PRELUCRAREA SEMNALELOR:

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare PRELUCRAREA SEMNALELOR: breviar teoretic, probleme rezolvate, ghid Matlab prof.dr.ing. Bogdan Dumitrescu versiunea 6., iunie 2006

Prefaţă Lucrarea de faţă este destinată studenţilor de anul IV ai Facultăţii de Automatică şi Calculatoare, secţia Automatică, care urmează cursul de Prelucrarea Semnalelor. După cum sugerează titlul, lucrarea urmăreşte mai multe scopuri. În primul rând, ea constituie un suport teoretic condensat al informaţiilor predate la curs; lipsesc deci explicaţiile detaliate; lucrarea are mai degrabă un rol de fixare a cunoştinţelor teoretice decât unul de iniţiere. Al doilea scop major este obişnuirea studentului cu rezolvarea de probleme. De aceea, fiecare secţiune conţine atât probleme rezolvate, cât şi probleme propuse cititorului. Problemele propuse au în general un nivel mediu de dificultate, sau chiar uşor. Lipsesc, sau sunt foarte rare, problemele grele. În fine, lucrarea conţine şi informaţii despre funcţiile Matlab, în special din Signal Processing Toolbox, utile în contextul chestiunilor teoretice studiate. Informaţiile sunt sumare, iar cititorul este invitat să le completeze utilizând programul Matlab. Fiecare secţiune este organizată în ordinea: teorie, probleme rezolvate, probleme propuse, ghid Matlab; această din urmă parte poate lipsi, dacă secţiunea respectivă nu are implicaţii calculatorii. Lucrarea este încă incompletă. Prima versiunea a ei, din decembrie 2002, conţinea doar cinci capitole din cele cel puţin şapte proiectate (numărul de versiune de pe copertă are două cifre: prima este numărul de capitole, a doua reprezintă ediţia curentă). Între timp, al şaselea capitol a fost scris, împreună cu numeroase corecturi şi adăugiri. Sugestiile şi corecturile cititorilor sunt binevenite. Versiuni 5.0: iniţială. 5.: nou: semnale aleatoare; corecturi: cap., 2, 4. 5.2: corecturi şi adăugiri: secţ. 4.5. 5.3: nou: secţ. 3.3; corecturi: cap. 5. 6.0: cap. 6, secţ. 2.6; corecturi: cap. -5. 6.: corecturi: cap. -5 (datorate studenţilor din 2006: Alexandra Târziu, Adela Defta, Maria Comănescu, Diana Diaconescu, Vlad Amarandei, Alex Dumitrache, Daniel Brumuşescu, Raluca Oroz şi alţii).

Cuprins Semnale 3. Semnale discrete............................. 3.2 Transformata Fourier............................3 Transformata Z.............................. 2.4 Semnale aleatoare............................ 24 2 Sisteme 3 2. Definiţii şi proprietăţi de bază...................... 3 2.2 Sisteme liniare invariante în timp.................... 34 2.3 Reprezentarea în frecvenţă a sistemelor LIT.............. 40 2.4 Filtre de fază minimă.......................... 5 2.5 Filtre cu fază liniară........................... 54 2.6 Implementarea filtrelor.......................... 63 3 Eşantionare 69 3. Eşantionare (conversie analogic-numeric)................ 69 3.2 Conversie numeric-analogic....................... 74 3.3 Schimbarea frecvenţei de eşantionare.................. 80 3.3. Decimare............................. 8 3.3.2 Interpolare (discretă)....................... 83 3.3.3 Schimbarea frecvenţei de eşantionare cu un factor raţional.. 87 4 Proiectarea filtrelor 9 4. Specificarea performanţelor....................... 9 4.2 Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei............. 97 4.3 Proiectarea filtrelor FIR în sens CMMP................ 05 4.4 Proiectarea filtrelor FIR în sens Chebyshev.............. 4 4.5 Proiectarea filtrelor IIR: metode de transformare............................... 9 4.5. Filtre analogice.......................... 20 4.5.2 Transformarea biliniară..................... 22 4.5.3 Transformări discret-discret în frecvenţă............ 25

2 5 Analiza în frecvenţă a semnalelor 33 5. Seria Fourier discretă........................... 33 5.2 Transformata Fourier discretă...................... 39 5.3 Transformata Fourier rapidă....................... 44 5.3. Decimare în timp......................... 44 5.3.2 Decimare în frecvenţă...................... 48 6 Cuantizare 57 6. Cuantizare scalară............................ 57 6.2 Proiectarea unui cuantizor........................ 64 6.3 Cuantizare vectorială........................... 73 A Semnale şi sisteme analogice 79 A. Semnale analogice............................ 79 A.2 Sisteme analogice............................. 8

Capitolul Semnale. Semnale discrete Definiţia. Un semnal discret x este o funcţie definită pe mulţimea numerelor întregi, x : Z R. Mulţimea Z are semnificaţia de timp (discret). Notăm x[n] valoarea semnalului la momentul n; numim x[n] şi eşantionul n al semnalului. Printr-un abuz curent de notaţie, vom scrie şi că întreg semnalul este x[n], subînţelegând prin aceasta că n Z este o variabilă liberă. Un exemplu de semnal discret este prezentat în figura.. În practică apar îndeosebi semnale reale, i.e. care au valori în mulţimea numerelor reale, ca în definiţia.. Teoretic, semnalele complexe sunt foarte importante; un semnal complex este o funcţie x : Z C. Prezentăm mai jos câteva posibile proprietăţi ale semnalelor discrete. Definiţia.2 Un semnal x[n] este periodic de perioadă N sau N periodic, dacă x[n] = x[n + kn], pentru orice n, k Z. În general, numim perioadă a semnalului cel mai mic N pozitiv cu proprietatea de mai sus. Definiţia.3 Se spune că semnalul x[n] este absolut sumabil dacă x[n] <. n= Mulţimea tuturor semnalelor absolut sumabile este notată l. Definiţia.4 Se spune că semnalul x[n] are energie finită dacă x[n] 2 <. n= Mulţimea tuturor semnalelor de energie finită este notată l 2. Suportul unui semnal. Spunem că semnalul x[n] are suport T Z dacă x[n] = 0, n Z \ T, adică semnalul este nul în afara mulţimii suport. Semnalele pot avea: 3

4 CAPITOLUL. SEMNALE 2.5 x[n] 2.5...... 0.5 0 n 0.5.5 2 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 Figura.: Un exemplu de semnal discret. suport finit, când T este o mulţime finită, e.g. T = 0 : M, unde M este un întreg pozitiv; suport infinit la dreapta, când x[n] = 0 pentru n < M, cu M Z fixat. suport infinit la stânga, când x[n] = 0 pentru n > M, cu M Z fixat. suport dublu infinit (sau infinit bilateral), când T = Z. Prezentăm în continuare câteva semnale extrem de folosite. Impuls unitate. Semnalul impuls unitate, prezentat în figura.2a este definit de {, dacă n = 0, δ[n] = 0, altfel. (.) Orice semnal x[n] poate fi descris ca o sumă infinită de impulsuri unitate (decalate în timp), anume x[n] = x[k]δ[n k]. (.2) k= Treaptă unitate. Semnalul treaptă unitate, prezentat în figura.2b este definit de {, dacă n 0, u[n] = (.3) 0, altfel. Aplicând relaţia (.2) se observă că între treapta şi impulsul unitate există relaţia u[n] = δ[n k]. (.4) k=0

