1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης 6.Υποκτάστση προιόντων στο κόστος 7.Ομογενείς συνρτήσεις κόστους 8.Ελστικότητ υποκτάστσης προϊόντων 9.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης προϊόντων.κόστος στθερής ελστικότητς υποκτάστσης:. Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή Θεωρούμε έν πρόβλημ πργωγής στο οποίο έν προιόν πράγετι χρησιμοποιώντς δύο συντελεστές πργωγής τους οποίους συμβτικά θ ποκλούμε κεφάλιο κι εργσί: {,} : Q Q(,) Οι συντελεστές πργωγής έχουν μονδιίες τιμές στθερές εξωγενώς κθορισμένες: {v,} ντίστοιχ. Σε προηγούμενο κεφάλιο εξετάσμε το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους. Εδώ θ θεωρήσουμε τ πρκάτω δύο προβλήμτ περιορισμένης βελτιστοποίησης: min{c v+ Q(,) q}, ελάχιστο κόστος γι πργωγή q max{q(,) C v+ c}, μέγιστη πργωγή με κόστος c Πρτήρηση. Όλη η σχετική θεωρί ισχύει κι γι το πρόβλημ βελτιστοποίησης στην κτνάλωση γι δύο γθά σε ποσότητες {,} με συνάρτηση χρησιμότητς: U U(, ) κι με μονδιίες τιμές των γθών: {v,} ντίστοιχ. Τώρ έχουμε τ προβλήμτ ελχιστοποίησης δπάνης κι μεγιστοποίησης χρησιμότητς: min{c v+ U(, ) u}, ελάχιστη δπάνη γι χρησιμότητ u max{u(, ) C v+ c}, μέγιστη χρησιμότητ με δπάνη c Στ πρπάνω προβλήμτ περιορισμένης βελτιστοποίησης τον βσικό ρόλο πίζουν οι ισοστθμικές. Υπενθυμίζουμε ότι οι συνρτήσεις πργωγής κι χρησιμότητς έχουν κοινά χρκτηριστικά τουλάχιστον όσον φορά τις ισοστθμικές τους. Γυρίζουμε στ προβλήμτ πργωγής. Θ πριστάνουμε με κεφλί τις μετβλητές κι με μικρά τις πρμέτρους κι τις βέλτιστες ποσότητες. Θ υποθέσουμε ως συνήθως ότι η συνάρτηση πργωγής είνι κνονική, δηλδή είνι γνήσι ύξουσ κι ικνοποιεί τις πρκάτω δύο συνθήκες, οι οποίες γι ύξουσες συνρτήσεις είνι ισοδύνμες μετξύ τους: Ορίζει φθίνοντ ρυθμό υποκτάστσης, οπότε κάθε επιπλέον ύξηση στη συμμετοχή του ενός συντελεστή υποκθιστά όλο κι μικρότερη μείωση στη συμμετοχή του άλλου, γι στθερή πργωγή. Είνι οιονεί κοίλη με τις πάνω στθμικές κυρτές, οπότε ενδιάμεσοι συνδυσμοί των συντελεστών είνι περισσότερο πργωγικοί πό τους κρίους. Υποθέτουμε ότι η λύση είνι εσωτερική, με την έννοι ότι στην βέλτιστη επιλογή χρησιμοποιούντι μφότεροι οι συντελεστές, οπότε θ ποτελεί σημείο επφής μις ευθείς ισοκόστους κι μις κμπύλης ισοπργωγής, οπότε σε μφότερ τ προβλήμτ θ ικνοποιείτι η γνωστή συνθήκη περιορισμένης στσιμότητς: Q C Q C Αντικθιστώντς γι το C, διπιστώνουμε έτσι ότι, στην βέλτιστη επιλογή των συντελεστών:. Οι ρυθμοί υποκτάστσης των συντελεστών στην πργωγή κι στην δπάνη συμπίπτουν: d Q v d Q 2. Το ορικό προιόν των δύο συντελεστών νά μονάδ δπάνης, είνι ίδιο: Q Q v Απόδειξη. Η πρπάνω εξίσωση είνι η γνωστή συνθήκη περιορισμένης στσιμότητς. Αλλά μπορούμε ν την δικιολογήσουμε κι πευθείς, χρησιμοποιώντς την έννοι της υποκτάστσης. Π.χ. στο πρόβλημ ελχιστοποίησης του κόστους, ν κάνουμε υποκτάστση μετβάλλοντς την συμμετοχή των συντελεστών κτά {d,d} διτηρώντς την πργωγή στθερή: dq, τότε η μετβολή του κόστους θ είνι: dc vd+ d όπου dq Qd+ Qd

