ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

1 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεής στο Δ f ()=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είναι σταθερή στο Δ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ισύει μόνο για διάστημα και όι για ένωση διαστημάτων Ισύει και το αντίστροφο του θεωρήματος Απόδειξη: Πρέπει να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ϵ Δ ισύει f( ) =f( ) Αν = τότε f( ) = f( ) Αν < τότε από Θ.Μ.Τιμής στο [, ] έω ότι υπάρει ξϵ(, ) ώστε: f (ξ) = f( )f( ) και επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ θα έω f (ξ) = 0 άρα f( ) = f( ). Παρόμοια όταν < Έστω οι συναρτήσεις f,g ορισμένες στο Δ f,g συνεείς στο Δ f ()=g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Τότε υπάρει σταθερά c ώστε να ισύει f()=g()+c Απόδειξη: Αφού f ()=g () f ()-g ()=0 (f-g) ()=0 (f-g)()=c f()-g()=c f()=g()+c ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ισύει μόνο για διάστημα και όι για ένωση διαστημάτων ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Για μια συνάρτηση f ορισμένη στο R ισύει: f ()=f() f() =ce ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ Όπως και στο Θ.Rolle η προσπάθειά μας είναι ρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης, να καταλήξω στην παράγωγο μιας παράστασης ίση με το μηδέν, ή στην ισότητα των παραγώγων δύο παραστάσεων. Μτά ρησιμοποιούμε τις δύο βασικές συνέπειες του Θ.Μ.Τ που αναφέρονται παραπάνω. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Πρέπει να επαναλάβετε τις εργασίες του Θ. Rolle και να τις συγκρίνετε. ΠΡΟΣΟΧΗ Πρόβλημα 1 Είναι δυνατόν μία συνάρτηση να έει παράγωγο f ()=0 για κάθε Α f και να μην είναι σταθερή; Απάντηση: ΝΑΙ Τα θεωρήματα διατυπώθηκαν για διάστημα και όι για ένωση διαστημάτων. Θεωρούμε τη 1 αν 0 < < 1 συνάρτηση f() = αν < < 3 Παρατηρούμε ότι f () = 0 στο πεδίο ορισμού της αλλά δεν είναι σταθερή Πρόβλημα Αν για τη συνάρτηση f, ισύει f ()=0 για κάθε (0,1) (1,) και η συνάρτηση είναι συνεής στο [1,], να δείξετε ότι η f είναι στεθερή στο [1,] Η συνάρτηση f είναι σταθερή στο (0,1) και στο (1,). Έστω λοιπόν f()=α, με α R για κάθε (0,1) και f()=β, με β R για κάθε (1,) Αφού είναι συνεής στο = 1 θα έουμε ότι 1 f() = f(1) = α και f() = f(1) = β

Αλλά f() = f() α = β Από τη συνέεια στο 0 έω f() = f() = α και από τη συνέεια της f στο έω f() = f() = β = α. Επομένως για κάθε [1,] έουμε f()=α και επομένως σταθερή στο [1,] ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Από το παραπάνω οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι, αν με εξαίρεση ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων σε όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος Δ έουμε f ()=0, και η f είναι συνεής στο Δ, τότε η f είναι σταθερή στο Δ. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισύει f ()=f(). Να αποδείξετε ότι f()=ce με c R f () = f() f () e = f() e f () e f() e = 0 (f() e ) = 0 f() e = c f() = ce. Αν μας ζητηθεί να υπολογίσουμε τη σταθερά c τότε πρέπει να μας δώσουν επιπλέον δεδομένα π. f(0)=1 τότε αντικαθιστώντας στην f() = ce όπου το μηδέν έω: f(0) = c e 1 = c και τελικά έουμε f() = e Παράδειγμα Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() 0 αν ξέρουμε ότι για κάθε R ισύει f () = 3f () Να βρεθεί ο τύπος της αν f(1)=1 Αφού f() 0 θα ισύει f () f = 3 () f() = 3 f() = 3 + c f(1) = 3 1 + c + 3 = c c = 1 Αρα f() = 3 1 f() = 3 + 1 4 f() = 3 + 1 Παράδειγμα 3 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. Να βρεθεί ο τύπος της αν f () = 1 με f(1) = f( 1) = 3 Παρατηρούμε ότι το πεδίο της δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων Α f = (, 0) (0, + ). Από την f () = 1 f () = (ln ) f() = ln + c αν > 0 ln + c αν < 0 Αφού f(1) = 3 έω ln 1 + c = 3 c = 3 και αφού f( 1) = 3 έω ln 1 + c = 3 c = 3 και επομένως τελικά ο τύπος της συνάρτησης είναι f() = ln + 3, με R Παράδειγμα 4 Έστω συνάρτηση f:r R η οποία είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη με: ( 1)(f () + 1) = f() για κάθε R. Αν f (1) = να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f () είναι σταθερή

