Θεωρία Σημάτων και Γραμμικών Συστημάτων

Θεωρία Σημάτων και Γραμμικών Συστημάτων Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: hps://gihub.com/kongr45gpen/ece-noes 26 Τελευταία ενημέρωση: 23 Ιανουαρίου 27 Περιεχόμενα Εισαγωγή 3. Σύστημα............................................... 4.2 Περιοδικά σήματα......................................... 4.3 Συμμετρίες.............................................. 4.4 Χαρακτηριστικά σήματα...................................... 5.5 Χρήσιμες Συναρτήσεις....................................... 8.5. Βηματική Συνάρτηση (Uni Sep Funcion)....................... 8.5.2 Ράμπα............................................ 8.5.3 Ορθογωνικός παλμός (Recangular Pulse funcion).................. 9.5.4 Τριγωνικός Παλμός (Triangular Pulse funcion).................... 9.6 Χαρακτηριστικά Μεγέθη.......................................7 Συνέλιξη............................................... 2 Συναρτηστιακοί χώροι 7 3 Ανάλυση Fourier 2 3.. Περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο T......................... 2 3. Μετασχηματισμός Fourier..................................... 23 3.. Ιδιότητες........................................... 24 3..2 Θεώρημα Parseval..................................... 26 3..3 Μετασχηματισμός Fourier γενικευμένων συναρτήσεων................ 27 3..4 Kramers - Kronig Relaions................................ 28 3.2 Χρονοπερατό vs Ζωνοπερατό Σήμα............................... 3 3.3 Γκαουσιανός παλμός........................................ 32 4 Μετασχηματισμός Laplace 34 4. Ιδιότητες............................................... 35 4.2 Laplace "περιοδικών συναρτήσεων"............................... 36 5 Θεώρημα Δειγματοληψίας 42 5.. Συνάρτηση ορθογωνικού παραθύρου μήκους T στον κόσμο........... 42 5..2 Δειγματοληψία....................................... 43 5. Υποδειγματοληψία (undersampling)............................... 46 5.2 Gibbs' Phenomenon......................................... 47 5.3 Ευστάθεια συστήματος...................................... 49 5.4 Ιδανικό φίλτρο........................................... 5 5.5 Kramers - Kronig.......................................... 5

6 Συστήματα 5 6. Ανακεφαλαίωση........................................... 5 6.2 Περιγραφή συστήματος με διαφορική εξίσωση......................... 52 6.3 Decibels (db)............................................. 54 7 Ασκήσεις 55 2

Εισαγωγή Σήμα - σύστημα g = f( ) g = f( r, ) εξαρτημένη ανεξάρτητη E( r, ) Αναλογικό Αν συνεχής R και y συνεχής R g(x, y) Διακριτού χρόνου / Διακριτό (discree) διακριτό Z, n Z g συνεχής R 5 4 3 2 2 3 4 5 7 ο εξάμηνο Κβαντισμένο n Z g διακριτή 3 2 2 3 Στοχαστικό Περιέχει και τις τρεις κατηγορίες 3

Σύστημα x() inpu signal sysem y() oupu signal Περιοδικά σήματα Αν T R R x() = x( + T ) τότε x() περιοδικό σήμα με περίοδο T. Ή θα είναι, ή θα συνεχιστεί για πάντα. T/2 T /2 + T /2 x() d = x() d T /2 Η σύνθεση μιας συνάρτησης με μια περιοδική συνάρτηση είναι περιοδική; Απόδ. Έστω g μία περιοδική συνάρτηση: (f g)(x) = f (g(x)) = f (g(x + T )) = Συμμετρίες = (f g)(x + T ) Αν x() = x( ) τότε η x() λέγεται άρτια συνάρτηση (even funcion). Αν x() = x() τότε η x() λέγεται περιττή συνάρτηση (odd funcion). Υποστηρίζω ότι κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής: x() x (), x e () x() = x e () + x () Απόδ. x e () = x o () = x() + x( ) 2 x() x( ). 2 A A A lim A A x e y e = z e άρτια x o y o = z e x e y = z x () d = x () d =? (εξαρτάται) x () d = (principal Cauchy value) 4

Χαρακτηριστικά σήματα ) Εκθετικό σήμα x() = ce a a R c > c > a > a < x() = ce (σ+jω) = ce σ e jω = ce σ [cos(ω) + j sin(ω)] 2) (Συν)ημιτονοειδή σήματα x() = A cos(ω ± φ) = are {e j(ω+φ) } = A ej(ω±φ) + e j(ω±φ) 2 3) Δέλτα Dirac δ() δ() /T σ limt P T () = δ() G σ () = e x2 σ 2 2πσ lim T G σ () = δ() Ορ. f()δ() d = f() f() 5

δ() d = f()δ( τ) d = f(τ) f(τ)δ( τ) dτ = f() f()δ( τ) dτ = f() f() τ f()δ( τ) τ Ιδιότητες της δ(). Κλιμάκωση a R δ(a) = a δ() Απόδ. φ() δ(a) d a = ξ d = dξ a (a) = φ ( ξ a ) δ(ξ)dξ a = a (a) φ( ξ a) a δ(ξ) dξ = φ() a = φ() δ() a d 6

2. f()δ() = f()δ() 3. f()δ( ξ) = f(g)δ( ξ) x() inpu signal sysem L y() oupu signal Έστω L το παραπάνω σύστημα (όχι ο μετασχηματισμός Laplace!), και: y() = L {x()} x () x n () y () = L {x ()} y 2 () = L {x 2 ()} Για cons a, a 2 R x() = a x () + a 2 x 2 () y() = L {x()} ανν y() = a y () + a 2 y 2 () τότε L γραμμικό σύστημα g() = L {x()} x () = x( τ) ανν y () = L {x ()} = L {x( τ) 2 } = y( τ) τότε το σύστημα L είναι αμετάβλητο κατά τη μετατόπιση. L {} δ() inpu signal γραμμικό & ΑΚΜ h() κρουστική απόκριση (impulse response) Υποστηρίζω ότι ένα γραμμικό & ΑΚΜ σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική απόκριση h(). Απόδ. Από παραπάνω, γνωρίζουμε ότι x() = x()δ( τ) dτ y() = L {x()} = L { lineariy = = ΑΚΜ = TSI Time shif invarian y() = L {x()δ( τ)} dτ x(τ)l {δ( τ)} dτ x(τ)h( τ) dτ x(τ) h( τ) dτ linear ime-shif invarian x()δ( τ) dτ} 7

δ() = δ( ) άρτια συνάρτηση δ (n) () = dn d n δ(), για την οποία αποδεικνύεται ότι: δ (n) ()φ() d = ( ) n φ (n) () = Χρήσιμες Συναρτήσεις Βηματική Συνάρτηση (Uni Sep Funcion) u() = { > < u()φ() d = N u {φ()} = u() φ() d number Ράμπα δ() = d d u() u() = δ(τ) dτ = δ( ξ) dξ r() = u(τ) dτ = { = u() else r() 8

u() = d d r() Ορθογωνικός παλμός (Recangular Pulse funcion) p a () = { < a > a r() a a u( + a) u( a) a a p a () =u( + a) u( a) d d p a() =δ( + a) δ( a) d d p a() δ( + a) a a δ( a) Τριγωνικός Παλμός (Triangular Pulse funcion) p r,a = { a < a > a 9

p r,a () a a p r,a () = [r( + a) + r( a) 2r()] a Χαρακτηριστικά Μεγέθη ) Μέση τιμή (Mean Value) x() = 2 2 x() d Αν περιοδική τότε x() = T T x() d = T +T x() d 2) Ενεργός τιμή (Roo Mean Square Value) x() = [ 2 2 x 2 () d] Αν ημιτονοειδές σήμα x() = x max 2 3) Ενέργεια - Ισχύς Στιγμιαία ισχύς (Insan power) p() = x 2 () Μέση ισχύς (Mean power) /2 p() = 2 2 x 2 2 () d = (x())

