ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Εκθετική Ανάλυση Σύνθεση a x(t)e j t dt x(t) a e j t όπου Για περιοδικά σήματα συνεχούς χρόνου με βασική (κυκλική) συχνότητα Ω ο και βασική περίοδο Τ. Οι συντελεστές α κ ονομάζονται συντελεστές της σειράς Fourier ή φασματικοί συντελεστές ή φασματικές γραμμές του x(t). Ο συντελεστής α ο αποτελεί τη σταθερή συνιστώσα ή dc του x(t) και ισούται με a x(t) dt Πρόκειται για τη μέση τιμή του x(t) σε μια περίοδο. Ο συντελεστής α κ αντιστοιχεί στην προβολή του σήματος x(t) στην κ-οστή ορθογώνια συνιστώσα e j t, δηλώνει το φασματικό περιεχόμενο του x(t) στην συχνότητα κω ο και ονομάζεται κ-οστή αρμονική συνιστώσα. Σειρά Fourier 4
Συνθήκες Ύπαρξης Σειράς Fourier Το ανάπτυγμα σήματος x(t) ακόλουθες συνθήκες Dirichlet: σε σειρά Fourier υπάρχει όταν πληρούνται οι Συνθήκη : Η x(t) είναι ολοκληρώσιμη κατ απόλυτη τιμή στο διάστημα μιας περιόδου Τ x(t) Συνθήκη : Η x(t) σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα, είναι συνεχής ή περιέχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών πεπερασμένου ύψους η καθεμιά. dt Συνθήκη 3: Η x(t) σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα, είναι φραγμένης κύμανσης, δηλ. υπάρχει πεπερασμένος αριθμός μεγίστων και ελαχίστων στο διάστημα αυτό 5
Συνθήκες Ύπαρξης Σειράς Fourier Συναρτήσεις που δεν πληρούν τις συνθήκες Συνθήκη 6
Συνθήκες Ύπαρξης Σειράς Fourier Συναρτήσεις που δεν πληρούν τις συνθήκες Συνθήκη 7
Συνθήκες Ύπαρξης Σειράς Fourier Συναρτήσεις που δεν πληρούν τις συνθήκες Συνθήκη 3 8
Ιδιότητες Σειράς Fourier Ιδιότητα Περιοδικό Σήμα Συντελεστές Σειράς Fourier x(t), y(t) περιοδικό με βασική περίοδο Τ και βασική συχνότητα Ω ο =π/τ α κ b κ Γραμμικότητα Αx(t)+Βy(t) Aα κ +Bb κ Ολίσθηση στο Χρόνο x(t-t o ) e jκω οt ο x(t) Ολίσθηση στη Συχνότητα e jmω οt x(t) α κ-μ Κλιμάκωση στο Χρόνο x(αt), α>0 (περιοδικό με περίοδο Τ/α) α κ (Προσοχή: το ανάπτυγμα έχει αλλάξει λόγω αλλαγής της βασικής συχνότητας) Περιοδική Συνέλιξη x(τ)y(t τ)dτ Τα κ b κ Τ 9
Ιδιότητες Σειράς Fourier Ιδιότητα Περιοδικό Σήμα Συντελεστές Σειράς Fourier Πολλαπλασιασμός Παραγώγιση x(t)y(t) ab l l l jκω ο α κ Ολοκλήρωση t α x(t)dt κ jκω ο dx(t) dt Κατοπτρισμός x(-t) α -k Συζυγία x * (t) α * -k 0
Ιδιότητες Σειράς Fourier Ιδιότητα Περιοδικό Σήμα Συντελεστές Σειράς Fourier Συζυγής Συμμετρία για Πραγματικά Σήματα Πραγματικά και Άρτια Πραγματικά και Περιττά x(t) πραγματικό x(t) πραγματικό και άρτιο x(t) πραγματικό και περιττό * Re{ } Re{ } Im{ } Im{ } a a a a α κ πραγματικό και άρτιο α κ φανταστκό και περιττό Parseval για περιοδικά σήματα x(t) dt
Παράδειγμα. Να υπολογιστούν οι συντελεστές της σειράς Fourier του σήματος x(t)=cos(ω ο t) του οποίου η βασική συχνότητα είναι Ω ο. Στην περίπτωση αυτή μας είναι ευκολότερο να αναπτύξουμε το σήμα ως γραμμικό συνδυασμό μιγαδικών εκθετικών, παρά να εφαρμόσουμε τον ορισμό. Οπότε: j t j t x(t) cos( t) e e Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με την εξίσωση σύνθεσης της σειράς Fourier (t) e j x a t διαπιστώνουμε ότι: α = ½, α - =½, α κ =0 για κ ±