Χρησιμοποιούμε διφορικά διότι μς ενδιφέρουν μόνο τ πρόσημ των μετβολών. Αντικθιστώντς το d πό την δεύτερη στην πρώτη βρίσκουμε: Q Q v Q Q dc vd+ d v d d Q Q Q v Αν ο όρος στην πρένθεση δεν είνι μηδενικός λλά είνι π.χ. γνήσι θετικός, τότε μπορούμε ν ελττώσουμε την συμμετοχή του πρώτου συντελεστή που είνι λιγότερο πργωγικός νά μονάδ δπάνης: d<, κι ν πετύχουμε μικρότερο κόστος: dc<. Το ντίθετο ν ο όρος στην πρένθεση είνι γνήσι ρνητικός. 2. Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής Τώρ θ υποθέσουμε επιπλέον ότι η συνάρτηση πργωγής είνι ομογενής ή γενικότερ ομοθετική. Συτή την περίπτωση ισχύει το πρκάτω: Βελτιστοποίηση με ομογενή συνάρτηση πργωγής Αν η συνάρτηση πργωγής είνι ομογενής ή γενικότερ ομοθετική τότε στην βέλτιστη πργωγή ο λόγος συμμετοχής των συντελεστών εξρτάτι μόνο πό το λόγω των τιμών. Μάλιστ είνι φθίνουσ συνάρτηση του λόγου των τιμών τους: k v h ίδι γι μφότερ τ προβλήμτ, Απόδειξη. Αν η Q είνι ομογενής τότε οι πράγωγοι {Q,Q } είνι ομογενείς του ίδιου βθμού κι επομένως ο λόγος τους είνι ομογενής βθμού, δηλδή εξρτάτι μόνο πό τον λόγο των μετβλητών. Συμπερίνουμε ότι στη βέλτιστη επιλογή έχουμε: v Q k k v f h Q όπου h f που είνι το ζητούμενο. Η μονοτονί είνι συνέπει του φθίνοντος ρυθμού υποκτάστσης. Πράγμτι όπως δικρίνουμε κι στο γράφημ πρπλεύρως όπου δίνουμε τη λύση ελάχιστου κόστους γι δύο διφορετικά ζεύγη τιμών, πρτηρούμε ότι ότν υξηθεί ο λόγος των τιμών v / : { 2}, τότε η ευθεί ισοκόστους γίνετι περισσότερο κτκόρυφη κι η ζήτηση του ελττώνετι ενώ του υξάνει. Πρτηρούμε τέλος ότι όλ τ πρπάνω φορούν τις ισοστθμικές των ομογενών κι επομένως ισχύουν κι γι τις ομοθετικές. 3. Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών Θεωρούμε μι ομογενή ή γενικότερ ομοθετική συνάρτηση πργωγής, οπότε σύμφων με τ πρπάνω ο λόγος της βέλτιστης ζήτησης των συντελεστών εκφράζετι ως φθίνουσ συνάρτηση του λόγου των τιμών, νεξάρτητ της δπάνης ή της πργωγής. Η ελστικότητά υτής της συνάρτησης κλείτι ελστικότητ υποκτάστσης στη ζήτηση (easticity of substitution in demand) των συντελεστών στην πργωγή: k v h σ E v / (k / ) Είνι ρνητική διότι η συνάρτηση είνι φθίνουσ, κι έχει την εξής ερμηνεί: Αύξηση του v κτά % ή μείωση του κτά %, θ προκλέσει μετβολή του λόγου k / κτά σ%. Πρτήρηση. Στις εφρμογές η ελστικότητ υποκτάστσης εκφράζετι συνήθως ως θετικό μέγεθος πίρνοντς το ρνητικό του πρπάνω, που είνι ίδιο με το ν πάρουμε τον λόγο των τιμών ντίθετο πό τον λόγο των συντελεστών. Όσον φορά τις δπάνες στους δύο συντελεστές: ck vk, c πρτηρούμε ότι ο λόγος τους επίσης θ εξρτάτι μόνο πό το λόγο των τιμών: ck v k v v h c Συμπερίνουμε ειδικά ότι: 2 2

Αν η πργωγή είνι ομογενής ή γενικότερ ομοθετική συνάρτηση των συντελεστών, τότε η εξάρτηση του λόγου των δπνών c k / c vk / πό τον λόγο των τιμών v / είνι: στθερή, ύξουσ, φθίνουσ η πρπάνω υποκτάστση είνι ισοελστική, νελστική, ελστική, ντίστοιχ. Δηλδή, ν υξηθεί ο λόγος των τιμών v /, τότε ο λόγος των δπνών c k / c θ υξηθεί ν η ποσοστιί μείωση του k / είνι μικρότερη πό την ποσοστιί ύξηση του v /, κι θ ελττωθεί στην ντίθετη περίπτωση. Απόδειξη. Από