TEORIA ERORILOR DE MĂSURARE ŞI METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE

TEORIA ERORILOR DE MĂSURARE ŞI METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE

Itrodcere Iforaţle, care cotte baza cocretă de date eceară rezolăr robleelor geodezce, fotograetrce ş toografce, ro d oberaţle efectate ara or ăr c care e lcrează frecet ş care, î rcal, t rerezetate de ărătorle de ghr ş dtaţe. Caltatea foraţlor obţte d acete ărător ete fcţe drectă de oll oberaţlor ş de recza tretelor de ărat. Se e aşadar, ca ord de la col etr care t efectate ărătorle ă e tableacă alorle corezătoare ca ăre ş recze, lâd î coderare aectl ecooc refertor la oll trct ecear ş fcet al oberaţlor care e. Teora erorlor de ărare a teora relcrăr ărătorlor geodezce tere c cce ş rezolă faorabl acete aecte. Itretl rcal de coaştere a l aterale îl cotte oberarea ş î cadrl acetea, ărarea. Oeraţa de ărare rereztă roce eeretal de obţere a foraţe b fora raort erc, ître aloarea ăr fzce ărate ş aloarea e alte ăr de acelaş ge coderată dret tate de ără. Scol e cercetăr ştţfce cotă î decoerrea leglor care drjează feoeele atrale, re a f e î ljba acttăţ ae. Petr aceata, ete eceară îbarea cercetăr ştţfce c alcaţa tehcă ractcă, fără de care orce eclaţe abtractă dee terlă. Petr realzarea acet dezderat, ra codţe î alegerea ărlor fzce, îţelegâd r aceata ş ărle care ter î tehcă ş î ractcă, ete ca ele ă fe ărable. Teora erorlor de ărare reztă o ortaţă deoebtă etr ractca ărătorlor teretre, datortă oll reoat de oberaţ ce trebe eectate, relcrate ş coeate î ederea obţer alorlor lor celor a robable, ca ş etr ealarea cât a corectă ş a coletă a recze. Cocâd-e cât a eact ărle erorlor ed ale fecăr arget ărabl î arte, e oate detera eroarea ede a e fcţ de acete argete. Î acet fel, e oate rezola roblea eră a erorlor de ărare, î cadrl cărea, faţă de o eroare aă ă aror e fcţ ce rează a e detera, e a tabl îcă d faza de roect, care trebe ă fe erorle ae c care e or ăra e tere argetele cooete. Aceata dă obltatea tablr recze ote de ărare, c aataje ecooce ortate. Atfel, la realzarea e reţele de traglaţe, eceară rdcărlor toografce, a e reţele de crotraglaţe eceară etr rărrea coortăr e cotrcţ etc., tdl recze de deterare a ozţe ctelor reţele e face îcă d faza de roectare, fcţe de cofgraţa reţele ş de recza c care e or eecta ărătorle e tere. Acet td a răr ca erorle î ozţa ctelor ă e îcadreze î toleraţele e atcat. La fârşt, r coararea erorlor ot-coeate c erorle tablte atcat, e a tea areca corecttdea tdl făct. Stdl erorlor de ărare reztă o ortaţă c totl deoebtă î acele doe ale ărătorlor teretre (Geodeze, Fotograetre, Geodeze ş Toografe alcată î cotrcţ), î care egeţele e î rţa recze t deoebt de rdcate.

SCURT ISTORIC AL TEORIEI ERORILOR DE MĂSURARE ŞI A METODEI CELOR MAI MICI PĂTRATE Problea relcrăr oberaţlor a aărt îtâ î doel atrooe, î ecal dă decoerrea lete de către Galleo-Galle (564 64) ş erfecţoarea cotă a tretelor ş aaratelor de ără. Dă ce teora greştă a tel geocetrc, elaborată ş rezetată de Clad Ptolee (9 68) î lcrarea a Megale Byta, a doat coaşterea ştţfcă crca ecole, ea ete frată de către Ncola Coerc (473 543), care elaborează teora tel helocetrc ş e care o fdaetează î lcrarea Dere şcărle de reolţe ale corrlor cereşt. Marele atroo Johae Keler (57 63), dcoll ş cotatorl l Tycho Brahe (546 6), e baza ărătorlor îataşl ă, dar ş d deterăr eroale, cofră deft teora helocetrcă a l Coerc, decoeră fora eltcă a orbtelor laetelor ş forlează cele tre leg e baza cărora are loc şcarea laetelor î jrl Soarel. A deet clar că etr jta îţelegere a tel de alcătre a Uerl, ete eoe de eectarea ăr are de ărător, c o recze cât a bă ş a căror relcrare ă e facă dă crter cât a corecte. Îăş cofrarea leg atracţe erale, decoertă de Iaac Newto (64 77), -a tt face 8 a a târz, dă ce î Fraţa -a deterat detl de rec, aloarea raze Păâtl. De lte or, recza fcetă a ărătorlor efectate a cod la cotradcţ ître teore ş ractcă. A fot eoe ă e cotracă trete ş aarate de ără c caractertc eroare ş î acelaş t, ă e elaboreze ş o teore adecată a ărătorlor ş a erorlor de ărare. O dezoltare rearcablă a teore erorlor ş a etode celor a c ătrate, a at loc la fârştl ecoll al XVIII lea ş îcetl ecoll al XIX-lea, fd legată de ele l A.M.Legedre, K.F. Ga ş P.S.Lalace. Adre Mara Legedre (75-833) fdaetează etr ra dată teora relcrăr oberaţlor făcâd td ara erorlor ş alcâd-le lteror la relcrarea ărătorlor atrooce. Acete td, îreă c dezoltarea rclor etode celor a c ătrate t cre î lcrarea a No etode etr deterarea orbtelor coetelor aărtă î al 86. Ideedet de A.M.Legedre, ateatcal Karl Frederch Ga (777-855) decoeră etoda celor a c ătrate, e care o alcă tot la relcrarea ărătorlor atrooce. Teora a ete cră î lcrarea Teora şcăr corrlor cereşt ce e rotec î jrl Soarel dă ecţ coce, blcată î 89. Pe lâgă lte alte roblee teoretce, K.F.Ga roe ş forla care e î edeţă reartţa orală a erorlor aleatoare. Î lcrărle ale lteroare, K.F.Ga arofdează latra algebrcă a etode celor a c ătrate, dedcâd o ere de forle eceare ealăr recze ărătorlor. Perre So Lalace (749 87), î tratatl ă de bază Teora aaltcă a robabltăţlor, dă o oă fdaetare teoretcă etode celor a c ătrate, care cotte de fat reza dezoltăr teoretce lteroare. El are ertl de a f făct ş legătra trâă dtre eror ş robabltate, r defrea corectă a forle robabltăţ e eror. Mărarea arcelor de erda ş a lattdlor, ca ş relcrarea acetora, a er deterarea fore ş delor Păâtl e baza cărora -a elaborat tel etrc, te ractc de ăr b etr toate trle ş etr toate ooarele.de aeeea, îtocrea hărţlor ş larlor toografce ale ţărlor, a a îtâ, crearea reţelelor de traglaţe geodezcă de rj. Calclele de coeare a arlor reţele de traglaţe a ecetat dezoltarea corezătoare ş a teore erorlor. Alcarea teore erorlor de ărare ş a etode celor a c ătrate î doel ărătorlor teretre, î ecal al geodeze ş toografe, a fot făctă de retaţ ecalşt roâ Ştefa Parachec, Theodor Poe, Ioa Vrgl, Cotat Motaş, Ioa Plăcţea, Mha P.Botez, dtre e fd ş cadre ertare c lcrăr ştţfce teoretce ş ractce de retg.

