ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι συναρτήσεις,g :(, + ) με () = ln(+) και g()= + α) Να λύσετε την εξίσωση () + g() = και να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης Φ() = () + g () β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και C g των συναρτήσεων και g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο σημείο Ο(,), η οποία διχοτομεί τη γωνία του πρώτου και τρίτου τεταρτημόριου. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης την παραπάνω εφαπτομένη και την ευθεία = 3 δ) Ένα υλικό σημείο Μ με θετική τετμημένη, κινείται στη C και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό cm/sc. Αν Ν είναι η προβολή του σημείου Μ στον άξονα και Α(,α) σημείο του άξονα yy, με α >, τότε: i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής E (t) του εμβαδού E του τριγώνου ΑΜΝ κάθε χρονική στιγμή t ισούται με Φ((t)) ii) Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΜΝ είναι ίσος με 8 ln3 + cm / sc 9 ΛΥΣΗ α) Λύνουμε την εξίσωση () + g() = ln( + ) + =, (, + ) + Παρατηρούμε ότι η παραπάνω εξίσωση επαληθεύεται για =. Πράγματι ln( + ) + = = + Άρα = είναι λύση της εξίσωσης ln( + ) + = + Θεωρούμε τη συνάρτηση Φ() = ln( + ) +, > + Η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με () (+) (+) + ++ + Φ () = (+) + = + = = + (+) + (+) (+) (+) Είναι Φ () > για κάθε (, + ) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Επομένως ο πίνακας μονοτονίας προσήμου της συνάρτησης Φ είναι ο παρακάτω: Έχουμε: Για + Φ () + Φ Φ( ) + Φ < < Φ() < Φ() Φ() < Φ Για > Φ() > Φ() Φ() > Επομένως Φ() = () + g() = μόνο για = β) () =,>και g() =, + (+ ) Στο σημείο Ο (,) έχουμε: () = ln(+ ) =, () = = και + g() = =, g() = = + (+ ) Επομένως στο σημείο Ο (,) έχουμε κοινή εφαπτομένη με εξίσωση y =, η οποία διχοτομεί τη γωνία του πρώτου και τρίτου τεταρτημόριου. γ) Για κάθε (, + ) είναι: () = και () = + < ( + ) Άρα η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (, + ), οπότε η γραφική της παράσταση C βρίσκεται από την ευθεία y= και κάτω, δηλαδή ισχύει (), για κάθε (, +. ) Επομένως το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης την ευθεία y = και την ευθεία = 3 είναι: 3 3 3 3 Ε(Ω) = () d = () d = d ()d = 3 3 3 3 = d ln( + )d = () ln( + )d = 3 3 9 3 9 (+ ) = [ ln( + ) ] + d= 3ln4 + d= + + 3 3 9 9 3 = 3 ln4 + d d = 3 ln4+ (3) [ ln( + ) ] = + 9 5 = 3 ln4+ 3 (ln4 ln) = 4 ln4-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) i) ος Τρόπος: uuuur ΑΜ = (,ln(+ ) α) uuuur, ΑΝ = (, α) uuuur uuur ln(+ ) α dt ( ΑΜ, ΑΝ ) = = α =α ln(+ ) + α = ln(+ ) Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΝ είναι: uuuur uuur Ε = Ε (AMN) = dt ( ΑΜ, ΑΝ ) = ln( + ) = ln( + ), > ος Τρόπος: Ε=Ε (AMN) = d(a, MN) (MN) = () = ln( + ), > Επειδή η τετμημένη του σημείου M είναι συνάρτηση του χρόνου t έχουμε: E (t) = (t) ln ( (t) + ), (t) > Οπότε: ((t)+) Ε (t) = ( (t)ln((t)+) ) = (t)ln((t)+) + (t) = (t)+ (t) = (t)ln((t)+) + (t) = ln((t)+) + (t) = (t)+ (t)+ (t) = ln((t)+) + =Φ ( (t) ), (t) > (t)+ ii) ΘΕΜΑ ο : (t) 8 (t) 8 ln ( (t) + ) + = ln3 + ln ( (t) + ) + = ln9 + (t) + 9 (t) + 9 (t) 8 Φ ln ( (t) + ) + = ln(8 + ) + Φ ( (t) ) = Φ(8) (t) = 8 (t) + 8+ Φ: Δίνεται η συνάρτηση () =, α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα κοίλα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Α α, α, α < β) Ένα υλικό σημείο ( ) y=ln(+) κινείται στην C με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του α (t) =α(t). Επίσης υλικό σημείο Μ(, y) με > κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = i) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας AOM ˆ = θ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, τη χρονική στιγμή t που είναι ( ΟΑ) = ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις καμπύλες με εξισώσεις: y = με, y = με και την y = α (t ) iii) Να βρείτε ευθεία παράλληλη με τον άξονα y y, η οποία να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. y A(,α) O Μ(,ln(+)) N(,) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο,), Έχουμε: () = = ( ) = ( με Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (,] () < για κάθε (, ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (,), με Έχουμε: () = = = = = 4 ( ) ( ) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (,] () < για κάθε (, ) Επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη στο (,] Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (,], οπότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: ((,]) = (), lim () ) Όμως: =u lim () = lim = lim u =+ u + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι:, =, + β) i) ος Τρόπος: (( ]) [ ) Έστω ότι την τυχαία χρονική στιγμή t είναι: ΟΜ θ θ(t) A α(t), α(t), Α = = και όπου α(t) < Η ευθεία y= σχηματίζει με τον άξονα γωνία ΟM= π και η ευθεία ΟΑ 4 έχει συντελεστή διεύθυνσης π α(t) λοα = εφ θ(t) + = = 4 α(t) α(t) Άρα είναι: π ( α(t) ) εφ θ(t) + θ (t) 4 = = α(t) π α(t) συν θ(t) + 4-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 α (t) α α(t) (t) α(t) θ (t) = θ (t) = = π α(t) π συν θ(t) συν θ(t) α(t) + + 4 4 π θ (t) = συν θ(t) + () α(t) 4 Τη χρονική στιγμή to είναι: ( o) ( o) o o α( t o ) = (δεκτή) ή α( t o ) = (απορρίπτεται), αφού ( o ) ΟΑ = α t + α t = α t α t = α t < Άρα τη χρονική στιγμή o Α,, δηλαδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία y=, που είναι κάθετη στην ευθεία y= π Επομένως είναι θ(t o ) = ΑΟΜ = και από τη σχέση () έχουμε: π π π θ (t o) = συν θ(t o) + = συν + = α(t ) 4 4 ος Τρόπος uuuur ΟΜ =,, t είναι o = = = = uuur ΟΑ = α, α ΟΜ, 3π συν 4 rad / μονάδα χρόνου. 4 uuuur και ΑΜ = ( α, α ) = + = ΟΑ = α + α = α α και ( ΑΜ ) = (α) + α Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: ΑΜ = ΟΜ + ΟΑ ΟΜ ΟΑ συνθ, οπότε ( α) α α α α ασυνθ + = + α+ α + α + ( α) = + α α α ασυνθ α α = α ασυνθ α+ α= α ασυνθ Την τυχαία χρονική στιγμή t είναι: α(t) + α(t) = α(t) α(t) συνθ(t) Οπότε παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε: ( α(t) α(t) ) ( α (t) α(t) συνθ(t) ) + = α (t) α(t)α (t) α (t) α (t) =α (t) α (t) + = συνθ(t) α (t) α(t) ημθ(t)θ (t) α(t) α (t) α(t) α(t) α (t) + α(t) α(t) + = συνθ(t) α (t) α(t) ημθ(t) θ (t) α(t) α (t) α(t) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Τη χρονική στιγμή t είναι: α(t ) α (t ) + α(t ) α(t ) + = συνθ(t ) α (t ) α(t ) ημθ(t )θ (t ) α(t ) α (t ) α(t ) Όμως τη χρονική στιγμή t είναι ( ΟΑ) =, οπότε έχουμε: α (t ) α(t ) = α (t ) α(t ) = α(t ) = δεκτή ή α(t ) = απορρίπτεται, αφού α t < Άρα τη χρονική στιγμή o Α,, δηλαδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία y=, που είναι κάθετη στην ευθεία y= π Επομένως είναι θ(t o ) = ΑΟΜ = t είναι Άρα τη χρονική στιγμή t από τη σχέση () έχουμε: π π + = συν ημ θ (t ) = θ (t ) θ (t ) = rad / μονάδα χρόνου. 