ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων κι Τοπογράφων Μηχ. Τοµές Τοπογρφίς Μέθοδος Ελχίστων Τετργώνων & Φωτογρµµετρί Φωτογρµµετρική Οπισθοτοµί Υποδειγµτικά λυµένη άσκηση εδοµέν Ν συvτχθεί πρόγρµµ Η/Υ σε γλώσσ πργρµµτισµύ της επιλγής σς πυ v επιλύει το θεµελιώδες πρόβληµ της φωτογρµµετρικής οπισθοτοµίς. Τ δεδοµέν είνι οι γεωδιτικές συντετγµένες πέντε φωτοστθερών (Φ i, κθώς κι οι µετρηµένες (κι διορθωµένες πό συστηµτικά σφάλµτ, δηλ. συρρίκνωση, πρωτεύον σηµείο κι κτινική διστροφή εικονοσυντετγµένες τους. ϊνετι κόµ η στθερά της µηχνής 5.mm Συvτετγµέvες φωτστθερώv (ΣΑ/Φ / Χ(m Y(m (m (mm (mm Φ 65.75.5.7-7.6 8.5 Φ 6777.8 5.5 57.6 65.578 9.6 Φ 65. 5. 69. -.66.86 Φ 6.55 7.65 8. -7.8-6.9 Φ5 665. 75.8 5.8.77 -.87 Επίλυση. Εισγωγή Το πρόβληµ που τίθετι φορά στον προσδιορισµός των στοιχείων του εξωτερικού προσντολισµού (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ µις λήψης πό µετρήσεις των εικονοσυντετγµένων i, i πέντε φωτοστθερών σηµείων. Γι τ σηµεί υτά θεωρούντι γνωστές οι συντετγµένες Χ i, Y i στην προβολή Hatt κθώς κι τ ορθοµετρικά τους υψόµετρ Ζ i (H i. Έτσι, επειδή τ µετρηµέν στοιχεί είνι n (δύο εικονοσυντετγµένες γι κάθε έν πό τ πέντε φωτοστθερά, ενώ οι άγνωστες νεξάρτητες κθοριστικές πράµετροι είνι m6 (τ στοιχεί του εξωτερικού προσντολισµού πιτείτι
συνόρθωση. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η συνόρθωση γίνετι µε τη µέθοδο των εµµέσων πρτηρήσεων.. Συνθήκη Συγγρµµικότητς Ως σχέσεις που συνδέουν το διάνυσµ των µετρήσεων µε το διάνυσµ των νεξάρτητων κθοριστικών πρµέτρων (εξισώσεις πρτήρησης θεωρούντι οι εξισώσεις της Συνθήκης Συγγρµµικότητς. Η συνθήκη υτή εκφράζει µε µθηµτικό τρόπο το γεγονός ότι το σηµείο Μ στο ντικείµενο, το προβολικό κέντρο Ο κι η εικόν µ του σηµείου στη φωτογρφί βρίσκοντι πάνω σε ευθεί ή, Ισοδύνµ, ότι τ δινύσµτ M κι µ είνι συγγρµµικά. Οι εξισώσεις υτές διτυπώνοντι υπο µορφή πινάκων ως εξής: λ R ωφκ X X Y Y εδοµένου ότι η κλίµκ λ φορά στο συγκεκριµένο σηµείο κι διφοροποιείτι πό σηµείο σε σηµείο της λήψης, είνι επιθυµητή η εξάλειψή της. Γι το λόγο υτό µε διίρεση της πρώτης κι δεύτερης µε την τρίτη εξίσωση προκύπτουν οι εξισώσεις της Συνθήκης Συγγρµµικότητς: (Y Y (Y Y (Y Y (Y Y Όπου ij τ στοιχεί του πίνκ στροφής R: ( ( ( ( A A ( sφ sκ Rωφκ sφ sinκ sinφ sinω sinφ sκ sω sinκ sinω sinφ sinκ sω sκ sinω sφ sω sinφ sκ sinω sinκ sω sinφ sinκ sinω sκ sω sφ. ργώγιση εξισώσεων της Συνθήκης Συγγρµµικότητς Οι εξισώσεις της Συνθήκης Συγγρµµικότητς δεν είνι, προφνώς, γρµµικές ως προς τις άγνωστες πρµέτρους. Γι ν µπορεί ν εφρµοστεί η µέθοδος των εµµέσων πρτηρήσεων πιτείτι γρµµικοποίηση κτά Tal των εξισώσεων υτών. Η γρµµικοποίηση πργµτοποιείτι γύρω πό κάποιες προσωρινές τιµές (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ (ο γι τους γνώστους.