Παράδειγμα. Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier του σήματος x(t)=sin(ω ο t). Εκφράζοντας την x(t) ως γραμμικό συνδυασμό μιγαδικών έχουμε: Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με την εξίσωση σύνθεσης της σειράς Fourier διαπιστώνουμε ότι: α = j, α -= j, α κ=0 για κ ± Σημείωση: j j j t j x(t) sin( t) e e x(t) a e j t j 0 j tan j 0 t 3
Παράδειγμα 3. Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier της x(t)=cos(4t)cos(6t). Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική σχέση: cos cos cos( ) cos( ) η x(t) γράφεται: x(t) cos( t) cos(0 t) e e e e 4 4 4 4 0 0 Άρα οι συντελεστές της σειράς Fourier είναι: j t j t j t j t α ± = α ±5 = 4 και α κ =0 για κ ± και κ ±5 4
Παράδειγμα 4. Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier της x(t)=cos (πt). Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική σχέση: cos cos( ) Και ακολούθως την ταυτότητα του Euler έχουμε: x(t) cos(4 t) e e 4 4 4 4 Άρα οι συντελεστές της σειράς Fourier είναι: j t j t α ο =/, α ± = 4 και α κ =0 για κ 0 και κ ± 5
Παράδειγμα 5. Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier του σήματος, t T x(t) 0,T t T Όπου Τ η βασική περίοδος του σήματος και Ω ο =π/τ η βασική συχνότητα. Πρόκειται για την περιοδική τετραγωνική κυματομορφή του σχήματος 6
Λόγω της συμμετρίας γύρω από το 0 επιλέγουμε ως περίοδο ολοκλήρωσης Τ το διάστημα Τ/ t Τ/. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και οποιοδήποτε άλλο διάστημα αν επιλέγαμε. Για κ=0 x(t)dt dt Σημειώνεται ότι ο συντελεστής αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή του σήματος σε μια περίοδο. Στην προκειμένη περίπτωση βλέπουμε ότι ισούται με το τμήμα της περιόδου κατά το οποίο x(t)=. Για κ 0 έχουμε: T T T T j t j t e e x(t) e dt e dt T j T sin( T) sin( T) T T j T j T 7
Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία Τ=4Τ, έχουμε ένα περιοδικό τετραγωνικό παλμό ο οποίος έχει πλάτος ένα στο μισό της περιόδου και μηδέν στο άλλο μισό (duty cycle= 50% ), οπότε: α ο =/, α κ = sin (κπ ) κπ, κ 0 Παρατηρούμε ότι α κ =0 για κ άρτιο και διάφορο του μηδενός. Επίσης, το sin ( κπ ) εναλλάσσεται μεταξύ ± για διαδοχικές περιττές τιμές του κ. 8
9
Συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier της περιοδικής τετραγωνικής κυματομορφής για σταθερό Τ και διαφορετικό Τ Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές αποτελούν ισαπέχοντα κατά π δείγματα της Τ περιβάλλουσας συνάρτησης sinωτ, όπου Ω=κΩ Ω ο και Ω ο = π. Η απόσταση των Τ δειγμάτων μειώνεται καθώς η βασική περίοδος Τ αυξάνεται. 0
Παράδειγμα 6: Για το περιοδικό τετραγωνικό σήμα του προηγούμενου παραδείγματος και για την περίπτωση που Τ=4Τ, να υπολογιστεί ο λόγος της μέσης ισχύος των συχνοτήτων του κεντρικού λοβού προς τη μέση ισχύ του σήματος. Η μέση ισχύς του σήματος είναι: T T P x(t) dt dt 0.5 T T T T Η ισχύς των συχνοτήτων του κεντρικού λοβού είναι: T P ' 0 0 0 0.45 4 P P ' 0.45 Άρα 0.9 0.5, δηλαδή οι δύο αρμονικές και η μέση τιμή αποτελούν το 90% της συνολικής ισχύος του σήματος.
