ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Α: Συναρτήσεις - Όρια Συνέχεια Έκδοση 5.7 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 5 Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΣ. Έσ A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της B) Λύστε την εξίσ Γ) Λύστε την ανίσωση Δ) Ναα δείξετε ότι ( ) συν συν. Ανν. Δίν Δείξτε ότι y y.4 Δίν το με και το :... 4 4 4 4.5 Να λ λ y λ λ Α) παράλληλη στην y 5 Γ) να διέρχεται από το σημείο, Δ) να είναι κατακόρυφη Ε) να είναι οριζόντια Στ) στω η συνάρτηση () n νεται η συνά νεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού 4 4. Να υπολογίσετε το α προσδιοριστεί ο λ ώστε η ευθεία σωση να είναι:. Να αποδείξετε ότι άρτηση Β) κάθετη στην y 4 α α να σχηματίζει γωνία 5 ο- με τον y,,y...6 Να βρεθεί β λ ώστε να είναι ε συνάρτηση η. v km/h, καταναλώνει την ώρα 6,,v λίτρα καύσιμα. Να βρείτεε τη συνολική ποσότητα καυσίμων πουυ χρειάζεται για να διανύσει απόσταση km με σταθερή ταχύτητα v. χωρητικότηταα lt. Να εκφράσετε το κόστος κατασκευής του δοχείου συναρτήσει της ακτίνας της βάσης του, αν το κόστος του ενός cm c μετάλου είναι, eur. τμήματα με ταα οποία σχηματίζουμε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο αντιστοιχα. Να εκφράσετε το άθροισμα τωνν εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσει του μήκους του ενός από τα δύο τμήματα..7 Ένα.8 Ένα κυλινδρικό δοχείο έχει.9 Ένα σύρμα μήκους κόβεται σε δύο. Στο διπλανό 5, λ λ 4, -λ όχημα ότανν ταξιδεύει με ταχύτητα σχήμα να βρείτε συναρτήσει του, τη συνάρτηση που περιγράφει τοο εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής που δημιουργείται από τη ΔΕ και τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ για τις διάφορες θέσεις τουυ E πάνω στη BΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς η BE και κ ΔΕ ΒΕΕ
4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Γραφική Παράσταση. Nα της συνάρτησης () ln και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξί. Να των παρακάτω συναρτήσεων k. Να των συναρτήσεων () ln( ) ), k() ln.4 Nα συναρτήσεις Α) α σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση α σχεδιάσετε τις γραφικέςς παραστάσεις g m α σχεδιάσετε τις γραφικέςς παραστάσεις Β) t() ημ m() ln t( ) ln α παραστήσετε γραφικά τις τ π () ημ ημ,, ίσωσης n g() ln( ), π Γ) 6 h () συν..5 Να σχεδιάσετε σ τις γραφικές παραστάσειςπ των συναρτήσεων: Α) e, Β) ) g() ) ln, < e, e y..6 Να βρείτε β τον 4 τύπο της συνάρτησης y=() του σχήματοςς 4 O 6 9..7 Να παραστήσετεπ ε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις: g. e ln.8 Να παραστήσετεπ ε γραφικά τιςς συνάρτήσεις h συν g() ) π συν π π ln e Κοινά Σημεία.9 Για C δεν τέμνει τον άξονα. Να είναι πάνω από τη C όταν: Α) 4. Έσ οποίες ισχύει α τη συνάρτηση : ισχύει ότι Να βρεθεί η σχετική θέση των C, C,. Να δείξετε ότιι η α βρεθούν τα διαστήματα όπου η g στω οι συναρτήσεις,g : για τις 9 και g αν Β) () και g() αν < g για κάθε. g 8 C.. Έστωω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι ό για γ κάθε. Να δείξετε ότι η C δύο τουλάχιστον σημεία.. Έστωω οι συναρτήσεις,g :, ώστε να ισχύει () g() κ κάθε, κ. Να βρεθεί ο κ ώστε οι γραφικές παραστάσεις τους, να τέμνονται στην ευθεία καθώς και τα διαστήματαα όπου η..4 Για τη συνάρτηση h: ισχύει ότι h h h Δείξτε ότι h για κάθε C τέμνει τον άξονα ά σε είναι πάνω από την C g για κάθε κ. http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 5 Πεδίο ορισμου.5 Βρ συναρτήσεων g() -+ h() ρείτε τα πεδία ορισμού των ln φ() ) t() k() ( - 4 - )..8 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων k() t 9 4. 7 συν ln h 4 m() (e r lnl )ln( ).6 Βρ συναρτήσεων ρείτε τα πεδία ορισμού των p() q ln ημ t r συν p() e e, ln.7 Βρ 5συν e - + - ln g φ() ) e e ρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης m q εφ ημ ημ ln ln..9 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων k() e e r( () m r ln( ) ln,,, t t ln k 4 () e - + - ln εφ,,π () α α, α Σύνολο Τιμών. Βρ συναρτήσεων: Α) Β) Γ). Βρ συναρτήσεων: Α) Β). Βρ συναρτήσεων: ρείτε τα σύνολα τιμών των ln, 4 ρείτε τα σύνολα τιμών των,5 6 4 e ρείτε τα σύνολα τιμών των αν (), g() αν 5,, /, συναρτήσεων ( () lg r πλήθος των ριζών των εξισώσεων: Β) Γ) Δ. Βρείτε τα σύνολαα τιμών των Ε) 4 αν,5.4 Στο Α) ) ) ) ), 5 e g t( ) 5 e 4 σχήμα φαίνεται η γραφική α, α, παράσταση της συνάρτησης y. Να βρείτε το