Ενέργεια (Energy) 2 W = 2 p() d = x 2 2 () d = ( 2 ) (x()) Σήμα ενέργειας αν lim W < T { Σήματα Σήμα ισχύος αν lim p() > T { Υπάρχουν και σήματα που δεν είναι ούτε ενέργειας, ούτε ισχύος. Συνέλιξη x() = x()δ( τ)dτ δ() inpu signal γραμμικό & ΑΚΜ L {} h() κρουστική απόκριση (impulse response) h() = L {δ()} y() = Συνέλιξη - Convoluion x(τ)h( τ) dτ = x() συνέλιξη h() είσοδος κρουστική απόκριση z() = x() y() = x(τ)y( τ) dτ x() y() = y() x() Αντιμεταθετική x(τ)y( τ) dτ = x( λ)y(λ)[ dλ] = y(λ)x( λ) dλ = y() x() x () [x 2 () x 3 ()] = [x () x 2 ()] x 3 () Προσεταιριστική Παρ. f () = 2( ) [u() u( )] f 2 () = u() u( 2)

Γραφική μέθοδος υπολογισμού συνέλιξης 2 f (τ) τ f 2(τ) f 2 ( τ) 2 τ 2 τ f 2 ( τ) τ f (τ) f 2 ( τ) E = f() τ < f() = 2

< < f() = 2 (2 + 2 2) = (2 ) < < 2 f() = 2 < < 3 f() = ( ) 2 ( ( 2)) 2 = ( )(3 ) > 3 f() = f() Αναλυτική μέθοδος Παρατηρώ ότι: φ f(, τ)u(τ ξ)u(φ τ) dτ = f(, τ) dτu(φ ξ) ξ 3

f() = = 2( τ) [u(τ) u(τ + )] [u( τ) u( τ 2)] dτ x(τ) x(τ) [u(τ)u( τ) u(τ )u( τ) u(τ)u( τ 2) + u(τ )u( τ 2)] dτ x 2 2 = x(τ) dτu() x(τ) dτu( ) x(τ) dτu( 2) + x(τ) dτu( 3) = (2 2 )u() [2 2 ] u( ) [2( 2) ( 2) 2 ] u( 2) + [2( 2) ( 2) 2 ] u( 3) Ex f () = e u( ) f 2 () = u( + 2) f = f f 2 f = = = = 2 e τ u( τ)u ( ( τ) + 2) dτ e τ u( τ)u(τ + 2) dτ e τ u(τ)u( + 2 τ) dτ e τ dτu(2 ) = e τ u(2 ) 2 = [ e 2 ] u(2 ) φ f(, τ)u(τ ξ)u(φ τ) dτ = f(, τ) dτu(φ ξ) ξ Ex. u( τ) + 2 + 2 u( τ) u( τ) u( + 2 τ) u( + 2 τ) + 2 + 2 + 2 < + 2 4

x() = e u( ) y() = u( + 2) z() = x() y() = = = e τ u( τ)u [( τ) + 2] dτ = e τ u( τ)u( + 2 τ) dτ e τ [ u(τ)] u( + 2 τ) dτ e τ u( + 2 τ) dτ e τ u(τ)u( + 2 τ) dτ +2 = e τ dτ u ( + 2 ()) = e +2 [e +2 ] u( + 2) +2 e τ dτu( + 2) Ex. x() = e u( ) y() = u( + 2) u( + ) z() = x() y() = = = = = = +2 +2 + x(τ)y( τ) dτ = e τ u( τ)u( τ + 2) dτ e τ [ u(τ)] u( τ + 2) dτ e τ u( τ + 2) dτ + e τ dτ e τ dτ e τ u( τ) [u( τ + 2) u( τ + )] dτ e τ u( τ)u( τ + ) dτ e τ u(τ)u( τ+2) dτ +2 e τ [ u(τ)] u( τ + ) dτ e τ dτu( + 2) + e τ dτ [e +2 ] u( + 2) + [e + ] u( + ) e τ u( τ+) dτ + + e τ dτu( + ) e τ u(τ)u( τ+) dτ h() ανν LTI y() = x() h() = x(τ)h( τ) dτ = h(τ)x( τ) dτ Έστω ότι η x() = e jω y() = h()e jω( τ) dτ = e jω = x() h(τ)e jωτ dτ h() FT H(ω) h(τ)e jωτ dτ 5

x() = A e jω + A 2 e jω 2 y() = A e jω H(ω ) + A 2 e jω 2 H(ω 2 ) 6

Συναρτηστιακοί χώροι Διανυσματικός χώρος S x, y S Εσωτερικό γινόμενο x, y C ) x, y = y, x 2) c x, y = cx, y 3) x + y, z = x, z + y, z 4) x, x με x, x = ανν x = Νόρμα x S x ) x = ανν x = 2) ax = a x x C 3) x + y x + y Μέτρο: Απόσταση μεταξύ x, y S ) d( x, y) d( x, y) = ανν x = y 2) d( x, y) = d( y, x) 3) d( x, y) d( x, z) + d( y, z) z S Συναρτησιακός χώρος x(), y() S = {x()/x() [, 2 ] R} 2 x(), y() = x()y() d 2 /2 x() = [ x 2 () d] /2 2 d (x(), y()) = [ [x() y()] 2 d] Αν φ (), φ 2 () = φ (), φ () = φ () φ 2 () φ () κανονική 7

y a Τερατοχώρος a x x, y όχι εξαρτημένα (συνευθειακά) Ποια είναι η καλύτερη προσέγγιση για το a bes γιατί d( a, a) min. Άρα: a = kx a = a x x + a y y a a = (a x k) x a y y d( a, a) = (a x k) 2 + a 2 y d dk (d( a, a)) = a x k = k = a x = a a x = a x Η βέλτιστη έκφραση του a εφ' όσον δεν υπάρχει το x a στο δισδιάστατο χώρο είναι το ίδιο το a. y; Μη κάθετα διανύσματα y a < π 2 x a = a x x + a y y a y y x y a x x a = a x x + a y y a a = (a x k) x + a y y d( a, a) = a a = ( a a)( a a) = ([(a x k) x + a y y] [(a x k) x + a y y]) [(a x k) 2 + a 2 y + 2(a x k)a y x a bes = ( a x) x a x y] /2 a x = a x + a y cos φ a x Η βέλτιστη περιγραφή του a στον διδιάστατο στον άλλο χώρο /2 Συναρτησιακός κόσμος f() = a n φ n () n= φ n () παράγουν χώρο με το μηχανισμό: Δ 8

