ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [ ij ]
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α[ [ ij ] μ μ ΠίκςΠίκς γρμμή μ, π.χ. διστάσεω ΠίκςΠίκς στήλη, π.χ. διστάσεω ΠίκςΠίκς στοιχείο, π.χ. διστάσεω Μηδεικός πίκς, O, ij i,j
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α[ [ ij ] μ Αάστροφος πίκς του Α (ο οποίος συμολίζετι με Α Τ ή Α ) είι ο πίκς που προκύπτει πό το Α κάουμε τις γρμμές του στήλες κι τις στήλες του γρμμές. Δηλδή, Α ij T ji κι ο Α είι διστάσεω μ τότε ο Α Τ είι διστάσεω μ T μ μ μ μ
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α[ [ ij ] Τετργωικός πίκς, π.χ. διστάσεω,,, - Κύρι διγώιος εός τετργωικού πίκ είι τ στοιχεί του,,, κι ίχος του Α κλείτι το άθροισμά τους ΆωΆω τριγωικός πίκς (τετργωικός) κι ij i>j ΚάτωΚάτω τριγωικός πίκς (τετργωικός) κι ij i<j Δηλδή ές τετργωικός πίκς Α είι άω (τίστοιχ κάτω) τριγωικός ότ όλ τ στοιχεί του που είι κάτω (τίστοιχ πάω) πό τη κύρι διγώιο είι μηδέ. Διγώιος πίκς (τετργωικός) κι ij i j Συμμετρικός πίκς (τετργωικός) κι ij ji i,j μ μ 4
Ι ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α[ [ ij ] μ Μοδιίος πίκς, Ι, (i) (τετργωικός), (ii) ij i j (iii) ij ij Ι μ Ι 5
Αλγερικές πράξεις πιάκω Έστω δύο πίκες & B ίδις διάστσης μ, όπου Α[ [ ij ] κι Β[ [ ij ] μ μ B μ μ Οι πίκες Α κι Β, ίδις διάστσης μ, λέγοτι ίσοι ότ έχου ίσ στοιχεί στις τίστοιχες θέσεις, δηλδή B ij ij i,,, μ κι j,,, 6
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πρόσθεση πιάκω Άθροισμ τω πιάκω Α[ [ ij ] κι Β[ [ ij ] λέγετι ο πίκς Γ[ [γ ij γι τ στοιχεί του οποίου ισχύει γ ij ij + ij, i,,, μ κι j,,, Συμολίζετι ως ΓΑ+Β Γ + Β μ μ μ + + + μ μ + μ + + + μ μ + + + ij ] 7
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πρόσθεση πιάκω Ιδιότητες: i)α+β Β+Α (τιμετθετική) ii)(α+β)+ )+Γ Α+( +(Β+Γ) ) (προσετιριστική( προσετιριστική) iii)α+oα Ατίθετος του πίκ Α[ [ ij ] λέγετι ο πίκς -Α[ [- ij ] κι ισχύει Α+( +(-Α) O Διφορά δύο πιάκω Α[ [ ij ] κι Β[ [ ij ] λέγετι ο πίκς Α-ΒΑ+( +(-Β)[ )[ ij - ij ] 8
Αλγερικές πράξεις πιάκω Γιόμεο ριθμού με πίκ Γιόμεο του ριθμού λ R επί του πίκ Α[ [ ij ] λέγετι ο πίκς λα[ [λ λ ij ] Δηλδή ο πίκς λα προκύπτει πολλπλσιάσουμε όλ τ στοιχεί του Α επί λ λ Ιδιότητες: λ μ i)λ(α+β) )λα+λβλβ ii)(λ+μ)αλα λα+μα μ λ λ λ μ λ λ λ μ iii) λ(μα)( )(λμ)α λ λ λ iv) κι (-) )- 9
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω Ορίζουμε πρώτ το γιόμεο εός πίκ γρμμή με έ πίκ στήλη. π.χ. Γεικά, τότε [ ] [ ] B B B [ + + ] Β [ + + + ]
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω Το γιόμεο Α Β δύο πιάκω Α[ [ ij ] κι Β[ [ ij ] k ορίζετι μόο ότ ο ριθμός τω στηλώ του πίκ Α είι ίσος με το ριθμό τω γρμμώ του πίκ Β στήλες μ μ Β k k k γρμμές