Catoll Obectl teore relcrăr ărătorlor geodezce Î geeral, orce roce de ărare ete îoţt de eror, a căror re rcale ot f tetzate dă c rează: caltăţle oeratorl (regătrea rofeoală, tarea a de oet etc.) erforaţele ş tarea de îtreţere ale aaratr tlzate edl îcojrător (clă, egetaţe, zbltate etc.). Ara fecăre re de eror e a ree î cadrl aall î a lte râdr. Petr cşorarea fleţelor dăătoare ale erorlor de ărare, î geodeze î geeral, dar ş î orcare cooetă a acetea (toografe, cadatr, fotograetre ş.a..d.) e eectă ăr lt a are de deterăr decât cel trct ecear ş fcet, î fcţe de recza e care acetea trebe ă o abă la fârşt (dată de trcţ a tabltă r tea lcrăr). U r co rcal al relcrărlor ărătorlor geodezce cotă î deterarea celor a be (a a celor a robable) alor etr fecare dtre ărle ărate. U alt co rcal al orcăre relcrăr de ărător geodezce cotă î deterarea or etator a recze de ărare, care artajează ărătorle efectate d ctl de edere al eacttăţ c care acetea a fot eectate. Î aceată categore de reocăr e oate clde ş deterarea recze rezltatelor fale obţte r relcrare. Calcll recze ete ecear î dferte etae ale relcrăr, dtre care cele a efcate t: relcrăr locale, câd e are î edere, earat, câte et de ărător dtr-o lcrare a are (de eel, deterarea recze de ărare a drecţlor a ghrlor efectată îtr-o gră taţe dtr-o reţea geodezcă de traglaţe) relcrăr î reţea, câd e deteră aţ etator de recze a etr ărle ărate c ş etr rezltatele fale ale lcrăr (de eel, calcll recze coordoatelor ctelor î care -a efectat ărătorle). Prelcrărle ărătorlor geodezce a caracter cole, fd bazate e rc teoretce care a fot eţate aroae î aceeaş eroadă de t, de către Legedre (86) ş Ga (89). 3

Acete rc a fot relate, dezoltate ş coletate, rezltâd etoda de calcl coctă b derea de Metoda celor a c ătrate a Metoda ătratelor e. Pr alcarea acete etode, e realzează obţera or corecţ etr ărle ărate drect (care rec atrbtl fal de ăr coeate). Corecţle ărătorlor care e deteră î dferte etae ale relcrăr, atfac dezderat eeţal ş ae: a ătratelor lor tde către, ceea ce rereztă, î e larg, o codţe îtr- roce de otzare. Pr reectarea acet rc fdaetal, la care e a adagă ş altele, etoda la care e refer a rt derea eţoată a îate. Dtre rcle geerale de bază, e care le reectă orce relcrare a ărătorlor geodezce trebe eţoate char la îcetl catoll, rcl care oate f arecat ca fdaetal: recza fală a e ăr coderate a a lcrăr î aabll e, ete deterată î rocel de ărare ş î cel de calcl. C alte cte, d ărător rece ot rezlta ăr î care tlzatorl ă oată aea îcredere delă. Petr clarfcarea ddactcă a celorlate rc care ta la baza etode celor a c ătrate, t eceare defţ ş clafcăr ale ărătorlor geodezce rec ş ale erorlor care le îoţec... Crter rcale de clafcare a erorlor de ărare Mărea a aloarea e ate ettăţ fzce ărable oate f coctă de către cercetătorl care eectă ărarea, doar î ate lte, orcât de dezoltate ar f tehologle folote la deterarea acetea. Î fcţe de araetr eţoaţ la îcetl catoll, care declaşează aarţa erorlor de ărare, rezltatl fal ete a lt a a ţ rec, dar îtotdeaa afectat de eror. De aceea, a dtre defţle le, dar getă ş corectă î acelaş t, care e oate da etr eroarea de ărare ete rătoarea: Eroarea de ărare = Valoarea ărată a ăr coderate - Valoarea de referţă a ăr coderate (.) Î od aeăător, etr oţea de corecţe a ărător e oate da rătoarea defţe: Corecţa e ărător = - Eroarea e ărător (.) 4

Defţle de a coţ oţea de aloare de referţă a ăr coderate, î raort de care e ot face lte artclarzăr ş clafcăr a erorlor de ărare, dtre care e or rezeta î cotare cele a de tlzate.... Clafcarea erorlor î raort de ărea lor Î raort de crterl eţoat e ot deoeb doă tr rcale de eror.... Eror etable, categore î care e ot crde, de eel, erorle de de eobşt de ar, datorate eateţlor oeratorl care eectă ărarea, a defecţlor grae ale aaratr, îregtrarea greştă î caretele de tere (de eel c ăr de grade a e lectr e cercrle teodoltelor) a lectr greşte (de ordl etrlor) e rele de elet ş.a. Atfel de eror e ot de greşel ş caracterzează ărătorle geodezce ş, de aceea, or tra î reocărle catolelor aall.... Eror etable. Acetea t eror care ter î toate ărătorle geodezce, dferet de regătrea a îdearea oeratorl, de erforaţele aaratr a de tarea edl î care e efectează. Degr, ărea lor ete dfertă, î fcţe de aceşt araetr, de tehologle de ărare ş de relcrare locală. Practca a arătat că eele + a ale erorlor etable t reartzate aroat egal.... Clafcarea erorlor î raort de odl lor de acţe Erorle etable ot aea rătoarele odaltăţ de acţoare, care deteră ş derea acetora.... Eror teatce. Erorle teatce t fleţate (atât ca ăre cât ş ca e) de at araetr. Acet ge de eror oate f declaşat de orcare dtre rele eţoate la îcetl catoll, fd tce etr orce rocede de ărare folot î geodeze. Ca eel, e oate reat ac eroarea teatcă de ărare a e dtaţe c o aglcă de oţel (coctă de la crl de Toografe), î fcţe de dfereţa care etă ître teeratra de ărare ş cea de etaloare. Dă c e ede, char d acet eel l, erorle teatce îş ot chba el e arcrl e zle de lcr (deţa teeratra la care e face ărarea oate f a că decât teeratra de etaloare ş atc eroarea are at e, ar e ără ce teeratra eteroară e ăreşte, erorle teatce reecte ot căăta e dfert). Pr rare, e oate ete oteza că fleţa erorlor teatce ara ărătorlor e coaşte, ar efectl acetora trebe elat, total a arţal, r tehologle adecate folote la 5

eectarea ărătorlor ror-ze, a r ate corecţ (obţte r calcl) care e adagă lteror: erfcarea ş rectfcarea aaratelor de ără, de erorle roete d dereglarea ator ărţ cooete. De eel, rectfcarea teodoltl datorată eror de colaţe, a eror de de, rectfcarea tretelor de elet datorată eror de earalel dtre drectrcea ele torce ş aa de zare etc alcarea e etode corezătoare de ărare. Deoarece dă rectfcarea aaratl, ot răâe dereglăr rezdale, î geeral c, e oate da fleţa erorlor teatce reaete r odl de lcr, adotâd o etodă de ărare adecată. De eel, erorle rezdale de colaţe, e ot ractc îdeărta r ărarea drecţlor orzotale î abele ozţ ale lete. Aalog, fleţa eror de earalel dtre drectrcea ele torce ş aa de zare a lete tretl de elet, la ărarea dfereţe de el dtre doă cte, e oate ractc ela r elet geoetrc de jloc alcarea lteroară, dă arare, a or corecţ ecfce fecăr t de ărător. De eel, la ărarea recă a dtaţelor c aglca de oţel, e calclează ş e alcă corecţle de etaloare, de teeratră, de ăgeată etc. Aalog, dfereţele de el, ărate r elet trgooetrc geodezc, la dtaţe de 3 k, e or corecta c corecţle de crbră a Păâtl ş de refracţe atofercă.... Eror îtâlătoare (aleatoare). Datortă factorlor eţoaţ la îcetl catoll, c toate ărle de recaţe care e a î orce categore de ărător geodezce, erorle îtâlătoare (aleatoare) ot f etate. Dacă e accetă ca aloare de referţă, de eel, eda artetcă a ăr oarecare de ărător reetate efectate ara e ăr, atc dfereţele de fora (.) a, î geeral, caracter îtâlător (aleator), care ete ecfc etr orce roce de ărare. Ara acete robleatc e a ree î.4, deoarece tdl erorlor aleatoare (îtâlătoare) rereztă obect rcal al Teore relcrăr ărătorlor geodezce. Deş d ct de edere ddactc, odl de clafcare a erorlor de ărare folot î acet aragraf ete ecear, î acttatea ractcă e oate face o deltare recă ître acete categor de eror. Atfel, dacă e chbă codţle de ărare, ate ereor aleatoare ot dee eror teatce ş er. 6