φ n () ανεξάρτητες μεταξύ τους (βάση απειροδιάστατου χώρου) f() = M n= a n φ n () βέλτιστη, ώστε η απόσταση με την f να είναι ελάχιστη a n, επειδή η βάση δεν είναι ορθοκανονική σφάλμα I 2 = Άρα: d(i 2 ) d = [f() f()] 2 d + [ n= a n φ n () = f 2 () d + I 2 = f 2 () d + M + 2 n= 2 = a i από έως n = 2a i M n= f 2 () d + M M n= M a n φ()] 2 a n φ n () n= M n= m=n+ a n f()φ n () d M n= [ a n φ n ()] 2 d 2 d d 2 a n a m φ n ()φ m () d a 2 n φn() 2 d + 2 φ 2 i () d + 2 m i a m [f() M M a n n= n=m+ M n= a n φ n ()] d a m φ n ()φ m () d 2 φ i ()φ m () d 2 f()φ() d = M n= a n f()φ n () d Σύστημα εξισώσεων Αν φ () i μοναδιαία, τότε: φ 2 i () d = Αν φ i () είναι ορθογώνια, τότε: φ i ()φ j () d =, i j Αν {φ i ()} είναι ορθοκανονική βάση, τότε: 2a i 2 f()φ() d = Με άλλη γραφή: a i = όπως το k= a x f() φ i () d = a i προβολή του διανύσματος στο μοναδιαίο 2a i φ i, φ i + 2 a m φ i, φ m 2 f, φ i = m+i Είναι: + + f, φ i = a n φ n, φ i = a n φ n, φ i = a i n= n= όπως στα διανύσματα Ηθικό δίδαγμα: Αν η βάση του χώρου είναι ορθοκανονική και μας ζητηθεί να υπολογίσουμε μία προσέγγιση της συνάρτησης σε έναν υποχώρο, μπορούμε άμεσα να υπολογίσουμε την προβολή της συνάρτησης πάνω στη βάση. 9

Ex. f() = e 3 u() φ () = e u() & φ 2 () = e 2 u() βέλτιστη f() = a e u() + a 2 e 2 u() [a φ + a 2 φ 2 f] φ d = [a e + a 2 e 2 e 3 ] e d = a e 2 d + a 2 e 3 d e 4 d = a 2 + a 2 3 4 = [a e + a 2 e 2 e 3 ] e 2 d = a 3 + a 2 4 5 = a = 3 /, a 2 = 6 /5 E = f 2 () d = a 2 n n= γενικότερη μορφή Parseval's Theorem 2

Ανάλυση Fourier Περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο T x k = 2 T cos(kω) T/2 x k (), x n () = T /2 2π ω = T θεμελιώδης κυκλική συχνότητα T/2 x k ()x n () d = T /2 n k cos(kω) cos(nω) d = { n = k y k = 2 T sin(kω) y n k k, y n = { n = k Υποστηρίζω ότι κάθε περιοδική f() = a n cos(nω) + b n sin(nω) n= Οραματίζομαι ότι αν η παραπάνω f() είναι σήμα εισόδου σε ένα σύστημα, τα ημίτονα και συνημίτονα ως ιδιοσυναρτήσεις θα παραμείνουν αμετάβλητα, και θα τροποποιηθούν μόνο τα a n, b n. z k () = e jkω k n z k, z n = { k = n T z k () = T e jkω f() = F n e jnω n= εκθετική σειρά f() = a 2 + [a n cos(nω) + b n sin(nω)] τριγωνομετρική σειρά Α n= f() = A + n= A n cos(nω + φ n ) τριγωνομετρική σειρά Β Οι συντελεστές μπορούν να βρεθούν από τις προβολές της συνάρτησης πάνω στα ημίτονα και τα συνημίτονα: a n = 2 T/2 T f() cos(nω) d n T /2 b n = 2 T/2 T f() sin(nω) d T /2 a = 2 T/2 T f() d T /2 F n = T/2 T f()e jnω d T /2 2

Συνθήκες Dirichle T/2 ) f() d < T /2 2) Πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών εντός T 3) Πεπερασμένος αριθμός τοπικών ακροτάτων εντός T f() περιοδική T Μορφή Σειρά Συντελεστές Αλλαγές Εκθετική f() = F n e jωn Τριγ. Α f() = a 2 + a n cos(nω) + b n sin(nω) n= Τριγ. Β f() = A + n= A n cos(nω + φ n ) F n = T/2 T f()e jnω d T /2 a n = T 2 /2 f() cos(nω) d T T /2 b n = T 2 /2 f() sin(nω) d T T /2 a = T 2 /2 f() d T T /2 F = a /2 F n = /2(a n jb n ) a n = (F n + F n ) b n = j(f n F n ) a = 2F A = a /2 A n = a 2 n + b 2 n = 2 F n φ n = arcan( b n a n ) P = W T = T T f 2 () d = a2 4 + a 2 n + bn 2 2 n= = F 2 + 2 F n 2 = F n 2 n= n= Άσκηση για το σπίτι Q Να βρεθούν η εκθετική και η τριγωνομετρική σειρά των σημάτων: 2D D D T Α Α Α2 2π T T 2 3 n 2π T 2 2π T 3 2π T Α 3 22

Μετασχηματισμός Fourier T 2 T 2 Φορέας συνάρτησης είναι το διάστημα του πεδίου ορισμού της στο οποίο η συνάρτηση δεν είναι (από min x για το οποίο δεν είναι ως το αντίστοιχο max x). f() = k = f( kt ) T -περιοδική f() = { f() T /2 T /2 elsewhere f() = a 2 + a n cos(ω n) + b n sin(ω n) n= ω = 2π T Term(n) a a 2 2 n a 2 a a 2 ω ω 2ω 3ω ω ω = 2π T a 2 Μετασχηματισμός Fourier F (ω) = f()e jω d f() = 2π F (ω)e jω dω 23

Προσοχή Όταν παίρνουμε τύπους από τυπολόγια, ελέγχουμε τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier, για διαφορές στη σύμβαση! Αντίστοιχος ορισμός F (f) = f() = e j2πf d F (f)e j2πf df (όπου f η συχνότητα) Η αρνητική συχνότητα δεν έχει καμία φυσική σημασία! Ιδιότητες F (ω) = A(ω)e jφ(ω) = F R (ω) A(ω) = F (ω) F (ω) = Re{F(ω)} +j F i (ω) Im{F(ω)} f() (cos(ω) j sin(ω)) d = f() cos ω d Re{F(ω)} Αν f() R R είναι άρτια F (ω) είναι πραγματική F (ω) Re {F (ω)} και είναι άρτια Αν f() R R είναι περιττή F (ω) είναι φανταστική F (ω) = j Im {F (ω)} και είναι περιττή j f() sin ω d Im{F(ω)} Κάθε συνάρτηση είναι άθροισμα μίας άρτιας και μίας περιττής. Έστω f() = f e ()+f o (). Τότε: F (ω) = (f o () + f e ()) (cos ω j sin ω) d = f o cos ω d + Αν η f είναι πραγματική: Re {F (ω)} είναι άρτια Im {F (ω)} είναι περιττή f e cos ω d j A(ω) = F (ω) = Re 2 {F (ω)} + Im 2 {F (ω)} είναι άρτια Φ(ω) = arcan Im{F(ω)} Re{F(ω)} Αν η f() R R και άρτια: Im {F (ω) = } Φ(ω) = είναι περιττή. Αν η f() R R είναι περιττή: Re {F (ω)} = Αν f () FT F (ω) και f 2 () FT F 2 (ω) a, a 2 C σταθερά: f() = a f () + a 2 f 2 () FT F (ω) = a F (ω) + a 2 F 2 (ω) Γραμμικότητα του Fourier Transform f o () sin ω d j f e sin ω d 24

