ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x να ισχύει: x x x e e e Nα βρείτε: + = + () i) την παράγωγο της στο x =. ii) την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο A, ( ) i) Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της () έχουμε: x x x x x x x e + = e + e e + e + = e + e x x x x x x x x e + e = e + e e + e = e e + x + = + (), κάθε x x e e Για x = από την () παίρνουμε e + = e + = ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A (, ( )) είναι η: y = x () Η () για x = δίνει: e + = e + e = οπότε από την () έχουμε:
(i) y ( ) = ( x ) y + = x 6 y = x 7 που είναι και η ζητούμενη εφαπτομένη. Μεθοδολογία Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης σε ένα σημείο Α(x o,(x o)), βρίσκουμε την (x o) και χρησιμοποιούμε τη σχέση: y (x o) = (x o) (x x o).
Παράδειγμα. x Δίνεται η συνάρτηση = x. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στην γραφική παράσταση της, που διέρχονται από το σημείο M (, 4). ( ) Είναι ( x) = x, x, οπότε αν = και ( x ) = x x x Η εξίσωση εφαπτομένης (ε) της A x, x είναι το σημείο επαφής τότε έχουμε: στο Α είναι: y x = x x x y x = x x x () Επειδή τώρα, η (ε) διέρχεται από το M (, 4) οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την (), οπότε η τελευταία για x = και y= 4 δίνει: 4 x = x x 4 x = x x = 4 x = ή x = Για τις τιμές που προσδιορίσαμε, από την () έχουμε: Για x = y 4 = 4( x ) y 4 = 4x 8 y = 4x 4 Για x = y 4 = 4( x + ) y 4 = 4x 8 y = 4x 4 Μεθοδολογία Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, από ένα σημείο Α ( αβ, ) που δεν ανήκει στη χρησιμοποιούμε την εξίσωση: y (x o) = (x o) (x x o) () και προσδιορίζουμε το x o θέτοντας στην (), x = α και y = β.
Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση ( x) = x x. Να βρείτε σε ποιο σημείο Α της η εφαπτομένη: i) Έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= 5. ii) Είναι παράλληλη στην ευθεία δ : x+ y 5=. iii) Είναι κάθετη στην διχοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου των αξόνων. iv) Είναι παράλληλη στον x x. v) Σχηματίζει γωνία ω= ˆ 5 με τον x x. Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στα σημεία επαφής. ( ) Είναι ( x) = x με x, οπότε αν A x, x είναι το σημείο επαφής της εφαπτομένης και της, ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της x = x Επομένως: i) λ= 5 ( x ) = 5 x = 5 x = 6 x = και = 6 Δηλαδή το σημείο επαφής είναι το A (, 6 ), και η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι η: y 6 = 5( x ) y 6 = 5x 5 y = 5x 9. ε δ λ =λ x = x = x = x = ii) ε δ και ( ) =. στο Α είναι: Δηλαδή το σημείο επαφής είναι το A (, ), και η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι η: y = x+ y = x y= x. 4
iii) Η διχοτόμος του ου και ου τεταρτημορίου είναι η ευθεία :y (ε) είναι κάθετη στην (ζ) όταν και μόνο όταν: ε ζ λε λ ζ = x = x = x = x = x = και ( ) =. ζ = x οπότε η εφαπτομένη Δηλαδή το σημείο επαφής είναι το A (, ), και η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι η: y = x. ε x x λ ε= x = x = x = x = και iv) = = =. 4 4 Δηλαδή το σημείο επαφής είναι το η: y =. 4 A, 4 και η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι ω= ˆ 5 λ =εϕ5 x = x = x = v) ε και ( ) = Δηλαδή το σημείο επαφής είναι το A (, ), και η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι η: y = x. Μεθοδολογία Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της σε ένα σημείο Α(x o,(x o)), μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, η οποία έχει μια ειδική θέση (παράλληλη, κάθετη, κτλ.) προσδιορίζουμε το xo από την συνθήκη που ικανοποιεί ο συντελεστής διεύθυνσης (x o). 5
Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση (x) = x. Α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο xo =. Β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της με την εφαπτομένη της στο xo =. Α) Επειδή ( ) = = και της Α (, ( )), είναι: (x) = x, x η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο y ( ) = ( )(x ) y = (x ) y = x Β) Τα κοινά σημεία της με την εφαπτομένη της λύση της εξίσωσης: (A) (x) = x x = x x x + = () στο xo = προσδιορίζονται από την Από το ερώτημα (Α) μια λύση της () είναι η x o =. Για την εύρεση των άλλων λύσεων της (), εργαζόμενοι κατά τα γνωστά με το σχήμα Horner παίρνουμε: x = και x =. Επομένως τα ζητούμενα σημεία είναι τα: Α(,) και Β(-,-8). Μεθοδολογία Για να βρούμε τα κοινά σημεία της εφαπτομένης της Α(x o,(x o)), μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, με την (x) = (x )(x x ) + (x ) o o o σε ένα σημείο, λύνουμε την εξίσωση: 6
Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση (x) = x + κ x + κ+ 4, κ. Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες, η γραφική παράσταση της εφάπτεται στον άξονα x x. H είναι παραγωγίσιμη στο με (x) = x + κ οπότε η εφάπτεται στον άξονα x x όταν και μόνο όταν: (x ) = () και (x ) = () Είναι: () xo + κ= xo = κ x = κ () () o o () x + κ x + κ+ 4= κ + κ κ + κ + 4= κ κ + κ+ 4= κ + κ+ 4= κ κ 4= ± 5 = 9 + 6 = 5, άρα κ, =, οπότε: κ= ή κ= 4 Άρα η εφάπτεται στον x x για τις τιμές: κ= και κ= 4 Οι γραφικές παραστάσεις της για τις τιμές του κ που υπολογίσαμε φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: Μεθοδολογία Για να εφάπτεται η (x o) = και o στον x x στο σημείο Α(x o,(x o)) όπου η είναι παραγωγίσιμη, πρέπει: (x ) = 7
Παράδειγμα 6. Nα αποδείξετε ότι η ευθεία (ε): y = x εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (x) = x + 4x. H είναι παραγωγίσιμη στο με (x) = x + 4 οπότε η ευθεία (ε) εφάπτεται στην στο σημείο Α(x o,(x o)) όταν και μόνο όταν: (x ) = () και (x ) = x () x + 4 = x = 4 x = (x ) = x x + 4x = x x + x + = x = = (x + ) = x Άρα η ευθεία (ε) εφάπτεται στην γραφική παράσταση της στο σημείο Α(-,-5). Μεθοδολογία Για να εφάπτεται η ευθεία y Α(x,(x )) πρέπει οι εξισώσεις: o o (x o) =α και (x o) =α xo +β να έχουν κοινή λύση. =α x+β στην μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο 8
Παράδειγμα 7. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x x 5x, = +, η οποία διέρχεται από το σημείο Η είναι παραγωγίσιμη με ( x) = 4x 5. Το Α (,) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της αφού την επαληθεύει, πράγματι για =, ισχύει ( x ) = ( ) =. x Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης y ( x) = ( x)( x x) στο σημείο (,) y ( ) = ( )( x ) () Όμως ( ) = και = 5. Οπότε η () γίνεται: y = 5( x ) y= 5x+. Α είναι: Μεθοδολογία Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης σε ένα σημείο x, x y x = x x x. ( ) της Α, έχει εξίσωση 9
Παράδειγμα 8. Δίνεται η συνάρτηση: < (x) = x 9, x x 5, x. i. Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο x =. ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο, Α. στο σημείο, ( ) Β. i. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο x Θα εξετάσουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο x =. x x x x =, αφού lim x = lim x = =. + x x x x 9 x lim = lim = lim = lim ( x + ) = x x x x x 5 x 8 lim = lim = lim = lim ( x + x + 4) = x x x + + + + x x x x Άρα =. ii. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο, Α δίνεται από τον τύπο: y x = x x x y = x y = ( x ) y = x. iii. Το σημείο Β, ( ) ανήκει στον πρώτο κλάδο της ( x) = x 9, με ( x) = 6x έτσι ( ) = 6 και Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης στο, ( ), οπότε για x< έχουμε = 6. Β είναι: y = x+ y+ 6= 6 x+ y= 6x.
