( () () ()) () () ()

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1 dr r ( t (α r = r t I r r r d dr d r (β r = r t I dr (γ Αν r = 0 για κάθε t I τότε το r ( t έχει σταθερή διεύθυνση για κάθε t I d (δ ( r( t r ( t r ( t = r( t ( r ( t r ( t t I d 1 1 dr d 1 1 dr r ( t (α r = + r = r t I r r r r r d dr dr dr d dr d r (β r = + r = r t I (γ d r d r dx d dz r = 0 = λr = λ( x z dx d dz = λx = λ = λz x= ce 1 = ce z= ce r= r( t = ( x z = e ( c1 c c = e c δηλαδή το διάνυσμα r ( t έχει σταθερή διεύθυνση d (δ ( r( t r ( t r ( t = dr d d = r t r t + r t r t r t + r t r t r t = ( r ( t r ( t r ( t + ( r( t r ( t r ( t + ( r( t r ( t r ( t = r t r t r t = r t r t r t t I ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Αν fgh : I είναι παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις μεταβλητής t να αποδείξετε ότι: d { f( t ( g( t h ( t } = { f ( t ( g( t h( t } + f( t ( g ( t h( t + f t g t h t { } { ( ( ( (}

Σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης του εξωτερικού γινομένου δύο συναρτήσεων τριών μεταβλητών έχουμε: d d d { f( t ( g( t h( t } = f( t ( g( t h( t + f( t ( g( t h( t d d = { f ( t ( g( t h( t } + f( t g( t h( t + f( t g( t h( t = { f ( t ( g( t h( t } + { f( t ( g ( t h( t } + { f( t ( g( t h ( t } Έστω ( ( ω ( ω r = r t = cos t a+ sin t b t I όπου ab σταθερά διανύσματα Να αποδείξετε ότι: dr d r (α r = ω ( a b (β + ω r = 0 (α Επειδή οι συναρτήσεις a b είναι σταθερές έχουμε r= r( t = ( cos ωt a+ ( sin ωt b r ( t = ω( sinωt a+ ω( cos ωt b t I οπότε λαμβάνουμε: dr r = ( cos t ( sin t ( sin t ( cos ω a+ ω b ω ω a+ ω ωt b = ωcos ωt+ ωsin ωt a b = ω a b ( ( ( (β ( ω ( ω ω ( ω ω ( Έχουμε r t = cos t a sin t b= r t t I 4 Έστω η φυσική παραμετρική καμπύλη γ : r = r ( s s 0 ( γ όπου ( γ το μήκος της καμπύλης γ C τάξης Χρησιμοποιώντας το τρίεδρο και τους τύπους του Frenet να αποδείξετε ότι: r s = T+ s N+ σ B (α ( ( r ( s r ( s = σ T+ ( r ( s r ( s r ( s (γ σ = r ( s (β B (τύπος υπολογισμού στρέψης (α Παραγωγίζουμε ως προς s και τα δύο μέλη της σχέσης dt r ( s = = ( s N ds οπότε λαμβάνουμε: dn r s = s N+ s = s N+ s s T+ σ s ds = s T+ s N+ s σ s B ( B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (β Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της ερώτησης (α λαμβάνουμε

( ( ( { } { ( ( ( σ ( B} r s r s = s N s T+ s N+ s s = σ T+ B (γ Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της ερώτησης (β λαμβάνουμε r s r s r s = r s r s r s = T s σ s T+ s B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ( s σ ( s = r ( s σ ( s από την οποία προκύπτει ο τύπος υπολογισμού της στρέψης: ( r ( s r ( s r ( s σ = r s ( r r C τάξης Να αποδείξετε ότι: ds (α r ( t = T (β r ( t = T+ N r ( t r ( t (γ r ( t r ( t = B (δ B = r ( t r ( t r ( t r ( t r t r t r t (ε = ( t = (στ σ = σ ( t = r ( t r ( t r ( t ( Τύποι υπολογισμού καμπυλότητας και στρέψης για την γ : r = r t t αβ 5 Έστω η παραμετρική καμπύλη γ : = ( t t [ αβ ] ( [ ] dr ds (α r ( t = = T ds ( ( ( ( C τάξης καμπύλη d ds d s ds d d s ds d ds d s ds (β ( t T T r = T = T+ = T+ = T+ N ds d s (γ r ( t r ( t = T + = T N B (δ Από την ερώτηση (γ θεωρώντας τα μέτρα των δύο μελών λαμβάνουμε r ( t r ( t r ( t r ( t = οπότε λαμβάνουμε B = r ( t r ( t (ε Από τον ορισμό του μήκους τόξου ή από την ερώτηση (α λαμβάνουμε ds r ( t = οπότε από την ισότητα r ( t r ( t = προκύπτει ότι r ( t r ( t = ( t = r t (στ Έχουμε (

