fncţiile F f x y r & îndeplinesc condiţiile nmite de reglaritate: i) snt reale niforme şi contine; ii) fncţiile x şi y stabilesc o corespondenţă biniocă şi bicontină între pnctele M (Γ) şi mlţimea alorilor parametrli real t ( t (t t )); iii) admit deriate de ordinl întâi contine; i) în interalele considerate snt îndeplinite relaţiile: nde: (F' x ) F F' x x (F' ) x& (t) y& (t) r & (t) y F dx dy dr F' y x & (t) (t) y & (t) (t) r & (t) (t) y dt dt dt Se nmeşte arc reglat de ordinl n sa clasă n n arc reglat de crbă plană (Γ) pentr care fncţiile F f x y r & admit deriate (parţiale respecti ordinare) contine până la şi inclsi ordinl n > astfel încât n toate deriatele de acelaşi ordin să se anleze 3 Se nmeşte crbă reglată de ordinl n sa crbă de clasă n pe scrt: crbă o renine de arce reglate de ordinl n care a extremităţile eental pncte singlare (în sensl definiţiei 3) adică: i I ( ) ( Γ) Γ i Definiţia 3 Se nmeşte pnct singlar al nei crbe plane pnctl în care n este îndeplinită cel pţin na din condiţiile de reglaritate Se nmeşte pnct ordinar al nei crbe plane pnctl în care snt îndeplinite toate condiţiile de reglaritate Stabilirea ecaţiilor nor crbe plane Pentr a stdia crbele plane este neoie de ecaţiile lor adică de reprezentările lor analitice Se pot stdia crbele plane în doă modri: fie se pleacă de la o reprezentare analitică adică de la ecaţia sa ecaţiile crbei; fie se stabileşte ecaţia crbei prin determinarea ei ca loc geometric adică se pleacă de la o anmită proprietate a ei În cele ce rmează se or stabili ecaţiile câtora crbe plane Cisoida li Diocles Se consideră n cerc de rază dată a şi o tangentă într-n pnct A fixat pe cerc O secantă oarecare ă prin pnctl O diametral ops li A taie cercl în C şi tangenta în B (fig ) Definiţia 4 Locl geometric al pnctli P care are proprietatea:

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 3 B P O C este crba care poartă nmele de cisoida li Diocles Pentr a determina ecaţia locli geometric se consideră pnctl O originea reperli axa Ox dreapta (OA) şi axa Oy perpendiclara în O pe OA (fig ) Fie θ nghil ariabil format de secantă c axa Ox şi ρ lngimea segmentli OP Coordonatele x y ale pnctli P snt: x ρ cos θ y ρ sin θ Fig x Deoarece ρ ariază c θ trebie exprimat ρ în fncţie de θ şi în acest scop se obţine: ρ OP OB BP OB OC a cos θ cm rezltă din tringhirile dreptnghice OAB şi OCA Deci: a cos θ (Γ) : sin ρ a cos θ θ relaţie care reprezintă ecaţia cisoidei în coordonate polare sa reprezentarea polară a cisoidei Prin introdcerea alorii li ρ în expresiile pentr x şi y se obţine: (Γ) : x a sin θ 3 sin θ y a cos θ relaţii ce exprimă reprezentarea parametrică a cisoidei Prin eliminarea între cele doă ecaţii a parametrli θ se obţine: deci: sa: y x tg θ y x a x y tg θ y θ tg θ x y sin (Γ) : x 3 xy ay relaţie care constitie reprezentarea implicită a cisoidei Din ltima ecaţie se obţine reprezentarea explicită a cisoidei: Fig

4 Geometrie diferenţială (Γ) : x y ± x a x Cisoida li Diocles este reprezentată grafic în fig Cicloida Definiţia 5 Cicloida este crba plană descrisă de n pnct fix de pe n cerc care rlează fără să alnece pe o dreaptă fixă Fie O n pnct fix al ni cerc de rază a tangent în O la dreapta (d) Pentr a determina ecaţia cicloidei se consideră pnctl fix O drept origine a reperli dreapta tangentă (d) drept axă Ox şi axa Oy perpendiclară în O pe (d) (fig 3) Când cercl rlează din poziţia O până în poziţia A pnctl care a fost în O a ajns în M Se obţine: OA AM a ϕ nde ϕ este nghil de rlare În tringhil OωM se obţine: OM Oω ωm Dacă se proiectează pe axa Ox respecti pe axa Oy ltima egalitate şi se notează c x y coordonatele carteziene ale li M rezltă: x pr Oω pr ωm y pr Oω pr ωm Ox Ox Fig 3 Oy Oy Dar: pr Ox Oω OA a ϕ pr Oy Oω A ω a α ϕ 7 a cos (7 pr Ox ω M ωm i AM' ωs a cos (8 α) a cos α pr Oy ϕ) a sin ϕ ω M ωm j SM a sin (8 α) a sin α a sin (7 ϕ) a cos ϕ

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 5 de nde: sa: (Γ) : x a ϕ a sin ϕ y a a cos ϕ (Γ) : x a ( ϕ sin ϕ) y a ( cos ϕ) care constitie reprezentarea parametrică a cicloidei Eliminarea parametrli ϕ între cele doă ecaţii parametrice condce la ecaţia: (Γ) : x a y arc cos a ay y care constitie reprezentarea explicită a cicloidei şi care în general n este tilizată Cicloida este reprezentată grafic în fig 4 Fig 4 3 Epicicloida Cardioida Definiţia 6 Epicicloida este crba descrisă de n pnct de pe n cerc care rlează fără să alnece pe n alt cerc exterior fix Fie cercl c centrl în O de rază b care rlează pe cercl fix c centrl în O şi de rază a Se alege reperl xoy c originea în centrl O iar axele doi diametri perpendiclari astfel încât axa Ox să treacă prin pnctl A pnct iniţial de contact între cercrile considerate Se consideră rlarea cercli O din poziţia A într-o poziţie arbitrară c N pnct de contact Pnctl A a trece în pnctl M (fig 5) Se notează: ϕ NOx ϕ NO M are loc: Fig 5 AN NM

6 Geometrie diferenţială adică: de nde: şi deci: a ϕ b ϕ a ϕ ' b ϕ a b ϕ ϕ ' ϕ b relaţie care se a tiliza în cele ce rmează Din tringhil OMO rezltă relaţia: OM OO' O'M care prin proiectare pe axele de coordonate nde x y snt coordonatele carteziene ale pnctli M al epicicloidei condce la: x pr OO' pr O'M y pr OO' pr O' M Ox Ox Oy Oy Dar: pr Ox OO' OO' i (a b) cos ϕ pr Oy OO' (a b) sin ϕ pr Ox O'M pro'x ' O'M b cos (MO x ) b cos (ϕ ϕ 8 ) a b b cos (ϕ ϕ ) b cos ϕ b a b b sin ϕ b Deoarece: pr Oy O'M b sin (MO x ) b sin (ϕ ϕ 8 ) b sin (ϕ ϕ ) adică: rezltă: MO N MO x x O N ϕ MO x 8 ϕ MO x ϕ ϕ 8 relaţie ce a fost folosită În acest fel se obţine reprezentarea parametrică a epicicloidei sb forma:

