CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei pe direcţia unei axe...4 Test de autoevaluare 2...5 2.3. Compunerea a două forţe concurente...5 Test de autoevaluare 3...7 2.4. Expresia forţei în sistemul de referinţă cartezian...7 Test de autoevaluare 4...9 2.5. Rezultanta unui sistem de forţe concurente. Teorema proiecţiilor...10 Test de autoevaluare 5...12 Bibliografie modul 12 Rezumat modul.12 Rezolvarea testelor de autoevaluare..13 2. Sisteme de forţe Introducere modul În acest modul se va defini noţiunea de forţă. Se vor defini noţiunile de proiecţie a forţei pe o axă şi de componentă a unei forţe pe direcţia unei axe. Se va defini sistemul de forţe concurente şi se va determina rezultanta acestui sistem de forţe. Mecanica I 1
Obiective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să definească şi să reprezinte noţiunea de forţă; - să definească şi să determine proiecţia unei forţe pe o axă; - să definească şi să determine componenta unei forţe pe direcţia unei axe; - să exprime forţa în sistemul de referinţă cartezian; - să determine rezultanta unui sistem de forţe concurente utilizând teorema proiecţiilor. Durata medie de studiu individual 2 ore cest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. 2.1. Forţa Forţa este mărimea vectorială ce caracterizează direcţia şi intensitatea acţiunii unui corp asupra altui corp. Ca orice vector, forţa poate fi reprezentată grafic punând în evidenţă cele patru caracteristici: mărime, direcţie, sens şi punct de aplicaţie. α α O O Fig. 2.1. Reprezentarea forţei Mărimea forţei este un scalar având unitatea de măsură specifică forţei şi se reprezintă la o anumită scară prin lungimea vectorului. Mecanica I 2
Dreapta care conţine vectorul forţă se numeşte dreapta suport a forţei (sau suportul forţei). Dreapta suport a forţei defineşte direcţia forţei prin unghiul pe care îl face cu o altă dreaptă (sau axă) de direcţie cunoscută (fig. 2.1). Sensul forţei este definit prin săgeata vectorului ce reprezintă forţa. Punctul de aplicaţie al forţei este indicat în general printr-o literă şi poate fi situat în oricare dintre cele două extremităţi ale vectorului forţă (fig. 2.1). O dreaptă devine axă dacă i se asociază un punct ca origine (punctul O în figura 2.1) şi un sens pozitiv. Direcţia şi sensul unei axe se pot pune în evidenţă printr-un vector având mărimea 1, numit versor ( în figura 2.1). În funcţie de acest versor, forţa se poate exprima: În această expresie se pun în evidenţă trei din cele patru caracteristici ale forţei: mărimea (notată cu ), direcţia (direcţia versorului ) şi sensul (prin intermediul semnului: semnul (+) arată că forţa şi versorul au acelaşi sens iar semnul (-) arată ca forţa şi versorul au sensuri opuse). ceastă relaţie nu oferă nici o informaţie cu privire la poziţia punctului de aplicaţie al forţei sau la poziţia dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare. Pentru exprimarea poziţiei forţei în raport cu un reper oarecare se va utiliza o altă noţiune ce va fi introdusă ulterior. 1. Definiţi forţa. 2. Ce înţelegeţi prin noţiunea de axă? Test de autoevaluare 1 3. Expresia nu pune în evidenţă următoarea caracteristică ale forţei: a) mărimea b) direcţia c) sensul d) punctul de aplicaţie Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. Mecanica I 3
2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei pe direcţia unei axe Fie o forţă oarecare, reprezentată în figura 2.2 şi o axă oarecare (Δ), definită cu ajutorul versorului. Pentru uşurinţa reprezentării, vom considera forţa şi axa în acelaşi plan. B α B 2 O (Δ) 1 B 1 Figura 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Proiecţia forţei pe direcţia unei axe Mărimea segmentului, măsurată la scara forţelor, este mărimea scalară şi se numeşte proiecţia forţei pe axa (Δ) : Dacă vârful forţei se proiectează pe o dreaptă paralelă cu axa (Δ) ce conţine punctul (punctul de aplicaţie al forţei) atunci se obţine punctul B 2. Este evident că mărimile segmentelor şi sunt egale. Segmentul este catetă în triunghiul dreptunghic B 2 B, astfel încât putem scrie: Dacă în extremitatea B 2 se reprezintă o săgeată, atunci segmentul devine un vector având punctul de aplicaţie identic cu punctul de aplicaţie al forţei şi mărimea egală cu mărimea proiecţiei forţei pe axa (Δ). cest vector, notat cu, se numeşte componenta forţei pe direcţia axei (Δ): Mecanica I 4