Î îcheere la acet aragraf e or def aţ tere care t foloţ frecet î relcrarea ărătorlor geodezce. Ecartl ete dfereţa dtre doă alor oarecare, dtr- şr de ărător reetate, efectate ara aceleaş ăr. Ecartl a ete rerezetat de dfereţa dtre aloarea aă ş aloarea ă (coderate î aloare aboltă), obţte dtr- şr de ărător reetate efectate ara aceleaş ăr. Toleraţa ete lta adă (de trcţ, reglaete a caete de arc) e care o oate la ecartl a. Dfereţa dtre ecartl a ş toleraţa adblă ete dcator deoebt î ceea ce reşte caltatea ărătorlor: c cât aceată dfereţă ete a are, e e că ărătoarea ete a recă, ş er...3. Clafcarea erorlor î raort de odaltatea de erare a acetora..3.. Eror erate erc. Î raort de defţa (..) ş de dferte ăr de referţă, rezltă dferte alor etr erorle coreodete...3.. Eror relate. Eroarea relată e r a e ărător rereztă raortl dtre aloarea ercă a eror e ş ărea ărător ror ze : e e r. (.3) De reglă, erorle relate a caracter forat ş de aceea e eră b foră rotjtă, ca de eel: :, :5 ş.a..d. ş ter î geodeze î od deoebt la ărătorle de dtaţe...4. Clafcarea erorlor î raort de ră La acet ge de clafcare e-a refert char la îcetl catoll. Ree, î cotare, c ele detaler...4. Eror eroale. Acetea e datorează calfcăr rofeoale a oeratorl a t cazate de defceţe de edere a de cocetrare ale aceta. De eel, defceţele de edere a o ată fleţă ara arecer cttorlor e cercrle gradate ale teodoltl...4.. Eror tretale. Datortă or erfecţ de cotrcţe a de dereglare î t a ator ărţ cooete ale tretelor ş aaratelor de ără, rezltatl ărătorlor dee a rec. Eelfcărle ot f foarte eroae ş a a fot atte ateror: eroarea de earalel dtre drectrcea ele de recze ş aa de zare la aarat 7

de elet, eroarea de colaţe la teodolt, odfcarea lg e aglc de oţel de 5 dă rearare ş î taţa că -a făct o reetaloare etc...4.3. Eror de ed. Atfel de eror t datorate araţlor î codţle de ed îcojrător (eteror) î care e eectă ărătoarea. De eel, araţle de teeratră, ree, dtate, loztate, etc, rodc odfcăr ale aaratelor de ără, care a fot etaloate etr ate codţ tadard (de laborator)... Clafcarea ărătorlor geodezce Dă eţarea rcalelor tr+ de eror, ete tlă ş rezetarea or crter rcale de clafcare a ărătorlor geodezce, etr a e tea rezeta î cotare a şor ele coderaţ teoretce.... Clafcarea ărătorlor î raort de codţle de efectare... Mărător drecte ot f coderate acele ărător î care ărea fzcă coderată e coară c tatea de ără. Eell clac ete rerezetat de ărarea e dtaţe c ajtorl aglc de oţel de 5. Tot ca ărător drecte ot f coderate ş fcţle le de ărle ărate drect. Atfel, de eel, deterarea e dfereţe de el r elet geoetrc ete coderată ărătoare drectă, deş î od trct rgro, ca ărare drectă t fecare dtre cele doă ctr efectate e fecare ră.... Mărător drecte t coderate acele ărător care cotrbe la deterarea altor ăr care e ot ăra drect acete lte ăr t legate de cele ărate drect r relaţ ateatce de deedeţă. De eel, deterarea alttdlor reerlor dtr-o reţea de elet geoetrc (care ot f deterate drect, c recza adecată), tlzâd dfereţele de el ître reer reţele care t coderate ărător drecte....3. Mărător codţoate. Acet t de ărător oate f coderat ca caz artclar al ărătorlor drecte ş ae atc câd acetea t legate ître ele r ate relaţ de codţe geoetrce a aaltce. De eel, dacă îtr- trgh la a fot ărate drect toate ghrle, atc a lor trebe ă fe egală c g (î gradaţa ceezală).... Clafcarea ărătorlor î raort de recza acetora... Mărător de aceeaş recze, atc câd, de eel, ărătorle t efectate rgro î aceleaş codţ, atfel îcât ărătorlor l e oate acorda acelaş grad de îcredere. Aeeea taţ ter relat rar î acttatea cretă. 8

... Mărător oderate a ărător de recze dfertă, ter atc câd l dtre factor declaşator de eror dferă de la o ărătoare la alta. Î acet fel, ele dtre ărător t a rece decât altele, ceea ce corede taţlor reale d acttatea cretă. Caractertc etr atfel de ărător t oderle care e ataşează acetora î col artajăr lor, ş la care e o refer de a lte or î cadrl aall...3. Clafcarea ărătorlor î raort de gradl de deedeţă tattcă..3.. Mărător corelate a deedete tattc, ter î taţle î care aabll de codţ î care e efectează o ărătoare fleţează total a arţal rezltatl altea (a altora) dtre ărător. Corelaţa a deedeţa tattcă etetă ître ărătorle ţale (orgare), e eră c ajtorl coefcet de corelaţe, la care e o refer î catoll...3.. Mărător deedete ter î relcrărle î care e coderă că odaltatea de realzare a e ărător fleţează rezltatl celorlalte. De eel, la ărarea dfereţelor de el r tlzarea or eler de lge coeablă, are ca rezltat efectarea radă ş foră a lcrărlor, rec ş la ătrarea codţlor de lcr, ceea ce are ca efect fal obţerea or ăr care ot f accetate ca deedete. Aalzâd-e trct rgro roceele de ărare, cerectărle efectate î ltele dece a cod la coclza că de fat etă ărător deedete, deoarece erorle tretale reaete, ca ş codţle eteroare de lcr, deteră caltatea rezltatelor obţte, grâd-le d acet ct de edere. Aceata rereztă, de fat, o legătră de atră tochatcă ître oberaţle cre îtr- at gr. Totş foarte lte relcrăr efectate î geodeze egljează acete corelaţ, deoarece acetea t gre de deterat ş îcarcă efcat atât oll de lcrăr cât ş cotl acetora. 9

Catoll Noţ eleetare de teora robabltăţ ş tattcă Mărătorle geodezce a roţat caracter aleator (îtâlător). Stdl feoeelor a eeetelor aleatoare ete abordat î od deoebt î Teora robabltăţ ş reect î Stattcă... Câ de eeete Eeetl ete rezltatl eeret ş ete o oţe fdaetală î teora robabltăţ. Eell clac ete rerezetat de eeetl care e oate rodce la eeret foarte l ş ae la arcarea zar c şae feţe. Se ot forla dferte eeete oble: aarţa e ate feţe, care e otează: (), (),,(6) rodcerea eeet a cole, deft, de eel, r obltatea de a aărea or faţa 4 or faţa 6 a zarl, ete otată (4,6). Aalog obltatea de a aărea a dtre feţele,3 a 5, ete otată (,3,5) ş.a..d. la eeetele de a e adagă eeetl gr, otat (,,3,4,5,6), deft r certtdea că la fecare arcare a zarl a aărea o ată faţă a a, caracterzată de l dtre cele 6 ere. La aceata e adagă eeetl obl, deft r deearea fatl de a aărea c a dtre feţele zarl la orcare dtre arcăr, a de a aărea o cfră dfertă de cele 6 ecfce etr orcare zar obşt. Eeetl gr e a ota c S ar eeetl obl c Ø. Acttatea aă oate f decră ca şr de atfel de eeete, care a at ecfc etr fecare ector de acttate. Ma ot f eţoate, î acete oţ trodcte, eeetele coatble, care t acele eeete care a roretatea de a e tea realza lta ş reect eeetele coatble, care a aceată roretate. Rezltatl eeretl, lat re eelfcare, oate f erat rtr-o cfră, care a rt derea de arablă îtâlătoare a arablă aleatoare *). Î taţle eaate a îate e a e că arabla aleatoare are caracter dcret, deoarece ărl de eeete oble la arcarea c zarl are caracter ft. Totaltatea eeetelor care ot aea loc îtr- eeret ete detă olaţe.

