ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το z είναι ελάχιστο -- i) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς z και z ισχύει η ισοδυναμία: z +z =z -z Re( z z )= ii) Έστω μια συνάρτηση f : [α,β], συνεχής στο διάστημα [α,β] και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α +if(α) και w =f(β)+iβ, με αβ Αν w +z =w-z, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ) = έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα [α,β] (A Δέσμη 995) --- 3 Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z=, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης z 3 -z+ --- 4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει f 5 ()+f()= για κάθε, είναι συνεχής στο 5 i) Να βρείτε στο καρτεσιανό επίπεδο Οy την εξίσωση της ευθείας που ορίζει η εξίσωση: z--i=z-7+i ii) Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α και β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= ευθεία 5 να έχει στο - πλάγια ασύμπτωτη την πιο πάνω 6 i) Να δειχθεί ότι η εξίσωση: 3-6 -5+=, έχει ακριβώς μια ρίζα στο (-,5) ii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση: 5 4 +α-α=, αr έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,)

7 Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στοr με f(+y)=f()συνy+f(y)συν, για κάθε,yr i) Να δειχθεί ότι f()= ii) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο =, να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ()=f () συν 8 Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο R, για την οποία ισχύει : f()-3 6 +-3συν ημ=, για κάθε R i) Να υπολογιστούν τα : lim f () και lim f () ii) Να βρεθεί το f() iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f()= έχει πραγματική ρίζα f () 9 Έστω f: με f(+y)=f()f(y) για κάθε,y και lim i) Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ()=α f() ii) Αν η εφαπτόμενη της C f στο = σχηματίζει με τον άξονα γωνία δείξετε ότι α= και να βρεθεί ο τύπος της f, να 4 --- ( ) Δίνεται η συνάρτηση f() = i) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f ii) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f 3 iii) Να βρεθεί εφαπτόμενη ευθεία της C f παράλληλη στην πλάγια ασύμπτωτη iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στην C f την ασύμπτωτη και από τις ευθείες =, =t> --- i) Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει e + ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση g()=e -, α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών g(a) και στη συνέχεια το πλήθος των ριζών της g()= β) Να δειχθεί ότι έχει ένα σημείο καμπής και να γίνει η γραφική παράστασή της Έστω f:,άρτια με f ()>, i) Να δειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο ii) Αν lim (f () ) 4, να βρεθεί η πλάγια ασύμπτωτη της f στο +

u 3 Αν για την συνάρτηση f ισχύει ότι: f() f(t)dtdu για κάθε να δειχθεί ότι f()= για 4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-α,α] και περιττή, να δείξετε ότι η συνάρτηση g()= f (t)dt είναι άρτια 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-α,α], να δείξετε ότι : i) αν η f είναι περιττή, τότε : ii) αν η f είναι άρτια, τότε : iii) να υπολογιστεί το 5 d -5 4 f ()d = f ()d = f ()d 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι : t t t f (t)(e e )dt e f (u)dudt 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και ισχύει f ()d =8, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο, ώστε να είναι f(ξ)=ξ 3 8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και ορίσουμε την συνάρτηση F()= f (t)dt + f (t)dt, [,] να αποδείξετε ότι: i) Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Rolle για τη συνάρτηση F στο διάστημα [,] ii) Υπάρχει (,) τέτοιο ώστε να είναι f( )=f(- ) 9 Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α,β με <α<β, τη συνεχή συνάρτηση f:(,+) R για την οποία f (t)dt = και τη συνάρτηση g()= + f (t)dt, (,+) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα (α,β) τέτοιο ώστε να ισχύουν: i) Η εφαπτομένη της C g στο σημείο (, g( )) να είναι παράλληλη στον άξονα ii) g( )=+f( ) 3

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], να δείξετε ότι υπάρχει ξ[α,β] τέτοιο, ώστε να ισχύει: f ()d + f ()d =α+β-ξ Δίνεται η συνάρτηση g()= i) Nα δείξετε ότι: g()=( 3 - ) ii) f ( t) dt tdt, R f (t)dt Aν είναι f()> για κάθε R και g()=, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον άξονα και τις ευθείες =, = Να βρείτε το: t e dt lim t e dt 3 Αν f,g είναι δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β], να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: f(ξ) g()d - g( ) f()d --- 4 Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα f ()=e -f() για κάθε Αν η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι: α) η f είναι άρτια συνάρτηση, β) f()= γ) f()=, -- 5 i) Να λύσετε την εξίσωση -4ημθ +4= () ii) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να κατασκευαστεί εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τις και 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο β α,β και f ( ) f (α+β ) 7 για κάθε α,β,να αποδείξετε ότι: α+β β α f ( ) d β α f f (α)+ f (β) α 4