3 β) f() =, για κάθε R Παραγωγίζοντας δύο φορές την δοθείσα έω: f () + 1 + ( 1)f () = f () ( 1)f () = f () 1 και παραγωγίζοντας έω f () + ( 1)f () = f () ( 1)f () = 0. c αν < 1 Αν 1 τότε f () = 0 τότε f () = c αν = 1 και επειδή f είναι συνεής αφού υπάρει c αν > 1 η f θά έω f () = f () = f (1) c = c =. Αρα f () = για κάθε R Αν θέσω στη f () + 1 + ( 1)f () = f () όπου = 1 έω f (1) = 1. Από την f () = έω f () = + α f (1) = + α 1 = + α α = 1. Αρα f () = 1 και επομένως f() = + β. Αν στην αρική θέσω όπου = 1 έω f(1) = 0 f(1) = 0. Επομένως f(1) = 1 1 + β = 0 β = 0 και τελικά f() = Παράδειγμα 5 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισύει: f () = 3 + f() για κάθε R Να βρεθεί ο τύπος της αν η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο (1,f(1)) είναι ίση με 4 Από τη δοθείσα έω f () f() f () f() = f () f() = και με 0 έω: = f() = ( ) με 0. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R είναι και συνεής στο R και επομένως και το πηλίκον f() είναι συνεής συνάρτηση στο R. Και επομένως θα ισύουν f() = + c αν < 0 + c αν > 0 Επειδή αν στην αρική θέσω όπου = 0 έω ότι f(0) = 0 και η f() f(0) f() παράγωγος στο 0 υπάρει τότε f (0) = = πρέπει να ισύει f() = f() + c ( ) = ( + c ) c = c και επομένως θά έω f() = + c αν < 0. Επειδή η f είναι συνεής στο 0 αφού είναι παραγωγίσιμη θα ισύει + c αν > 0 + c αν < 0 f() = 0 αν = 0 και επειδή f(1) = θα έω 1 + c 1 = c = 1 και τελικά + c αν > 0 f() = +. Το f(1) = διότι αν στη δοθείσα θέσω όπου = 1 και λάβω υπόψη μου ότι f (1) = 4 τότε θα ισύει: 1 f (1) = 1 + f(1) f(1) = 3

