Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ. M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 12.09

Transcript

1 Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.9

2

3 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ C. Να φέρετε σε «κανονική» μορφή τους μιγαδικούς συνθ iημθ και i. Να γράψετε σε «κανονική» μορφή τους μιγαδικούς,,,, όταν i i, i i. Να βρεθούν οι α,β όταν: ισχύει ότι ισχύει ότι (α β) (α β ) i 5 5i. 5i (αβi) i.4 Να αποδείξετε ότι i i i i 4 i i i i.5 Έστω οι φυσικοί αριθμοί κ, λ,μ,ν Ν οι οποίοι, αν διαιρεθούν με το 4. αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Να αποδείξετε ότι: κ λ μ ν κλμν i) i i i i ii) i..6 Να δείξετε ότι για κάθε ν Ν* ισχύει ν ν ν ν i i i i i i i i.7 Να αποδείξετε ότι ν ν ν ν (α βi) (β αi), α,β.8 Aν ν Ν*, να βρείτε τα αθροίσματα: S i i i... i ii 45i... ν ν i.9 Να βρείτε τις τιμές του φυσικού ν για τις οποίες ισχύει κάθε μια από τις ισότητες: ν i ν ν ( i) ( i). Ο μιγαδικός i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών u,w που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες y και y αντίστοιχα.. Να λύσετε στο C τις εξισώσεις: 4 ( i) i λ 4 λ i 4λ για κάθε λ C. Αν,w C,,y να λύσετε τα συστήματα: 5i 8w 7 i6iw54i iiw 56i iw 6 i. Στο μιγαδικό επίπεδο να σημειώσετε το σύνολο των σημείων που είναι εικόνες των μιγαδικών όταν: κ 5( κ)i, κ, B) α 4α i, α. iσυνθ, θ [,π), Δ) ημθ λ i για κάθε θ, λ Ε) ημ θ ημθ συνθi, θ Στ) κ 5( λ)i, αν κ λ, Ζ) κπ π iεφθ, θ, κ Ζ συνθ.4 'Έστω M,M οι εικόνες των μιγαδικών ημθ iσυνθ, ημθ iσυνθ, π π θ, Να δείξετε ότι τα M,M ανήκουν στον ίδιο κύκλο Αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος MM, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του M.5 Έστω οι μιγαδικοί λ (λ )i, λ και w ( i) Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των, wκαθώς και τη σχέση που έχουν Να βρείτε τον μιγαδικό που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή O(,) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση των εικόνων των και w για κάθε λ

4 4 ο ΓΛΧ 4.6 Για τους,w C ισχύει ότι w. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του ότανοι εικόνες,, w είναι σημεία συνευθειακά.7 Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, i βρίσκονται στην ίδια ευθεία, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M() είναι κύκλος..8 Αν η εικόνα του μιγαδικού α βi, α,β ανήκει σε κύκλο με κέντρο το O(,) και ακτίνα, να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής στην οποία κινούνται ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w με w.9 Αν η εικόνα του w είναι στην ευθεία, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w w i ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ. Να βρεθούν οι τιμές των α,β,γ ώστε να είναι συζυγείς οι μιγαδικοί,w όταν: α ii και w α5i α 4i α γ 4 β i w γ i. Αν,C να αποδείξετε ότι e e. Aν,w C να αποδείξετε ότι Α. είναι πραγματικοί οι αριθμοί οι: i + και +i B. είναι φανταστικοί οι αριθμοί οι: +i i +i i και. Έστω οι,w με C, wc {,}. Να αποδείξετε ότι w w. w w.4 Αν w u u wu wu με, C, και αποδείξετε ότι w I..5 Να λύσετε την εξίσωση i(). Να.6 Να λύσετε το σύσημα iw i iiw.7 Αν,w C και w, να δείξετε ότι: w w e w ww w w Im w iww.8 Αν,, C να αποδείξετε ότι: Im Im Im.9 Για κάθε μιγαδικό να αποδείξετε ότι: A) ( ) B) ( ).. Έστω ο μιγαδικός με. Αν w, να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός w Αν w τότε Δ) Αν w τότε I. Να αποδείξετε ότι: 4ν 4ν 4i 4i, ν Ν ν ν, ν Ν ( i) ( i) 4ν ( i) ( 4) και να υπολογίσετε την παράσταση Α ) για κάθε ν Ν*. Να αποδείξετε ότι 4 6 i i i i ν Μ. Παπαγρηγοράκης

5 5 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ν. Έστω ο μιγαδικός f ν i i *, ν N. Να δείξετε ότι για κάθε ρ N ισχύει: f4ρ f4ρ f4ρ f4ρ fff... f i *.4 Να λύσετε την εξίσωση ( i) (i) και να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των ριζών της είναι μια ευθεία κάθετη στη διανυσματική α- κτίνα του w i..4 Έστω yi,,y και 4 w, 4. Να βρείτε το γεωμετρικό 4 τόπο των σημείων M() του μιγαδικού επιπέδου, όταν w..5 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που είναι εικόνες των ριζών κάθε μιας από τις εξισώσεις: Έστω yi,,y και M εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Αν είναι w, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του M, όταν ew.7 Αν C {}, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών, και στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συνευθειακά..8 Αν οι αριθμοi α βγ αi και w γβ αi ικανοποιούν τη συνθήκη w, να αποδείξετε ότι οι α,β,γ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου..9 Έστω,w C, με w. Αν η w εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο το O, και ακτίνα ρ τότε να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε τις εστίες..4 Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στον κύκλο y 4, να αποδείξετε 4i ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w κινείται επίσης σε κύκλο..4 Η εξίσωση α β, α,β έχει ρίζα τον μιγαδικό i. Να βρείτε την άλλη ρίζα και τα α, β..44 Να αποδείξετε ότι ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ημ θ ημθ 5 4ημ θ θ,π ανήκουν σε υπερβολή για κάθε θ,π.45 Στην ισότητα: iα, ο είναι φανταστικός ενώ ο α πραγματικός. Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές ο α, και να βρεθεί ο (συναρτήσει του α).46 Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών 4 i 4i.47 Έστω ότι ν ν ( ) f() ν Ν Να αποδείξετε ότι f f(). Αν είναι, να αποδείξετε ότι f(). Να βρείτε για ποιά ν ορίζεται το f(i). Δ) Να αποδείξετε ότι το f(i) είναι πραγματικός για κάθε επιτρεπτό ν..48 Αν i, w, να αποδείξετε ότι A), B), Δ) ν ν w για κάθε φυσικό ν, Ε) w και w Στ) 4 4 *.4 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όταν ισχύει ( α)( α) (α)(α ), * α.