Γι τη γρµµικοποίηση θεωρούντι οι προηγούµενες εξισώσεις των εικονοσυντετγµένων κι ως συνρτήσεις κι ντίστοιχ: (Y Y (Y Y (Y Y (Y Y ( ( ( ( Η γρµµικοποίηση των εξισώσεων υτών ως προς τους γνώστους της οπισθοτοµίς µε τυτόχρονη πράλειψη των διφορικών νώτερης τάξης δίνει: ( ( dx X dx X dy d dω dφ dκ Y ω φ κ dy d dω dφ dκ Y ω φ κ Όπου: ( κι ( είνι οι τιµές των πρτηρήσεων κι γι τις προσωρινές τιµές Οι συντελεστές κι, που είνι οι µερικές πράγωγοι των ρχικών Ai Ai συνρτήσεων ως προς τους γνώστους, πίρνουν τιµές γι τις προσωρινές τιµές των γνώστων κι dx,dy,d, dω,dφ,dκ είνι οι µετβολές των προσωρινών τιµών κι ουσιστικώς οι νέοι άγνωστοι της συνόρθωσης. Οι µερικές πράγωγοι των ρχικών εξισώσεων ως προς τις άγνωστες πρµέτρους µε βάση το συµβολισµό των εξισώσεων ( προσδιορίζοντι ως εξής: X (-Α β X (-A Y (-A β Y (-A (-A β (-A Γι v διευκλυvθεί η κτvόηση τυ υπλγισµύ τωv υπολοίπωv συvτελεστώv δίvετι πρκάτω η πργώγιση, ως πρς τις τρεις στρφές ω, φ κι κ τωv στιχείωv τυ πίvκ στρφής R:
Μ ij /... Μω Μφ Μκ - sinφ sκ f - sinω sφ sκ f - sω sφ sκ f sinφ sinκ f - - - sinω sφ sinκ f - sω sφ sinκ f - sφ f - sinω sinφ f - sω sinφ f Με βάση τ πρπάvω ι υπόλιπι συvτελεστές των εξισώσεων πρτήρησης γι την Οπισθτµί είvι: - ω [(- (Y- Y (- - A (- (Y-Y (- ] 5 - (X-X (Y- Y (- [(f f f φ -A (f (X-X f (Y- Y f (- ] 6 κ - [ (X-X (Y- Y (- ] β ω - [ (- (Y - Y ( - - A (- (Y - Y ( - ] β 5 φ - [ (f - A (f (X - X (X - X f f (Y - Y f (Y - Y f ( - ( - ] β 6 κ - [- (X - X - (Y - Y - ( - ]
. ροσωρινές τιµές Γι τον υπολογισµό των προσωρινών τιµών κολουθούντι διάφορες τεχνικές. Γι µεν τ γωνικά µεγέθη στην περίπτωση εροφωτογρφίς, που κτά 99% θ πρόκειτι γι σχεδόν κτκόρυφη λήψη, οι προσωρινές τιµές των γωνιών λµβάνοντι ως, µε την εξίρεση της κ, όπου πρέπει ν γίνετι ένς σχετικός χονδρικός έλεγχος γι τον ζιµουθικό προσντολισµό της γρµµής πτήσης. Οι προσωρινές τιµές των γρµµικών µεγεθών µπορεί ν ντληθούν πό έν διτιθέµενο χάρτη. Σε ντίθετη περίπτωση, όπως άλλωστε κι στην προύσ άσκηση, η µόνη διτιθέµενη πληροφορί γι το ντικείµενο είνι τ δεδοµέν φωτοστθερά. Έτσι πό τις οριζοντιογρφικές συντετγµένες των φωτοστθερών είνι δυντόν πίρνοντς, γι