.. SEMNALE DISCRETE 5 δ[n] u[n]............ n n 5 4 3 2 0 2 3 4 5 5 4 3 2 0 2 3 4 5 a) b) Figura.2: a) Impuls unitate; b) treapta unitate. Semnale sinusoidale. Un semnal sinusoidal discret real are forma x[n] = sin(ωn + ϕ). (.5) Există o mare deosebire între sinusoidele discrete şi cele continue. Acestea din urmă, de forma x(t) = sin(ωt + ϕ), t R, sunt întotdeauna periodice, de perioadă T 0 = 2π/Ω. Sinusoida discretă (.5) este periodică doar dacă există un întreg k astfel încât N = 2πk (.6) ω să fie întreg. Cu alte cuvinte, este necesar ca π/ω să fie un număr raţional. În acest caz, perioada este cel mai mic întreg pozitiv N care satisface (.6). Prezentăm în figura.3 semnalul sin(πn/3), a cărui perioadă este N = 6; punctat, este figurată sinusoida continuă sin(πt/3), care trece prin aceleaşi puncte ca şi cea discretă. O sinusoidă aperiodică este sinn, desenată în figura.4. Numim ω din (.5) frecvenţa semnalului sinusoidal. (Acesta este un abuz comun în prelucrarea semnalelor, deoarece termenul corespunzător din fizică este pulsaţia. Abuzul este justificat de proporţionalitatea dintre frecvenţă şi pulsaţie.) O proprietate esenţială a semnalelor sinusoidale discrete este că semnale cu frecvenţe diferite pot fi identice. (Spre deosebire, sinusoidele continue cu frecvenţe diferite sunt întotdeauna diferite.) Propoziţia.5 Două sinusoide de forma (.5), cu frecvenţele ω şi ω + 2kπ, unde k este un întreg arbitrar, sunt identice. Demonstraţie. În mod evident avem sin((ω + 2kπ)n + ϕ) = sin(ωn + ϕ). Aşadar, doar semnalele sinusoidale cu frecvenţe ω [ π, π] sunt distincte. Prezentăm în figura.5 sinusoidele identice sin(πn/4) = sin(9πn/4), precum şi sinusoidele continue diferite din care provin. Semnale sinusoidale complexe. Un semnal sinusoidal discret complex are forma x[n] = e j(ωn+ϕ) = cos(ωn + ϕ) + j sin(ωn + ϕ). (.7)

6 CAPITOLUL. SEMNALE 0.5...... 0 n 0.5 6 4 2 0 2 4 6 8 0 2 4 Figura.3: Semnalul sin(πn/3), de perioadă 6. sin(πt/3). Punctat, sinusoida continuă 0.5...... 0 n 0.5 6 4 2 0 2 4 6 8 0 2 4 Figura.4: Semnalul aperiodic sinn. Punctat, sinusoida continuă sint.

.. SEMNALE DISCRETE 7 0.5...... 0 n 0.5 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 Figura.5: Sinusoidele identice sin(πn/4) = sin(9πn/4). Punctat, sinusoidele continue diferite sin(πt/4) şi sin(9πn/4). Semnale exponenţiale. Un semnal discret exponenţial are forma x[n] = α n u[n], α C, (.8) cu u[n] treapta unitate definită în (.3). Dacă α <, atunci lim n x[n] = 0. Dacă α =, atunci x[n] = u[n] este treapta unitate. Dacă α =, atunci se obţine o sinusoidă (pentru n 0). În fine, dacă α >, atunci semnalul este divergent (în sensul că nu există lim n x[n]). Operaţii cu semnale. Fie x[n], y[n] două semnale. Având în vedere că un semnal este o funcţie, produsul unui semnal cu un scalar, i.e. αx[n], α R, sau suma a două semnale, i.e. x[n] + y[n], au definiţii evidente. Alte operaţii de interes în prelucrarea semnalelor sunt următoarele. Definiţia.6 Convoluţia semnalelor x[n], y[n] este semnalul x[n] y[n] def = k= x[k]y[n k]. (.9) Definiţia.7 Modulaţia în timp a semnalelor x[n], y[n] este semnalul x[n]y[n] obţinut prin înmulţirea eşantioanelor corespunzătoare aceluiaşi moment de timp. (Frecvent se spune că semnalul x[n] este modulat în timp prin semnalul y[n], sau invers.) Probleme rezolvate PR.. a. Ce perioadă are semnalul sin(3πn/5)? b. Ce semnificaţie are numărul k din (.6)? c. Daţi un exemplu de semnal sinusoidal discret de perioadă 3.

8 CAPITOLUL. SEMNALE 0.5...... 0 n 0.5 2 0 2 4 6 8 0 2 Figura.6: Semnalul sin(3πn/5) are perioada N = 0. Unei perioade a semnalului îi corespund k = 3 perioade ale semnalului continuu sin(3πt/5). Soluţie. a. Deoarece frecvenţa semnalului este ω = 3π/5, se observă din (.6) că cel mai mic k pentru care N este întreg este k = 3; perioada semnalului este N = 0. Semnalul este ilustrat în figura.6. b. Numărul k din (.6) reprezintă numărul de perioade ale semnalului sinusoidal continuu x(t) = sin(ωt + ϕ) care corespund unei perioade a semnalului discret (.5). Vezi şi figura.6. c. Alegând ω = 2π/3, rezultă din (.6) că N = 3 pentru k =. PR..2 Fie semnalele x[n] = 2 sin ( π 3 n + π ) ( π ), y[n] = cos 4 4 n. Este x[n] + y[n] un semnal periodic? Dacă da, care este perioada lui? Soluţie. Semnalul x[n] are perioadă 6, iar semnalul y[n] are perioadă 8. Suma a două semnale periodice este periodică, iar perioada sa este cel mai mic multiplu comun al perioadelor celor două semnale, în cazul nostru 24. PR..3 a. Care este sinusoida discretă cu cea mai înaltă frecvenţă? b. Pot fi identice două sinusoide discrete cu aceeaşi frecvenţă, dar cu amplitudini diferite? (Semnalul sinusoidal x[n] = a sin(ωn + ϕ), cu a > 0 are amplitudinea a.) Soluţie. a. Frecvenţa cea mai înaltă este ω = π. Un semnal cu această frecvenţă este cos(πn) = ( ) n, desenat în figura.7. b. Da, de exemplu cos(πn) = 2 cos(πn + π 3 ).

.. SEMNALE DISCRETE 9 0.5...... 0 n 0.5 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Figura.7: Semnalul cos(πn) are frecvenţă maximă. Probleme propuse PP.. Poate fi periodic un semnal cu suport finit? Dar unul cu suport infinit la dreapta? PP..2 Un semnal x[n] este întârziat cu n 0 momente de timp (adică noul semnal este y[n] = x[n n 0 ]). Care din următoarele proprietăţi ale semnalului x[n] se conservă după întârziere: a) periodicitate, b) formă sinusoidală, c) suport finit, d) suport infinit la dreapta? PP..3 Aceeaşi întrebare pentru semnalul y[n] = x[ n] obţinut prin inversarea sensului timpului. PP..4 Este un semnal constant periodic? Dacă da, care este perioada sa? PP..5 Care dintre semnalele impuls unitate (.), treaptă unitate (.3), sinusoidal (.5), exponenţial (.8) este absolut sumabil? PP..6 Demonstraţi că orice semnal absolut sumabil are energie finită, i.e. că este satisfăcută incluziunea l l 2. Daţi un exemplu de semnal cu energie finită care nu este absolut sumabil; demonstraţi astfel că incluziunea de mai sus e strictă. PP..7 Demonstraţi că operaţia de convoluţie a semnalelor, definită de (.9), este comutativă şi asociativă. PP..8 Fie x[n] şi y[n] două semnale periodice. Sunt periodice semnalele obţinute prin convoluţia sau modulaţia în timp a celor două semnale date? PP..9 Fie x [n] şi x 2 [n] două semnale cu suport infinit la dreapta, anume M : şi M 2 :. Care este suportul convoluţiei lor x [n] x 2 [n]? Caz particular: M = M 2 = 0.

