Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: srede med 9:00 in 11:30 pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN -...) Prosojnice izdelane po viru: Stropnik Jože, Šterk Peter, Juhart Karli: Statika: učbenik za mehaniko Palični nosilci - paličja V praksi velikokrat naletimo na nosilne sisteme, ki so sestavljeni iz več nosilnih elementov - palic. Tak nosilec imenujemo palični nosilec ali kar paličje. Palica je raven nosilni element s poudarjeno eno dimenzijo (dolžino) in s členkastim vpetjem na obeh koncih. Zaradi takega vpetja je lahko palica obremenjena samo v smeri vzdolžne svoje osi z natezno ali tlačno silo. Zaradi tega je edina notranja obremenitev palice osna sila F N. 1
Palični nosilci - paličja Palični nosilci - paličja 2
Palični nosilci - paličja Palični nosilci - paličja 3
Palični nosilci - paličja V praksi so paličja (predalčne konstrukcije) prostorska. Obravnavali bomo samo ravninska paličja. Palični nosilci - paličja V praksi stiki palic niso izvedeni kot pravi členki/tečaji, temveč so palice pritrjene na vozliščno (vozelno) pločevino. Pri jeklenih konstrukcijah so palice običajno kovičene, varjene ali vijačene (včasih tudi lepljene) na vozliščno pločevino. Da v palicah ne bo upogibnih momentov, se morajo težiščne osi vseh palic v vozlišču, sekati v isti točki. 4
Palični nosilci - paličja Kadar palice in sile, ki obremenjujejo palično konstrukcijo, ležijo v isti ravnini, imenujemo takšno konstrukcijo ravninsko paličje. Če delujejo vse zunanje sile (aktivne sile in reakcije) v vozliščih paličja, govorimo o čistem ravninskem paličju. V primerih, ko delujejo obremenitve na konstrukcijo tudi izven vozlišč, imenujemo takšno konstrukcijo mešani nosilni sistem. Palični nosilci - paličja Obravnavali bomo samočista ravninska paličja, ki morajo izpolnjevati naslednje zahteve: vse palice in sile, vključno s silami v podporah, morajo ležati v isti ravnini; težiščne osi palic v vozlišču se morajo sekati v isti točki; zunanje sile (tudi v podporah) morajo obremenjevati palično konstrukcijo izključno v vozliščih; vezave palic v vozliščih morajo zagotavljati členkasto vez, torej morajo biti izvedene tako, da se preko vozlišč ne prenašajo upogibni momenti. V praksi zadostuje, da spoji niso upogibno bolj togi od samih palic. 5
Zunanja in notranja statična določenost paličja Pogoj za zunanje statično določenost ravninskega paličja je enak, kot za ravninski nosilec: N Z = E Z saj je paličje s stališča zunanjih obremenitev ravninski nosilec. Pri paličju pa poznamo tudi notranjo statično določenost. Tudi tu mora biti število neznank enako številu ravnotežnih enačb: N Celot = E Celot Zunanja in notranja statična določenost paličja Ravnotežne enačbe za določitev notranjih sil se da postaviti v vsakem vozlišču. Na voljo sta dve komponentni enačbe, medtem ko je momentna enačba vedno identično izpolnjena (členek). Število notranjih ravnotežnih enačb je tako: E N = 2 v = E Celot, kjer je v število vozlišč paličja. V palicah se lahko pojavi le notranja osna sila, zaradi česar imamo notranjih neznank: kjer je p število palic paličja. N N = p 6