πράδειγµ, το µέσο όρο - ν υπολογιστούν κάποιες προσωρινές συντετγµένες γι τ Χο κι Υο: ( ( X X 66.9 m κι Υ Υ 96.7 m i i Γι το υψόµετρο πτήσης (Ζο θ χρειστεί ν εκτιµηθεί η κλίµκ των εικόνων. Αυτή θ µπορούσε ν υπολογιστεί εύκολ υποθέτοντς ότι οι εροφωτογρφί είνι υστηρά κτκόρυφη. Στην περίπτωση υτή ισχύει η σχέση: Από πλή εφρµογή της, τυχί γι τ Χ του πρώτου φωτοστθερού (Φ προκύπτει: Με τη βοήθει της κλίµκς υπολογίζετι µι προσέγγιση του ύψους πτήσης: H κ 5. mm 865/ 7 m Το ύψος πτήσης προστιθέµενο στο µέσο νάγλυφο του εδάφους (µέσος όρος των Ζ των φωτοστθερών δίνει µι κλή προσέγγιση γι το Ζο: H 7. 9. m i X X a Y Y H - 7.6 mm (65.75 66.9 m k 865 5. Συµβτότητ µονάδων εν ποµένει πλέον πρά η ντικτάστση όλων των τιµών στις εξισώσεις πρτήρησης κι η επίλυση του συστήµτος σύµφων µε τη ΜΕΤ. Έν σηµείο στο οποίο θ πρέπει ν δίνετι ιδιίτερη προσοχή είνι η συµβτότητ των µονάδων. Θ πρέπει, δηλδή, ν δισφλίζετι ότι όλ τ µεγέθη είνι σε τέτοιες µονάδες ώστε το ποτέλεσµ της επίλυσης ν είνι κι υτό στις επιθυµητές µονάδες.
Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε τις εξής µονάδες: Α. Οι εικονοσυντετγµένες µετρώντι σε χιλιοστά (mm Β. Η στθερά της µηχνής δίνετι σε χιλιοστά (mm Γ. Οι γεωδιτικές συντετγµένες των φωτοστθερών δίνοντι σε µέτρ (m. Τ γωνικά µεγέθη δίνοντι σε βθµούς, ή κλύτερ σε δευτερόλεπτ ( Γι ν δισφλιστεί εποµένως η επιθυµητή συµβτότητ των µονάδων θ πρέπει οι συντελεστές των εξισώσεων πρτήρησης, δηλδή οι µερικές πράγωγοι, ν πολλπλσιάζοντι µε κτάλληλους συντελεστές. Οι συντελεστές υτοί είνι:. Γι τ γρµµικά µεγέθη: Σ. Γι τ γωνικά µεγέθη: 666 ρ Σ 6. Επίλυση Κτόπιν των πρπάνω το σύστηµ των εξισώσεων πρτήρησης διµορφώνετι ως εξής: Επισηµίνετι ότι οι εικονοσυντετγµένες µετρώντι στ σύγχρον όργν µε την ίδι κρίβει, τόσο οι κι, όσο κι γι κάθε σηµείο. Συνεπώς οι πρτηρήσεις στην προκειµένη περίπτωση είνι ισοβρείς κι έτσι δεν πιτείτι πίνκς βρών. Σε µορφή πινάκων έχουµε συνεπώς: υ δl δ A Η επίλυση κολουθεί τη γνωστή διδικσί των διδοχικών προσεγγίσεων, δεδοµένου ότι πό κάθε επίλυση του συστήµτος προκύπτουν τιµές γι τις διφορικές µετβολές των προσωρινών τιµών, ώστε υτές προστιθέµενες ν πλησιάσουν την επιθυµητή ληθή τιµή: 5 ( 5 ( ( υ υ υ dκ dφ dω d dy dx κ φ ω Y X κ φ ω Y X κ φ ω Y X (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ ( (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ ( (dχο, dυο, dζο, dω, dφ, dκ