0 CAPITOLUL. SEMNALE Formulaţi şi rezolvaţi o problemă asemănătoare pentru semnale cu suport infinit la stânga. Dacă x [n] are suport infinit la stânga iar x 2 [n] suport infinit la dreapta, demonstraţi că x [n] x 2 [n] are suport dublu infinit. Ghid Matlab În Matlab se pot utiliza doar semnale cu suport finit, în variabile de tip vector; adoptăm convenţia ca aceşti vectori să fie de tip linie. Pentru exemplificare vom considera suportul >> n = 0:M de lungime >> L = length(n) Semnalele definite în această secţiune, i.e. impuls unitate (.), treaptă unitate (.3), sinusoidă reală (.5), exponenţial (.8) se introduc simplu astfel >> imp_unit = eye(,l) % impuls unitate >> tr_unit = ones(,l) % treapta unitate >> sin_real = sin(w*n + phi) % sinusoida reala >> j = sqrt(-) >> sin_compl = exp( j*(w*n + phi)) % sinusoida complexa >> e = ones(,l) >> e(2:end) = alfa >> e = cumprod(e) % semnal exponential Desigur, înainte de executarea instrucţiunile de mai sus, variabilele w, phi, alfa au primit valori numerice adecvate. Graficul unui semnal real se poate face cu funcţia plot; tipică pentru semnale discrete este însă funcţia stem (cu care au fost trasate graficele din această secţiune), apelată e.g. astfel >> stem(n, sin_real) Pentru a ilustra operaţiile cu semnale, considerăm că x şi x2 conţin două semnale cu acelaşi suport. Atunci, suma lor se scrie >> xs = x + x2 modulaţia în timp (produsul la nivel de element) este >> xm = x.* x2 iar convoluţia lor este >> xc = conv(x,x2) Atenţie, semnalul xc obţinut prin convoluţie are alt suport decât x şi x2; de exemplu, dacă x şi x2 au suport 0 : M, atunci xc are suport 0 : 2M.

.2. TRANSFORMATA FOURIER.2 Transformata Fourier Definiţia.8 Transformata Fourier a unui semnal discret x[n] este funcţia X : R C, definită de X(ω) = x[n]e jωn. (.0) Notăm pe scurt X(ω) = TF(x[n]). n= Din motive care vor fi evidente mai târziu, folosim şi notaţia X(e jω ) cu aceeaşi semnificaţie ca X(ω). Deocamdată vom utiliza mai ales notaţia din (.0); în schimb, atunci când va fi vorba despre sisteme, cealaltă notaţie va prevala. Observaţia.9 Ştim din Propoziţia.5 că sinusoidele cu frecvenţe diferind cu 2π sunt identice. În consecinţă, transformata Fourier X(ω) este periodică cu perioada 2π şi de aceea este suficient să studiem transformata Fourier a unui semnal doar în intervalul ω [ π, π]. Observaţia.0 Nu orice semnal x[n] are o transformată Fourier definită pe întreg intervalul [ π, π], deoarece seria (.0) poate fi divergentă. O condiţie suficientă de convergenţă este următoarea. Propoziţia. Dacă semnalul x[n] este absolut sumabil, atunci X(ω) din (.0) există pentru orice ω. (Mai mult, seria (.0) converge uniform către o funcţie continuă în ω.) Propoziţia.2 Dacă x[n] este un semnal de energie finită, atunci seria (.0) converge (i.e. transformata Fourier există) aproape peste tot. Mai precis, fie X M (ω) = M n= M x[n]e jωn. (.) Atunci avem π lim X(ω) X M (ω) 2 dω = 0, (.2) M π adică energia erorii de aproximare a lui X(ω) prin X M (ω) tinde spre zero, dar eroarea nu se anulează neapărat peste tot. (Pe scurt, X M (ω) poate să nu conveargă peste tot la X(ω); desigur, convergenţa nu e uniformă, în general.) Teorema.3 Transformata Fourier inversă, care asociază unei funcţii X(ω) semnalul x[n] (a cărui transformată Fourier este X(ω)) este x[n] = 2π π π X(ω)e jωn dω. (.3) Forma transformatei Fourier inversă (.3) sugerează semnificaţia transformatei Fourier a unui semnal: X(ω), ω [ π, π], reprezintă conţinutul în frecvenţă al semnalului x[n]. Funcţia complexă X(ω) este numită spectrul semnalului x[n]; desigur, X(ω) este amplitudinea (magnitudinea) spectrului, iar argx(ω) este faza spectrului. De asemenea, X(ω) 2 este numită densitate de energie spectrală, din motive ce vor fi evidente mai jos, după prezentarea teoremei lui Parseval.

2 CAPITOLUL. SEMNALE Proprietăţi ale transformatei Fourier Vom enumera în continuare câteva proprietăţi importante ale transformatei Fourier. Fie x[n], y[n] semnale complexe, iar X(ω), Y (ω) transformatele Fourier ale acestora. Liniaritate. Pentru orice α, β C avem TF(αx[n] + βy[n]) = α TF(x[n]) + β TF(y[n]). (.4) Întârziere. Fie n 0 un întreg oarecare şi y[n] = x[n n 0 ], i.e. y[n] este semnalul x[n] întârziat cu n 0 momente de timp (o întârziere negativă este de fapt o anticipare). Relaţia între transformatele Fourier ale celor două semnale este Complex conjugare. Fie y[n] = x [n]. Atunci Y (ω) = e jωn0 X(ω). (.5) Y (ω) = X ( ω). (.6) Simetrii ale TF pentru semnale reale. Dacă semnalul x[n] este real, atunci au loc următoarele proprietăţi de simetrie: X( ω) = X (ω), ReX(ω) = ReX( ω), ImX(ω) = ImX( ω), X(ω) = X( ω), argx(ω) = argx( ω). (.7) Cu alte cuvinte, X(ω) şi ReX(ω) sunt funcţii pare, iar ImX(ω) şi argx(ω) sunt funcţii impare. Timp invers. Considerăm semnalul y[n] = x[ n] obţinut prin inversarea sensului timpului pentru semnalul x[n]. Avem Y (ω) = X( ω). (.8) Derivare în frecvenţă: TF(nx[n]) = j dx(ω) dω. (.9) Teorema lui Parseval. Forma generală a acestei teoreme este n= x[n]y [n] = π X(ω)Y (ω)dω. (.20) 2π π Termenul din stânga are semnificaţie de produs scalar în spaţiul semnalelor; similar, termenul din dreapta are semnificaţie de produs scalar în spaţiul funcţiilor definite pe intervalul [ π, π]. Punând y[n] = x[n] în (.20) se obţine egalitatea numită de obicei teorema lui Parseval x[n] 2 = π X(ω) 2 dω. (.2) 2π π n=

.2. TRANSFORMATA FOURIER 3 Aşadar, energia în timp a semnalului este egală (modulo constanta /2π) cu energia în frecvenţă a acestuia. Termenul din dreapta justifică denumirea de densitate de energie spectrală atribuită lui X(ω) 2. Convoluţie. Prin transformata Fourier, convoluţia a două semnale este transformată în produs al transformatelor Fourier, i.e. Modulaţie în timp. Avem TF(x[n] y[n]) = X(ω) Y (ω). (.22) TF(x[n]y[n]) = 2π π π X(θ)Y (ω θ)dθ. (.23) Probleme rezolvate PR.2. a. Demonstraţi că dacă m este întreg, atunci π { e jωm 2π, dacă m = 0 dω = 2πδ[m] = 0, altfel. π b. Demonstraţi Teorema.3. (.24) Soluţie. a. Calculăm direct. Pentru m = 0 obţinem iar pentru m 0 avem π π π π e jωm dω = π π dω = 2π e jωm dω = jm ejωm π 2j sin(mπ) π = = 0, jm deoarece sin(mπ) = 0 pentru orice m întreg. b. Substituim (.0) în (.3), apoi utilizăm (.24) şi obţinem ( π ) x[k]e jωk e jωn dω = π x[k] e jω(n k) dω = 2π π 2π k= k= π = x[k]δ[n k] = x[n]. k= Ultima egalitate este (.2). Aşadar funcţia (.3) este inversa funcţiei (.0). PR.2.2 a. Calculaţi transformata Fourier a semnalului exponenţial definit de (.8), cu α <. b. Calculaţi transformata Fourier a semnalului y[n] = α n u[ n ], cu α >. Soluţie. a. Folosim definiţia (.0) şi obţinem X(ω) = α n e jωn = (αe jω ) n = αe jω. n=0 n=0