Î eell coderat olaţa ete cotttă d rătoarele eeete: (), (), (3), (4), (5), (6) (,), (,3),, (,6),, (,6),, (5,6) (,,3), (,,4),, (4,5,6) (,,3,4), (,,3,5),, (3,4,5,6) (,,3,4,5), (,,3,4,6),, (,3,4,5,6) (,,3,4,5,6) cobărle de eleete, late câte k e deteră c forla:! C k. (.) k!k! Rezltă că î eelfcarea ată î edere or eta a rătoarele taţ oble: 6! C 6 6 5!! 6! C 6 5 4!! 3 6! C 6 3!3! 4 6! C 6 5!4! 5 6! C 6 6!5! 6 6! C 6.!6! *) Erea roe de la câtl lat alea, care îeaă zar Pr rare, totaltatea eeetelor oble care ot aea loc î acet eeret ete: 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 C C C C C C 64, ceea ce coferă eeretl caracter ft. Î tehcă, cl î doel geodeze, eeetele a arablele aleatoare a caracter cot, a ale câd eeretl ete realzat c aaratră de rezolţe eroară. Atfel, la ărarea reetată a e dtaţe, ca rezltat e oate obţe, î rc orce aloare. Î l, ărl eeetelor oble îtr- aeeea eeret oate f coderat ca ft a cot, deoarece dtaţa oate f reărată de ăr orcât de are.

Teora relcrăr arătorlor geodezce are î edere, aroae fără eceţe, arable aleatoare c caracter cot. U te a câ de eeete a o olaţe otat(ă) C ete rerezetat(ă) de lţea eeetelor care ot aărea îtr- at eeret. De cele a lte or, cel care eectă eeretl reect e lţeşte doar c o ată arte oarecare a a, detă eşato de odaj a a l eşato. Î acet caz eeretl oedă caracter ft (ceea ce ete ecfc etr eeretele crete d acttăţle de atră tehcă). Rezltatele fale ale or aeeea eerete e ec etaţ, deoarece e referă doar la tderea (ărarea) eşato d îtreaga olaţe. De aceea e e că etaţa are o aloare cattată tattcă, adcă abolt eactă a abolt gră c a (foarte) robablă. Etaţa oate f coderată corectă, atc câd elecţa ete rerezetată. Petr aceata ete ecear ca eleetele care co elecţa ă fe fcet de eroae ş atfel alee îcât ă abă caracter aleator, robabltc, ceea ce a erte decrerea cât a fdelă a olaţe. Prcalele roretăţ ale eeetelor Ilcarea: e coderă doă eeete A ş B d acelaş eeret. Dacă odată c eeetl A ete realzat ş eeetl B e e că eeetl A ete lcat de eeetl B a că eeetl A ete o arte a eeetl B ş e cre A B a B A. Î eell arcăr zarl e ot eelfca: () (,5) (,3) (,,3,5) ş.a..d. (.) Trazttatea: coderâd eeetele A, B, D care aarţ acelaş eeret, î care: A B B D, atc A D. Petr eelfcare, ree la eereţa arcăr c zarl: () (,3) (,3) (,,3,4) () (,,3,4). (.3) Cotrarl eeetl A ete rerezetat de eeetl care cotă î erealzarea aceta ş e otează c Ā. Ca eelfcare, î eeretl at î edere âă ac, e oate cre: dacă A ete (,6) atc Ā ete (,3,4,5). (.4) Cotrarl eeetl gr S ete eeetl obl Ø. Reea: dacă A ş B t doă eeete d acelaş eeret, rodcerea fe a eeetl A, fe a eeetl B e otează AB fd roţat A a B ş e eşte reea celor doă eeete.

Edet: A Ø = A, (.5) etr orcare eeet A. Se ot da ş alte eele de re: (3) (5) = (3,5) (,6) (3,4,6) = (,3,4,6). (.6) Reea ttror eeetelor eleetare (a e edea defţa acetora ţ a jo) dtr- câ de eeete ete eeetl gr S. Î eereţa arcăr zarl c şae feţe, eeetele eleetare fd (), (), (3), (4), (5), (6), rezltă: () () (3) (4) (5) (6) = (,,3,4,5,6), (.7) ceea ce rereztă eeetl gr S. Iterecţa: dacă e a î edere aceleaş eeete A, B d eeretele ateroare, eeetl care cotă î rodcerea lor ltaă e otează AB, fd roţat A ş B ş e eşte terecţa acetora. Ca eelfcare, d eeretl arcăr zarl c 6 feţe e oate cre: (4) (,4,6) = (4) (,5) (,3,4) = (). (.8) Dacă A B = Ø, eeetele e ec djcte a coatble. Ca eelfcare: (,4) (,3,6) = Ø. (.9) Eeetl eleetar: eeet A C, A Ø e eşte eeet eleetar dacă faţă de orcare alt eeet BC, BA îdeleşte a d taţle: A B = Ø A B. (.) Defţa de a ete alablă ş etr cârle fte de eeete. Se cotată c şrţă că eeetele (), (), (3), (4), (5), (6) t eeete eleetare deoarece atfac ra codţe d (.). Pr rare, eeetele eleetare t eeete djcte (coatble)... Freceţă Să ree că e cotă eeretl arcăr zarl c 6 feţe, î el că e reetă arcarea a de ăr ft de or (de eel de or). Se a cotata, de eel, că îtr-o atfel de ere de de arcăr cfra aare de 5 or. Reetâd eeretl ateror, î aceleaş codţ ( arcăr), ete obl ă e obţă ăr dfert de aarţ ale cfre, care îă, or ocla î jrl alor 5: de eel de 4 or, de or, de 6 or ş.a..d.. Nărl de aarţ ale cfre d cele de arcăr reetate ale zarl ete det freceţă aboltă a aarţe 3

cfre. Raortl dtre fecare dtre acete ere de aarţ ş ărl total de arcăr (de eel 5 / =.5 4 / =.4 / =. 6 / =.6 ş.a..d.) e eşte freceţă relată a, a l, freceţă. Raţoaetl ş defţle de a e ot alca ş î cazl arablelor aleatoare cote, c ar f, de eel, ărarea reetată de ăr eagerat de or a e ăr X, etr care rezltatele obţte e ordoează î orde crecătoare: X, X,..., X, (.) de ete ăr ft. Aceta acoeră at teral e cara erelor reale (raortate, de eel, e aa abcelor X, ca î Fg. ). Iterall are lta a b X (aă). X (ă) ş reect Fg.. Rezltatele e ărător reetate Mărătorle ate î edere t cre î terall eţoat: a X b, =,,,. (.) Deeor ete tl ca terall coderat ă fe îărţt îtr- ăr oarecare de clae a de terale, de lăţe ΔX, c cetrele î ctele,,,. Î fecare dtre acete bterale e or afla ăr dfert k, k,, k de ărător. Coderetele de a e ot forla tetc b fora: k k. (.3) Nărl de clae e oate tabl c dferte forle, dec are caracter arbtrar. Î (Fotec & De e. Sălec, 988, g..) e recoadă: = + 3.3 l (). (.4) 4

(.8) Se otează c h (, X) fcţa freceţelor (relate) ale claelor atfel cottte, care e a detera aalog c -a rocedat ş î eeretl c caracter dcret: rezltâd edet: k h (, X), (.5) h (, X), (.6) h ( (.7), X) k. Aşa c rezltă char d relaţa de defţe, fcţa freceţelor relate dede a de cetrl clae coderate I c ş de ărea X a terall dtre clae, care a fot ale arbtrar. Dacă e ordoează îtr- tablo rezltatele obţte etr arabla aleatoare cotă ată î edere ş ae cetrele claelor coderate ş freceţele acetora: h (, X) h (, X)... h (, X), e e că -a obţt reartţa arable aleatoare cote X. Rerezetarea grafcă a reartţlor erce (rezltate d ărător) e oate realza î a lte odr, dtre care crba freceţelor (tă ş htograă - Fg. a) rec ş olgol freceţelor (Fg. b) t cele a gete. Fg.. Rerezetarea grafcă a fcţe freceţelor e arable aleatoare cote: a) htograa b) olgol freceţelor 5