Μεθοδολογία Όταν έχουμε συνάρτηση διπλού τύπου και θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο x, στο οποίο αλλάζει τύπο, εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα της μόνο με τον ορισμό της παραγώγου στο x. Αφού βρούμε την ( x ), χρησιμοποιούμε τον τύπο της εφαπτομένης: y x = x x x.
Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση ( x) = x + 5x + 4. Να βρείτε σε ποιο σημείο της η εφαπτομένη: i. Έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=. ii. iii. Είναι παράλληλη στον άξονα xx. Τέμνει τον άξονα xx υπό γωνία π ω=. 4 iv. Είναι κάθετη στην ευθεία δ: x 5y + =. v. Είναι παράλληλη στην διχοτόμο του ου και του 4 ου τεταρτημορίου των αξόνων. Σε καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο επαφής. Έχουμε ( x) = x + 5x + 4 με Έστω ( ) διεύθυνσης x = x + 5. x, x το σημείο επαφής της με την εφαπτομένη, που έχει συντελεστή x = x + 5 και τύπο: ( ε) :y ( x ) = ( x )( x x ) Επομένως: i. Η εφαπτομένη (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= δηλαδή = + = = οπότε x x 5 x 4 x = 4 = 8. Άρα Α ( 4,8) το σημείο επαφής και η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε) : y 8 = ( x 4) y = x +. ii. Η εφαπτομένη (ε) είναι παράλληλη στον xx οπότε 5 ε/ /x x ( x) = x + 5 = x = έτσι 5 4 =. 4
Άρα Β 5 4, 4 το σημείο επαφής και η εξίσωση της εφαπτομένης 4 5 4 ε :y = x y=. 4 4 iii. Η εφαπτομένη (ε) τέμνει τον xx υπό γωνία π ω= δηλαδή 4 π x x 5 x 4 = εϕ + = = οπότε =, =. Άρα Γ (,) το σημείο επαφής και η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε):y = ( x ) y= x+ 8 iv. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία δ: x 5y + = δηλαδή ε δ ( x) λ δ = ( x + 5) = x = 5 = 5. οπότε ( ) 4 =, Άρα (, 4) το σημείο επαφής και η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε) : y 4 = 5( x ) y = 5x + 4. v. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην διχοτόμο του ου και του 4 ου τεταρτημορίου των αξόνων άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= δηλαδή = + = = οπότε ( ) =, x x 5 x =. Άρα Ε (,) το σημείο επαφής και η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε) : y = ( x ) y = x +. Μεθοδολογία Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, η οποία πληροί μια συνθήκη από την οποία γνωρίζουμε το συντελεστή διεύθυνσης της λ, προσδιορίζουμε το σημείο επαφής της ε με την από την εξίσωση (x ) = λ
Παράδειγμα. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτηση π π ( x) = ( x+ ) συνx ηµ x ηµ x, x, στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα xx. x = x+ συνx ηµ x ηµ x = Η είναι παραγωγίσιμη με ( ( x+ ) συνx ηµ x) ( ηµ x ) = ( ( x ) ) x x ( x )( x) x ( x ) x( x) x( x) + συν ηµ + + συν ηµ + + συν ηµ ηµ ηµ = x x x x x x x x συν ηµ + ηµ + + συν ηµ συν = x + ηµ x + x + συν x = x + ηµ x + συν x = ( + ) ηµ x x. Η εφαπτομένη της ισχύει (x ) =. είναι παράλληλη στον άξονα xx στα σημεία A x,(x ) για τα οποία x = x + ηµ x = Έχουμε άρα π ηµ x = x = ή 4 π ηµ x = x = ή 4 π π x = που απορρίπτεται αφού x,, οπότε π π 5 = + 4 4 και π π 7 =. 4 4 Άρα π 5, π Α + 4 4 και π π 7 Β, 4 4 είναι τα σημεία επαφής της στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα xx. 4
