ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα; ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Α. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α, ονομάζεται συνεχής; ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Α 3 Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Α 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν στη καμπύλη συχνοτήτων μιας κατανομής, το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x s ) τότε η κατανομή αυτή είναι κανονική. β. Η μοναδική συνάρτηση που η παράγωγός της είναι συνx είναι η συνάρτηση f(x) = ημx. γ. Για κάθε ζεύγος παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει: [f(x)+g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) δ. Aν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός οποιουδήποτε πειράματος τύχης τότε Ρ(Ω) = ε. Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής ονομάζεται ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής του CV δεν ξεπερνά το 0% ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x ) 3 + 8 ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Β. Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο σύνολο R ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Β. Να αποδείξετε ότι: (x )f (x) f (x) 0 για κάθε x R ΜΟΝΑΔΕΣ 3
Β 3. Αν η εφαπτομένη της συνάρτησης f στο σημείο x o = 3, συμπίπτει με το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων μιας συνεχούς μεταβλητής Χ και οι τιμές x της μεταβλητής Χ ανήκουν στο διάστημα [0,0], να βρείτε το μέγεθος του δείγματος της μεταβλητής Χ. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Β 4. Αν το μέγεθος των τιμών x της μεταβλητής Χ είναι ν = 30 και οι παραπάνω τιμές της μεταβλητής Χ ομαδοποιηθούν σε πέντε ισοπλατείς κλάσεις, τότε: α) Να προσδιορίσετε τη μέση τιμή x και τη διακύμανση s, της κατανομής. β) Να εξεταστεί το παραπάνω δείγμα ως προς την ομοιογένεια. γ) Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της θετικής ακεραίας σταθεράς c που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε τιμή x της μεταβλητής Χ ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές. ΜΟΝΑΔΕΣ 9 ΔΙΝΟΝΤΑΙ. Η διακύμανση των παρατηρήσεων s είναι ίση με: s.,4 ν xν ν = x ν - ν = ν = ΘΕΜΑ 3 ο x Δίνεται η συνάρτηση f(x) x και τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω = {,, 3, 4}. Οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Α Β) είναι διαφορετικές μεταξύ τους και ανήκουν στο σύνολο lm f (x), lm f (x) x0 x3 Γ. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Α Β) ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ. Αν Α = {,, 3} με Ρ() = 6 και Ρ(3) =, να βρείτε: 4 α) Τις πιθανότητες Ρ() και Ρ(4). ΜΟΝΑΔΕΣ 7 β) Το ενδεχόμενο Α Β. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 γ) Να υπολογίσετε όλες τις δυνατές τιμές της πιθανότητας Ρ(Β). ΜΟΝΑΔΕΣ 6
ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι παρατηρήσεις, x, x, x 9 μιας τυχαίας μεταβλητής Χ οι οποίες αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω =, καθώς x και η συνάρτηση f(x) με xr. Έστω ότι για την τυπική απόκλιση s των x 3 παραπάνω παρατηρήσεων της τυχαίας μεταβλητής Χ ισχύει: 3 s lm 4 (x 3) (x 3) f(x) f (x) x x Δ. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παραπάνω παρατηρήσεων είναι x = 0 και η τυπική απόκλιση s = 3 Δ. Αν οι παρατηρήσεις μιας νέας τυχαίας μεταβλητής Y έχουν τιμές y x 6c ( = 0,,, 9, x o = ), όπου c η τιμή του μεγίστου της συνάρτησης f, τότε να ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 αποδείξετε ότι: c = 6 Δ 3. Αν οι τιμές της μεταβλητής Υ του Δ ερωτήματος ακολουθούν την κανονική κατανομή και επιλέξουμε τυχαία μια από τις παρατηρήσεις y ( = 0,,, 9 ) αυτής της μεταβλητής, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι μεγαλύτερη από» Β: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι μεταξύ των τιμών 6 και 5» Γ: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι τουλάχιστον 8 ή το πολύ 0» Δ: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι ακριβώς 5» ΜΟΝΑΔΕΣ Δίνεται ότι το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου είναι: ν S ν = α +(ν-)ω όπου α και ω ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου. ΓΚΥΡΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ ΜΩΡΟΥ ΑΡΤΕΜΙΣ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Ευχόμαστε ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α4 Λ Λ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Β. Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών με παράγωγο f (x) = 3(x ) με x Β Είναι f (x) = 3(x ) > 0 για κάθε x < και f (x) = 3(x ) > 0 για κάθε x > και f (0) = 0 Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-, ] και [, +) άρα και στο σύνολο των πραγματικών αριθμών αλλά στο σημείο x o = 0 μηδενίζεται, όμως δεν έχει ακρότατο στο σημείο αυτό γιατί η παράγωγος διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού της. Β. Είναι f (x) = 6(x ), x Β επομένως έχουμε: (x )f (x) f (x) = (x ) 6(x ) - 3(x ) = = 6(x ) - 6(x ) = 0 Β3. Είναι f(3) = 9 και f (3) = 3, συνεπώς η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο x o = 3 είναι: y - f(3) = f (3)(x 3) y 9 = 3(x 3) y = 3x Από το γεγονός ότι εφαπτομένη της συνάρτησης στο σημείο x o = 3 συμπίπτει με το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων της συνεχούς μεταβλητής Χ και ότι η τελευταία κορυφή του πολυγώνου έχει συντεταγμένες (0,ν) προκύπτει ότι οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν τον τύπο της εφαπτομένης, άρα ν = 30 = 30.