4 Σημείωση Στον ο Τρόπο αντί του νόμου των συνημιτόνων, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον uuuur uuur ΟΜ ΟΑ Τύπο: συνθ = uuuur uuur ΟΜ ΟΑ ii) y = α (t ) = α(t ) = Αν η ευθεία y= τέμνει την C στο σημείο Β, τον άξονα yy στο σημείο Ν και την ευθεία y= στο σημείο Γ, τότε είναι Ε( Ω) = Ε + Ε, όπου Ε το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΒΝ και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΝΓ. 3 Ε = d = + d = + ( ) 3 = + = 3 3 και Ε = ( ΟΝ)( ΝΓ ) = = Άρα 5 Ε( Ω) = Ε+ Ε = + = 3 6 iii) Έστω = η ζητούμενη ευθεία. Είναι Ε < Ε, οπότε (,) Θέλουμε: Ε(Ω) 5 5 d = = + = 5 3 3 + = 6 + = = + απορ. ή = δεκτή, 6 6, αφού o () -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση :(, + ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ( + ) = + +, για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι () = ln +, (, + ) β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να αποδείξετε ότι οι C και C έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. δ) Να υπολογίσετε το ( + ) και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση (+ ) = ( + 3) ε) Να λύσετε την ανίσωση () > ΛΥΣΗ α) Θέτουμε t > + = t = t = ln(t ) Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: (t) = ln(t ) + t, t (, + ) Επομένως: () = ln +, (, + ) β) Για κάθε (, + ) έχουμε: () = + = + > Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, επομένως είναι και, οπότε αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ), οπότε το σύνολο τιμών της είναι: (, + ) = lim (), lim () = (, + ) =, αφού + + = u limln = lim ln u = και + + u = u lim ln = lim ln u =+ και u + + γ) Για, y (, + ) λύνουμε το σύστημα: lim =, οπότε lim () = και + lim + + = +, οπότε lim () =+ + y= () y= () y = () y = ln( ) + () y= () (y) = ( ()) = (y) = ln(y ) + y (3) Αφαιρούμε κατά μέλη και έχουμε: y = ln( ) + ln(y ) y ln( ) + = ln(y ) +y h() = h(y) (4), όπου h(t) = ln(t ) +t, t (, + ) Για κάθε t (, + ) έχουμε: h(t) = (t ) + = + > t t -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα, επομένως είναι και, οπότε από τη σχέση (4) προκύπτει y= (5) Λύνουμε λοιπόν το σύστημα των εξισώσεων () και (5): Άρα οι y= ln + = ln + ln = = = y= y= y= y= y= C και C έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το Α(, ) δ) ( + ) = ln( + ) + + = ln + + = ln+ + = + 3 Άρα Έχουμε: ( + 3)= + ( 3) + = + + = + + = + + = ( + ) + = ln( + ) + + = ln( + ) + + ε) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού Α = (, + ) και σύνολο τιμών (Α ) έχει πεδίο ορισμού Α = και σύνολο τιμών (Α ) = (, + ) Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν και δεδομένου ότι () (, + ), δηλαδή Αν >, τότε έχουμε: () () =, οπότε η συνάρτηση > η ανίσωση () > αληθεύει. > > > > ( ()) > () > ln + ln < > > > < < ln ( ) < ln < < Άρα η ανίσωση αληθεύει για (,] U (, ) = (,) ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση : με () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: () + ()+ + () =, για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση γ) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον δ) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο = ξ, τέτοιο, ώστε + = ( ξ) ξ ξ ε) Να λύσετε την ανίσωση () και να αποδείξετε ότι () για κάθε -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΛΥΣΗ α) ος τρόπος Θέλουμε να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, με < ισχύει () < ( ) Έστω ότι υπάρχουν, με < τέτοια, ώστε () ( ) () ( ) ( ) (3) () + + ( ) + ( ) + (4) Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (), (3) και (4) έχουμε: + + + + + + () + + + + () + + ( ) που είναι άτοπο Επομένως για οποιαδήποτε, με < ισχύει () < ( ), οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. ος τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση + g() = + +, Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με + g() = + + (5) Είναι g() > για κάθε, οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. Από τη σχέση () προκύπτει ότι g g =, για κάθε, οπότε για οποιαδήποτε, με < ισχύει g( () ) < g( ) () <, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. β) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι, άρα αντιστρέφεται. Ισχύει η ισοδυναμία: () = y = (y), y Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: y y+ (y) = + + y, y Οπότε: γ) : συνεχής στο [, ], + με () = + +, () = > και () = + + = + <, οπότε () () < Άρα η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Βolzano στο διάστημα [, ] επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε να ισχύει (ξ) = + + ξ = + = ξ ( + ) = ξ + =( ξ) ξ ξ+ ξ ξ+ ξ ξ ξ ξ -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Για κάθε είναι: () Θέτουμε =, οπότε y () lim () = lim = (6) = >. Όταν και το y, οπότε από τη σχέση (6) προκύπτει: lim (y) = = (), αφού () = () = y Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο = ε) Για κάθε έχουμε: Θέτουμε + + () () + + + = y> και έχουμε: y> y + y (y )(y + ) y y Άρα y, οπότε έχουμε () () () (), διότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει ()=, αφού () = ΘΕΜΑ 5ο : ln Έστω η συνάρτηση () =, > α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή. β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης = κ,> για τις διάφορες τιμές του κ> γ) Να αποδείξετε ότι ln ()d = δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (, ) τέτοια, ώστε να ισχύει: ΛΥΣΗ (ξ )lnξ + (ξ )lnξ = α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με ln ln () = = (ln ) = ()(ln + ) = ()ln () () = () ln = ln = = () > () ln > ln > >, αφού () > για κάθε (, + ) Οπότε ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: + () + () Ελάχιστο -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Επομένως: Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (, ] και () συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,+ ) και () συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,+ ) < για κάθε (,), οπότε η > για κάθε (, + ), οπότε η Η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o = με ελάχιστη τιμή Για κάθε (, + ) είναι: () = για κάθε (,+ ), οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή. Είναι () > β) Για (, + ) έχουμε: () () = ( () ln) = ()ln + () = ()(ln) + () = () (ln) + > ln = κ ln( )= lnκ ln = lnκ =κ () = κ ln lim () lim + + = = =, αφού ln + (ln) lim (ln) = lim = lim = lim = lim ( ) = + + + + + u= ln ln u lim () = lim = lim =+, αφού + + u + lim (ln ) = lim (ln ) =+ + + Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν κ < η εξίσωση () = κ είναι αδύνατη. Αν Αν κ = η εξίσωση () = κ έχει: ακριβώς μία λύση την =, αφού () = και < κ < η εξίσωση () = κ έχει ακριβώς: μία λύση στο (, ), αφού ((,)) = (, ) () > για κάθε (,) U (,+ ) και μία λύση στο (, ) Αν κ η εξίσωση () = κ έχει: μία λύση στο (, ) γ) Από τη σχέση () έχουμε: +, αφού (, + ) =(, + ) (, + ) = (, + ) +, αφού ln ln ln ()d = ()d = [ ()] = = = = = -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα, και [ ], με παράγωγο () = ()ln. Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα αυτά, οπότε υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, ) τέτοια, ώστε να ισχύει: () () () (ξ ) = (ξ )lnξ = (ξ )lnξ = () () () () () (ξ ) = (ξ )lnξ = (ξ )lnξ = () () () και () Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: (ξ )lnξ (ξ )lnξ () ( ) () () + = + (ξ )lnξ (ξ )lnξ () ( ) + = (ξ )lnξ (ξ )lnξ ln ln + = (ξ ) lnξ (ξ ) lnξ + = (ξ )lnξ (ξ )lnξ + = (ξ )lnξ + (ξ )lnξ = ΘΕΜΑ 6ο : Έστω : μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με () για κάθε, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () ( ()) = για κάθε, () + = και () = ln α) Να αποδείξετε ότι ισχύει () + =, + β) Να αποδείξετε ότι: () = ln(+ ), γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: () + ln4 για κάθε ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης στ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση i) lim ii) lim + + της και να υπολογίσετε τα όρια: -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΛΥΣΗ α) Για κάθε έχουμε: () - () ( ()) = = c, = = +, ( () ) () () αφού για κάθε () () () () Για = έχουμε: = + c = + c c=, οπότε () = + () = () + = + () + = () + + +, β) Για κάθε έχουμε: ( + ) () + = ( () + ) = ( () + ) = ( ln( + ) ) + + () + = ln( + ) + c, Για = έχουμε: () + = ln( + ) + c ln = ln + c c=, οπότε () + = ln( + ) () = ln( + ), γ) Για κάθε έχουμε: () + = () = () = () = < + + + + άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Επίσης, έχουμε: () () () () = = > για κάθε, άρα η συνάρτηση είναι κυρτή. για κάθε, δ) ος τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = () + ln4, Για κάθε είναι: h () = ( () + ln4) = () + = + = + + h() = = = = = h() > > > > > Οπότε ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης h είναι ο παρακάτω: + h() + h () Ελάχιστο -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Η συνάρτηση h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o = με ελάχιστη τιμή h() =, οπότε για κάθε είναι: h() () + ln4 () + ln4 ος τρόπος Η είναι κυρτή, άρα η εφαπτομένη της C στο σημείο Ο(,) βρίσκεται από τη C και «κάτω». Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Ο(,) είναι: y () = () y ln = y = + ln Επομένως για κάθε ισχύει: () y () + ln () + ln () + ln4 ε) Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, οπότε για τον προσδιορισμό του συνόλου τιμών της θα βρούμε τα όρια lim () και lim (). + ( + ) lim () = lim ln( ) =+, διότι u=+ u lim ln(+ ) = lim(ln u) = ln= και lim ( ) = + lim () = lim ln( + ) = lim ln( + ) ln = + + + + u= + lim ln lim(lnu) + = u =, διότι + + + ( + ) lim = lim = lim = + + + Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι () = (, + ) στ) Έστω η εξίσωση y= (), όπου y (). Έχουμε: + y + y y y= ln = = + ( ) = y> y = = ln =ln y y Δηλαδή, η εξίσωση y= () έχει ως προς μοναδική λύση την οπότε η είναι, επομένως αντιστρέφεται με σύνολο τιμών () = (, + ) Άρα έχουμε Έχουμε: i) ii) :, + με () = ln( ) u= lim () lim ln lim lnu + + u + lim () lim ln( u= ) lim lnu + + u + = = =+ = = = y =ln( ) για κάθε y>, -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 7ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : [ αβ, ] με (α) > και (β) >. Αν υπάρχει γ (α, β) τέτοιο, ώστε (γ) <, να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση () = έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα (α, β) β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε να ισχύει ξ(ξ) + (ξ) = γ) Υπάρχουν κ,λ (α, β) με κ λ τέτοια, ώστε (κ) (λ) < δ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (κ,λ) τέτοιο, ώστε () = ΛΥΣΗ α) Για τη συνάρτηση στο διάστημα [ α, γ ] ισχύουν: Είναι συνεχής στο [ α, γ ] ως παραγωγίσιμη. (α) (γ) < Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ α, γ ], άρα η εξίσωση () =, έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α, γ) Ομοίως αποδεικνύεται ότι η εξίσωση () =, έχει μία τουλάχιστον λύση και στο διάστημα (γ, β) Άρα η εξίσωση () =, έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα (α, β) β) Θέτουμε στην προς απόδειξη σχέση όπου ξ το και έχουμε: () + () = () + () = ( ()) = = (), στο διάστημα [ ] Θεωρούμε τη συνάρτηση h() ρ, ρ όπου ρ, ρ είναι λύσεις της εξίσωσης ()= από το προηγούμενο ερώτημα. Για τη συνάρτηση h ισχύουν: Είναι συνεχής στο [ρ,ρ ] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη στο (ρ,ρ ) με παράγωγο h () = () + () h(ρ ) = h(ρ ) = Επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα oll θα υπάρχει ξ (ρ,ρ ) (α, β) τέτοιο, ώστε ξ ξ h(ξ) = ξ (ξ) + (ξ) = ξ (ξ(ξ) + (ξ)) = ξ(ξ) + (ξ) = γ) Στα διαστήματα [ α, γ ] και [ γ,β ], για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον: κ (α, γ) τέτοιο, ώστε λ (γ, β) τέτοιο, ώστε (γ) (α) (κ) = < και γ α (β) (γ) (λ) = > β γ αφού (α) >, (β) > και (γ) <, (βλέπε και (α) ερώτημα), επομένως (κ) (λ) < -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) () (κ) (κ) = lim <, άρα για (κ, κ+δ ), δ >, ισχύει: + κ κ > κ () (κ) < () (κ) < () < (κ) κ () () (λ) (λ) = lim >, άρα για (λ δ, λ), δ >, ισχύει: λ λ < λ () (λ) > () (λ) < () < (λ) λ () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ελάχιστο στο κ ούτε στο λ. Δεδομένου όμως ότι η είναι συνεχής στο [κ, λ] θα έχει σίγουρα ελάχιστο στο διάστημα αυτό. Αφού λοιπόν δεν παρουσιάζει ελάχιστο στα άκρα του διαστήματος θα το παρουσιάζει σε εσωτερικό σημείο () = του διαστήματος [κ, λ], οπότε σύμφωνα με το Θεώρημα Frmat θα ισχύει ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν η είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ και είναι () για κάθε Δ, τότε η διατηρεί πρόσημο στο Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι η δεν διατηρεί πρόσημο στο Δ, τότε θα υπάρχουν, Δ με ()( ) <. Άρα σύμφωνα με το (δ) ερώτημα του προηγουμένου θέματος, θα υπάρχει (, ) Δ τέτοιο, ώστε ( ) =, που είναι άτοπο αφού () για κάθε Δ ΘΕΜΑ 8ο : Δίνεται η συνάρτηση () = ln, > α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης και να βρείτε την παράγωγό της. β) Να βρείτε: i) Τα κοινά σημεία Α(,) και Β(,) της C με την ευθεία y = α, α > α α ii) Τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ε και ε της C στα σημεία της Α(,α) και Β(,α) Α Β αντιστοίχως και να αποδείξετε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους για κάθε α > γ) Έστω Μ και Ν τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες και yy αντιστοίχως. Να Β αποδείξετε ότι, όταν το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ γίνεται μέγιστο, η ευθεία ε διέρχεται Α από την αρχή των αξόνων Ο(,) ΛΥΣΗ α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από το τμήμα της γραφικής παράστασης της ln, με και το συμμετρικό ως προς τον άξονα τμήμα της γραφικής παράστασης της ln, με < < που βρίσκεται κάτω από αυτόν. Η C φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ln, Η συνάρτηση γράφεται () = και είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + ) ln, < < με () = και στο διάστημα (,) με () = Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο = Για > έχουμε: () () ln lim = lim = lim = + + DLH + Για < < έχουμε: () () ln lim = lim = lim = DLH Άρα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο = Επομένως:, > () =, < < β) i) Λύνουμε τα συστήματα: y = ln, y = α y = ln ln = α = y = α y = α y = α α Άρα και α A(, α) y = ln, < < y = α α y = ln y = ln ln = α = = y = α y = α y = α y = α y = α α Άρα α Β (, α) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ii) Η εξίσωση εφαπτομένης της ε : Α C στο Α είναι: α > α α α α α α y = ( ) y α = ( ) y = + α Η εξίσωση εφαπτομένης της C στο Β είναι: ε : B α < α α α α α α y = ( ) y α = ( ) y = + + α α α λ λ ( ) = = =, οπότε ε Α ε Β γ) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ε με τους άξονες. B + α Για = είναι y = + α και για y = είναι = α. Άρα η ε B τέμνει τον άξονα στο σημείο M ( α α, ) + και τον άξονα yy Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ είναι: στο N(, α) +, α > + α ( + α) E = ( OM)( ON) = ( + α ) =, α > α α Θεωρούμε τη συνάρτηση: Για κάθε (, + ) έχουμε: (+) g() =, > ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) g() = = = 4 > g() = = = = > g() > > < < < Οπότε ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης g είναι ο παρακάτω: + g () + g () Μέγιστο Η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o =, επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ μεγιστοποιείται για α= Για α= η ε γίνεται Α y =, άρα διέρχεται από την αρχή των αξόνων. -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 9ο : Δίνεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: : () () = για κάθε α) Να εκφράσετε την ()ως συνάρτηση της () β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο δ) Να αποδείξετε ότι < () < () <, για κάθε > ε) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ΛΥΣΗ α) Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε και η () () είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση και άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων. Για κάθε είναι: () () () = () + () = () () + = () = () = () () () + + Άρα () () =, () () + β) Από τη σχέση () προκύπτει ότι () > για κάθε, οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Από την υπόθεση έχουμε ότι () =, δηλαδή η = είναι ρίζα της εξίσωσης () = και είναι μοναδική αφού η είναι γνησίως αύξουσα άρα και Εφόσον η είναι γνησίως αύξουσα στο και έχει μοναδική ρίζα την =, συμπεραίνουμε ότι: για < () < () () < και για > () > () () > () <, (,) Συνεπώς για το πρόσημο της συνάρτησης ισχύει : () =, = () >, (, + ) () γ) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη () + () στο. Άρα η συνάρτηση () = είναι παραγωγίσιμη στο, δηλαδή η συνάρτηση είναι () + δύο φορές παραγωγίσιμη στο με: () () () () () (+ ) (+ ) () = () = = () + (+ ) () () () () () () ( + ) () = = () >, () () (+ ) (+ ) αφού () > για κάθε Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή στο -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Θα αποδείξουμε ότι : < () < () <, για κάθε > Η συνάρτηση είναι: συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο (, ) Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ του Διαφορικού λογισμού στο διάστημα [, ] Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε: () () () (ξ) = = () Η συνάρτηση είναι κυρτή στο, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε για: () () <ξ< () < (ξ) < () < < () < () < (), > Θα αποδείξουμε ότι: () <, για > () () > Πράγματι, από τη σχέση () έχουμε ότι () = < = () < () () + Άρα για κάθε > ισχύει: ε) Για κάθε > είναι: Επειδή + ος τρόπος οπότε : < () < () < < < > > > > () () () + lim = lim = από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι () () () = () ( ) =, + [ ] + (3) () lim () ( ) = lim = lim () + = (3) Άρα η ευθεία y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ος τρόπος () Από την αρχική σχέση έχουμε () = +, οπότε: () (3) () + () λ= lim = lim = lim + = + = + + + υπόθεση β lim () lim ( () ) lim ( () = = + = + ) = + = + + + Άρα η ευθεία y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ ο : Έστω μια συνεχής συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση C διέρχεται από το σημείο Α(,). α) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο =, τότε: i) Να υπολογίσετε το (ημ ) lim ημ (6) ii) Να αποδείξετε ότι lim = 43 () β) Αν επιπλέον για την ισχύει () 8() = 7 για κάθε, να βρείτε τον τύπο της. γ) Αν () = 4 + 9,, τότε: i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης στο ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C, η οποία διέρχεται από το σημείο Β(,3) iv) Να αποδείξετε ότι ()d < 5 ΛΥΣΗ ημ= u (ημ ) (ημ ) () (u ) () α) i) lim = lim = lim u = () =, u ημ ημ u ii) διότι t= u u t (u ) () (t) () lim = lim = () u t ( (6) )( (6) + ) ( (6) ())( (6) + ) (6) lim = lim = lim = ( )( + ) 6 (6) () (6) = lim = 6 ()( () + ) = 6 () ( + ) = 43 (), 6 διότι 6= u (6) () (u) () lim = lim = () και η είναι συνεχής συνάρτηση. 