Rerezetarea d Fg. are caracter ddactc deotrat, efd rezltatl or ărător cocrete, îă ajortatea eeretelor ractce t caracterzate de cofgraţ aeăătoare. Htograa e cotreşte atfel: e îcr e abcă ltele claelor etr fecare claă e cotreşte dretgh, care are ca bază (e abcă) terall clae ş ca îălţe freceţa clae. Aeăător c htograa e rereztă grafc ş olgol freceţelor (Fg. b) care rezltă d rea ctelor defte e abcă r cetrl clae ar î ordoată r freceţa clae..3. Probabltate.3.. Probabltatea teoretcă Atc cîd ărl ete fcet de are, dec atc câd eşatol tde ă a dele îtreg olaţ d care roe, fcţa freceţelor relate tde către fcţa de robabltate (care rereztă, e rîd, robabltatea clae la care e refer): l h k X P(, X). (.9), Se cotată atfel că fcţa de robabltate P(, X), la fel ca ş fcţa de freceţă h(,x) dede a de ozţa cetrl clae de care aceata aarţe ( ) c ş de ărea terall (ΔX) care, aşa c -a tablt, ete ale arbtrar. Petr a ela acet eaj, e îarte fcţa de robabltate c o cotată oarecare, de eel c lăţea terall Δ. Rezltã la ltă o altă fcţe f( ), care ete detă detate de robabltate a detate de reartţe: f P, X l, (.) d X care, ca ş robabltatea P(, X), ete o fcţe cotă, tegrablă. Î cotare e oate e îtrebarea: care ete robabltatea ca o ărătoare oarecare ă e afle tată b o ltă dată. Răl ete obţt r tegrarea corezătoare a detăţ 6

de robabltate / de reartţe f(). Fcţa F() obţtă ete detă fcţe de dtrbţe a arable aleatoare ată î edere Pelzer, 98, g. 36: F() = P = P - f () d. (.) Pr artclarzarea relaţe de a e ot obţe răr la ele îtrebăr care ter deeor î acttatea cretă: care ete robabltatea teoretcă ftezală dp, ca o ată ărătoare (î cazl cocret eaat ac o dtaţă d oarecare) ă e teze ître ltele ş + d: dp d + d = f()d (.) robabltatea teoretcă etr ca o ărătoare oarecare ă e afle ître doă lte a ş b: P a Fb Fa f a b P b P b a d. (.3).3.. Probabltatea lă Petr cazrle care ter frecet î acttatea ractcă cretă, de ete ăr foarte are dar ft, e accetă, de cele a lte or, că robabltatea ete eda artetcă a freceţelor relate ale eeetelor eleetare coderate. Coderaţle de a t alable câd e îdelec ate codţ. De eel, î cazl eeretl cottt d arcarea lă, reetată, a zar, trebe reectate rătoarele codţ ale ş oblgator: zarl trebe ă fe etrc (ca foră) ş ooge (ca trctră) ărl de eerete trebe ă fe cât a are. Eeretele reale atfac colet cele doă codţ eeţale eţoate a, ş ca rare, derlarea ş oberarea acetora ot f coderate colete. Probabltatea lă ete rerezetată de raortl dtre ărl cazrlor faorable ş ărl cazrlor oble, î oteza că toate cazrle t egal oble. D acet ot -a re a îate că robabltatea (freceţa ede) de aarţe a cfre la arcarea zar cât a corect cotrt (etrc ş ooge) ete de /6,5. Se ot da ş alte eele de calcl al robabltăţ le de rodcere a or eeete d ate eerete: robabltatea de a aărea o cfră ară (a ară) la arcarea zarl ete 3/6,5 7

îtr-o ră e află a ble albe ş b ble egre. Probabltăţle de etragere a e ble albe P(a) a a e ble egre P (b) e deteră c relaţle: P (a) = a a b P (b) = b a b, (.4) ş ded de erele de ble albe, reect egre, care e află î ră. Defţa clacă a robabltăţ le, rezetate ateror, oferă obltatea calclăr ale î area ajortate a cazrlor îtâlte î ractcă. Totş, etr ele taţ, aceata oate da răr eacte ş atfăcătoare. Atfel, de eel, c defţa eţoată a îate e oate detera robabltatea obţer e ate alor robable atc câd o ată dtaţă ete ărată î od reetat. De o ortaţă deoebtă etr ceea ce e a rezeta î cotare î aal ete rătoarea Defţe Doă eeete A ş B ale câ C e ec deedete dacă are loc egaltatea: P(A B) = P(A) * P(B). (.5) Recatlâd, e ot def rătoarele roretăţ ale robabltăţ le P e cî de eeete C (Mhoc, 954, Mhoc ş Urea, 96, Şabac, 965 ş. a.): P (Ø) = (.6) P(Ā) = - P (A) P (A) A C (.7) AC (.8) P(A) P (B) dacă A B A C B C. (.9).4. Eror îtâlătoare (aleatoare) Aşa c -a arătat î..., î otezele tlzate î aalzele care e or efecta î Teora relcrăr ărătolor geodezce e a ree că ărătorle t corectate de fleţele erorlor teatce. Fecare arablă îtâlătoare, î cazl otr - fecare ărătoare geodezcă, ete îoţtă de o eroare îtâlătoare (aleatoare), care are re ltle ş colee de rodcere, deedete de ecfcl ărător, î rl rîd, rec ş de odaltatea î care aceata ete obţtă ş e 8

care le-a eţoat î ca.. Pr defţe o arablă aleatoare X ete detă - deoală atc câd fecare dtre cooetele ale X ( =,,, ) ete o arablă aleatoare deoală. Petr fecare dtre acetea e oate detera robabltatea P( X ). Proretatea eţoată oate f terretată ş î rătorl e: rezltatele ărătorlor reetate ara e ate ăr arază ître ele, dar t ltate î terorl dtrbţe de robabltate aferete. Î od zal, erorle aleatoare oedă rătoarele caractertc a roretăţ coe: a.- erorle aleatoare c, î aloare aboltă, t lt a frecete a lt a robable decît erorle ar (rcl cazalt) b. - erorle aleatoare t a c decît o ată ltă (rcl ltat) c. - î cazl ăr are de deterăr, efectate ara e ate ăr, ărl erorlor aleatoare ozte ete egal c ărl erorlor aleatoare egate (rcl dtrbt) d. - robabltatea de a e rodce o ată eroare aleatoare ete fcţe a de ărea eror reecte (rcl robabltc). Î od oral, erorle ar e rodc a rar (t a ţ robable) î coaraţe c erorle c (care a o robabltate a are). Fcţa care eră otal roretăţle eţoate a ale erorlor aleatoare ete rerezetată î Fg. 3 fd coctă b derea de crba cloot Ga (Ga, 89) ş are ecaţa: î care: e aa t rerezetate ărle erorlor aleatoare e aa y t rerezetate ărl acetora y h Ce, (.3) C ş h t cotate, ara cărora e or rezeta ele efcaţ î cele ce rează e rereztă baza logartlor atral e =.7888 Coecţă: l e =. A e edea ş Aea 4. Rerezetarea grafcă a crbe cloot Ga ete dată î fgra de a jo, d care e oate cotata c şrţă erfcarea celor atr roretăţ rcale ale erorlor aleatoare. 9

Fg. 3. Grba cloot Ga Dacă e coară crba cloot Ga c rerezetarea grafcă a reartţe freceţelor relate ale e arable aleatoare cote (Fg. ) e cotată aeăăr edete. Aceata cofră afraţa că taţle care ter î ractcă rează legtăţ robabltce, a ale câd oll eeretl ete fcet de are (atfel îcât relaţa (.9) oate f terretată ş r efcaţle ale grafce)..4.. Probabltatea ftezală a e eror aleatoare Probabltatea ftezală a e eror aleatoare rereztă robabltatea dp ca o eroare ă abă ărea cră î terall ş reect +d d Fg.3. Aceata e oate detera c regla de calcl a robabltăţ le dată ţ a, raortâd rafaţa dretghl haşrat d Fg. 3 (care rereztă ărl de eror aleatoare cre î terall ftezal eţoat) ş rafaţa S a îtregl doe d terorl crbe Ga (care rereztă totaltatea erorlor aleatoare d îtregl eeret): dp = yd. (.3) S Coderâd S =, rezltă : dp = C e h d. (.3).4.. Probabltatea ftă a e eror aleatoare Probabltatea ftă ca o eroare ă fe cră ître ltele a ş b (Fg. 3) e oate obţe r tegrarea, î ab ebr, a relaţe de a : P(a, b) = C b e d. (.33).4.3. Certtdea rodcer e eror aleatoare Prodcerea e eror aleatoare c certtde are robabltatea P (S) = : a h