Zunanja in notranja statična določenost paličja Podpore se pri čistem ravninskem paličju nahajajo v vozliščih. V vozliščih so torej dodatne zunanje neznanke, ki jih je potrebno upoštevati: N Z = 3 za ravninsko paličje. Skupno število neznank v paličju je torej: N Celot = N N + N Z Zaradi česar velja: in za ravnino: N Celot = E Celot N N + N Z = E N p + N Z = E N p + 3 = 2 v Primer Primeri paličnih nosilcev so zunanje statično določeni (N Z = E Z ). Ugotovili je potrebno še notranjo statično določenost: Paličje je notranje statično določeno. Paličje je notranje statično nedoločeno. Paličje je notranje statično predoločeno (mehanizem). 7
Notranje sile v palicah V posamezni palici paličja se lahko pojavi samo osna notranja sila F N. Notranje sile v palicah se določajo: grafično (z metodo mnogokotnika sil v vozlišču - Cremonova metoda) analitično (s projekcijskimi ravnotežnimi enačbami ali z metodo reza Ritterjeva metoda). Pred začetkom določanja notranjih sil v palicah, je potrebno vedno preveriti statično določenost paličnega nosilca! Analitična metoda z uporabo projekcijskih ravnotežnih enačb Osnova te metode sta projekcijski ravnotežni enačbi, za sistem sil s skupnim prijemališčem. Metoda je uporabna v vozliščih, kjer sta največ dve neznani sili. Postopek: 0. izris osnovne skice paličja in kontrola statične določenosti (zunanje in notranje); 1. izračun reakcij paličja; 2. v podpore paličja se vriše reakcije (pravilna usmerjenost!); 3. vozlišče z največ dvema neznanima silama izrežemo in narišemo skico vozlišča; 4. vanjo vrišemo vse znane sile; neznani osni sili narišemo v smeri osi palice, proč od namišljenega prereza; 8
Analitična metoda z uporabo projekcijskih ravnotežnih enačb 5. napišemo projekcijski ravnotežni enačbi v smeri izbranih koordinatnih osi ter izračunamo velikosti neznanih sil v palicah; 6. na osnovno skico v obravnavanem vozlišču vrišemo pravilne smeri izračunanih notranjih sil; 7. v bližini nasprotnega vozlišča vrišemo na isto palico puščico z nasprotno usmeritvijo (puščice so v obliki polnih enakostraničnih trikotnikov); 8. poiščemo novo vozlišče, ki ima le dve neznanki ter ga rešimo po prej opisanem postopku. Z reševanjem nadaljujemo, dokler ne izračunamo osnih sil v vseh palicah; 9. sile v palicah lahko prikažemo v razpredelnici, iz katere so razvidne tako po velikosti kot po usmeritvi delovanja (nateg oz. tlak). Primer Analitično določite osne sile v palicah ravninskega paličja, prikazanega na sliki. Velikosti sil sta: F 1 = 5 kn in F 2 = 2 kn. Zunanja statična določenost: N Z = E Z ; 3 = 3 ; Notranja statična določenost: p + 3 = 2 v; p=7; v=5 7 + 3 = 2*5; 10 = 10. 9
Primer Reakcije: F Ax = 2 kn, F Ay = 4,25kN, F By = 0,75kN. Izračunane vrednosti, smeri in usmeritve sil vnesemo v narisano paličje: Primer Notranje osne sile lahko pričnemo določati v vozlišču A ali B. Odločimo npr. za vozlišče B. Narišemo skico vozlišča B, vrišemo znano silo F By in predpostavimo, da sta neznani sili F N6 in F N7 natezni: 10
Vozlišče B Primer Izračunamo kot β in nastavimo ravnotežni enačbi v smereh koordinatnih osi x in y: Primer Smeri sil (puščici) F N6 in F N7 narišemo na osnovno sliko na palici 6 in 7 v bližino vozlišča B. V sosednjih vozliščih smeri puščic obrnemo. Osno silo F N7 smo dobili z negativnim predznakom, kar pomeni, da deluje v palici tlačna sila. Zato smo jo v legopis sil vrisali z nasprotno usmeritvijo. 11