6 u u β) Για κάθε είναι: () 8 () = 7 () 8 () + 6 = 7 + 6 () 4 = + 9 g () = + 9 (), όπου g() = () 4, Για κάθε είναι + 9>, οπότε g() > g() Η συνάρτηση g λοιπόν είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο, οπότε διατηρεί πρόσημο στο Επιπλέον έχουμε () =, οπότε είναι g() = () 4 = 4 = 3 <, άρα g() < για κάθε, οπότε g() = +9 () 4= +9 () = 4 +9, -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 γ) i) Για (,) έχουμε: () 4 + 9 4 9 lim = lim = lim + = = 4 9 4 9 lim + + = lim + + =+==λ lim () λ lim 4 9 lim (4 ) 9 = + = + = (4 ) ( + 9) 6 8 + 9 = lim = lim = (4 ) + + 9 4 + + 9 7 8 + 8 + 7 = lim = lim = 9 9 4 + + 4 + 7 7 8 + 8 + 8 = lim = lim = = 4 =β 4 9 4 9 + + Άρα η ευθεία με εξίσωση y = + 4 είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο ii) Για κάθε είναι: () = ( 4 +9 ) = ( +9) = = +9 +9 +9 +9 +9 ( +9 ) () = +9 = = = +9 +9 +9 +9 9 = = < ( +9) +9 ( +9) +9 Άρα η συνάρτηση είναι κοίλη στο iii) Έστω Ν(,() ) το σημείο επαφής. Η εξίσωση εφαπτομένης της ε : +9 C στο σημείο Ν είναι: y = ( ) y 4 +9 = ( ) () Επειδή η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Β οι συντεταγμένες του Β θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Δηλαδή θα ισχύει: + 3( 4 + 9 ) = ( ) + + 9 = + 9 + 9 + 9+ + 9= + + 9 = 9 () -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν 9 < > 9 η εξίσωση () είναι αδύνατη. Αν 9 9 η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: + 9=( 9 + 9= 88 + 8 = 7 = 4 (δεκτή) ) Επομένως η ζητούμενη ευθεία ε έχει εξίσωση: 4 4 y (4) = (4)( 4) y + = ( 4) y = + 5 5 5 iv) Επειδή η συνάρτηση είναι κοίλη στο, η γραφική παράσταση C της συνάρτησης είναι από την εφαπτομένη και «κάτω», δηλαδή ισχύει: 4 4 () + () + 5 5 5 5 και το «ίσον» ισχύει μόνο για = 4 (τετμημένη σημείου επαφής), επομένως δεν είναι πουθενά μηδέν στο διάστημα [,], οπότε έχουμε: 4 4 () + d < ()d + d d < 5 5 5 5 - - - - 4 4 ()d < d+ d ()d < ( 5 5 5 + 5 ) - - - - 4 ()d < ()d 5 + < 5 5 - - ΘΕΜΑ ο : Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln =, με > έχει ακριβώς μία λύση. Β. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + ), η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () = ln( () () ) για κάθε > και () = α) Nα βρείτε τον τύπο της συνάρτησης β) Αν () =, > ln i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να υπολογίσετε τα όρια: lim () και lim () + + ii) Αν Ε(α) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = () + ln (), τον άξονα και τις ευθείες = και = α με α >, να υπολογίσετε το lim Ε(α) ημ α + Ε(α) ΛΥΣΗ Α. ος Τρόπος: Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ln, (, + ) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με h () = (ln ) = ln + C g -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Για κάθε > είναι h() >, άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Επίσης η συνάρτηση h είναι και συνεχής στο (, + ), οπότε το σύνολο τιμών της είναι: h ( lim h(), lim h() + ) (, + ) = = (, + ) + lim h() = lim ln = + + lim h() lim ( ln ) + + = =+, αφού Το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της h άρα η εξίσωση h() = έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (, + ), η οποία είναι μοναδική αφού η h είναι γνησίως αύξουσα. ος Τρόπος: Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ln, (,+ ) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με h () = (ln ) = ln + Για κάθε > είναι h()>, άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) lim h() = lim ln = <, οπότε θα υπάρχει διάστημα της μορφής (,α) τέτοιο, ώστε + + h() < για κάθε (,α), οπότε h(κ) < για κ (,α) lim h() lim ( ln ) + + = =+, οπότε θα υπάρχει διάστημα της μορφής (β, + ) με β>α τέτοιο, ώστε h() > για κάθε (β, + ), οπότε h(λ) > για λ (β, + ) Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα [ κ, λ ] και h(κ) h(λ) <. Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (κ, λ) (,+ ) τέτοιο, ώστε h(ξ) = ξ lnξ =, το οποίο είναι μοναδικό αφού η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ) Επομένως η εξίσωση ln =, με > έχει ακριβώς μία λύση. Β. α) Για κάθε (, + ) είναι: () = ln () () () + ln () = ln () () + ln () = ln () ln () = ln () ln () = c Για = είναι ln () = c = c c =, οπότε έχουμε: ln () = () =, (, + ) ln β) Έχουμε () =, (, + ) ln i) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με: ln (ln ) h() () = = = =, > ln (ln) (ln) (ln) Η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) και έχει μοναδική ρίζα την ξ (κ, λ) (, + ), οπότε έχουμε: h για < < ξ h() < h(ξ) h() < και για h > ξ h() > h(ξ) h() > -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Eπίσης είναι > και (ln) >, οπότε ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: ξ + () + () ( ξ ) Ελάχιστο u= ln lim () = lim = lim + + + = +, αφού lim+ = lim+ =+ ln ln ln u u + + lim () = lim = lim = lim ( ) = + + + ln + (ln) + ii) Για κάθε (, + ) από την αρχική σχέση έχουμε: () = ln () ln () () + ln () = ln () g() = ln () g() = ln g() = > ln Επομένως α α α α α α α α α α α α Ε(α) = g()d = d = d = () d= = α d= α = α ( ) = (α ) α lim Ε(α) = lim (α ) =+ α + α +, αφού lim α = + και lim (α ) = lim α =+ α + α + α + u = Ε (α) = t u ημt Ε α + u + t lim (α) ημ = lim u ημ =lim = Ε(α) u t ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση C διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Αν η εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της (, () ) διέρχεται από το σημείο A+ (, ) α) Να αποδείξετε ότι () = + β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (α ) + () = 6, α,β έχει μία τουλάχιστον λύση στο α β διάστημα (α,β) δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης και την ευθεία y= + ε) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C της συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία = -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΛΥΣΗ α) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της (,() ) έχει εξίσωση: ε :y () = ()( ) Αφού η (ε) διέρχεται από το σημείο Α, επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου αυτού. Επομένως έχουμε: = ( + ) = = + () Θέτουμε στην () όπου το, αφού η () ισχύει για κάθε και έχουμε: Για = έχουμε: Άρα για κάθε είναι: = () + () () + () = = = + ( ()) () c () = + c = + c c = () = + () = +, β) Για κάθε έχουμε: () = () = = = = = = () > > > > > > Επομένως ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: + () + () Ελάχιστο