Συμμετρική ιδιότητα (το διπλάσιο τυπολόγιο) Αν f() FT F (ω) F () FT 2πf( ω) f() F (ω) f( τ) e jωτ F (ω) = A(ω)e jφ(ω) = A(ω)e j(φ(ω) ωτ) f() F (ω) e jω f() F (ω ω ) π.χ cos(ω )f() = ejω + e jω 2 f() FT 2 [F (ω ω ) + F (ω + ω )] Κλιμάκωση στο χρόνο f() F (ω) f(a) a F (ω a ) γιατί; να αποδειχθεί στο σπίτι! f() f(a) T T a f ( a) at Τι συμβαίνει με τη συνέλιξη y() = x() h() x() X(ω) h() H(ω) y() Y (ω) = X(ω)H(ω) y() = x() h() y() Y (ω) = X(ω) H(ω) 2π = 2π X(ξ)H(ω ξ) dξ f() F (ω) y() = df() jωf (ω) d d n f() d n (jω)n F (ω) 25

y() = d d f() = d d 2π F (ω)ejω dω = 2π F (ω) d d ejω ] dω = 2π jωf (ω)e jω dω f() F (ω) f() F.T d F (ω) d n f() F.T dn F (ω) dn Φανταστείτε ότι f R C f() F (ω) f () F ( ω) f() = 2π F (ω)e jω dω f () = 2π F (ω)e jω dω = 2π F ( ω)e jω dω Θεώρημα Parseval Θεώρημα Parseval W = f() 2 d = 2π όπου F (ω) = A(ω)e jφ(ω) F (ω) 2 dω = 2π A 2 (ω) dω Ορισμός y() = f()f () = f() 2 Y (ω) = 2π F (ω) F (ω) Y (ω) = y()e jω d = 2π F (ξ)f ( (ω ξ)) dξ = 2π F (ω) 2 dω = 2π A(ω) 2 dω Πυκνότητα φασματικής ενέργειας: A2 (ω) 2π 26

Μετασχηματισμός Fourier γενικευμένων συναρτήσεων α) δ() δ()e jω d = e jω = e = = δ( ) e ±jω f() = 2πδ(ω), άρα 2πδ(ω) { { cos ω d = 2πδ(ω) sin ω d = e jω d = 2πδ(ω) cos ω d j sin ω d = δ() ω β) sgn() = sgn() = lim u [e a sgn()] FT sgn() = a = lim e a sgne jω d e a jω d + lim = lim a e(a jω) a jω = lim [ a a jω + = 2 jω I a + jω ] a + e a jω (a + jω) e a jω d γ) u() u() F.T. u() = 2 + F.T. sgn() πδ(ω) + 2 jω 27

F (ω) ω X() εκφράζει το D.C u() F.T. πδ(ω) + jω f() F.T. F (ω) g() = f() d = f(τ)u( τ) dτ = f() u() G(ω) = F (ω) [πδ(ω) + jω ] δ() άρτια δ () () = d δ() jω d δ (n) () = dn δ() (jω)n dn n 2πj n δ (n) (ω) Παρ. f() = = u() u( ) F (ω) = [2πjδ(ω) [πδ(ω) + ] 2πjδ(ω) [πδ(ω) 2π jω jω ]] Calculae a home! The answer is 2 ω 2 2πj δ () (ω) u() πδ(ω) + jω u( ) πδ(ω) jω Kramers - Kronig Relaions Από ηλεκτρομαγνητικό πεδίο: D = πυκνότητα ροής διηλεκτρική σταθερά ε E ένταση πεδίου 28

E = E( r, ) E( r, ω) D(ω) =ε(ω) E(ω) D() =ε() + E() Re {ε(ω)} Im {ε(ω)} h() = < h() R R Αν H(ω) = FT {h()} = H R (ω) + jh I (ω) H I (ω) = π H R (ω) = π H R (ω ) ω ω H I (ω ) ω ω dω dω Άσκ. f() = 2 cos ω cos ω 2 = cos(ω ω 2 ) + cos(ω + ω 2 ) F (ω) = F {cos(ω ω 2 )} + F {cos(ω + ω 2 )} = π [δ (ω (ω ω 2 )) + δ (ω + (ω ω 2 ))] + π [δ (ω (ω + ω 2 )) + δ (ω + (ω + ω 2 ))] (cos ω FT π [δ(ω ω ) + δ(ω + ω )]) Εναλλακτικά: F (ω) = 2 2π F {cos ω } F {cos ω 2 } = π [δ(ω ω ) + δ(ω + ω )] [δ(ω ω 2 ) + δ(ω + ω 2 )] = π [δ(ω ω 2 ω ) + δ(ω ω 2 + ω ) + δ(ω + ω 2 + ω ) + δ(ω + ω 2 ω )] Άσκηση f() = g() cos 2 ω = g() + cos 2ω 2 g() FT G(ω) = g() 2 + 2 g() cos 2ω F (ω) = 2 G(ω) + 2 G(ω) F {cos 2ω } = 2 G(ω) + 2 G(ω) [π (δ(ω 2ω ) + δ(ω + 2ω ))] 2π = 2 G(ω) + 4 [G(ω 2ω ) + G(ω + 2ω )] 29

Αν δεν θυμάμαι τον τύπο: f() = g() cos 2 ω = g() cos ω cos ω F (ω) = 2π G(ω) [ 2π F {cos ω } F {cos ω }] = 4π 2 G(ω) [π [δ(ω ω ) + δ(ω + ω 2 )]] π [δ(ω ω ) + δ(ω + ω 2 )] = 4 G(ω) [δ(ω 2ω ) + δ(ω) + δ(ω) + δ(ω + 2ω )] = 4 [G(ω 2ω ) + 2G(ω) + G(ω + 2ω )] Άσκηση f() = g(a + b) g() FT G(ω) h() = g(a) F (ω) = F {g(a) + b} = F {h ( + b a )} = H(ω)ejω b a H(ω) = a G (ω a ) F (ω) = a ejω b a G ( ω a ) cos FT π [δ(ω ) + δ(ω + )] sin ω = cos (ω π 2 ) sin FT ω e jω π 2ω π [δ ( ω ω ) + δ ( ω ω + )] δ( ω ω )=δ( ω (ω ω )) = e j ω ω π [δ(ω ω ) + δ(ω + ω )] = jπ [δ(ω ω ) δ(ω + ω )] f() A τ/2 τ τ/2 F (ω) = τ/2 f()e jω d = A e jω d τ /2 = A jω e jω τ /2 = A τ/2 jω [e jωτ /2 e jωτ /2 ] = Aτ sin(ω 2 ) ω 2 = Aτ sin(ω 2 ) = Aτsinc ( ω ω 2 2π ) 3

sinc Μαθηματικοί: Μηχανικοί: sin x sinc(x) = x sinc(x) = sin(πx) πx Χρονοπερατό vs Ζωνοπερατό Σήμα f() G(ω) A T T -imelimied B σ/2 σ/2 σ-bandlimied ω Ένα ζωνοπερατό σήμα δεν μπορεί να είναι χρονοπερατό Ένα χρονοπερατό σήμα δεν μπορεί να είναι ζωνοπερατό Ένα σήμα μπορεί να μην είναι ούτε χρονοπερατό, ούτε ζωνοπερατό. f() χρονοπερατό f() f(ω) ζωνοπερατό ω Απόδ. Ζωνοπερατό F (ω) ΕΣΤΩ Χρονοπερατό f() σ/2 σ/2 ω T/2 T/2 σ/2 f() = F (ω)e jω dω σ /2 d n f() d n σ/2 = (jω) n F (ω)e jω dω σ /2 3

