Δομή της παρουσίασης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ορισμοί Κατηγορίες Σημάτων

3 Ορισμοί Σήμα στις Τηλεπικοινωνίες Σύστημα στις Τηλεπικοινωνίες Σήμα στις Τηλεπικοινωνίες 4 Σήμα : Οποιαδήποτε φυσική ποσότητα η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, το χώρο, ή οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Μαθηματικά περιγράφεται ως συνάρτηση μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. Μπορεί να δοθεί όμως και γραφικά ή υπό μορφή πίνακα Παραδείγματα Σημάτων

Σύστημα στις Τηλεπικοινωνίες 5 Σύστημα : η φυσική συσκευή η οποία εφαρμόζει μια λειτουργία, δρα δηλαδή σε ένα σήμα. Η παραγωγή σημάτων συνδέεται συνήθως με ένα σύστημα που αποκρίνεται σε μια διέγερση. Στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα τα σήματα χρησιμοποιούνται για να μεταφέρουν πληροφορία (infrmatin bearing signals). Τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα δέχονται ένα σήμα εισόδου ως διέγερση και αποκρίνονται με ένα σήμα εξόδου. Τα σήματα είναι συνήθως τάσεις και ρεύματα και είναι κυρίως συναρτήσεις του χρόνου. 6 Κατηγορίες Σημάτων Ντετερμινιστικά & Τυχαία Σήματα Πολυδιαυλικά & Πολυδιάστατα Σήματα Πραγματικά & Μιγαδικά Σήματα Συνεχούς & Διακριτού Χρόνου Σήματα Συνεχούς & Διακριτής Τιμής Ψηφιακά Σήματα Περιοδικά & Μη Περιοδικά Σήματα Αιτιοκρατική & Μη Σήματα Άρτια & Περιττά Σήματα Σήματα Ενέργειας & Ισχύος 3

Ντετερμινιστικά & Τυχαία Σήματα 7 Ντετερμινιστικό ή Νομοτελειακό Σήμα : όταν για οποιαδήποτε χρονική στιγμή, t, η τιμή του x(t), είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, δηλαδή δεν παρουσιάζει καμία αβεβαιότητα όσον αφορά στην τιμή του. Τυχαίο ή Στοχαστικό Σήμα : όταν για οποιαδήποτε χρονική στιγμή, t, η τιμή του x(t), είναι τυχαία μεταβλητή, δηλαδή παρουσιάζει κάποιο βαθμό αβεβαιότητας ως προς την τιμή του, η οποία ορίζεται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Πολυδιαυλικά & Πολυδιάστατα Σήματα 8 Τα διανυσματικά σήματα καλούνται και πολυδιαυλικά σήματα. Παράγονται συνήθως από πολλαπλές πηγές ή πολλαπλούς αισθητήρες. Αναπαρίστανται με τη μορφή διανύσματος. Κάθε στοιχείο του διανύσματος μπορεί να είναι ντετερμινιστικό ή τυχαίο. Πολυδιάστατο Σήμα : αν είναι συνάρτηση περισσοτέρων της μιας ανεξάρτητων μεταβλητών. 4

Παραδείγματα Σημάτων 9 Σήματα Μιας Μεταβλητής 3 3 x t t x t t Σήμα Δύο Μεταβλητών Διανυσματικό ή Πολυδιαυλικό Πολυδιάστατο Πολυδιαυλικό & Πολυδιάστατο I x, y, t, 5 4 8 g t g t g t g t f xy x xy y 3 Ir xyt,, I xyt,, Ig xyt,, Ib xyt,, Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Καρτεσιανή Μορφή x a jb a Re x, b Im x x j re Πολική Μορφή b tan a 0 a b x r a b arg x tan a0, b0 a b tan a 0, b 0 a 5

Αναπαράσταση στο Μιγαδικό Επίπεδο 3 4j 34j Παράδειγμα Μιγαδικού 6

Πράξεις Μιγαδικών 3 Πρόσθεση και Αφαίρεση Μιγαδικών x a jb y c jd x y ac j bd x y ac j bd Πράξεις Μιγαδικών 4 Μιγαδικός Συζυγής j * Αν x a jbre τότε x a jbre Γινόμενο μιγαδικών a jbc jd ac bd jad bc xy x y rr j j x re y re xy x y arg arg arg j cs sin j xy rr e rr j 7