Η πρώτη επίλυση του συστήµτος, όπως διτυπώθηκε πρπάνω δίνει: Α -,5986,98569 7,566E-5,976,969 -,5986 -,79 -,8-7,566E-5,86 -,9765 -,98797-9,89E-5,96,76 -,9765 -,579777 -,6578 9,89E-5 -,968 -,965885 -,9755 -,59E-6,,7979E-5 -,965885 -,6 -,9,59E-6 -,587E-5 -,99765,79689-6,956E-5,7797 -,78 -,99765,556 -,655 6,956E-5 9,5865E-5 -,697 -,6887659 5,57E-5,6596 -,578 -,697,57987 -,98-5,57E-5-7,98795E-5,78,68588 9,97E-6 -,866-6,578E-6,78,8797,968-9,97E-6 5,659E-6,68588,8797,65759,597E-5-9,99E-6-5,8E- -,866-9,97E-6-9,99E-6 -,99E-8,8686E-7,78E-9-6,578E-6 5,659E-6-5,8E-,957E-9,78E-9,5596E-7 N 9,97E-6,968,597E-5 5,7577E-7 -,99E-8,957E-9 -,86 -,879-6,76887 -,88785 -,989-9,9888,9878-6,5759 -,656588 δ l -6,57885 8.9m X 655.m.m 96.68m Y 5.7m 997.8m δ X 68 ω.68 66 φ.66 6 κ.6 ˆσ.599mm Στο σηµείο υτό θ πρέπει ν πργµτοποιηθεί ένς έλεγχος κτά πόσο οι υπολογισθείσες τιµές των µετβολών των προσωρινών τιµών έχουν πρκτικό νόηµ ή όχι. ηλδή εάν εφρµοζόµενες θ µετβάλουν τις ρχικές τιµές κτά ποσότητ µεγλύτερη πό το όριο της τεθείσς κρίβεις. Εν προκειµένω εφόσον δεν δίνετι ρητώς - η επιζητούµενη κρίβει µπορεί ν εκτιµηθεί ως εξής: Η κρίβει µε την οποί δίνοντι τοι συντετγµένες των φωτοστθερών είνι 5m. Συνεπώς δεν είνι δυντό ν επιζητήσει κνείς κρίβει υπολογισµού των γρµµικών γνώστων µεγλύτερη πό υτήν. Εϊνι µάλιστ λογικό ν θεωρείτι ρελιστική κρίβει µις τάξης µεγέθους χειρότερη πό υτήν των φωτοστθερών, δεδοµένου ότι στη διδικσί υπεισέρχοντι µετρήσεις κι υπολογισµοί, οι οποίοι είνι νπόφευκτο ότι θ εισγάγουν κάποιες βεβιότητες. Έτσι η επιζητούµενη κρίβει στον υπολογισµό των γρµµικών