4 CAPITOLUL. SEMNALE În calculul sumei progresiei geometrice de mai sus am ţinut seama că lim n (αe jω ) n = 0, deoarece raţia αe jω are modul subunitar. b. Aplicând din nou definiţia (.0) obţinem Y (ω) = n= α n e jωn = ( ) (α e jω ) n = α e jω = n= αe jω. De data aceasta avem lim n (α e jω ) n = 0. Atenţie, semnalele x[n] = α n u[n] şi y[n] = α n u[ n ] nu au transformate Fourier identice, deoarece ele sunt definite pentru valori diferite ale parametrului α. În primul caz avem α <, în al doilea α >. De altfel, două semnale nu pot avea aceeaşi transformată Fourier, deoarece TF este o bijecţie. PR.2.3 Considerăm semnalul x[n] al cărui spectru, ilustrat în figura.8, este {, pentru ω ωt, X(ω) = 0, pentru ω t < ω π, unde ω t este dat. Aşadar, semnalul x[n] are un spectru ideal de joasă frecvenţă. Calculaţi x[n] folosind transformata Fourier inversă (.3). Soluţie. Introducem funcţia sinc (numită şi nucleul Dirichlet; ea va apărea de multe ori în continuare): sinc ω = sin ω ω. (.25) Folosind transformata Fourier inversă obţinem x[n] = 2π π π = sin(ω tn) πn X(ω)e jωn dω = 2π ωt ω t e jωn dω = ω t 2πjn ejωn ω t = ω t π sinc(ω tn). (.26) Un exemplu de astfel de semnal este prezentat în figura.8. Se observă că semnalul are suport dublu infinit. Am obţinut deci egalitatea X(ω) = n= sin(ω t n) e jωn = ω t πn π n= sinc(ω t n)e jωn. (.27) PR.2.4 (Fenomenul Gibbs) Se consideră semnalul x[n] definit de (.26), cu spectrul ideal de joasă frecvenţă din figura.8. Scrieţi un program Matlab care să deseneze modulul spectrului semnalului { x[n], pentru n = M : M, x M [n] = 0, altfel; cu alte cuvinte, seria (.27) se trunchiază ca în (.).

.2. TRANSFORMATA FOURIER 5.2 0.4 0.35 0.3 0.8 0.25 0.2 0.6 0.4 0.5 0...... 0.2 0 π π/3 π/3 π 0.2 4 3 2 0 2 3 4 ω 0.05 0 0.05 0. 5 0 5 0 5 0 5 n Figura.8: Spectru de joasă frecvenţă ideal, cu ω t = π/3 (stânga). Semnalul corespunzător (dreapta). Observaţi că, pe măsură ce M creşte, spectrul X M (ω) se apropie de caracteristica ideală, mai puţin în apropierea frecvenţei ω t. Aceasta este o ilustrare a convergenţei transformatei Fourier conform Propoziţiei.2 şi se numeşte fenomenul Gibbs. (De asemenea, demonstraţi că semnalul (.26) are energie finită.) Soluţie. Programul este prezentat în figura.9, în două variante. Prima este cea naivă, în care seria (.27) se trunchiază pur şi simplu. Singurul artificiu de calcul este utilizarea simetriei transformatei Fourier pentru semnale reale (prima relaţie din (.7)). Observăm că spectrul este calculat într-un număr de puncte np, pentru comoditate alese echidistant. De asemenea, trebuie precizată explicit valoarea x[0] = ω t /π care rezultă din (.26) pentru n = 0; în Matlab (şi în orice alt limbaj de programare care utilizează formatul virgulă mobilă pentru numere reale), calculul direct al lui x[0] duce la operaţia 0/0, al cărui rezultat este NaN ( not a number, simbolul pentru rezultate nedeterminate în standardul virgulă mobilă). A doua variantă de program utilizează proprietăţile semnalului (.26) pentru un calcul mai rapid. Observăm că semnalul (.26) este par, adică x[ n] = x[n]. În acest caz se poate demonstra uşor că X(ω) este real (şi deci par), şi că X(ω) = ω t π + 2 M n= sin(ω t n) πn cos(ωn). (Vezi problema PP.2.4 pentru mai multe amănunte.) Transformata Fourier X(ω) calculată de programul de mai sus este prezentată în figura.0, pentru M = 3, 0, 30, 00 şi ω t = π/3. Fenomenul Gibbs este evident, eroarea absolută în jurul frecvenţei ω = ω t rămânând mare chiar pentru valori foarte mari ale lui M, pentru care x[n] este foarte mic (spre exemplu x[00] = 0.0028, dar eroarea absolută maximă este aproape 0.09). În sfârşit, pentru a demonstra că semnalul (.26) are energie finită este suficient să observăm că x[n] < /n, pentru n > 0, şi deci n= x[n] 2 < n= /n2 ; seria din termenul drept este convergentă. În plus, avem x[ n] = x[n]. PR.2.5 (Transformata Fourier a semnalelor sinusoidale complexe) Semnalul sinusoidal complex x[n] = e jω0n, unde ω 0 [ π, π] este dat, nu are energie

6 CAPITOLUL. SEMNALE function [X,w] = tf_jf(wt, M, np) % calculeaza transformata Fourier a semnalului ideal % de joasa frecventa trunchiat la intervalul -M:M % wt - frecventa maxima (banda de frecvente este [0,wb]) % M - limita suportului semnalului % np - numarul de frecvente (echidistante) in care se calculeaza % transformata Fourier if nargin < 3 np = 200; end %------------------------------------------ % VARIANTA n = -M:M; x = sin(wt*n)./(pi*n); x((+end)/2) = wt/pi; w = 0:2*pi/np:pi; for k = : length(w) X(k) = sum( x.* exp(-j*w(k)*n) ); end X = [ conj(x(end:-:2)) X ]; w = [ -w(end:-:2) w ]; %------------------------------------------ % VARIANTA 2 n = (:M) ; x = sin(wt*n)./(pi*n); w = 0:2*pi/np:pi; X = x * cos(n*w); X = 2*X + wt/pi; X = [ X(end:-:2) X ]; w = [ -w(end:-:2) w ]; Figura.9: Program de calcul al modulului transformatei Fourier (.27) trunchiată la suportul M : M.

.2. TRANSFORMATA FOURIER 7.2.2 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0 ωω 0.2 0 ω π π/3 π/3 π 0.2 4 3 2 0 2 3 4.2 π π/3 π/3 π 0.2 4 3 2 0 2 3 4.2 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0 ω 0.2 0 ω π π/3 π/3 π 0.2 4 3 2 0 2 3 4 π π/3 π/3 π 0.2 4 3 2 0 2 3 4 Figura.0: Modulul transformatei Fourier (.27) trunchiată la suportul M : M, pentru M = 3, 0, 30, 00. finită şi seria (.0) nu este convergentă. Totuşi, putem asocia o transformată Fourier acestui semnal, anume X(ω) = 2π l= δ(2πl + ω ω 0 ). (.28) Notăm δ(ω) impulsul Dirac situat în origine. Observăm că X(ω) este periodică şi că restricţia la intervalul [ π, π] este impulsul 2πδ(ω ω 0 ). Interpretare: semnalul sinusoidal are un spectru nenul într-o singură frecvenţă (în care se concentrează toată energie sa). Un spectru de acest tip se numeşte şi spectru de linii (una singură, în cazul de faţă). Demonstraţi, folosind definiţia (.3), că semnalul sinusoidal x[n] se obţine aplicând transformata Fourier inversă funcţiei (spectru) X(ω). Soluţie. Demonstraţia este banală, ţinând seama de proprietăţile impulsului Dirac: π 2πδ(ω ω 0 )e jωn dω = e jω0n. 2π π PR.2.6 Demonstraţi proprietăţile (.4.23) ale transformatei Fourier.

