ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Να γίνει πλήρης ανάλυση του μεταλλικού δικτυώματος του σχήματος. Ολες οι συνδέσεις των ράβδων στους κόμβους είναι αρθρωτού τύπου. Επί πλέον, ο ένας εκ των άνω κόμβων μπορεί να κυλίεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση ενώ είναι παρεμποδιζόμενος κατά την οριζόντια. Οι δύο διασταυρούμενες ράβδοι δέν συνδέονται μεταξύ τους στο σημείο της διασταύρωσης. Οι διαστάσεις στο σχήμα είναι αξονικές. Το ίδιο βάρος των ράβδων να αγνοηθεί, ενώ η φόρτισή τους είναι όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνονται οι τιμές του μέτρου ελαστικότητας του υλικού και του εμβαδού της διατομής των ράβδων: E 0 0 KN/m, Α 0.00 m. Επίλυση Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η αρίθμηση μελών, κόμβων και βαθμών ελευθερίας στο απόλυτο και τα τοπικά συστήματα συντεταγμένων των πέντε μελών. Ειδικά για το μέλος στο τοπικό του σύστημα xyαριθμούνται και οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στις ε- σωτερικές τέμνουσες δυνάμεις και καμπτικές ροπές που αναπτύσσονται κατά μήκος του λόγω του εγκάρσιου ομοιόμορφου φορτίου q. Οι μοναδικές άγνωστες μετακινήσεις είναι η κατακόρυφη μετάθεση του κόμβου και οι δύο μεταθέσεις του κόμβου. Προκειμένου να μην απαιτούνται αμοιβαίες αντιμεταθέσεις γραμμών και στηλών στο τελικό μητρώο Κ της κατασκευής για το σχηματισμό του υπομητρώου Κ, οι εν λόγω άγνωστοι αριθμούνται πρώτοι ως, και. Τα μήκη των ράβδων και οι γωνίες των αξόνων τους ως προς τον απόλυτο άξονα Χ υπολογίζονται εύκολα και δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.
Μέλος L. (m) θ ( ο ) s (sinθ) c (cosθ).000 90.00.000 0.000.000 0.00 0.000.000 0.000. 0.00 0.00.0. 0. -0.0.9. 0.9-0. Ομοιόμ. φορτίο μέλους κόμβοι - Μητρώα & Τοπικό και απόλυτο σύστ. ΧΥ Για τις αντιδράσεις του αμφίπακτου μέλους προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές. Q Q 0 KN και M M 0 KNm Λόγω παραλληλίας του τοπικού συστήματος με το απόλυτο ΧΥ, δεν τίθεται θέμα μετασχηματισμού των μητρώων και από το ένα σύστημα στο άλλο. Οι τιμές τους θα είναι:
Για την επίλυση της άσκησης επιλέγεται ο σχηματισμός μόνο των απαιτούμενων μητρώων και υπομητρώων για τους απαραίτητους υπολογισμούς. Μητρώα F,, U, Us Απόλυτο σύστημα ΧΥ 0 () F F () F 0, () F 0 00 00, 00 u U u, s u U 0 Μητρώα Κ Aπόλυτο σύστημα ΧΥ Από το μητρώο Κ της σχέσης () του ου φυλλαδίου σημειώσεων διαγράφεται η τρίτη και έκτη γραμμή και στήλη καθ όσον πρόκειται για στοιχεία δικτυώματος, οπότε λόγω των αρθρωτών συνδέσεων των άκρων τους δεν δύνανται να υπόκεινται αυτά σε καμπτικές ροπές. Αντίστοιχα τίθεται και Ι 0 προκειμένου να αγνοηθούν οι καμπτικές παραμορφώσεις. Ετσι το μητρώο Κ παίρνει την ακόλουθη γενική μορφή για τις πέντε ράβδους. c EA K L cs cs c cs s cs cs s c cs cs s c cs s Από την μορφή αυτή προκύπτουν τα μητρώα Κ των πέντε ράβδων ως ακολούθως. 0 0 0 0 0 0 K000 K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. K000 K 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.09 0.0 0.09 0.0 0.0 0.90 0.0 0.90. 0.09 0.0 0.09 0.0 0.0 0.90 0.0 0.90 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 K0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Στα παραπάνω μητρώα σημειώνονται τα απαραίτητα στοιχεία για τη σύνταξη του υπομητρώου Κ κατόπιν της διαδικασίας υπέρθεσής τους. Ετσι προκύπτει: K. 0 0 0 00. 9.09 0 9.09 9.90 Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων U Από τη σχέση () του ου φυλλαδ. σημ. προκύπτει: u 0.0 m F U K ( ) U u 0.0 m u 0.00 m Αναφορικά με το υπολογιστικό μέρος της επίλυσης του συστήματος σημειώνεται ότι η πρώτη εξίσωση είναι γραμμικά ανεξάρτητη από τις άλλες δύο (βλ. μορφή του Κ), οπότε ο άγνωστος u προκύπτει απ ευθείας. Ετσι απομένει ένα σύστημα για τους άλλους δύο αγνώστους, u και u. Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων s R Αντί εφαρμογής της σχέσης () του ου φυλλαδίου των σημειώσεων, και προκειμένου να α- ποφευχθεί η σύνταξη των σχετικών υπομητρώων που εμπλέκονται σε αυτήν, επιλέγεται ο υ- πολογισμός των αντιδράσεων κάθε στηριζόμενου κόμβου να προκύπτει από την αλγεβρική ά- θροιση των εντατικών μεγεθών των άκρων των ράβδων που συμβάλλουν στον υπ όψη στηριζόμενο κόμβο. Αυτό σημαίνει ότι απαιτείται η εύρεση των εν λόγω εντατικών μεγεθών των ράβδων στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. Υπολογισμός δυνάμεων ράβδων & διαγράμματα εντατ. μεγεθών απόλυτο σύστημα ΧΥ F Αντί πλήρους υπολογιστικής εφαρμογής της γνωστής σχέσης K U για κάθε μέλος, επιλέγεται η υλοποίηση μόνο των απαραίτητων πράξεων της σχέσης αυτής. Για το σκοπό αυτό επιστρατεύεται ο γνωστός ορισμός ότι: To στοιχείο kij του μητρώου Κ αντιπροσωπεύει τη δύναμη που ασκείται στο βαθμό ελευθερίας i λόγω μοναδιαίας μετακίνησης του βαθμού ελευθερίας j όταν όλοι οι λοιποί βαθμοί ελευθερίας είναι δεσμευμένοι-πακτωμένοι. Υπολογίζονται μόνο οι μή μηδενικές δυνάμεις των άκρων των ράβδων. Ετσι προκύπτουν:
Μέλος () () k u () () () () u u u 0 k 000 0.0.0 KN // Y u () k Μέλος Λόγω της παραλληλίας του άξονα του μέλους με τον Χ, οι αξονικές παραμορφώσεις δεν είναι συζευγμένες (και μητρωϊκά) με τις εγκάρσιες. Επίσης είναι και u 0, οπότε οι αξονικές δυνάμεις του μέλους (παράλληλες στον Χ άξονα) είναι: () () k u () () () () u 0 k. 0.0 0. KN // X u () k Αντίστοιχα, για τις τέμνουσες δυνάμεις (παράλληλες στον Υ άξονα) είναι: () () () () F k u k u 0 0 () () u 0 () () () () F 0 KN // Y k u k u 0 0 () F Μέλος () () () k u k u () () () () () u u 0 000 0. 0.0 0. ( 0.00) k u k u () () k k. KN (//X ) () () () k u k u () () () () () u u 0 000 0. 0.0 0. ( 0.00) k u k u () () k k Μέλος.9 KN (//Y ) () () k u () () () () u u u 0 k. 0. 0.0 u () k. KN // X () () k u () () () () u u u 0 k. 0.90 0.0 u () k 0. KN // Y Μέλος () () () k u k u () () () () () u u 0 0.9 0.0 0.0 ( 0.0) ( 0.00) k u k u () () k k. KN (//X )
() () () k u k u () () () () () u u 0 0.9 ( 0.0) 0.0 0.0 ( 0.00) k u k u () () k k. KN (//Y ) Οι παραπάνω εσωτερικές δυνάμεις των άκρων των ράβδων στο απόλυτο σύστημα ΧΥ παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήμα. Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων s R R X (). KN // R Y () ().0.9 0.9 KN // R X () ().. 9. KN // R Y () () 0.. 9. KN // R X () () 0... KN //
Υπολογισμός δυνάμεων ράβδων & διαγράμματα εντατ. μεγεθών τοπικά συστήματα Εχοντας υπ όψη ότι πρόκειται για ράβδους δικτυώματος, εύκολα προκύπτει (βλ. και σχέσεις (9) ου φυλλαδ. σημ.) ότι οι συνισταμένες των συνιστωσών τους στα άκρα τους στο απόλυτο σύστημα ΧΥ θα είναι οι αξονικές δυνάμεις στα τοπικά τους συστήματα (σημειώνεται ότι οι ράβδοι είναι αφόρτιστοι, πλήν της ). Για τα διαγράμματα εφαρμόζονται οι σχέσεις () του ου φυλλαδ. σημ. Επομένως, προκύπτουν τα ακόλουθα. Μέλος.0 KN () ().0 KN () () () N( x).0 KN Μέλος N i 0. KN () () 0. KN () () 0 KN () () 0 KN () () () N( x) 0. KN Ni x () 0 Q( x) 0 dx 0 0 x KN Qi Q qk x x x x Q Q q( x) 0 k 0 k 0 0 M x q ( x) dx q ( x) xdx x 0 dx 0 xdx x () () M( x) x Mq( x) 0 0x x 0x x KNm Mi 0 Qi KNm Μέλος cosθ sinθ. 0.0.9 0.0. KN () () () () () () () cosθ sinθ. KN () () N( x). KN Μέλος Ni () () () cosθ sinθ. 0. 0. 0.. KN () () () () cosθ sinθ. KN () ()
N( x). KN N i Μέλος () () () cosθ sinθ. 0.. 0.9. KN () () () () cosθ sinθ. KN () () () N( x). KN Ni Οι παραπάνω εσωτερικές δυνάμεις των άκρων των ράβδων στα τοπικά συστήματα παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήμα. Ακολουθούν τα διαγράμματα των εσωτερικών εντατικών μεγεθών όπως προκύπτουν από τις παραπάνω σχέσεις. - - [N] [Q] [M]