Παράδειγμα 7: Να υπολογιστεί ο συντελεστής της εκθετικής σειράς Fourier του σήματος g(t). Συγκρίνοντας τη κυματομορφή αυτή με εκείνη του παραδείγματος 5, βλέπουμε ότι Τ=, Τ=4 και ότι υπάρχει μια χρονική καθυστέρηση κατά, ενώ το πλάτος κυμαίνεται μεταξύ - και αντί μεταξύ 0 και. Συνεπώς, η g(t) εκφράζεται σε σχέση με την x(t) του παραδείγματος 5 ως εξής: g(t) x(t) Οι συντελεστές Fourier της x(t-) θα είναι : b κ =e -jκω ο α κ = e -jκ(π/τ) α κ = e -jκ(π/) α κ
Για τη συνάρτηση -/ θα υπάρχει μόνο ο συντελεστής Fourier c o =-/ ενώ όλοι οι υπόλοιποι θα είναι μηδέν, δηλαδή c κ =0 για κάθε κ 0. Τελικά οι συντελεστές Fourier d κ της g(t) θα ισούνται με: 0, 0, 0 j d e c d d sin j j e, 0 e, 0 3
Παράδειγμα 8: Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier του περιοδικού σήματος q(t). Η βασική περίοδος του σήματος είναι Τ=4 και συνεπώς η βασική συχνότητα είναι Ω ο =π/τ=π/ Παρατηρούμε ότι η παράγωγος του q(t)μας δίνει το σήμα g(t) του παραδείγματος 7, δηλαδή g(t)=dq(t)/dt. Άρα οι συντελεστές Fourier του q(t) μπορούν να υπολογιστούν από τους συντελεστές Fourier dκ του g(t) μέσω της ιδιότητας παραγώγισης. 4
για κ 0 d j s s d s d j j sin sin s e e j j j j Ο συντελεστής S o για κ=0 προκύπτει από τον ορισμό: s o t 4 0 q(t) dt dt T 4 4 T 0 5
Παράδειγμα 9: Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier του περιοδικού τρένου κρουστικών. Το περιοδικό αυτό σήμα, του οποίου η περίοδος είναι Τ, μπορεί να εκφραστεί ως x(t) (t ) 6
Οι συντελεστές της σειράς Fourier μπορούν να υπολογιστούν από τον ορισμό και για περίοδο ολοκλήρωσης Τ/ t Τ/. a / (t)e j t dt T / Άρα με βάση την εξίσωση σύνθεσης το τρένο κρουστικών εκφράζεται ως: x(t) (t) T e j e t j t 7
Παράδειγμα 0: Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier του σήματος του παραδείγματος 5 με τη βοήθεια των συντελεστών του τρένου κρουστικών. Η παράγωγος του ρ(t) μας δίνει το g(t), δηλαδή q(t)=dρ(t)/dt. To σήμα q(t) μπορεί να εκφραστεί με βάση το τρένο κρουστικών του παραδείγματος 9 ως εξής: q(t)=x(t+t )-x(t-t ) 8
Έστω b κ οι συντελεστές Fourier του ρ(t) και c κ οι συντελεστές Fourier του q(t). Με βάση την ανωτέρω σχέση και την ιδιότητα ολίσθησης στο χρόνο: jt jt c e e j T sin( ) j sin( T ) T Από την ιδιότητα της παραγώγισης έχουμε για κ 0: c j sin( T) sin( T) c j b b b j j T Ο συντελεστής b o δεν μπορεί να προσδιοριστεί από την ανωτέρω σχέση. Υπολογίζεται εύκολα όμως από τον ορισμό ή απλά ως η μέση τιμή του σήματος ρ(t) στη διάρκεια μιας περιόδου. b o T T 9
Παράδειγμα : Να υπολογιστούν οι συντελεστές της μιγαδικής σειράς Fourier του σήματος r(t). H βασική περίοδος είναι Τ= και συνεπώς η βασική συχνότητα Ω ο =π/τ=π. Το σήμα περιγράφεται από τη σχέση r(t)=t, t < Με βάση την εξίσωση ανάλυσης υπολογίζουμε τους συντελεστές Fourier α κ. Για κ=0 r(t) dt t dt 0 T T 30
