ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1
Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου: σήματα απεριοδικά και διακριτού χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier: σήματα περιοδικά και διακριτού χρόνου Ψηφιακά σήματα Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier. Γιατί? Είναι ο μόνος που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε ψηφιακά συστήματα! 2
Σειρά Fourier (Fourier Series): Ανάλυση σημάτων συνεχούς χρόνου σε ημιτονοειδής συναρτήσεις. Σήμα, x[n], με Ν δείγματα αναλύεται σε δύο ημιτονοειδής συναρτήσεις με (Ν/2+1) δείγματα: x[ n] όπου: εκτός: / 2 k 0 A A A k k cos Re Re / 2 ( 2πkn / ) + B sin( 2πkn / ) k 0 { X[ } Im{ X[ } / 2 k { X[0] } Re{ X[ / 2] } κ καa 0 / 2, B k / 2 Χ[κ]: x[n] στο πεδίο συχνοτήτων (μιγαδικός αριθμός) και 2πkω 3
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 4
Στόχος της ανάλυσης: απλοποίηση σήματος για ευκολότερη επεξεργασία και/ή κατανόηση. Παράσταση σήματος με ημιτονοειδείς συναρτήσεις είναι πιο απλή λόγω της ιδιότητάς τους: ημιτονοειδής είσοδος σε σύστημα ημιτονοειδής έξοδος με ή χωρίς αλλαγή του πλάτουςκαιτηςφάσηςτηςεισόδου. Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier: x( n) 1 2 π π π X n ( e ) e dω Μετασχηματισμός Fourier: X ( ) e n x( n) e n 5
Γενικά, ο ΜΦ είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας, ω. Σε ορθογώνια μορφή: X ( e ) Re + { } { X ( e ) j Im X ( e )} Ή σε πολική μορφή: όπου ( e ) : X ( e ) X ( e ) X μέγεθος, X ( e ) Re{ X ( e )} + X ( e ) θ X ( e ): φάση, θ tan 1 Im Re e jθ { X ( e )} j { X ( e ω )} 2 Im{ } 2 6
Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου: χρειάζεται άπειρος αριθμός ημιτονοειδών για σύνθεση ενός απεριοδικού σήματος. Άρα είναι αδύνατο να υπολογιστεί πρακτικά με αυτόν τον τρόπο σε ψηφιακό σύστημα Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (ΔΜΦ) Όμως: μη-περιοδικό και διακριτό σήμα Μπορούμε να κάνουμε το σήμα να μοιάζει με περιοδικό σήμα επαναλαμβάνοντας το ίδιο ακριβώς σήμα στο χρόνο! 7
Περιοδική σειρά ~ x [ n] ~ x [ n + r ] τιμή των n και r, και Ν: περίοδος. για κάθε ακέραια Μια τέτοια σειρά μπορεί να αντιπροσωπευτεί από μια ΣΦ που είναι άθροισμα αρμονικών μιγαδικών εκθετικών σειρών της μορφής: j(2π / ) kn ek [ n] e ek[ n + r ] όπου k: ακέραιος αριθμός. Τότε, ησφέχειτημορφή: ~ 1 ~ j(2 / ) kn x[ n] X[ e π k Όμως η ΣΦ ενός περιοδικού σήματος διακριτού χρόνου με περίοδο Ν απαιτεί μόνο Ν αρμονικές μιγαδικές εκθετικές σειρές. Γιατί? Για ακέραιους l, ισχύει: e [ n] e [ n] k + l k 8