Μεθοδολογία ( ) x, x της, στο οποίο η εφαπτομένη πληροί δοσμένες συνθήκες ( παράλληλη, κάθετη, τέμνει το άξονα xx υπό γωνία, κ.τ.λ. ) προσδιορίζουμε το x από την συνθήκη που ικανοποιεί ο συντελεστής διεύθυνσης ( x ). Για να βρούμε το σημείο, 5
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση + αν (x) = x 4x 6, x x + 9x, αν x > i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x o =. ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της Α (, ( )). στο σημείο i) Για να είναι η παραγωγίσιμη στο x o = θα πρέπει τα όρια (x) ( ) lim x+ x και (x) ( ) lim x+ + x να είναι ίσα και να ανήκουν στο. Επειδή: = + 4 6 = 4 6 =, έχουμε: Για x < : x 4x 6 x 4x 5 (x )(x - x 5) + + + + + + lim = lim = lim = x+ x+ x+ x x x lim (x x + 5) = + 5 = 7 x Για x > : x 9x - x 9x 8 (x )(x 8) + + + + + + lim = lim = lim = x+ x+ x+ + + + x x x lim (x + 8) = 7 + x Άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x o = 7. =, με Σημείωση: Ο αριθμητής παραγοντοποιείται με τη βοήθεια του σχήματος Horner. x + 4x + 5 = (x + )(x x + 5) 6
ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο y ( ) = ( ) (x + ) () Εξάλλου: ( ) = και = 7 και επομένως: () y ( ) = 7(x + ) y + = 7x + 7 y = 7x 4 x o = είναι: Μεθοδολογία Για να βρούμε την εφαπτομένη μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x o όπου η αλλάζει τύπο, βρίσκουμε με τα πλευρικά όρια (ορισμός) την (x o) και στη συνέχεια κατά τα γνωστά την εξίσωσή της. 7
Παράδειγμα. Να βρεθούν τα α, β ώστε οι ln x (x) = και x, g(x) =α x + β x +. g να έχουν κοινή εφαπτομένη στο xo = όπου ln x Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με '(x) = και η g στο με x g (x) = α x + β, για να έχουν κοινή εφαπτομένη οι, g στο xo = πρέπει: = g β = α β = α β = α = g β= α α = α α= α= β= 5 Μεθοδολογία Για να έχει η o o και η (x ) = g(x ) και (x o) = g (x o). g κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο x o πρέπει να ισχύουν: 8
Παράδειγμα.. Αν και g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα, δείξτε ότι οι και g έχουν κοινή εφαπτομένη (ε) σε δύο διαφορετικά σημεία, Α( α, ( α) ) και Β( β,g β ) με α, β, όταν και μόνο όταν: ( α ) = g( β) ( α) α ( α ) = g( β) β g ( β). Nα βρεθούν σε μη κοινά σημεία οι κοινές εφαπτόμενες των και (x) = x 4x + 5 και g(x) = x + x 4. g όταν Α( α, α ) και. Έστω (ε) η κοινή εφαπτομένη των και g σε δύο διαφορετικά σημεία Β( β,g ( β )) του. Αφού η είναι παραγωγίσιμη στο α και η g στοβ, έχουμε: Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο Α είναι: (ε ): y ( α ) = α (x α ) y = α x + ( α α ) α Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο Β είναι η: (ε ): y g ( β ) = g β (x β ) y = g β x + g ( β β ) g β Κατά τα γνωστά πλέον, οι (ε ) και (ε ) ταυτίζονται όταν και μόνο όταν: ( α ) = g ( β) () ( α) α ( α ) = g( β) β g( β) (). Έστω Α( α, ( α )) και εφαπτομένης των και ( α ) = g ( β) () ( α) α ( α ) = g( β) β g( β) () Β( β,g β ) δύο διαφορετικά σημεία επαφής μιας κοινής g. Λόγω του ερωτήματος () έχουμε: Εξάλλου, (x) = x 4 και g (x) = x +, οπότε: () ( α ) = g ( β) α 4 = β+ α=β+ () 9