6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ισότητα Συναρτήσεων.5 Δίν Α) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες με τη συνάρτηση. - () - () 5 lne.6 Να.7 Eξε νεται η συνάρτηση (). 4 () - () () e 6 α εξετάσετε αν είναι ίσες οι ετάστε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις και g ln() Β) Βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. συν ημ συναρτήσεις () και g() ημ συν..8 Eξετάστε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις ( (). συναρτήσεις στις σ παρακάτω περιπτώσεις. Α) () Β) ) () ln και g ln...9 Να εξετάσετε ε αν ν είναι ίσες οιι.4 Να βρεθεί β ο ώστε να είναι ίσες οι.4 Eξετάστε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις ( () ln και g() ) και g() και g 4 συναρτήσεις () και g() g 4 ln ln ln Πράξεις Συναρτήσεων.4 Βρ.4 Να.44 Για ότι g () 4 ] και g() δείξετε ότι η C τέμνει τον θετικό ημιάξονα Oy.45 Nα που ικανοποιούν την σχέση:.46 Nα ρείτε τις συναρτήσεις g,και g ότα αν α βρεθούν οι συναρτήσεις g,και g αν (), και, α τις συναρτήσεις,g : ισχύει,. Να g α βρείτε όλες τις συναρτήσεις : α αποδείξετε g ότι g ln, -,,, αν ισχύει ότι ι g () g () για κάθε. οποίες ισχύει ότι ό 4e e που ικανοποιούν την σχέση:. αύξουσες συναρτήσεις : για τις οποίες ισχύει ότι (). αν για κάθε ισχύει ότι.47 Βρείτε τις συναρτήσεις : για τις.49 Να προσδιορίσετπ ετε όλες τις γνήσια. συναρτήσεις : αν ν για κάθε ισχύει ότι.5 Να βρείτε β τις συναρτήσεις,,g : g.5 Να βρείτε β τις συναρτήσεις τις για κάθε g,..48 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις :, http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 7 Άρτιες Περιττές.5 Nαα εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττέςς οι συναρτήσεις g() ln, () ( ) ( ),. Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή και να βρείτε τον τύπο της..54 ** Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύειι ( y) ( y) () (y) για κάθε,y. Να αποδείξετε ότι: Α) Β) η είναι άρτια Γ).55 Η συνάρτηση : είναι περιττή και ισχύει ό Να βρείτε τον τύπο της () για κάθε ότι ().5 Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι για κάθε...56 Δύο συναρτήσεις ιδιότητες: g ότι η είναι άρτια ά και η g περιττή..57 Αν ισχύει ι ( y) δείξετε ότι η..58 Να δείξετε δ ότι αν είναι άρτια και περιττή τότε για κάθε είναι ( () g g..59 Δείξτε ότι για κά η συνάρτηση g() () + ( ) είναι άρτια..6 Δίνονται οι συνα g και περιττές τότε η g είναιι περιττή ενώ οι g, /g, ( g() ) είναι άρτιιες για κάθε. Να δείξετε είναι περιττή ς,g : έχουν τις A A Να αποδείξετε ότι: Αν οιι,g είναι ) () (y),,y να ν η συνάρτηση : άθε συνάρτηση : αρτήσεις,g με Σύνθεση Συναρτήσεων.6 Να εκφράσετεε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων (μη ταυτοτικών) συναρτήσεων, αν: () ln( ημ) () ln( ) ln () ln ln () ) συν () ) ημ (5).6 Να οριστεί η συνάρτηση g αν Α) () και g( () ln Β) () (,), g() ) [,4) () 4..64 Αν g() e ( g)() (g )(),..65 Βρεί h με h() ( ( 4) ( ) αν D [,5)..66 Να β () ln( e σε κάθε μια από τις περιπτώσεις: Α) Αν ln() Β) ) Αν (( g)() να αποδείξετε ότι ίτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης βρεθεί ο τύπος μιας συνάρτησης, e, ) καιι και g().6 Αν, g να Γ) ) Αν (g( )() συν και g() ορίσετε τις συναρτήσεις g και g
8.67 Ν συνάρτηση : αν ισχύει ότι ()( ) (),.68 Έσ g :Ag α προσδιορισθεί ο τύποςς της στω συναρτήσεις :A, με A A. Να αποδειχτεί ότι: A) Αν η είναι άρτια, τότε η g είναι ε άρτια. g..77 Να βρεθεί β συνάρτηση ( (4) και για κάθε,y ισχύει ( ()(y) 4 4 (y), y. (y) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ * :.78 Για τησυνάρτησητ η : ( ( y) () e,y.