Επομένως τα Ν δείγματα: e0[ n], e1[ n],..., e 1[ n] προσδιορίζουν ΟΛΑ τα μιγαδικά εκθετικά δείγματα με συχνότητες ακέραια πολλαπλάσια του (2π/Ν). Συνεπώς, η ΣΦ μιας περιοδικής σειράς: ~ x [ n] 1 1 k 0 ~ X[ e j(2π / ) kn και οι συντελεστές της ΣΦ: ~ X[ Ισχύει, για κάθε ακέραιο k: 1 k 0 ~ x [ n] e j(2π / ) kn ~ X [ k + ] ~ X[ 9
Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier ΔΜΦ: σειρά, και όχι συνάρτηση μιας συνεχούς μεταβλητής, που αντιστοιχεί σε δείγματα του ΜΦ του σήματος, ισοκατανεμημένα συχνοτικά. Η προσέγγιση είναι ο υπολογισμός της ΣΦ μιας σειράς άπειρου μήκους που είναι περιοδική μορφή της αρχικής σειράς. Η ΣΦ αντιστοιχεί στον ΔΜΦ της αρχικής διακριτής σειράς. Παίρνοντας αρκετά ισοκατανεμημένα δείγματα του ΜΦ της περιοδικής σειράς μπορούμε να ανακτήσουμε τον ΜΦ της αρχικής απεριοδικής σειράς από αυτά τα δείγματα. Αντίστοιχα, το x[n] είναι ανακτήσιμο από την αντίστοιχη περιοδική σειρά των δειγμάτων στο πεδίο χρόνου. 10
ΔΜΦ: εξισώσεις Σύνθεση: x[ n] 1 1 k 0 X[ e j(2π / ) kn Ανάλυση: X[ k ΔΜΦ 1 0 x[ n] e x[ n] X[ j(2π / ) kn Δηλ. Χ[κ]0 για τιμές k εκτός του διαστήματος 0 k 1 και x[n]0 για τιμές n εκτός του διαστήματος 0 n 1 11
Ιδιότητες Γραμμικότητα: Αν 2[ ΔΜΦ 2 k x1[ n] ΔΜΦ X1[ και x n] X [ ] Τότε: ax 1[ n] + bx2[ n] ΔΜΦ ax1[ + bx 2[ Αν x 1 έχει Ν 1 δείγματα και x 2 έχει Ν 2 δείγματα, και Ν 2 >Ν 1, τότε ο ΔΜΦ έχει Ν 2 δείγματα. Στο σήμα x 1 προστίθενται (Ν 2 -Ν 1 ) μηδενικά δείγματα έτσι ώστε x 1 και x 2 να έχουν τον ίδιο αριθμό δειγμάτων. 12
ΔΜΦ x[n] X[ ΔΜΦ y[n] Y[ 13
ΔΜΦ zx+y Z[ΜΦ{z}Χ[κ]+Υ[κ] 14
Μεταφορά στο χρόνο: x[ n m] DFS e j2πkm/ X[ δηλ. μεταφορά στο πεδίο χρόνου κατά m δείγματα αντιστοιχεί στο πεδίο j m συχνοτήτων με πολλαπλασιασμό του ΜΦ με τη γραμμική φάση e ω Κάθε μεταφορά κατά m> δεν μπορεί να διαχωριστεί στο πεδίο χρόνου από μια μικρότερη μεταφορά m 1, όπου 0 m1 1 και m m (m 1 και m 2 : ακέραιοι) Δυϊσμός (duality): ΔΜΦ ΔΜΦ Αν x[ n] X[ τότε X[ n] x[ m + 1 2 15
Μέθοδοι Υπολογισμού (1) Επίλυση συστήματος εξισώσεων: αθροίσματα των ημιτονοειδών ισούνται με τα δείγματα του σήματος. Ν εξισώσεις με Ν αγνώστους. : δε χρησιμοποιείται σχεδόν ποτέ λόγω του μεγάλου αριθμού πράξεων που χρειάζονται (2) Συσχέτιση: Re Im { X[ } x[ n]cos( 2πkn / ) n 1 0 { X[ } x[ n]sin( 2πkn / ) n 1 0 Δηλ. κάθε δείγμα στο πεδίο συχνοτήτων υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας όλα τα δείγματα του σήματος στο πεδίο χρόνου με τα ημιτονοειδείς σήματα που μας ενδιαφέρουν (συγκεκριμένης συχνότητας k). Τα ημιτονοειδή είναι ορθογώνια μεταξύ τους! 16
Επόμενη διάλεξη: 9. Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Εφαρμογές 17