Ορίζεται η σειρά Taylor επομένως σε οποιοδήποτε σημείο, όμως τότε, επειδή σε κάποια σημεία οι παράγωγοι είναι, θα έπρεπε η F να είναι μηδενική, άτοπο. Γκαουσιανός παλμός f() = σ /(2σ2) e2 2π FT F (ω) = e 2 ω2 σ 2 = e 2 ω 2 σ 2 f() σ σ 2 > σ σ 2 f() d = σ 2 διασπορά F (ω) = f()e jω d = = σ 2π = σ 2π e σ 2π e 2 2σ 2 jω d e σ 2 [2 +2σ 2 jω+(jωσ 2 ) 2] e 2σ 2 (jωσ2 ) 2 d 2σ 2 ω2 σ 4 = e 2 ω2 σ 2 σ 2π Ηθικά διδάγματα: e 2σ 2 +jωσ 2 τ ( + jωσ 2 ) d e 2 σ 2 τ2 dτ = e 2 ω2 σ 2 Ο μετασχηματισμός της Gaussian είναι Gaussian Ό,τι στενεύει στον χρόνο απλώνει στο φάσμα, και αντίθετα 32

f() F (ω) σ 2 FT σ 2 ω f() σ 2 2 > σ2 FT F (ω) σ 2 2 > σ 2 ω d 2 () d διασπορά στον χρόνο d 2 = 2 f 2 () d διασπορά στο φάσμα D 2 = 2π ω2 dω x() dx() d d 2 x 2 () d dx() Parseval heorem d = d 2 D 2 dd d /2 Γιατί /2; (Υπόδειξη: xdx d = d 2 dx2 d d = [ ] 2 x 2 d ) Θα τα ξαναπούμε Τρίτη 22 Νοεμβρίου (χάνουμε 3 μαθήματα). 33

Μετασχηματισμός Laplace X(ω) = x()e jω d y() = x()e σ Y (ω) = y()e jω d = x()e σ e jω d X(s) = x()e s d (s = σ + jω) Μ. Laplace () Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace x() = σ+jω 2πj σ jω () X(s)e s ds Έστω ότι x() είναι αιτιατή (x() = < ). Ας φανταστούμε ότι η x() δεν έχει μετασχηματισμό Fourier. jω σ s-plane Re{s} = σ > x() = sin(ω) e u() σ Re{s} = σ > x() = sin(ω) e u() Έστω ότι x() αντιαιτιατή (x() = > ) 34

s-plane x() = sin ω e u( ) sin ω u() + sin ω e u( ) Re{s} Re{s} < Η sin ωu() + sin ωe u( ) δεν έχει περιοχή σύγκλισης. X(s) = 35 (x 8)(x + 2) x 2 () x 3 () x () Οι πόλοι (ρίζες του παρονομαστή) καθορίζουν τις περιοχές σύγκλισης. Οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούμε είναι αιτιατές, άρα γενικά ο μετασχηματισμός Laplace καταρρέει στην: X(s) = x()e s d Το μάς επιτρέπει να ασχοληθούμε με συναρτήσεις που απειρίζονται στο, π.χ. x or δ(). Ιδιότητες x() X(s) Re {s} > σ y() Y (s) Re {s} > σ 2 35

) ax() + by() ax(s) + by (s) τουλάχιστον Re {s} > max {σ, σ 2 } 2) Μετατόπιση σε χρόνο x()u() X(s) σ > σ y() = x( )u( ) X(s)e s > σ > σ 2 Απόδ. Y (s) = y()e s d = x( )u( )e s d = x(τ)u(τ)e s(+) dτ = X(s)e s 3) Κλιμάκωση x() X(s) 4) Παραγώγιση x(a) a X ( s a ) a > x() X(s) dx() d 5) Ολοκλήρωση x() X(s) 6) Διαμόρφωση 7) Συνέλιξη sx(s) x ( ) x() d s X(s) x() X(s) σ > σ e a x() X(s + a) a C σ > σ Re {a} x() X(s) y() Y (s) x() y() = X(s)Y (s) Laplace "περιοδικών συναρτήσεων" τ x T () = { x() x T αλλού x() x p (T ) T 36

x() = x T () + x T ( T ) + x T ( 2T ) + x() = L {x()} = n= x T ( nt ) L {x T ( nt )} n= x T () L X T (s) x T ( nt ) L X T (s)e nts L {x()} = n= X T (s)e nts = X T (s) n= e nts = e Ts XT (s) σ > max(, σ ) X(s)? X(ω) X(ω) = X(s) s=jω Ex. x() = e a u() Ex. 2 X(s) = x()e s d = e a e s d = e (a+s) d = e (a+s) (a + s) = e (a+s) e (a+s) = (a + s) x() = δ() X() = δ()e s d = e s = s C s + a Re {s} > Re {a} Ex. 3 x() = u() X(s) = s Re {s} > Για να βρω πεδίο σύγκλισης: X(s) = e s d = e s s + = e s s e s = s Ex. 4 x() = cos ω u() x() = ejω + e jω u() = 2 2 ejω u() + 2 e jω u() LT 2 s s 2 + ω 2 Re {s} > s jω σ> + 2 s + jω σ> = 2s 2 s 2 + ω 2 = Ex. 5 x() = sin ω u() 2j [ejω u() e jω u()] LT 2j [ s jω Re{s}> s + jω ] Ποιός είναι ο μετασχηματισμός Fourier της παραπάνω; = ω s 2 + ω 2 Re {s} > Το πιθανό λάθος αποτέλεσμα είναι το ( FT s=jω x() = sin ω u() ω ω 2 ω2 ) 37

sin ω FT jπ [ δ(ω ω ) + δ(ω + ω )] u() FT πδ(ω) + jω x() [jπ (δ(ω + ω ) δ(ω ω ))] [πδ(ω) + jω ] = 2π [jπ2 (δ(ω + ω ) δ(ω ω )) + jπ ( j(ω + ω ) j(ω + ω ) )] = jπ 2 [δ(ω + ω ) δ(ω ω )] + [ ω ω 2 ω2 ] Θεωρήματα Αρχικής & Τελικής Τιμής lim x() = lim (sx(s)) + s lim x() = lim (sx(s)) s ( ) n f() LT dn F (s) ds n f() LT F (s) Για να βρίσκουμε αντίστροφους μετασχηματισμούς Laplace χωρίς μιγαδική ολοκλήρωση χρειαζόμαστε ένα ισχυρό τυπολόγιο. Τυπολόγιο X(s) x() s u() e a u() s+a (s+a) n s n β s 2 +β 2 s s 2 +β 2 β (s+a) 2 +β 2 s+a (s+a) 2 +β 2 n (n )! e a u() n (n )! u() sin(β)u() cos(β)u() e a sin(β)u() e a cos(β)u() X(s) = P (s) Q(s) = N(s) π.χ = D(s) N(s) (s + a)d (s) = x() = Ae a u() LT { N (s) D (s) } A s + a + N (s) D (s) 38