να αποδείξετε ότι * * αν ισχύει ότι B) Αν η είναι περιοδική, τότε και η g είναιι () ( () e και κ () e ( ) για κάθε και περιοδική με την ίδια περίοδο. να βρείτε την.69 Δε να ικανοποιεί τη σχέση () ( ),.7 Bρ ειξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που ρείτε τη συνάρτησης :, αν..79 Να βρεθούν β οι συναρτήσεις αν για κάθε, y ισχύει ότι y y y y : ισχύει ότι ln για κάθε. e.7 Ν α βρείτε τη συνάρτηση αν ισχύει ότι για κάθε..8 Έστωω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι ό,. Να δείξετε ότι η C τέμνει τονν σε δύο τουλάχιστον σημεία. σ.7 Αν () e δείξετε ότι η παίρνει την τιμή 4.7 Αν τότε να υπολογίσ.74 Ν Α) Αν ( )( ) (), Β) Αν ισχύει (), *.75 Αν ισχύει: () για.76 Έσ ν ισχύει ότι () για κάθε α προσδιορισθεί ο τύποςς της : ν () α οποία ισχύει ότι () στω η συνάρτηση : για την αποδείξετε ότι η εξίσωσ για κάθε, να ετε το να βρεθεί ο α, αν κάθε,. Να έχει μια ση..8 ** Έστω : μία συνάρτηση για την οποία υπάρχουν α,β πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε α() α β( ) ) για κάθε, και α() β( ) για κάθε ( (). ότ κα. : τέτοιες ώστ για κάθε,. Aν A () 4, ( ), να βρείτε την.8 Για τη συνάρτησ τι. Να Ν αποδείξετ αι.8 Να προσδιορίσετπ ετε όλες τις συναρτήσεις (www.mathematica.gr) y ln για κάθε,y, y ση :, ετε ότι τε ισχύει ln, τουλάχιστον ρίζα http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 9 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ.84 Ν συναρτήσεων () 5 t r().85 Βρ k.86 Έσ γνησίως αύξουσα. Δείξτε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο, 4.87 Α) ) Αν 5 5 να αποδειχθεί ότι η είναι γν. φθίνουσα. Β) Να λυθεί η ανίσωση 4 5..88 N Α) ln.89 Γι 5 () Α) Αποδείξτε ότι η είναι γνήσια αύξουσα Β) Να λυθεί η ανίσωση.9 Ν α αποδείξετεε τη μονοτονία των 5 ln αν φ() ) αν ρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων ν ln, g() στω η συνάρτηση :, α λύσετε τις ανισώσεις: ια τη συνάρτηση : ισχύει ότι: e g ln e m e για κάθε. α αποδείξετεε ότι η συνάρτηση. είναι γνησίως αύξουσα και να Β) m g e 4, τότε ln,..9 Δίνεται ότι η συνάρτηση ορισμένη και είναι γνήσια αύξουσα α στο εξίσωση. ιδ Επιπλέον ισχύει ότι «αν α τότε α». Να. ορισμού το α,β, σύνολο τιμών το α,β ώστε g φθίνουσα. Δείξτε ότι g( () φθίνουσα στο με (() )) για κάθε, να δείξετε ότι (),..95 Να αποδειχθεί α ότι δεν υπάρχει συνάρτηση :, γνήσια φθίνουσα με την ιδιότητα ( ) (6 8) 4,. () και για κάθε ισχύει ότι: 5, να αποδείξετε ότι (), για κάθε. διότητα.9 Έστωω συναρτήσεις,g με κοινό σύνολο, α,β και η είναι γνήσια την οποία ότι - y = για κάθε, y δείξετε ότι η είναι γν. αύξουσα στο,..94 Αν : περιττή και γνησίως.96 * Η συνάρτησησ είναι γνησίως αύξουσα.97 Έστωω συνάρτησηη, ορισμένη στο για ότι η είναι γνήσια γ αύξουσα και ότι,. Να λύσετε την.9 Η συνάρτηση : : (, ) έχει την g () y. e e,. Δείξτε α,β λύσετε την ανίσωση 6 5 6
.98 Δί είναι γνήσια αύξουσα στο. Να λυθεί η ανίσωση 5.99 Έσ γνήσια μονότονη και η γραφική τηςς παράστασηη διέρχεται από τα σημεία, και, Α) Να αποδείξετεε ότι είναι γνήσια αύξουσα Β) Να λύσετε τις ανισώσεις και Δ) Να λύσετε την εξίσωση. Πόσες ρίζες μπορεί να έχει η εξίσωση 44. Δί Α) Να αποδειχθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα. Β) Να λυθεί η ανίσωση ( 8). Γι e (7 ) Α) Αποδείξτε ότι η είναι γνήσια αύξουσα Β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g e Γ) Να υπολογίσε Δ) Να βρείτε το πρόσημο της. Έσ παίρνει θετικές τιμές και ισχύει για κάθε. ίνεται η συνάρτηση : η οποία Α) Να αποδείξετεε ότι η είναι γνήσια φθίνουσα και να βρείτε Β) Λύστε την ανίσωση 5 στω συνάρτηση :, που είναι ίνεται η συνά ια τη συνάρτηση : ισχύει ότι ι για στω συνάρτηση ορισμένη στο, άρτηση 7 5 5.. 7 8 5 5 κάθε ετε το το η 5 5 8.. Έστωω συνάρτησηη :, που είναι γνήσια μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία, και, Α) Να αποδείξετε α ότι είναι γνήσια αύξουσα Β) ) Να λύσετε λ τις ανισώσεις και Ε) ) Πόσες ρίζες μπορεί να έχει η εξίσωση 4..4 Να α μονότονη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ()..5 Α) Ν h Β) ) Έστωω συνάρτησηση ορισμένη στο ώστε να ισχύε. Αποδείξτε ότι η είναι γνήσια αύξουσα Γ) ) Να λύσετε λ την εξίσωση υπολογίσετε τ..6 Αν : συνάρτηση του σχήματος, να βρείτε την μονοτονία της συνάρτηση στο, (mathematica.gr). τέτοια ώστε για κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση g h φθίνουσα στο h e 5.7 Έστωω η συνάρτη. Nα N αποδείξετε ότι η h είναι γνήσια h e ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Δ) ) Να λύσετε λ την εξίσωση αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως για Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, είναι γνήσια αύξουσα. ει 5 ο είναι η ης g, και να λύσετε την εξίσωση h e κάθε. () για κάθε h ση :, h e στο h() όπου και να, http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών.8 Ν τις παρακάτω συναρτήσεις g() 4 t() 4 4 r 4 5 :[,4) μεε () αν φ αν.9 Ν τις παρακάτω συναρτήσεις Β). Ν τις παρακάτω