P(-, +) = C e h d =. (.34).4.4. Deedeţa dtre cotatele C ş h Se ree coct de la crl de Aalză ateatcă (a e edea ş Aea 3) rezltatl tegrale Eler - Poo: t e dt π. (.35) Dacă e efectează chbarea de arablă: relaţa (.34) dee: P(-, +) = ş r tlzarea olţlor (.36) ş (.37) e obţe: h = t (.36) h d = dt, (.37) C Relaţa de a edeţază deedeţa dtre cotatele C ş h. e t dt =, (.38) h h C. (.39) Pr rare, robabltatea ftă a e eror aleatoare e oate cre ş b fora: P(a, b) b h e a h d, (.4) î care tere a gr araetr ş ae h. Aceta ete det dce de recze, deoarece caracterzează recza e ărător, aşa c e a arăta ţ a dearte. Probabltatea rodcer e eror aleatoare î terall - ş reect + (dec î aloare aboltă eroarea ) e oate obţe d relaţle (.3) ş (.37). P h h h h e d e d. (.4) Deoarece erorle aleatoare a alor c, erea d terorl tegrale ateroare e oate dezolta î ere (a e edea ş Aea 4): e h - h rezltîd r tegrare ş ordoarea terelor: P h..., (.4) h3.... (.43) 3

.4.4. Eroarea ede robablă E a e gre ărător. Poder teoretce Eroarea ede robablă E a e gre ărător ete acea eroare etr care ărl erorlor a c, reect a ar, decît aceata t egale. Pr rare, î terorl doel deft de crba cloot Ga, eroarea ede robablă E a e gre ărător îarte cele doă rafeţe î cîte doă ărţ egale ( ' S S ş reect ' S S - î Fg. 4). Rezltă că robabltatea de rodcere a eror E, î abele taţ, făcâd abtracţe de e, ete egalã c /. Fg. 4. Eroarea ede robablă a e gre ărător. Marea eror robable a e gre ărător e oate dedce d rezolarea ecaţe E : de gradl III (.43), coderîd-e robabltatea P h h 3 3. (.44) Solţa ecaţe de a ete h =.4769, a îtr-o aroaţe fcetă: E,48. (.45) h D relaţa de a rezltă că etr eror robable E d ce î ce a c, factorl h dee d ce î ce a are. Aceata ete otaţa etr care, aşa c -a a eţoat ateror, aceta a rt derea de dce de recze.

Dacă e trodce otaţa de ete îtodeaa ăr ozt. Nărl h, e obţe d forla ateroară: c h, (.46) E h e eşte oderea teoretcă a ărător coderate, fd er roorţoal c ătratl eror ed robable a trata ş î alte ãrţ ale aall. E a e gre ărător. Dere oder e a Dacă e rereztă grafc rezltatele obţte etr doă eerete dferte (de eel er de ărător efectate ara e ate ăr), acel rezltat care are ordoata la orge a are (dacă = atc d relaţle (.3) ş (.39) rezltă y C h ) ete a rec (eeretl () î Fg. 5., î care h > h ). Fg. 5. Rerezetarea grafcă a erorlor obţte î doă er de ărător efectate ara e ate ăr.5. Paraetr (etator) tattc Varablele aleatoare care decr olaţle (î dezoltărle de atră teoretcă) a elecţle / odajele (î aalzele eeretale cocrete) e caracterzează rtr-o ere de araetr (etator) tattc, care ş-a găt o a are a o a că alcabltate î derele rar ale tehc. Î cotare e or eaa ace araetr tattc care t a de tlzaţ la relcrarea ărătorlor geodezce. 3

.5.. Paraetr tedţe cetrale Petr deterarea cele a be alor a e arable aleatoare (îtâlătoare) atc câd e de de ărător reetate ale e ate ăr, e foloec derş etator, char dacă aceşta oedă, î ele taţ, ş ate coeete..5... Meda artetcă a eda ercă. Se coderă ăr ft de ăr aleatoare (îtâlătoare) rezltate d ărător reetate, efectate ara e ăr: Oberaţ o T Î aal e or tlza rătoarele coeţ de crere:,,...,. (.47) ector ş atrcle e or cre c caractere (c, reect ar) de t bold (de eel: a, B). Acetea trebe cofdate c ate ltere P, S, C, E, ş.a. folote etr a deea ate bolr a aţ oerator dcele eror T la ector a atrc dcă traa acetora (de eel: a T, B T ) atrcea eră a f otată c B -, ar atrcea eră geeralzată c B - Aşa c -a eţoat î trodcerea la acet catol, fecare cooetă d ectorl (.47) rezltă dtr- roce a lt a a ţ cole de ărare, î care ter ăr oarecare de oberaţ eleetare, fecare dtre acetea fd îoţtă de o eroare eleetară ecfcă. Acetea răâ, î geeral, acceble coaşter ae, dar, edet, fleţează rezltatl ărăr. O aloare de referţă oblă î relaţa (.), tă î acet catol araetr al tedţe cetrale, ete cottt de eda artetcă detă ş ede ercă, otată eaat: j j 4 T a eşatol. (.48) Î relaţa de a -a folot boll [ ], trod de către Ga, care e cteşte ă ş ete folot frecet î Teora relcrăr ărătorlor geodezce. C -a otat ectorl tate: = [... ] T. (.49) Deoarece eda artetcă e calclează c şrţă, a răa ş î rezet cel a folot araetr al tedţe cetrale. Î oteza că ărătorle reetate coderate t afectate de fleţe teatce, eda artetcă ete coderată etator ot (Neeer, ).

Alcaţa Se coderă rătoarele ărător reetate: 43.55, 43.57, 43.59, 43.55, 43.5, 43.6, 43.65, efectate ara e dtaţe. Se cere calcll ede artetce. Solţa rezltă d alcarea forle (.48) ş ete: 43.573. colee: de D alcaţa lă de a, e ot dedce ele regl tle ş î alte taţ a atc câd toate ărle ate î edere la calcll ede artetce a o arte coă (î alcaţa coderată: 43 ), eda artetcă e realzează a etr cfrele arable (de dă rglă) dacă la îărţrea eceară la calcll ede artetce rezltă eact acelaş ăr de zecale c cel e care le-a at datele ţale, ete dcat ca rezltatl ă fe lat c o zecală î l..5... Medaa ete acea aloare a e er tattce, ca de eel cea rerezetată dtaţele cre î (.47), c tere aşezaţ î orde crecătoare, care îarte era reectă î doă gre egale ca ăr de alor (Ceaşec, 98). Se dtg doă taţ: ărl ete ar ş atc : ărl ete ar ş atc : Alcaţa ( )/ (.5) / / Să e calcleze edaa etr datele ate î edere la Alcaţa.. (.5) Petr îcet e or ordoa datele î orde crecătoare: 43.5, 43.55, 43.55, 43.57, 43.59, 43.6, 43.65. Medaa e a detera, î aceată alcaţe, c forla (.5) fd : 43.57. Medaa are o roretate rearcablă care cotă î fatl că ete fleţată de alorle etree ale arablelor coderate, roretate e care o are eda artetcă. Valorle etree ot rooca (abtracţe făcâd de e) aarţa or eror ar (te eor ş eror groolae) î calclarea recze ărătorlor, aect care a f tratat î aragrafl rător. Datortă roretăţ eţoate, edaa ete coderată araetr robt (Neeer, ). 5

.5..3. Meda a a eda terall, otată I, e deteră, de aeeea, dă ce arablele aleatoare a fot aşezate î orde crecătoare. Meda a a eda terall e deteră ca ede artetcă a alorlor etree: Alcaţa 3 o I a. (.5) Să e calcleze eda a (eda terall) etr datele ate î edere la Alcaţa. Rezltatl ete : 43.575 Coetar Ce 3 araetr de etare a tedţe cetrale oferă răr dferte la o ră îtrebare eeţală care e e î Teora relcrăr ărătorlor geodezce, ş ae cea refertoare la deterarea cele a be alor dtr- şr de arable aleatoare (îtâlătoare). Î eell cocret eaat, rezltatele dferă lt ître ele, ceea ce e etrece, î rc, î ajortatea cazrlor îtâlte î ractcă. Deş eda artetcă îdeleşte caltatea rearcablă a edae, aceata răâe cel a folot araetr de etare a tedţe cetrale î cadrl Teore relcrăr ărătorlor geodezce..5..4 Meda teoretcă E( ). Să adte că cele ărător coderate âă ac acoeră îtreaga olaţe. Petr dezoltărle lteroare e or aea î edere ăr oarecare de arable aleatoare tate îtr- teral ftezal d. robabltăţ le e oate cre: dp de de rezltă, r tlzarea relaţe (.): D defţa, (.53) = dp * = f ( ) d. (.54) Edet, etr îtreaga olaţe, rerezetată r îtregl eget, etă ăr de ărător. Meda acetora î cazl deal re ac ete detă î odr dferte î lba roâă: aloarea aştetată / cotată, eraţă ateatcă ş.a. Bjerhaar (973) tlzează terel de ede teoretcă e care îl o rela ş î acet aal, folod etr aceta otaţa ~. Aalog c ( - 48) e oate cre r rare: 6