7 Δίνεται η συνάρτηση f με α, f ( ) e ln,,, α α Να υπολογίσετε το όριο e lim β Να υπολογίσετε τον α ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστημα, γ Για α=, να αποδείξετε ότι: i υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός ξ, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Aξ, f (ξ) να είναι παράλληλη προς τον άξονα ii υπάρχει τέτοιο ώστε: e ln 8 Έστω f : 7, 8 συνεχής συνάρτηση με f ( ) για κάθε 7, 8 και η συνάρτηση g( ) f ( t) dt f ( t) dt 7 8 Αν 8 t t f dt 4 7 και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f τις ευθείες 7 και 8 είναι ίσο με τετραγωνική μονάδα τότε: α Να δείξετε ότι υπάρχει ξ 7,8 τέτοιο ώστε: f ξ 5 4 ξ β Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της g δ Να υπολογίσετε το 8 I g( ) d 7 C τον 9 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) ln α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f α ε) Αν α,β>, β αβ+α e, να αποδείξετε ότι α=β β ' και

3 Δίνεται η συνάρτηση: 5 f ( ) e e α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 5 f ( ) I d 3 Για κάθε ορίζουμε τη συνάρτηση g( ) dt, α> και τον μιγαδικό t α+e αριθμό z g( ) i με z i z Α Να αποδείξετε ότι i) η g αντιστρέφεται και Β Να αποδείξετε ότι: α Re( z) Im( z) ii) οι εικόνες του z ανήκουν στη γραφική παράσταση της για κάθε β α= g γ dt dt e e e e t t 3 Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με g(), ( ) ( ) και f g α Να αποδείξετε ότι: i g( ) g( ) f ( ) για κάθε f g ( ) ( ) για κάθε ii H g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα,,, έχει ακρότατο το και β i Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της ii Nα γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, ) γ Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,, να δείξετε ότι: ln g () - 6

33 Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με f ( ) g( ), f ( ) για κάθε g( ) Αν στο όριο L= lim εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρου f ( ) σιάζεται απροσδιόριστη μορφή α Να υπολογίσετε το όριο L β Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g στο γ Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μία ρίζα δ Να αποδείξετε ότι f ( ) g( ) 4 34 Μία συνάρτηση f :, Α Να αποδείξετε ότι: i () έχει την ιδιότητα: y ln( y) yf ( ) f ( y) f ( y) για κάθε, y f ii f f,, iii f ( ) ln, B Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες και e e 35 Μία συνάρτηση f : α Να δείξετε ότι f () β Να βρείτε τον τύπο της f έχει την ιδιότητα f ( y) f ( ) f ( y) 3 y y, για κάθε, y συν γ Να υπολογίσετε το lim f ( ) f α β με 36 Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 * α,β α Να βρεθούν τα α,β ώστε το σημείο, να είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f β Για α= και β=3 i Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Nα αποδείξετε ότι ρ ρ 9 f ( ) d f ( ) d 4, όπου ρ ελαχίστου και τοπικού μεγίστου της f αντίστοιχα ρ,ρ οι θέσεις του τοπικού 7

37 Δίνεται η συνάρτηση α f ( ) e, α α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Δείξτε ότι η συνάρτηση f έχει ένα μόνο ακρότατο το οποίο είναι μέγιστο γ Αν το μέγιστο της f είναι το e τότε: i να δείξετε ότι α= ii να βρείτε τις ασύμπτωτες της δ να βρείτε το a lim ( ) f d a C f στο 38 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα, για την οποία ισχύει: f ( ) e, και lim f ( ) f ( ) e α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση β Δείξτε ότι f ( ) e, g( ) f ( ) e είναι σταθερή στο γ Δείξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα στο, δ Να δείξετε ότι συνάρτηση h( ) f ( ) 3e και να βρεθεί,, έχει ένα σημείο καμπής το οποίο ε Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της h τον άξονα των τετμημένων και την ευθεία τετμημένη του σημείου καμπής α, όπου α είναι η 39 Δίνεται η συνάρτηση, f ( ) 4 Αν η ευθεία ε: y λ κ, κ,λ είναι ασύμπτωτή της γραφικής παράστασης της f α Να δείξετε ότι λ= και κ= β i Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z+κ z λ+κ i ii Να βρεθεί ο μιγαδικός z y o i του παραπάνω γεωμετρικού τόπου με το μικρότερο μέτρο 697 34 5 5y γ Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λ κ ρίζα στο διάστημα, 8