6 4 ο ΓΛΧ 6 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού, όταν: 4 (i) (i) 7 6i B) Αν 8 6 i i 5. Αν,y C να αποδείξετε ότι ο α- ριθμός y y είναι φανταστικός y+y. Αν,y C να αποδείξετε την συνεπαγωγή +y y +y.4 Αν,w C με w, να αποδείξετε ότι 4 w ενώ ο w είναι 4 w w φανταστικός..5 Να δείξετε ότι, C.6 Έστω, C. Να αποδείξετε ότι A) e B) e( ).7 Να αποδείξετε ότι i i Για κάθε,w C, να αποδείξετε ότι w w w +uw u+w u=w.9 Αν, C και ισχύει, να δείξετε ότι. Nα αποδείξετε ότι eln e ln lg + lg. Αν ισχύει e Im e Im να αποδείξετε ότι e με, C,. Αν C με να αποδείξετε ότι: C. Αν, C με να αποδείξετε ότι αν τότε ή.4 Αν,w C και w w, Να αποδείξετε ότι w..5 Αν, C με και ισχύει να αποδείξετε ότι ή.6 Αν, C {} και ισχύει, να αποδείξετε ότι.7 Αν για κάθε, C {}, να αποδείξετε ότι:.8 Έστω οι I και I,, * C για τους οποί- ους ισχύει να δείξετε ότι.9 Αν, C με, τότε : Να αποδείξετε ότι. να βρείτε το μέτρο του Μ. Παπαγρηγοράκης

7 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση. Έστω,w C, λ με w, να δείξετε ότι: A) w w wλw- w w λ. Δίνεται ο C με. Να αποδείξετε ότι: 4 w w,. Να αποδείξετε ότι αν +u+w= και u+uw+w= τότε u w. Να δείξετε ότι, C.4 Aν, και, να αποδείξετε ότι και να βρείτε τους,,..5 Αν,, C, και οι εικόνες των,, στο επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των,, είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου..6 ** Aν και, να αποδείξετε ότι και ότι Να αποδείξετε ότι: u uw w u uw w.9 Αν οι εικόνες των,, C στο μιγαδικό επίπεδο σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι. Έστω ο θετικός αριθμός ρ και οι μιγαδικοί,, τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: ρ, ρ και. Να αποδείξετε ότι: 8. Έστω οι,, C για τους οποίους ισχύει, να βρεθεί το. Αν, C να αποδείξετε ότι: i. Αν w w, να δείξετε ότι w w w.4 Για κάθε,w C να αποδείξετε ότι w w w w www w.7 Αν με,, και, C, να αποδείξετε ότι.5 Για τους α,β, γ, w C να δείξετε ότι: α β αβ α β αβ βγ γα w α w β w γ.8 **Αν,, C διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει ότι, να δείξετε ότι και αντιστρόφως.6 Άν C και 5 να υπολογιστεί το Να αποδείξετε ότι : Αν w τότε w w

8 4 ο ΓΛΧ 8.8 Να αποδείξετε ότι: w w i i για κάθε C.9 Για κάθε,u,w C να αποδείξετε ότι: Να αποδείξετε ότι + +w w+ +w w π +w αν, ημ συν *.47 Για τους μιγαδικούς και w ισχύει ότι w. Να αποδείξετε ότι Im Imw..48 Για κάθε, C, με να αποδείξετε ότι i i.49 *Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w με w.να αποδειχθεί ότι ( w) w.5 **Αν, w, wc i, να αποδείξετε ότι αν ισχύει i w i τότε θα ι- i wi σχύει η w i wi.4 Αν w να αποδείξετε ότι w w.4 Για κάθε μιγαδικό να αποδείξετε ότι Αν - τότε e *** Αν τότε.4 Αν για τους, 5, C C ισχύει ότι: και να αποδείξετε ότι :.44 Έστω C Να αποδείξετε ότι Αν i 5 τότε 8 46i 8 Αν τότε ημθ, θ Αν και τότε.45 Για τους, w C ισχύουν ότι wi και (i)w. Να αποδείξετε ότι w i i.46 Αν είναι w, να αποδείξετε ότι w και ότι w i i. *.5 Για κάθε C, να λύσετε τις ανισώσεις Για κάθε C να αποδείξετε ότι.5 Aν ++4i ++i 5 5 τότε να προσδιορίσετε γεωμετρικά τις εικόνες του.54 Να βρείτε το σύνολο των σημείων του επιπέδου που είναι εικόνες του C αν lg 5 lg.55 Δίνονται οι μιγαδικοί και w που α συνδέονται με τη σχέση w, α *. Αν ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε παραβολή..56 Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει σε κύκλο με κέντρο O, και ακτίνα ρ, να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την λ-i εικόνα του w, λ. i λ.57 Για κάθε α,β C με α β α β, να δείξετε ότι: α β Μ. Παπαγρηγοράκης