Για κ 0 j t j t j t r(t) e dt te dt tde j Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες j t j t te e dt j j j( ) cos( ) j sin( ) j Αφού cos( ) ( ) sin( ) 0 3
Παράδειγμα : Να υπολογιστούν οι συντελεστές της μιγαδικής σειράς Fourier της x(t)= Asin(πt), 0<t<, x(t+)=x(t) Πρόκειται για τη συνάρτηση της πλήρους ανόρθωσης με περίοδο Τ= x(t) dt A sintdt T T 0 3
0 j t jt x(t) e dt Asin te dt e jt e j j ( ) t A j ( ) t 0 0 j j j e, e e e A e dt j j dt e 0 dt A j ( ) A j ( ) e e ( ) ( ) A jt jt j e (4 ) 33
Φαινόμενο Gibbs Στο παράδειγμα 5 και 0 υπολογίσαμε τους συντελεστές της σειράς Fourier α κ του περιοδικού τετραγωνικού τρένου παλμών x(t) με περίοδο Τ και διάρκεια παλμού Τ. o T T sin( T ), 0 Ειδικά για την περίπτωση της συμμετρικής τετραγωνικής κυματομορφής κατά την οποία Τ=4Τ, όπου Τ η βασική περίοδος και Ω ο =π/τ, οι παραπάνω σχέσεις γίνονται: o sin( ) sin( ), 0 34
Άρα το περιοδικό τρένο παλμών εκφράζεται ως: sin( ) j t (t) jt x e e sin( ) j t j t e e sin( ) cos( t), Άρτια Συνάρτηση Παρατηρήστε ότι όλες οι άρτιες αρμονικές είναι μηδέν. 35
Παρατηρούμε ότι το περιοδικό τρένο παλμών ανακατασκευάζεται πλήρως προσθέτοντας έναν άπειρο, αλλά αριθμήσιμο, αριθμό περιττών αρμονικών. Τι συμβαίνει όμως εάν χρησιμοποιήσουμε τις πρώτες Ν αρμονικές, δηλαδή sin( ) x(t) cos( t) 36
37
Παρατηρούμε ότι σε κάθε πλευρά της ασυνέχειας παρουσιάζονται ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος είναι κατά 9% μεγαλύτερο ή μικρότερο του συνολικού πλάτους της ασυνέχειας και ανεξάρτητο το Ν. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται Gibbs προς τιμήν του Josiah Gibbs ο οποίος το μελέτησε και το εξήγησε το 899. Ένας απλός τρόπος εξήγησης/κατανόησης του φαινομένου Gibbs είναι μέσω της διαδικασίας φιλτραρίσματος και των ιδιοτήτων συνέλιξης και πολλαπλασιασμού. 38
Επεξήγηση Φαινομένου Gibbs To ότι από όλο το φάσμα των συχνοτήτων «κρατάμε» έναν πεπερασμένο αριθμό Ν από αυτές, είναι ισοδύναμο με τον πολλαπλασιασμό του φάσματος με ένα τετραγωνικό παλμό. Πολλαπλασιασμός στη συχνότητα Ισοδύναμα, στο πεδίο του χρόνου θα έχουμε συνέλιξη των αντίστοιχων κυματομορφών. Συνέλιξη στο Χρόνο Καταλαβαίνουμε ότι εάν αντί του τετραγωνικού παραθύρου πεπερασμένης διάρκειας είχαμε ένα παράθυρο άπειρης διάρκειας (δηλαδή ίσο με σε όλο το φάσμα), τότε αυτό συνεπάγεται ότι θα είχαμε κρουστική στο χρόνο και άρα δεν υπήρχαν ταλαντώσεις ως αποτέλεσμα της συνέλιξης. 39
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 6, 7, 8, 9, 0 : A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S.Hamid Nawab: "Σήματα και Συστήματα", η έκδοση, Εκδόσεις Φούντας, 0 Διαφάνεια 37 : Σεραφείμ Καραμπογιάς, Σέργιος Θεοδωρίδης: "Σήματα και Συστήματα", Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, 004 40
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα Ι, Εκθετική». Έκδοση:.0. Πάτρα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/opencourses.php?fc=5 4