8 CAPITOLUL. SEMNALE Soluţie. Liniaritatea (.4) este evidentă. Întârziere. Luând y[n] = x[n n 0 ] şi aplicând definiţia (.0) obţinem Y (ω) = x[n n 0 ]e jωn = x[n]e jω(n+n0) = e jωn0 X(ω). n= n= Complex conjugare. Luăm y[n] = x [n] şi obţinem ( ) Y (ω) = x [n]e jωn = x[n]e jωn = X ( ω). n= n= Simetriile TF pentru semnale reale rezultă din (.6), ţinând seama că x [n] = x[n]. Aşadar avem X(ω) = X ( ω), ceea ce implică toate relaţiile (.7). Derivare în frecvenţă. Avem dx(ω) dω = d dω ( n= x[n]e jωn ) = n= ( jnx[n]e jωn ), de unde (.9) rezultă imediat. Teorema lui Parseval. Folosim definiţia TF şi proprietatea (.24): π X(ω)Y (ω)dω = 2π π = (.24) = π 2π 2π π n= n= k= n= x[n]y [n]. x[n]e jωn x[n]y [k] k= π π y [k]e jωk dω e jω(k n) dω Convoluţie. Transformata Fourier a semnalului x[n] y[n] definit în (.9) este n= k= x[k]y[n k]e jωn = k= x[k]e jωk n= y[n k]e jω(n k) = X(ω)Y (ω), ceea ce demonstrează (.22). Modulaţie în timp. Relaţia (.23) se demonstrează înlocuind X(θ) şi Y (ω θ) cu definiţia (.0). Probleme propuse PP.2. Calculaţi transformata Fourier a semnalului {, pentru n = 0 : M, x[n] = 0, altfel, unde M este un întreg pozitiv dat.

.2. TRANSFORMATA FOURIER 9 PP.2.2 Calculaţi transformata Fourier a semnalului x[n] = α n, cu α <. PP.2.3 Calculaţi transformata Fourier a semnalului x[n] = nα n u[n], unde α <. (Observaţi că x[n] este absolut sumabil.) PP.2.4 a. Fie x[n] un semnal complex cu proprietatea x[ n] = x [n], n Z; spunem că un astfel de semnal este par. Observaţi că x[0] R. Demonstraţi că transformata sa Fourier este reală, mai precis că X(ω) = x[0] + 2 Re ( x[n]e jωn). n= Demonstraţi că, dacă x[n] este un semnal real par, i.e. are proprietatea x[ n] = x[n], n Z, atunci transformata sa Fourier este X(ω) = x[0] + 2 x[n] cos(ωn). n= b. Fie x[n] un semnal complex cu proprietatea x[ n] = x [n], n Z; spunem că un astfel de semnal este impar. Observaţi că x[0] jr (i.e. este pur imaginar). Demonstraţi că transformata sa Fourier este pur imaginară, mai precis că X(ω) = 2j Im ( x[n]e jωn). n= Demonstraţi că, dacă x[n] este un semnal real impar, i.e. are proprietatea x[ n] = x[n], n Z, atunci transformata sa Fourier este X(ω) = 2j x[n] sin(ωn). n= PP.2.5 Fie x[n] un semnal complex şi X(ω) = TF(x[n]). Calculaţi, în funcţie de X(ω), transformata Fourier a semnalului y[n] = x [n 0 n], unde n 0 Z este dat. PP.2.6 Calculaţi transformatele Fourier ale semnalelor cos(ω 0 n) şi sin(ω 0 n), unde ω 0 [ π, π] este dat. (Indicaţie: utilizaţi (.28).) PP.2.7 Se consideră semnalul constant x[n] =. Demonstraţi că transformata sa Fourier, definită pe intervalul [ π, π], este impulsul centrat în origine 2πδ(ω). (Indicaţie: folosiţi transformata Fourier inversă.) Se obţine aşadar relaţia 2πδ(ω) = n= e jωn. Desigur, semnalul x[n] nu are energie finită. Fenomenul Gibbs apare şi în acest caz; desenaţi graficul sumei trunchiate M n= M e jωn,

20 CAPITOLUL. SEMNALE pentru diverse valori ale lui M. Veţi obţine aproximări ale impulsului unitate (în frecvenţă, adică într-un domeniu continuu). Aceste aproximări vor avea oscilaţii mari în apropierea frecvenţei ω = 0. PP.2.8 Fie x[n] un semnal cu energie finită şi X(ω) transformata sa Fourier. Definim semnalul r[k] = x[n]x [n k] (.29) n= şi notăm R(ω) transformata sa Fourier. a. Demonstraţi că are loc egalitatea R(ω) = X(ω) 2. b. Observaţi că r[0] = n= x[n] 2 este energia semnalului x[n]. Din transformata Fourier inversă deduceţi teorema lui Parseval. Ghid Matlab r[k] = π R(ω)e jωk dω, 2π π Transformata Fourier a unui semnal cu suport finit se poate calcula într-un mod similar programului din figura.9. Deci, luând o grilă de frecvenţe >> w = 0:pas:pi unde, e.g. pas=0.0, transformata Fourier a semnalului x cu suportul >> n = 0:M se poate calcula simplu prin >> X = x * exp(-j*n *w) Amplitudinea transformatei Fourier se desenează cu >> plot(w, abs(x)) iar faza prin >> plot(w, angle(x)) De exemplu, pentru problema PP.2., făcând abstracţie de formula simplă cerută acolo, transformata Fourier se poate calcula astfel >> M = 0 % o valoare intreaga oarecare >> w = 0 : pi/200 : pi % sunt de fapt 20 puncte >> x = ones(, M+) % semnalul >> X = x * exp(-j*(0:m) *w) % transformata Fourier O altă variantă de calcul presupune utilizarea funcţiei freqz, care va fi discutată mai în detaliu în capitolul 2. Transformata Fourier se calculează pe grila de frecvenţe w prin apelul >> X = freqz(x,, w) De asemenea, transformata Fourier se poate calcula eficient (pe o anumită grilă de frecvenţe), cu funcţia fft. Aceasta va fi discutată după prezentarea transformatei Fourier discrete şi a algoritmilor rapizi de implementare a acesteia, în capitolul 5.

.3. TRANSFORMATA Z 2.3 Transformata Z Definiţia.4 Transformata Z (bilaterală) a unui semnal discret x[n] este funcţia X : C C X(z) = x[n]z n. (.30) Folosim şi notaţia X(z) = TZ(x[n]). n= Observăm că transformata Fourier (.0) este un caz particular al transformatei Z, pentru z = e jω. Notaţia X(e jω ) pentru transformata Fourier (spre deosebire de notaţia naturală X(ω)) subliniază această legătură. Observaţia.5 Pentru marea majoritate a semnalelor, transformata Z există (în sensul că seria (.30) converge) într-o anume regiune a planului complex (care nu conţine neapărat cercul unitate), numită regiune de convergenţă. Aşadar semnale care nu au transformată Fourier pot avea transformată Z. Vezi problema PR.3. pentru un exemplu. Observaţia.6 Mai multe semnale pot avea aceeaşi transformată Z, dar regiuni de convergenţă disjuncte. Exemple de astfel de semnale sunt prezentate în problemele PR.3. şi PR.3.2. Teorema.7 Transformata Z inversă, care asociază unei funcţii X(z) semnalul x[n] (a cărui transformată Z este X(z)) este x[n] = X(z)z n dz. (.3) 2πj Integrala se calculează pe un contur închis în jurul originii în planul complex, parcurs în sens invers acelor de ceas; conturul este situat în regiunea de convergenţă a transformatei Z pentru semnalul x[n]. Aşadar transformata Z inversă nu depinde doar de X(z) ci şi de regiunea de convergenţă a transformatei. În aceste condiţii, transformata Z este unică. Teorema de mai sus are puţină utilitate practică, datorită dificultăţii calculării integralei (.3). De obicei, recuperarea unui semnal a cărui transformată Z este cunoscută se face utilizând transformate Z elementare (unele prezentate în tabelul.) şi proprietăţi ale transformatei Z (prezentate mai jos). Proprietăţi ale transformatei Z Vom enumera în continuare câteva proprietăţi importante ale transformatei Z. Fie x[n], y[n] semnale şi X(z), Y (z) transformatele lor Z. Liniaritate. Pentru orice α, β C avem TZ(αx[n] + βy[n]) = α TZ(x[n]) + β TZ(y[n]). (.32)