Primer Po prikazanem postopku nadaljujemo z izračunom sil v drugih vozliščih. F N5 Primer Po prikazanem postopku nadaljujemo z izračunom sil v drugih vozliščih. 12
Primer V vozlišču C imamo le še eno neznano silo, zato bi zadoščala že ena ravnotežna enačba. Z drugo ravnotežno enačbo lahko napravimo preizkus. Primer Rezultate podamo v tabeli: Ker sta obe vsoti sil nič, je tudi vozlišče A v ravnotežju. 13
Gibka telesa - vrvi Vrvi se skozi zgodovino uporablja za različne namene, saj zaradi svoje gibkosti zagotavljajo povezavo različnih delov med seboj. Zaradi majhnega raztega so jih že nekdaj uporabljali za privez in prenos raznih bremen. Vrvi so lahko iz rastlinskih vlaken (konoplja, lan), umetnih snovi ali pa iz jekla. Za večje nosilnosti se uporabljajo le jeklene vrvi, ki jih najdemo tako pri gradbenih inženirskih objektih (npr. viseči mostovi) kot pri strojih (npr. žerjavi). Te vrvi so standardizirane. Gibka telesa - vrvi Jeklene vrvi so vite iz tankih jeklenih žic v pramene, ti prameni pa so nato viti v jeklene vrvi - jeklenice. Jeklene vrvi imajo jedro, ki je običajno iz naravnih ali umetnih vlaken in je prepojeno z mastjo. Jedro je lahko tudi jekleno. Jeklena vrv je v natezni smeri približno še enkrat bolj elastična od jeklene palice enakega zunanjega premera, njena upogibna deformabilnost pa je mnogokrat večja. 14
Gibka telesa - vrvi Vitje vrvi je lahko levo, desno ali križno. Pri slednjem so npr. prameni viti levo, vrv pa desno. Križno vita vrv je upogibno bolj toga od istosmerno vite, se pa pod obremenitvijo manj odvija. ŠEST-SNOPNA JEKLENA VRV - STANDARD - 6 x 7 + FC K1 = 0,332, W1 = 0,345 Razpon premerov, ki so na voljo: 1,8-18 mm Področja uporabe: vrvi za po tirih premikajoče se naprave, smučarske vlečnice, vitle in kot montažne vrvi, signalne vrvi itd. ŠEST-SNOPNA JEKLENA VRV - STANDARD - 7 x 7 K1 = 0,388, W1 = 0,384 Razpon premerov, ki so na voljo: 1,8-16 mm Področja uporabe: vrvi za letalske konstrukcije, stroje za delo na cesti in kot napenjalne vrvi, nosilne vrvi itd. ŠEST-SNOPNA JEKLENA VRV - STANDARD - 6 x 19 + FC K1 = 0,307, W1 = 0,346 Razpon premerov, ki so na voljo: 3-25 mm Področja uporabe: vrvi za nagnjene (nagibne) in rudarske žičnice, tovorna dvigala, vitle, vlečenje žičnic, vrvi za po tirih premikajoče se naprave, dvigala, žerjave, bagre, ladje itd. ŠEST-SNOPNA JEKLENA VRV - STANDARD - 6 x 19 + WSC/IWRC K1 = 0,362, W1 = 0,381 Razpon premerov, ki so na voljo: 3-16 mm Področja uporabe: vrvi za letalske konstrukcije, stroje za delo na cesti, vitle in kot napenjalne vrvi, nosilne vrvi itd. ŠEST-SNOPNA JEKLENA VRV - STANDARD - 6 x 37 +FC K1 = 0,295, W1 = 0,346 Razpon premerov, ki so na voljo: 6-36 mm Primeri uporabe: vrvi za zračne žičnice, dvigala, bagre, žerjave, ladje itd. ŠEST-SNOPNA JEKLENA VRV - STANDARD - 6 x 61 = 366 žic K1 = 0,295, W1 = 0,346 Razpon premerov, ki so na voljo: 18-25 mm Področja uporabe: železniški transport. Preseki jeklenih vrvi so označeni glede na število žic in število pramenov Vir: Toneli d.o.o., zajeto 29.01.2011 na: http://www.toneli.si/ ostali-program/ jeklene-vrvi/47-katalog-jeklenih-vrvi; Standardne vrvi VRVI ZA DVIGANJE BREMENA 30 15