1. Definiţi proiecţia unei forţe pe o axă. 2. Definiţi componenta unei forţe pe direcţia unei axe. Test de autoevaluare 2 3. Determinaţi mărimea proiecţiei forţei din figură pe axa (Δ), cunoscând mărimea forţei F=10 N şi α=60. (Δ) α Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 2.3. Compunerea a două forţe concurente. Problema principală care se pune atunci când avem un sistem de forţe dat este, în general, determinarea sistemului echivalent cel mai simplu. Două sisteme de forţe se numesc echivalente dacă efectul mecanic produs asupra corpului pe care acţionează este acelaşi. Se va determina în continuare sistemul echivalent cel mai simplu pentru un sistem de forţe alcătuit din două forţe concurente. Fie două forţe şi având acelaşi punct de aplicaţie. Conform principiului paralelogramului aceste două forţe pot fi înlocuite cu o singură forţă ce produce acelaşi efect mecanic, numită rezultantă şi notată cu (figura 2.3). α 1 α α 2 Fig. 2.3. Compunerea a două forţe concurente Matematic, rezultanta celor două forţe concurente se exprimă ca sumă vectorială între aceste forţe: Mecanica I 5
Mărimea rezultantei se determină utilizând teorema cosinusului într-unul dintre cele două triunghiuri ce se formează în paralelogramul forţelor: Utilizând teorema sinusului într-unul dintre cele două triunghiuri formate de rezultantă cu cele două forţe rezultă direcţia rezultantei, dată de unghiul format de aceasta cu una dintre direcţiile celor două forţe (direcţii cunoscute): Dacă se aduce una dintre cele două forţe (la alegere) cu punctul de aplicaţie în vârful celei dea doua şi se uneşte punctul de aplicaţie al celei de-a doua forţe cu vârful primei forţe, se obţine vectorul rezultantă. ceastă metodă de determinare a rezultantei se numeşte regula triunghiului. Se prezintă în continuare cazul compunerii a două forţe coliniare, utilizând regula triunghiului: Fig. 2.4. Compunerea a două forţe concurente coliniare Dacă forţele au acelaşi sens, mărimea rezultantei se determină ca sumă algebrică a mărimilor celor două forţe: Dacă forţele au sensuri opuse, mărimea rezultantei se determină dintr-o scădere: Mecanica I 6
1. Două sisteme de forţe sunt echivalente dacă: a) au acelaşi număr de forţe; b) produc acelaşi efect mecanic corpului pe care acţionează; c) acţionează în acelaşi punct. Test de autoevaluare 3 2. Rezultanta a două forţe concurente se determină cu metodele: a) regula paralelogramului; b) regula rombului; c) regula triunghiului. 3. Mărimea rezultantei a două forţe concurente se determină aplicând: a) teorema cosinusului; b) teorema sinusului; c) teorema tangentei. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 2.4. Expresia forţei în sistemul de referinţă cartezian În figura 2.5 se prezintă sistemul de referinţă cartezian triortogonal drept. cesta este alcătuit din trei axe perpendiculare două câte două, notate Ox, Oy şi Oz. Noţiunea de sistem de x O z Fig. 2.5. Sistem de referinţă cartezian drept y referinţă drept se referă la orientarea axelor (există sisteme de referinţă drepte sau stângi). stfel, un sistem de referinţă drept Oxyz este acel sistem de referinţă la care observatorul, aşezat în primul triedru, vede notaţiile axelor în sens trigonometric (în ordinea x, y, z). lt mod de definire este acesta: rotind burghiul drept astfel încât axa Ox să se suprapună peste axa Oy pe drumul cel mai scurt, sensul de înaintare al burghiului să coincidă cu sensul pozitiv al axei Oz (pentru sistemul de referinţă Oxyz). Direcţiile şi sensurile pozitive ale Mecanica I 7
axelor sistemului de referinţă cartezian se definesc cu ajutorul a trei versori, şi. Mecanica lucrează cu sisteme de referinţă drepte. Fie forţa având punctul de aplicaţie în originea sistemului de referinţă cartezian (figura 2.6.a). Se determină proiecţiile pe axele de coordonate proiectând vârful forţei pe axele de coordonate în modul următor: se duce o paralelă la axa Oz prin vârful forţei, aceasta intersectând planul Oxy în punctul. Din punctul se duc paralele la axele Ox şi Oy şi se determină proiecţiile vârfului forţei pe axele Oy, respectiv Ox. Pentru determinarea proiecţiei vârfului forţei pe axa Oz se duce o paralelă prin vârful forţei la segmentul (figura 2.6.b). Dacă se orientează segmentele obţinute, se obţin componentele forţei pe axele sistemului de referinţă (figura 2.6.c). De asemenea se poate construi paralelipipedul având ca diagonală forţa şi ca laturi componentele forţei pe axele de coordonate. Unghiurile făcute de forţa axele sistemului de referinţă se vor nota cu α, β, respectiv γ. cu z z z γ O y O y α O β y x a) x b) x c) Fig. 2.6. Forţa în sistemul de referinţă cartezian Proiecţiile forţei pe axele sistemului de referinţă sunt: ; Componentele forţei pe direcţiile celor trei axe de coordonate sunt: Dacă sumăm vectorial componentele forţei rezultă: Mecanica I 8