9 9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση.58 Αν, να βρείτε τη γραμμή που διαγράφει η εικόνα M του Αν, να αποδείξετε ότι 6.59 Να αποδείξετε ότι: οι εικόνες των μιγαδικών, λ ανήκουν σε ένα ορι- λ i λi σμένο κύκλο..6 Δίνονται οι μιγαδικοί,w με w. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο 4i 5 να αποδεί ξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε ένα κύκλο..6 Δίνονται οι *, w C ώστε w. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των, w και η αρχή των αξόνων σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο..6 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αν οι εικόνες των,, + στο επίπεδο είναι συνευθειακά σημεία..6 Έστω, C με e. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των, στο μιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων είναι σημεία συνευθειακά..64 Έστω ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει 4 5. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας M του είναι υπερβολή.65 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του C στο επίπεδο, αν i i 9 Αν οι εικόνες των μιγαδικών, ανήκουν στη C και είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο του.66 Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, έχουν εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία A,B αντίστοιχα, που δεν ανήκουν στον κύκλο y C, να αποδείξετε ότι ισχύει αν και μόνο αν ένα μόνο από τα σημεία A, B είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου C.67 Να προσδιορίσετε στο μιγαδικό επίπεδο το τα σύνολα των εικόνων των μιγαδικών που αποτελούν τις γραφικές λύσεις των συστημάτων: 5 4i 5 Δ) -i.68 Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις i i 6 i i 6.69 Για το μιγαδικό ισχύει ότι. Να δείξετε ότι.7 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει κάθε μια από τις σχέσεις: - lg lg.7 Να δείξετε ότι οι εικόνες των ν, w - ν w *, ν N με, C,, που διέρχεται από το,, ορίζουν ευθεία.7 Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει να δειχθεί ότι οι εικόνες των,,, είναι ομοκυκλικά σημεία..7 Να αποδείξετε ότι για κάθε, η εξίσωση e * C έχει πραγματικές ρίζες.

10 4 ο ΓΛΧ.74 Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει, και i, να βρείτε την τιμή της πα- ράστασης Α= i i. Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία της.75 Έστω οι διαφορετικοί μιγαδικοί και ώστε ο w να είναι φανταστικός, να δείξετε ότι: 4 w.76 Δίνεται η εξίσωση Δ Δ όπου Δ η διακρίνουσά της. Να βρείτε τις ρίζες της καθώς και το είδος του τριγώνου που σχηματίζουν οι εικόνες των ριζών της και η αρχή των αξόνων.77 Έστω, C και το πολυώνυμο P(),. Να αποδείξετε ότι P() για κάθε.78 Να λύσετε στο C τα συστήματα i ii i 4 και 8 w και w w..79 Να λύσετε στο C τις εξισώσεις: 6 9 i Δ).8 Να δείξετε ότι οι ρίζες των εξισώσεων +=, και += ορίζουν κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου.8 Δίνονται οι,w C με και Να αποδείξετε ότι w 9i w i Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w.8 Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης λ4 με 4 λ 4 βρίσκονται σε κύκλο..8 Αν η εξίσωση i ν w i με * άγνωστο το C, ν Ν, έχει πραγματική ρίζα τότε w..84 Να εξετάσετε αν η εξίσωση ν i i, έχει πραγματική ρίζα. i.85 Για τον C ισχύει ότι: i 4. Nα βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παράσταση 7i γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη..86 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών, αν ισχύει ότι 5 i. Από τους παραπάνω μιγαδικούς, ποιος έχει το μικρότερο μέτρο;.87 Δίνονται οι μιγαδικοί,w με i w. i 6 H εικόνα του ανήκει στον κύκλο O, και ρ να αποδείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας r B) Nα αποδείξετε ότι οι εικόνες των, w και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία. Να υπολογίσετε την ελάχιστο και τη μέγιστη τιμή του w.88 Έστω ο μιγαδικός με 4i και ο w με w 4 7i. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του w.89 Δίνονταί οι μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύουν: ( i) 4i 8 και w 5i. Να βρείτε: Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του Την εξίσωση της καμπύλης που βρίσκονται οι εικόνες του μιγαδικού w Δ) Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του w ν Μ. Παπαγρηγοράκης

11 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση.9 Για τον C ισχύει η σχέση Να αποδείξετε ότι η εικόνα του είναι σημείο κύκλου με κέντρο το O, Αν για τους,, ισχύει η σχέση τότε να αποδείξετε ότι 9.9 Έστω,w μη μηδενικοί μιγαδικοί w w τέτοιοι ώστε w w. Να αποδειχθεί ότι w ή w w.9 Έστω ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει 4. Nα δείξετε ότι αριθμός w είναι φανταστικός..9 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ = και α+β+γ= Να αποδειχθεί ότι : α+ββ+γγ+α Να βρεθεί η τιμή της παράστασης α β γ Να αποδειχθεί ότι αβ βγ γα.94 Έστω οι μιγαδικοί,,w με, και w 4 4 Να δείξετε ότι Να δείξετε ότι ο w είναι πραγματικός Να δείξετε ότι ισχύει Δ) Αν w, να δείξετε ότι α) β) το τρίγωνο που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών O,, είναι ισόπλευρο.95 Έστω ο μιγαδικός αριθμός α α. α αi Α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ του α Β Να βρείτε τους μιγαδικούς που απέχουν την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση από το O, (αν υπάρχουν) Γ Αν οι εικόνες Μ του αανήκουν σε κύκλο κέντρου KO, και ακτίνας ρ, να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών α α είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου αυτού. Δ Να δείξετε ότι το τρίγωνο που έχει ως κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών,, είναι ορθογώνιο ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΕΩΣ ΣΥΝΕΧΕΙ. Δίνεται η συνάρτηση f ln Να ορίσετε την Να αποδείξετε ότι Αν,w είναι μιγαδικοί τέτοιοι ώστε f να ισχύει ότι αποδείξετε ότι α) 7 f ln f ln w να 6 w β) e ew 4. Έστω ο μιγαδικός w 4, C Να λυθεί στο C η εξίσωση 4 Αν ο w είναι φανταστικός, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του Αν οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών,,w,w είναι εσωτερικά σημεία του γεωμτρικού τόπου C, να αποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε να ισχύει w w