4 d d s r ( t = T+ N ds dsdt ds dsds dn = T+ + ( s N+ N+ ds dsdsdt ds dsds dn = T+ + ( s N+ N+ ds ds ds dsds = + s + σ N+ T+ B T ( ( d s d s ds = T+ + ( s N+ σ B Έτσι έχουμε ( r ( t r ( t r ( t = ( r ( t r ( t r ( t = B r ( t 6 = σ = σ = σ r t r από την οποία έπεται ότι: d s d s ds = B T+ + ( s N+ σ B ( t σ = σ = ( ( t ( r ( t r ( t r ( t r ( t r ( t 6 (α Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής ανά μονάδα μήκους της συνάρτησης f ( x z x 4 Ρ 1 0 ως προς την κατεύθυνση = ( = z στο σημείο ( u 1 1 (β Ομοίως για τη συνάρτηση x αν ( x ( 00 f ( x = x + 0 αν ( x = ( 00 στο σημείο Ο(00 ως προς την κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα ( u= u u u = 1 1 f x z = = x 4 4 οπότε θα είναι z (α Έχουμε ( (

5 ( 10 ( 4 4 ( ( 0 4 f == x = 1 4 4 Επιπλέον παρατηρούμε ότι u = + + = 1 οπότε έχουμε: 9 9 9 1 11 Du f ( 1 0 = f ( 1 0 u = ( 0 4 = r t = 00 + t u u = tu tu t και τη (β Θεωρούμε τη καμπύλη ( ( ( ( 10 1 1 συνάρτηση tuu 1 tu1u αν t 0 αν 0 t F( t = f ( r ( t = tu u 1 + tu = 1 + u 0 αν t 0 = 0 αν t = 0 της οποίας προσδιορίζουμε τη παράγωγο για t = 0 Επειδή είναι F( t F( 0 tu1u u1u lim = lim = t 0 t 0 t t u + u u + u uu 00 = F 0 = u + u έχουμε ότι: ( ( 1 D f u 1 ( 1 7 Δίνεται η συνάρτηση f ( x ( x ( x 1 π π = cos Α= (α Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι: στο Α (β Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ανά μονάδα μήκους ως προς την κατεύθυνση ( u= u u u = 1 στα σημεία των αξόνων x x και που ανήκουν στο Α ισούται με 0 (α Έχουμε ( ( cos ln cos x π π f x = x = e ( x Α= οπότε: ln cos x ( sin x sin x π π = e = f ( x ( x Α= cos x cos x ln cos x π π = e lncosx= ln(cos xf ( x ( x Α= π π (β Θεωρούμε σημείο ( ab με a= 0 b ή b = 0 a οπότε θα b είναι cos a > 0 και f ( a b ln cos a π π =e = 1 αφού είναι a= 0 b ή b = 0 a Άρα έχουμε 1

6 sin x Du f ( a b = f ( a b u= f ( x ln(cos x f ( x u cos x ( ab 8 Δίνεται η sin = cos a b a f a b b a f a b u 1 u ( ( ( ln(cos ( ( 00 u1 u = 0 αν a = 0 b = π π ( 00 ( u1 u = 0 αν b= 0 a C τάξης συνάρτηση ( [ f xz με x = ρ cos θ = ρsin θ z = z όπου ρ > 0 θ 0 π z (κυλινδρικές συντεταγμένες Να αποδείξετε ότι: f f f f 1 1 f f + + = + + + z ρ ρ ρ ρ θ z (Λαπλασιανή της f σε κυλινδρικές συντεταγμένες Λόγω των δεδομένων συναρτήσεων x = ρ cos θ = ρsin θ z = zυπολογίζουμε πρώτα τις μερικές παραγώγους = + = cosθ + sin θ (1 ρ ρ ρ = + = ( ρsinθ + ρcos θ ( θ θ θ cosθ sinθ Επειδή είναι ρ 0 ρsinθ ρcosθ = > από τις (1 και ( προκύπτουν sinθ sinθ = cosθ = cos θ f ( ρ θ ρ ρ ρ θ cosθ cosθ = sinθ + = sin θ + f (4 ρ θ ρ ρ ρ θ Με χρήση των ( και (4 λαμβάνουμε f sinθ sinθ = cosθ cosθ = = ρ ρ θ ρ ρ θ sinθ sinθ sinθ = cosθ cosθ cosθ ρ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ θ f cosθsinθ cosθsinθ f θ ρ ρ θ ρ ρ θ = cos + sinθcosθ f sin θ sin θ f sinθcosθ + + + ρ θ ρ ρ ρ ρ θ ρ θ