την ιδιότητ της ελστικότητς γινομένου, βρίσκουμε ότι η ελστικότητ του λόγου των δπνών ως προς τον λόγο των τιμών είνι: E v/ (c k / c ) E v/ (k / ) + E v/ (v / ) σ+ Είνι θετική, κι επομένως η συνάρτηση ύξουσ, ν η υποκτάστση ικνοποιεί σ+ > σ>, δηλδή ν είνι νελστική δεδομένου ότι είνι ρνητική. Αντίστοιχ γι τις άλλες περιπτώσεις. Πράδειγμ. Η συνάρτηση πργωγής τύπου Cobb-Dougas: β Q είνι ομογενής βθμού s + β. Ειδικά όσον φορά την ελστικότητ υποκτάστσης, βρίσκουμε γι τον λόγο ζήτησης των συντελεστών: Q v v Q βk Λύνοντς ως προς το λόγο των συντελεστών κι των δπνών, βρίσκουμε: k k v vk σ, β v β β Συμπερίνουμε ότι: Αν η συνάρτηση πργωγής είνι τύπου Cobb-Dougas, τότε η υποκτάστση των συντελεστών είνι ισοελστική, δηλδή ο λόγος ζήτησης των συντελεστών μετβάλλετι ντιστρόφως νάλογ των τιμών κι ο λόγος δπνών πρμένει στθερός. β eontief:min{,β} Q q Q q C C C Q q U B Cobb-Dougas: β Γρμμική: + β ελχιστοποίηση κόστους: min{c v+ Q Q(,) q} {,} A C Σε ντίθεση με την συνάρτηση τύπου C-D που έχει ισοελστική υποκτάστση, θεωρούμε τις πρκάτω κρίες περιπτώσεις: Πράδειγμ2. Η συνάρτηση πργωγής τύπου eontief-min, έχει μηδενική ελστικότητ υποκτάστσης: Q min{,β} σ διότι λόγω της τεχνολογίς, οι συντελεστές χρησιμοποιούντι στην στθερή νλογί: k β β νεξάρτητ των τιμών, όπως φίνετι στο πρώτο γράφημ πρπάνω. Λέμε ότι οι συντελεστές είνι τέλει συμπληρώμτ (pefect compements) στην πργωγή. Πράδειγμ3. Η γρμμική συνάρτηση πργωγής έχει άπειρη ελστικότητ υποκτάστσης: Q + β σ Η λύση είνι πάντοτε συνορική. Όπως φίνετι στο τρίτο γράφημ πρπάνω, γι μικρή ύξηση στο λόγο των τιμών v / έχουμε μεγάλη μείωση στο λόγο συμμετοχής k / πό την τιμή στη θέση A στη τιμή στη θέση B. Λέμε ότι οι συντελεστές είνι τέλει υποκτάσττ (pefect substitutes) στην πργωγή. 3

4 Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης Διπιστώσμε πρπάνω ότι οι ειδικές συνρτήσεις: {eontief-min, C-D, Γρμμική} έχουν στθερές ελστικότητες υποκτάστσης, λλά με κρίες τιμές:,, ντίστοιχ. Στη συνέχει θ εξετάσουμε μι γενικότερη κτηγορί συνρτήσεων πργωγής με στθερές λλά ενδιάμεσες ελστικότητες υποκτάστσης. Οι πλούστερες συνρτήσεις με στθερή ελστικότητ υποκτάστσης είνι οι συνρτήσεις της μορφής: ρ ρ + β με >,β > ή γενικότερ ύξοντες μετσχημτισμοί τους. Οι συνρτήσεις υτές χωρίζοντι σε τρεις κτηγορίες, νάλογ με τις τιμές του εκθέτη: ρ<, < ρ<, < ρ Οι δύο πρώτες έχουν φθίνοντ ρυθμό υποκτάστσης κι μπορούν ν χρησιμοποιηθούν ως κνονικές συνρτήσεις πργωγής. Πρτήρηση. Το μόνο πρόβλημ είνι ότι η κτηγορί με ρ< ποτελείτι πό φθίνουσες συνρτήσεις διότι έχει ρνητικές μερικές πργώγους. Μπορούμε ν τις κάνουμε ύξουσες πίρνοντς τις νάστροφές τους, π.