12 4 ο ΓΛΧ. Έστω η f. Αν i 5 i * με α βi, α,β f, να αποδείξετε ότι i και i 5 αβ 8.4 Έστω οι μιγαδικοί,w ώστε να ισχύ- 4i w6i ει Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος των εικόνων του. Να βρεθεί ο γεωμ τόπος των εικόνων του w. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του w..5 Αν για τον μιγαδικό αριθμό i f ισχύει για κάθε Δf, να αποδείξετε ότι: Το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του διαστήματος,, Αν η f είναι συνεχής τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο,..6 Έστω f: α,β συνεχής συνάρτηση και οι μιγαδικοί α βi, α ifα, β if β. Αν ισχύει 4i 4ie, να αποδείξετε ότι η Cf τον. έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με.7 Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα α,β και παραγωγίσιμη στο α,β f αα με. Δίνεται και ο μιγαδικός β if(β). Αν ο είναι φανταστικός να α if(α) αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον λύση στο α,β..8 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα, και οι μιγαδικοί f i και f i. Αν ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,..9 Δίνονται οι μιγαδικοί,w C και η συνάρτηση f: με f w w. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,.. Έστω συνάρτηση f όπου μιγαδικός με και. Να αποδείξετε ότι αν, τότε η εξίσωση f έχει μια του- e λάχιστον ρίζα στο διάστημα,.. Έστω f: συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι 5 4 f f f, 4, όπου, μιγαδικοί οι εικόνες των οποίων είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου y μια τουλάχιστον ρίζα στο,. Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει. Α. Να δείξετε ότι για τους μιγαδικούς, w ισχύει w w ew Β. Θεωρούμε συνάρτηση f: η ο- ποία είναι γνησίως μονότονη και οι μιγαδικοί αριθμοί f() iκαι f () iγια τους οποίους ισχύει η σχέση e Να δείξετε ότι. οι f,g όπου g() f f(), είναι γνησίως φθίνουσες γ) αν η f είναι συνεχής, με σύνολο τιμών το, τότε η εξίσωση f() f () έχει μοναδική ρίζα η οποία βρίσκεται στο διάστημα, Μ. Παπαγρηγοράκης

13 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση f() n A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της B) Λύστε την εξίσωση f Λύστε την ανίσωση f Δ) Να δείξετε ότι f f( ) f συν συν 4. Δίνεται η συνάρτηση f α α. Να αποδείξετε ότι f y f y f fy,,y 4. Δίνεται η συνάρτηση f α α. Να αποδείξετε ότι f y f y f fy,,y 4.4 Στο διπλανό σχήμα να βρείτε συναρτήσει του, τη συνάρτηση που περιγράφει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής που δημιουργείται από τη ΔΕ και τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ για τις διάφορες θέσεις του E πάνω στη BΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς η BE και ΔΕ ΒΕ 4.5 Αν f. Να αποδείξετε ότι ff 4.6 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το με f. Να υπολογίσετε 4 4 το f f και το άθροισμα: f f...f f Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() ln και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, h όταν A) f, g, h B) f, g h ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 4.9 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g,h όταν f() ln( ), g() ln( ), f() ln g() ln h() ln 4. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ e, g() ln, < e, e f() συν 4. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συ- ναρτήσεων f ln f() -+ f() Δ) f() 4. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f() (e )ln( ) k ln f() Δ) f 4

14 4 ο ΓΛΧ 4 4. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f() f Δ) e e ln e - + ln 4 - f() ( - ) - ln 4.4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f ημ εφ f ημ ημ f συν 5συν Δ) f() e e ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ 4.5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f() f() συν Δ) f ln 4.6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f ln f ln f Δ) 4 f ln 4.7 Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκονται 'πάνω' από τον όταν: f() ln( ) h e 4.8 Έστω οι συναρτήσεις f,g :, ώστε να ισχύει f() g() κ κάθε, κ. α) Να βρεθεί ο κ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των, να τέμνονται πάνω στην ευθεία και κατόπιν τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από την C g 4.9 Έστω οι συναρτήσεις f,g : για τις οποίες ισχύει f 9 g για κάθε. Να βρεθεί η σχετική θέση των C, f C g 4. Να βρεθούν το κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων καθώς και τα διαστήματα όπου η C f είναι πάνω από τη C g στις περιπτώσεις: f 4 και g 8 αν f() και αν < g() καθώς και η απόστασή τους. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Δίνεται η συνάρτηση f(). Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες με τη συνάρτηση f. - f() f() - - f() f() 4 f5 lne ln() f() 6 e Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 4. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις στις παρακάτω περιπτώσεις. f() και f() ln g() και g ln ln 4. Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι ίσες λ 4 οι συναρτήσεις f() και λ4 g() λ Μ. Παπαγρηγοράκης

15 5 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 4.4 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g g f ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ,και όταν f() 4 ] και g(), f(), ln, g -, 4.5 Για τις συναρτήσεις f,g : ισχύει ότι g f f,. Να δείξετε ότι η C τέμνει τον θετικό ημιάξονα Oy g 4.6 Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g : αν για κάθε ισχύει ότι f g ημf συν g. 4.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με κοινό πεδίο ορισμού το A για τις οποίες ισχύει ότι: (f g)()[(f g)() 6] [(f g)() 9] για κάθε A, να αποδείξετε ότι f g 4.8 Για τη συνάρτηση f: ισχύει ότι f f για κάθε. Να αποδείξετε ότι η ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ C f δεν τέμνει τον άξονα 4.9 Να προσδιορίσετε όλες τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις f: για τις οποίες ισχύει ότι f () για κάθε 4. Nα εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιτ- τές οι συναρτήσεις f() g() ln 4. Έστω συνάρτηση f: η οποία είναι περιττή και για την οποία ισχύει ότι f για κάθε. Να βρείτε τον τύπο της 4. Δύο συναρτήσεις f,g : έχουν τις ιδιότητες: f ff και g gg για κάθε. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f g A A Να αποδείξετε ότι: Αν οι f,g είναι περιττές τότε η f g είναι περιττή ενώ οι f g, f/g, ( g() ) είναι άρτιες ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ 4.4 Να βρείτε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων: f e, f ln, / 4.5 Να βρείτε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων: f,5 f 6 4, 4.6 Να βρείτε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων f() 4 f() lg f() lg 5 e Δ) f 5 e Ε) Στ) αν f() αν 5 f()