() 4 5 ( 4) 4 ( ) α α+ α α =β + β β β+ α 4α+ 5 α + 4α=β + β 4 β β () β =α 9 β = β+ 9 β =β + 6β+ 9 9 6β= β= Τέλος με β= από την () παίρνουμε α= εφαπτομένη είναι: και επομένως από την () η ζητούμενη y ( ) = ( )( x ) y= ( ) x+ ( ) ( ) y= x+ y = x 4
Παράδειγμα 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x x 5x Α,. = +, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Η είναι παραγωγίσιμη με ( x) = 4x 5. Το (, ) Α δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της αφού δεν την επαληθεύει.πράγματι για x =, είναι ( ) =. Αν B( x, ( x ) ) είναι το σημείο επαφής της ζητούμενης εφαπτομένης ε με την, τότε η ε έχει εξίσωση y ( x) = ( x)( x x) με (x ) = x 5x + και (x ) = 4x 5. Δηλαδή η ε έχει εξίσωση y (x 5x + ) = (4x 5)(x x ) (). Ακόμα η ( ε ) διέρχεται από το (, ) x = και y= η () γίνεται: ( ) ( )( ) x 5x + = 4x 5 x Α, άρα οι συντεταγμένες του, την επαληθεύουν, έτσι για x + 5x = 4x 4x 5+ 5x x 4x = x x = x = ή x =. Για x = 5 άρα η =, είναι ( ) = και εξίσωση της εφαπτομένης στο Β (,) είναι: y = 5( x ) y= 5x+. = άρα η Για x =, είναι = και εξίσωση της εφαπτομένης στο Γ (,) είναι: y = (x ) y = x 5. Μεθοδολογία Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, η οποία διέρχεται από σημείο A( x A,yA) που δεν ανήκει στην, εργαζόμαστε ως εξής: Υποθέτουμε ότι το σημείο επαφής είναι το B( x,y) και γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο αυτό. Στη συνέχεια απαιτούμε οι
συντεταγμένες του A( x A,yA) σημείο επαφής B( x,y ). Παράδειγμα 5. x Δίνεται η συνάρτηση: να επαληθεύουν την εξίσωση της ε. Έτσι προσδιορίζουμε το α x + 5, x < =. αβ x, x i. Να βρείτε τα α, β όταν η είναι παραγωγίσιμη στο x =. ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο, ( ) Α. i. Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x =, είναι και συνεχής στο x =, δηλαδή ισχύει: lim (x) = lim (x) = ( ) Έχουμε lim (x) = α + 5 και + x + x x x lim (x) = ( ) = αβ. Επομένως α + 5= αβ αβ = α 8 (). Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x =, άρα ισχύει: ( ) ( ) x x ( ) = lim = lim x x+ x + x+ ή α + + α αβ + αβ + ( ) = lim = lim x x+ x + x+ x 5 5 x ( x ) αβ ( x + ) α + ( ) = lim = lim x x+ x + x+ = lim α = lim αβ x x + + x x ή ή άρα ( ) = α = αβ όμως α + 5= αβ αβ = α 8, οπότε α= α 4 α= και Επομένως α= και β=. =. β=, με ( ) = 7 και ii. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο, ( ) Α δίνεται από τον τύπο: y x = x x x y = x+
Μεθοδολογία y + 7 = (x + ) y = x + 5. Όταν έχουμε συνάρτηση διπλού τύπου με παραμέτρους που είναι παραγωγίσιμη και θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο x, στο οποίο η συνάρτηση αλλάζει τύπο, εφαρμόζουμε τον ορισμό της συνέχειας και της παραγώγου στο x. Αφού βρούμε τις παραμέτρους βρίσκουμε την ( x ), την ( x) και χρησιμοποιούμε τον τύπο της εφαπτομένης: y ( x ) ( x )( x x ) =.