d f ~ l l f d = E( ), (.55) de E rereztă oeratorl ede teoretce î coeţa eţoată a. Î cazl e arable aleatoare dcrete, eda teoretcă ete: Oberaţe Î eroae cazr eda teoretcă ăr ărate ~ = E ( ) = f. (.56) ~ ete detă ş aloare reală a aloare adeărată a ş care a f otată l c. Codţa de egaltate eţoată e îdeleşte îă îtodeaa. Itre cele doă ăr etă deeor factor de ecetrctate δ (det ba î lba egleză) - Pelzer, 98 g. 3: ~. (.57) Atc câd aloarea adeărată ş eda teoretcă ale e arable aleatoare cocd, aceata d ră e eşte edeforată. I Teora relcrăr ărătorlor geodezce e coderă, aroae fără eceţe, că arablele aleatoare oedă aceată roretate, deoarece, î caz cotrar, calclele -ar colca etre de lt. I cotare e reztă, fără deotraţ (care ecetă aţ corezătoare ş ot f rărte î aalele de tattcă) ele regl eleetare de acţoare c edle teoretce. Se a î edere arablele aleatoare de fora c detatea de robabltate f( ) ş eda teoretcă a acetora ~ deftă de (.55). Fe o altă arablă aleatoare de fora y deedetă de ra arablă rtr-o relaţe lară oarecare: Atc: y = ( ). (.58) detatea de robabltate f (y ) a arable aleatoare y e calclează c relaţa: d f f ' dy f y (.59) y eda teoretcă y~ e deteră c forla: y~ E y f d. (.6) - Forla de a ete alablă etr orce taţe î geeral. Petr lte taţ artclare, câd fcţle ate î edere t oarecar, alcarea forle (.5) ete dfcl de realzat. De 7

aceea î Teora relcrăr ărătorlor geodezce fcţle care ter t ade, î realabl, la o foră lară (a e edea ş Aea 4), ceea ce adce lfcăr rearcable î calcle. Atfel, dacă e are î edere o relaţe de fora: y = a + b, (.6) de arablele ş y a îtodeaa alor c, ar cotatele a ş b t cocte a şor de deterat, forla geerală (.6) ete îloctă de o relaţe lt a l de alcat: y~ E(y ) = a + b ~. (.6) Partclarzare: Fe arabla aleatoare y rezltatl e e de arable aleatoare : Meda teoretcă y k. (.63) y~ e obţe îâd edle teoretce ale arablelor aleatoare y~ E k y E. k ~ : ~ (.64) Î taţa î care arabla alearoare y roe d rodl or arable aleatoare : eda teoretcă k o y, (.65) y~ e obţe r ltlcarea, ître ele, a edlor teoretce ale arablelor aleatoare Oberaţ ~ : y~ = E k y E k ~. (.66) Sboll de ltlcare are efcaţa k... k. O alcaţe a relaţlor dede ateror a e î edeţă o roretate rearcablă a ede artetce. Dacă e accetă oteza ca c a dtre arablele aleatoare ate î edere î relaţa (.47) ete afectată de eror teatce, atc toate acetea t caracterzate de aceeaş ede teoretcă: ~ ~ ~ ~. (.67)... Ca rare, aloarea de aştetare a ede artetce (.48) e a tea detera atfel: 8

E E j j * ~ ~ E. (.68) j j C alte cte, atc câd î arablele aleatoare etă fleţe teatce, eda artetcă ete o etare edeforată a ede teoretce.5. Paraetr îrăşter 9 ~ (a e edea ş 3...). Aşa c -a ecfcat îcă d rele aragrafe ale aall, deterarea tedţe cetrale a a alor jloc a a cele a be alor etr o ere de arable ată re aalză (la ltă etr îtreaga olaţe) cotte grl obect al teore relcrărlor ărătorlor geodezce. Ete eceară, î aceeaş ără, coaşterea îrăşter a a arabltăţ ărlor care co era coderată, î raort de tedţa cetrală. Î lbajl tlzat î od obşt î teora erorlor, acet obect ete echalet c deterarea or araetr care ot face etăr ara recze e care o a fecare dtre arablele aleatoare ate î edere, rec ş ara recze lor î aabl. Î acet aragraf e or rezeta etr îcet oţle ş defţle folote frecet î tattcă, dă care e or face artclarzăr ş coletăr c ceea ce -a folot ş e foloeşte îcă, de o eroadă are de t, î teora erorlor..5... Altdea. Dacă e refer, î cotare, la şrl de arable (.47), altdea a ete deftă de relaţa: a. (.69) a Dacă e refer cocret la ărătorle ate î edere î cele 3 alcaţ ateroare, altdea a =.5. Noţ de altde d tattcă î corede oţea de ecart de teora erorlor, la care ea refert î....5... Dera (araţa). Abaterea tadard. Aşa c eda artetcă ete araetrl rcal folot etr etarea tedţe cetrale, dera ete araetrl cel a tlzat etr etarea îrăşter. Dera a araţa ercă a e elecţ, D( ), otată, ete rerezetată de eda ătratelor abaterlor acetora faţă de eda lor teoretcă. Coderâd aceeaş elecţe (.47) rezltă r defţe: o - ~. (.7)

Abaterea tadard ercă, otată, a aceleaş elecţ ete rerezetată de rădăca ătrată a dere: = - ~. (.7) Pr defţe, atât dera cât ş abaterea tadard erce a a el ozt. Atc câd, dec atc câd e aalzează îtreaga olaţe, e obţ araţa (dera) teoretcă ş reect abaterea tadard teoretcă: o. (.7) Î lte doe ete fcetă a deterarea ror-ză a araetrlor global (.7) ş (.7). Î teora relcrăr ărătorlor geodezce ete eceară o aalză de aăt a cooetelor acetora. Petr a e da, î cotare, eer caracter a aroat de acttatea ractcă d geodeze, e a îloc ectorl teoretc (.47) c ector al ărătorlor, otat : T,,...,. (.73) Raortâd ărătorle ( =,,, ) la eda teoretcă 3 ~ (care îdeleşte ac roll alor de referţă d forla (.)) e obţ erorle adeărate a erorle teoretce, e care le o ota : ε - ~ =,,,. (.74) Acete ăr a caracter teoretc, abtract, deoarece aloarea de referţã ecoctă d ct de edere ractc. Scre relaţ (.74) a dezoltat: Îâd relaţle (.74) rezltă: ε ε ~ ~ ~ răâe (.75). ~ ~ D defţa ede artetce (.48) e oate cre :. (.76), (.77)

atfel îcât relaţa (.76) dee: ~. (.78) Erea d lta arateză ete eroarea teoretcă a ede artetce, aâd foră lară c orcare dtre relaţle (.74). Rezltă:. (.79) Pr defţe, care are orgle î lcrărle l Ga, araţa ercă obţtă d tlzarea erorlor teoretce e dedce d (.7) fd eda ătratelor erorlor teoretce: j j ε T ε. (.8) Aşa c -a a eţoat, atc câd (dec câd e aalzează îtreaga olaţe), araţa ercă ete îloctă de araţa teoretcă otată dera arable aleatoare ş e otează D ( ) :, care a ete detă ş D ( ) = = l ( ε T ε). (.8) Petr araţa teoretcă a dera ete tl ă e a reţă ş rătoarele obltăţ de erare, care e ot erfca c şrţă d relaţle ee ateror: = l E(ε T ε) = E(( - ~ ) ) = E( ) - ( ~ ). (.8) Ete eceară blerea e roretăţ a erorlor reale. Plecâd de la relaţa de defţe (.7) rezltă etr orcare dtre erorle reale: a : E ( ) E ( ) - E ( ~ E l Ecaţa de a e î edeţă fatl că E 3 ) ~ - adeărate ε, adcă de recza de ărare. Pr rare E recze.. Relaţa (.79) rdcată la ătrat oate f cră detalat b fora:... ~ =, (.83) (.84) dede de ărea ror ză a eror oate f folot ca etator de. (.85)