στοιχείων του εξωτερικού προσντολισµού εκτιµάτι σε.m. Γι την εκτίµηση της ντίστοιχης µε υτήν κρίβεις των γωνικών µεγεθών, υπολογίζετι µε τι βεβιότητ ντιστοιχούν τ.m γι το συγκεκριµένο ύψος πτήσης (7m πό την πλή σχέση: δ atan(./7 p 86. Έτσι τ ποτελέσµτ της πρώτης επίλυσης του συστήµτος των κνονικών εξισώσεων ελέγχοντι εάν πληρούν τ πρπάνω κριτήρι µε βάση το µέγεθος των τιµών του πίνκ δ. Από την πρώτη επίλυση προκύπτουν µεγάλες διορθώσεις στις προσεγγιστικές τιµές κι γι υτό το λόγο γίνετι κι δεύτερη συνόρθωση. Εφόσον πιτείτι κι άλλη διδοχική προσέγγιση της λύσης, υπολογίζοντι οι νέες διορθωµένες ρχικές τιµές (Χ Χ δ ή γενικά Χ i Χ i- δ i κι επνλµβάνετι η κτάστρωση των εξισώσεων πρτήρησης, η διµόρφωση του συστήµτος των κνονικών εξισώσεων κι η εκ νέου επίλυσή του..6m X 658.9m.5m 96.m Y.77m 995.7m δ X 57.5 ω.65 59. φ.7755 75. κ.68 ˆσ.58mm Κτόπιν επνλµβάνετι ο έλεγχος κι όλη η διδικσί, έως ότου οι υπολογιζόµενες τιµές ν πάψουν ν συµβάλλουν στην ουσιστική µετβολή των ρχικών τιµών. Αυτό επιτυγχάνετι µε την τρίτη συνόρθωση..9m X 658.m.6m 96.8m Y.8m 99.99m δ X 9.97 ω.575 5.6 φ.779.8 κ.65 ˆσ.8mm ρτηρούµε όµως πως το δεύτερο κριτήριο, σχετικά µε το a psteii τυπικό σφάλµ της µονάδς βάρους, δεν ικνοποιείτι φούσˆ σˆ. Έτσι πργµτοποιείτι κι τέτρτη συνόρθωση που τ ποτελέσµτ της οποίς είνι:
Α Ν δ l -,75765 -,788558,998598 6,E-5,95865,59 -,9889 -,7695 -,69999 -,965-6,799E-5,99 -,5779 -,689 -,76675-5,95E-5,898,856 -,88767 -,57969 -,669 -,99 5,66E-5 -, -,896 -,88,66777 -,9969E-6,99,76E-5,6 -,865 -,9896 -,79-5,87E-6,95E-6 -,787 -,7995,987899-9,5757E-5,8896 -,675,979 -,8987,758 -,89 6,86588E-5,8 -,98 -,95 -,59,8687E-5,586 -,66,8765 -,55675,85757 -,566 -,79E-5-5,8E-5,859,E-5 -,6656 7,5E-6 -,5769 7,56E-6,E-5,88 -,66997,76-9,55E-6-9,68E-6 -,6656 -,66997,86997-6,65E-6,559E-5-9,9858E-7 7,5E-6,76-6,65E-6 5,6E-7 -,7785E-8-6,9966E-9 -,5769-9,55E-6,559E-5 -,7785E-8,855E-7-9,67699E-9 7,56E-6-9,68E-6-9,9858E-7-6,9966E-9-9,67699E-9,6E-7,86679,988 -,755665 -,98 9,788E-5 6,568E-5,79596-6,999E-5 -,88 -,6675 7. m X 658.m -5 96.9m.78 m Y -5 995.m.6 m X.9 ω.576.6 φ.779 δ 5. κ.65 ˆσ.8mm
8,9E-5 -,658E-6 -,E-5,796,58979 -,98 -,658E-6 9,86E-5 -,65E-6 -,576 -,796,895 -,E-5 -,65E-6,5E-5,58596 -,99,587E-5 ˆV ˆX,796 -,576,58596,688,67656 -,9576,58979 -,796 -,99,67656,59655 -,55 -,98,895,587E-5 -,9576 -,55 5,566 Έτσι τ τελικά ποτελέσµτ είνι: Χο(m 658. ±.9 Y(m 96.9 ±. (m 995. ±. ω (ad.576 ±.6 φ (ad.779 ±.6 κ (ad.65 ±.