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 7 (Γ) : a b x (a b) cos ϕ b cos ϕ b a b y (a b) sin ϕ b sin ϕ b Definiţia 7 Cardioida este epicicloida în care cele doă cercri cel fix şi cel mobil a raze egale Dacă se consideră a b în reprezentarea parametrică a epicicloidei se obţine reprezentarea parametrică a cardioidei: (Γ) : x a ( cos ϕ cos ϕ) y a ( sin ϕ sin ϕ) reprezentată grafic în fig 6 Este interesant de determinat ecaţia cardioidei în coordonate polare În acest scop este aantajos a se translata reperl xoy în pnctl A Rezltă schimbarea nmai a abscisei x care deine x a În acest reper rezltă deci: sa: (Γ) : x a ( cos ϕ cos ϕ ) y a ( sin ϕ sin ϕ) (Γ) : x a cos ϕ ( cos ϕ) y a sin ϕ ( cos ϕ) deci: adică: sa: Prin eliminarea între cele doă ecaţii a parametrli ϕ se obţine: y tg ϕ şi x x cos ϕ x y x x x a x y x y (Γ) : x y a ( x y x) (Γ) : (x y ax) 4 a (x y ) Ultimele doă ecaţii constitie reprezentarea implicită (iraţională respecti raţională) a cardioidei Prin sbstitirea formlelor x ρ cos θ ρ x y coordonate polare sa reprezentarea polară a cardioidei: (Γ) : ρ a ( cos θ) Fig 6 se obţine ecaţia cardioidei în

8 Geometrie diferenţială reperl polar are drept pol pnctl de contact al cercrilor iar drept axă polară linia centrelor celor doă cercri 4 Hipocicloida Astroida Definiţia 8 Hipocicloida este crba descrisă de n pnct de pe n cerc care rlează fără să alnece pe n alt cerc fix cercrile fiind interioare Se alege reperl xoy format din doi diametri perpendiclari ai cercli fix de centr O astfel încât axa Ox să treacă prin pnctl A pnct iniţial de contact între cercrile considerate Se consideră rlarea cercli de centr O din poziţia A într-o poziţie arbitrară c N pnct de contact între cercl fix şi cercl mobil Pnctl A a trece în pnctl M (fig 7) Se notează: ϕ NOx ϕ MO N (în sens trigonometric) şi se obţine: AN MN (în sens trigonometric) adică: de nde: şi deci: aϕ bϕ a ϕ ' b ϕ a b ϕ ' ϕ ϕ b relaţie care se a tiliza în cele ce rmează Din tringhil OO M se obţine: Fig 7 OM OO' O'M din care rezltă: x pr OO' pr O' M y pr OO' pr O' M Ox Ox Oy Oy Dar: pr Ox OO' OO' i (a b) cos ϕ pr Oy OO' (a b) sin ϕ pr Ox O'M O' M i O S b cos (MO x ) b cos (ϕ ϕ 8 ) a b b cos (ϕ ϕ) b cos ϕ b

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 9 pr Oy O'M O' M j SM b sin (MO x ) b sin (ϕ ϕ 8 ) a b b sin (ϕ ϕ) b sin ϕ b Deoarece: MO x x O O 8 MO N (în sens trigonometric) adică: de nde: MO x ϕ 8 ϕ MO x ϕ ϕ 8 relaţie ce a fost folosită În acest mod s-a obţint reprezentarea parametrică a hipocicloidei de forma: (Γ) : a b x (a b) cos ϕ b cos ϕ b a b y (a b) sin ϕ b sin ϕ b Definiţia 9 Astroida este hipocicloida care are patr ramri simetrice În acest caz raza b a cercli mobil trebie să fie a patra parte din raza cercli fix pentr ca el să se aştearnă într-o rlare completă pe n sfert de cerc fig 8 Dacă se consideră a 4 b în ecaţiile parametrice ale hipocicloidei se obţin ecaţiile: (Γ) : x b (3 cos ϕ cos 3 ϕ) y b (3sin ϕ sin 3 ϕ) care constitie reprezentarea parametrică a astroidei şi care se mai poate scrie şi sb forma: 3 x 4 b cos ϕ (Γ) : 3 y 4 b sin ϕ Prin eliminarea parametrli ϕ între cele doă ecaţii se obţine reprezentarea implicită a astroidei: Fig 8 3 3 3 (Γ) : x y a Se or da în continare câtea exemple de crbe plane în reprezentarea polară: ρ ρ(θ)

Geometrie diferenţială 5 Ecaţia nei drepte în coordonate polare Fie OP p distanţa de la originea O a reperli xoy la dreapta (d) α nghil de înclinare al dreptei (d) faţă de Ox şi ρ θ coordonatele polare ale ni pnct M (d) (fig 9) Se obţine: OP OM sin ϕ şi deoarece ϕ α θ rezltă din ltima egalitate relaţia: p ρ sin (α θ) adică ecaţia dreptei în coordonate polare sa reprezentarea polară a dreptei sb forma: (d) : p ρ (α arctg m m panta dreptei) sin ( α θ) Fig 9 6 Spirale 6 Spirala li Arhimede Definiţia Spirala li Arhimede ia naştere prin deplasarea ni pnct c o mişcare niformă pe o semidreaptă în timp ce semidreapta se roteşte în jrl nei extremităţi fixe c o iteză nghilară constantă Se consideră semidreapta OD care se roteşte c iteză nghilară constantă ω în jrl pnctli O Pnctl M parcrge dreapta c o iteză constantă (fig ) Se notează: de nde: Se obţine: OM ρ xod θ şi c t timpl ρ t θ ωt adică: ρ θ ω (Γ) : ρ k θ care constitie ecaţia spiralei li Arhimede în coordonate polare sa reprezentarea polară a spiralei li Arhimede (fig )