συναρτήσεις Α) 4 5 Β) e e. Ν τις παρακάτω συναρτήσεις Α) e Β) e e Β. Έστω () 9 8 9 παρουσιάζει ελάχιστο. Έσ Α) Να αποδείξετεε ότι η συνάρτηση Β) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της e συνάρτησης Φ() e Ακρότατα α βρεθούν τα ακρότατα κάθε μιας από α βρεθούν τα ακρότατα κάθε μιας από :[,4) α βρεθούν τα ακρότατα κάθε μιας από α βρεθούν τα ακρότατα κάθε μιας από Α) ln,, με () στω : συνάρτησηη με () () g() έχει μέγιστη τιμή το. () 4e. Α) )Να δείξετε ότι 5 4 αν 8. Nαα αποδείξετε ότι () για κάθε και ότι η..4 Να βρεθεί β ο λ ( () (λ ) να έχει ελάχιστο το. ( (() συνάρτηση h έχει μέγιστο τοο οποίο και να βρεθεί (mathematica)..6 Αν Α) Να βρείτε β το πρόσημο του Β) ) Να λύσετε λ τις ανισώσεις..7 Αν Α) Να βρείτε β το πρόσημο του Β) ) Να λύσετε λ τις ανισώσεις α) β B) Να λυθεί λ η εξίσωση 6 Γ) ) Να βρείτε β τους α,β ώστεε να ισχύει. αύξουσα στο πεδίο π ορισμού της. Β) ) Δείξτε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο. Γ) ) Να λύσετε λ την ανίσωση 5.5 Έστωω οι συναρτήσεις,g : ώστε Δ) ) Να λύσετε λ την εξίσωση 5 α β e g() για κάθε. Δείξτε ότι η α).9 Δίνεται η συνάρτ 5 g 6 8,,τότε 6 8,,τότε 4 αβ αβ 6 e 4 αβ, ώστε η συνάρτηση β) β)..8 Δίνεται η συνάρτηση A) Αποδείξτε ότι η έχει ελάχιστο το τηση 5 44 e 5 αβ e 5 e. Α) Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως g αα β 88
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Συνάρτηση :. Να συναρτήσεις, είναι και ποιες όχι: Α) Γ). Δίν την οποία ισχύει (()), για κάθε [, ). Να δείξετε ότι η είναι. Έσ. Αποδείξτε ότι η η είναι. α εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω ln Β) 4 4 νεται η συνάρτηση :[, ) γιαα στω ότι η συνάρτηση : είναι e F. Αν η συνάρτηση : έχει την ιδιότητα, να..9 Δίνονται οι συναρτήσεις,gg : με () δεν είναι. Α Β.. Θεω g. Δίνε Να αποδείξετε α ότι η είναι - Να λύσετε λ την εξίσωση: -+ = ln : Β εται η, να αποδείξετε ότι αν B (A) και η g είναι τότε η g ln - 4 + 5 9 και g,. Nα αποδείξετε ότι και ότι η g ι + ρούμε τις συναρτήσεις : Α και είναι, στο, δείξετε ότι είναι -.. Αν ε είναι e y y e,, y τότε.4 Να βρεθεί ο λ συνάρτηση.5 Να συνάρτηση αν ισχύει 6.6 Δίν Α) Nαα μελετήσετε τη μονοτονία της Γ) Να λύσετε την ανίσωση ln.7 Να Α) Γ) e ln Β) 6 e e.8 Nα 4 αν () λ 8 αν α αποδειχτεί ότι δεν είναι η νεται η συνά α λύσετε τις εξισώσεις. α λύσετε την εξίσωση ώστε να είναι η () 9 άρτηση 7 5 Δ) ln Β) Να λύσετε την εξίσωση ln 6 4 8 lg λ lg 5λ 5 5λ 5 λ 4 Α) Να αποδείξετε ότι y. Β) ) Να λυθεί η εξίσωση e e.. Να α e..4 Αν () Να λύσετε τηνν εξίσωση 4 6..5 Αν e. e :, μ υπάρχουν,,, ώστε να ισχύει 4 τότε με, Α) Nα N δείξετε ότι είναι Β) Να Ν λύσετε τηνν εξίσωση: - +( -).6 *** Δίνεται Δ η συνάρτηση αποδείξετε ότι αν ισχύει 4 τότε: e τότεε + -=ee. Να αποδείξετε ότι με. + +(+) + http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Αντίστροφη.7 Βρ συναρτήσεων Α) () Γ) () lg Ε),.8 Βρ συναρτήσεων Α) ( (). 4 Γ) ( () lg Ε) ( () 9 Στ) ().9 Ν αν ().4 Έσ ((())) 7 για κάθε. Δίνεται ακόμη ότι (), και να λύσετε την εξίσωση.4 Έσ Α) Να αποδείξετεε ότι η αντιστρέφεται. Β) Να λύσετε την εξίσωση () (). Γ) Να λύσετε την ανίσωση (5 6)..4 Έστω ln Α) Να βρείτε την τιμή Β) Να λύσετε την εξίσωση ln λ 5 λ ρείτε τις αντίστροφες των ρείτε τις αντίστροφες των α βρείτε τα κοινά σημεία των C C,, στω συνάρτηση ώστε να ισχύει () 9 στω η με 4 λ Β) () 5 Δ) () ln( e ),, Δ) Ζ) () lnn. Να αποδείξετε ότι η είναι (). e e Β) () e () () 9...4 Αν γ υπάρχουν οι συναρτήσεις σ να αποδείξετε ότι υπάρχουν και οι..44 Έστωω η συνάρτηση () Α) Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται Β) ) Να λύσετε τις εξισώσεις (), () Γ) ) Να βρείτεε τα κοινά σημεία της C με τους Δ) ) Να λύσετε την την εξίσωση ( ημ ) ημη ημ ημ και τις ανισώσεις: ισχύει ότι καθώς και τα..46 Οι σ αντιστρέψιμεςς έχουν σύνολο τιμών το και ισχύει g g, να δείξετε ότι g..47 Να α έχει μόνο ένα κοινό σημείοο με την αντίστροφή της αυτό θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία y..48 Θεω () τύπο A) () B) Να λυθεί λ η εξίσωση..49 Να α παράστασης τ για τις συναρτήσεις, g 5 Αποδείξτε η αντιστρέφεται, να βρείτε την συμμετρίας την ευθεία y τα κοινά σημεία των C και συναρτήσεις αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση ρούμε την συνάρτηση. Να α αποδείξετε ότι ό αποδείξετε ότι η γραφική της g άξονες και με την ευθεία y και g (), και () 5..45 Για τη τ συνάρτηση : ( ) (),g :, για κάθε. 5 έχει άξονα 5 :,, ι g και με είναι C g : με