χ. ( + ) ντί της + Υπενθυμίζουμε όμως ότι η ελστικότητ υποκτάστσης φορά τις ισοστθμικές, οπότε οι εξρτημένες συνρτήσεις ορίζουν την ίδι ελστικότητ υποκτάστσης, κι έτσι γι την μθημτική λύση του προβλήμτος δεν χρειάζετι ν κτφύγουμε στις νάστροφες. Πίρνοντς υπόψη κι την πρτήρηση θεωρούμε συνρτήσεις πργωγής που έχουν ως κμπύλες ισοπργωγής τις ισοστθμικές των συνρτήσεων: ρ ρ Q ɶ + β με {ρ <,ρ }, δηλδή {ρ< ή < ρ< } Οι βέλτιστες ποσότητες των συντελεστών, θ ικνοποιούν τη σχέση: ρ Qɶ v k v Qɶ β Λύνοντς ως προς το λόγο των συντελεστών κι στη συνέχει ως προς τον λόγο των δπνών, βρίσκουμε: ρ k β v c ρ ρ k k v β v, c Έχουμε στθερή ελστικότητ υποκτάστσης των συντελεστών: σ E v/ (k / ) <, όπου {ρ<,ρ } Σύμφων με την πρπάνω νάλυση δικρίνουμε δύο περιπτώσεις, ως εξής:. ρ< σ <, νελστική υποκτάστση Κθώς ο λόγος των μοιβών v / υξάνει, ο λόγος συμμετοχής των συντελεστών k / μειώνετι λλά σε μικρότερο ποσοστό, οπότε ο λόγος των δπνών c k / c υξάνει. Δηλδή η σχετική ζήτηση των συντελεστών δεν είνι ευίσθητη ως προς τις σχετικές τιμές τους, όπως φίνετι στο πρώτο γράφημ. Πρτηρούμε ότι: οι συντελεστές είνι σε μεγάλο βθμό συμπληρωμτικοί, οι λύσεις είνι ενδιάμεσες σχεδόν στθερές, κι η συμμετοχή ενός συντελεστή στην δπάνη υξάνει ότν υξάνει η τιμή του. νελστική ρ< ελστική < ρ< ɶ Q + ρ,σ.5 ɶ /2 /2 Q + ρ / 2,σ 2 στθερή ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4

2. < ρ< σ >, ελστική υποκτάστση. Κθώς ο λόγος των μοιβών v / υξάνει, ο λόγος συμμετοχής των συντελεστών k / μειώνετι κι μάλιστ σε μεγλύτερο ποσοστό, οπότε ο λόγος των δπνών c k / c μικρίνει. Δηλδή, η σχετική ζήτηση των συντελεστών είνι ευίσθητη ως προς τις σχετικές τιμές τους, όπως φίνετι στο δεύτερο γράφημ πρπάνω. Πρτηρούμε ότι: οι συντελεστές είνι σε μεγάλο βθμό υποκτάσττοι, οι λύσεις είνι κρίες, σχεδόν συνορικές, κι η συμμετοχή ενός συντελεστή στην δπάνη ελττώνετι ότν υξάνει η τιμή του. 5. Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης (CES) Οι συνρτήσεις με στθερή ελστικότητ υποκτάστσης που εξετάσμε πρπάνω είνι ομογενείς βθμού ρ. Γι την κάθε περίπτωση μπορούμε ν εξσφλίσουμε οιοδήποτε βθμό ομογένεις s>, πίρνοντς κτάλληλες δυνάμεις. Βρίσκουμε έτσι την γενικότερη κτηγορί συνρτήσεων πργωγής της μορφής: ρ ρ s/ρ Q ( + β ) με ρ<, s> Είνι όλες ύξουσες, οιονεί κοίλες με φθίνοντ ρυθμό υποκτάστσης, ομογενείς βθμού s>. Είνι κι κοίλες ν s. Κλούντι συνρτήσεις στθερής ελστικότητς υποκτάστσης (constant easticity of substitution: CES). Έχουν την ίδι στθερή ελστικότητ υποκτάστσης όπως κι οι συνρτήσεις που μελετήσμε προηγουμένως: σ <, με ρ<,ρ διότι ορίζουν τον ίδιο ρυθμό υποκτάστσης ως λληλοεξρτημένες. Πρτήρηση. Γενικά το μέτρο της ελστικότητς υποκτάστσης υξάνει πό το στο κθώς το ρ υξάνει πό το μέχρι το. Μάλιστ στ όρι βρίσκουμε τις ειδικές συνρτήσεις με στθερή ελστικότητ υποκτάστσης που νφέρμε προηγουμένως:. eontief ρ ρ /ρ ρ : [() + (β) ] min{,β} με σ 2. Cobb-Dougas + β ρ ρ β ρ : [ + β ] με σ 3. Γρμμική ρ ρ /ρ ρ : ( + β ) + β με σ ρ Τον βθμό ομογένεις μπορούμε σε κάθε περίπτωση ν τον ρυθμίσουμε υψώνοντς στην κτάλληλη δύνμη. Τ πρπάνω όρι προκύπτουν με χρήση του κνόν Hopita.. Στο πρκάτω σχήμ δείχνουμε πως υξάνει το μέτρο της ελστικότητς υποκτάστσης κθώς υξάνει ο εκθέτης ρ, ρχίζοντς με πλήρως συμπληρωμτικούς συντελεστές μηδενικής ελστικότητς υποκτάστσης κι κτλήγοντς σε πλήρως υποκτάσττους συντελεστές με άπειρη ελστικότητ υποκτάστσης. Κλύπτουμε έτσι όλο το φάσμ τιμών της ελστικότητς υποκτάστσης πό το ως το. Ενδεικτικά δίνουμε κι πό ένν τύπο στην κάθε κτηγορί, βθμού ομογένεις ρ ρ< ρ < ρ< ρ min{x,y} (x + y ) xy 2 ( x + y ) x+ y eontief C-D Γρμμική σ < σ< σ σ< σ νελστικότητ ισοελστικότητ ελστικότητ κμπύλες ισοπργωγής CES 5

