ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER ω Γιατοσύνολοτωνορθογωνίωναναλογικώνεκθετικώνπεριοδικώνσηµάτων e, για, ±, ±, ±3, παρατηρούµεότι j e e j ω jm, ω e jω e jmω d,, m m δ ( m e j ω Ταεκθετικάσήµατα,,, ±, ±,..., σεοποιοδήποτεπεπερασµένοχρονικά διάστηµα [, + ], διάρκειας π/ω, καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα εκθετικά σήµατακαισχηµατίζουνέναορθογώνιοσύνολο. Εποµένως κάθε σήµα ( στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται ( + e jω + j ω ( e o d Εξίσωση σύνθεσης Εξίσωση ανάλυσης
Στο ανάπτυγµα σε σειρά Fourier, η εξίσωση ανάλυσης + jω e ( Σεραφείµ Καραµπογιάς αναλύειένασήµα (στοδιάστηµα [, +], (ήστοδιάστηµα (-, αντοσήµα είναι περιοδικό, σε ένα διακριτό φάσµα περιοδικών εκθετικών σηµάτων µε συχνότητες ω, µεπλάτοςα. jω ( e d Όταντοσήµα ( είναισήµατάσηςηµονάδαµέτρησηςτωνσυντελεστών Vols. είναι Με άλλα λόγια το ανάπτυγµα Fourier των περιοδικών σηµάτων αναπαριστά περιοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόπο αυτό αποκαλύπτει το φασµατικό του περιεχόµενο. Όταν το σήµα δεν είναι περιοδικό τότε ο µετασχηµατισµός Fourier αναπαριστά το σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόπο αυτό αποκαλύπτει το φασµατικό του περιεχόµενο. ( Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 5-
ΟΜετασχηµατισµός Fourier ήτοφάσµατου ( Η συνάρτηση X(ω αποτελεί την εξίσωση ανάλυσης αναλύει ένα µη περιοδικό σήµα ( στο διάστηµα (, σ ένα συνεχές φάσµα περιοδικών εκθετικών σηµάτων και είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier (ΜFτουσήµατος (. X + jω ( ω ( e d Ο µετασχηµατισµός Fourier X(ω είναι η φασµατική πυκνότητα πλάτους. Όταν ( είναι σήµα τάσης, τότε ο X(ω έχει µονάδα µέτρησης Vols ανά µονάδα συχνότητας. ( + j ω ω X ( e dω π Η εξίσωση αποτελεί την εξίσωση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χρόνου Ακριβέστερα, µετασχηµατισµός Fourier είναι ο κανόνας εύρεσης της X(ω από την (. Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 5-3
Ο µετασχηµατισµός Fourier παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίοσυχνότητας. Με το µετασχηµατισµό Fourier αναλύουµε µη περιοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόπο αυτό αποκαλύπτεται το φασµατικό τους περιεχόµενο. Παράδειγµα Ναυπολογιστείοµετασχηµατισµός Fourier τουορθογώνιουπαλµούδιάρκειας. Απάντηση: (, < (, αλλιώς X( ω ( ω si ω π X ( ω π ω Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 5-4
( A X ( f A A y ( A Y( f A 3 f A ˆ ( Xˆ ( f 3 f A A A 3 f Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 5-5
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ -ΣΕΙRA FOURIER Υπάρχουν Ν το πλήθος διαφορετικά µιγαδικά εκθετικά σήµατα διακριτού χρόνου τα οποία σχηµατίζουνέναορθογώνιοσύνολο, δηλαδή, είναιανάδύοορθογώνια. j j m e Ω, e Ω e j Ω e jmω ( m Ω e j,, m m δ ( m Τα περιοδικά σήµατα διακριτού χρόνου παριστάνονται µε πεπερασµένα αθροίσµατα. ( π j e π j ( e εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Το ζεύγος των εξισώσεων αυτών ορίζουν τη σειρά Fourier διακριτού χρόνου (discree ime Fourier series (DF του περιοδικού σήµατος διακριτού χρόνου (. Οι συντελεστέc καλούνται συντελεστές Fourier ή όπως θα δούµε φασµατικές γραµµές. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6
Παράδειγµα Να βρεθεί η παράσταση σε σειρά Fourier διακριτού χρόνου του περιοδικού ορθογώνιου κύµατος, (, < < Απάντηση si [ π ( ] + π si(,,, ή, ±, ±, +, ±, ±, Περιβάλλουσα si (+ ( Ω / si( Ω / [ ] π π π Το περιοδικό ορθογώνιο κύµα και το γινόµενο των συντελεστών της σειράς Fourier διακριτού χρόνου επί το πλήθοςτωνδειγµάτων τουπεριοδικούορθογώνιουκύµατοςγια και. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-7