Β 4. α) Ομαδοποιώντας τις τιμές σε 5 ισοπλατείς κλάσεις έχουμε ότι: εύρος R = 0, αριθμός κλάσεων κ = 5, R άρα το πλάτος c των κλάσεων είναι: c, οπότε από το παραπάνω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων προκύπτει ο παρακάτω πίνακας. Με βάση τον παραπάνω πίνακα έχουμε: x x 50 5 και 30 x S = x = = x x = x 30 = 8 x 990 5 Β 4. β) Είναι S = επομένως CV = ομοιογενές. S 0, 57 ή 57% συνεπώς το δείγμα δεν είναι x 5 Β 4. γ) Με την πρόσθεση της θετικής σταθεράς c η νέα μέση τιμή y και η νέα τυπική απόκλιση S y είναι: y x c = 5 + c και S y = S =, το δείγμα θα είναι ομοιογενές όταν για τον νέο συντελεστής μεταβλητότητας CV y ισχύει: CV y S y c 3, άρα c = 4 0 y 0 5 c 0 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ x Γ x x x. Έχουμε f(x) x x x x x x Άρα lm f (x) lm x0 x0 και x
x lm f (x) lm επομένως είναι Σ = x3 x3 x 3 Όμως είναι Α Β Α, τότε Ρ(Α Β) Ρ(Α), 3 οπότε συμπεραίνουμε ότι P(A B) και Ρ(Α) = 3 Γ. α) Σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε: Ρ(Α) = Ρ() + Ρ() + Ρ(3) Και με βάση τα δεδομένα έχουμε: = Ρ() + 6 + 4 και τελικά είναι Ρ() = Αξιοποιώντας εκ νέου τον αξιωματικό ορισμό παίρνουμε Ρ() + Ρ() + Ρ(3) + Ρ(4) = αφού Ω = {,, 3, 4} Και με βάση τα δεδομένα έχουμε: P(4) P(4) 6 4 Γ. β) Το ενδεχόμενο Α Β είναι ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του συνόλου Α, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, Α Γνωρίζουμε ότι Ρ(Α Β) = 3 και βρίσκοντας τις πιθανότητες όλων των παραπάνω υποσυνόλων Ρ() = 0 Ρ(Α) = Ρ({}) = Ρ() =.. Διαπιστώνουμε ότι Ρ({, 3}) = Ρ() + Ρ(3) = 4 3 Επομένως Α Β = {, 3}
Γ 3. γ) Με Α = {,, 3} και Α Β = {, 3}έχουμε ότι το απλό ενδεχόμενο ανήκει στο σύνολο Β και τα απλά ενδεχόμενα, 3 ανήκουν μόνο στο Α. Για το απλό ενδεχόμενο 4 δεν έχουμε πληροφορίες οπότε έχουμε τις περιπτώσεις το 4 να ανήκει στο σύνολο Β ή να μην ανήκει. Τα παραπάνω φαίνονται στα παρακάτω διαγράμματα Venn. Επομένως Αν Β = {}, τότε Ρ(Β) = Ρ() = 6 Αν Β = {, 4}, τότε Ρ(Β) = Ρ({, 4}) = Ρ() + Ρ(4) = 6 3 ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Δ. Η μέση τιμή x της μεταβλητής Χ είναι: 0 x 9 x... x 9 x 0 0 0 και για τη τυπική απόκλιση έχουμε: f(x) Τότε: x (x ) (x 3) (x )(x 3) x x 3 x 3 (x 3) (x 3), xr. 4 x x x3 4 (x 3) f(x) f (x) (x 3) (x 3) (x 3) (x 3) (x 3) = x x 3 (x )(x 3) x x 34 x x (x )(x x ) x x = x x (x)(x) x Επομένως έχουμε: 4 (x 3) f(x) f (x) 3 (x 3) 3 x s lm x 3 4 lm 3 x x x x
x Δ. Η συνάρτηση f(x) x 3 έχει παράγωγο x x3 f(x) (x 3) x = - ή x = 3 και έχει τον παρακάτω πίνακα προσήμου, xr που μηδενίζεται για 3 Από όπου προκύπτει ότι η συνάρτηση για x = 3 παρουσιάζει μέγιστο, οπότε c = f(3) = 3 3 = 6 Δ 3. Για c = 6 οι τιμές της μεταβλητής Y είναι y = x με y ( = 0,,, 9 ), τότε η μέση τιμή y και η τυπική απόκλιση s y της μεταβλητής Y είναι: y x 0 9 και s y = s = 3 επειδή δε η κατανομή είναι κανονική με βάση τη καμπύλη της κανονικής κατανομής Θα έχουμε: Για το ενδεχόμενο Α: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι μεγαλύτερη από» το ποσοστό των 68 παρατηρήσεων είναι 50 % = 6%, άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι Ρ(Α) = 0,6 Για το ενδεχόμενο Β: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι μεταξύ των τιμών 6 και 5» το ποσοστό 68 95 των παρατηρήσεων είναι % = 8,5%, άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι Ρ(Β) = 0,85 Για το ενδεχόμενο Γ: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι να είναι τουλάχιστον 8 ή το πολύ 0» το ποσοστό των παρατηρήσεων είναι 0,5 0,5% = 0,30 %, άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι Ρ(Γ) = 0,03 Για το ενδεχόμενο Δ: «Η τιμή που επιλέξαμε να είναι να ακριβώς 5» το ποσοστό των παρατηρήσεων είναι 0 %, άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι Ρ(Δ) = 0.