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane Fig Fig 6 Spirala hiperbolică Se constriesc în jrl polli O o serie de cercri concentrice care taie axa polară în pnctele A A A 3 Se dc din aceste pncte pe cercrile respectie arce egale de lngime dată a Locl geometric al extremităţilor acestor arce este spirala hiperbolică (fig a şi b) a) b) Fig Rezltă: sa A M A M A 3 M 3 a ρ θ ρ θ ρ 3 θ 3 a de nde: Coordonatele polare ale pnctli M i erifică deci ecaţia: ρ θ a (Γ) : ρ a θ este ecaţia în coordonate polare a spiralei hiperbolice sa reprezentarea polară a spiralei hiperbolice Din această ecaţie rezltă că dacă θ atnci ρ adică pnctl de pe crbă ajnge în pol dpă n nmăr infinit de mare de rotiri complete Se spne că poll este pnct asimptotic

Geometrie diferenţială se obţine: de nde: Mai mlt din: y ρ sin θ y a sin θ θ şi sin θ lim y lim a a θ θ θ ρ a θ ceea ce arată că y a este asimptotă orizontală pentr spirala hiperbolică şi motiează reprezentarea grafică a ei dată în fig b Spirala li Arhimede şi spirala hiperbolică snt cazri particlare ale spiralelor generale de ecaţie: ρ K θ m 63 Spirala logaritmică Definiţia Spirala logaritmică este crba în care argmentl θ este proporţional c logaritml razei ectoare (fig 3) adică: de nde: θ k ρ e Kθ ln ρ Fig 3 7 Lemniscata Definiţia Lemniscata este locl geometric al pnctelor c proprietatea că prol distanţelor la doă pncte fixe este constant şi egal c pătratl jmătăţii distanţei între cele doă pncte fixe Se consideră F F cele doă pncte fixe O mijlocl segmentli [F F ] şi M n pnct oarecare al lemniscatei Prin alegerea reperli polar c O drept pol şi axă polară dreapta (OF ) (fig 4) se obţine: OM ρ xom θ OF OF a Dacă se aplică teorema cosinsli în tringhirile OMF respecti OMF rezltă relaţiile: MF ρ a a ρ cos θ ; MF ρ a a ρ cos θ care introe în definiţia locli geometric:

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 3 condc la ecaţia: MF MF a (ρ a ) 4 a ρ cos θ a 4 Ultima ecaţie este echialentă c ecaţia: ρ 4 a ρ 4 a ρ cos θ Fig 4 sa c ecaţia: ρ a ( cos θ ) şi prin înlocirea parantezei se obţine ecaţia lemniscatei în coordonate polare sa reprezentarea polară a lemniscatei de forma: (Γ) : ρ a cos θ Dacă se folosesc formlele ρ x y (Γ) : (x y ) a (x y ) y tg θ se obţine ecaţia: x adică reprezentarea implicită a lemniscatei 8 Concoide Definiţia 3 Concoida nei crbe dată în reprezentare polară: (Γ) : ρ ρ(θ) este crba obţintă din crba dată prin adăgarea ni segment constant razei ectoare C alte cinte concoida crbei (Γ) : ρ ρ(θ) este: (Γ k ) : ρ ρ(θ) k 8 Concoida cercli Pentr a determina concoida ni cerc de rază dată a se scrie ecaţia în coordonate polare a acesti cerc Se consideră reperl polar c poll O n pnct fixat pe cerc şi axă polară prelngirea ni diametr fixat ce trece prin O (fig 5) În tringhil OMN se obţine: OM ON cos (8 θ) a cos θ Se adagă razei ectoare mărimea constantă k şi se obţin toate concoidele cercli dat în reprezentare polară: (Γ k ) : ρ k a cos θ Fig 5

4 Geometrie diferenţială Dacă k a se obţine na din concoidele cercli de ecaţie: ( Γ ' ) : ρ a ( cos θ) k care comparată c ecaţia cardioidei în coordonate polare permite a afirma că această concoidă este cardioida 8 Concoida nei drepte (concoida li Nicomede) Se consideră o dreaptă (d) perpendiclară pe axa polară la distanţa a de pol şi se rmăreşte determinarea concoidei acestei drepte În acest scop dacă se foloseşte ecaţia dreptei în coordonate polare din paragrafl crent c α 9 p a rezltă pentr dreapta (d) reprezentarea polară: (d) : a ρ cos θ Atnci reprezentarea polară a conoidei drepte (d) este: a (Γ k ) : ρ ' k cos θ şi reprezentarea ei grafică este dată în fig 6 Fig 6 3 Tangenta şi normala la o crbă plană într-n pnct ordinar Definiţia 4 Se nmeşte tangentă la o crbă plană (Γ) într-n pnct ordinar M (Γ) poziţia limită a dreptei secante la crbă ce trece prin M şi printr-n pnct M (Γ) când M M (fig 7) M M (dreapta secantă) (Γ) M M Fig 7 (T) M (Γ) (dreapta tangentă) Se determină ecaţia tangentei pentr dierse reprezentări analitice ale crbei (Γ):

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 5 Fie crba (Γ) dată în coordonate carteziene ortogonale prin ecaţia explicită: (Γ) : y f(x) x (x x ) R şi fie M n pnct ordinar oarecare de pe această crbă Ecaţia tangentei în M este de forma: (T) : Y y(x) m(x x) în care m y (x) conform interpretării geometrice a deriatei Rezltă atnci că ecaţia tangentei este: (T) : Y y(x) y (x) (X x) nde X Y snt coordonate crente pe dreapta tangentă Fie crba (Γ) dată prin ecaţia implicită: (Γ) : F(x y) (x y) D R care defineşte pe y ca fncţie implicită pe x se obţine: F' F' x m y conform formlei de deriare a fncţiilor implicite Atnci ecaţia tangentei deine: F' x (T) : Y y (X x) F' care se mai scrie dpă efectarea calclelor: (T) : (X x) F x (Y y) F y y 3 Fie crba (Γ) dată prin ecaţiile parametrice: (L) : x x(t) y y(t) t (t t ) R A loc sccesi: dy dy dt y(t) & m x(t) & dx dx x(t) & dt Ecaţia tangentei se scrie atnci: y(t) & x(t) & (T) : Y y(t) [ X x(t) ]

6 Geometrie diferenţială sa sb forma: (T) : X x(t) Y y(t) x(t) & y(t) & Definiţia 5 Se nmeşte normală într-n pnct ordinar la o crbă plană perpendiclara pe tangenta în acel pnct la crba dată (fig 8) Corespnzător celor trei cazri considerate în determinarea ecaţiei tangentei rezltă cazrile similare în scopl determinării ecaţiei normalei: Deoarece normala este perpendiclară pe tangentă se obţine: µ m (x) y (N) M (T) (Γ) α α O Q P R Fig 8 x nde µ este panta normalei în pnctl M la crba (Γ) dată de ecaţia: y y(x) x (x x ) R Ecaţia normalei este aşadar: (x) (N) : Y y(x) ( X x) nde X Y snt coordonate crente pe dreapta normală Dacă crba (Γ) este dată prin ecaţia implicită: se obţine: (Γ) : F(x y) (x y) D F' y µ m F' x R Ecaţia normalei deine: F' F' y (N) : Y y ( X x) care dpă efectarea calclelor se mai scrie: x (N) : X x Y y F' F x ' y