Η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o = με ελάχιστη τιμή () = lim () = lim ( + ) =+, αφού lim = και lim =+ lim () = lim ( + ) =+, αφού lim =+ και lim = + + + + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: () =, + ) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 { γ) Για κάθε α, β} είναι: (α) () + = 6 ( β) (α ) + ( α) () = 6( α)( β) α β ( β) (α ) + ( α) () 6( α)( β) = = +, [ α, β] Θεωρούμε τη συνάρτηση g() ( β) (α ) ( α) () 6( α)( β) Για τη συνάρτηση g στο διάστημα [ α, β ] ισχύουν: Είναι συνεχής στο [ α, β ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. g(α) g(β) = (αβ) ( α) (β α) (β) = (αβ)( α) (β) <, αφού ( α) > και (β) >, όπως προκύπτει από το σύνολο τιμών της συνάρτησης Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: g(ξ) = (ξβ) (α ξ) + (ξα) (ξ) 6(ξα)(ξ β) = (αξ) (ξ) (ξβ) (α ξ) + (ξ α) (ξ) = 6(ξα)(ξβ) + = 6 ξα ξβ Επομένως η εξίσωση (α ) + () = 6 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α,β) α β δ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με την ευθεία y= + είναι οι λύσεις της εξίσωσης: = ω () = + + = + + = + ( + ) + = ω ( + )ω + = ω= ή ω= = ή = = ή = = ω () + + + + + ( + ) + ω ( + )ω + ω Άρα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση και την ευθεία y= + είναι: C της συνάρτησης E(Ω) = + ()d= + ( + ) d = ( + )d d d= d d d () = + + = + + = = + ( +( = + + + = ) ) 4-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ε) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει (+ ) = ( ), για κάθε πραγματικό αριθμό Πράγματι: + + (+ ) = + = + και + + ( ) = + = + ΘΕΜΑ 3ο : ln Δίνονται οι συναρτήσεις,g :(, + ) με () = ln+ και g()= α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει δύο μόνο ρίζες ρ (, ) και ρ (, + ) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (ρ, ρ ) τέτοια, ώστε (ξ ) + (ξ ) = ln(ρ ρ) δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει ένα τοπικό ελάχιστο και ένα τοπικό μέγιστο. ΛΥΣΗ α) ος Τρόπος: Για κάθε (, + ) είναι: () = ln + (ln) = ln + = ln + Αν (,) είναι ln < και <, οπότε () > Αν (, + ) είναι ln > και >, οπότε () < Αν = είναι () = Οπότε ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: + () + () Μέγιστο Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,+ ) Η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o = με μέγιστη τιμή ος Τρόπος: Για κάθε (, + ) είναι: () = ln + (ln) = ln + = ln + ()= Προφανής λύση της εξίσωσης () = είναι η = και επειδή () = < η συνάρτηση η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) άρα η ρίζα είναι μοναδική. -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Αν Αν < < () > () () > > () < () () < Αν = είναι () = Οπότε ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: + () + () Μέγιστο Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,+ ) Η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o = με μέγιστη τιμή β) ος Τρόπος: + + lim () lim ln ()= = + =, αφού lim = > και lim (ln) =, άρα θα υπάρχει + + διάστημα της μορφής (,α) τέτοιο, ώστε () < για κάθε (,α), οπότε (κ) < για κ (, α) () = > Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ κ,] και (κ) () <. Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (κ,) (,) τέτοιο, ώστε (ρ ) =, το οποίο είναι μοναδικό στο διάστημα αυτό, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,) lim () = lim ln + + =, αφού lim( + ) = και lim (ln) =+, άρα θα υπάρχει + + διάστημα της μορφής (β, + ) με β >α τέτοιο, ώστε () < για κάθε (β, + ), οπότε (λ) < για λ (β, + ) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [, λ ] και () (λ) <. Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (, λ) (,+ ) τέτοιο, ώστε (ρ ) =, το οποίο είναι μοναδικό στο διάστημα αυτό, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, + ) Επομένως η εξίσωση () = έχει δύο μόνο ρίζες τις ρ (,) και ρ (, + ) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ος Τρόπος: Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ (,) = =, αφού lim() = και + ( + ) Δ lim (), lim (), =, επομένως είναι: lim () = Το ( Δ ), οπότε η εξίσωση () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα ρ στο διάστημα Δ (,) =, η οποία είναι και μοναδική, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ) = = Δ lim (), lim (), + +, αφού lim () = και + Το ( Δ ), οπότε η εξίσωση () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα = +, επομένως είναι: lim () = + ρ στο διάστημα Δ (, ) = +, η οποία είναι και μοναδική, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Επομένως η εξίσωση () = έχει δύο μόνο ρίζες, τις ρ (,) και ρ (, + ) γ) Για τη συνάρτηση στο διάστημα [ ρ,] ισχύουν: Είναι συνεχής στο [ ρ,] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη στο (ρ,) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγισίμων συναρτήσεων Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ,) τέτοιο, ώστε: () (ρ ) ρ ρ ( ρ ) = = = (ξ ) () Για τη συνάρτηση στο διάστημα [,ρ ] ισχύουν: Είναι συνεχής στο [,ρ ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη στο (, ρ ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγισίμων συναρτήσεων Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ρ ) τέτοιο, ώστε: (ρ ) () (ξ ) = = = ρ ρ (ρ ) () (ρ ) = ( ρ )lnρ+ = ( ρ )lnρ= = lnρ ( ρ ) και (ρ ) = ( ρ )lnρ + = ( ρ )lnρ= =lnρ ( ρ ) Από τις σχέσεις () και () έχουμε: (ξ ) + (ξ ) = + =lnρ lnρ =( lnρ + lnρ ) =ln(ρρ) (ρ ) (ρ ) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Για κάθε (, + ) είναι: ln (ln + ) ln ln + ln g() = = = = ( )ln + (ln + ln) () = = = () > g() = = () = = ρ ή = ρ και () > g () > > () > (ρ,ρ ) αφού: < < ρ () < (ρ ) () < ρ < () > (ρ ) () > < ρ () > (ρ ) () > > ρ () < (ρ ) () < Οπότε ο πίνακας μονοτονίας τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης g είναι ο παρακάτω: ρ ρ + + g() g () Τ.Ε. Τ.Μ. Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο ρ και ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο ρ ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: () = 4() + 3 6 για κάθε 4 α) Να αποδείξετε ότι ()= -8, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. γ) Να αποδείξετε ότι 4() < 3 () + (5), για κάθε (, + ) (t) 4 δ) Να αποδείξετε ότι ( ) ln< dt < ( 8) ln t ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (t) 4 dt ( 3() + (5) 4) = ( ) ln4 t έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΛΥΣΗ α) Για κάθε είναι: () = 4 () + 3 6 () + 6 = 4 () + 3 () + 8 = 4 () + 8 g () = 4g() (), όπου g() = () + 8 () 4 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με, οπότε έχουμε: 4 4 4 4 g () = 4 g() g () 4 g() = 4 4 4 4 4 g () + g() = g() = g() = c g() = c (3) Για = από τη σχέση () έχουμε Για = από τη σχέση (3) έχουμε Άρα για κάθε είναι g() 4 = (4) g() = () + 8 = () = g() = c c = Από τις σχέσεις () και (4) για κάθε είναι Επομένως: 4 () = 8, β) Για κάθε α (, + ) ισχύει ln α α (6) Αν στη σχέση (6) θέσουμε όπου α το 4, είναι 4 4 4 4 ln 4 4, οπότε Από τη σχέση (5) έχουμε: 4 (7) () =4 4 () >, Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Έστω τυχαίο >, τότε είναι < < <5 Για τη συνάρτηση στο διάστημα [, ] ισχύουν: 4 4 = () + 8 () = 8 4 > για κάθε, τότε έχουμε: 4 4 >, (7) Είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγισίμων συναρτήσεων με: 4 4 4 () = 8 = (4) 6 =4 6 (5) Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: () () () () (ξ ) = = Για τη συνάρτηση στο διάστημα [, 5 ] ισχύουν: Είναι συνεχής στο [, 5 ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη στο (, 5) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγισίμων συναρτήσεων με: 4 4 4 () = 8 = (4) 6 =4 6-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 5) τέτοιο, ώστε: (5) () (5) () (ξ ) = = 5 3 Για κάθε (, + ) είναι: 4 4 4 4 () = 4 6 =4 (4) 6 =6 6 =6( ) > Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ) Επειδή ξ,ξ (, + ) και () () (5) () ξ< ξ (ξ ) < (ξ ) < 3 > (5) () () () < 3 () 3 () < (5) () 4 () <3 () + (5) 3 δ) Για κάθε t, ισχύει: t 4 > 4 (t) 8 < t (t) () (t) 8 t t t Το «ίσον» δεν ισχύει παντού στο διάστημα,, οπότε είναι: 4 4 (t) 8 (t) dt < dt < dt ( ) dt < dt < ( 8) dt (8) t t t t t t dt ln t ln ln ln ln ln) ln t = = = ( = Άρα από τη σχέση (8) έχουμε: 4 ( )ln < dt < ( 8)ln (t) t ε) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: όπου (t) 4 dt ( ) 3 () + (5) 4 () ( )ln4 = ϕ () = t (t) ϕ () = dt ( ) 3 () + (5) 4 () ( )ln4 t 4,,, -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 33

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 dt 3 4 () ( )ln (9) (t) 5 ϕ = + + t Από το ερώτημα (δ) είναι: (t) (t) t t dt > ln dt ( )ln > και από το ερώτημα (γ) για = είναι: 5 5 4 () <3 + 3 + 4 () >, οπότε από τη σχέση (9) έχουμε: ϕ > (t) 4 () dt ln4 ϕ = () t Από το ερώτημα (δ) είναι: (t) 4 4 (t) 4 dt < ( 8)ln < ln dt ( )ln <, t t οπότε από τη σχέση () έχουμε: ϕ () < Για τη συνάρτηση ϕ στο διάστημα, ισχύουν: Είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. ϕ ϕ () < Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,, άρα η εξίσωση ϕ () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ρ, -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 34

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 5ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ικανοποιεί τις σχέσεις: () lim = (y) = y () + (y) y + για κάθε,y () α) Να αποδείξετε ότι ( ) = β) Να αποδείξετε ότι () () =, για κάθε ln+, γ) Να αποδείξετε ότι () =, = δ) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ε) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση ln = α έχει 4 διαφορετικές ρίζες. ΛΥΣΗ α) Για = y= από τη σχέση () έχουμε () = () + () + () = () () () () + () lim = lim = lim = () () () () lim = lim = () Άρα έχουμε: () lim = () = () = β) Για κάθε,y είναι: (y) = y () + (y) y + () Θεωρώντας το ως μεταβλητή παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της () και έχουμε: (y) = y () + (y) y + (y) y = y () + (y) Για = από την τελευταία σχέση έχουμε: () = y (y) = y () + (y) y (y) = y +(y) Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε y, επομένως για κάθε είναι: () = + () () () = γ) Για κάθε είναι: 4 3 () () () () = () () = = 4 3 3+ () () ln ln = = + 3+ -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 35

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ln c, () + + < ln + + c, < = () = ln + + c, > ln + + c, > (αφού οι συνέπειες του Θ.Μ.Τ. ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων) Η συνάρτηση ορίζεται και στο, αφού είναι συνεχής στο, οπότε έχουμε: ln + + c, < () = (), = (5) ln + + c, > Για = από τη σχέση (5) έχουμε Για = y= από την αρχική σχέση έχουμε: () () = ln+ + c = + + c c = () () = + + = = (6) Για = y= από τη σχέση (5) έχουμε: Άρα έχουμε (6) ( ) = ln+ + c = + + c c = ln +, < + () = (), = () = (), = ln +, > Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, οπότε έχουμε: Επομένως έχουμε: ln, () = lim () () = lim ln + () = + () =, αφού ln + lim( ln ) = lim = lim = lim = lim D.L.H 3 = + () =, = ln, ( ln ) ( ) δ) Για κάθε είναι: () = ln+ = ln+ = ln+ = ln+ () = ln+ = ln= = =± > και ln + > () > ln+ > < και ln + < και -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 36

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Αν > τότε είναι ln > > Αν < τότε είναι ln( ) < < > Οπότε ο πίνακας μονοτονίας τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: () + + + () Τ.Ε. Τ.Μ. Τ.Ε. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στα σημεία ± = ln + = ε) lim () = lim ln + = + ± ± Για κάθε είναι: = και 3 τοπικό μέγιστο στο σημείο = με τιμή () = α α α = = + = + = + (7) με ln α ln ln () = με τιμή Οι ρίζες της εξίσωσης (7) είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της C και της ευθείας α ε: y= +, που είναι παράλληλη με τον άξονα. Η εξίσωση (7) έχει 4 διαφορετικές ρίζες αν και μόνο αν η ευθεία (ε) τέμνει την C σε 4 διαφορετικά σημεία, δηλαδή αν και μόνο αν α α < + < < < < α < Άρα η εξίσωση ΘΕΜΑ 6ο : ln = α έχει 4 διαφορετικές ρίζες όταν α (,) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: lim () = + 4 4 () 4() = α + β για κάθε, όπου α) Να αποδείξετε ότι α = β > 4 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. γ) Αν επιπλέον ισχύει () < να αποδείξετε ότι: + + β i) () = ii) Η εξίσωση () =3ημ(π) 3 + 4 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, + ) -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 37