N(s) X(s) = (s + a) κ D (s) = A (s + a) + A 2 (s + a) 2 + + A κ (s + a) κ + N (s) D (s) A i (s + a) i ILT i A i (i )! e a u() X(s) = N(s) [(s + a) 2 + ω 2] D (s) = As + B (s + a) 2 + ω 2 + N (s) D (s) s = a jω s 2 = a + jω ένας πόλος Ex. p() T p() = u() u( T ) L {p()} = L {u()} L {u( T )} = s s e st = e st s Ex. 2 f() T Ex. 3 f() f() = T u() u( T ) T T F (s) = T s 2 T s 2 e st = T s 2 [ e st ], s > 3 4 39

f() = u() ( )u( ) ( 3)u( 3) + ( 4)u( 4) F (s) = s 2 [ e s e 3s + e 4s ] Ex. 4 f() sin() π f() = sin()u() + sin( π)u( π) F (s) = s 2 + s 2 + e πs Ex. 5 π f() = sin u() F (s) = + e πs e πs Ex. 6 F (s) = s 2 6 s 3 + 4s 2 = + 3s αιτιατής συνάρτησης s 2 6 s(s 2 + 4s + 3) = s 2 6 s(s + )(s + 3) = A s + = 2 s + 5 /2 s + + /2 s + 3 f() = [ 2 + 5 2 e + 2 e 3 ] u() B s + + Γ s + 3 Ex. 7 F (s) = 5s3 6s 3 s 3 (s + ) 2 = A s + B s 2 + Γ s 3 + (s + ) + E (s + ) 2 F (s) = 3 s 3 s 3 3 s + + 2 (s + ) 2 f() = [3 3 2 2 3e + 2e ] u() Ex. 8 F (s) = 6 s(s 2 + 4) 2 = A s + B s + C s 2 + B 2s + C 2 + 4 (s 2 + 4) 2 6 = A(s 2 + 4) 2 + (B s + C )s(s 2 + 4) + (B 2 s + C 2 )s F (s) = s s s 2 + 4 4s (s 2 + 4) 2 f() = [ cos 2 sin 2] u() 4

Ex. 9 f + 6f + f + 6f = f = f = f @ = LT { } s 3 F s 2 f sf f + 6 [s2 F sf f ] + [sf f ] + 6F = s F (s 3 + 6s 2 + s + 6) = s F (s) = s(s + )(s + 2)(s + 3) F (s) = /6 s + /2 s + + /2 s + + /6 s + 3 f() = [ 6 2 e + 2 e 2 6 e 3 ] u() Η μόνιμη κατάσταση που συντηρείται από το στην διαφορική εξίσωση είναι το 6 4

Θεώρημα Δειγματοληψίας X(f) = x() = x()e j2πf d X(f)e j2πf d x ()x 2 () F X (f) X 2 (f) X (f)x 2 (f) F x () x 2 () sinc() = sin(π) π Συνάρτηση δειγματοληψίας: S Ts () = n= δ( nt s ) F F p n= δ(f nf p ) F p = T s F T s F p = T s S Fs (f) F T p S Tp () T p = F s S Ξs (ξ) Αν κάπου δειγματοληπτώ, στον άλλο χώρο είναι περιοδικότητα Συνάρτηση ορθογωνικού παραθύρου μήκους T στον κόσμο W T () = { < T /2 αλλού F T 2 T 2 W F (f) F 2 T F sinc(f ) T F 2 F 2 f 42

Δειγματοληψία γινόμενο συνέλιξη g() g s (T ) F G(f) G S (f) S TS Δειγματοληψία F P S FP G S (f) = G(f) F p S Fp (f) = F p G(f) ( δ(f nf p )) n = F p G(f nf P ) n Παρατηρούμε τις επικαλύψεις μεταξύ των διαδοχικών φασμάτων (aliasing). Για να περιοριστεί αυτό μπορούμε να αυξήσουμε το F p ( να αυξήσουμε τη συχνότητα δειγματοληψίας) A G(f) Afer A Fp G S (f) f F P F P 2F P f 43

A G(f) Afer σ σ σ-ζωνοπερατό f F P σ F P W F (f) σ σ F P σ F P F P +σ σ σ Για να μην έχουμε aliasing πρέπει: F p σ > σ F p > 2σ Nyquis's Crierion: max frequency F p > 2 σ συχνότητα δειγματοληψίας F P σ F 2 σ σ F 2 W F (f) σ < F /2 < F p σ F p = W F (f) G S (f) ΙFT F p g() = F {W F (f)} F {G S (f)} 44

F p g() = F sinc(f ) S Ts () g() g s () = F = F n g() δ( nt s ) sinc (F ( )) d n g()δ( nt s ) sinc (F ( )) d = F g(nt F s ) sinc (F ( nt s )) p n F = F p g(kt s ) = F g(nt F s ) sinc (F (kt s nt s )) P n g(kt s ) = g(nt s ) sinc(k n) n Γενικά, αν F = F p : g() = g(nt s ) sinc ( ( nt T s )) n s Δειγματοληψία όταν F p = 2σ Παρατηρούμε ότι οι δ αφαιρούνται μεταξύ τους, οπότε G S (f) = sin, επομένως δεν μπορούμε να έχουμε F p = 2σ. Άσκηση για το σπίτι φ F,T s n () = sinc (F ( nf p )) Να βρεθεί το φ n (), φ k (). 45

Υποδειγματοληψία (undersampling) x(f) f H f L Για να μην πέφτουν τα "πλακάκια" το ένα πάνω στο άλλο: f L f H f κf s f L < f L (κ + )f s f H > f H } f s < 2fL κ f s > 2f H κ+ 2f H κ + < f s < 2f L κ Ψάχνω το μέγιστο κ, έτσι ώστε να βρω το ελάχιστο f s f s min Θα ψάξω το ελάχιστο f s : 2f H f L f H f L + < f s < 2f L f L 2f H κ + < 2f L κ f L k f H f L f L κ bes = f H f L f H f L 2f H f L f H f L + < f s < f L 2f L f H f L + 2f H f H f H f L < f s 2f H f H f H f L = 2f H = f H ε f H f L <ε< = 2(f H f L ) ε( f L f H ) > 2(f H f L ) 2f H = 2f H(f H f L ) f H εf H +εf L f H f L = 2(f H f L ) f H ( ε) + εf L ( ε) + ε f L αλλά όχι πολύ κοντά εκεί! f H 2(f H f L ) < 2f H f L f H f L + < f s 46

- X S (f) f H f L f L f H f Gibbs' Phenomenon X(ω) σ σ ω δηλαδή x() FT X(ω) x σ () = σ 2π σ = 2π = = X(ω)e jω dω = 2π σ σ x(τ) σ σ j( τ) ejω( τ) σ σ e jωτ+jω dω d = σ j( τ) [ejσ( τ) e jσ( τ) ] = 2 sin (σ( τ)) τ sin (σ( τ)) X σ (f) = x(τ) dτ π( τ) x(τ)e jωτ dτ e jω dω σ e jω( τ) dω 47

X(ω) IFT sin(σ) π σ σ ω σ σ X(ω) IFT δ() ω lim x σ() = σ lim x σ() = σ lim x σ() = x() σ sin (σ( τ)) x(τ) lim dτ σ π( τ) x(τ)δ( τ) dτ x( + ) x() x( ) X C () = x( ) x( ) + [x( + ) x( )] u() [x( + ) x( )] Άρα sin (σ( τ)) dτ τ x() = x c () + [x( + ) x( )] u() sin (σ( τ)) x σ () = x c () dτ [x(+ ) x( )] π( τ) π Θέτουμε σ( τ) = x dτ = σ dx τ = x σ = σ sin x x σ = π 2 + σ σ sin x ( x dx) = sin x x dx + sin x x dx sin x x dx = π 2 + Si(σ) Sine Inegral sin (σ( τ)) dτ ( τ) sin (σ( τ)) x σ () = x c (τ) dτ + [x(+ ) x( )] + [x(+ ) x( )] Si (σ) π( τ) 2 π 48