Πράξεις Μιγαδικών 5 Παράδειγμα γινομένου μιγαδικών Πράξεις Μιγαδικών 6 Παράδειγμα γινομένου μιγαδικών 8

Πράξεις Μιγαδικών 7 Αντίστροφος a jb x x a jb a jb a jb x * Πηλίκο μιγαδικών j e j x re r ab cd bc ad * x a jb xy y c jd y c d c d j j x re r j j e y re r Πράξεις Μιγαδικών 8 Δυνάμεις μιγαδικών j n n re r csn j sin n 9

Πραγματικά & Μιγαδικά Σήματα 9 Πραγματικό Σήμα : όταν παίρνει τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μιγαδικό Σήμα : όταν παίρνει τιμές από το σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Τα μιγαδικά σήματα χρησιμοποιούνται στις τηλεπικοινωνίες για τη μοντελοποίηση σημάτων που μεταφέρουν πληροφορία πλάτους και φάσης. Αναπαρίστανται από δύο πραγματικούς : πλάτος (απόλυτη τιμή) και φάση, ή πραγματικό και φανταστικό μέρος (Παράδειγμα). Παράδειγμα Μιγαδικού Σήματος 0 Μιγαδικό Εκθετικό (Καρτεσιανή Μορφή) x t Ae, A 0 r i e j j f t cs jsin cs sin x t A f t x t A f t xt x t jx t r i 0

Παράδειγμα Μιγαδικού Σήματος Μιγαδικό Εκθετικό (Πολική μορφή) xt xt e jxt xt x t A x t x t r i f t x t Re xt xt cs xt Acs ft r x t Im xt xt sin xt Asin ft i Παράδειγμα Μιγαδικού Σήματος = / 5 = / 5 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0. 0. x r (t) 0 x i (t) 0-0. -0. -0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.8 - - -0.5 0 0.5 Time - - -0.5 0 0.5 Time Magnitude(t) A Phase(t) 0 Time 0 Time

Σήματα Συνεχούς & Διακριτού Χρόνου 3 Σήμα Συνεχούς Χρόνου (Αναλογικό Σήμα) x(t): μια πραγματική ή μιγαδική συνάρτηση του χρόνου στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή t, παίρνει τιμές στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Σήμα Διακριτού Χρόνου x[n]: ένα σήμα για το οποίο η ανεξάρτητη μεταβλητή, n, παίρνει τιμές στο σύνολο των ακεραίων. Οι διακριτές τιμές του χρόνου δεν ισαπέχουν κατ ανάγκη, αλλά μόνο για μαθηματική και υπολογιστική ευκολία. Παράδειγμα Σήματος Διακριτού Χρόνου 4 xn Acs fn, n 0.8 cs(f n+) 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4 /5 f 0.05-0.6-0.8 - -0-5 -0-5 0 5 0 5 0 Äåßãìáôá n

Δειγματοληψία Αναλογικών Σημάτων 5 Ένα σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να προκύψει από τη δειγματοληψία ενός αναλογικού σήματος σε χρονικά διαστήματα που καθορίζονται από τη συχνότητα δειγματοληψίας. Αν Τ ο η περίοδος δειγματοληψίας μπορούμε να ορίσουμε το σήμα διακριτού χρόνου ως x[n] = x(nt ), όπου n=0,,,3, Σήματα Συνεχούς & Διακριτής Τιμής 6 Σήμα Συνεχούς Τιμής : αν μπορεί να πάρει όλες τις δυνατές τιμές σε ένα πεπερασμένο ή άπειρο εύρος τιμών. Σήμα Διακριτής Τιμής : αν παίρνει τιμές από ένα πεπερασμένο εύρος τιμών. ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΗΜΑ : αν είναι και διακριτού χρόνου και διακριτής τιμής. Για την ψηφιακή επεξεργασία ενός αναλογικού σήματος απαιτείται δειγματοληψία σε διακριτές χρονικές στιγμές και κβαντοποίηση των τιμών σε ένα σύνολο διακριτών τιμών. 3