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω Ως γιόμεο Α Β [γ ij ] μk δύο πιάκω Α[ [ ij ] κι Β[ [ ij ] k ορίζετι ές πίκς Γ διάστσης μ k, k του οποίου κάθε στοιχείο γ ij είι ίσο με το άθροισμ τω γιομέω τω στοιχείω της i γρμμής του Α επί τ τίστοιχ v στοιχεί της j στήλης του Β, δηλδή γ ij i j + i j + + i j όπου i,,, μ κι j,,, k Γ Β μ μ γ k γ k γ k μ γ γ γ μ γk γ k γμ k μ + + + μ + + + + + + μ + + + μ + + + + + + μ k k k + + + μ k k k + + + + + + k k k
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω 4 B 4
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω Πράδειγμ τετργωικώ πιάκω : B B + + + + 4
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω Ιδιότητες: i) διάστσης μ, Β διάστσης λ, Γ διάστσης λ k ισχύει Α(ΒΓ)( )(ΑΒ)Γ (προσετιριστική ιδιότητ) ii) διάστσης μ, Β κι Γ διάστσης k ισχύει Α(Β+Γ) )ΑΒ+ΑΓΑΓ (επιμεριστική ιδιότητ) iii) ορίζοτι τ γιόμε ΑΒ κι ΒΑ τότε είι δυτό ισχύει ΑΒ ΒΑ ΒΑ δηλδή ΔΕΝ ισχύει πάτ η τιμετθετική ιδιότητ 5
Αλγερικές πράξεις πιάκω Πολλπλσισμός πιάκω Ιδιότητες: iv) Η σχέση BO ΔΕΝ συεπάγετι ότι ΑO ή ΒO Δηλδή, μπορεί έχουμε Α O κι Β O, λλά τελικά BO v) Γι κάθε τετργωικό πίκ Α διάστσης, ισχύει Ι ΑΑ Ι Ι Α όπου Ι είι ο μοδιίος πίκς v 6
Ορίζουσες Α,, γ, δ είι τέσσερις πργμτικοί ριθμοί, το σύμολο λέγετι ορίζουσ δεύτερης τάξης κι ισούτι με Το σύμολο γ δ γ δ δ γ λέγετι ορίζουσ τάξης κι οι ριθμοί στοιχεί της. Α στη ορίζουσ τάξης διγράψουμε τ στοιχεί της i γρμμής κι της j στήλης, η ορίζουσ - τάξης που προκύπτει λέγετι υποορίζουσ ή ελάσσο ορίζουσ που τιστοιχεί στο στοιχείο ij 7
Ορίζουσες Α τότε η ορίζουσ ισούτι με Ειδικά γι, η ορίζουσ μπορεί ρεθεί με το κό του Srrus - - - + + + 8
Ορίζουσες Μί ορίζουσ (Δ) τάξης μπορεί γεικά υπολογιστεί πτύσσοτς τη ως προς οποιδήποτε γρμμή i ή στήλη j To άπτυγμ κτά τ στοιχεί της i γρμμής δίετι πό τη σχέση Δ + + + i i i i i i εώ το άπτυγμ κτά τ στοιχεί της j στήλης δίετι πό τη σχέση Δ + + + j j j j j j όπου ij είι στοιχείο της ορίζουσς, ij είι το λγερικό συμπλήρωμ του στοιχείου ij κι ισούτι με το γιόμεο του (-) i+j με τη υποορίζουσ τάξης - που προκύπτει διγράψουμε τη γρμμή i κι τη στήλη j της ορίζουσς Δ. ij Α ij 9
Ορίζουσες Α τότε τ λγερικά συμπληρώμτ Α, Α, Α είι Δ Δ + ( ) + ( ) Δ + ( )
Ορίζουσες Α τότε το άπτυγμ της ορίζουσς κτά τη η γρμμή είι Δ + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + Με τη μέθοδο Srrus είχμε ρει ότι Δ
Ορίζουσες Ιδιότητες: ) Η τιμή της ορίζουσς δε μετάλλετι οι στήλες της γίου γρμμές κι οι γρμμές της γίου στήλες. ) Α σε μι ορίζουσ όλ τ στοιχεί μις γρμμής ή στήλης είι μηδέ τότε η ορίζουσ ισούτι με μηδέ. ) Γι πολλπλσιάσουμε μι ορίζουσ με ριθμό ρκεί πολλπλσιάσουμε τ στοιχεί μις γρμμής ή στήλης της με το ριθμό. λ λ λ λ
Ορίζουσες Ιδιότητες: 4) Α σε μι ορίζουσ τιμετθέσουμε τ στοιχεί δύο γρμμώ της (ή δύο στηλώ της) τότε η τιμή της ορίζουσς λλάζει πρόσημο. 5) Α σε μι ορίζουσ δύο γρμμές της ή δύο στήλες της, έχου τ ίδι ή άλογ στοιχεί, τότε η ορίζουσ ισούτι με μηδέ.