4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ.5 Για τη συνάρτηση : ισχύει ότιι...... να βρείτε το ν όροι το.5 Δί ίνεται η συνάρτηση : (, ) για την οποία ισχύει ότι ό ( y) () (y) για κάθε,y. Να αποδείξετεε ότι: (y) () (y),, y ().5 Έστω η συνάρτηση : με σύνολ λο τιμών το, και για γ κάθε ισχύει () () e. Να βρείτε την καιι την αντίστροφη της..5 Έστω συνάρτηση :(, ) με τηνν ιδιότητα: έχει μοναδική ρίζα, τότε -y = για κάθε y,y Αν η εξίσωση Α) Να αποδείξετεε ότι η είναι Β) Να λύσετε την εξίσωση.54 Για τη συνάρτηση : ισχύει ότι ι y y, γι Δίνεται επιλέον ότι ισχύει η πρόταση: «Α) Να αποδείξετεε ότι η είναι περιττή και γνήσια αύξουσα Β) Να λύσετε την εξίσωση 44 5 4 5 8 4.55 H συνάρτηση : είναι γνήσια μονότονη και η C διέρχ.56 Για την συνάρτηση : είναι γνωστό ότι e Α) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη.». Β) Να βρείτε το. για γ κάθε ια κάθε,y. χεται από τα σημεία A 5,9 και B, τότε: Α) Αποδείξτε ότι η είναι γν. αύξουσα Β) Λύστεί την εξίσωση ( ) 9 Γ) Nα λύσετε την εξίσωση e 4 e 5.57 H συνάρτηση : είναι γνήσια μονότονη, έχει σύνολο τι τα σημεία A 5,9 και B, τότε: ιμών το και η C διέρχεται από Α) Να αποδείξετεε ότι η είναι γν. αύξουσα Β) Να λύσετε τις Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις ανίσωση http://users.sch.gr/mipapagr εξισώσεις ( ) 9 και ln 7 και ln 4 9
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών.58 Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση : στη C τότε να βρείτε το λ ώστεε λ e.. Αν Α τα σημεία A, κα α αι B, βρίσκονται 5.59 Έσ στω συνάρτηση : για την οποία ισχύει: (e ) 8( ) 8 e για κάθεε. Αν η είναι γνήσια αύξουσα να λύσετε: Α Την εξίσωση: Β Την ανίσωση e e..6 Α) ) Αν γν. αύξουσα στο και, τότε ( B) Να αποδείξετεε ότι η συνάρ ρτηση 4 αντιστρέφεται, να ν βρείτε τηνν καθώς και τα κοινά σημεία των C και C..6 Γι ια τη συνάρτηση : ισχύει ότι ι ( y) ()(y) για κάθε,y και υπάρχει ξ, ώστε (ξ). Να αποδείξετεε ότι: Α) () γιαα κάθε και () Β) ( ) = () () και ( y), (y) ν Γ) (ν) () για κάθε ν Ν και.6 *Δ e Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: (), για κάθε () Α. Να δείξετε ότι () για κάθε. Β. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να λύσετε την ανίσωση: lnn ()..6 Έσ στω η συνάρτηση :,, με και η συνάρτηση g η οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. B) Γ) Να λυθεί η εξίσωση 7 5 9 Nα λύσετε την εξίσωση ln e.64 Ν α λύσετε την εξίσωση.65 Έσ στω η συνάρτηση :, τέτοια ώστε για κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση g h() όπου h Α) Να αποδείξετεε ότι η g είναι περιττή. Β) Nα αποδείξετεε ότι τη μονοτονία της h Γ) Να λύσετε την εξίσωση h e. Τότε: he h e h e στο,
6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΟΡΙΑ ΟΡΙΟ ΣΤΟ X.66 Ν Α) Β).67 Ν α υπολογίσετε τα όρια ν ν (ν ) με ε ν Ν* α υπολογίσετε τα όρια..7 Να υ Α) Β) )..7 Να υ ημ π ημ ημ π υπολογίσετε τα όρια υπολογίσετε τα όρια: και ημ συν συν Α) Β) Γ) im li 6 6 8 9 6 9..74 Να υ Α) Γ) ) ημ ημ( ( ) υπολογίσετε τα όρια: Β) συν συν ημ ημ.68 Ν Α) Β).69 Ν.7 Ν, αν () 4 αν.7 Ν α υπολογίσετε τα όρια 4 α υπολογίσετε τα όρια α υπολογίσετε το () αν α υπολογίσετε τα όρια:..75 Να β ημ ημ..76 Να β..77 Αν () 5..78 Αν ()-(-) ημ βρείτε (αν υπάρχουν) τα όρια ημ βρεθεί ο ν N αν ημ ημ... ημν 8 () 5 l να αποδείξετε ότι () () l ν να βρείτε το Α) 6 ημ ημ Β)..79 Αν g() 7, να βρείτε το Γ) 4 li () im g() g g() 4 http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών.8 Ν α βρεθεί το ()g() αν g() ()( )..89 Αν () () l -, να βρεθεί το 7.8 Ν..8 Η ισχύει ότι () () 5 4. Να βρείτε το.8 Αν () () 4.84 Αν -, βρείτε το ().85 Ν () g() 5 () ) g() 4 αν και.86 Αν () ().87 Aνν να αποδείξτε ότι.88 Αν () α αποδείξετεε ότι αν, τότε συνάρτηση είναι άρτια στο καιι () - () 4 () 9, να βρεθεί το () α βρεθούν τα ν για τη συνάρτηση : είναι, να βρείτε τα όρια ν η : είναι περιττή με να βρεθεί τ και ισχύει κ () () και () συν για κάθε () =. [(-)-(-)] το g() και, ( ().9 Έστωω συνάρτησηη με. (v) Α) Α Να δείξετε δ ότι v, v Β) ) Αν (v) ημ (v) ημ για κάθε να δείξετε ότι v..9 Έστωω συνάρτησηη για την οποία ισχύει Α) Α Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή α Γ) ) Αν ισχύει ότι ό. οποία ισχύει ότι ό () *. Αν m α, τότε να αποδείξετε ότι α και να ν βρείτε τα (ημ). α για κάθε α y y,,yy..9 Έστωω συνάρτησηη :* για την l Β) ) Αν ισχύει ότι ό, να αποδείξτε ότι (()) im να αποδείξετε ότι *.9 Έστωω η συνάρτηση : με την ιδιότητα: () (y) για κάθε,y y Α) Α Αν η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα το να δείξετε δ ότι η είναι () Β) ) Αν l να βρείτε το ημ() ημ () και m ημ, για κάθε ( ). (ημ) (συν) ημ συν σ π 4