22 CAPITOLUL. SEMNALE Semnal Transformata Z Impuls unitate întârziat: δ[n n 0 ] z n0 Treaptă unitate: u[n] z Exponenţială: α n u[n] αz Sinus: sin(ω 0 n)u[n] sin ω 0 z 2 cosω 0 z + z 2 Cosinus: cos(ω 0 n)u[n] cosω 0 z 2 cosω 0 z + z 2 Tabelul.: Transformate Z ale unor semnale uzuale. Întârziere. Fie n 0 un întreg oarecare şi y[n] = x[n n 0 ], i.e. semnalul x[n] întârziat. Relaţia dintre transformatele Z ale celor două semnale este Y (z) = z n0 X(z). (.33) În cazul în care n 0 =, relaţia de mai sus este Y (z) = z X(z), adică întârzierea cu un moment de timp corespunde unei înmulţiri cu z. De aceea, z se numeşte şi operator de întârziere cu un pas (eşantion). Înmulţirea cu o exponenţială. Fie x[n] un semnal oarecare şi y[n] = α n x[n], cu α C. Atunci avem Y (z) = X(z/α). (.34) Timp invers. Considerăm semnalul y[n] = x[ n] obţinut prin inversarea sensului timpului pentru semnalul x[n]. Avem Y (z) = X(z ). (.35) Derivare după z: TZ(nx[n]) = z dx(z). (.36) dz Convoluţie. Prin transformata Z, convoluţia a două semnale este transformată în produs al transformatelor Z, i.e. Probleme rezolvate TZ(x[n] y[n]) = X(z) Y (z). (.37) PR.3. Calculaţi transformata Z a semnalului exponenţial definit de (.8). Care este regiunea de convergenţă a transformatei Z a acestui semnal? Soluţie. Aplicând (.30) obţinem X(z) = α n z n = (αz ) n = n=0 n=0 αz.

.3. TRANSFORMATA Z 23 Seria de mai sus converge dacă raţia αz are modul subunitar, deci în regiunea inelară (infinită) a planului complex în care z > α. Aşadar, când α >, transformata Z a semnalului exponenţial există într-o zonă a planului complex, în timp ce transformata Fourier nu există. PR.3.2 Calculaţi transformata Z a semnalului y[n] = α n u[ n ] şi determinaţi regiunea de convergenţă a acesteia. Soluţie. Aplicând (.30) obţinem Y (z) = n= α n z n = ( ) (α z) n = α z = n= αz. Convergenţa are loc când α z <, i.e. z < α. Regiunile de convergenţă ale semnalelor y[n] (din această problemă) şi x[n] (din problema precedentă) sunt disjuncte; transformatele Z ale semnalelor sunt identice. PR.3.3 Determinaţi semnalul a cărui transformată Z este X(z) = + 2z.5z + 0.5z 2. Soluţie. Scriem numitorul ca produs a doi factori şi descompunem în fracţii simple:.5z + 0.5z = ( z )( 0.5z ) = 2 z 0.5z. Din problema PR.3. observăm că X (z) = z, X 2(z) = 0.5z sunt transformatele Z ale treptei unitate x [n] = u[n], respectiv exponenţialei x 2 [n] = 0.5 n. Regiunile de convergenţă ale transformatelor sunt z >, respectiv z > 0.5. Ţinând seama de proprietăţile de liniaritate (.32) şi întârziere (.33), semnalul a cărui transformată Z este X(z) este x[n] = 2x [n] + 4x [n ] x 2 [n] 2x 2 [n ] = (2 0.5 n )u[n] + 2(2 0.5 n )u[n ]. Mai sus am presupus că regiunea de convergenţă a transformatei Z este z > adică intersecţia regiunilor de convergenţă considerate pentru X (z) şi X 2 (z). Putem însă considera alte două regiuni, pentru care se obţin semnale diferite (cititorul este rugat să completeze detaliile). Dacă regiunea de convergenţă este z < 0.5, atunci conform PR.3.2, semnalul a cărui transformată Z este X(z) este x[n] = ( 2 + 0.5 n )u[ n ] + 2( 2 + 0.5 n )u[ n].

24 CAPITOLUL. SEMNALE Dacă regiunea de convergenţă este 0.5 < z <, atunci obţinem x[n] = 2u[ n ] 4u[ n] 0.5 n u[n] 2 0.5 n u[n ]. În acest caz am folosit PR.3.2 pentru X (z) şi PR.3. pentru X 2 (z). Aşadar există trei semnale a căror transformată Z este X(z), dar cu regiuni de convergenţă disjuncte două câte două. Probleme propuse PP.3. Demonstraţi proprietăţile (.32.37) ale transformatei Z. PP.3.2 Ce semnal are transformata Z egală cu ( z )( + z )( 2z )? PP.3.3 Se cunoaşte transformata Z a unui semnal x[n]. Care este transformata Z a semnalului y[n] = x[n 0 n], unde n 0 Z este dat? PP.3.4 Calculaţi transformatele Z şi stabiliţi regiunile lor de convergenţă pentru semnalele de mai jos: {, pentru n = 0 : M (cu M N), x [n] = 0, altfel, x 2 [n] = nα n u[n], x 3 [n] = α n u[n ], x 4 [n] = α n cos(ω 0 (n ))u[n ] x 5 [n] = cos(ω 0 n)u[n ] x 6 [n] = u[ n + ]..4 Semnale aleatoare Până acum am discutat doar despre semnale deterministe. În practică apar însă de multe ori semnale cu caracter aleator; caracterizarea lor este subiectul acestei secţiuni. O variabilă aleatoare reală ξ este caracterizată de funcţia de densitate de probabilitate p : R R +, cu proprietatea p(ξ)dξ =. (.38) Probabilitatea ca valoarea variabilei aleatoare să se afle într-un interval precizat [ξ, ξ 2 ] este Prob(ξ ξ ξ 2 ) = ξ2 ξ p(ξ)dξ. Speranţa matematică (expectaţia). Fie ξ şi η două variabile aleatoare legate prin relaţia η = f(ξ), unde f este o funcţie precizată. Atunci speranţa matematică (expectaţia) a variabilei η este E{η} = f(ξ)p(ξ)dξ. (.39)

.4. SEMNALE ALEATOARE 25 p(ξ) p(ξ) ξ ξ Figura.: Densităţi de probabilitate uniformă (stânga) şi gaussiană N(0, ) (dreapta). Aceasta are semnificaţia de medie a valorilor variabilei η peste toate valorile posibile ale variabilei ξ, luând în considerare probabilităţile asociate acestor valori. Operatorul E{ } se mai numeşte şi operator de mediere. Media µ a variabilei aleatoare ξ se obţine punând η = ξ în (.39), adică este definită prin µ = E{ξ} = Varianţa σ 2 a variabilei aleatoare ξ este definită prin σ 2 = E{(ξ µ) 2 } = ξp(ξ)dξ. (.40) (ξ µ) 2 p(ξ)dξ. (.4) Definiţia.8 O variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul [0, ] are densitatea de probabilitate {, pentru ξ [0, ], p(ξ) = 0, altfel. (.42) Definiţia.9 O variabilă aleatoare cu distribuţie gaussiană (sau normală) de medie µ şi varianţă σ 2 are densitatea de probabilitate p(ξ) = 2πσ e (ξ µ)2 2σ 2. (.43) De obicei, această distribuţie este notată N(µ, σ 2 ). Graficele densităţilor de probabilitate ale variabilelor uniformă şi gaussiană sunt prezentate în figura.. Definiţia.20 Un proces aleator x[n], n Z, este un şir de variabile aleatoare. Un semnal aleator, notat tot x[n], este o realizare a procesului aleator, în sensul că, la fiecare moment de timp n, se consideră o singură valoare a variabilei aleatoare corespunzătoare.