Θ λύσουμε το πρόβλημ βελτιστοποίησης στην πργωγή με συνρτήσεις πργωγής τύπου CES τις οποίες εδώ θ πρστήσουμε στην ενλλκτική μορφή: ρ ρ ρ s/ρ Q Q [() + (β) ] ρ Q β Θ εξετάσουμε το πρόβλημ ελχιστοποίησης του κόστους κθώς κι το συμμετρικό του μεγιστοποίησης της πργωγής. Πράδειγμ4. min{c v+ Q [() + (β) ] q}, ρ Q v v v ρ β Q β β ρ ρ ρ/ s Q q [() (β) ] q + ρ ρ s/ρ () + (β) q Αντικθιστώντς πό την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη, βρίσκουμε τη λύση: /ρ /ρ / s / s q v v q v k, v + + β β β Αντικθιστώντς στη συνάρτηση κόστους βρίσκουμε το ελάχιστο κόστος κι στη συνέχει το ορικό κόστος που δίνετι πό τον πολλπλσιστή agange: / / / s v c v s c q, λ q + + β q s β ρ όπου με ρ< ρ Πράδειγμ5. max{q [() + (β) ] C v+ c}, ρ ρ ρ Q v v v ρ Q v β β C c v c + v+ c Αντικθιστώντς πό την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη, βρίσκουμε τη λύση: c v v c v ρ k, v + + β β, β ρ Αντικθιστώντς στη ρχική συνάρτηση πργωγής βρίσκουμε τη μέγιστη πργωγή κι το ορικό προιόν: s/ s/ s v q s v q c,μ sc + + β c β Σε μφότερες τις περιπτώσεις βρίσκουμε γι τον λόγο ζήτησης συντελεστών κι γι την ελστικότητ υποκτάστσης, τον ίδιο τύπο που βρήκμε κι προηγουμένως: ρ k β v σ Πρτήρηση. Χρησιμοποιήσμε δύο ενλλκτικές μορφές των συνρτήσεων CES: ρ ρ s/ρ ρ ρ s/ρ ( + β ), [() + (β) ] Είνι ισοδύνμες με κτάλληλο μετσχημτισμό των συντελεστών {,β}. 6. Υποκτάστση προιόντων στο κόστος Θεωρούμε μι σύνθετη πργωγή με δύο πργόμεν προϊόντ σε ποσότητες {,}, με συνάρτηση κόστους: C C(, ) κι με μονδιίες τιμές στθερές εξωγενώς κθορισμένες {v,}. Σε προηγούμενη κεφάλιο εξετάσμε το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους. Εδώ θεωρούμε τ πρκάτω δύο προβλήμτ περιορισμένης βελτιστοποίησης στην πργωγή: 6

max{r v+ C(, ) c}, μέγιστο έσοδο γι δοσμένο κόστος min{c(, ) R v+ }, ελάχιστο κόστος γι δοσμένο έσοδο Υποθέτουμε τη συνάρτηση κόστους κνονική με την έννοι ότι είνι γνήσι ύξουσ κι ικνοποιεί τις πρκάτω δύο ισοδύνμες μετξύ τους συνθήκες που φορούν τις κμπύλες ισοκόστους: Ορίζει ύξοντ ρυθμό υποκτάστσης, οπότε κάθε επιπλέον ύξηση στην πργωγή του ενός προϊόντος πιτεί όλο κι μεγλύτερη μείωση στην πργωγή του άλλου προκειμένου ν διτηρηθεί το κόστος στθερό. Είνι οιονεί κυρτή με τις κάτω στθμικές κυρτές, οπότε ενδιάμεσοι συνδυσμοί ποσοτήτων πργωγής των προϊόντων έχουν μικρότερο κόστος πό τους κρίους. Υποθέτουμε ότι η λύση είνι εσωτερική, με την έννοι ότι στην βέλτιστη επιλογή πράγοντι μφότερ τ προιόντ, οπότε θ ποτελεί σημείο επφής μις κμπύλης ισοκόστους κι μις κμπύλης ισοεσόδου, δηλδή θ ικνοποιείτι η γνωστή συνθήκη περιορισμένης στσιμότητς: R C R C Διπιστώνουμε έτσι ότι, στην βέλτιστη πργωγή των προιόντων:. Οι ρυθμοί υποκτάστσης των προιόντων στο κόστος κι στο έσοδο συμπίπτουν: d C v d C 2. Το ορικό έσοδο