8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΧΟ.94 Ν Α) 4 α βρεθούν(αν υπάρχουν)τα όρια Β)..96 Α) Α g() Αν h() να βρεθεί το Γ) 4 5 4 Δ) 5 ημ π..97 Αν l ( 4) () να Ε) 5 4 Στ) ( ( ) () βρεθεί το.95 Ν Α) α βρεθούν(αν υπάρχουν)τα όρια 6 4 Β) )..98 Αν l () 5 να βρεθεί το () Γ) 5 5 Ε) ( ) Δ) συ υν Ζ) συν..99 Αν g() l g() g() 6 4 να βρεθεί το τ Όρια Παραμετρι ικών Συναρτήσεων στο Χ ο. Αν βρεθούν τα α,β, γ ώστε να υπάρχει το () β () α γ5 στο σύνολο των πραγματικών,, να 5λ.4 Βρείτε το λ ώστε 9( λ ). λ μ.5 Βρείτε τα λ,μ αν 8...6 Να α αποδειχτεί ότι για κάθε λ η. Ανν () ημ(α) αν αν να -λ συνάρτηση ( ) - - πραγματικό όριο στο. δεν έχει βρείτε το () για κάθε α αν. Ανν () λ αν βρείτε το () για κάθε λ 4 λ λ να..7 Nα β A) 6 ` α..8 Nα β βρεθούν για κάθε α τα όρια: B) α βρεθεί το m 4 ( 4)( ) α 7, α. Ν α βρείτε τουςλ,μ ώστε : (λ μ) (λ μ ) μ..9 Βρείτε τα α,β, αν li im α β 6 4 http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 9 Όριο συναρτησης στο απειρο. Ν Α) li im Β) li im Γ) li im. Ν α υπολογίσετε τα όρια α υπολογίσετε τα όρια Παραμετρικ κά όρια στο απειρο..7 Αν βρεθεί το () για κάθε λ,μ..8 Αν α,β ώστε (λ ) () () () β -α-β (λμ) μ να να βρεθούν οι Α) Β) Γ) Δ) im e li e li im lg lg 4 5..9 Αν im () li.. Αν φ,ω π. Να βρείτε τα φ φ,ω ώστε ().. Να β () λ να βρεθεί το για κάθε κ λ () 4 ημφ συνω με βρεθούν οι α,β ώστε:. Ν Α) Β). Ν.4 Ν.5 Ν α υπολογίσετε τα όρια li im li ημ συν ημ im α υπολογίσετε το ημ α βρείτε το ln(t t ) α βρείτε το t ln t ln( ) ln n( ) α β.. Για κάθε κ α, να υπολογίσετε το -. l α α -,. Για κάθε κ α, να υπολογίσετε το α α..4 Να β α βγ με α,β, γ και βρεθεί το όριο ( () α β γ () Αν.6 Γι ισχύει ln ln ια την συνάρτηση :, l, Να βρεθεί το.5 Έστωω η ln. l () ln( ). βρείτε τα όριαα, κ κ Να
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ.6 Έσ ισχύει: (), για κάθε βρείτε τα ()-4 A) Γ) ()-6.7 Ν g 4g 5, για κάθε..8 Αν.9 Aνν, να αποδειχθεί ότ. Αν () 4 () 9 (). Η στο και για κάθε ισχύει 7.Βρείτε το l (). Ν. **Έ ισχύει αποδείξετε ότι.4 Απ στω συνάρτηση για την οποία B) Δ) ν ισχύει ότι l http://users.sch.gr/mipapagr συνάρτηση έχει πραγματικό όριο α υπολογίσετε το Έστω η συνάρτηση για την οποία ημ για κάθε. Nα ποδείξτε ότι ()-4 ()- - 4 α βρείτε τα, g g, τότε να αποδείξετε ότι g τι συν για κάθε (). Να ημ αν συν ημ 9 να βρείτε το..5 Δίνονται οι συναρτήσεις, g, h ώστε να g() 4 ισχύουν ημ( ) g() () h() και ( ) και κ για κάθεε h() τα α..6 Βρείτε το..7 Να β..8 Να β..9 Να βρεθεί β το m..4 Να β..4 Να βρεθεί β το m ημ συν 4ημ..4 Να βρείτε β το m συ υν ημ συν..4 Να βρείτε β το m..44 Η συ στο και ισχύει για κάθε. Να βρεθείί το (). g(), h() και κάθε, να ν αποδείξετεε ότι:...46 βρεθεί το βρεθεί το ημ υνάρτηση. () ι ημ ημ ημ ημ συν ημ συν ημ βρεθεί το m έχει πραγματικό όριο..45 Για τη τ συνάρτηση : 7 ημ για Να βρείτε ισχύει
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών ΣΥΝΕΧΕΙΑ.47 Ν συνάρτησης αν ισχύει ότι () 5 ημ ( )( ), ()-.48 Αν -.49 Δί α α (α)= α εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση..5 Αν α βρεθεί ο τύπος της συνεχούς ίνεται η συνάρτηση :, μεε για κάθε α,. Να ν για κάθε ισχύει ότι και η ()- ()-6 συνεχής, βρείτε το - ημ ( ) () ημ ().Να είναι..55 Έστω Α) Να αποδείξετε ότι αν α τότε η είναι ασυνεχής στο Β) ) Να εξετάσετε τη συνέχεια της για α..56 Έστωω : με ω α. () e, κα αι να εξετάσετε αν η είναι συνεχής στο μηδεν ημ, αν α, αν α e, γιαα κάθε. Δείξτε ότι..57 Έστωω η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει () () ) συν, Α) Να αποδείξετε α ότι () αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο. Β) ) Αποδείξτε ότι η είναι συνεχής στο.5 Γι ότι g. Αποδείξτε ότι οι, g είναι συνεχείς στοο / ιδιότητα 5 ότι είναι συνεχής στο..5 ** και ισχύει () e βρείτε το ( ) ια τις συναρτήσεις,g : ισχύειι.54 Αν l. Να αποδείξετεε Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στοο συνεχής, να δείξετε ότι 5 4g.5 Μια συνάρτηση : για κάθε, να ln και η συν, έχει την είναι Γ) ) Να βρείτε β το όριο. Α) Να υπολογίσετε υ τα όρια: Β) ) Υπάρχει τιμή του α ώστε η να είναι συνεχής;..59 Η συ, y. Να αποδείξετε α ότι είναι συνεχής στο..58 Δίνε, -.6 Έστωω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο α εται η και ισχύει, α, l, υνάρτηση, y. Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο, είναι συνεχής στο και ισχύει ότι (y) ) () (y) για κάθε y y,