sin x Si() = x dx π 2 π, 895 3π σ 2π σ π σ π σ 2π σ 3π σ Si (σ) π 2 Χρησιμοποιώντας τον Leibniz Rule (παραγωγίζοντας το ολοκλήρωμα) μπορούμε να αποδείξουμε την θέση των μεγίστων της Si. sin [σ( τ)] x σ () = x c () dτ + x(+ ) x( ) π( τ) 2 lim x σ() = x c () + x(+ ) x( ) + [x(+ ) x( )] σ 2 π lim x σ() = x( ) + x(+ ) x( ) = x(+ ) + x( ) σ 2 2 + [x(+ ) x( )] Si(σ) π lim Si(σ) σ Παρατηρώ ότι τα ζιγκζακωτά παραμένουν και το ύψος του κυματισμού δεν αλλάζει. Το μόνο που μπορεί να μεταβληθεί είναι η θέση του μεγίστου, με αύξηση του σ (ώστε να έρθει πιο κοντά στο σημείο ασυνέχειας). Αυτό είναι το φαινόμενο Gibbs. Εάν όμως το σ δεν τείνει στο, το αποτέλεσμα στο δεν είναι απαραίτητα το ημιάθροισμα των x( + ) και x( ). Ευστάθεια συστήματος Ευσταθές ονομάζεται ένα σύστημα όταν πεπερασμένη (φραγμένη στο πλάτος) είσοδος δίνει πεπερασμένη έξοδο - ΠΕΠΕ (Πεπερασμένη Είσοδος - Πεπερασμένη Έξοδος) / BIBO (Bounded Inpu - Bounded Oupu) ευστάθεια Φραγμένη συνάρτηση f() BF σημαίνει ότι M > f() < M όπου BF ο κόσμος των φραγμένων συναρτήσεων. Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν είσοδο x() BF η έξοδος του συστήματος είναι επίσης φραγμένη (y() BF ). ( Αν το σύστημά μας είναι γραμμικό και ΑΚΜ (Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση) h() κρουστική απόκριση y() = h() x() = h(τ)x( τ) dτ 49

Έστω M, x() < M x( τ) < M Επίσης έστω N y() < N y() = h()x( τ) dτ < h()x( τ) dτ < h(τ) dτ < N M Εάν η κρουστική απόκριση είναι απολύτως ολοκληρώσιμη, τότε το σύστημα είναι ευσταθές. Ιδανικό φίλτρο Έστω ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο: H(f) F /2 F/2 f W F (f) IFT sin(πf ) h() = F sinc(f ) = F πf h() F F 2 F 3 F Παρατηρώ ότι η κρουστική απόκριση του ιδανικού αυτού φίλτρου δεν είναι αιτιατή, οπότε ένα τέτοιο φίλτρο δεν είναι υλοποιήσιμο. Άσκηση για το σπίτι: Η h() είναι απολύτως ολοκληρώσιμη; Απάντηση Ξ k k + π sin() d = 2k k + h() d > k= k+ k h() d > Ξ + 2 k= h() = sin() > sin() k + sin() d > 2 k + n= k + 2 sin() Δηλαδή το σύστημα του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου δεν είναι ευσταθές. 5

Kramers - Kronig Έστω h() αιτιατή - πραγματική συνάρτηση με ΜF : H(ω) = H R (ω) + jh I (ω) Ξέρω h() = h e () even + h o () odd Ξέρω h o () FT H o (ω) I Ξέρω h e () FT H e (ω) R (επίσης περιττή συνάρτηση) (επίσης άρτια συνάρτηση) h o () = h e () < h () = h e () Συνεπώς h() = h e () + sgn()h e () h() = h o () + sgn()h o () X(ω) = x()e jω d x ()x 2 () FT 2π X (ω) X 2 (ω) sgn() FT 2 jω h() = h e () + sgn()h e () FT H(ω) = H e (ω) + 2π H(ω) = H e (ω) H R (ω) H I (ω) = π j π H e (ω ) ω ω dω H R (ω ) ω ω jh I (ω) dω ομοίως από πάνω υπολογίζουμε το H R. 2 jω H e(ω) = H e (ω) j π ω ω H e(ω ) dω Συστήματα Ανακεφαλαίωση Γραμμικά Αναλογικά Συστήματα. Γραμμικότητα T [ax () + bx 2 ()] = ay ()+by 2 () όπου y () = T [x ()] y 2 () = T [x 2 ()] x (), x 2 (), a, b 2. Χρονοαμετάβλητο T [x( k)] = y( k) όπου y() = T [x()] k, x() 3. Στιγμιαίο ( δυναμικό) y() = f (x()) Η έξοδος οποιαδήποτε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από την είσοδο την ίδια στιγμή. Η αντίσταση είναι ένα στιγμιαίο σύστημα, ενώ ο πυκνωτής και το πηνίο δεν είναι. 4. Αιτιατό Η έξοδος δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου ΞΕΡΩ Γραμμικό Χρον. Αμετάβλητο h() = < 5

5. Ευσταθές Για κάθε φραγμένη είσοδο, η έξοδος είναι φραγμένη. ΞΕΡΩ Γραμμικό Χρον. Αμετάβλητο h() d < 6. Συγκεντρωμένο και Κατανεμημένο Συγκεντρωμένο λέγεται όταν μοναδική ελεύθερη μεταβλητή είναι ο χρόνος. Παράδειγμα Το σύστημα y() = x 2 () είναι:. Μη γραμμικό 2. Χρονοαμετάβλητο 3. Στατικό (στιγμιαίο) 4. Αιτιατό 5. Ευσταθές 6. Συγκεντρωμένο Περιγραφή συστήματος με διαφορική εξίσωση n i=. Γραμμικό d i m a i d i y() = l= 2. Χρονοαμετάβλητο d l b l x() dl 3. Δυναμικό, εκτός αν n = m = 4. Αιτιατό Ολική λύση = Ομογενής + Μερική Λύση Ολική λύση = Εξαναγκασμένη λύση λύση θεωρώντας δεδομένη x() και μηδενικές Α.Σ. + Ελεύθερη λύση (Τα ζευγάρια ομογενής/ελεύθερη & εξαναγκασμένη/μερική δεν ταυτίζονται!) Ολική λύση = Λύση μόνιμης κατάστασης + μεταβατική λύση Λύση θεωρώντας x()= και δεδομένες Α.Σ. Μ. Laplace n i= i a i (s i Y (s) s i k y (k) m ) = b l s i X(s) k= εξαναγκασμένη l= l k= s l k x (k) Y (s) = m b l= ls l m n l= a X(s) l b k= ls l k x (k) i i= is n a + n i= l a k= is i k y (k) i= is i n a i= is i ελεύθερη y() = x() h() Y (s) = X(s)H(s) Συγκρίνοντας με τον παραπάνω τύπο, παρατηρούμε ότι η y() = x() h() μόνο όταν οι αρχικές συνθήκες είναι! 52