Παράδειγμα Ψηφιακού Σήματος 7 4 3.5 3 Øçöéáêü ÓÞìá.5.5 0.5 0-4 - 0 4 6 8 n Περιοδικά & Μη Περιοδικά Σήματα 8 Περιοδικό Σήμα : αν ικανοποιεί την ιδιότητα x(t+kt )=x(t) για <t< και Τ ο >0 και k=,, Η ποσότητα T είναι η μικρότερη θετική ποσότητα για την οποία ισχύει η προηγούμενη εξίσωση όταν k=, και καλείται βασική περίοδος. Για σήματα διακριτού χρόνου η περιοδικότητα x[n+kn ]=x[n], για n=0,±, ±, και k= ±, ±, και N =,,3,... Μη Περιοδικό Σήμα : ένα σήμα που δεν ικανοποιεί τις συνθήκες της περιοδικότητας. 4

Παράδειγμα Περιοδικού Σήματος 9 Είναι το σήμα xt () e sin( t) περιοδικό? xt ( T) e sin( tt) sin( tt) sin( t) για T sin( t) ( ) ( ) xtt e xt Παράδειγμα Μη Περιοδικού Σήματος 30 Είναι το σήμα x() t te sin( t) περιοδικό? xt ( T) ( tte ) sin( tt) sin( tt) sin( t) fr T xt ( T) ( tte ) te sin( t ) sin( t) sin( t) xt () Te xt () Te sin( t ) 5

Περιοδικότητα Σύνθετων Σημάτων 3 Κάθε σήμα μπορεί να αναπτυχθεί σε άθροισμα περιοδικών σημάτων (Σειρές Taylr ή όπως θα δούμε σειρές Furier). Το άθροισμα περιοδικών σημάτων συνεχούς χρόνου είναι περιοδικό σήμα αν και μόνο αν ο λόγος της περιόδου των επιμέρους σημάτων είναι ρητός αριθμός (μπορεί να γραφεί ως πηλίκο ακεραίων). Πως υπολογίζεται η περίοδος του σύνθετου σήματος? Περιοδικότητα Σύνθετων Σημάτων 3 Η βασική περίοδος του σύνθετου σήματος Ν περιοδικών σημάτων υπολογίζεται ως εξής: Γράψε το λόγο των περιόδων T /T i, i N ως λόγο ακεραίων, όπου T η περίοδος του ου σήματος και T i η περίοδος των υπολοίπων N σημάτων. Αν ένας από τους λόγους είναι άρρητος το άθροισμα δεν είναι περιοδικό σήμα. Απαλείψτε τους κοινούς όρους σε αριθμητή και παρονομαστή κάθε λόγου ακεραίων. Η βασική περίοδος του σύνθετου σήματος είναι T =k T, όπου k είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των επιμέρους λόγων. 6

Περιοδικότητα Σύνθετων Σημάτων 33 Θεωρείστε σήμα v(t) ως άθροισμα των περιοδικών σημάτων v( t) x( t) x( t) x3( t) x( t) cs(3.5t) x( t) cs(t) 7 x3( t) cs( t) 6 Είναι περιοδικό το σύνθετο σήμα και αν ναι ποια η περίοδος? Περιοδικότητα Σύνθετων Σημάτων 34 Υπολογίστε του λόγους των περιόδων των επιμέρους σημάτων T0 4 T0 3.5 3.5 T 0 3.5 7 T0 7 T0 6 7 3.5 T03 T 03 3.5 7 3 7 6 6 Οι λόγοι είναι ρητοί αριθμοί και άρα το σύνθετο σήμα περιοδικό. 7

Περιοδικότητα Σύνθετων Σημάτων 35 Απαλοιφή κοινών παραγόντων: T 0 /T 0 = 4/7 T 0 /T 03 = 7/=/3 Υπολογισμός ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των παρονομαστών των λόγων: n = 3*7= Βασική περίοδος του σύνθετου σήματος: T 0 = n T 0 = */3.5= Αιτιοκρατικά και Μη Αιτιοκρατικά Σήματα 36 Αιτιοκρατικό Σήμα : αν για t<0 είναι x(t)=0, ή για σήμα διακριτού χρόνου, για n<0 είναι x[n]=0. Μη Αιτιοκρατικό Σήμα : αν δεν ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες. 8