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 7 3 Dacă crba (Γ) este dată prin ecaţiile parametrice: ( Γ) : atnci se obţine: x x(t) y y(t) t (t t ) R x(t) & µ y(t) & m y(t) & Ecaţia normalei se scrie: sa sb forma: x(t) & y(t) & (N) : Y y(t) [ X x(t) ] x & & (N) : (t) [ X x(t) ] y(t) [ Y y(t) ] Obseraţia Dacă se ţine seama de faptl că în cazl în care m atnci dreapta este paralelă c axa Ox iar dacă m ± dreapta este paralelă c axa Oy se obţine pentr F x şi F y că tangenta este paralelă c Ox iar dacă F x şi F y tangenta este paralelă c Oy Condiţia ca pnctl să fie ordinar este esenţială deoarece în caz contrar ambele deriate parţiale s-ar anla şi deci n s-ar ptea preciza panta tangentei Exempll Să se scrie ecaţiile tangentelor şi normalelor în pnctele indicate la crbele: a) y ln x în pnctl de abscisă e; b) x e t cos t y e t sin t în pnctl A( ); c) x 3 3 x y y 9 în pnctl B( 3) Solţie: a) Pnctl de abscisă e are ordonata y iar panta tangentei m se x calclează pentr x e Ecaţia tangentei este: (T) : y (x e) sa (T) : x ey e e iar a normalei: (N) : y e(x - e) sa (N) : ex y e b) Se obseră că pnctl A( ) corespnde bijecti alorii t Deriatele : x& (t) e t (cos t sin t) y& (t) e t (sin t cos t) calclate în A a alorile x& şi y& Panta tangentei în A este m iar ecaţia tangentei în A la crba considerată este: (T) : x y

8 Geometrie diferenţială Ecaţia normalei se scrie: (N) : x y c) Deoarece: F' x 3 x 6 xy ' F 3 x y y y panta tangentei în B are aloarea m Ecaţia tangentei în B la crba considerată este: (T) : y 3 şi a dreptei normale: (N) : x 4 Sbtangenta sbnormala segmentl tangentă segmentl normală Definiţia 6 Segmentl tangentă într-n pnct ordinar al nei crbe plane este segmentl de pe tangentă cprins între pnct şi intersecţia acestei tangente c axa Ox Segmentl normală într-n pnct ordinar al nei crbe plane este segmentl de pe normală cprins între pnct şi intersecţia acestei normale c axa Ox 3 Sbtangenta într-n pnct ordinar al nei crbe plane este proiecţia ortogonală pe axa Ox a segmentli tangentă 4 Sbnormala într-n pnct ordinar al nei crbe plane este proiecţia ortogonală pe axa Ox a segmentli normală Lngimea segmentelor tangentă normală sbtangentă şi sbnormală se notează c s tg s n s stg şi respecti s sn Fie crba plană (Γ) dată prin ecaţia explicită: (Γ) : y y(x) x (x x ) R şi fie M n pnct ordinar oarecare de pe această crbă Se notează c Q R pnctele de intersecţie c axa Ox a tangentei (T) respecti a normalei (N) în pnctl M la crba plană (Γ) c P proiecţia ortogonală pe axa Ox a pnctli M şi c α nghil format de tangentă c sensl poziti al axei Ox (fig 9) Conform definiţiilor se obţine: [PQ] sbtangenta [PR] sbnormala y α (N) M O Q P R α Fig 9 (T) (Γ) x

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 9 [MQ] segmentl tangentă [MR] segmentl normală În tringhirile dreptnghice QPM şi RPM a loc relaţiile: MP PQ PR MP tg α tg α Se obţine apoi sccesi: MP MQ sin α MR MP cos α MP y tg α y cos α tg α Rezltă astfel că se poate scrie: tg α sin α tg α adică: y PQ PR y y s tg s n y y MQ y s stg MR s y sn y nde alorile li y şi y se calclează în abscisa x a pnctli M considerat Exempll Să se calcleze segmentl tangentă segmentl normală sbtangenta şi sbnormala crbei: (Γ) : x 3 xy x y 3 în pnctl în care aceasta se intersectează c axa (Oy) Solţie: Lngimile celor patr segmente se calclează c ajtorl formlelor: y s tg s n y y s stg s n y nde y f(x) este reprezentarea explicită a crbei iar alorile li y şi y se calclează în abscisa x a pnctli de intersecţie a crbei c axa (Oy) În cazl exemplli reprezentarea crbei din ennţ este implicită prin rmare: F' x 3 x y F xy y

Geometrie diferenţială Pnctl de intersecţie dintre crbă şi axa (Oy) are coordonatele ( 3) şi prin înlocire în formlele precedente se obţine: 5 s tg s n 5 7 3 s stg s sn 7 5 Lngimea ni arc de crbă plană Elementl de arc În scopl definirii lngimii ni arc AB al nei crbe plane (Γ) format doar din pncte ordinare se a înscrie în AB o linie poligonală c n coarde care neşte pnctele extreme A şi B ale arcli (fig ) Acest lcr poate fi făct pentr fiecare întreg poziti n într-n mod arbitrar astfel încât lngimea coardei maxime să tindă la zero când n tinde la infinit Lngimile L n ale acestor linii poligonale se obţin din teorema li Pitagora Dacă şirl {L n } al acestor lngimi este conergent c limita L atnci arcl AB al crbei (Γ) se spne a fi rectificabil iar aloarea L L AB este nmită lngimea arcli AB al crbei plane (Γ) Teorema Un arc AB al nei crbe plane (Γ) de clasă cel pţin (n) este rectificabil Dacă arcl AB al crbei plane (Γ) este dat în reprezentare explicită: (Γ) : y f(x) x [x A x B ] x x ) R ( atnci lngimea sa este dată de: X B L AB ( f ') X A dx iar dacă arcl AB al crbei plane (Γ) este dat în reprezentare parametrică: ( Γ) : x x(t) y y(t) t [ t t ] ( t t ) A B R atnci lngimea sa este dată de: t B L AB x ta & y& dt Fig Demonstraţie Se consideră o linie poligonală P n de n coarde c ârfrile M j (x j f(x j )) (j n; x x A < x < < x n- < x n x B ) Linia poligonală P n are lngimea: L(P n ) l l l n A (Γ) B