των δύο προιόντων νά μονάδ κόστους, είνι ίδιο: v C C Αν τ πρπάνω δεν είνι ίσ τότε όπως κι προηγουμένως μπορούμε ν υποκτστήσουμε μετξύ τους κι ν πετύχουμε μεγλύτερο έσοδο με το ίδιο κόστος ή μικρότερο κόστος με το ίδιο έσοδο ντίστοιχ. Στο πρκάτω σχήμ δίνουμε την γρφική λύση των δύο προβλημάτων. Όπως διπιστώνουμε στο πρώτο γράφημ, κθώς η τιμή v του υξάνει σχετικά, η ευθεί ισοεσόδου γίνετι πιο κτκόρυφη κι η πργωγή μεττοπίζετι προς περισσότερο κι λιγότερο. Μάλιστ ν υξηθεί ρκετά τότε όπως φίνετι στο πρώτο γράφημ υπό ορισμένες συνθήκες θ πράγετι μόνο, δηλδή η λύση θ είνι συνορική κι δεν θ ικνοποιείτι η πρπάνω συνθήκη στσιμότητς. Στο δεύτερο γράφημ δείχνουμε τη λύση ελάχιστου κόστους γι επιδιωκόμενο έσοδο. C c μεγιστοποίηση εσόδου βελτιστοποίηση με υποκτάστση προϊόντων 7. Ομογενείς συνρτήσεις κόστους Τώρ θ υποθέσουμε επιπλέον ότι η συνάρτηση κόστους είνι ομογενής, ή γενικότερ ομοθετική. Τότε η λύση κι στ δύο προβλήμτ έχει την πρκάτω ιδιότητ: Βελτιστοποίηση με ομογενή συνάρτηση κόστους Αν η συνάρτηση κόστους είνι ομογενής ή γενικότερ ομοθετική, τότε σε μφότερ τ προβλήμτ ο λόγος βέλτιστης συμμετοχής των προιόντων στην πργωγή εξρτάτι μόνο πό το λόγω των τιμών. Μάλιστ είνι ύξουσ συνάρτηση του λόγου των τιμών τους: x v h y ίδι γι μφότερ τ προβλήμτ. Αποδεικνύετι όπως κι η ντίστοιχη ιδιότητ στην υποκτάστση μετξύ συντελεστών πργωγής που εξετάσμε πρπάνω 8. Ελστικότητ υποκτάστσης προϊόντων Θεωρούμε μι ομογενή ή γενικότερ ομοθετική συνάρτηση κόστους, οπότε σύμφων με τ πρπάνω ο λόγος προσφοράς των προϊόντων εκφράζετι ως ύξουσ συνάρτηση του λόγου των τιμών, νεξάρτητ της 7 C R ελχιστοποίηση κόστους

επιτρεπτής δπάνης ή του επιδιωκόμενου εσόδου. Η ελστικότητά υτής της συνάρτησης κλείτι ελστικότητ υποκτάστσης στην προσφορά (easticity of substitution in suppy): x v h σ E v/ (x / y) y Είνι θετική διότι η συνάρτηση είνι ύξουσ, κι έχει την εξής ερμηνεί: Αύξηση της τιμής v κτά % ή μείωση της τιμής κτά %, θ προκλέσει μετβολή του λόγου x / y κτά σ%. Πρτήρηση. Στις εφρμογές ο λόγος των τιμών εκφράζετι συνήθως ντίθετ πό τον λόγο των προϊόντων. Συτή την περίπτωση η ελστικότητ υποκτάστσης θ είνι η ρνητική της πρπάνω κι επομένως θ έχει ρνητικό πρόσημο. Πράδειγμ6. Η τετργωνική συνάρτηση κόστους: 2 2 C + είνι ομογενής βθμού 2, με ρυθμό υποκτάστσης: C C Γι την ελστικότητ υποκτάστσης προϊόντων, βρίσκουμε: C v x v σ C y Έχουμε ισοελστικότητ υποκτάστσης. Ο λόγος προσφοράς προϊόντων είνι νάλογος του λόγου των τιμών. Σε ντίθεση με την πρπάνω, θεωρούμε τις πρκάτω κρίες περιπτώσεις:. Συνάρτηση κόστους τύπου eontief-max, με μηδενική ελστικότητ υποκτάστσης: C max{,β} σ Λέμε ότι τ προϊόντ είνι τέλει συμπληρώμτ (pefect compements) στο κόστος. Ο λόγος συμμετοχής τους είνι στθερός. Λόγω της τεχνολογίς, τ προϊόντ πράγοντι στην στθερή νλογί β / β /, νεξάρτητ των τιμών, όπως φίνετι στο πρώτο γράφημ του πρκάτω σχήμτος.. 