4 ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 1. Παραγωγίζουμε ως προς τη μία από τις δύο μεταβλητές. Ορισμένες φορές παραγωγίζουμε σταδιακά και ως προς τις δύο μεταβλητές 3. Πρέπει να προσέξουμε αν η συνάρτηση που μας δίνει είναι παραγωγίσιμη. Αν όι πρέπει να πάμε υπορεωτικά με τον ορισμό της παραγώγου Παράδειγμα 1 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισύει: f( + ψ) = f()f(ψ)για κάθε, ψ R Να βρεθεί ο τύπος της αν f (0)=1 Παραγωγίζοντας ως προς ψ έω f (+ψ)(+ψ) =f()f (ψ) f (+ψ)=f()f (ψ) για κάθε, ψ R. Για ψ = 0 έω: f () = f()f (0) f () = f() f() = ce με c R. Και από την f ( + ψ) = f()f (ψ)για = ψ = 0 έω f (0) = f(0)f (0) f(0) = 1 f(0) = ce 1 = c. Αρα f() = e ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν στα δεδομένα δεν μας έδινε ότι η f είναι παραγωγίσιμη, τότε έπρεπε να πάμε με τον ορισμό της παραγώγου. Αν θέσω στη δοθείσα ψ=0 έω f()=f()f(0) f()(f(0)-1)=0 για κάθε R. Άρα f()=0 η f(0)=1 για κάθε R. Η f()=0 δεν γίνεται διότι τότε f (0)=0. Άρα f(0)=1 Για να βρώ τη παράγωγο στο τυαίο πρέπει να βρώ το = h = + h και του τότε το h 0 και έω f( + h) f( ) f( )f(h) f( ) f( )(f(h) 1) = = h h h h h h f() f( ) προς τούτο θεωρώ f() f( ) = f(h) 1 = f( ) = h h = f( )f (1) = f( ). Αρα τελικά έω ότι f ( ) = f( )για τυαίο. Μπορώ επομένως να γράψω f () = f() και όπως προηγουμένως f() = e Παράδειγμα Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R για την οποία ισύει: f( + ψ) = f() f(ψ) για κάθε, ψ R. Να δείξετε ότι f() = 0 για κάθε R Παραγωγίζω ως προς και έω f ( + ψ) = f ()και για = 0 και ψ = έω f () = f (0) Παραγωγίζω ως προς ψ και έω f ( + ψ) = f (ψ) και για ψ = 0 έω f () = f (0) Από τα δύο προηγούμενα έω ότι f (0)=-f (0) f (0)=0. Αρα ισύει και f () = 0 f() = c R. Αν στην δοθείσα θέσω = ψ = 0 τότε f(0) = f(0) f(0) f(0) = 0. Επομένως f(0) = c 0 = c. Αρα f() = 0 Παράδειγμα 3 Δίνεται συνάρτηση f: (0, + ) R και παραγωγίσιμη στο 0 = 1, με f (1) = 1. Αν ισύει f(ψ) = f(ψ) + ψf() για κάθε, ψ > 0 α) Να αποδείξετε ότι f () = 1 + f() β) f() = ln, με > 0 α. 4

5 Για να βρούμε την παράγωγο πρέπει να πάμε με τον ορισμό. Πρέπει να βρούμε την παράγωγο Προς τούτο πρέπει να βρούμε το όριο f() f( ). Γι αυτό θέτω = h = h και όταν τότε h 1. Επομένως f() f( ) f( h) f( ) f(h) + hf( ) f( ) = = = f(h) h 0 h h 0 0 (h 1) h 0 (h 1) + f( ) h 1 0 h 1 = f(h) h h 1 + f( ) = 1 + f( ) f() f(1) f() διότι το f (1) = = = 1 αφού το f(1) = 0 το 1 1 οποίο προκύπτει αν στη δοθείσα θέσω =ψ=1 τότε f(1)=1 f(1)+1f(1) f(1)=0 Αφού το είναι τυαίο τότε θα ισύει για κάθε > 0. Επομένως f () = 1 + f() β. Από την f () = 1 + f() f () f() f () = + f() f () f() = = 1 f() = (ln) f() = ln + c και επειδή f(1) = 1 έω f(1) = ln1 + c 0 = 0 + c c = 0 1 Επομένως f() = ln f() = ln με > 0 5

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν ( + 1) f () е f() = 1 για κάθε ϵr να βρεθεί ο τύπος της f ΑΣΚΗΣΗ Αν για τη συνάρτηση f: ( 1, + ) R ισύει f f()(1 + lnx) () = lnx με f() = 1. Να βρεθεί ο τύπος της f και να δειθεί ότι f(x) = 0 ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για >1 και ικανοποιεί τη σέση f ()lnx f() = ln x με > 1. Αν f(е) = 000 να βρεθεί ο τύπος της f ΑΣΚΗΣΗ 4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και f ( ) = + 1. Αν η C ƒ περνάει από το σημείο Α(0,) να βρεθεί ο τύπος της. ΑΣΚΗΣΗ 5 Βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης ƒ αν ξέρουμε ότι η εφαπτομένη της στο = 1 είναι παράλληλη στην ευθεία ψ--1=0 και >0 е f() 4 = 6 f (). е f() ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης f με f() 0 και για κάθε ϵr ισύει f (). е = f () και f(0)=1 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρεθεί ο τύπος της f αν f(1) = е και + 1 f () = f() + е + 1 για κάθε > 0 ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() 0 αν ξέρουμε ότι για κάθε ϵr ισύει f () = 3f () Να βρεθεί ο τύπος της αν f(1)=1 ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν για την συνάρτηση g (1, + ) R ισύει g () = Να βρεθεί οτύπος της g και να δειθεί ότι: g() = 0 ΑΣΚΗΣΗ 10 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισύει g()(lnx + 1) lnx και g() = 1. f () = ( + 1)f() για κάθε ϵr και f(1) = e, f( 1) = 1. Να βρεθεί ο τύπος της e 6