Βασικά Θεωρήματαα.6 Ν π εφ έχει στο διάστημα, τουλάχιστον μια ρίζα.6 Ν κ λ μ με κ, λ,μ έχει ακριβώςς - δύο ρίζες, τις ρ, ρ, για τις οποίες μάλιστα ισχύει ότι.6 Έσ α,β, β, αβ. Να αποδειχτεί ότι έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο,.64 'Εστω : α,β συνάρτηση,, ώστε (α) α και (β) ότι υπάρχει.65 Εσ ώστε () (π). Να αποδείξετε ότι υπάρχει π,π, ώστε ( )..66 Η αποδείξετε ότι: B) Υπάρχουν άπειροι α ώστε (α) (α ).67 Δί () α e, g() β (ημ συν). Αν το (α,β) είναι σημείο της ευθείας τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη, α αποδείξετεε ότι η εξίσωση α αποδείξετεε ότι η εξίσωση ρ ρ στω η εξίσωση ι [α,β], στω :[,π] συνεχής συνάρτηση, συνάρτηση είναι συνεχής στο A) Η είναι περιοδική ίνονται οι συναρτήσεις με τύπους (α,β),, αποδείξτεε ότι οι, μ -λ κ α, συνεχής β, με ώστε ( ). C β. Δείξτε και για κάθε είναι () ( ) Να y, μεε C g έχουν ένα. είναι συνεχής στο και ισχύουν 4 κα * για κάθε και βρ..69 Η συ, ώστε ( ) 4() 7( ). : α,β, Δείξτε ότι υπάρχει (α,β), ώστε 7..7 Αν α απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει τον α β...7 Αν η ότ εξ..7 Αν η αποδείξετε ότιι υπάρχει,, ώστε.68 Έστωω συνάρτησηη : η οποία για γ κάθε. Δείξτε ότι αι..74 Η συ συνεχής και υπάρχουν α β γ ώστε α β γ β γ α. Να δείξετε ότι υπάρχει ώστε συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει, ώστε.7 Eστωω η συνεχής συνάρτηση τι για κάθε,δείξτε ότι η ξίσωση, με έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο. υνάρτηση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ, με, δείξτε ότι υπάρχει με 4 α,β, να αποδείξετε ότι η η είναι συνεχής στο και ισχύει η συνάρτησηη είναι συνεχής στο 6, και ακό υνάρτηση : :,, είναι (S. Banach) ) * είναι συνεχής στο, και γ εξίσωση αημ β έχει ρίζα της οποίας η όμη 8, να..75 'Εστω :,, συνεχήςς 4 ρείτε το α,β. τέτοιο http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών.76 Ν και.77 Αν α,α,...,αα,. αποδείξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον, ώστε α α... α 997..78 Ν συναρτήσεις : αν ισχύει ότιι ημ,.79 * με 9 αποδείξετε ότι.8 N συνάρτησης 4 και να λύσετε την ανίσωση.8 Έσ οποία ισχύει ότι 4 9 () 6 για κάθε,. ln Να βρείτε τον τύπο της.8 Βρ συναρτήσεων α βρείτε τη συνάρτηση, συνεχή στοο αν ισχύειι e 4 4e για κάθε ν α βρεθούν όλες οι συνεχείς ίνεται συνάρτηση : συνεχής για κάθε για κάθε βρείτε το σύνολο τιμών της ς η στω η συνεχής συνάρτηση για την Α), Β) συν,,π / μπορούσε η να είναι αντιστρέψιμη; ρείτε τα σύνολα τιμών των 994 994 και αν Να. Να.8 Μια συνεχής συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση: 4. Θαα..84 Αν α π υπάρχει, ώστε..85 Να α παραστάσεις των τ συναρτή g διαστήματος π, 4...86 Οι σ συνεχείς και ισχύει g g για κάθ Έστω ακόμα ότι ό η είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (τε),..87 Να β αν...89 Αν η γνησίως αύξουσα στο (, + ) με l αποδείξετε ότιι υπάρχει μόνο ένας αριθμός ο ώστε..9 Η συ υνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει () για κάθε. Να αποδείξετε ότιι υπάρχει α ώστε α α για κάθε ισχύει ότι βρ ημ α ημ α συν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο του ωστε.88 Έστωω συνεχής συνάρτηση :, να αποδείξετε α ότ ρείτε το 5 α,β, γ, να αποδείξετεε ότι γ και e ln. αποδείξετε ότι οι γραφικές συναρτήσεις και g βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης 4 5π π η συνάρτησηη είναι συνεχής και m ημ α ήσεων και,g :, τι ημ, π,. δ, να, είναι θε,.. Να Z και..9 Έστωω : σ συνεχής με 9 και