16 4 ο ΓΛΧ 6 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4.7 Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων (μη ταυτοτικών) συναρτήσεων, αν: f() 4 συν f() ln ln 9 f() συν f() ln( ) ln 4.8 Να οριστεί η συνάρτηση f g όταν f() και g() ln αν (,) f(), g() αν [,4) 4.9 Αν f και g να ορίσετε τις συναρτήσεις f g και g f 4.4 Αν f() g() e e ln( ), να αποδείξετε ότι (f g)() (g f)(), 4.4 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h, αν h f:[,5) και h() f( 4) f( ) 4.4 Να βρεθεί ο τύπος μιας συνάρτησης f σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν fln(), e, Αν (f g)() και g() Αν (g f)() Δ) Αν (f g)() συν και g() και g() 4.4 Έστω οι συναρτήσεις f:af, g :Ag f Af Ag. Να αποδειχτούν οι προτάσεις: A) Αν η f είναι άρτια, τότε και η gf είναι άρτια. B) Αν η f είναι περιοδική, τότε και η με g f είναι περιοδική με την ίδια περίοδο Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση f() f( ), 4.45 Αν f και g να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση h με, ώστε να ισχύει Ah hf() hg() gf() 4.46 Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει ότι f f για κάθε. Να δείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα σε δύο τουλάχιστον σημεία 4.47 Να βρείτε τη συνάρτησης f:, για την οποία ισχύει ότι f ln f e 4.48 Αν ff() e για κάθε. για κάθε, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την τιμή Αν ισχύει ότι f f () για κάθε τότε να υπολογίσετε το f 4.5 Να προσδιορισθεί ο τύπος της συνάρτηση f : Αν ( )f( ) f(), Αν ισχύει f() f, * * 4.5 Μια συνάρτηση f: έχει την f(y) ιδιότητα f( y) f() e,y. και α) Να αποδείξετε ότι f() e f( ) f() e για κάθε. β) Να βρείτε τον τύπο της f f() 4.5 Αν f() α να βρεθεί ο α, ώστε να ισχύει: f f () για κάθε. 4.5 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: για τις οποίες ισχύει ότι f fy fy y y για κάθε,y Μ. Παπαγρηγοράκης

17 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 5. Να εξετασσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων f() 5 5 f e ln e f 4 Δ) Ε) f() f e 4 αν Ζ) f() αν 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με 5 fe, g ln Nα δείξετε ότι οι f, g είναι γν. μονότονες. Να λυθούν οι ανισώσεις f, g 4 5. Αν f, τότε 5 5 Να αποδειχθεί ότι η f είναι γν. φθίνουσα. Να λυθεί η ανίσωση Nα λύσετε τις ανισώσεις: ln e 5.5 Έστω συνάρτηση f:a. Για κάθε, Aμε, ορίζουμε λ. Να αποδείξετε ότι: f( ) f( ) α) η f είναι γν. αύξουσα αν και μόνο αν λ. β) η f είναι γν. φθίνουσα αν και μόνο αν λ. Αν A και για κάθε, με, ισχύει f f,να αποδείξετε ότι η g f είναι γν. φθίνουσα στο και ότι η συνάρτηση h f είναι γν. αύξουσα στο. 5.7 Για τη συνάρτηση f: ισχύει ότι: 5 f () f για κάθε. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα Να λυθεί η ανίσωση f 5.8 Δίνεται ότι η συνάρτηση f ορισμένη και είναι γνήσια αύξουσα στο,. Να λύσετε την εξίσωση f f f f 5.9 Έστω μια συνάρτηση f:(, ) έχει την ιδιότητα f-fy =f για κάθε y,y. Επιπλέον ισχύει ότι «αν α τότε f α». Να αποδείξετε ότι η f είναι γν. αύξουσα στο,. 5. Δίνονται συναρτήσεις f,g με κοινό σύνολο ορισμού το α,β, σύνολο τιμών το α,β και ισχύει ότι g f, α,β f είναι γνήσια φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι gf() α,β f g() 5. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε ισχύει ότι: f() f 5 για κάθε, να αποδείξετε ότι f(),. Η 5. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:, γνήσια φθίνουσα με την ιδιότητα f ( ) f(6 8) 4, 5.6 Δίνεται η συνάρτηση f. Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Να λύσετε την ανίσωση

18 4 ο ΓΛΧ 8 ΑΚΡΟΤΑΤΑ 5. Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε μιας από τις παρακάτω συναρτήσεις f f() 4 f() Δ) f 4 5 Ε) f:[,4) με f() Στ) αν f αν 5.4 Α Να δείξετε ότι με Β. Έστω f() Nα αποδείξετε ότι f() για κάθε και ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο 5.5 Έστω f: συνάρτηση με f() Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() g() έχει μέγιστη τιμή το. f () Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης Φ() e e 5.6 Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και η g είναι γνήσια φθίνουσα, τότε οι γραφικές παραστάσεις των θα έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. 5.7 Να βρεθεί ο λ, ώστε η συνάρτηση f() (λ ) να έχει ελάχιστο το ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : 5.8 Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις, είναι και ποιες όχι: fln f 4 4 f e 5.9 Δίνεται η συνάρτηση f:[, ) για την οποία ισχύει f(f()), για κάθε [, ). Να δείξετε ότι η f είναι 5. Δίνεται ότι η συνάρτηση f: είναι. Να αποδείξετε ότι η η F f f είναι. 5. Αν η συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα f f f,να δείξετε ότι είναι - 5. Να αποδειχτεί ότι δεν είναι η συνάρτηση f αν ισχύει 6f f () 9 5. Δίνεται η συνάρτηση f ln Nα μελετήσετε τη μονοτονία της f Να λύσετε την εξίσωση f f Να λύσετε την ανίσωση ln 5.4 Να λύσετε τις εξισώσεις. e 7 5 ln Nα λύσετε την εξίσωση 4 4 lg λ lg 5λ 5 5λ 5 λ 5.6 Δίνεται η f ln, Α Να μελετήσετε τη μονοτονία της f Β Να λύσετε την εξίσωση: =ln στο 4, Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι 4 αν η συνάρτηση f() λ 8 αν 5.8 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : με f f () 59 και g f, ότι f και ότι η g δεν είναι. Nα αποδείξετε 5.9 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f:α και g:β, να αποδείξετε ότι αν B f(a) και η g f είναι τότε η g είναι Μ. Παπαγρηγοράκης