7 f cosθ cosθ = = sinθ sinθ + = + ρ ρ θ ρ ρ θ cosθ cosθ cosθ = sinθ sinθ + + sinθ + ρ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ θ f cosθsinθ cosθsinθ f θ ρ ρ θ ρ ρ θ = sin + sinθcosθ f cos θ cos θ f sinθcosθ + + + ρ θ ρ ρ ρ ρ θ ρ θ Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε f f f f 1 1 f f + + = + + + z ρ ρ ρ ρ θ z C τάξης συνάρτηση ( 9 Δίνεται η f xz με x= ρ cosθsin φ = ρsinθsin φ z = ρcosφ με ρ > 0 θ [ 0 π φ [ 0 π ] (σφαιρικές συντεταγμένες Να αποδείξετε ότι: f f f 1 f 1 f 1 sin f + + = ρ φ + + z ρ ρ ρ ρ sin φ θ ρ sin φ φ φ (Λαπλασιανή της f σε σφαιρικές συντεταγμένες Εργαζόμενοι όπως στην άσκηση 8 βρίσκουμε: sinθ cosθcosφ = cosθsinφ + ρ θ ρsinφ φ ρ sinθ cosθcosφ cos θ sin φ = + f ( ρ ρ sin φ θ ρ φ cosθ sinθcosφ = sinθsinφ+ + ρ θ ρsinφ φ ρ cos sin cos sin θ sin φ θ θ φ = + + f (4 ρ ρ sin φ θ ρ φ sinφ sinφ sinθsinφ = + = sinθsin φ + f (5 z ρ φ ρ ρ ρ φ Στη συνέχεια μέσω των σχέσεων ( (4 και (5 υπολογίζουμε τις δεύτερες μερικές f f f παραγώγους από τις οποίες τελικά μετά τις σχετικές πράξεις z προκύπτει η ζητούμενη σχέση 10 Η συνάρτηση f ( x είναι C τάξης στο δηλαδή για κάθε ( x Α και t με ( f ( tx t = t m f ( x Α και ομογενής βαθμού m tx t ισχύει

8 Να αποδείξετε ότι: (α x + = mf f f f x x m m f (β + + = ( 1 (α Παραγωγίζουμε ως προς t και τα δύο μέλη της σχέσης ( ( f tx t = t f x m οπότε λαμβάνουμε m ( tx ( t m 1 f ( tx t = ( t f ( x + = mt f x t t tx t t t ( tx ( t ( + = ( ( m 1 x mt f x Όμως έχουμε ακόμη ότι ( tx ( t = = t και = = t ( ( tx ( tx ( t ( t οπότε από τις (1 και ( προκύπτει ότι: m m t x+ t = mt f ( x x + = mt f ( x tx t ( ( για κάθε t με ( από την οποία για σχέση ( tx t t = 1 προκύπτει η ζητούμενη (β Γράφουμε τη σχέση (1 στη μορφή 1 1 m 1 = x + = mt f ( x t t t και με παραγώγιση ως προς t των δύο μελών αυτής λαμβάνουμε f 1 1 m 1 = x + = ( mt f ( x t t t x t t 1 1 1 1 1 1 x x + + x + = m( m 1 t f ( x t t t t t t x f x f f m ( m 1 t m + + = f ( x t x t x t για κάθε t με ( Από την τελευταία σχέση για (1 m tx t t = 1 προκύπτει f f f x + x + = m ( m 1 f ( x x x 11 Δίνεται η συνάρτηση f ( x gux ( ( vx ( = όπου g διαφορίσιμη συνάρτηση C τάξης και 1 1 u= ux ( = x v = vx ( = x+

9 (α Να εκφράσετε τις μερικές παραγώγους συναρτήσει των μερικών g g παραγώγων u v f f f (β Πως μετασχηματίζεται η εξίσωση: + 6 = ( x + ως προς τις μεταβλητές uv ; (α Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας λαμβάνουμε: f g u g v g g 1 1 f g u g v g = + = + = + = + g u v u v u v u v (β Με παραγώγιση των παραπάνω σχέσεων λαμβάνουμε f g g g f 1 g 1 g 1 g = + + = + u u v v 9 u u v 4 v f 1 g 1 g 1 g = + + x u 6 u v v Επομένως η δεδομένη εξίσωση γίνεται: g 1 1 1 1 1 1 g g g g g 6 g g g + + + + v + = 4 u u v v u 6 u v v 9 u u v 4 v g 4 = v uv 5 1 Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης ( x = ( x x σημείο ( x = ( 0 0 1 F στο F x = x x έχει πολυωνυμικές συνιστώσες οπότε Η συνάρτηση ( ( C είναι διαφορίσιμη και ορίζεται η παράγωγος αυτής που είναι ο πίνακας ( x ( x x F ( x = = x ( x ( x Άρα είναι 1 1 1 F ( 1 = = 1 1 4 είναι τάξης στο Επομένως σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της