Άρτια & Περιττά Σήματα 37 Άρτιο Σήμα : αν παρουσιάζει συμμετρία ειδώλου ως προς τον κατακόρυφο άξονα, δηλ. x(t)=x( t) t Περιττό Σήμα : αν είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, δηλαδή x( t)= x(t) t Γενικά ένα οποιοδήποτε σήμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού όρου. Ερμιτιανό Σήμα : ένα μιγαδικό σήμα με άρτιο πραγματικό μέρος και περιττό φανταστικό μέρος. (Άρα άρτιο πλάτος και περιττή φάση). Άρτια & Περιττά Σήματα 38 Άρτιο (+) + Άρτιο (+) = ΑΡΤΙΟ (+) Περιττό ( ) + Περιττό ( ) = ΠΕΡΙΤΤΟ ( ) Άρτιο (+) x Περιττό ( ) = ΠΕΡΙΤΤΟ ( ) Άρτιο (+) x Άρτιο (+) = ΑΡΤΙΟ (+) Περιττό ( ) x Περιττό ( ) = ΑΡΤΙΟ (+) e x t x t x t x t x t x t x t xe t x t 9

Παράδειγμα Άρτιου & Περιττού 39 cs xt A ft Αν Αν 0 άρτιο περιττό cscs sin sin x t A f t A f t e cscs sin sin x t A f t x t A f t Ισχύς και Ενέργεια Σημάτων 40 Στιγμιαία Ισχύς κανονικοποιημένη για αντίσταση Ohm p t x t Watts Μέση Ισχύς στο διάστημα (t,t ) t P x t dt Watts t t t Ενέργεια Ισχύς T / T T / E xt dt lim xt dt x T / P lim xt dt Watts x T T T / 0

Σήματα Ενέργειας & Ισχύος 4 Σήμα Ενέργειας : όταν και μόνον όταν η ενέργεια του σήματος είναι καλά ορισμένη και πεπερασμένη, δηλαδή 0<Ε x < Σήμα Ισχύος : όταν και μόνον όταν η ισχύς του σήματος είναι καλά ορισμένη και πεπερασμένη, δηλαδή 0<P x < Τα σήματα ενέργειας έχουν μηδενική μέση ισχύ (π.χ. Τα σήματα που είναι και ντετερμινιστικά και μη περιοδικά). Τα σήματα ισχύος έχουν άπειρη ενέργεια (π.χ. Τα περιοδικά και τα τυχαία). Παραδείγματα 4 x t 5 x x T / lim 5 lim 5 T T T / E dt T P T / 5T lim 5 dt lim 5 T T T T T / x t 3 j4 0t 0 αλλού T / E lim x t dt 3 j4 dt 50 P x x T T / 0 Ex lim 0 T T

Παραδείγματα 43 x t t T / T / 3 T / 3 t T Ex lim x t dt lim t dt lim lim 3 T T T T T / T / T / 3 T Ex lim lim T Px lim T T T T T Άρα δεν είναι ούτε σήμα ενέργειας, ούτε σήμα ισχύος Παράδειγμα Σήματος Ισχύος 44 Θεωρώ περιοδικό σήμα T / nt/ T/ E lim x t dt lim x t dt lim n x t dt x T n n T/ nt / T / T / nt / Px lim xt dt lim xt dt T T nt n lim n nt n T/ nt / T/ T/ xt dt xt dt T T / T / Μέση ισχύς περιοδικού = Μέση Ισχύς Περιόδου

Παράδειγμα Περιοδικού 45 cs x t A f t Ex Px A cs ftdt T = T T / cs x cs x T / T / T / A cs4 ft dt T / T / A A dt cs4 ft dt T T T / T / A A T T 0 46 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 0 44759 e mail: kanatas@unipi.gr 3