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ( π X ( Ω e dω jω π X ( Ω ( e jω Σεραφείµ Καραµπογιάς Οι εξισώσεις σύνθεσης και ανάλυσης για το µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου (discree ime Fourier rsform (DF εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Ηεξισώσηεκφράζειτηνανάλυσητουσήµατοςδιακριτούχρόνου ( σεεκθετικάσήµατα e jω τα οποία εκτείνονται σε ένα συνεχές φάσµα κυκλικών συχνοτήτων Ω περιορισµένο στο διάστηµα Ω< π. Η συνάρτηση X(Ω είναι ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου συχνά αναφέρεται και ως φάσµα του ( γιατί περιέχει την πληροφορία πως το ( συντίθεται από εκθετικά σήµατα διαφορετικών συχνοτήτων. Το φασµατικό περιεχόµενο στο απειροστό διάστηµα συχνοτήτων [Ω, Ω + dω] είναι X(Ω και η συνεισφορά των συχνοτήτων [Ω, Ω + dω] έχει πλάτος X(Ω(dΩ/π. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-8
Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου Απάντηση ( ( u ( < C X ( Ω e j < < Ω X (Ω 4 4 8 ( 4 4 8 < < π π + π π π Ω X (Ω π + π π Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-9 Ω
Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα διακριτού χρόνου (, του οποίου ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτούχρόνουείναιορθογώνιοπεριοδικόκύµα. X ( Ω,, Ω W W < Ω π π X (Ω π W W π π Ω Απάντηση ( si ( W π ( W π π W π W Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-
Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του τετραγωνικού παλµού διακριτού χρόνου Απάντηση (,, > ( X ( Ω si[ Ω ( Ν+ ] si[ Ω ( ] X (Ω + π + π π π π Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-
Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου (, < και α R Σεραφείµ Καραµπογιάς Απάντηση X ( Ω + cos( Ω X (Ω ( + 8 6 4 4 6 8 π π π π Ω Ηακολουθία ( όταν είναιπραγµατικόςαριθµός < καιτοφάσµατης. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-
Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου έχει δύο διαφορές από το µετασχηµατισµό Fourier συνεχούς χρόνου οι οποίες οφείλονται στο γεγονός ότι τα εκθετικά σήµατα διακριτού χρόνου είναι περιοδικά µε περίοδο π. Ο X(Ω είναι περιοδικός ενώ ο X(ω όχι. Έτσι το ολοκλήρωµα στην εξίσωση σύνθεσης έχει πεπερασµένο διάστηµα ολοκλήρωσης. Στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, οι χαµηλές συχνότητες περιγράφονται από διαστήµατα µικρού εύρους κεντραρισµένα στην αρχή των συντεταγµένων, ενώ οι υψηλές συχνότητες είναι τοποθετηµένεςµακριάαπότηναρχήτωναξόνωνπροςτααριστεράήπροςταδεξιάτουάξονα συχνοτήτων. Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου η περιοδικότητα του µετασχηµατισµού Fourier επιβάλλει µία διαφορετική εικόνα. Οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν µε διαστήµατα γύρω από τη θέση Ω, ήλόγωτηςπεριοδικότηταςγύρωαπότιςθέσειςω ± π. Οιυψηλές συχνότητες τοποθετούνται κοντά σε περιοχές όπου Ω ± π ή Ω ±( + π. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-3
Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου η περιοδικότητα του µετασχηµατισµού Fourier επιβάλλει µία διαφορετική εικόνα. Οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν µε διαστήµατα γύρω από τη θέση Ω, ήλόγωτηςπεριοδικότηταςγύρωαπότιςθέσειςω ± π. ( X ( Ω 3π π π π π 3π Ω Οι υψηλές συχνότητες τοποθετούνται κοντά σε περιοχές όπου Ω ± π ή Ω ±( + π. ( X ( Ω 3π π π π π 3π Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-4
Γραµµικότητα Χρονική µετατόπιση Ολίσθηση συχνότητας Άθροισµα ιαµόρφωση Ιδιότητες του ΜF διακριτού χρόνου + b ( X Ω + b X ( ( ( Ω ( e jω X (Ω j DF X ( Ω e Ω ( m m DF DF DF Ω e jω ( X( Ω + π X( δ( Ω π DF ( y( X ( Ω θ Y ( θ dθ π π Σεραφείµ Καραµπογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-5
Συνέλιξη Αποδεκάτιση DF ( y( X( Ω Y( Ω M ( ( M DF ( M Ω π X ιαφόριση στο πεδίο συχνότητας M M M ( j ( DF d X dω ( Ω ιαφορά DF ( ( ( e jω X( Ω Παρεµβολή M ( ( X( MΩ M Θεώρηµα Prsevl E ( DF DF X( Ω E dω π π Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6