7 ΑΣΚΗΣΗ 11 Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ( + 1) = 3 + για κάθε ϵr. Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(3,1) είναι παράλληλη της ευθείας ψ=+7. Να βρεθεί ο τύπος της ΑΣΚΗΣΗ 1 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ()=(-)f() για κάθε ϵr. Αν η γραφική της παράσταση περνάει από το σημείο Α(0,e) να βρεθεί ο τύπος της. ΑΣΚΗΣΗ 13 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f()>0 για κάθε ϵr και για την οποία ισύει f() f ()=18 και f(0)=0. Να βρεθεί ο τύπος της. ΑΣΚΗΣΗ 14 Δίδεται συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: f(1)=6 και f(5)=30 f(+ψ)-f()=κψ+ψ Να δειθούν ότι: 1. κ=. Να βρεθεί ο τύπος της f ΑΣΚΗΣΗ 15 Να βρείτε συνάρτηση f συνεή σε όλο το R και παραγωγίσιμη στο R-{}, με f () = f() και της οποίας η γραφική παράσταση διέρεται από τα σημεία Α(1,3) και Β(3,4) ΑΣΚΗΣΗ 16 Να βρείτε συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και για την οποία ισύουν f (0)=f(0)=1 και f ()=f() για κάθε ϵr ΑΣΚΗΣΗ 17 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R για την οποία ισύει : f( + ψ) + f( ψ) = f() για κάθε, ψ R. Αν f (0) = f(0) = 1, τότε: Να βρείτε τον τύπο της ΑΣΚΗΣΗ 18 Μια συνάρτηση f:r R είναι παραγωγίσιμη με f(0)=f (0)= και για κάθε,ψ R ισύει: f( + ψ)f( ψ) = f (). Να αποδείξετε ότι: α). f () = f() γιακάθε R και β) f() = e για κάθε R ΑΣΚΗΣΗ 19 α. Μια συνάρτηση f:r R είναι παραγωγίσιμη στο R και για την οποία ισύουν f( + ψ) f()f(ψ) + ψ για κάθε, ψ R και f(0) = f (0) = 1. Να αποδείξετε ότι: α. f( + h) f() f()[f(h) 1] + h β. f () = f() + γ. [ ( + 1)e ] = e δ. f() = e 1 για κάθε R ΑΣΚΗΣΗ 0 Αν για τη συνάρτηση f:r R με f(0)=1 ισύει: e f(ψ) e f() 010( ψ), για κάθε, ψ R να δείξετε ότι: f() = e για κάθε R ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, με f(0)=, για την οποία ισύει: f()f () = e για κάθε R. 7

8 α) Να αποδείξετε ότι f()>0 για κάθε R β) Να βρεθεί ο τύπος της ΑΣΚΗΣΗ 1 Εστω η συνάρτηση f: R R, με f(0) = 0 και f () = f, για κάθε R και f() ±1 () 1 για κάθε R. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα να αποδείξετε ότι η f έει αντίστροφη και μάλιστα f () =, f(r) 3 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισύει: f ( ) + f () = για κάθε R και f(1) = 1. Να δείξετε ότι f() + f( ) = + 3 για κάθε R. ΑΣΚΗΣΗ 4 1, < 0 Εστω συνάρτηση f με f () = 3. Αν f(1) = να βρείτε την f 1, 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 Εστω συνάρτηση f: (0, + ) Rγια την οποία ισύει: f () = ( ln)e για κάθε > 0 και f(1) = 0. Να δείξετε ότι f() = e ln ΑΣΚΗΣΗ 6 Εστω συνάρτηση f: (0, + ) Rγια την οποία ισύει f () = 1 για κάθε > 0. 1 + Αν f(1) = 0. Να δείξετε ότι f 1 = f() ΑΣΚΗΣΗ 7 Εστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν f() > 0 και f () f() = f () + f () για κάθε R. Αν f (0) = f(0) = 1 να βρείτε το τύπο της f ΑΣΚΗΣΗ 8 Εστω μια συνάρτηση f: R R με f() > 0 και f () f () = f() για κάθε R. Αν f (0) = 0 και f() = e, να βρείτε τον τύπο της f 8