26 CAPITOLUL. SEMNALE Definiţia.2 Autocorelaţiile unui proces aleator reprezintă speranţele matematice ale produselor variabilelor aleatoare (la diferite momente de timp): E{x[n]x[n k]} = r[n, k], n, k, Z. Se observă imediat că r[n, k] = r[n, k]. Cele mai simple, dar extrem de utile, procese aleatoare sunt cele ale căror proprietăţi nu se modifică în timp. În această lucrare va fi vorba doar despre astfel de procese, definite ca mai jos. Definiţia.22 Un proces aleator x[n] este staţionar (în sens larg) dacă variabilele aleatoare x[n] au aceeaşi medie, i.e. iar autocorelaţiile E{x[n]} = µ, n Z, (.44) E{x[n]x[n k]} = r[k], n Z, (.45) depind doar de distanţa k între momentele de timp. (Evident, avem r[k] = r[ k].) Autocovarianţele unui proces aleator staţionar sunt autocorelaţiile procesului x[n] µ, i.e. E{(x[n] µ)(x[n k] µ)} = ρ[k]. Pentru procese cu medie nulă, avem r[k] = ρ[k]. Definiţia.23 Un zgomot alb de medie nulă şi varianţă σ 2 este un proces aleator w[n] pentru care E{w[n]} = 0, E{w[n]w[n k]} = σ 2 (.46) δ[k]. Estimarea mediei şi a autocorelaţiilor. În aplicaţiile practice, dispunem de o realizare finită a unui proces aleator, adică de un semnal aleator cu suport finit x[n], n = 0 : N. Presupunând că procesul este staţionar, se pune problema să estimăm valorile mediei (.44) şi autocorelaţiilor (.45). Pentru medie, cea mai naturală estimaţie este ˆµ = N N n=0 Pentru autocorelaţii se folosesc estimaţia nedeviată x[n]. (.47) ˆr[k] = N x[n]x[n k], 0 k N, (.48) N k n=k (numele provine din faptul că E{ˆr[k]} = r[k], vezi problema PR.4.3; o estimaţie este nedeviată dacă expectaţia sa este egală cu valoarea adevărată), dar mai ales cea deviată ˆr[k] = N N n=k x[n]x[n k], 0 k N. (.49)

.4. SEMNALE ALEATOARE 27 Pentru k < 0, în (.48) şi (.49) se ia ˆr[k] = ˆr[ k]. Densitate de putere spectrală. Considerăm un proces aleator staţionar x[n] cu medie nulă şi dorim să descriem distribuţia în frecvenţă a energiei sale. Deoarece orice semnal x[n], realizare a procesului, are energie infinită, nu putem folosi transformata Fourier pentru a calcula densitatea de energie spectrală X(ω) 2. În schimb, putem evalua densitatea de putere spectrală, care se poate defini în două moduri, ambele inspirate de rezultate pentru semnale deterministe. Pornind de la similaritatea dintre autocorelaţiile deterministe (.29) şi cele aleatoare (.45), densitatea de putere spectrală P(ω) se defineşte ca transformata Fourier a secvenţei de autocorelaţii P(ω) = k= r[k]e jωk. (.50) O definiţie echivalentă se obţine aplicând relaţia generală putere = energie/timp şi ţinând seama de definiţia densităţii de energie spectrală (vezi paragraful de după Teorema.3) P(ω) = lim N E 2N + N n= N 2 x[n]e jωn. (.5) În definiţia de mai sus, suma este o trunchiere de lungime 2N + a transformatei Fourier, împărţirea cu 2N + transformă energia în putere, iar operatorul E{ } face medierea pe ansamblul realizărilor. Probleme rezolvate PR.4. Fie ξ o variabilă aleatoare cu media µ şi varianţa σ 2. Demonstraţi că: a. E{af(ξ) + bg(ξ)} = ae{f(ξ)} + be{g(ξ)}, pentru orice constante a, b şi funcţii f, g. În particular, E{a} = a. b. E{ξ µ} = 0. c. σ 2 = E{ξ 2 } µ 2 ; Soluţie. a,b. Se aplică definiţia (.39) şi se foloseşte liniaritatea operatorului de integrare. c. Avem σ 2 = E{(ξ µ) 2 } = E{ξ 2 } 2µE{ξ} + µ 2 = E{ξ 2 } µ 2. Am folosit liniaritatea operatorului de mediere demonstrată mai sus. PR.4.2 Calculaţi media şi varianţa unei variabile aleatoare uniform distribuite în intervalul [0, ], i.e. cu densitatea de probabilitate (.42). Ce valori au media şi varianţa în cazul în care variabila este uniform distribuită în intervalul [a, b], unde a < b sunt constante reale. Soluţie. Media este µ = 0 ξdξ = /2,

28 CAPITOLUL. SEMNALE iar varianţa (aplicând punctul c de la problema precedentă) este σ 2 = 0 ξ 2 dξ µ 2 = 3 4 = 2. Pentru o variabilă ξ uniform distribuită în intervalul [a, b], densitatea de probabilitate este p(ξ) = /(b a). Media şi varianţa sunt Calculele sunt lăsate cititorului. µ = a + b 2, σ2 = (b a)2. 2 PR.4.3 Demonstraţi că estimaţiile (.47) şi (.48) ale mediei, respectiv autocorelaţiilor, sunt nedeviate, i.e. E{ˆµ} = µ, respectiv E{ˆr[k]} = r[k]. Soluţie. Aplicând operatorul de mediere în (.47) obţinem E{ˆµ} = E { N N n=0 x[n] } = N N n=0 Pentru autocorelaţii demonstraţia este similară. E{x[n]} = N N n=0 µ = µ. PR.4.4 Care este densitatea de putere spectrală a zgomotului alb (.46)? Soluţie. Ţinând seama de definiţia (.50) a densităţii de putere spectrală şi de expresiile autocorelaţiilor (.46), se obţine imediat P(ω) = σ 2. Aşadar spectrul zgomotului alb este constant (zgomotul alb conţine toate frecvenţele cu putere egală, de aici numele său, prin analogie cu lumina). Probleme propuse PP.4. Considerăm o variabilă aleatoare ξ cu distribuţie triunghiulară, a cărei densitate de probabilitate are expresia: { ξ, pentru ξ, p(ξ) = 0, altfel. Verificaţi valabilitatea relaţiei (.38). Calculaţi media (.40) şi varianţa (.4) variabilei aleatoare ξ. PP.4.2 a. Dându-se o variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul [0, ], cum se poate obţine o variabilă cu distribuţie uniformă în intervalul [a, b]? b. Dându-se o variabilă aleatoare cu distribuţie gaussiană N(0, ), cum se poate obţine o variabilă cu distribuţie N(0, σ 2 )? PP.4.3 Fie w[n] un proces de tip zgomot alb pentru care, la fiecare moment de timp i, variabila aleatoare w[i] are distribuţie uniformă în intervalul [, ]. a. Calculaţi varianţa σ 2 a zgomotului alb (vezi (.46)).

.4. SEMNALE ALEATOARE 29 b. Considerăm procesul aleator { w[n], pentru n par, u[n] = w[n], pentru n impar. Este acesta un zgomot alb? c. Considerăm procesul aleator { w[n], pentru n par, v[n] = 2w[n], pentru n impar. Este acest proces staţionar? PP.4.4 Demonstraţi că densitatea de putere spectrală P(ω) a unui proces aleator real este pozitivă, pară (i.e. P( ω) = P(ω)) şi periodică cu perioada 2π. Ghid Matlab Matlab posedă generatoare de numere (aproximativ) aleatoare. Un semnal aleator cu distribuţie uniformă în intervalul [0, ], de lungime N, se poate genera cu >> x = rand(,n) Un semnal aleator cu distribuţie gaussiană de medie nulă şi varianţă egală cu se poate genera cu >> x = randn(,n) Media (.47) a unui semnal aleator se calculează cu >> mean(x) Autocorelaţiile nedeviate (.48) se calculează cu >> r = xcorr(x, unbiased ) iar cele deviate (.49) cu >> r = xcorr(x, biased ) În ambele cazuri, vectorul de autocorelaţii r are lungimea 2N ; de altfel, aceasta este lungimea maximă permisă de suportul finit al semnalului, după cum se vede din (.48) şi (.49). Autocovarianţele se estimează cu funcţia xcov. Atenţie, în această funcţie nu se foloseşte media exactă a procesului (care este necunoscută), ci estimaţia ei (.47).