Μετατροπή Σήµατος από Αναλογικό σε Ψηφιακό Τα σύγχρονα συστήµατα επικοινωνίας σε πολύ µεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήµατα ψηφιακής µορφής, δηλαδή, σήµατα που δηµιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα περισσότερα σήµατα στην πράξη είναι αναλογικά. Η µετάδοση των σηµάτων αυτών σε ψηφιακή µορφή απαιτεί τα αναλογικά αυτά σήµατα να µετατραπούν σε ψηφιακά. Η διαδικασία της µετατροπής αναλογικών σηµάτων σε ψηφιακά ονοµάζεται αναλογική σε ψηφιακήµετατροπή (A/D log o digil coversio ήκωδικοποιήσηςκυµατοµορφής. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές κωδικοποιήσης κυµατοµορφής, παλµοκωδική διαµόρφωση και η διαµόρφωση δέλτα. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-7
Παλµοκωδική ιαµόρφωση Η παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulio (PCM είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC M ειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής ( ( ( 4 5 6 7 8 9 3 3 4 5 6 7 8 9 3 3 Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-8
ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων περιορισµένου εύρους-ζώνης ( Το σήµα α ( είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα, και το κύριο φασµατικό περιεχόµενό του βρίσκεται στις χαµηλές συχνότητες 3 4 5 6 7 8 ( Το σήµα α ( είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές οι οποίες οφείλονται στην παρουσία συνιστωσών σε υψηλές συχνότητες 3 4 5 6 7 8 Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-9
Έστω s ( είναι η ακολουθία η οποία προέρχεται από τη δειγµατοληψία του συνηµιτονοειδούςαναλογικούσήµατος α ( A cos(ω + θ µεπερίοδοδειγµατοληψίας s. s ( ( ω + θ A cos( ω + θ ( A cos s ΑνΩ είναιηψηφιακήκυκλικήσυχνότητατότε s ( A cos(ω + θ. Συγκρίνωνταςτις δύοεκφράσειςτου s (έχουµετιςσχέσειςµεταξύαναλογικώνκαιψηφιακώνσυχνότητων Ω ω s και s F f f s Σεραφείµ Καραµπογιάς Αναλογική και Ψηφιακή συχνότητα Συχνότητα ειγµατοληψίας Παρατηρούµε ότι η συχνότητα F είναι µία κανονικοποιηµέµη ή σχετική συχνότητα. Η αναλογική συχνότητα f έχει µονάδα µέτρησης Hz ή c/sec ενώ η διακριτή F δεν έχει διαστάσεις. Επίσης η αναλογική κυκλική συχνότητα ω έχει µονάδα µέτρησης rd/sec ενώ η διακριτή Ω έχει µονάδα µέτρησης rd. Για να προσδιοριστεί η ψηφιακή συχνότητα F όταν δίνεται η αναλογική συχνότητα f πρέπει ναείναιγνωστήησυχνότηταδειγµατοληψίας f s. s Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-
Η απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένου εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα συνεχούς χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι ω< και f < Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα διακριτού χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι π Ω<π και Παρατηρούµε ότι η συχνότητα του συνηµιτονοειδούς σήµατος το οποίο δειγµατοληπτούµε πρέπει να βρίσκεται στην περιοχή π π f s s ω< π f s π s και s F < f s f s f < s Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-
Η περιοδική δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος συνεχούς χρόνου οδηγεί στην απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής των αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένη εύρους περιοχή ψηφιακώνσυχνοτήτων. Η µέγιστη αναλογική συχνότητα που µπορεί να δειγµατοληπτηθεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας f s είναι ω m π s και f m Σεραφείµ Καραµπογιάς f s Θεώρηµα δειγµατοληψίας ή Θεώρηµα του ho Η συχνότητα f s µε την οποία λαµβάνονται τα δείγµατα ενός αναλογικού σήµατος, πρέπει να είναιτουλάχιστονδιπλάσιααπότηυψηλότερηαναλογικήσυχνότητα f m πουπεριέχεται στο σήµα, δηλαδή, f s f m Για να µη χαθεί πληροφορία θα πρέπει να παίρνουµε τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά περίοδο της µεγαλύτερης συχνότητας του αναλογικού σήµατος. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-
Ο συνεχούς χρόνου µετασχηµατισµός Fourier (CF, X (ω, ή το φάσµα ενός αναλογικούσήµατος (είναι X + Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier είναι jω ( ω ( e d + j ω ω ( X ( e dω π s Αντοαναλογικόσήµα ( δειγµατοληπτηθείµεπερίοδοδειγµατοληψίας s παράγεταιτο σήµα διακριτού χρόνου. ( ( s Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (DF, X s (Ω, του σήµατος διακριτού χρόνου s ( είναι X ( Ω ( e s jω Ο αντίστροφος διακριτού χρόνου µετασχηµατισµός Fourier είναι π s ( X s ( Ω π π e jω dω Σεραφείµ Καραµπογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-3
ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου X s (Ω του δειγµατοληπτηµένου s ( σήµατος διακριτού χρόνου είναι ένα άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourier X (ω του αρχικούαναλογικούσήµατος ( µετατοπισµένωνκατά π/ s καιπολλαπλασιασµένωνεπίσης µε / s, δηλαδή, Σεραφείµ Καραµπογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-4 ( ( ( s F X (ω DF (Ω X s ειγµατολήπτης ( + + + + + + + X X X X X π ω π ω ω π ω ω ( ή + Ω Ω X X π ( Αποδεικνύεται ότι + X X π ω ω (
ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων X Ω+ π ( Ω X X ω X π ω+ ( ( X f X f + ( X (ω X ω s s s Τοαναλογικόσήµα (. ω ω ω Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω s ω s Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατοληπτηµένου σήµατος για Ω ( s X s ( Ω s X ω X ω π s < π ω m Τοδιακριτόσήµα s (. π π π π π ω s ω s Τοφάσµαςτουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f s > f m Ω Το φάσµα του αναλογικού σήµατος διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-5
( X (ω Σεραφείµ Καραµπογιάς ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων X ω s s s Τοαναλογικόσήµα (. ω ω ω Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω s ω s Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατοληπτηµένου σήµατος για Ω ( s ω s π X s ( Ω X ω X ω π s π ω m 4π π π π π 4π 6π Ω Τοδιακριτόσήµα s (. ω s ω s Τοφάσµατουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f s f m Το φάσµα του αναλογικού σήµατος διατηρείται οριακά στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6
( X (ω Σεραφείµ Καραµπογιάς ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων X ω s s s Τοαναλογικόσήµα (. ω ω ω Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω s ω s Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατοληπτηµένου σήµατος για Ω ( s ω s > π X s ( Ω X ω X ω π s < π ω m Τοδιακριτόσήµα s (. 4π π π ω s π π 4π 6π Ω ω s Τοφάσµατουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f s < f m Έχουµε το φαινόµενο της φασµατικής επικάλυψης ή του χαµηλού ρυθµού δειγµατοληψίας Το φάσµα του αναλογικού σήµατος δε διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως δεν είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-7
ω s π X s ( Ω 4π π π π π 4π 6π Ω ω s ω s Τοφάσµατουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f s f m Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου µε απόκριση συχνότητας ( F H Π F π είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος µε τη βοήθεια της ˆ ( ( sic Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-8
ω s < π X s ( Ω s π π π π π W W Ω ω s ω s Τοφάσµαςτουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f s > f m Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου µε απόκριση συχνότητας F H( F Π ω όπου W < W < π ω είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος µε τη βοήθεια της ˆ ( ( sic Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-9
Γραφική ερµηνεία της ανακατασκευής του αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του ( ( ( sic ( sic W( ( W Σεραφείµ Καραµπογιάς W ( ( ( sic + ( ( sic ( ( + 3 sic 3 + 3 4 5 6 7 8 9 Παρατηρούµε ότι για ακέραιο πολλαπλάσιο του s,, ±, ±, µόνο µία sic συνεισφέρειµεπλάτος ( s, ενώγια s σεινεισφέρουνόλες. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-3
Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Τοαναλογικόσήµα ( cos(4π δειγµατοληπτείταιµεπερίοδοδειγµατοληψίας s, sec. π δ ( ω+ 4π X (ω πδ ( ω 4π ( ω ω 4π ω 3 Οµετασχηµατισµός Fourier τουσήµατος ( cos (ω. Τοσήµα ( cos (ω. X (ω ( ω ω s ω s ω ω ω π ω s 5π ω +ω s s ω 3 Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος. Το δειγµατοληπτηµένο σήµα. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-3
Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Τοαναλογικόσήµα ( cos(4π δειγµατοληπτείταιµεπερίοδοδειγµατοληψίας s /3 sec. π δ ( ω+ 4π X (ω πδ ( ω 4π ( ω ω 4π ω 3 Οµετασχηµατισµός Fourier τουσήµατος ( cos (ω. Τοσήµα ( cos (ω. X (ω ( ω ω s ω s ω ω ω s 3π ω 6π ω +ω s s ω 3 Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος. Το δειγµατοληπτηµένο σήµα. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-3
Εξίσωση σύνθεσης Ανάπτυγµα σε σειρά Fourier Σειρά Fourier ( + e jω o Εξίσωση ανάλυσης + j ω ( e d ειγµατοληψία στο πεδίο συχνότητας αναλογικού σήµατος F ( X ( f ( e Ανδειγµατοληπτήσουµεοµοιόµορφατοφάσµα X ( f µεπερίοδο j π δ f X ( δ f ( e d + jπ f d δ f έχουµε ( e s jπ δ f d Το σήµα p ( s ( είναι περιοδικό έτσι αναπτύσσεται σε σειρά Fourier p ( + c e j πδ f j π f c e d p ( δ f X ( δ f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-33
παρατηρούµε ότι εποµένως,...,,, ( ( ± ± f X f f X c δ δ δ Σεραφείµ Καραµπογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-34 f j e f X δ πδ ( ( ( + p + f j p e c δ π (
( A F ( X ( f X ( f τ τ f p p ( + ( ( Ανάκτηση X ( δ f ειγµατοληψία τ τ τ 6τ > τ δ f f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-35
( A F ( X ( f X ( f τ τ f p p ( + ( ( Ανάκτηση X ( δ f ειγµατοληψία τ τ 4τ 6τ τ δ f f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-36
( A F ( X ( f X ( f τ τ f p p ( + ( ( Ανάκτηση X ( δ f ειγµατοληψία τ τ τ 4τ 6τ < τ δ f f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-37
Αν ( για > τκαιεπιλέξουµε s > ττότεδενέχουµεχρονικήαλλοίωσηκαιτοφάσµα του σήµατος X ( f µπορείεπιτυχώςναανακατασκευαστείαπόταδείγµατατου X ( δf µε τη βοήθεια της σχέσης: X + ( f X ( δ f sic π δ f ( f δ f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-38
( A F ( X ( f X ( f τ τ f p p ( + ( ( Ανάκτηση X ( δ f ειγµατοληψία τ τ τ 3τ > τ 4τ δ f f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-39
( A F ( X ( f X ( f τ τ f p p ( + ( ( Ανάκτηση X ( δ f ειγµατοληψία τ τ τ 3τ 4τ δ f f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-4
( A F ( X ( f X ( f τ τ f p p ( + ( ( Ανάκτηση X ( δ f ειγµατοληψία τ τ τ 3τ 4τ < τ δ f f Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-4
+ j e π ( Σεραφείµ Καραµπογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-4 Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου ( + Ω Ω j F e X ( ( ειγµατοληψία στο πεδίο συχνότητας διακριτού σήµατος Ανδειγµατοληπτήσουµεοµοιόµορφατοφάσµα X(Ω σενσηµείαστοδιάστηµα Ω< π, δηλαδή, δω έχουµεγια,,,, π δω X + ( j l e l π ( j p e c π Το σήµα είναι περιοδικό έτσι αναπτύσσεται σε σειρά Fourier l p l ( ( Εξίσωση σύνθεσης ( j e π Εξίσωση ανάλυσης ( j e π X π ( j p e c π π X
παρατηρούµε ότι c X π,, ±, ±,... εποµένως p ( c e j π l ( ( l p X π e j π Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-43
( DF ( X ( Ω X ( Ω π π Ω p ( l ( ( lm p Ανάκτηση X π M ειγµατοληψία M > π π M π Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-44
( DF ( X ( Ω X ( Ω π π Ω ειγµατοληψία p ( Ανάκτηση X π π π π Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-45
Μπορούµελοιπόνναανακατασκευάσουµετοσήµα ( απότοσήµα p (ως Σεραφείµ Καραµπογιάς ή ( ( ( για ( p p R ( p (, -, αλλιώς όπουr ( είναι ένα τετραγωνικό παράθυρο µήκους R (,, - αλλιώς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-46
Ο ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση µε περίοδο π. ίνεται η πεπερασµένου µήκους ακολουθία (, δηλαδή, η ( για. Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας ( όπως είναι γνωστό είναι ( Ω X ( e j Ω, Ω < π Σεραφείµ Καραµπογιάς Για να επεξεργαστούµε το µετασχηµατισµό Fourier µε ψηφιακά µέσα απαιτείται η µετατροπή του σε ακολουθία αριθµών πεπερασµένης ακρίβειας. Θα πρέπει λοιπόν να δειγµατοληπτηθεί κατάλληλα ο µετασχηµατισµός Fourier έτσι ώστε να είναι δυνατή η ανακατασκευή του από τα δείγµατά του. Εάν δειγµατοληπτήσουµε τη συνεχή συνάρτηση X(Ω σε M διακριτές κυκλικές συχνότητες που είναιπολλαπλάσιεςτηςω s στοδιάστηµα Ω< ππαίρνουµεταδείγµατα X M ( X ( Ω Ω Ωs ( e j Ω s,,,..., M Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-47