Notând pentru simplificare: şi se va obţine expresia forţei în raport cu sistemul de referinţă cartezian: Mărimea forţei este: iar direcţia forţei este dată de cosinuşii directori ai dreptei suport: Între cosinuşii directori există relaţia: 1. Ce înţelegeţi prin sistem de referinţă drept? Test de autoevaluare 4 2. Enunţul,,Orice forţă poate fi înscrisă pe diagonala unui paralelipiped este: a) adevărat b) fals 3. În expresia, X este: a) componenta forţei pe axa Ox; b) vectorul ce uneşte punctul de aplicaţie al forţei cu proiecţia vârfului forţei pe axa Ox; c) proiecţia forţei pe axa Ox. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. Mecanica I 9
...... Sisteme de forţe 2.5. Rezultanta unui sistem de forţe concurente. Teorema proiecţiilor Sistemul de forţe concurente este acel sistem de forţe în care toate forţele au acelaşi punct de aplicaţie. Dacă sistemul de forţe acţionează asupra unui solid rigid atunci este suficient ca dreptele suport ale acestora să fie concurente în acelaşi punct. Fie un sistem de forţe concurente. Pentru a determina sistemul echivalent cel mai simplu se pot aplica cele două metode cunoscute (regula paralelogramului sau regula triunghiului) considerând succesiv câte două forţe. plicând regula triunghiului în mod...... Figura 2.7. Regula conturului poligonal repetat se obţine o nouă metodă ce se numeşte regula conturului poligonal (figura 2.7). În metoda conturului poligonal se aşează forţele într-o ordine oarecare, astfel încât punctul de aplicaţie al unei forţe să coincidă cu vârful forţei anterioare. Rezultanta sistemului de forţe concurente va avea punctul de aplicaţie în punctul de aplicaţie al primei forţe şi vârful în vârful ultimei forţe considerate. ceastă metodă este o metodă grafică ce devine greu de utilizat pentru sisteme de forţe în spaţiu sau pentru sisteme de forţe cu un număr mare de forţe. Prin aplicarea acestei metode se observă că sistemul echivalent cel mai simplu pentru un sistem de forţe concurente este sistemul alcătuit dintr-o singură forţă, şi anume rezultanta sistemului de forţe concurente aplicată în punctul de concurenţă al forţelor. Matematic, rezultanta unui sistem de forţe este dată de relaţia: Pentru o abordare analitică a determinării rezultantei unui sistem de forţe concurente se enunţă teorema proiecţiilor. Teorema proiecţiilor: proiecţia pe o axă a rezultantei unui sistem de forţe concurente este egală cu suma proiecţiilor pe aceeaşi axă a tuturor forţelor din sistem. Mecanica I 10
Se cunoaşte că: Înmulţind relaţia cu versorul unei axe (Δ), rezultă: Demostraţie Dar produsul scalar al unui vector cu versorul unei axe este chiar proiecţia vectorului pe acea axă: ceastă relaţie reprezintă chiar teorema proiecţiilor. În cazul unui sistem de referinţă cartezian se pot scrie: unde X, Y şi Z sunt proiecţiile rezultantei pe axele sistemului de referinţă iar X i, Y i şi Z i sunt proiecţiile forţei pe axele sistemului de referinţă. În sistemul de referinţă cartezian, rezultanta va avea expresia: Mărimea rezultantei este: Direcţia rezultantei este dată de cosinuşii directori ai dreptei sale suport: Mecanica I 11
1. Enunţul,,regula conturului poligonal este o metodă analitică este: a) adevărat b) fals Test de autoevaluare 5 2. Care este cel mai simplu sistem echivalent unui sistem de forţe concurente? 3. Enunţaţi teorema proiecţiilor. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 24-27; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga,. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. Partea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag. 7-15; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 21-28, 110-112. Modulul prezintă noţiuni de bază privind sistemele de forţe, cum ar fi: forţa, sistem echivalent cel mai simplu, sistem de forţe concurente. Rezumat modul S-au prezentat metode de determinare a rezultantei pentru un sistem de două forţe concurente (regula paralelogramului şi regula triunghiului) sau pentru un sistem cu mai multe forţe concurente (regula conturului poligonal şi metoda analitică bazată pe teorema proiecţiilor) Mecanica I 12
1. Consultare aspecte teoretice pag. 2; 2. Consultare aspecte teoretice pag. 3; 3. d. Rezolvare test de autoevaluare 1 1. Consultare aspecte teoretice pag. 4; 2. Consultare aspecte teoretice pag. 4; 3.. Rezolvare test de autoevaluare 2 1. b; 2. a, c; 3. a. Rezolvare test de autoevaluare 3 1. Consultare aspecte teoretice pag. 7; 2. a; 3. c. Rezolvare test de autoevaluare 4 Mecanica I 13
1. b; 2. Consultare aspecte teoretice pag. 10; 3. Consultare aspecte teoretice pag. 10; Rezolvare test de autoevaluare 5 Mecanica I 14