Gibka telesa - vrvi Most Golden Gate v San Franciscu visi na jeklenih vrveh Vir: http://boomvisits.com/2012/10/golden-gate-bridge/, ogled 02.04.2013 Gibka telesa - vrvi Med gibka teles kot nosilne elemente lahko štejemo tudi jermene in verige. Tako verige kot vrvi so lahko obremenjene: s točkovnimi silami (obešena bremena) ali z zveznimi obremenitvami (lastna teža, žled, sneg itd.), oz. z obema obremenitvama hkrati. Obravnavali bomo samo neraztegljive vrvi, obremenjene s točkovnimi silami. Vpliv lastne teže vrvi bomo zanemarili. Pod lastno težo sicer dobi vrv obliko posebne krivulje verižnice. 16
Gibka telesa - vrvi Točkovno obremenjena vrv brez vpliva lastne teže ima običajno obliko ravne črte. Oblika vrvi je odvisna od: mesta in velikosti točkovnih obremenitev, velikosti reakcij na mestu vpetja vrvi in od celotne dolžine vrvi. Skupna lastnost vrvi, ne glede na togost, material, način pletenja, namembnost in debelino, je, da lahko vrv prenaša obremenitve le, če sta oba konca vrvi nepomično členkasto vpeta. Tak nosilni sistem je enkrat zunanje statično nedoločen, saj je število neznanih sil večje od števila razpoložljivih ravnotežnih enačb: N = 4 > E = 3. Gibka telesa - vrvi N = 4 > E = 3 Da lahko vrvni sistem razrešimo, moramo poznati dodaten podatek: koordinati vsaj ene točke vrvi med podporama (poznamo smer delovanja ene od reakcij) ali vodoravno komponento reakcije (poznamo eno od neznank). Tak sistem se da rešiti tudi s pomočjo napetostnodeformacijskih enačb (ni več statika). Sile, ki delujejo na vrv, jo obremenjujejo zgolj v smeri njene osi - notranja obremenitev v vrvi je lahko samo natezna osna sila F N. 17
Primer Dva primera vrvi enakih razpetin L, ki sta obremenjeni z enako obremenitvijo F g. Pri enakih dolžinah a in b sta navpični koordinati Y 1 in Y 2 točk C I in C 2 različni. Gibka telesa - vrvi Koordinata Y 1 v prvem primeru je manjša od koordinata Y 2 v drugem primeru. Naklonska kota α in β sta zato v prvem primeru manjša, v drugem pa večja. Trikotnika sil, ki predstavljata ravnotežje vrvi v točki C 1 oz. C 2 pokažeta, da se pojavita večji sili v odsekih vrvi v prvem primeru, ko sta kota α in β manjša in je vrv krajša. α β α β 18
Primer Semafor teže F g = 600 N visi na vrvi, ki je nepomično členkasto vpeta v steni zgradb v točkah A in B. Vrv dobi obliko, prikazano na sliki. Izračunajte velikosti sil F AC v odseku vrvi AC in F CB v odseku vrvi CB ter velikosti vodoravnih in navpičnih sil F Ax, F Bx, F Ay in F By na mestih vpetja A in B. Primer - rešitev V točki C delujejo tri sile s skupnim prijemališčem: teža F g in sili F AC in F CB. Natezni sili v odsekih vrvi izračunamo iz projekcijskih ravnotežnih enačb: 19
Primer - rešitev Naklonska kota α in β izračunamo: Ravnotežni enačbi: Iz prve enačbe izrazimo silo F CB : Primer - rešitev in izraz vstavi mo v drugo enačbo: Sila v delu vrvi CB je: Komponenti reakcij v podpori A izračunamo iz sile F AC : 20
Primer - rešitev Podobno izračunamo komponenti reakcij v podpori B iz sile F CB : Vodoravni komponenti reakcij F Ax in F Bx sta enako veliki. Vodoravna komponenta sile na kateremkoli delu vrvi je namreč vedno enaka. 21