Οαριθµόςτωνδειγµάτωνπουθαληφθούνθαπρέπειναείναικατάλληλοςέτσιώστεαφενόςνα είναι δυνατή η ανάκτηση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου για κάθε τιµή της κυκλικής συχνότητας Ω αφετέρου να µην αυξηθούν η απαιτούµενη µνήµη και η ταχύτητα επεξεργασίας. Το θεώρηµα δειγµατοληψίας στο πεδίο συχνοτήτων αναφέρει ότι ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτούχρόνουµπορείναανακτηθείαπόταδείγµατάτου X M (,,,..., M- αρκεί τοσήµαδιακριτούχρόνου ( ναείναιπεπερασµένηςδιάρκειας καιναισχύει M. στην περίπτωσηαυτήισχύειησυνθήκη yquis, δηλαδή, Για την οριακή περίπτωση όπου συχνότητες Ω Ω s π Ω s π Fourier (Discee Fourier rsform, DF τηςακολουθίας (. Ω s π, δηλαδή, όταν ο X(Ω δειγµατοληπτείται στις,,,..., - έχουµε το διακριτό µετασχηµατισµό X ( ( ( Ω π π j X X π X ( e,,,..., Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-48
Αποδεικνύεται ότι µπορούµε να ανακατασκευάσουµε την ακολουθία ( από τα δείγµατα X ( τουµετασχηµατισµού Fourierδιακριτούχρόνουµετην ( X ( e j π,,,..., Ηεξίσωσηαυτήαποτελείτοναντίστροφοδιακριτόµετασχηµατισµό Foureir (iverse DF, IDF. Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αποτελούν του ζεύγος διακριτού µετασχηµατισµού Fourier - σηµείων. Οιακολουθίες ( και X Ν ( έχουνίδιοµήκος καιείναιπεριοδικέςµεπερίοδο. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-49
Παράδειγµα ίνεταιη4-σηµείωνακολουθία (, 3 (, αλλιώς Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου X(Ω και να γίνει η γραφική παράσταση του µέτρου του σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα Ω. Να βρεθεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier 4-σηµείων της ακολουθίας (. Απάντηση Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας είναι si(ω 3Ω j X ( Ω e si( Ω / Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier 4-σηµείων της ακολουθίας ( είναι X ( Ω 4 X 4 ( {4,,, } X 4( 4 Σεραφείµ Καραµπογιάς π π Ω 3 4 Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-5
[,,,,zeros(,-4]; w [::5]**pi/5; [X] freqz(,,w; mgx bs(x; phx gle(x; [,,,,zeros(,-4]; X df(,; mgx bs(x; phx gle(x*8/pi 4 4 4 8 6.4.8..6 4 6 8 4 6 - -.4.8..6 4 6 8 4 6 Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-5
Κυκλική ανάκλαση ακολουθίας Η κυκλική ανάκλαση µιας ακολουθίας µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των υπολοίπων (modulo ως ((- όπουοσυµβολισµός ((m διαβάζεταιως m modulo καισηµαίνειτο υπόλοιποτηςδιαίρεσηςτου mδιατου καιείναι ( (( (, (, Σεραφείµ Καραµπογιάς 5 5 H ακολουθία -σηµείων ( όπου και < < ( 5 5 η ανάκλασή της η οποία δεν είναι ακολουθία -σηµείων (( 5 5 ηκυκλικήανάκλασή της η οποία είναι ακολουθία -σηµείων. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-5
Κυκλική ολίσθηση ακολουθίαc Σεραφείµ Καραµπογιάς Η περιοδική επέκταση ανά δείγµατα της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας ( που έχει δείγµατα στο διάστηµα,,,..., - είναι η περιοδική ακολουθία ( ~ ( ( 5 5 5 Hακολουθία -σηµείων ( όπου και < < ~ ( (( 5 5 5 Η περιοδική επέκταση ανά δείγµατα της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας ( Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-53
Η ολίσθηση (µετατόπιση της περιοδικής ακολουθίας ( κατά m δείγµατα προς τα δεξιά δίνει την επίσης περιοδική ακολουθία ( m. ~ ( m ( m ~ ( (( 5 5 5 Η περιοδική επέκταση ανά δείγµατα της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας ( ~ ( 3 5 5 5 Η γραµµική ολίσθηση κατά 3 δείγµατα προς τα αριστερά της περιοδικής επέκτασης ανά δείγµατα της ακολουθίας (. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-54