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΛΥΣΗ α) Για (, + ) είναι: 4 β 4 () 4 () = α + β () 4() α = + () Επειδή lim () = από τη σχέση () έχουμε: + 4 4 β 4 β lim () 4 () lim α lim lim () 4 lim () α lim = + + = + + + + + + 4 = α+ α= 4 4 β) Για α = η δοθείσα σχέση γράφεται 4 () 4 () = + β () Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε τα μέλη της ισότητας () είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, επομένως έχουμε: 4 () 4 () = + β 8 () () 4 () 4 () = (3) Έστω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. Το είναι εσωτερικό σημείο του και η είναι παραγωγίσιμη στο (αφού είναι παραγωγίσιμη στο ), άρα από Θεώρημα Frmat θα ισχύει () = Για = από τη σχέση (3) έχουμε: 8( ) 4 4 = 8 4 4 = ( ) = (4) 4 Για = από τη σχέση () έχουμε: 4 ( ) 4 β 4 4 β β β (4) = + = + + = + = 4 4 4 4 που είναι άτοπο αφού β >. Άρα η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. 4 γ) i) Από τη σχέση () έχουμε: 4 () 4 () = + β 4 () 4 () + = + + β () = + + β g() = + + β (5), όπου g() = () (6) Το τριώνυμο κάθε, οπότε + + β έχει διακρίνουσα Δ = 4β <, αφού g() > g() για κάθε β >, άρα + + β > για 4. Επίσης η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, επομένως διατηρεί πρόσημο στο με g() = () <, αφού () < Άρα για κάθε είναι g() < οπότε από τη σχέση (5) έχουμε g() β + + β (6) = + + () = + + β () = + + β () =, -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 38

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ii) Θεωρούμε συνάρτηση h() () 3ημ(π) 3 4 = +, [, + ) h() = () 3ημπ + 3 4 = () <, αφού () < ΘΕΜΑ 7ο : 3 4 Για [, + ) είναι h() = () ημ(π) + 3 (7) Έχουμε: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ημ(π) = ημ(π) ημ(π) ημ(π) 3 3 Είναι lim lim = = + + 3 Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει ότι lim ημ(π) = + Επίσης είναι lim () =, οπότε + 4 3 4 lim () ημ(π) 3 3 + = + = + 4 Από τη σχέση (7) έχουμε: 3 4 lim h() = lim () ημ(π) 3 + + + =+, οπότε θα υπάρχει διάστημα της μορφής (γ, + ) με γ> τέτοιο, ώστε h() > για κάθε (γ, + ), οπότε h(λ) > για λ (γ, + ) Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,λ ], αφού η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [,λ ] και h()h(λ) <. Άρα θα υπάρχει ένα ρ (, λ) (, + ) τέτοιο, ώστε h(ρ) = Δηλαδή η εξίσωση h() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ρ (, + ) 3 Δίνεται η συνάρτηση () =, α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α (,(), ) B(, ) και το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της είναι συνευθειακά. δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με: 3 3 3 () = ( ) = ( ) + ( ) = 3 4 = ( ) + (3 ) = ( + ), -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 39

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Έχουμε: 4 4 () = ( + ) = + =, διότι = y > για κάθε y + y = y = δεκτή ή y=(απορρίπτεται, διότι y ) Είναι y =, οπότε έχουμε: = =± 4 4 () > + > + >, διότι > για κάθε y + y > y > δεκτή ή y<(απορρίπτεται, διότι y ) = y Είναι y >, οπότε έχουμε: > > > < > ή Οπότε ο πίνακας μονοτονίας τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: () + + () T.M. T.E. + Επομένως: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, διάστημα αυτό και () > στο, Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα διάστημα αυτό και () < στο, Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα διάστημα αυτό και () > στο, +,,, διότι είναι συνεχής στο, διότι είναι συνεχής στο +, διότι είναι συνεχής στο -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Η συνάρτηση παρουσιάζει για: = τοπικό μέγιστο το = = 4 = τοπικό ελάχιστο το = = 4 β) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με: 4 4 4 () = ( + ) = ( + ) + ( + ) = Έχουμε: 4 3 4 3 = ( + ) + (8 + ) = ( + 5 ) = ( + 5), 3 3 () = ( + 5) = = =, διότι 3 3 () > ( + 5) > > >, διότι ( 5) ( 5) + > για κάθε + > για κάθε Οπότε ο πίνακας κυρτότητας σημείων καμπής της συνάρτησης είναι ο παρακάτω: + () + () Σ.Κ. Η συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα (,], διότι είναι συνεχής στο διάστημα αυτό και () < στο (,) Η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα [, + ), διότι είναι συνεχής στο διάστημα αυτό και () > στο (, + ) Η μηδενίζεται στο = και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο. Άρα το σημείο Ο(,() ), δηλαδή το Ο(, ) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης γ) Oι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της είναι: = και =, οπότε Α, 4 και Β, 4 Ο, Το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης είναι το λuuur = 4 = και ΟΑ Δηλαδή: uuur uuur λuuur = λuuur, οπότε ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ Άρα τα σημεία Α, Ο, Β είναι συνευθειακά. λ uuur ΟΒ = 4 = Σημείωση: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και την ισοδυναμία: uuur uuur uuur uuur ΟΑ ΟΒ dt ΟΑ,ΟΒ = -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) ος Τρόπος: Η ευθεία με εξίσωση y= είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο καμπής της Ο(,), διότι () = και () = Η εξίσωση () =, έχει προφανή ρίζα το Για κάθε > είναι: () >, διότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο [, + ), άρα η εφαπτομένη βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο (, + ) Για κάθε < είναι: () <, διότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο (, ], άρα η εφαπτομένη βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο (,) Άρα η εξίσωση () = έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα το ος Τρόπος: Υπόδειξη 3 () = ( ) = ( ) + = =, διότι η συνάρτηση ε) φ() = +, για = παρουσιάζει ελάχιστο το φ() = 3 3 () = ( ) = = ( ) = = ή = ή = H συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [,] και ισχύει: (), για κάθε [,] και (), για κάθε [,] Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : Ε = () d= ()d+ ()d= ()d, διότι για το ολοκλήρωμα και έχουμε: θέτουμε : = u, τότε d = ( u) du =du ()d, Για = είναι u= και για = είναι u= ()d= ( u)du= ( u)du= (u)du= ()d, επειδή ( u) = (u) για κάθε u -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Έχουμε: Ε = ()d = ( )d = ( )d = = ( ) + ( ) d = ( ) + d = = ( ) + d = ( ) + d = = ( ) + =( ( )) + = ΘΕΜΑ 8ο : Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () + 6 ( + ) (), για κάθε () () = Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να λύσετε την εξίσωση ( ) = ( + ) γ) Να αποδείξετε ότι ( + ) () < για κάθε (ρ,), όπου ρ ρίζα της εξίσωσης του (β) ερωτήματος. δ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες = και =, τότε να αποδείξετε ότι 6 < Ε < 3 ΛΥΣΗ α) Από τη σχέση () για = έχουμε: ( ) + 6 ( ) + 6= ( ) = 6 Από τη σχέση () επίσης έχουμε: () 6= ( ) για κάθε () Δηλαδή η συνάρτηση στο εσωτερικό σημείο = του πεδίου ορισμού της παρουσιάζει ελάχιστο και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Frmat, οπότε ισχύει ( ) = -9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 43