Terel d artea tâgă a relaţe de a are rezltatl eact: ε................ 3 (.86) Deoarece erorle teoretce a caracter aleator, acetea îdelec crterle d.4., atfel îcât arateza d ebr dret al relaţe (.86 tde către zero. De aceată roretate a erorlor teoretce e a face z î a lte râdr î aal. Î acete codţ, d ltle relaţ e obţe:. (.87 Rezltă rătoarele relaţ ître araţa ede artetce ş araţa ercă, otată c î relaţle (.7 ş.8):. (.88) Abaterea tadard ercă, otată c î relaţa (.7) ete detă î Teora relcrăr ărătorlor geodezce eroarea ede a e gre ărător, fd rerezetată de radcall de ordl do d araţa ercă coreodetă:. (.89) Deoarece erorle teoretce t deterable, forlele (.8) ş (.89) a caracter teoretc, abtract. De aceea, etr alcaţ ractce ete eceară dedcerea, î cotare, a or forle î care ă e oereze c alte tr de eror, care ot f calclate. Dfereţele dtre ărătorle ddale ec eror aarete : o j, (j =,,, ) ş eda artetcă e e = e e...... e - - - = -. (.9) Oberaţ Trecerea de la erorle aarete e, la corecţle aarete e realzează doar r chbarea eelor: e = -. 3

I Teora relcrăr ărătorlor geodezce corecţle aarete ter î dere tad ale relcrărlor, c ar f: * î aşa tele relcrăr locale, care a loc, de eel, la coearea î taţe a oberaţlor ghlare, a la relcrarea ărătorlor efectate reetat ara e ăr (dtaţe, dfereţe de el ş. a.. d.) * la relcrarea ărătorlor efectate î reţelele geodezce, î care ot tere a lte tr de ărător. I lcrăr a dezoltate (Pelzer, 98, Ghţã, 983 ş.a.) etr cele doã tr de corecţ aarete e foloec otaţ dferte ' ş reect, etr a cta deoebrle eeţale ître acete doă categor de corecţ aarete. Petr a îcărca î od letar aall de faţã c otaţ rea dere, corecţle aarete or f otate îtotdeaa c, lăâd cttorl ă facă adatărle care e. Erorle aarete defte r relaţle (.9) îdelec roretatea geeral alablă etr ărle care e calclează ca abater faţă de eda artetcă. Iâd e râd ărle d acete relaţ rezltă: e. (.9) Degr, relaţa de a ete îdeltă ş de a corecţlor aarete:. Dfereţa dtre eroarea teoretcă j, deftă c relaţa (.74) ş eroarea aaretă e j, deftă c relaţa (.9) ete: a î detal: j j j ~ j e, (.9) e ~ e 33 e e e......... e e. Pr rdcarea la ătrat a ltelor relaţ ş îarea coreodetă a rezltatelor e obţe: εε ee ε e ε (.83). (.94 Deoarece erorle aarete îdelec roretatea (.9) lta forlă dee: εε ee ε. (.95)

b fora: Dacă e a î edere, cce, forlele (.87) ş (.88), relaţa de a e oate cre ş ee. (.96) Itrodcâd acet rezltat î relaţa (.89) e obţe dă rdcarea la ătrat: de de e obţe: ee, (.97) ee. (.98) D relaţle (.98) ş (.89) ş îreă c oberaţa e e ot cre rătoarele egaltăţ: 34 ee. (.99) Relaţle de a a o releaţă ecfcă î calclele ractce, de e foloec cret corecţle aarete a ', dă caz, ş erorle e. Pr rare, relaţle folote î Teora relcrăr ărătorlor geodezce t: araţa ercă: - - T (.) abaterea tadard ercă tă î od cret eroarea ede ( ătratcă) a e gre ărător:. (.) Î lcrăr a dezoltate de Teora erorlor ş etoda celor a c ătrate (Botez, 96, g. 44) e arată că raortl dtre eroarea ede a e gre ărător ş eroarea ede robablă ete: E 3. (.) E Pr rare, etarea r eroarea ede a recze de ărare ete a acoertoare decât r eroarea ede robablă E. Ecartl a a deft î... ecfc at şr de ărător trebe ă fe a c decât toleraţa. Î lcrărle a ech (Botez, 96, Wolf, 968 ş.a..) -a tlzat î acet co relaţa:

a toleraţa = 3, (.3) care deş are caracter erc, a at ş a are îcă o alcabltate rearcablă. Eroarea ede a ede artetce Folod forla e fcţ de ăr ărate drect (a e edea ş aragrafl 3..), rezltă forla de deterare a eror ed a ede artetce: a a î detal: (.4). (.5) Pr rare, raortl r dtre ş ete : r, (.6) ceea ce e oferă ele coclz de ord ractc, ce ot f rărte ş î Fg. 6. Fg. 6. Rerezetarea grafcă a raortl r Decreşterea abater tadard erce a ede artetce î raort de cea a e gre ărător ete edet fcţe de ărl de ărător. Dar, aceată decreştere ete foarte roţată doar etr taţa câd ete c, deed d ce î ce a ţ efcată e ără ce ărl de ărător creşte. D aceată oberaţe e derde coclza că creşterea ărl de ărător ete ate lte a adce îbătăţr releate î aloarea ede artetce. 35

Petr realzarea acet dezderat ete lt a efcetă creşterea recze de ărare rorză (o eroare cât a că) ceea ce e realzează r tlzarea e aaratr a erforate a / ş a eroal a be regătt ş.a..d. Alcaţa 4 Se coderă ărătorle reetate ara dtaţe, c care -a efectat Alcaţa. Acetea t trecte î tabell (coloaa ). Se cere ă e detere eda lor artetcă ş rcal dcator de recze eaaţ î acet catol Tabell. Calcll ede artetce ş al dcatorlor de recze zal Nr. Mărător Corecţ aarete crt. I d c a t o r d e r e c z e [] [] 3 4. 43.55.3 Abaterea tadard ercă (eroarea ede (ătratcă)) a e gre ărător (.): = 4.7. 43.57.3 Eroarea ede robablă a e gre ărător (.): E =3. 3. 43.59 -.7 Eroarea ede a ede artetce (.5) =.8 4. 43.55.3 Raortl r (.6): r =.4 5. 43.5 7.3 Toleraţa (.3): 3 =4. 6. 43.6 -.7 Ecartl a d şrl de ărător: a =5 7. 43.65-7.7 Coclze: ărătoarea e îcadrează î toleraţa =43.573 =. ecfcă (.3): a 3.6. Moetele e reartţ Î cotare e a aea î edere o ere tattcă aeăătoare c era (.47), care coţe cooete, a căror freceţe relate t otate c: h. Se eşte oet de ordl k î raort c o aloare de referţă, eda artetcă a terlor k a abaterlor alorlor ere 36

tattce coderate faţă de o aloare de referţă (Ceaşec, 98). Eoetl k e eşte ordl oetl. Atc cîd aloarea de referţă ete =, oetl a f otat k ş a f îoţt de c atrbt letar. Dacă aloarea de referţă ete = (eda artetcă) oetl a f otat M k ş e a oet cetrat. Se reztă î cotare câtea eele: h h ( ) (.7) (.9) M M h h ( ( - - ) ). (.8) (.) Se cotată că oetl de ordl ete eda artetcă a ere tattce. Moetl cetrat de ordl ete l (a abaterlor alorlor şr faţă de eda artetcă). Moetl cetrat de ordl ete dera ere. Se reztă deotrarea ea dtre afraţle de a : M - -... -... -... -.. 7. Vector de ăr îtîlătoare (aleatoare) Î acet catol -a at î edere, âă ac, ărător reetate ara e gre ăr. Î acttatea ractcă ter, de reglă, ărător reetate, corezător, ara ăr oarecare de ăr, reetare care e oate face lta (de către a lţ oerator) a cce de către acelaş oerator. Rezltă atfel ector de ăr îtâlătoare (aleatoare) care ete îoţt de ectorl erorlor aleatoare coreodete. Proretăţle, oţle de bază ş coecţele care -a ded î aragrafele ateroare e or geeralza ş coleta, dă caz, î cotare, î aceată oă oteză..7.. Prcl etode celor a c ătrate Se ree că -a ărat ăr (de eel dtaţe) de ăr oarecare de or. Fecare ăre ărată are o ată robabltate fteală de rodcere de fora (.3). Ete tl ca î cotare ă e trodcă totş ele odfcăr ş artclarzăr faţă de taţa teoretcă ată î edere î.4.. : trecerea de la eleete ft c dp la eleete fte P oerarea c corecţ aarete î locl erorlor 37