30 CAPITOLUL. SEMNALE

Capitolul 2 Sisteme 2. Definiţii şi proprietăţi de bază În cea mai generală accepţiune, un sistem discret transformă un semnal de intrare x[n] într-un semnal de ieşire y[n], aşa cum este ilustrat în figura 2.. Notăm y[n] = S{x[n]} transformarea produsă de sistemul S; numim y[n] şi răspuns al sistemului la intrarea x[n]. În prelucrarea semnalelor, sistemele sunt numite deseori filtre. Enumerăm în continuare patru proprietăţi fundamentale ale sistemelor. Definiţia 2. (Liniaritate) Un sistem S este liniar dacă pentru orice semnale de intrare x [n], x 2 [n] şi orice scalari α, α 2 are loc egalitatea S{α x [n] + α 2 x 2 [n]} = α S{x [n]} + α 2 S{x 2 [n]}. (2.) Definiţia 2.2 (Invarianţă în timp) Sistemul S este invariant în timp dacă pentru orice semnal de intrare x[n], cu ieşirea corespunzătoare y[n] = S{x[n]}, şi orice întârziere n 0 Z, aplicând semnalul x[n n 0 ] la intrarea sistemului se obţine ieşirea y[n n 0 ]. (Altfel spus, întârziind cu n 0 semnalul de intrare, se obţine o ieşire întârziată tot cu n 0, conform schemei din figura 2.2, în care operaţiile S şi întârziere comută.) Definiţia 2.3 (Cauzalitate) Sistemul S este cauzal dacă, luând orice semnal de intrare x[n], cu ieşirea corespunzătoare y[n] = S{x[n]}, pentru orice n 0 Z, valoarea y[n 0 ] depinde doar de intrările x[n], n n 0. (Altfel spus, valoarea curentă a ieşirii depinde doar de valoarea curentă şi de valori anterioare ale intrării.) Definiţia 2.4 (Stabilitate) Sistemul S este stabil în sens BIBO (Bounded Input, Bounded Output Intrare Mărginită, Ieşire Mărginită) dacă, pentru orice semnal de intrare x[n] mărginit, în sensul că există M x astfel încât x[n] M x, n Z, semnalul de ieşire y[n] = S{x[n]} este şi el mărginit, i.e. există M y astfel încât y[n] M y, n Z. 3

32 CAPITOLUL 2. SISTEME x[n] S y[n] = S{x[n]} Figura 2.: Un sistem discret. x[n] S y[n] întârziere cu n 0 întârziere cu n 0 x[n n 0 ] S y[n n 0 ] Figura 2.2: Un sistem invariant în timp transferă întârzierea intrării la ieşire (operaţiile S şi întârziere comută). Probleme rezolvate PR 2.. Caracterizaţi următoarele sisteme din punctul de vedere al liniarităţii, invarianţei în timp, cauzalităţii şi stabilităţii. a. Sistemul medie pe două eşantioane, descris de relaţia y[n] = (x[n] + x[n ])/2. b. Decimatorul, descris de y[n] = x[mn], unde M 2 este un întreg pozitiv fixat. (Decimatorul extrage fiecare al M-lea eşantion al semnalului de intrare şi le elimină pe celelalte.) c. Acumulatorul, descris de y[n] = n k= x[k]. Soluţie. a. Sistemul este liniar, invariant în timp, cauzal şi stabil. Deşi banale, prezentăm mai jos demonstraţiile. Fie y [n] = (x [n] + x [n ])/2 şi y 2 [n] = (x 2 [n] + x 2 [n ])/2 răspunsurile la intrările x [n], respectiv x 2 [n]. Dacă intrarea este α x [n] + α 2 x 2 [n], atunci ieşirea este y[n] = (α x [n] + α 2 x 2 [n] + α x [n ] + α 2 x 2 [n ])/2 = α y [n] + α 2 y 2 [n], ceea ce demonstrează liniaritatea. Dacă intrarea este x[n n 0 ], atunci ieşirea este (x[n n 0 ] + x[n n 0 ])/2 = y[n n 0 ], deci sistemul e invariant în timp. y[n] depinde doar de x[n] şi de x[n ], deci sistemul e cauzal. Dacă x[n] M x, atunci y[n] ( x[n] + x[n ] )/2 M x, deci sistemul este stabil. b. Decimatorul este evident liniar şi stabil. Nu este invariant în timp. Fie M = 2 şi semnalul de intrare x[n] = n. Atunci ieşirea este y[n] = x[2n] = 2n. Întârziem intrarea cu un eşantion; la intrarea

2.. DEFINIŢII ŞI PROPRIETĂŢI DE BAZĂ 33 x [n] = x[n ] ieşirea este y [n] = x [2n] = x[2n ] = 2n. Pe de altă parte, avem y[n ] = 2(n ) = 2n 2 y [n]. De asemenea, nu este cauzal, deoarece e.g. y[] = x[m], deci ieşirea la momentul n = depinde de intrarea la momentul M >. c. Acumulatorul este evident liniar, invariant în timp şi cauzal. Nu este stabil: pentru intrarea treaptă x[n] = u[n] se obţine y[n] = (n + )u[n], care este un semnal nemărginit. Probleme propuse PP 2.. Considerăm sistemul cu intrarea x[n] şi ieşirea y[n] = { x[n/2], dacă n este par, x[(n )/2], altfel. a. Desenaţi un exemplu de semnale de intrare şi ieşire. b. Caracterizaţi sistemul din punctul de vedere al liniarităţii, invarianţei în timp, cauzalităţii şi stabilităţii. PP 2..2 Aceleaşi cerinţe ca la problema anterioară, pentru sistemul cu intrarea x[n] şi ieşirea y[n] = x[n n], unde N este un întreg dat. PP 2..3 Aceleaşi cerinţe ca la problema anterioară, pentru sistemul cu intrarea x[n] şi ieşirea y[n], funcţionând după legea y[n] = ny[n ] + x[n]. PP 2..4 Demonstraţi că dacă un sistem este liniar, atunci intrarea nulă x[n] = 0 produce ieşirea nulă y[n] = 0. Arătaţi printr-un contraexemplu că reciproca nu este adevărată. PP 2..5 Fie S un sistem invariant în timp. a. Demonstraţi că aplicând lui S o intrare constantă se obţine o ieşire constantă. b. Demonstraţi că aplicând lui S o intrare periodică se obţine o ieşire periodică, cu aceeaşi perioadă. c. Arătaţi prin contraexemple că reciprocele afirmaţiilor de mai sus nu sunt adevărate. PP 2..6 La intrarea unui sistem S se aplică un semnal cu suport finit. Se constată că ieşirea este mărginită. Este sistemul stabil? PP 2..7 Un sistem anticauzal are proprietatea că ieşirea y[n] depinde doar de intrări x[m], cu m n. Daţi un exemplu de astfel de sistem. PP 2..8 Un sistem poate avea (sau nu) oricare dintre cele patru proprietăţi descrise mai sus (liniaritate, invarianţă în timp, cauzalitate, stabilitate) independent de celelalte. În total, sunt 6 combinaţii posibile ale acestor proprietăţi. Daţi câte un exemplu de sistem pentru fiecare combinaţie. (Notă: în problema PR2.. sunt deja prezentate trei astfel de exemple; vă mai rămân deci 3.)