Μ. Fourier Για να λύσω το σύστημα >, θα πρέπει να μετασχηματίσω το αιτιατό κομμάτι του συστήματος μόνο: x () = x()u() y () = y()u() Άρα: dx = dx u() + x()δ() d d dy d = dy u() + y()δ() d d i y () d i = di i y d i u() + y (k)δ(τ) (τ k) d i x () d i N i= k= = di l x d i u() + a i d i y d i = m l= k= b l d l x d l x (k)δ(τ) (i l) Τελικά προκύπτει ότι η λύση της διαφορικής εξίσωσης y που μας ενδιαφέρει είναι: { m l= y () = IFT log(jω)l { n a i= i(jω) X (ω) i m l= l b k= l(jω) l k x (k) n a i= i(jω) i + n i= i a k= i(jω) i k y (k) } n a i= i(jω) i } Για την έξοδο σε ένα αιτιατό σύστημα θα χρησιμοποιώ Μ/Σ Laplace. Για μελέτη στη μόνιμη κατάσταση ( ), όπου οι αρχικές συνθήκες δεν συνεισφέρουν, θα χρησιμοποιώ Μ/Σ Fourier, παίρνοντας τον μετασχηματισμό όλης της συνάρτησης και όχι μόνο του αιτιατού μέρους της. Ex. R v i V C Q v() = Ri() + c i(τ) dτ + V u() I(s) s V (s) = RI(s) + C V = H(s) = I(s) V (s) = R + Cs + V s = = R ( /RC s + /RC ) H(ω) = R ( /RC jω + /RC ) Cs RCs + S/R S + /RC h() = ILT {H(s)} = R δ() R 2 C e RC u() Έξοδος i() = h() V () = [ R δ() R 2 C e /RC ] [V u()] = = V R e /RCu() Επειδή όμως οι αρχικές συνθήκες δεν είναι μηδενικές (ο πυκνωτής είναι φορτισμένος), το παραπάνω αποτέλεσμα είναι λάθος! 53

Η σωστή λύση είναι: v() = Ri() + C i(τ) dτ + V u() V (s) = RI(s) + C I(s) [R + Cs ] = V (s) V s Decibels (db) Έστω x A () = A sin(ω ) y B () = B sin(ω ) I(s) = V (s) V /s R + Cs I(s) s i() = V V R e /RC u() + V s s = (V V ) s = V R e /RC V R e /RC εξαναγκασμένη λύση μεταβατική λύση R + Cs H(s) x Α πλάτος A > x B πλάτος B > db = 2 log A B Για την ισχύ: c x 2 Α ισχύς A c x 2 B ισχύς B db = log A 2 B 2 Παρατηρούμε ότι τα db πλάτους και db ισχύος είναι το ίδιο! 54

H(ω) ω ω db 3 5Hz ω ±3dB σημαίνει (υπο)διπλασιασμό της ισχύος, ή πολλαπλασιασμό/διαίρεση του πλάτους με 2. Ασκήσεις Άσκηση x() = 4 sinc(4) (α) X(f) =? (β) Nyquis Συχνότητα για τα x() και x 2 () (α) T/2 T/2 W T () f(hz) FT f T sinc(t f) T sinc(t ) FT W T (f) x() = 4 sinc(4) FT f W 4 (f) = 2 2 f(hz) (β) Nyquis συχνότητα για το x() είναι 2 2 Hz = 4 Hz FT {x 2 ()} = FT {x()x()} = X(f) X(f) 2k 2k 2k 2k = 4k 4k Για το x 2 () η Nyquis είναι 2 4 khz = 8 khz 55

Άσκηση x() r() (βοηθητική συνάρτηση) + + y() Σημείωση a b a δηλώνει πολλαπλασιασμό με τον αριθμό a σημαίνει ολοκλήρωση d/d a(x + r) d = r dr = ax + ar d () r + b r d = y dr dy + br = d d (2) d 2 y a d dx 2 d a + b () (2) r(a + b) = dy d ax + a a + b (dy ax) = ax d Αν Re {a} <, τότε H(ω) = r = a + b (dy d ax) d 2 y d 2 ady d = adx d + abx s 2 Y (s) asy (s) = asx(s) + abx(s) Y (s) a(s + b) = H(s) = X(s) s(s a) a(jω + b) jω(jω a) 56

Ένα διάγραμμα όπως τα παρακάτω μπορεί να περιέχει: Τελεστή άθροισης v() y() = x() + v() ± w() x() ± + y() w() Γινόμενο συνάρτησης με αριθμό a x() y() Συνέλιξη x() h () y() y() = ax() y() = h () x() x() H (s) y() Y (s) = H (s)x(s) H (s)=l{h ()} Συνδυασμός (σε σειρά) y() = h 2 () v() = h 2 () (x() h ()) = [h () h 2 ()] x() x() v() h () h 2 () y() x() h () h 2 () y() ή x() x() H (s) H 2 (s) y() H (s)h 2 (s) y() Συνδυασμό (παράλληλα) x() h () + y() x() h 2 () h ()+h 2 () y() Τελεστές x() y() x() d d y() y() = x(τ) dτ y() = dx d 57

Άσκηση Να βρεθεί το ισοδύναμο του block diagram: Ξ(s) x() X(s) + x() H (s) H 2 (s) H(s) y() y() Y (s) Y (s) = H (s) Ξ(s) = H (s) [X(s) + Y (s)] Y (s) = H (s) [X(s) + H 2 (s)y (s)] Y (s) [ H (s)h 2 (s)] = H (s)x(s) Y (s) = H(s)X(s) H(s) = Y (s) X(s) = H (s) H (s)h 2 (s) Άσκηση x() H s 2 O(s)+5sO(s)+6O(s)=sI(s)+I(s) + o + 5o + 6o = ı + ı y() o + o = ı H 2 so(s)+o(s)=i(s) H (s) = O(s) I(s) = s + s 2 + 5s + 6 = s + (s + 3)(s + 2) H 2 (s) = O(s) I(s) = s + H, H 2 ευσταθή, αφού οι πόλοι τους βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο Y (s) = H (s) [X(s) H 2 (s)y (s)] Y (s) X(s) = H(s) = H (s) + H (s)h 2 (s) Άσκηση iω s-plane.5 σ απλοί πόλοι, δεν έχει μηδενικά 58

Αν η είσοδος x() = u(), βρίσκω μετά από "πολλά χρόνια" ότι y() = lim y() =. Να βρεθεί ολόκληρη η y(). Άσκηση Όμως k H(s) = (s + ) (s + /2) k Y (s) = H(s)X(s) = (s + ) (s + /2) s lim y() = lim sy (s) s Άρα Y (s) = = lim s [ k (s + ) (s + /2) s s] = 2k k = /2 /2 s(s + ) (s + /2) = s + s + + y() = [ + e 2e /2 ] u() 2 s + /2 M y() = 2πX( ω) ω= όπου X(ω) = FT {x()} x() M M () (2) M (3) w() ( 2π )4 Για να υπάρχει συνάρτηση μεταφοράς του M, πρέπει να είναι γραμμικό & αμετάβλητο: x() 2πX( ) y() 2πY ( ) ax + βy () a2πx( ) + β2πy ( ) good Έχω: x() 2πX( ω) ω= y() 2πe jτ X( τ) y () = 2πX( ω) ω= = 2π x(τ )e jτ( ω) dτ ω= y 2 () = 2πY ( ω) ω= = 2π y (τ 2 )e jτ2( ω) dτ 2 ω= = 2π = (2π) 2 = (2π) 2 2π x(τ )e jτ τ 2 dτ e jτ2( ω) dτ 2 Y 2 (ω) = (2π) 3 X( ω) x(τ ) e jτ 2(τ +) dτ 2 dτ x(τ )2πδ(τ + ) dτ = (2π) 3 y 3 () = 2πY 2 ( ω) ω= = (2π) 3 X(ω) ω= = (2π) 4 X() ω= = 2π x(τ )e jτ dτ x(τ )δ(τ + ) dτ = (2π) 3 x( ) 59

Στις εξετάσεις θα κουβαλήσουμε ένα δικό μας μαθηματικό τυπολόγιο (π.χ. Schaum's Tables & Formulas) 6