2. Γρμμική συνάρτηση κόστους με άπειρη ελστικότητ υποκτάστσης: C + β ε sub + Λέμε ότι τ προϊόντ είνι τέλει υποκτάσττ (pefect substitutes) στο κόστος. Η λύση είνι πάντοτε συνορική. Όπως φίνετι στο πρώτο γράφημ πρκάτω, γι μικρή ύξηση στο λόγο των τιμών v / έχουμε μεγάλη ύξηση στο λόγο συμμετοχής x / y πό την τιμή στη θέση A στη τιμή στη θέση B. A C c B U C c β C c Γρμμική: + β Τετργωνική: + eontief:max{,β} 2 2 μεγιστοποίηση εσόδου: max{r v+ C C(,) c} 9. Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης προϊόντων Διπιστώσμε ότι οι ειδικές συνρτήσεις κόστους: {Γρμμική, Τετργωνική, eontief-max}, έχουν στθερές ελστικότητες υποκτάστσης λλά με κρίες τιμές:,, Οι πλούστερες συνρτήσεις με στθερή ελστικότητ υποκτάστσης είνι οι συνρτήσεις της μορφής: ρ ρ + β με >,β > Οι συνρτήσεις υτές χωρίζοντι σε τρεις κτηγορίες, νάλογ με τις τιμές του εκθέτη: 8

ρ<, < ρ<, < ρ Οι δύο πρώτες έχουν φθίνοντ ρυθμό υποκτάστσης κι χρησιμοποιήθηκν πρπάνω ως κνονικές συνρτήσεις πργωγής. Η τρίτη κτηγορί ποτελείτι πό συνρτήσεις με ύξοντ ρυθμό υποκτάστσης, κι μπορούν ν χρησιμοποιηθούν ως συνρτήσεις κόστους: ρ ρ C + β με ρ> Οι βέλτιστες ποσότητες των προϊόντων, θ ικνοποιούν τη σχέση: C v x v C βy Λύνοντς ως προς το λόγο των προϊόντων, βρίσκουμε: x β v y με ρ> Έχουμε στθερή ελστικότητ υποκτάστσης των προιόντων: σ E v/ (x / y) > Η σχέση είνι ελστική ν < ρ< 2, νελστική ν ρ> 2, ισοελστική ν ρ 2. Όπως κι στο προηγούμενο πρόβλημ υποκτάστσης συντελεστών, βρίσκουμε τ πρκάτω. Κόστος στθερής ελστικότητς υποκτάστσης προιόντων Δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. < ρ< 2 σ>, ελστική υποκτάστση Κθώς ο λόγος των τιμών v / υξάνει, ο λόγος προσφοράς των προιόντων x / y υξάνει κτά κόμη μεγλύτερο ποσοστό. Δηλδή, η σχετική προσφορά των προιόντων είνι ευίσθητη ως προς τις τιμές τους, όπως φίνετι στο πρώτο γράφημ πρκάτω. Τ προιόντ είνι σε μεγάλο βθμό υποκτάσττ κι οι λύσεις είνι κρίες, σχεδόν συνορικές. 2. ρ> 2 σ<, νελστική υποκτάστση Κθώς ο λόγος των τιμών v / υξάνει, ο λόγος προσφοράς των προιόντων x / y υξάνει λλά σε μικρότερο ποσοστό. Δηλδή η σχετική προσφορά των προιόντων δεν είνι ευίσθητη ως προς τις τιμές τους, όπως φίνετι στο δεύτερο γράφημ πρκάτω. Τ προιόντ είνι σε μεγάλο βθμό συμπληρωμτικά κι οι λύσεις είνι ενδιάμεσες σχεδόν στθερές. ελστική < ρ< 2 3/ 2 3 / 2 C + ρ 3 / 2,σ 2 νελστική ρ> 2 3 3 C + ρ 3,σ.5 στθερή ελστικότητ υποκτάστσης προιόντων. Κόστος στθερής ελστικότητς υποκτάστσης Οι πρπάνω συνρτήσεις με στθερή ελστικότητ υποκτάστσης είνι ομογενείς βθμού ρ. Μπορούμε ν εξσφλίσουμε οιοδήποτε βθμό ομογένεις s>, πίρνοντς κτάλληλες δυνάμεις. Βρίσκουμε έτσι την γενικότερη κτηγορί συνρτήσεων κόστους της μορφής: C ( + β ) με ρ> Είνι όλες ύξουσες, οιονεί κυρτές με ύξοντ ρυθμό υποκτάστσης, ομογενείς βθμού s>. Είνι κι κυρτές ν s, γνήσι ν s>. Κλούντι συνρτήσεις στθερής ελστικότητς υποκτάστσης (constant easticity of substitution: CES). Έχουν την ίδι στθερή ελστικότητ υποκτάστσης με τις προηγούμενες: σ > διότι ορίζουν τον ίδιο ρυθμό υποκτάστσης ως λληλοεξρτημένες. 9