Ορίζουσες Ιδιότητες: 6) Α κάθε στοιχείο μις ορισμέης γρμμής (ή στήλης) ορίζουσς είι άθροισμ δύο προσθετέω, τότε κι η ορίζουσ είι άθροισμ δύο οριζουσώ με στοιχεί τω τίστοιχω γρμμώ (ή στηλώ) ά έ τω προσθετέω. + + + + 4
Ορίζουσες Ιδιότητες: 7) Α στ στοιχεί μις γρμμής (ή στήλης) προστεθού ή φιρεθού τ τίστοιχ στοιχεί άλλης γρμμής (ή στήλης) πολλπλσισμέ επί έ ριθμό, η τιμή της ορίζουσς δε λλάζει. + λ + λ + λ + λ λ λ + λ 5
Ορίζουσες Ιδιότητες: 8) Μι ορίζουσ που τιστοιχεί σε τριγωικό ή διγώιο πίκ, είι ίση με το γιόμεο τω στοιχείω της κύρις διγωίου. Εφρμογή: «Τριγωιοποίηση» μίς ορίζουσς. Δηλδή, είι ο μετσχημτισμός μις ορίζουσς, με χρήση τω ιδιοτήτω, σε ορίζουσ που τιστοιχεί σε τριγωικό πίκ. Με υτό το τρόπο η ορίζουσ υπολογίζετι πιο εύκολ. Πράδειγμ: ( με μετσχημτισμούς ) 6
Ορίζουσες Εφρμογές τω οριζουσώ στη Γεωμετρί - Εξίσωση επιπέδου (Α+B+Γz+ z+δ με,b,γ,δ R R) το οποίο διέρχετι πό τ τρί () μη-συευθεικά σημεί,, P(,,z ), Q(,,z ), R(,,z ) z z z z - Εμδό τριγώου με κορυφές τ τρί () μη-συευθεικά του επιπέδου, P(, ), Q(, ), R(, ) E z z z z z z 7
Ορίζουσες - Εμδό τριγώου με κορυφές τ τρί () μη-συευθεικά σημεί του χώρου, P(,,z ), Q(,,z ), R(,,z ) z z E z z + B B - Όγκος πρλληλεπιπέδου με πλευρές PQ, PR, PS, κοιής ρχής P, όπου P(,,z ), Q(,,z ), R(,,z ), S( 4, 4,z 4 ) + Γ z z z z Γ V 4 4 z z z 4 z z z 8
Βθμός πίκ Από το πίκ Α[ [ ij ], διγράψουμε μερικές γρμμές ή/κι στήλες, προκύπτει ές άλλος πίκς που λέγετι υποπίκς του Α. Σε κάθε τετργωικό υποπίκ του Α[ [ ij ] διάστσης k k, όπου k min{μ,}, τιστοιχεί μι ορίζουσ τάξης k η οποί λέγετι υποορίζουσ τάξης k του πίκ Α. Ο θετικός κέριος k λέγετι θμός (rnk) του μη-μηδεικού μηδεικού πίκ Α, υπάρχει μη-μηδεική μηδεική υποορίζουσ τάξης k του Α κι όλες οι υποορίζουσες τάξης μεγλύτερης του k είι μηδέ. Σημείωση: Ές πίκς διάστσης έχει μ k k μ! k!( μ k)! τετργωικούς υποπίκες διάστσης kk, όπου k min{μ,} Υπεθυμίζετι ότι μ! (μ-) ) μ (π.χ.. 4! 44) 44) κι!! k!( k)! 9
Ατιστροφή τετργωικού πίκ Ο τετργωικός πίκς - διάστσης λέγετι τίστροφος του πίκ Α[ [ ij ] ότ ισχύει Α Α - Α - Α Ι (Ι ο μοδιίος πίκς) Ές πίκς Α[ [ ij ] είι τιστρέψιμος μόο ότ έχει ορίζουσ Α Α ο τετργωικός πίκς διάστσης είι τιστρέψιμος τότε ο τίστροφός του, Α -, δίετι πό το τύπο