4 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β Να αποδείξετε ότι e για κάθε γ Δείξτε ότι η συνάρτηση t F( ) e t t dt δεν έχει σημεία καμπής δ Δείξτε ότι η εξίσωση e βρείτε έχει μοναδική πραγματική ρίζα, την οποία και να ε Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g( ) e και τις ευθείες y και ln 4 Δίδονται οι συναρτήσεις f και g, δυο φορές παραγωγίσιµες στο και τέτοιες ώστε: f ( ) g( ) για κάθε και f () g() Α Έστω ότι η εξίσωση f ( ) έχει δυο λύσεις ρ ρ ον ) Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση ( ) ρ,ρ g έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ρ,ρ τέτοιος ώστε να ισχύει ον ) Αν g g ξ για κάθε και η C g στρέφει τα κοίλα άνω στο, να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο β) η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ξ του ερωτ Α ον β) Β Έστω ότι η ευθεία y 3 7 είναι ασύμπτωτη της γραφ παράστασης της f το ον ) Να βρείτε τα όρια: α) g( ) lim g( ) 3 ημ β) lim f ( ) 3 ον ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y 5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο 9

4 Έστω η συνάρτηση f, που είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α,β, με <α<β και παραγωγίσιμη στο α,β Έστω και οι μιγαδικοί αριθμοί z α+i f (α) και z β+i f (β) τέτοιοι ώστε 7z z 8z z 7 Να αποδείξετε ότι: α) ο μιγαδικός z z είναι πραγματικός β) f (α) α f (β) β γ) υπάρχει α,β, ώστε: f ( ) f ( ) δ) υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από το σημείο O(,) ε) Αν ισχύει στο διάστημα α,β α α t f ( lim α t ) dt να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει λύση α α 43 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z και 4 w z Αν w z α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z, είναι ο κύκλος z, εξαιρουμένων δύο σημείων τα οποία και να προσδιορίσετε β) Αν z, z, z 3 είναι μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου, τότε να αποδείξετε ότι: z i ii zz zz3 z3z z z z3 4 z 44 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: f ( ) f ( ), για κάθε και f () α Να δείξετε ότι f ( ) για κάθε β Να δείξετε ότι η συνάρτηση γ Να δείξετε ότι f ( ) g( ), f ( ), είναι σταθερή f ( ) δ Να λύσετε την εξίσωση: f (3 ) f (8 ) f (5 ) f ( ) ε Αν τη F( ) f ( t) dt να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από C F και τους άξονες και y y

45 Έστω α,β και η συνάρτηση f : με τύπο f ( ) α β 4 3 η οποία έχει τρία διαφορετικά τοπικά ακρότατα, για,, 3, με 3 α Να σημειώστε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Το άθροισμα 3 είναι ίσο με: Α α Β α Γ 4α 3 Δ Ε 3α 4 β Να αποδείξετε ότι γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής γ Αν η γραφική παράσταση εφάπτεται σε δύο διαφορετικά σημεία στον άξονα, να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το μηδέν 46 Αν δύο συναρτήσεις f και g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο Δ =[α, β] με f(α)+if(β) g() για κάθε Δ και ο z= είναι πραγματικός να αποδείξετε ότι: g(α)+ig(β) i) f(α)g(β) = f(β)g(α) ii) f(α)f(β) iii) υπάρχει τουλάχιστον ένα (α, β) ώστε: f '( )g( ) = f( )g'( Q ) iv) αν ισχύουν f ()g() = f()g () για κάθε Δ και f(l) = g ( l ) + = τότε f() = g() 47 Mια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f ικανοποιεί τη συνθήκη: f() = f() d- f () για κάθε και f() = i) Να βρείτε τον τύπο της f ii) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της C f όταν το + iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C f, την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = 48 Έστω f: συνάρτηση παραγωγίσιμη με σύνολο τιμών και ισχύει : f 3 ()+f()=, () i Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα - κυρτά και σημεία καμπής ii Να βρεθεί η εφαπτομένη ευθεία στο σημείο καμπής της iii Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να δείξετε ότι f - ()= 3 +, - f () iv Αν g()= βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο + και υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C g την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = e

49 Έστω f συνεχής στο [,+ ) με f()=, f() και i) Να βρεθεί η f f () f(t) dt+ f () =, ii) Αν g() = f() + ln, > δείξτε ότι η C g τέμνει τον σ ένα ακριβώς σημείο iii) Aν < α < β συγκρίνετε τους αριθμούς a, ln 3 5 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ), η συνάρτηση g() = f u du u > και οι μιγαδικοί αριθμοί z = f(β) + iβ, w = α + if(α) με α > και β > α ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη > και να υπολογίσετε την g'() β) Αν g( ) d =, δείξτε ότι ο μιγαδικός z w είναι φανταστικός a e γ) Αν f () lnd = g () d και η g είναι κυρτή >, δείξτε ότι: e i f(e)= κ α ι ii g() g(e), >