Πρτήρηση. Γενικά το μέτρο της ελστικότητς υποκτάστσης προιόντων ελττώνετι κθώς το ρ υξάνει. Μάλιστ στ όρι βρίσκουμε τις ειδικές συνρτήσεις με στθερή ελστικότητ υποκτάστσης που νφέρμε προηγουμένως: + ρ ρ. ρ : + β + β με σ + ρ ρ ρ /ρ 2. ρ + : [() + (β) ] max{,β} με σ Η πόδειξη γι το 2 βσίζετι στην εφρμογή του κνόν Hopita. Στο πρκάτω σχήμ δείχνουμε πως ελττώνετι το μέτρο της ελστικότητς υποκτάστσης κθώς υξάνει ο εκθέτης ρ, ρχίζοντς με πλήρως υποκτάσττ προιόντ άπειρης ελστικότητς υποκτάστσης κι κτλήγοντς σε πλήρως συμπληρωμτικά προιόντ με μηδενική ελστικότητ υποκτάστσης. Κλύπτουμε έτσι όλο το φάσμ τιμών της ελστικότητς υποκτάστσης πό το ως το. Ενδεικτικά δίνουμε κι πό ένν τύπο στην κάθε κτηγορί, βθμού ομογένεις ρ < ρ< 2 ρ 2 ρ> 2 ρ+ + 3 / 2 3 / 2 2 / 3 ( + ) 2 2 / 2 ( + ) 3 3 / 3 ( + ) max{,} γρμμική τετργωνική eontief σ+ σ> σ < σ< σ ελστικότητ ισοελστικότητ νελστικότητ κμπύλες ισοκόστους συνρτήσεων CES Πρτήρηση. Θεωρούμε τ δύο προβλήμτ βελτιστοποίησης με υποκτάστση προιόντων: ρ ρ s/ρ. max{r v+ C [() + (β) ] c}, 2. min{c [() + (β) ] R v+ }, Η νλυτική μορφή των λύσεων είνι κριβώς ίδι με τις λύσεις στ προβλήμτ βελτιστοποίησης με υποκτάστση συντελεστών κι συνάρτηση πργωγής τύπου CES που εξετάσμε πρπάνω, με την κτάλληλη ντιστοιχί συμβόλων:. min{c v+ Q [() + (β) ] q}, 2. max{q [() + (β) ] C v+ c}, Βέβι οι ιδιότητες των λύσεων είνι διφορετικές διότι τώρ έχουμε ρ>. Πρτήρηση. Θεωρούμε μι συνάρτηση πργωγής: Q(,) Στις περιλήψεις, κεφάλιο., ορίσμε την ελστικότητ υποκτάστσης ως την ελστικότητ του λόγου / ως προς τον ρυθμό υποκτάστσης d / d κτά μήκος των ισοστθμικών: Q(,) q σ E ( / ) d/d Στο πρόν κεφάλιο ορίσμε την ελστικότητ υποκτάστσης ως την ελστικότητ της βέλτιστης συμμετοχής των συντελεστών ως προς τον λόγο των τιμών τους, στο πρόβλημ βελτιστοποίησης στην πργωγή: minx{c v+ Q(,) q} σ2 E v/ ( / ) Θ δείξουμε τώρ ότι οι δύο έννοιες της ελστικότητς διφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο: σ σ2 Το ίδιο ισχύει όσον φορά την συνάρτηση κόστους στην πργωγή δύο προιόντων: max{r v+ ) C(, ) c} σ E ( / ) 2 v/

Δηλδή, όπως θ διπιστώσουμε στην πρκάτω πόδειξη: η ελστικότητ υποκτάστσης όπως ορίστηκε στο κεφάλιο. των περιλήψεων φορά την ελστικότητ του βέλτιστου λόγου συμμετοχής των συντελεστών ή των προιόντων νάλογ, λλά ως προς το νάστροφο του λόγου των τιμών τους. Απόδειξη. Πρτηρούμε κτρχήν ότι δεν πίζει ρόλο η σειρά εμφάνισης των μετβλητών, δηλδή έχουμε: σ2 E v/( / ) E /v ( / ) Πράγμτι πό τις ιδιότητες σύνθεσης της ελστικότητς {κεφ6.7 στις περιλήψεις της θεωρίς} προκύπτει η σχέση: %dβ %dβ %dβ %d %dβ %dβ ( ) ( ) %d %dβ %d %d %d %d δηλδή E (β ) Ε (β )Ε (β)ε () ( )Ε (β)( ) Ε (β) β 2. Διπιστώνουμε πό τη σχέση περιορισμένης στσιμότητς: d Q v d Q ότι ο λόγος των τιμών είνι το ρνητικό του ρυθμού υποκτάστσης, οπότε έχουμε: σ E ( / ) E ( / ) E ( / ) E ( / ) σ d/d v/ v/ /v 2 όπου η τρίτη ισότητ ισχύει διότι το πρόσημο δεν πίζει ρόλο στην ελστικότητ, ενώ η τέτρτη ισότητ ισχύει διότι στην νστροφή της μις μετβλητής λλάζει το πρόσημο της ελστικότητς {κεφ6.7}. Πράγμτι έχουμε: %dβ %dβ %dβ %dβ %d %dβ %dβ, ( ) %d( ) %d %d %d %d %d %d δηλδή E (β) Ε (β), Ε (β) Ε (β)ε () Ε (β)( ) Ε (β)