Ατιστροφή τετργωικού πίκ Α ο τετργωικός πίκς είι τιστρέψιμος, δηλδή Α, τότε ο τίστροφός του, Α -, δίετι πό το τύπο όπου Α ij είι τ λγερικά συμπληρώμτ τω στοιχείω ij του πίκ Α, τοποθετημέ όμως στις θέσεις τω στοιχείω ji π.χ. γι, με Α
Γρμμικά συστήμτ (Κός του Crmer) Δίετι το γρμμικό σύστημ v εξισώσεω με γώστους,,,, + + + + + + + + + το οποίο έχει ορίζουσ τω συτελεστώ - Α D τότε το σύστημ έχει μοδική λύση D i i, i,,.., D όπου η ορίζουσ D i προκύπτει πό τη D, η i-στήλη ( i, i,, i ) τικτστθεί πό τους στθερούς όρους,,, - Α D τότε το σύστημ είι (i) δύτο (συμίστο) μί ορίζουσ D (ii) όριστο (προσδιόριστο) D i D i i,,,
Γρμμικά Γρμμικά συστήμτ συστήμτ (Κός Κός του του Crmer) Crmer) Γι Γι,, το το σύστημ σύστημ είι είι + + + + + + D D D D
Γρμμικά συστήμτ (Κός του Crmer) Δίετι το ομογεές γρμμικό σύστημ v εξισώσεω με γώστους,,,, + + + + + + + το οποίο έχει ορίζουσ τω συτελεστώ + + D - Α D τότε το σύστημ έχει μοδική λύση τη μηδεική: i,,, i - Α D τότε το σύστημ έχει λύσεις διάφορες της μηδεικής (όριστο) 4
Γρμμικά συστήμτ (Κός του Crmer) Γι, το ομογεές σύστημ είι + + + + + + D D D D 5
Γρμμικά συστήμτ (χρήση πιάκω) Δίετι το γρμμικό σύστημ v εξισώσεω με γώστους,,,, + + + + + + + + + Ο πίκς τω συτελεστώ είι ο Κι ο επυξημέος πίκς [Α,Β] του γρμμικού συστήμτος είι ο Α Α τότε υπάρχει μοδική λύση κι εφρμόζουμε το κό του Crmer [, B] Α Α τότε: i) rnk() )rnk([,b])k < τότε εργζόμστε με τις k εξισώσεις κι τους k γώστους κι το σύστημ έχει (-k) πρμετρική πειρί λύσεω (-k θμούς ελευθερίς) δηλδή οι υπόλοιποι -k άγωστοι θ είι υθίρετοι ii) rnk([,b]) > rnk() τότε το σύστημ είι δύτο 6
Γρμμικά συστήμτ (χρήση πιάκω) Δίετι το γρμμικό σύστημ μ εξισώσεω με γώστους,,,, όπου μ, μ + + + μ + + + + + + Ο πίκς τω συτελεστώ είι ο Κι ο επυξημέος πίκς [Α,Β] του γρμμικού συστήμτος είι ο μ μ μ Το γρμμικό σύστημ μ εξισώσεω με γώστους έχει λύση (μοδική ή άπειρες) μόο ότ οι πίκες Α κι [Α,Β] έχου το ίδιο θμό, δηλδή rnk() )rnk([,b])k min{μ,} Τότε εργζόμστε με τις k εξισώσεις κι τους k γώστους κι οι υπόλοιποι άγωστοι ( υπάρχου) θ είι υθίρετοι. Α rnk() rnk([,β]) τότε το σύστημ είι δύτο. μ μ [, B] μ 7