Η πεπερασµένου µήκους ακολουθία ~ ~ ( m, ( m R (, αλλιώς όπου R ( είναιτοορθογώνιοπαράθυροµήκους, δηλαδή, R, (, αλλιώς αποτελείτηνκυκλικήολίσθηση M-σηµείωντηςακολουθίας (. ~ ( 3 R ( 5 5 5 Η γραµµική ολίσθηση κατά 3 δείγµατα προς τα αριστερά της περιοδικής επέκτασης ανά δείγµατα της ακολουθίας (. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-55
Η πεπερασµένου µήκους ακολουθία ~ ~ ( m, ( m R (, αλλιώς όπου R ( είναιτοορθογώνιοπαράθυροµήκους, δηλαδή, R, (, αλλιώς αποτελείτηνκυκλικήολίσθηση M-σηµείωντηςακολουθίας (. (( 3 R ( 5 5 5 Η κυκλικά ολισθηµένη ακολουθία κατά 3 δείγµατα προς τα αριστερά. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-56
Κυκλική συνέλιξη Σεραφείµ Καραµπογιάς Ηκυκλικήσυνέλιξηδύοακολουθιών ( και (,,, - ορίζεταιαπότησχέση y( ( ( ( m (( m, m Ηκυκλικήσυνέλιξη y( έχειτηνίδιαµορφήµετηγραµµικήσυνέλιξηέχειόµωςµήκος, όσο δηλαδή και το µήκος καθεµιάς από τις αρχικές ακολουθίες, και όχι µήκος - όπως συµβαίνει στην περίπτωση της γραµµικής συνέλιξης των δύο αυτών ακολουθιών. Η κυκλική συνέλιξη ονοµάζεται επίσης και κυκλική συνέλιξη Ν-σηµείων. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-57
Τα βήµατα για τον υπολογισµό της κυκλικής συνέλιξης δύο ακολουθιών είναι. κυκλικήανάκλαση (κατοπτρισµός τηςµιαςακολουθίας,. κυκλικήολίσθηση (µετατόπιση τηςκατοπτρικήςακολουθίας, 3. πολλαπλασιασµός της µετατοπισµένης κατοπτρικής ακολουθίας µε τη άλλη ακολουθία σηµείο προς σηµείο και 4. άθροισητωνγινοµένων. Τα βήµατα αυτά επαναλαµβάνονται. Παράδειγµα Να προσδιοριστεί η κυκλική συνέλιξη 4-σηµείων για τις ακολουθίες ( {3,,} ( {,,3, 4} Απάντηση y( {4,,4, } Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-58
Ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier Μερικές ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier είναι ανάλογες µε τις αντίστοιχεςιδιότητεςτουµετασχηµατισµού Fourierδιακριτούχρόνου. Υπάρχουν όµως και διαφορετικές ιδιότητες οι οποίες οφείλονται στο πεπερασµένο µήκος που έχουν τόσο όσο οι ακολουθίες όσο και ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier τους Γραµµικότητα Κυκλική ολίσθηση στο χρόνο Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα Κυκλική συνέλιξη ( + b ( X( + b X ( (( e j e j π X ( π ( (( X ( y( ( X ( X Πολλαπλασιασµός Θεώρηµα Prsevl Η ποσότητα ( X E ( X X ( ( ( E ( X ( ονοµάζεται φασµατική πυκνότητα ενέργειας της ακολουθίας πεπερασµένηςδιάρκειας. Γιαπεριοδικήακολουθίαονοµάζεταιφασµατικήπυκνότηταισχύος. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-59
Παράδειγµα Με τη βοήθεια της ιδιότητας της κυκλικής συνέλιξης να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη 4- σηµείων των ακολουθιών Λύση X ( ( e π j DF ( [3,,] ( [,,3, 4] ( {3,,, } X( [6, DF j,, + j ] ( {,,3, 4} X ( [, + j,, j] π π j X ( X ( X ( 6 8 4 8 + e + e jπ j + e [ ] j 6, π j e,, e π 4 [ ] j, e,, e 3π 4 j π 4 [ 6, j 8, 4, j 8] 4 ( X ( e j π ( [4,,4, ] Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6
Η γραµµική συνέλιξη µε τη βοήθεια του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier ( h ( X ( H ( Ω Ω ( h ( ( ( h y ( Y ( Ω H( Ω X( Ω y ( h ( ( F Ανηεισόδουείναι ακολουθία -σηµείωνκαιηκρουστικήαπόκρισηείναιακολουθία - σηµείωντότεηέξοδοςτουσυστήµατοςείναιακολουθία ( + - -σηµείων. Οιακολουθίες ( και h( σχηµατίζονταιαπότιςακολουθίες ( και h ( προσθέτοντας στοιχείαµηδενικής τιµήςσεκάθεµίααπόαυτές, έτσιώστετοµήκοςτουςναγίνειίσοµε +. X ( H ( y ( h( ( H ( X ( F Η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών ( και h( είναι ισοδύναµη µε τη γραµµική συνέλιξητωνακολουθιών ( και h (. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6