19 9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ 5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() 5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f, 5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() 5 5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() lg 5.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης e f() e 5.5 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() ln Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() lg 5.8 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() ln( e ) 5.9 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() 5.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης, f() 9, 5.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() 5.4 Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f C f αν f(),, f 5.44 Έστω οι συναρτήσεις f, g για τις ο- ποίες ισχύει g() 5f( 5) (g g)() για κάθε. Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει η f τότε υπάρχει η g 5.45 Έστω συνάρτης f ώστε να ισχύει f(f(f())) 7 για κάθε. Δίνεται ακόμη ότι f(),f() 9. Να αποδείξετε ότι η f είναι ' και να λύσετε την εξίσωση f () Για τη συνάρτηση f: με f ισχύει ότι f() f(), για κάθε. Να αποδείξετε η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f 5.47 Αν για τις συναρτήσεις f, g ορισμένες στο, υπάρχουν οι συναρτήσεις f g και g f, να αποδείξετε ότι υπάρχουν και οι g, f αντίστοιχα Έστω η συνάρτηση f με f(). Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Να λύσετε την εξίσωση f() f (). Να λύσετε την ανίσωση f (56) Δίνεται η συνάρτηση f() Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται Να λύσετε τις εξισώσεις f(), f () Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με τους άξονες και με την ευθεία y Δ) Να λύσετε: α) την εξίσωση ( ημ ) ημ ημ ημ 5.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() ln β) τις ανισώσεις: f ( ) 5 f (), και

20 4 ο ΓΛΧ 6 ΓΕΝΙΚΕΣ 6. Για τη συνάρτηση f: ισχύει ότι ν όροι f f f να βρείτε το f 6. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g : που είναι αντιστρέψιμες και ισχύει f g g f να αποδείξετε ότι: f g g f f g g f 6. Δίνεται η συνάρτηση f: (, ) για την οποία ισχύει ότι f( y) f() f(y) για κάθε,y. Να αποδείξετε ότι: f (y) f () f (y),,y f() 6.4 Έστω η συνάρτηση f:με σύνολο τιμών το, και ισχύει f () f() e για κάθε Να βρείτε την f Να δείξετε ότι η f είναι "-" και να βρείτε την αντίστροφη της. 6.5 Έστω συνάρτηση f:(, ) με την ιδιότητα: f-fy =f y για κάθε,y Αν η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα, τότε Να αποδείξετε ότι η f είναι Να λύσετε την εξίσωση f f f f 6.6 Για τη συνάρτηση f: ισχύει ότι f y f fy, για κάθε,y. Αν f για κάθε, να αποδείξετε ότι: η f είναι περιττή και γνήσια αύξουσα Να λύσετε την εξίσωση: f 4 5 f 4 5 f Αν η συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα f f () f,, να αποδείξετε ότι: η f είναι αντιστρέψιμη είναι f f f για κάθε f. 6.8 H συνάρτηση f: είναι γνήσια μονότονη και η C f διέρχεται από τα σημεία A5,9 και B, τότε: Να αποδείξετε ότι η f είναι γν. αύξουσα Να λυθεί η εξίσωση f f ( ) Για την συνάρτηση f: είναι f γνωστό ότι e f για κάθε Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. Να βρείτε το f. 4 Nα λύσετε την εξίσωση e e 5 6. Να αποδείξετε ότι η C f της 5 f 5, έχει άξονα συμμετρίας την y 6. Έστω ένα ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα και έστω ότι ΒΑΓ ˆ Θ (rad). A) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ABΓ π είναι Εθ 4 συνθημθ, θ Αν η γωνία θ μεταβάλλεται στο χρόνο, σύμφωνα με τη συνάρτηση θ ft, π t 4 t π, να εκφράσετε το εμβαδόν Ε σε συνάρτηση με το χρόνο, να βρείτε σε ποια χρονική στιγμή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο καθώς και το εμβαδόν του τη στιγμή εκείνη. 6. Αν f γν. αύξουσα στο και, τότε ff( f B) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 4 f αντιστρέφεται, να βρείτε την καθώς και τα κοινά σημεία των C και C. f f f 6. Για τη συνάρτηση f: ισχύει ότι f( y) f()f(y) για κάθε,y και υπάρχει ξ, ώστε f(ξ). Να αποδείξετε ότι: f() για κάθε και f() f( ) = f() και f() f( y), f(y) ν f(ν) f () για κάθε ν Ν και Μ. Παπαγρηγοράκης

21 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 ΟΡΙΟ ΣΤΟ X Ο 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ν ν (ν ) με ν Ν* 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια Δ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια B) 7.5 Να υπολογίσετε το αν f() 4 αν 7.6 Να υπολογίσετε το f() αν ημ 6 ημ 7.7 Να υπολογίσετε το ημ 7.8 Να υπολογίσετε το εφθ συνθ π θ 7.9 Να υπολογίσετε τα όρια: ημ ημ συν 4 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ημ ημπ 7. Να υπολογίσετε τα όρια: ημ π ημ συν συν 7. Να υπολογίσετε τα όρια: ημ ημ( ) ημ ημ συν συν 7. Να βρείτε εφόσον υπάρχουν τα όρια: ημ ημ ημ 7 9 ημ 7.4 Να βρεθεί ο νn αν ημ ημ... ημν Αν f()-f(-) ημ ημ f() να βρείτε το