4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ.9 Α) Γενικές Ασκήσεις ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μοναδική ρίζα Β) Δίνεται η συνά άρτηση α αν lnn α αν με μ α Ανν η είναι συνεχής στο, να βρείτε την τιμή του α.9 Έσ συνεχής στω g ημ κα αι συν, αν g() g() α αν g() Να βρείτε το α αν η είναι.94 Έσ στω : συνάρτηση, ώστε ημ,. Α) Αποδείξτε ότι η είναι συνεχής στο Β) Αν η είναι συνεχής στο και ισχύειι α β να δείξετεε ότι αβ..95 Έσ Να αποδείξετε ότι:, για κάθε, 4, Α) στω συνεχής συνάρτηση στο, 4 4 Β) Η συνάρτηση g έχει μιαα τουλάχιστον ρίζα στο,. για την οποία ισχύουν: για κάθε, 4, Γ) Η δεν είναι αντιστρέψιμη..96 Έσ είναι μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο, να δείξετε ότι υπάρχει ο [α,β] ώστε ( ο ) (g( ο )).97 Έσ β - α 4α β στω η συνάρτηση g() ορισμένη στο α,β. Αν ισχύει g 5 (α) 5 όπου Α) Να βρείτε το Β) Αν για κάθε,4 να δείξετε ότι: α) β) στω οι συνεχείς συναρτήσεις,g :, με ν g για κάθε,4. ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. g και () g( () () g() Η εξίσωση.98 Έσ στω η συνεχής και γνησίως φθίνουσαα συνάρτηση :(,) για την οποία ισχύουν () και ημ( ) ( )() Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της h() () ln για κάθε (,) Β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() e () τέμνει την ευθεία y σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη (,) ) http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 5.99 A) ) Η συνάρτηση είναι συνεχής και σε διάστημα Δ. Αν α,β, γ Δ με αβγ, να αποδείξετε ότι θα είναι είτε (α) (β) (γ) είτεε (γ) (β) (α) B) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και στ Δ, να αποδείξετε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ.. Έσ κάθε. στω συνάρτηση, συνεχής στο και ισχύει η σχέση 44 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσ σωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα ρ στο, 6 για. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, και ισχύει () 4 για κάθε. Να δείξετε ότι: Α. η είναι Β. Aνν η είναι γνήσια μονότονη τότε είναι γνήσια φθίνουσα Γ. υπάρχει ώστε Δ.. Η ορειβάτης ξεκινάει την ανάβαση στις 6 το πρωί και χωρίς να σταματήσει βρίσκεται σε 6 ώρες στην κορυφή. Την άλλη μέρα ξεκινάειι στις 6 το πρωί την κατάβαση, σε 6 ώρες, ακολουθώντας την ίδια διαδρομή, επιστρέφει στη βάση. Να δείξετε ότιι υπάρχει έναα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής ς όπου βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δύο ημέρες. Η ν ξ.4 Έσ ανάβαση - όπως και η κατάβαση - στην ψηλότερη κορυφή του Ολύμπου διαρκεί 6 ώρες. Ένας συνάρτηση είναι συνεχής στο α, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β ώστε ξ... v,β με, α,β στω η συνάρτηση :I I ώστε () 4 για κάθε I κα. Για κάθε,,,...,... v v αι και v α,β A) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο, να υπολογίσετε το όριοο B) Να αποδείξετεε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, () ημ.5 Έσ στω συνεχής συνάρτηση :, I για την οποία ισχύε Α) Να αποδείξετεε ότι Β) Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση g ημμ,,, ει,,
6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ.6 Δί ίνεται η συνεχής συνάρτηση με ln ln Α) Να αποδείξετεε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g Γ) Να αποδείξετεε ότι η εξίσωση e e έχει μοναδική λύση μεγαλύτερη του ένα.7 Γι ια τη συνεχή συνάρτηση, ισχύει ότι: 4 6 8 ( () ημ, 4. Να 6 υπολογίσετεε το () και να αποδείξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον κ 6 κ (,] ώστε κημ κ. 6.8 Έσ στω συνάρτηση ορισμένη στο μεε σύνολο τιμών το, για την οποία ισχύει ότι για κάθε. Να αποδείξετεε ότι Α) ότι η είναι και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφής της. Β) ότι η είναι γνήσια αύξουσα. Γ) για κάθε Δ) Να αποδείξετεε ότι η είναι συνεχής στο μηδέν Ε) m.9 ** οποίου τα άκρα ανήκουν στη γραφική παράσταση της. Έστω ότι είναι μια συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το * Αν είναι μια συνάρτηση, τότε λέγοντας χορδή της εννοούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα του ε, και με. Α) Να αποδείξετεε ότι υπάρχειι οριζόντια χορδή της με μήκος. Β) Nα αποδείξετεε ότι υπάρχειι οριζόντια χορδή της με μήκος, ν όπου ν,,.... Δί Η συνάρτηση είναι συνεχής στο () () () () Για τη συνάρτηση g ισχύει ότι g Α), για κάθε Β) Υπάρχει ω ώστε ω Γ) ίνονται οι συναρτήσεις και g για τις οποίες ισχύουν ότι:, για κάθε. 4 με Δ) υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g στο, Ε) οι και g δεν είναι αντιστρέψιμες., για κάθε,, 9 9 και, για κάθε. Ν' αποδειχθεί ότι : http://users.sch.gr/mipapagr