Παράδειγµα ΗκρουστικήαπόκρισηενόςΓΧΑσυστήµατοςείναι h ( [3,, ]. Μετηβοήθειατου διακριτού µετασχηµατισµού Fourier να υπολογίσετε την έξοδο του συστήµατος όταν η είσοδοςείναιτοσήµα ( [,, 3, 4]. Απάντηση y( [3,8,4,,, 4] Παρατηρήσεις Αν προσδιορίσουµε την έξοδο του συστήµατος χρησιµοποιώντας κυκλική συνέλιξη 5- σηµείων προσδιορίζεται η ακολουθία [7, 8, 4,, ]. Η ακολουθία αυτή έχει προέλθει από την [3, 8, 4,,,4]µεαναδίπλωσητουστοιχείου 4, δηλαδή, [7, 8, 4,, ] [3+4, 8, 4,, ]. Αν προσδιορίσουµε την έξοδο του συστήµατος χρησιµοποιώντας κυκλική συνέλιξη 4- σηµείων προσδιορίζεται η ακολουθία [4,, 4, ]. Η ακολουθία αυτή έχει προέλθει από την [3, 8, 4,,, 4]µεαναδίπλωσητωνστοιχείων και 4, δηλαδή, [4,, 4, ] [3+, 8+4, 4, ]. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Με τη βοήθεια της ιδιότητας της συνέλιξης µπορούµε να υπολογίσουµε την έξοδο y( ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου το οποίο έχει κρουστική απόκριση h(, όταν γνωρίζουµετηνείσοδότου (. Παράδειγµα ίνεται το γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα το οποίο έχει κρουστική απόκριση h( u( Ανηείσοδοςτουσυστήµατοςείναιτοσήµα: ( β u( Να προσδιοριστεί η έξοδος του συστήµατος. Απάντηση Αν βηείσοδοςτουσυστήµατοςείναι Αν β η είσοδος του συστήµατος είναι [ + + ] u( y( β b y( ( + u( Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-63
Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές ( h ( y ( Το σήµα εισόδου ( και το σήµα εξόδου y( ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου ικανοποιούν µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής y( M b ( µε y ( ( h( Το σήµα εισόδου, (, και το σήµα εξόδου, y(, ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το άθροισµα της συνέλιξης. Η απόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήµατος είναι H ( Ω M K M K b e e j Ω j Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-64
Παράδειγµα (σύστηµα πρώτης τάξης ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεµία, και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών y( - y(- ( µε < Να βρεθούν η απόκριση συχνότητας, η κρουστική απόκριση του συστήµατος και η απόκριση του συστήµατος στο µοναδιαίο βήµα. Απάντηση Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H ( Ω Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι e jω h( u( Η απόκριση του συστήµατος στο µοναδιαίο βήµα είναι y( + u( Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-65
Παράδειγµα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεµία, και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών Να βρεθούν η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Αν η είσοδος του συστήµατος είναι Να βρεθεί το σήµα εξόδου του συστήµατος. Απάντηση y 3 y( + y( ( ( 4 8 ( 4 Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H ( Ω Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι Το σήµα εξόδου του συστήµατος είναι 3 4 ( u( e jω+ 8 e j Ω ( u( ( u( h ( 4 4 ( ( ( ( u + u( + 8( u( y ( 4 4 4 Σεραφείµ Καραµπογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-66
Παράδειγµα ίνεται σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου εξόδου περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών Να βρεθεί η κρουστική απόκριση, η απόκριση συχνότητας του συστήµατος και να γίνει η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους. Απάντηση y ( ( + ( Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h ( + ( δ ( Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι ( Ω jω Ω H Ω + e j e cos( Η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους του συστήµατος είναι H ( Ω Σεραφείµ Καραµπογιάς δ π π Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-67
Παράδειγµα ίνεται σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου εξόδου περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών Να βρεθεί η κρουστική απόκριση, η απόκριση συχνότητας του συστήµατος και να γίνει η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους. Απάντηση y( ( + ( Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h( ( + ( Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι j( Ω rg{ } δ δ H ( Ω + e Η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους του συστήµατος είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς H ( Ω,5,5 e j π 3 H ( Ω,5,9 e j π 3,5,5 π π Ω π π Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-68