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane nde l i M i- M i este lngimea coardei a i-a din această linie poligonală (fig ) y A M M i- f(x i- ) M i f(x i ) B O x A x x x i- ξ i x i x B x n x Fig Se obţine: l ( x x ) ( f (x ) f (x ) i i i i i ) Deoarece fncţia f este contină c deriata f contină se poate aplica teorema de medie din calcll diferenţial: şi atnci l i deine: f(x i ) f(x i- ) f (ξ i ) (x i x i- ) (x i- < ξ i < x i ) l i ( f '( ξ )) ( x x ) i i i Prin însmarea dpă i de la la n se obţine: n i ( f '( ξ )) ( x x ) L (P ) n i i i Din faptl că f este contină şi lngimea coardei maxime tinde la zero rezltă că xb sma L(P n ) tinde la f ' dx pentr n xa Dacă de face schimbarea de ariabilă x x(t) în integrala de relaţiile: dy dy dt y& dx x& dt dy y& dt dx dt dx x& se obţine: x B t B y& t B L AB dx x& dt x& y& x t A A x& t A x B f ' dx şi se ţine cont xa dt

Geometrie diferenţială Dacă se schimbă aloarea fixă t B în L AB x tb t A & y& dt printr-o ariabilă t atnci L AB deine o fncţie de t fie ea s(t) Dacă se înlocieşte t A printr-o aloare fixată t (t t ) se obţine: s (t) ~ x& y& dx dy dt x & ~ y& ~ t dt dt t Această fncţie s(t) nmită lngimea arcli M M al crbei (Γ) are o interpretare geometrică simplă Pentr aceasta fie: Definiţia 7 Se nmeşte sens poziti pe o crbă plană (Γ) sensl care corespnde la alorile crescătoare ale parametrli ales pe crbă (fig ) Dacă se reine la t ~ s (t) x& y& dx dy dt x & ~ y& ~ dacă t > t atnci s(t) este t dt dt lngimea porţinii din (Γ) c pnctl iniţial M (t ) şi pnctl final M(t) Dacă t < t atnci s(t) este negati şi în acest caz lngimea arcli M M este dată de s(t) > ( x f(x )) M ( x f(x )) M M (t ) M (t ) x > x t > t ( x f(x )) M ( x f(x )) M M (t ) M (t ) x < x t > t Fig Teorema Lngimea de arc s(t) poate fi întrebinţată ca parametr în reprezentările parametrice ale crbelor Trecerea de la t la s păstrează clasa crbei Demonstraţie Din relaţia care-l defineşte pe s(t) şi din condiţiile de reglaritate pentr fncţiile x x(t) şi y y(t) este asigrată continitatea fncţiei s(t) neanlarea deriatei li s(t) în raport c parametrl t: s& (t) x& y& >

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 3 rezltă că fncţia s(t) este monoton crescătoare Se obţine că fncţia: s s(t) admite o fncţie inersă fie ea: t t(s) care înlocită în reprezentarea parametrică a arcli de crbă plană (Γ) ( Γ) x x(t) : y y(t) condce la reprezentarea parametrică: sa: ( Γ) ( Γ) : ( t(s) ) ( t(s) ) x x : (5) y y x x (s) y y (s) şi demonstrează prima parte a teoremei (6) Dacă se prespne că fncţiile x(t) şi y(t) din reprezentarea parametrică snt de clasă n ceea ce implică cel pţin na dintre fncţiile x & (t) y& (t) de clasă n- se obţine din relaţia: s & (t) x& că fncţia s& (t) este de clasă n- şi s& (t) y& Prin folosirea relaţiilor (5) se obţine: dx ceea ce implică: dx dx dt x& dt s& dy x& y& s& dy dy dt y& dt s& > dx dy adică (s) (s) snt de clasă n- şi deci fncţiile x (s) şi y (s) din relaţiile (6) snt de clasă n Definiţia 8 Parametrl s este nmit parametr natral al crbei plane (Γ) iar reprezentarea:

4 Geometrie diferenţială ( Γ) x x(s) : y y(s) s parametr natral se nmeşte reprezentarea natrală a crbei plane (Γ) Pentr lngimea de arc se obţine c şrinţă formla: t B L AB dx) t A Se face notaţia: ( (dy) (dx) (dy) Definiţia 9 Se nmeşte element de arc (liniar) al crbei plane (Γ) expresia Se obţine: de nde: sa: dx dy x& y& dt dx 6 Crbra şi raza de crbră a nei crbe plane Pentr a introdce noţinea de crbră a nei crbe plane se reaminteşte relaţia care există într-n cerc între nghil la centr arcl corespnzător şi raza cercli Se consideră n cerc c centr O şi rază R doă tangente (T ) şi (T ) în pnctele M şi M sitate pe cerc şi se notează c α (măsrat în radiani) măsra M OM iar c arc α M M (fig 3) deoarece OM M P şi OM M P rezltă că α este şi măsra nghili tangentelor Se cnoaşte din geometria sintetică elementară că: de nde rezltă: M M arc α α R radiani (T ) R α arc α (constant) M P relaţie care arată că oricare ar fi poziţia pnctelor M M pe cerc raportl între măsra nghili tangentelor şi lngimea O α α M P (T ) Fig 3

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 5 arcli M M este acelaşi sa c alte cinte abaterea cercli de la tangentă este aceeaşi în orice pnct al cercli şi anme R cantitate notată c K şi nmită crbra cercli Pentr o crbă plană oarecare acest lcr n mai este posibil dar sgerează introdcerea noţinii de crbră în general pentr o crbă plană oarecare într-n pnct ordinar Definiţia Se nmeşte nghi de contingenţă al ni arc de crbă nghil ascţit format de tangentele e la extremităţile arcli Definiţia Se nmeşte crbră medie a ni arc de crbă raportl dintre măsra nghili de contingenţă şi lngimea arcli Definiţia Se nmeşte crbra nei crbe plane într-n pnct ordinar limita crbrii medii când lngimea arcli tinde către zero Inersl modlli crbrii este raza de crbră a crbei în acel pnct Potriit definiţiilor de mai ss se obţin pentr crba (Γ) rmătoarele relaţii (fig 4): α măsra nghili de contingenţă α s K m crbra medie y (T ) α lim K crbra s s s lim R α α K (Γ) M α M s (T ) Teorema 3 Se consideră o crbă plană (Γ) dată în reprezentare explicită: (Γ) : y f(x) x (x x ) R O α α ϕ Fig 4 x de clasă cel pţin în ecinătatea ni pnct ordinar al să Atnci crbra crbei (Γ) în pnctl ordinar considerat este dat de relaţia: ' K ( ) 3/ în care deriatele snt calclate în pnctl considerat Demonstraţie Fie crba (Γ) clasă cel pţin în ecinătatea ni pnct ordinar M (x y) al crbei (y y şi contine) M (x x y y) n pnct al li (Γ) infinit apropiat de M şi (T ) (T ) tangentele în M respecti în M care formează c axa (Ox) nghirile de măsri ϕ şi respecti ϕ ϕ (fig 4) deci:

6 Geometrie diferenţială α ϕ Crbra medie este: K m α ϕ s s sa prin împărţire c x a nmărătorli şi nmitorli: deci: rezltă: K m ϕ x s x La limită se obţine: K lim x dϕ K dx dx ϕ x s x S-a folosit faptl că dacă s (M M ) atnci x Dacă se ţine cont de interpretarea geometrică a deriatei şi anme: dy y ' tg ϕ dx ϕ arctg y şi prin deriare în raport c x se obţine: dϕ dx ' Pe de altă parte din definiţia 9 se obţine: adică: deci: dx dx K ' ( ) R ( ) 3/ ' 3/

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 7 Obseraţia Dacă crba plană (Γ) este dată în reprezentare implicită: (Γ) : F(x y) (x y) D R atnci conform formlelor de deriare a fncţiilor implicite: F' d d F' d ( F' x ) F' x ( F' y ) dx ( F' ) y x x ' F' y dx dx F' y y ' y ( F'' F'' xy ) F' x ( F'' yx F'' ) x y F ( F' ) y Deoarece clasa crbei este cel pţin (teorema li Schwarz este îndeplinită F '' F' ) se obţine: xy ' yx ( F' ) 3 y F' d dx (F' x ) F'' y F' x F' y F'' xy (F' y ) F'' x ' Crbra şi raza de crbră a atnci expresiile: F' x F' y F'' xy (F' y ) F'' x (F' x ) F'' y K x y xy ( F' ) 3/ x F' y 3/ ( F' F' ) x R F' F' F'' (F' ) F'' (F' ) F'' y y x x y în care deriatele snt calclate în pnctl considerat Obseraţia 3 Dacă crba plană (Γ) este dată în reprezentare parametrică: ( Γ) : x x(t) y y(t) t ( t t ) R atnci se obţin formlele: y& x& && y && x y& ' x& x& Expresiile crbrii şi razei de crbră dein:

8 Geometrie diferenţială x& && y && x y& K ( x& y& ) 3 / 3/ ( x& y& ) R x& && y && x y& în care deriatele snt calclate în pnctl considerat 7 Contactl între doă crbe plane Noţinea de contact între crbe plane descrie analitic sitaţii cm snt cele prezentate în figra 5 Intiti problema contactli se pne în pnctele comne ale celor doă crbe plane şi măsoară cât de mlt se apropie na de alta în ecinătatea acestor pncte Problema intersecţiei a doă crbe plane îşi are solţia în problema algebrică de rezolare a sistemli format din reprezentările analitice ale celor doă crbe (Γ ) M M (Γ ) Fig 5 (Γ ) (Γ ) Se consideră crbele plane de reprezentări analitice: ( Γ ) : x x(t) y y(t) t ( t t ) R ( Γ ): F(x y) (x y) D R ambele de clasă k k F(x y) x x(t) y y(t) care este echialent c ecaţia: N Pnctele lor comne se obţin prin rezolarea sistemli: ( x(t) y(t) ) φ ( t) F Cele doă crbe a forma c atât mai asemănătoare în ecinătatea ni pnct M (t ) c cât ordinl de mltiplicare al li t ca solţie a ecaţiei φ(t) este mai mare

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 9 Definiţia 3 Doă crbe plane a într-n pnct comn n contact de ordinl n dacă în acel pnct snt confndate n pncte comne celor doă crbe Teorema 4 Fie crbele plane (Γ ) şi (Γ ) de clasă k k N date respecti prin ecaţiile: ( Γ ) x x(t) : y y(t) t ( t t ) R ( Γ ): F(x y) (x y) D R Condiţiile ca într-n pnct comn M (t t ) să existe n contact de ordinl n n k snt: φ(t ) φ (t ) φ (n) (t ) φ (n) (t ) nde: φ ( t) F x(t) y(t) ( ) Demonstraţie Dpă cm s-a arătat mai ss determinarea pnctelor de intersecţie între cele doă crbe plane (Γ ) şi (Γ ) reine la rezolarea ecaţiei φ(t) Fie t i (i k s) rădăcinile sale reale Acestor alori ale parametrli t le corespnd pnctele Mi ( x(ti ) y(ti) ) comne crbelor (Γ ) şi (Γ ) Dacă în pnctl M corespnzător alorii t a parametrli t cele doă crbe plane a n contact de ordinl n atnci pe baza definiţiei 3 rezltă că t t este o rădăcină de ordinl n de mltiplicitate pentr ecaţia φ(t) c alte cinte se obţin relaţiile: φ(t ) φ (t ) φ (n) (t ) φ (n) (t ) Obseraţia 4 Teorema 4 caracterizează contactl de ordinl n pentr doă crbe plane într-n pnct comn al lor în cazl în care o crbă este dată în reprezentare parametrică iar a doa în reprezentare implicită iar teorema rmătoare se referă la cazl în care ambele crbe snt date în reprezentare explicită Teorema 5 Dacă doă crbe plane (Γ ) şi (Γ ) de clasă k k prin ecaţiile explicite: ( ) y f (x) Γ x (x x ) R : ( ) y f (x) Γ x (x 3 x 4 ) R : N date respecti a într-n pnct comn M n contact de ordinl n n k atnci fncţiile f (x) f (x) şi deriatele lor până la şi inclsi ordinl n snt egale în acel pnct deriatele de ordinl n a alori distincte în pnctl respecti Demonstraţie Dpă cm s-a menţionat mai ss găsirea pnctelor comne a doă crbe plane reine la rezolarea sistemli format din reprezentările analitice ale celor doă crbe (Γ ) şi (Γ ) adică la rezolarea sistemli:

3 Geometrie diferenţială y f(x) y f (x) care este echialent c sisteml: y fi (x) f(x) f (x) (i sa ) Prin rezolarea ecaţiei: E(x) f (x) f (x) se obţin abscisele pnctelor comne celor doă crbe plane fie acestea: adică: x x x x s f (x i ) f (x i ) ( ) i { s} Dacă se prespne că x x este abscisa pnctli M în care cele doă crbe a n contact de ordinl n înseamnă în conformitate c definiţia 3 că în pnctl M se confndă n pncte comne celor doă crbe adică x x este rădăcină a ecaţiei E(x) de ordinl n de mltiplicitate Analitic aceasta reine la faptl cnosct din analiza matematică: E(x ) E (x ) E (n) (x ) şi E (n) (x ) Dacă se ţine cont de notaţia făctă pentr E(x) ltimele relaţii se pot scrie sb forma: f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (n) (x ) f (n) (x ) şi f (n) (x ) f (n) (x ) Propoziţia Tangenta la o crbă plană de clasă k k într-n pnct ordinar al să are c aceasta n contact de cel pţin ordinl Demonstraţie Fie M (t t ) n pnct ordinar al crbei plane (Γ) dată în reprezentare parametrică: şi ( Γ) (T) : x x(t) : y y(t) t ( t t ) R x x(t ) y y(t ) x(t & ) y(t & ) ecaţia tangentei în M la crba (Γ) Dacă se notează: x(t) x(t ) y(t) y(t ) φ (t) x(t & ) y(t & )

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 3 se erifică şor că: φ(t ) φ (t ) Exempll 3 Se consideră crbele plane: (Γ ) : y e x x (Γ ) : y x a) Să se afle ordinl contactli lor în pnctl comn b) Să se calcleze crbra lor în acel pnct Solţie: a) Fie fncţia: x x E(x) e x Zerol fncţiei E(x) adică abscisa pnctli de intersecţie a crbelor (Γ ) şi (Γ ) este x Se poate c şrinţă erifica nicitatea acestei solţii Rezltă că pnctl comn are coordonatele ( ) Se calclează: x E'(x) x (e x ) x x E''(x) x (e ) x x E'''(x) x e x Rezltă că cele doă crbe a în pnctl comn n contact de ordinl adică trei pncte confndate b) În pnctl comn crbrile celor doă crbe snt egale deoarece ordinl contactli în acest pnct este deci ele admit acelaşi cerc osclator K (e )'' x 3/ 3/ 3/ x [ (e )' ] x 8 Cercl osclator al nei crbe plane Fie crba plană (Γ) de clasă k k Se stdiază în continare existenţa ni cerc al cări contact c (Γ) în pnctl ordinar M (Γ) să fie de cel pţin ordinl Definiţia 4 Se nmeşte cerc osclator al nei crbe plane într-n pnct ordinar cercl care are c crba în pnctl ordinar n contact de cel pţin ordinl În scopl stdierii existenţei cercli osclator fie crba (Γ) dată în reprezentare parametrică:

3 Geometrie diferenţială x x(t) ( Γ) : y y(t) t ( t t ) R şi M (Γ) n pnct ordinar corespnzător la t t Se cată ecaţia cercli sb formă implicită: (C) : (x - α) (y - β) - R nde (α β) - coordonatele centrli cercli şi R - raza cercli se determină din condiţiile de contact În conformitate c teorema 4 în care: [ x(t) α] [ y(t) β] R {[ x(t) α] x(t) & [ y(t) β] y(t) & } {[ x(t) α] & x(t) [ y(t) β] && y(t) x& (t) y& (t)} φ ( t) φ '(t) φ ''(t) condiţiile de contact de cel pţin ordinl între (Γ) şi (C) în M (t ) snt: φ(t ) φ (t ) φ (t ) Rezltă că α β R snt solţiile sistemli de ecaţii: nde: (x (x (x α) α) x& α) && x (y (y (y β) R β) y& β) && y (x& y& x x(t ) y y(t ) & x(t ) & y(t ) & & x(t ) & & y(t ) x & ) y & x & y & Dacă se consideră necnosctele (x - α) (y - β) în sisteml format de ltimele doă ecaţii de mai ss în ipoteza: x& && x y& && y prin regla li Cramer se obţine: x y& ( x& y& ) x& ( x& y& ) α y β x& && y && x y& x& && y && x y& de nde se dedc pentr coordonatele centrli cercli osclator expresiile: y& ( x& y& ) x& ( x& y& ) α x y x& && y && x y& β x& && y && x y& Pentr a afla raza cercli se înlociesc alorile pentr (x - α) şi (y - β) în ecaţia φ(t ) şi se obţine:

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 33 R ( x& y& ) 3/ x& && y && x y& Dacă crba plană (Γ) este dată în reprezentare explicită: ( ): y f (x) Γ x (x x ) R atnci prin trecerea la reprezentarea parametrică: se obţine: ( Γ) x t : y f (t) t (t t ) R x & & x y & f ' & y f '' t x şi deci coordonatele centrli cercli osclator şi raza cercli osclator într-n pnct ordinar M (x ) (Γ) la crba dată în reprezentare explicită snt date de: ( ) ( ) ( ) α x β y R ' ' 3/ ' Pentr a răspnde complet la problema existenţei cercli osclator trebie cercetat cazl: x& && x y& && y sa pentr reprezentarea explicită (Γ) : y y(x) x (x x ) R ecaţia echialentă: ' care condce la ecaţia diferenţială: y de nde prin integrare se obţine: y c x c adică ecaţia nei familii de drepte S-a demonstrat astfel: Teorema 6 Orice crbă plană de clasă cel pţin în ecinătatea ni pnct ordinar al ei admite n cerc osclator şi nmai nl în acel pnct care are coordonatele centrli şi raza date de expresiile:

34 Geometrie diferenţială y& ( x& y& ) x& ( x& y& ) ( x& y& ) α x β y x& && y && x y& x& && y && x y& pentr cazl în care crba este dată în reprezentare parametrică: 3/ R x& && y && x y& sa: ( Γ) x x(t) : y y(t) t (t ( ) α x ' t ) R 3/ ( ) β y R ' ' pentr cazl în care crba este dată în reprezentare explicită: ( ): y f (x) Γ x (x x ) R Definiţia 5 Pnctl M (t ) (Γ) se nmeşte pnct de inflexine al crbei (Γ) dacă în el se erifică condiţia: x& && x y& && y Obseraţia 5 Se remarcă deci că în pnctele dreptelor în pnctele ni arc - segment de dreaptă - al nei crbe în pnctele de inflexine ale nei crbe n se poate ataşa cerc osclator Exempll 4 Să se determine ecaţia cercli osclator la elipsă în pnctl de intersecţie al acesteia c semiaxa pozitiă a absciselor Solţie: Pnctl considerat este A(a ) iar ecaţiile parametrice ale elipsei snt: ( E): x a cos t y b sin t Pnctl A corespnde alorii t Coordonatele centrli cercli osclator snt: sa: x& (t) && y(t) α x(t) y(t) & x(t) & && y(t) && x(t) y(t) & x& (t) && y(t) β y(t) x(t) & x(t) & && y(t) && x(t) y(t) & t t