Παράδειγμα 6. Να βρείτε τις τιμές των α ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης x = x +α x+α να εφάπτεται στον άξονα xx. 4 x = x x +α +α = x +α. 4 Η είναι παραγωγίσιμη με Για να εφάπτεται η x =. Έτσι στον άξονα xx θα πρέπει να υπάρχει α x = x +α= x = () () x = x +α x +α = 4 και α α +α = α + 4α = ( α )( α+ ) = 4 4 α= ή α=. x ώστε: x = και Άρα για α= ή α= η γραφική παράσταση της συνάρτησης εφάπτεται στον άξονα x x. Μεθοδολογία Για να εφάπτεται η x =. στον άξονα xx θα πρέπει να υπάρχει x ώστε: x = και 4
Παράδειγμα 7. Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y = 8x εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( x) = x 4x 9. Για να εφάπτεται η ευθεία ε : y = 8x στη, θα πρέπει να υπάρχει κοινή λύση των: =α x +β και x =λ =α. x ε Η είναι παραγωγίσιμη με ( x) = 6x 4. x =λ =α 6x 4 = 8 x = Έτσι ε x =α x +β x 4x 9 = 8x και x x + = x = x = Αφού x = είναι κοινή λύση, επομένως η ευθεία ε : y = 8x εφάπτεται στη στο σημείο Α(, 5). Μεθοδολογία Για να εφάπτεται μια ευθεία ε :y=α x+β στη υπάρχει κοινή λύση των: =α x +β και x =λ =α. x ε ( ) σε ένα σημείο x, x θα πρέπει να 5
Παράδειγμα 8. Δίνεται η συνάρτηση ( x) = x α x+ 4α και η ευθεία ( ε ) :y=α x+. Να βρείτε το α, ώστε η ευθεία ( ε ) να εφάπτεται της. Για να εφάπτεται η ευθεία ε :y=α x+ στη υπάρχει κοινή λύση των: (x ) =α x + και ( x ) = λ ε. Η είναι παραγωγίσιμη με (x) = x α. Έτσι (x ) =λε x α=α x = α () ( ) στο σημείο A x, ( x ), θα πρέπει να και (x ) =α x + x α x + 4α=α x + ( ) x 4α x + 4α = 4α + 4α = α=. Άρα α=. Μεθοδολογία Όταν δίνεται συνάρτηση και ευθεία με παραμέτρους και ζητείται η τιμή της παραμέτρου, ώστε η ευθεία να εφάπτεται της x, x θα πρέπει να υπάρχει κοινή λύση των: x =α x +β και (x ) =λ =α. ε σε ένα σημείο ( ) 6
Παράδειγμα 9. Δίνεται ότι η ευθεία ε: y = x 7 εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο της A (, ()). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της h(x) = (x) + ( x)(x) + 7x στο σημείο της B(, h() ). συνάρτησης Για x η h είναι παραγωγίσιμη με h (x) = (x) + (x)( x) + 7x = + +. (x) (x) (x)( x) (x) 7 H εξίσωση της εφαπτομένης της στο, h h Β είναι: y h(x ) = h (x )(x x ) y h() = h ()(x ) Αφού η έχει εφαπτομένη στο σημείο, Α την ευθεία ( ε) : x + y + 7 = y = x 7 ισχύει: () = 4 7 = και () =. Για x = είναι h() = () + ()( ) + 7 = 7 + 4 = και = + + =. h () () () () () 7 64 Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης της στο (, ) h Β είναι: y + = 64(x ) y = 64x 4. Μεθοδολογία Όταν η ευθεία y =α x+β εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο A x,(x ), τότε (x ) =α x +β και (x ) = α 7
Παράδειγμα. x = x + α+β x+ β. Να βρείτε τα α, β όταν η εφαπτομένη Δίνεται η συνάρτηση της στο σημείο της Α (, ) διέρχεται από το (,5) Β. Για x, η είναι παραγωγίσιμη με ( x) = x +α+β. Αφού η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία Α, Β θα έχει συντελεστή διεύθυνσης yβ yα 5 λ ε = = = x x Β Α οπότε, ακόμα το Α (, ) είναι σημείο της άρα x x =λ = +α+β= α+β= () ε Ακόμα ( ) = +α+β+ β = β = β= Για β= από την () παίρνουμε α=. x = = =, Μεθοδολογία Όταν δίνεται συνάρτηση που ο τύπος της περιέχει παραμέτρους, τις οποίες πρέπει να βρούμε, αν ξέρουμε ότι η εφαπτομένη της Α x,y διέρχεται και από άλλο γνωστό σημείο Β ( x,y ) Β Β, εργαζόμαστε ως εξής: σε σημείο της Αφού η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία Α, Β θα έχει συντελεστή διεύθυνσης yβ yα λ ε =, έτσι (x ) = λ ε και επίσης ισχύει (x ) = y. x x Β Α 8
Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση ( x) = x x + x + 4. Να δείξετε ότι η δεν έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα xx. Για να μην έχει η Έχουμε Άρα η εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα xx = + + = +, αφού = <. x x x x 4 x 4x δεν έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα xx. x. αρκεί να δείξουμε ότι Μεθοδολογία δεν έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα xx αρκεί να δείξουμε Για να δείξουμε ότι η για κάθε x του πεδίου ορισμού της. ότι ( x) 9
Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις (x) = x x + 4x 5 και (i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των και g. g(x) = x x + x (ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη των και g σε κοινό τους σημείο. ( τρόποι επίλυσης) Α Τρόπος: Η Η (x) = x x + 4x 5 είναι παραγωγίσιμη στο με g(x) = x x + x είναι παραγωγίσιμη στο με Έστω ( x,y ) (x) = x 6x + 4. g (x) = 6x 6x +. Α το κοινό τους σημείο, οπότε για να υπάρχει κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο των και g θα πρέπει να ισχύει: (x ) = g(x ) και (x ) = g (x ). Οπότε (x ) = g(x ) x x + 4x 5 = x x + x x x + = x x + = x = ή x = () Άρα τα κοινά σημεία των δύο συναρτήσεων είναι το Α(, ) και το (, ) Β. Ακόμα (x ) = g (x ) x 6x + 4 = 6x 6x + x = x = ή x = () Από () και () έχουμε κοινή λύση την x = άρα στο (, ) y (x ) = (x )(x x ) y = x y+ = x ( ) y= x 4. Ενώ στο Β(, ) δεν έχουν κοινή εφαπτομένη, απλώς τέμνονται. Β Τρόπος: (i) Έχουμε Α έχουν κοινή εφαπτομένη την:
Άρα τα κοινά σημεία των (x) = g(x) x x + 4x 5 = x x + x και + = x x x = ή x = g είναι τα A(, ) και B(, ). (ii) Βρίσκοντας κατά τα γνωστά τις εφαπτόμενες των και μόνο στο σημείο Α έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία ε y= x 4. g στα Α και Β διαπιστώνουμε ότι Μεθοδολογία Για να υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο ( x,y) ισχύει: ( x ) = g( x ) και ( x ) = g ( x ). Α των και g θα πρέπει να
Παράδειγμα. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g x και = για κάθε x * x. x = x * Για x, παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων δεν τέμνονται, αφού για να τέμνονται θα έπρεπε να ισχύει: 4 ( x) = g( x) x = x = αδύνατο. x Άρα αναζητούμε κοινή εφαπτομένη των και Έστω ( ε ) η εφαπτομένη της στο σημείο Α x, ( x) y ( x ) ( x )( x x ) y ( x ) x ( x ) x ( x ) g σε μη κοινό τους σημείο. = = +. Έστω ( ε ) η εφαπτομένη της g στο σημείο Β x,g( x) y g( x ) g ( x )( x x ) y g ( x ) x g ( x ) x g( x ) = = +. Για να συμπίπτουν οι ευθείες ( ε ) και ( ) ( x ) = g ( x ) και ( x ) x ( x ) g ( x ) x g( x ) ε θα πρέπει να ισχύει: + = +. Η είναι παραγωγίσιμη στο με ( x) = x και η g είναι παραγωγίσιμη στο Οπότε =. x * με g ( x) x = g x x = x = () x x και ( x ) x ( x ) g ( x ) x g( x ) + = +, τότε η εξίσωση της θα είναι:, τότε η εξίσωση της θα είναι: x + x = x = = 6 x x x x x 6 4 4 x x = x ( x ) = x = ( )
x = ή x = αφού x 4. 4 Για x = η κοινή εφαπτόμενη θα είναι: 4 = + = 4 y g 4 x g g y x 4 4 4 Για x = η κοινή εφαπτόμενη θα είναι: 4. = + = 4 y g 4 x g g y x 4 4 4. Μεθοδολογία Για να βρούμε τη κοινή εφαπτομένη των και Αν ( ε ) είναι η εφαπτομένη της στο σημείο Α x, ( x) y ( x ) ( x )( x x ) y ( x ) x ( x ) x ( x ) g σε μη κοινό τους σημείο έχουμε: = = +. Αν ( ε ) είναι η εφαπτομένη της g στο σημείο Β x,g( x) y g( x ) g ( x )( x x ) y g ( x ) x g ( x ) x g( x ) = = +. Για να συμπίπτουν οι ευθείες ( ε ) και ( ) ( x ) = g ( x ) και ( x ) x ( x ) g ( x ) x g( x ) ε θα πρέπει να ισχύει: + = +., τότε η εξίσωση της θα είναι:, τότε η εξίσωση της θα είναι:
ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. i. Έστω ο μιγαδικός z = x + yi, x, y. Αν ο μιγαδικός δείξετε ότι η εικόνα M(z) κινείται σε μια ευθεία ε. z i w = είναι πραγματικός, να z+ ii. Να εξετάσετε αν η προηγούμενη ευθεία ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης (x) = x. i. Έχουμε z i w = με z+, οπότε z+ x+ y i x + y i x + yi w = = = x + + yi x + + yi x + yi x(x + ) xyi + (y )(x + )i + y(y ) = (x + ) + y x + x + y y y x 6 + i x+ + y x+ + y. Επειδή ο w είναι πραγματικός αριθμός τότε y x 6 = y x 6= y= x+, (x + ) + y με εξαίρεση το σημείο Α(,). ii. Η παραγωγίσιμη με ( x) = x. ( ) x, x θα Για να εφάπτεται η ευθεία στη γραφική παράσταση της σε ένα σημείο πρέπει να υπάρχει κοινή λύση των παρακάτω σχέσεων: ( x) = y ( x) = x + x = x + x x 6= () 4
x =λε x = x = x =. 4 και Το x = δεν επαληθεύει την (). 4 Οπότε, η ευθεία y= x+ δεν είναι εφαπτομένη της. 5
Παράδειγμα. Για μια συνάρτηση ισχύει i. Να δείξετε ότι () =. x + 6x (x) x + ηµ 5x για κάθε x. ii. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο A(, ()). Για κάθε x έχουμε i. Οπότε για x x + 6x x ηµ 5x + x () =. = έχουμε ( ) άρα ii. Αρχικά θα δείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. Δηλαδή ότι (x) () (x) () = lim = lim. x x x x Για x< από την () έχουμε x + 6x x ηµ 5x + x άρα x x x ηµ 5x x + x + 6. x x Επειδή 5x 5x u= 5x u ηµ ηµ ηµ lim = lim 5 = 5 lim = 5 x 5x u x x x u u άρα ηµ 5x ηµ 5x lim + = lim + = 6 x x x x lim x + 6 = 6. και x Επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής x x lim = 6. x Για x > από την () έχουμε x + 6x x ηµ 5x + x άρα x x x x ηµ 5x x+ 6 +. x x 6
Επειδή ηµ 5x ηµ 5x u= 5x ηµ u lim = lim 5 = 5 lim = 5 x 5x u + + + + + x x x u u άρα ηµ 5x ηµ 5x lim + = lim + = 6 x x + + x x lim x + 6 = 6. και + x Επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής + x x lim = 6. x Οπότε αφού ( x) = = είναι x lim lim 6 x x + x x Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο = 6., είναι: y x = x x x y = x y= 6x. 7
Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση ( x) = ηµ x + x. i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) x, x. σε τυχαίο σημείο π π ii. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x, 6 στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Η παραγωγίσιμη με ( x) = συν x +. i. Η εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) σε τυχαίο σημείο x, x δίνεται από τον τύπο: y x = x x x y ηµ x + x = συν x + x x y = συν x + x x συν x + ηµ x () ii. Η () διέρχεται από το (, ) άρα γίνεται: = συν x + x συν x + ηµ x x συνx ηµ x = Θεωρούμε την συνάρτηση h ( x) = xσυνx ηµ x π π η h είναι συνεχής στο, 6 ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων, π π π π h = συν ηµ = 6 6 6 6 π π π π h = συν ηµ = π π π και ισχύει h h = π <. 6 Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον 8
π π x, 6 τέτοιο, ώστε h( x ) =, οπότε xσυνx ηµ x =. π π Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x, 6 στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Ημερομηνία τροποποίησης: /8/ 9