22 4 ο ΓΛΧ 7.6 Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει: (f()) (f()) f() ημ,. Να βρείτε τα f() γνωστό ότι υπάρχουν 7.7 Αν 4 f(), αν είναι g() 7, να βρείτε το f() g() g() 7.8 Αν f() 5 f() 5 να αποδείξετε ότι f() g() f()( ) 7.9 Αν να βρεθεί το f()g() 7. Να βρεθεί τα f() και g() αν f() g() 5 και f() g() 4. f() 7. Έστω συνάρτηση f ώστε f(v) Να αποδείξετε ότι v, v Αν f (v) ημ f(v) ημ για κάθε να δείξετε ότι v 7. Η συνάρτηση f είναι άρτια στο και ισχύει ότι f() f() 5 4. Να βρείτε το 7. Να αποδείξετε ότι αν τότε α f. 7.4 Αν το f() f() 7.5 Αν f() f, α f() 4f () 9, να βρεθεί, να βρεθεί το -, 7.6 Aν να αποδείξτε ότι f f συν για κάθε f() =. 7.7 Αν για τη συνάρτηση f: είναι f() f(), να βρείτε τα: - f() f () f() f () f () 7.8 Αν f() 4 και για κάθε - ισχύει f f να βρείτε το f() 7.9 Για τη συναρτηση f ισχύει ότι: f(),για κάθε Να βρείτε τα f()-4 f()-4 f() - 5 f()- - Δ) 4 7. Η συνάρτηση f έχει πραγματικό όριο στο και ισχύει f 7 για κάθε. Να βρεθεί το f(). 7. Για τη συνάρτηση f: ισχύει ότι: f f ημ f ημ, για κάθε, να αποδείξετε ότι: f f. 7. Έστω μια περιττή συνάρτηση f: Aν f() να βρεθεί το [f(-)-f(-)] 7. Έστω συνάρτηση f για την οποία ι- σχύει fy f fy για κάθε,y. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή f Αν ισχύει ότι, να αποδείξτε ότι f f α α για κάθε α f Αν ισχύει ότι να α- f ποδείξετε ότι και ότι ημf() f ημ() Μ. Παπαγρηγοράκης

23 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 8 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Χ Ο 8. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα παρακάτω όρια: Ε) 54 Δ) π 5 ημ Στ) ( ) 8.4 Αν g() 4 να βρεθεί το g() Αν f() να βρεθεί το f() 8. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα παρακάτω όρια: Δ) συν 5 Ε) ( ) Στ) συν 8.6 Αν ( 4)f() βρεθεί το f() 8.7 Αν g() να βρεθεί το g() g() 6 4 να h() 8. Αν g() να βρεθεί το ΟΡΙΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΟ Χ ο 8.8 Αν βρείτε το ημ(α) f() f() για κάθε α αν αν αν λ 8.9 Αν f() λ αν λ βρείτε το f() για κάθε λ 4 8. Να βρείτε τους λ,μ ώστε : (λμ) (λμ) μ να να 8. Να βρείτε τα λ, μ αν λ μ 8 8. Να αποδειχτεί ότι για κάθε λ η -λ συνάρτηση f() δεν έχει πραγματικό όριο στο Nα βρεθούν για κάθε α τα όρια: 6 α A) B) α 4 ( 4)( ) 8. Να βρείτε το λ ώστε 5λ 9 ( λ )

24 4 ο ΓΛΧ 4 Όριο συναρτησης στο απειρο 8.5 Να υπολογιστούν τα όρια: 6 ( ) ( ) 4 ( ) 8.6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ στο απειρο (λ ) (λμ) μ 8. Αν f() να βρεθεί το f() για κάθε λ,μ 8.4 Αν f() -α-β να βρεθούν οι α,β ώστε f() β 8.5 Αν το f() f() λ να βρεθεί για κάθε λ 8.7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια Δ) e e 5 4 lg lg 8.8 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ημ συν ημ 8.9 ** Να υπολογίσετε το ln( ) ln( ) 8. * Να βρείτε το ημ 8. Να υπολογίσετε το ln(t t ) ln t t 8. Για την συνάρτηση f:, ισχύει f l, Να βρεθεί το ln f ln 8.6 Αν f() 4 ημφ συνω με φ,ω π. Να βρείτε τα φ,ω ώστε f() 8.7 Να βρεθούν οι α,β ώστε: α β 8.8 Για κάθε α, να υπολογίσετε το - α, α Για κάθε α, να υπολογίσετε το α α 8. Να βρεθεί το όριο α βγ με α,β,γ και f() Αν f() α β γ 8. Έστω η f Να βρείτε τα όρια f() ln(). κ ln f κ, f Μ. Παπαγρηγοράκης

25 5 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 9 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9. Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης f αν ισχύει ότι f() 5 ημ ()( ), f()- 9. Αν και η f είναι συνεχής, να βρείτε το - f()- f()-6-9. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει ότι f(y) f() f(y) για κάθε,y τότε είναι συνεχής στο 9.4 Αν για κάθε ισχύει ότι ημ f() f () ημ f().να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. 9.5 Για τις συναρτήσεις f,g : ισχύει ότι f g f 54g συν,. Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι συνεχείς στο. π 9.6 Μια συνάρτηση f: έχει την 5 ιδιότητα f f. Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο. 9.7 ** Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει f() e για κάθε, να βρείτε το f() 9.8 Έστω f ημ, αν α, αν α Να αποδείξετε ότι αν α τότε η f είναι ασυνεχής στο α. Να εξετάσετε τη συνέχεια της f στο α 9.9 Έστω f: με f f e, για κάθε Να δείξετε ότι f() e, για κάθε. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο 9. ** Δίνεται η f Να υπολογίσετε τα όρια: f, α,, f, f f. - Υπάρχει τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής; ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 9. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μια τουλάχιστον ρίζα στο αντίστοιχο διάστημα: συν στο π π, 4 π εφ στο, 9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κ λ μ - με κ, λ,μ έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις ρ, ρ, μ -λ ρ ρ κ 9. Έστω η εξίσωση και ισχύει ότι α β, με α,β, β, α β. Να αποδειχτεί ότι έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο, 9.4 'Εστω, f: α,β, συνεχής συνάρτηση, ώστε f(α) α και f(β) β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει [α,β], ώστε f( ).