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 35 b a α a b ab b β ab b a

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 35 Raza cercli osclator este: [ x(t) & y& (t)] 3/ R x(t) & && y(t) && x(t) y(t) & (b ) t ab 3/ b a Ecaţia cercli osclator cătat este: 4 a b b (C) : x y a a 9 Pncte mltiple ale nei crbe plane Definiţia 6 Se spne că M este n pnct mltipl de ordinl p al crbei plane (Γ) de clasă k k p dacă prin M crba trece de p ori Obseraţia 6 Dacă p pnctl M este n pnct dbl al crbei (Γ) (fig 6) dacă p 3 pnctl M este n pnct tripl (fig 7) M (Γ) M M p (Γ) p 3 Fig 6 Fig 7 Teorema 7 Fie crba plană (Γ) de clasă k k (Γ) : F(x y) (x y) D R N dată în reprezentare implicită: şi M (Γ) Dacă M (x y ) este n pnct mltipl de ordinl p p k al crbei plane (Γ) atnci în M se anlează toate deriatele parţiale până la şi inclsi ordinl p- fără a se anla şi toate deriatele parţiale de ordinl p: şi x x r r m p F y F s y s ( x y ) ( x y ) ( ) (r s) astfel încât r s m m { p-} pentr cel pţin o pereche (r s) c proprietatea r s p

36 Geometrie diferenţială Demonstraţie Se consideră M (x y ) n pnct mltipl de ordinl p p k al crbei (Γ) dată în reprezentare implicită: (Γ) : F(x y) (x y) D R şi fie (d) o dreaptă ce trece prin M de direcţie (l m) deci a cărei reprezentare parametrică este: ( d) x x : y y l t m t t R pnctl M se obţine pentr aloarea zero a parametrli t (fig 8) Intersecţia dintre crba plană (Γ) şi dreapta (d) reine la rezolarea sistemli: x x l t y y m t F(x y) M (Γ) (d) care este echialent c sisteml: x x l t y y m t F(x l t y m t) Fig 8 ltima ecaţie a acesti sistem este ecaţia care determină alorile parametrli t corespnzătoare pnctelor de intersecţie Dacă se aplică formla li Taylor pentr fncţii de doă ariabile din ltima ecaţie a sistemli se obţine: F(x y ) t! (p ( l F' m F' ) t p ) 3 t () t (3) ( l F' m F' ) ( l F' m F' ) ( l F' m F' ) x x y p! y! x y 3! x y nde: F F F F' (x y ) F' (x y ) x y x F'' x (x y ) y y etc x y Dacă M este n pnct mltipl de ordinl p această ecaţie în t trebie să aibă pe t ca rădăcină mltiplă de ordinl p ceea ce implică condiţiile ennţate Obseraţia 7 Deoarece pentr orice pnct mltipl de ordinl p p a loc condiţiile:

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 37 F x (x y ) F y (x y ) rezltă că el este n pnct singlar al crbei (Γ) Teorema 8 Se consideră o crbă plană (Γ) de clasă k k implicită: (Γ) : F(x y) (x y) D R N dată în reprezentare şi fie M (x y ) n pnct dbl al crbei (Γ) Atnci pantele tangentelor la cele doă ramri ale crbei plane (Γ) care trec prin el snt date de relaţia: F '' m F' ' x m F' ' y y x Demonstraţie Panta tangentei într-n pnct dbl M (x y ) la crba plană (Γ) este dată de formla: m F' F' x y (expresia este o nedeterminare de tip în cazl pnctli dbl M ) Se ridică nedeterminarea dacă se aplică regla li l Hôspital: m lim M M F' F' x y F' ' F' ' x xy F' ' xy F' ' y F' ' F' ' x xy m F' ' xy m F' ' y de nde rezltă relaţia ennţată Obseraţia 8 Realizantl ecaţiei de gradl doi în m este: x y ' F'' F'' F' ' ( 4 ) x y În fncţie de semnl li se disting trei cazri în ceea ce prieşte natra pnctelor dble: Dacă > se obţin m m (reale) În acest caz în pnctl dbl există doă tangente reale şi distincte Pnctl dbl M este n nod (fig 9) Dacă se obţin m m (reale) În acest caz în pnctl dbl există doă tangente reale confndate Pnctl dbl M este n pnct de întoarcere (de primă speţă - fig 3; de a doa speţă - fig 3; de contact (tacnod) - fig 3) 3 Dacă < se obţin m m imaginare În acest caz în pnctl dbl n se pot dce tangente reale la crbă Dacă se ţine cont de definiţia 4 rezltă că n există pncte pe crbă într-o ecinătate sficient de mică a pnctli dbl Pnctl M este n pnct izolat (fig 33)

38 Geometrie diferenţială M (Γ) M M (T ) (T ) (T ) (T ) (T ) (T ) (Γ) (Γ) Fig 9 Fig 3 (Γ) Fig 3 M (T ) (T ) (Γ) M Fig 3 Fig 33 Obseraţia 9 Dacă p 3 (M pnct tripl) membrl doi al relaţiei: F' ' F'' x x y F'' F' ' xy y este tot o nedeterminare de tip care ridicată din no c regla li l Hôspital a condce la implicaţii de natră algebrică; şamd Exempll 5 Să se stdieze pnctele singlare ale crbei: (Γ) : y (x a) (x b) a b şi să se scrie ecaţiile tangentelor corespnzătoare lor Solţie: Se notează F(x y) y (x a) (x b) Pnctele singlare ale crbei de ecaţie F(x y) se află printre solţiile sistemli: adică: F(x y) F' x (x y) F' y (x y) y (x a) (x b) (x a) (x b) (x a) y

Capitoll Elemente de geometrie diferenţială a crbelor plane 39 Solţia sistemli anterior este: x a y Se obţine pnctl A(a ) Deriatele parţiale de ordinl doi ale fncţiei F(x y) snt: F'' (3 x b a) F'' x xy F'' şi calclate în A(a ) ele snt: F'' x (b a) F'' x F'' deci discriminantl 4 (a b) Dacă a > b atnci > şi pnctl A este nod Din ecaţia: y y y adică: rezltă m ( F'' ) F'' m F'' m x y y x m (a b) ± a b şi ecaţiile tangentelor la crba plană (Γ) în pnctl A snt: (T ) : y ± a b (x a) Dacă a b atnci şi pnctl A este de întoarcere iar ecaţia tangentei deine: (T) : y 3 Dacă a < b atnci < şi pnctl A este pnct izolat Exempll 6 Să se stdieze pnctele singlare ale crbei: (Γ) : x 4 ax y ay 3 şi să se scrie ecaţiile tangentelor corespnzătoare lor Solţie: Sisteml algebric: 4 3 F(x y) x ax y ay 3 F' x (x y) 4 x 4 axy F' y (x y) ax 3 ay