26 4 ο ΓΛΧ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και f() για κάθε, αποδείξετε ότι υπάρχει, f ( ) f( ) ώστε.να 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, με f 6, και ακόμη f f 8, να αποδείξετε ότι υπάρχει, (τ.ε.), f. ώστε 9.6 Εστω f:[,π] συνεχής συνάρτηση, ώστε f() f(π). Να αποδείξετε ότι υπάρχει π,π, ώστε f( ) f. 9.7 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε είναι f() f( ) Να αποδείξετε ότι: A) Η f είναι περιοδική B) Υπάρχουν άπειροι, ώστε f( ) f( ). 9.8 Eστω f: α,β, συνεχής και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση με f(α) f(β), κ, λ,μ N* υπάρχει και γ α,β (α,β), ώστε ο. Να αποδείξετε ότι κλμ f( ) κf(α) λf γ μf(β) 9.9 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους f() α e, g() β (ημ συν). Αν το (α,β) είναι σημείο της ευθείας y, με (α,β),, να αποδείξετε ότι οι C f, C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη, 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, με f f, να αποδείξετε ότι υ- πάρχει, ώστε f( ) 4f() 7f( ) 9. Αν α,β, να αποδείξετε ότι η εξίσωση αημ β έχει (μία τουλάχιστον ) ρίζα της οποίας η απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει τον α β. 9. Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει ότι f f για κάθε, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο. 9.4 Η συνάρτηση f :,, είναι συνεχής και υπάρχουν αβγ ώστε α β γ f f f β γ α. Να δείξετε ότι υπάρχει ώστε f 9.5 Να βρείτε τη συνάρτηση f, συνεχή f f στο αν ισχύει e 44e για κάθε f ln4 και. Να αποδεί- 9.6 Αν α,α,...,α994, ξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον, ώστε α α... α Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: αν ισχύει ότι f f ημ, 9.8 N βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f 4 και να λύσετε την ανίσωση f 9.9 Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι 4 9 f() 6 για κάθε,. Να βρείτε τον τύπο της αν f 9. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f αν f 4 5π π ημ, π 9. Να βρείτε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων f, f συν,,π / Μ. Παπαγρηγοράκης

27 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 9. Έστω συνεχής συνάρτηση f: Z και f., να αποδείξετε ότι f, 9. Έστω α,β, με α β για κάθε γ α,β υπάρχει κό δ, ώστε γ αδ δβ α. Να δείξετε ότι 9.4 Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] με f(α) f(β), να αποδείξετε ότι υπάρχουν γ,δ με α γ δ β, ώστε f(γ) f(δ) 9.5 Μια συνεχής συνάρτηση f: ικανοποιεί τη σχέση: f f f f4. Θα μπορούσε η f να είναι αντιστρέψιμη; π 9.6 Να δειχθεί ότι υπάρχει,, ώστε ημ α ημ α ημ α α,β, γ 9.7 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f g και συν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο π του διαστήματος, Αν f συν π, g ln Ναδείξετε ότι υπάρχει με f α gκ α, e 8, κ,e e 9.9 Οι συναρτήσεις f,g :,, είναι συνεχείς και ισχύει f g g f για κάθε,. Έστω ακόμα ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (τε), ωστε f και g 9.4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) με και f γ f δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός ώστε ο f e ln. 9.4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει ff() για κάθε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει α ώστε f α α 9.4 Έστω f: και για κάθε Να βρείτε το f5 συνεχής με f 9 ισχύει ότι f f f. ΓΕΝΙΚΕΣ 9.4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μοναδική ρίζα Δίνεται η συνάρτηση α αν f lnα αν α. Αν η f είναι συνεχής στο, να βρείτε την τιμή του α 9.44 Για μια συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ότι: 8 4 f() ημ, 6 4. Να υπολογίσετε το f() και να αποδείξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον κ (,] κ 6 ώστε f κημ κ. 6 6 με 9.45 Έστω g ημ και συν, αν g() f g() Να βρείτε α αν g() το α αν η f είναι συνεχής 9.46 Έστω συνεχής συνάρτηση f στο,4 για την οποία ισχύουν: f για κάθε,4, f, ff ff4 Να αποδείξετε ότι: f για κάθε,4, Η συνάρτηση gf ff έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. Η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη.

28 4 ο ΓΛΧ Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g :, με g και f() g() f() g() Να βρείτε το f Αν f για κάθε,4 δείξετε ότι: να α) Η εξίσωση ff έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. β) g για κάθε, Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:(,) για την οποία ισχύουν f() και ημ( ) ( )f() για κάθε (,) Να βρείτε το σύνολο τιμών της h() f() ln Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση f() της συνάρτησης g() e τέμνει την ευθεία y σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη (,) β - α 9.49 Έστω η συνάρτηση g() 5 ορισμένη στο α,β. Αν ισχύει 4α β fg f(α) 5 όπου f είναι μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο, να δείξετε ότι υπάρχει ο [α,β] ώστε f( ο) f(g( ο)) 9.5 A) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και σε διάστημα Δ. Αν α,β,γ Δ με α β γ, να αποδείξετε ότι: ή f(α) f(β) f(γ) ή f(γ) f(β) f(α) B) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και στ Δ, να αποδείξετε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ. 9.5 Έστω f: συνάρτηση, ώστε f ημ,. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει f αf β να αποδείξετε ότι αβ. 9.5 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, γνήσια μονότονη και ισχύει ff() 4 f για κάθε. Να δείξετε ότι: Α. η f είναι Β. Aν η f είναι γν. μονότονη τότε είναι γν. φθίνουσα Γ. υπάρχει ώστε f Δ. f 9.5 Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο και ισχύει η σχέση f 4f 6f 6 για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, 9.54 Η ανάβαση - όπως και η κατάβαση - στην ψηλότερη κορυφή του Ολύμπου διαρκεί 6 ώρες. Ένας ορειβάτης ξεκινάει την ανάβαση στις 6 το πρωί και χωρίς να σταματήσει βρίσκεται σε 6 ώρες στην κορυφή. Την άλλη μέρα ξεκινάει στις 6 το πρωί την κατάβαση, σε 6 ώρες, ακολουθώντας την ίδια διαδρομή, επιστρέφει στη βάση. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής όπου βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δύο ημέρες 9.55 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β με f α,β. Για κάθε,,,,...,v α,β πάρχουν ξ, ξ α,β f ξ να αποδείξετε ότι υ- ώστε f f f... f v v ν f ξ f f f... f v Μ. Παπαγρηγοράκης